第02讲 判别式及其应用
第二讲 根的判别式及其应用
例4．已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0．
（2）若等腰∆ABC的一边a=1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求
△ABC的周长．
（2）②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1，
【解析】
把x=1代入方程x2-(k+2)x+2k=0，得1-(k+2)+2k=0，解得k=1，
∴∆=b2-4ac =[-2(k+1)]2-4×1×(-k2+2k-1) =8+8k2 >0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故选C.
k2≥
例2．当m为什么值时，关于x的方程 m2 −4 x2 +2 m+1 x+1=0有实根．
【点拨】讨论：分 m2 −4=0和m2 −4≠0 两种情况.
【解析】当m2−4=0，
一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的判别式
△=b2-4ac
一元二次方程的根的情况取决于
2
Δ=b -4ac>0
方程有两个不相等的实数根.
Δ=b2-4ac的符号.
Δ=b2-4ac=0
方程有两个相等的实数根.
Δ=b2-4ac<0
方程没有实数根.
反之也成立
注意
（1）使用判别式之前,一定要先把方程变化为一般形式，正确找出a、
∴方程总有两个实数根；
m 2 ( m 2)
x
（2）由求根公式得 x1=1，x2= 2 ，∵x1=1为整数，
2m
m
2
∴必须x2= 为整数即可，∵ m取正整数 ∴m =1或2．
m
例6．已知关于x的方程mx 2-(m+2)x+2=0(m≠0).
例析判别式在解题中的应用
例析判别式在解题中的应用
判别式是数学中的一种用于检验两个或多个概念的等式，它的结果随问题的变化而变化。
例如，如果试图判断某事件是否发生，可以使用判别式。
判别式在解题中有着广泛的应用，它不仅可以帮助确定问题的解答，而且可以帮助弄清事物之间关系的缘由。
在解题中，判别式可以为我们提供思考的方向，可以帮助我们判断该题的答案是怎样的条件、以及答案之间的关系。
判别式可以将一类复杂的问题转换为单一的条件，用以求解复杂模型，从而达到快速简洁地解答问题。
一般来说，在数学解题中，判别式可以用来求解多项式的根或比较两个多项式的大小。
例如，当判断两个多项式是否相等时，可以用判别式来计算它们的值，反之亦然。
另外，判别式也可以用于识别某一方面的特征，比如说识别直线斜率的正负性，它也可以在解决空间几何的问题时起到非常重要的作用，从而求出一个最优解答。
因此，判别式在解题中的应用广泛，它可以帮助我们将一类复杂的问题转化为单一条件，从而大大简化求解过程，又或者辅助我们了解不同问题之间的联系，解决问题。
判别式及其应用
判别式及其应用知识定位一元二次方程的根的判别式(△)是重要的基础知识，它不仅能用于直接判定根的情况，而且在二次三项式、二次不等式、二次函数等方面有着重要的应用，是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有许多应用．熟练掌握它的各种用法，可提高解题能力和知识的综合应用能力．知识梳理知识梳理1：判定方程根的情况判别式最基本最常用的的地方就是用以判断一元二次方程根的情况。
知识梳理2：确定方程中系数的值或范围在含参的方程中，我们变换一下主元，把原方程看作关于参数的一元二次方程，再根据判别式处理问题可以打开一片新天地，使问题变得明朗化。
知识梳理3：求某些方程或方程组的解在处理多元方程或方程组时，我们抓住其中一个未知数看作主元，把问题看作关于这个主元的一元二次方程，利用判别式来处理，配合一些实际的限制条件，能够把复杂问题简单化。
知识梳理4：证明不等式，求最大值和最小值用判别式证明不等式，常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段，放到某个一元二次方程的系数中去．例题精讲【试题来源】【题目】设方程24x ax +=只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根． 【答案】【解析】【知识点】判别式及其应用【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】若()()()()()()x a x b x b x c x c x a++++++++是关于x的完全平方式，求证：a b c==．【答案】【解析】【知识点】判别式及其应用【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】【题目】求方程221x y x xy y +=-++的实数解． 【答案】1x y == 【解析】【知识点】判别式及其应用 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】【题目】求方程5x 2+5y 2+8xy+2y-2x+2=0的实数解． 【答案】x=1，y=-1．【解析】先把y 看作是常数，把原方程看成是关于x 的一元二次方程，即5x 2+(8y-2)x+(5y 2+2y+2)=0．因为x 是实数，所以判别式△=(8y-2)2-4·5·(5y 2+2y+2)≥0，化简后整理得y 2+2y+1≤0，即(y+1)2≤0，从而y=-1．将y=-1代入原方程，得5x 2-10x+5=0，故x=1．所以，原方程的实数解为x=1，y=-1．【知识点】判别式及其应用 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4【试题来源】【题目】m 为什么整数时，29526m m ++能分解成两个连续自然数的积？ 【答案】12613,,,-- 【解析】【知识点】判别式及其应用 【适用场合】当堂例题 【难度系数】5【试题来源】【题目】关于x 的方程322210x ax ax a --+-=只有一个实数根，求a 的取值范围．【答案】34a < 【解析】【知识点】判别式及其应用 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4【试题来源】【题目】已知关于x 的二次方程2110x p x q ++=与2220x p x q ++=，求证：当12122()p p q q =+时，这两个方程中至少有一个方程有实根．【答案】【解析】【知识点】判别式及其应用【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设a、b、c为互不相等的实数．求证：二次方程220bx cx a++=，++=，220ax bx c22++0cx axb=不可能同时都有两个相等的实根．【答案】【解析】【知识点】判别式及其应用【适用场合】阶段测验【难度系数】4【试题来源】【题目】满足()()22336x y -+-= 的所有实数对()x,y 中，yx的最大值是多少？ 【答案】322+ 【解析】(x-3)2+(kx-3)2=6，即 (k 2+1)x 2-6(k+1)x+12=0， 将它看成关于x 的一元二次方程．因x 是实数，所以△=36(k+1)2-48(k 2+1)≥0，即 k 2-6k+1≤0． ①【知识点】判别式及其应用 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4【试题来源】【题目】x,y 为实数，且满足221x y x x =++ ，求y 的最大值和最小值。
二次方程根的判别式
二次方程根的判别式二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0。
当我们求解二次方程时，根据判别式可以推导出方程的根的性质和数量。
下面我们将详细介绍二次方程的判别式及其应用。
一、二次方程判别式的推导设二次方程ax^2 + bx + c = 0的两个根为x1和x2，则有以下三种情况：1. 当判别式D = b^2 - 4ac > 0时，方程有两个不相等的实数根。
此时，我们可以通过求解x1和x2来确定方程的解。
2. 当判别式D = b^2 - 4ac = 0时，方程有两个相等的实数根。
此时，我们可以通过解出x1和x2来确定方程的解。
3. 当判别式D = b^2 - 4ac < 0时，方程没有实数根，存在两个共轭复数根。
此时，我们可以通过解出x1和x2来确定方程的解。
二、根据判别式求解二次方程根据上述的判别式推导，我们可以根据判别式来求解二次方程。
1. 当D > 0时，我们可以使用求根公式来求解方程的根：x1 = (-b + √D) / (2a)x2 = (-b - √D) / (2a)2. 当D = 0时，方程有两个相等的实数根，我们可以使用求根公式来求解方程的根：x1 = x2 = -b / (2a)3. 当D < 0时，方程没有实数根，而存在两个共轭复数根，我们可以使用虚数单位i来表示方程的根：x1 = (-b + √(-D)i) / (2a)x2 = (-b - √(-D)i) / (2a)通过以上的求解方法，我们可以根据二次方程的判别式快速确定方程的根的性质和数量。
三、二次方程判别式的应用判别式在二次方程的求解中起到了重要的作用，不仅能够帮助我们判断方程有无解，还可以帮助我们确定方程的根的性质。
1. 利用判别式可以判断二次方程的解的情况，从而避免不必要的求解过程。
例如，当判别式D < 0时，我们可以直接得出方程无实数解，从而可以节省时间和计算的复杂性。
2. 利用判别式可以解决与实际问题相关的二次方程的求解。
判别式学习方法
判别式学习方法
判别式（Discriminant）是一个用于确定二次方程（或其他高次方程）的根的性质的数学概念。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，判别式通常表示为Δ（Delta），并计算为Δ = b^2 - 4ac。
判别式的用途和意义如下：
1.确定方程的根的类型：
o当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根。
o当Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根（也称为重根或双根）。
o当Δ < 0 时，方程没有实数根，而是有两个复数根。
2.在二次方程中的应用：
o判别式用于确定二次方程的解的个数和类型。
o在求解二次方程时，可以通过计算判别式来预知解的情况，从而选择合适的求解方法。
3.在其他高次方程中的应用：
o对于一元n 次方程，判别式可以用于确定方程是否有重根或是否可以分解为因式。
o在高次方程中，判别式可能是一个更复杂的表达式，用于判断方程的根的性质。
4.在统计和机器学习中的应用：
o在统计和机器学习中，判别式通常与分类问题相关。
例如，在逻辑回归和线性判别分析中，判别式
用于将特征向量映射到决策边界，从而进行分类。
o判别函数或判别式也用于评估模型的性能，通过计算真实标签与预测标签之间的差异来确定模型的好
坏。
综上所述，判别式是一个重要的数学概念，用于确定方程的根的性质和在统计、机器学习等领域中进行分类和决策。
判别式及其应用
一元二次方程的判别式及其应用【知识要点】1．一元二次方程的根的判别式的概念2.不解方程，判断方程根的情况对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，其根的情况与判别式的关系是： ⇔>∆0⇔=∆0⇔<∆0⇔≥∆0【典型例题】例1 不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x 2－5x+3=0；（2）x 2；（3）3x 2+2=4x ；（4）mx 2+（m+n ）x+n=0（m ≠0，m ≠n ）．例2 方程012)1(2=++-mx x m 根的判别式的值为4，求m 的值．例3 已知关于x 的方程0)2(4122=+--m x m x ．（1）有两个不相等的实根，求m 的范围；（2）有两个相等的实根，求m 的值，并求出此时方程的根；（3）有实根，求m 的最大整数值．例 4 已知c b a ,,分别是ABC ∆的三边长，当0>m 时，关于x 的一元二次方程02)()(22=--++ax m m x b m x c 有两个相等的实数根．求证：ABC ∆是直角三角形．例5 已知c b a ,,是三角形的三边长，求证：方程0)(222222=+-++c x a c b x b 没有实数根。
例 6 已知关于x 的一元二次方程0222=-++m x x ①有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；并利用你所得的结论，任取m 的一个数值代入方程①，并用配方法求出此时方程的两个实数根．例7 已知关于x 的方程（n －1）x 2+mx+1=0 ①有两个相等的实数根．（1）求证：关于y 的方程m 2y 2－2my －m 2－2n 2+3=0 ②必有两个不相等的实数根；（2）如果方程①的一个根是－12，求方程②的根．例8 当k 取什么整数时，方程()()072136122=+---x k x k 有两个不相等的正整数根？【大展身手】1．下列方程无实数根的是（ ）A 、31)8(2=-x xB 、005.06.02.02=++y yC 、0122232=+-x x D 、)13(492-=x x 2．下列方程中有两个不同实数根的是（ ） A 、010092=+-x x B 、05752=+-x xC 、0924162=+-y yD 、04322=-+x x3．如果关于x 的方程022=-+k x x 没有实数根，那么k 的取值范围是（ ）A 、1-≥kB 、1≤kC 、1>kD 、1-<k4．下列方程有实数根的是（ ）A 、0122=++x xB 、012=--x xC 、01062==-x xD 、0122==-x x5．在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，若c a 与异号，则方程（ ）A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、没有实数根D 、无法确定6.已知一直角三角形的三边为c b a ,,，︒=∠90B ，那么关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根的情况为：（ ） A 、有两个相等的实数根 B 、有两个不相等的实数根C 、没有实数根D 、根的情况无法确定7．一元二次方程042=++c x x 有两个相等实根，那么c 为（ ）A 、4>cB 、4<cC 、4=cD 、其他值8．方程)0(012≠=++a bx ax 中，根的判别式是（ ）A 、b b 42-B 、bC 、a b -D 、不存在 9．不解方程，判定方程x x 249162=+的根的情况是（ ）A 、有两个不相等实根B 、有两个相等实根C 、没有实数根D 、有一个根为110．若06)4(22=+--x kx x 没有实数根，则k 的最小整数值是（ ）A 、2B 、1C 、-1D 、不存在11．当k 不小于41-时，)2(0)12()2(2≠=+---k k x k x k 的根的情况是（ ） A 、有两个不相等的实数根 B 、有两个相等的实数根C 、有两个实数根D 、以上都不正确12．方程ax a x =+2有等根时，实数a 的可能数值的个数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、大于213．若方程0342=+-x kx 有实数根，则k 的非负整数值为（ ）A 、0，1B 、0，1，2C 、1D 、1，2，314.m 取何值时，方程012)2(2=-++x x m 有两个不相等的实根？15．已知关于x 的方程0422=++-k x k x 有两个不相等的实数根，求k 取值范围．16．已知c b a ,,是ABC ∆的三边长，且方程0)1(2)1(22=--++x c bx x a 两根相．两根相等，试判断这个三角形的形状．。
判别式的作用及用法
判别式的作用及用法
1. 哎呀呀，判别式可是个厉害的家伙呢！你看，就像我们在黑暗中寻找正确的路一样，判别式能帮我们判断一元二次方程有没有解呀！比如方程x²-5x+6=0，通过判别式b²-4ac，就能知道它有两个不同的解呢！这多神奇呀！
2. 嘿，判别式的作用可大了去啦！它就好比是一个聪明的裁判，能一下子告诉我们方程的情况。
比如说，对于方程2x²-3x+1=0 ，判别式就能让我们清楚知道它是有解还是无解，是不是超厉害？
3. 哇塞，判别式真的太重要啦！这就好像是你在寻找宝藏的地图上的关键标记一样。
就像方程3x²+2x-1=0，靠着判别式我们就能确切知道能不能找到宝藏，也就是方程的解呀！
4. 你知道吗？判别式的用法那叫一个妙啊！它就仿佛是我们解题路上的指明灯。
像是方程4x²-4x+1=0，判别式一展身手，答案就清晰可见啦，太赞了吧！
5. 判别式可真是个宝啊！可以想象一下，它就像是一把神奇的钥匙，能打开方程的秘密之门。
就拿方程5x²-6x+2=0 来说，判别式让我们对它的解一目了然呀！
6. 哎呀呀，判别式的作用简直绝了！它就和我们走路的指南一样重要呢。
例如方程6x²-7x+3=0，判别式立马就能告诉你能不能顺利走下去找到答案，是不是超牛？
7. 嘿哟，判别式的作用和用法真不简单呐！它就像一个贴心小助手。
比如面对方程7x²-8x+4=0，判别式迅速帮我们搞清楚状况，你说妙不妙？总之，判别式在数学里那可是不可或缺的存在呀！。
一元二次方程的判别式、韦达定理应用举例
一元二次方程的判别式、韦达定理应用举例抛物线
1. 判别式：
判别式是用来判别一元二次方程的根（解）是实根、重根还是无解的
一个实用公式，它是欧拉定理的重要应用。
判别式的表达式为：D=b²-4ac。
其中a、b、c分别为一元二次方程中的系数：ax²+bx+c=0。
2. 韦达定理应用举例：
韦达定理是欧几里得几何中的重要定理，可以用来证明几何图形的线
段关系。
举例说明：
假设有ABC三角形，设三点的坐标分别为A（2，3），B（-1，-4），C（1，-1），根据韦达定理可得：
d(AB)² + d(BC)² =d(AC)²
即求出d(AB)² + d(BC)² 与d(AC)²的值，如果相等，证明该三角形
是等腰的。
3. 抛物线：
抛物线是第二次多项式函数的一类，表达式为：y=ax²+bx+c，其中a、b、c分别为常数，x为变量。
抛物线的性质：当a>0时，抛物线是一条开
口向上的“U”形线，当a<0时，抛物线是一条开口向下的“∩”形线。
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第2讲判别式及其应用当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。
——柯普宁知识方法扫描在一元二次方程ax2+bx+c=0中，△=b2-4ac称为根的判别式。
当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根。
我们利用判别式主要解决以下两个方面的问题：一是根据方程或题目所给的条件，确定方程根的性质；二是根据给定的方程的条件，确定字母的取值或取值范围。
此外，要注意判别式在以下几个方面的应用：①在解答关于整系数的一元二次方程方程有整数根一类问题时，要注意它的判别式应该为完全平方数；②当出现了形如一个平方式与两个代数式的积之差形式的问题时，可以考虑利用这种结构构造一个一元二次方程，再用一元二次方程的理论去解答问题；③在一些求某个字母（参数）的取值范围的问题中，常可先利用根的定义或根与系数的关系构造二次方程，再用判别式求出其中参数的范围。
经典例题解析例1（1987年全国初中数学联赛试题）当a、b为何值时，方程x2+2 (1+a)x+ (3a2+4ab+4b2+2)=0有实根？解因为方程有实数根，所以判别式△= 4[(1+a)2-(3a2+4ab+4b2+2)= 4( -1+2a-2a2-4ab-4b2)= -4[(1-2a+a2)+(a2+4ab+4b2)]= -4[(1-a)2+(a+2b)2] ≥0∵-4[(1-a)2+(a+2b)2] ≤0,∴-4[(1-a)2+(a+2b)2] =0.∴ 1-a=0, 且a+2b=0; 即a=1,b=.∴当a=1, b=时，方程有实数根。
例2 （1987年武汉，广州，福州，重庆，西安五市初中数学联赛试题）已知实数a，b，c，r，p满足pr＞1，pc-2b+ra=0，求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实数根．证明由已知得2b=pc+ra，所以△=(2b)2-4ac=(pc+ra)2-4ac=p2c2+2pcra+r2a2-4ac=p2c2-2pcra+r2a2+4pcra-4ac=(pc-ra)2+4ac(pr-1)．由已知pr-1＞0，又(pc-ra)2≥0，所以当ac≥0时，△≥0；又当ac＜0时，也有△=(2b)2-4ac＞0．综上，总有△≥0，故原方程必有实数根．例3 (2001年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题)若a,b,c,d>0,证明:在方程①②③④中,至少有两个方程有两个不相等的实数根.证明设这四个方程的判别式分别为Δ1、Δ2、Δ3、Δ4。
则Δ1+Δ3=(2a+b-2)+ (2c+d-2)= (a+b-2) + (c+d-2)+a+b=()2+()2+a+b>0同理，Δ2+Δ4>0,故Δ1、Δ2、Δ3、Δ4中至少有两个大于零,即所得四个方程中至少有两个方程有不相等的实数根.例4 （1998年山东省初中数学竞赛试题）当x为何有理数时，代数式9x2+23x-2的值恰为两个连续正偶数的乘积？解设两连续正偶数为k、k+2，则有9x2+23x-2=k (k+2), 即9x2+23x-(2+k2+2k)=0由于x是有理数，所以判别式为完全平方，即：△=232+4×9(k2+2k-1+1)=565+[6(k+1)]2令△=p2 (p≥0)，有p2-[6(k+1)]2=565=113×5=565×1,∴[p+6(k+1)][p-6(k+1)]=113×5=565×1.∵p≥0，k≥0, 即得：，解之，k=46，代入原方程解得：x=-17或x=。
或，解之，k=8，代入原方程解得：x=2或x=-总之，当x=-17，或x=，或x=2，或x=-时，9x2+23x-2恰为两正偶数8和100或者46和48的乘积例5 （1996年黄冈市初中数学竞赛试题）若实数a,b,c满足a+b+c=0,abc=2，c>0则（）。
(A) ab<0 (B) |a|+|b|≥2 (C) |a|+|b|≥4 (D) |a|+|b|≤1解由已知条件得 a+b=-c<0, ab=>0, 故a,b同为负数。
于是a,b是关于x 的一元二次方程 x2+cx+=0 的二根。
△=c2-4•≥0, 因c>0，故 c3-8≥0，c≥2. |a|+|b| = -a-b = c≥2. 故选（B）。
例6 （1993年全国初中数学联赛试题）当x变化时,分式的最小值是___________.解令 y==,因 x2+2x+2=(x+1)2+1>0, 去分母整理得(6-y)x2+(12-2y)x+10-2y=0显然y≠6, 将上面的等式看作是关于x的一元二次方程，因x为实数。
所以△=(12-2y)2-4(6-y) (10-2y) ≥0,即 (y-6)(y-4)≤0，于是 4≤y≤6。
当y=4,x=1时，所以当x=1时，分式有最小值4。
例7（2002年“我爱数学夏令营”数学竞赛试题）已知a、b、c是三个两两不同的奇质数，方程(b+c)x2+(a+1)x+225=0有两个相等的实数根。
(1)求a的最小值；(2)当a达到最小值时，解这个方程（1）判别式△= (a+1)2×5-4×225×(b+c). 依题意，判别式△=0，即(a+1)2=22×32×5×(b+c).故 5×(b+c)应为完全平方数，且为偶数，要使a为最小值，必有5×(b+c)=52×22。
因此，(a+1)2=24×32×52。
即a+1的最小值为60，从而a的最小值为59。
（2）当a=59时，b+c=20。
应取b=3, c=17，原方程为20x2+60. 解得x=例8 若a,b,c,x,y,z,均为实数，求证： (a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2证明若a=b=c=0, 不等式显然成立。
若a,b,c不全为0，构造一个关于t的一元二次方程：(a2+b2+c2)t2-2(ax+by+cz)t+(x2+y2+z2) = 0 （*）方程（*）的左边为 (at-x) 2+(bt-y) 2+(ct-z) 2，若(at-x)2，(bt-y)2，(ct-z)2三式中有一个不为0，则(at-x)2+(bt-y)2+ (ct-z) 2>0, 方程（*）无实根；若(at-x) 2=(bt-y) 2=(ct-z) 2=0，则 at-x= bt-y= ct-z。
此时有 t ===, 即只有一个数满足方程（*），方程有二相等的实数根。
于是△=4(ax+by+cz)2-4 (a2+b2+c2)(x2+y2+z2) ≤0，即 (a2+b2+c2)(x2+y2+z2) ≥(ax+by+cz)2。
同步训练一选择题1．（1998年江苏省初中数学竞赛试题）已知a，b，c是不全为0的三个实数，那么关于x的方程x2+(a+b+c)x+(a2+b2+c2)=0的根的情况是（）（A）有两个负根（B）有两个正根（C）有两个异号的实根（D）无实根2．（2002年四川省初中数学竞赛试题）关于x的两个方程x2+4mx+4m2+2m+3=0,x2+(2m+1)x+m2=0中至少有一个方程有实根，则m 的取值范围是（）（A）-<m<- （B）m≤-或m≥- （C）-<m< （D）m≤-或m≥3．（2004年山东省初中数学竞赛试题）若x0是一元二次方程ax2+bx+c==0(a≠0)的一个根，则判别式△=b2-4ac与平方式M=(2ax0+b)2的大小关系是( )A、△>MB、△=MC、△<MD、不能确定4．(2004年全国初中数学竞赛预选赛湖北赛区试题)已知a、b、c均为正数，方程ax2+bx+c=0有实根，则方程acx2+b2x+ac=0( )(A)有两个不相等的正根 (B)有一个正根，一个负根(C)不一定有实根 (D)有两个不相等的负根5．(2004年全国初中数学联合竞赛试题)已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根，则ab的取值范围为（）(A) (B) (C) (D)二填空题6．（1994年北京市初中数学竞赛题）已知二次方程(ab-2b)x2+2(b-a)x+2a-ab=0有两个相等的实数根，那么7．（1996年《学习报》初中数学竞赛试题）若二次方程组有惟一解，则k 的所有可能取值为。
8．（2001年全国初中数学竞赛试题）已知实数a、b满足a2+ab+b2=1, 且t=ab-a2-b2, 那么t的取值范围是。
9．(2004年太原市初中数学竞赛试题)已知k为整数，若关于x的二次方程kx2+(2k+3)x+1=0有有理根，则k的值是_______.10．(1998年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题)如果方程x4+6x3+9x2-3px2-9px+2p2=0有且只有一个实数满足，则p的值为三解答题11．(2002年湖北省初中数学竞赛试题)已知关于x的方程（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a=6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长。
12．（1997年山东省初中数学竞赛试题）设a,b,c为互不相等的非零实数，求证三个方程：ax2+2bx+c=0, bx2+2cx+a=0， cx2+2ax+b=0，不可能都有两个相等的实数根。
13．（1994年福州市初二数学竞赛试题）当m是什么整数时，关于x的方程x2-(m-1)x+m+1=0的两根都是整数？14．（1994年武汉市初中数学竞赛试题）设正整数a、b、c、d满足下列条件：a+b=71, cd=1155, ab+c+d=1660, 试求|a-b|的值15．（2000年“我爱数学”夏令营数学竞赛试题）已知m、n为整数，方程x2+ (n-2) 有两个不相等的实数根，方程x2- (n-6)有两个相等的实数根。
求n的最小值，并说明理由。
同步训练题参考答案1．D⊿=(a+b+c)2-4(a2+b2+c2)=-[ (a2+b2+c2)+(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]<02．B由x2+4mx+4m2+2m+3=0的判别式△1=(4m)2-4(4m2+2m+3) ≥0得m≤-；由x2+(2m+1)x+m2=0的判别式△2=(2m+1)2- 4m2≥0得m≥-。
3．B因x0是一元二次方程 ax2+bx+c==0(a≠0)的一个根，所以ax02+bx0+c==0 M=(2ax0+b)2=4 a2x02+4 abx0+b2=4a(ax02+bx0+c)+ b2-4ac=b2-4ac4．D因方程ax2+bx+c=0有实根，故△1=b2-4ac≥0, 又a、b、c均为正数，于是b2≥4ac>2ac, b2-2ac>0在方程acx2+b2x+ac=0中，△2=b4-4a2c2=( b2+2ac) ( b2-2ac) >0，故其有两个不相等的实数根。