浅谈判别式法的应用
二元二次方程判别式法
二元二次方程判别式法引言：二元二次方程是数学中常见的一类方程，其形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，且a≠0。
解二元二次方程的一个重要方法是判别式法，通过判别式可以判断方程的根的性质，从而解出方程。
一、判别式的定义二元二次方程的判别式Δ的定义如下：Δ = b^2 - 4ac其中，b、a、c分别为二元二次方程ax^2 + bx + c = 0的系数。
二、判别式的意义判别式Δ可以告诉我们方程的根的性质，具体如下：1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。
解释：当判别式大于零时，说明方程的根为实数，且两个根不相等。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。
解释：当判别式等于零时，说明方程的根为实数，且两个根相等。
3. 当Δ < 0时，方程无实根，有两个共轭复根。
解释：当判别式小于零时，说明方程的根为复数，且两个根是共轭复数。
三、判别式的应用通过判别式Δ，我们可以解决以下问题：1. 求二元二次方程的根。
根据判别式Δ的值，可以判断方程的根的性质，进而解出方程的根。
2. 判断二元二次方程的解的个数。
根据判别式Δ的正负值可以确定方程的解的个数，从而判断方程是否有解或有几个解。
3. 分类讨论二元二次方程的解的情况。
根据判别式Δ的值的不同，可以将方程的解分为不同情况进行讨论，找出方程的解的特点。
四、案例分析下面通过一个具体的案例来说明判别式法的应用：例题：求解二元二次方程x^2 - 3x + 2 = 0的根。
解答：根据方程的系数a、b、c，可以得到判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*1*2 = 9 - 8 = 1。
由于Δ > 0，说明方程有两个不相等的实根。
根据二次方程的求根公式x = (-b ± √Δ) / (2a)，可以计算出方程的两个根：x1 = (-(-3) + √1) / (2*1) = (3 + 1) / 2 = 4 / 2 = 2x2 = (-(-3) - √1) / (2*1) = (3 - 1) / 2 = 2 / 2 = 1所以，二元二次方程x^2 - 3x + 2 = 0的根为x1 = 2，x2 = 1。
微分方程解的判别式的六种常见应用
微分方程解的判别式的六种常见应用微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
在解微分方程时，我们经常会使用判别式来确定解的性质和特征。
下面介绍六种常见的应用。
1. 稳定性分析在某些情况下，我们希望知道微分方程解的稳定性，即解在长时间内的行为。
通过判别式可以确定解的类型，进而判断解的稳定性。
例如，当判别式为负时，解是稳定的，表示系统趋于一个平衡状态。
而当判别式为正时，解是不稳定的，表示系统会发生不断的震荡。
2. 相图分析相图是用来描述微分方程解的状态和演化的图形。
通过判别式，我们可以确定解的临界点和稳定性，从而绘制出相图。
相图对于分析系统的动态特性和行为非常有用，可以帮助我们理解解的状态随时间的演变。
3. 平衡点的计算在某些微分方程中，我们希望找到平衡点，即使系统处于平衡状态。
通过求解微分方程的判别式，我们可以计算出平衡点的值，从而得到系统平衡时的一些重要参数。
4. 解的存在性与唯一性微分方程的解可能存在多个或者唯一一个。
通过判别式的计算，我们可以判断解的存在性和唯一性。
如果判别式为零，解可能存在多个。
而如果判别式不为零，则可以确保解的唯一性，即只有一个解。
5. 边界条件的确定在应用微分方程解的时候，通常需要给出一些边界条件。
通过判别式可以确定某些参数或者条件的取值范围，从而满足给定的边界条件。
这对于求解实际问题并得到合理的解非常重要。
6. 系统的稳定性分析微分方程可以用来描述一些动力系统的行为。
通过计算微分方程的判别式，可以分析系统在不同初始条件下的稳定性。
这对于工程设计和控制系统的安全性分析非常重要。
综上所述，微分方程解的判别式在各个领域有着广泛的应用。
无论是稳定性分析、相图分析还是平衡点的计算，判别式都是非常有用的工具。
通过判别式，我们可以更好地理解微分方程解的性质和特征，从而应用于实际问题的解决中。
例析判别式在解题中的应用
例析判别式在解题中的应用
判别式是数学中的一种用于检验两个或多个概念的等式，它的结果随问题的变化而变化。
例如，如果试图判断某事件是否发生，可以使用判别式。
判别式在解题中有着广泛的应用，它不仅可以帮助确定问题的解答，而且可以帮助弄清事物之间关系的缘由。
在解题中，判别式可以为我们提供思考的方向，可以帮助我们判断该题的答案是怎样的条件、以及答案之间的关系。
判别式可以将一类复杂的问题转换为单一的条件，用以求解复杂模型，从而达到快速简洁地解答问题。
一般来说，在数学解题中，判别式可以用来求解多项式的根或比较两个多项式的大小。
例如，当判断两个多项式是否相等时，可以用判别式来计算它们的值，反之亦然。
另外，判别式也可以用于识别某一方面的特征，比如说识别直线斜率的正负性，它也可以在解决空间几何的问题时起到非常重要的作用，从而求出一个最优解答。
因此，判别式在解题中的应用广泛，它可以帮助我们将一类复杂的问题转化为单一条件，从而大大简化求解过程，又或者辅助我们了解不同问题之间的联系，解决问题。
判别式法求值域的适用范围
判别式法求值域的适用范围1. 引言在数学中，判别式法是一种通过求解方程的判别式来确定方程的解集或函数的值域的方法。
它在代数、几何和数论等领域有着广泛的应用。
本文将深入探讨判别式法在求值域问题中的适用范围，并介绍其原理、应用案例以及优缺点。
2. 判别式法的原理判别式法是通过计算方程或函数的判别式，从而确定解集或值域。
对于一元二次方程ax2+bx+c=0，其判别式为Δ=b2−4ac。
根据判别式Δ的正负与零点个数之间的关系，可以得到方程不同类型解集的信息。
对于一元二次函数y=ax2+bx+c，如果a>0，则该函数开口向上；如果a<0，则该函数开口向下。
通过计算判别式Δ=b2−4ac的正负与零点个数之间的关系，可以确定该函数的值域。
3. 判别式法在一元二次方程求值域中的应用3.1 求解一元二次方程的解集通过计算一元二次方程的判别式，可以确定方程的解集。
当判别式Δ>0时，方程有两个不相等的实数解；当Δ=0时，方程有两个相等的实数解；当Δ<0时，方程没有实数解。
例如，对于方程x2−4x+3=0，计算其判别式Δ=(−4)2−4×1×3=4>0，可知该方程有两个不相等的实数解。
3.2 确定一元二次函数的值域对于一元二次函数y=ax2+bx+c，通过计算判别式Δ=b2−4ac的正负与零点个数之间的关系，可以确定函数的值域。
当a>0且Δ≤0时，函数y=ax2+bx+c的值域为[c,+∞)。
例如，对于函数y=x2−4x+3，由于a=1>0且Δ=(−4)2−4×1×3=4>0，所以该函数的值域为[c,+∞)。
当a<0且Δ≤0时，函数y=ax2+bx+c的值域为(c,+∞)。
例如，对于函数y=−x2+4x−3，由于a=−1<0且Δ=(−4)2−4×(−1)×(−3)=4>0，所以该函数的值域为(c,+∞)。
判别式的妙用
判别式的妙用
一元二次方程的根的判别式（△）是数学中的一个重要基础知识，它不仅能用于直接判断一元二次方程根的情况，而且在其它方面，如求函数的值域、取值范围、不等式的证明等方面也有着重要的应用，熟练掌握这些应用，可提高解题能力和知识的综合应用能力。
下面以几个实例来说明如何应用判别式来解题。
一、求函数的值域
此时方程的判别式△=-8＜0，故上述关于x的一元二次方程无实根，所以符合题设条件的直线m不存在。
评注：一般在解有关直线与二次曲线相交问题时，往往运用韦达定理采用“设而不求”的方法，这样做的好处是避免了复杂的运算，但由于韦达定理在方程有解的前提下才存在，所以在运用韦达定理求出参数的值后，必须检验判别式的值是否为正。
本题若不将k的值代入检验，就直接得出结论，显然就错了，但若在得出方程后先去求k的取值范围，将是一项复杂的过程，此中宜用求出k值后代入检验的方法，减少计算量。
三角形面积的判别式的六种常见应用
三角形面积的判别式的六种常见应用三角形面积的判别式是解决与三角形面积相关问题的重要工具。
下面介绍了六种常见的应用示例。
1. 判断三角形类型通过计算三角形面积的判别式可以确定三角形的类型。
当判别式为正时，说明三角形是一个直角三角形；当判别式为负时，说明三角形是一个钝角三角形；当判别式为零时，说明三角形是一个等腰三角形。
2. 计算高利用三角形面积的判别式，我们可以计算三角形的高。
假设已知三角形的底边长度为b，顶点到底边的距离为h，那么三角形的面积可以表示为0.5 * b * h。
将判别式化简可以得到h = 2 * A / b，其中A是三角形的面积。
3. 计算边长三角形面积的判别式还可以用于计算三角形的边长。
假设已知三角形的底边长度为b，高为h，那么三角形的面积可以表示为0.5 * b * h。
将判别式化简可以得到b = 2 * A / h，其中A是三角形的面积。
4. 判断三角形是否共线如果三角形的顶点坐标已知，可以利用三角形面积的判别式判断三个顶点是否共线。
如果判别式的值为零，则说明三个顶点共线；如果判别式的值不为零，则说明三个顶点不共线。
5. 判断四边形类型通过三角形面积的判别式，我们还可以判断四边形的类型。
假设已知四边形的四个顶点坐标为A、B、C、D，判断四边形ABCD是否是一个平行四边形的方法是计算三角形ABC和三角形BCD的面积判别式。
如果两个判别式的值相等且不为零，则说明四边形ABCD是一个平行四边形。
6. 求解三角形的面积最常见的应用就是利用三角形面积的判别式来求解三角形的面积。
假设已知三角形的三个顶点坐标为A、B、C，我们可以计算三角形ABC的面积判别式。
根据判别式的值，可以得到三角形ABC的面积。
通过这些常见的应用，我们可以更好地利用三角形面积的判别式解决各种与三角形相关的问题。
初中数学——判别式的应用
判别式的应用在解一元二次方程有关问题时，需准确判断根的特性：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等。
在初中数学阶段的求解过程中，在以下方面判别式△有着广泛的应用：1、判定方程实根的个数、根的特性；2、建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；3、证明与方程相关的代数问题；4、运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。
【典型例题】【例1】已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是。
思路点拨：利用判别式建立关于k 的不等式组，注意k 21-、1+k 的隐含制约。
运用判别式解题，需要注意的是：(1)解含参数的二次方程，必须注意二次项系数不为0的隐含制约；(2)在解涉及多个二次方程的问题时，需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下，综合运用方程、不等式的知识。
【例2】已知三个关于y 的方程：02=+-a y y ，012)1(2=++-y y a 和012)2(2=-+-y y a ，若其中至少有两个方程有实根，则实数a 的取值范围是()A、2≤a B、41≤a 或21≤≤x C、1≥a D、141≤≤a 思路点拨：“至少有两个方程有实根”有多种情形，从分类讨论人手，解关于a 的不等式组，综合判断选择。
【例3】已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x ，(1)求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形△ABC 的一边长a ＝1，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长。
(湖北省荆门市中考题)思路点拨：对于(1)只需证明△≥0；对于(2)由于未指明底与腰，须分c b =或b 、c 中有一个与c 相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出b 、c 的值。
注：（1）涉及等腰三角形的考题，需要分类求解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个这类题均有多解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍。
浅析判别式在解题中的应用
浅析判别式在解题中的应用毕业论文题目浅析判别式在解题中的应用学院数学科学学院专业数学与应用数学班级数学1102学生张义学号20110921216指导教师蒋琴会二〇一五年五月二十五日摘要判别式法是一种技巧层次的解题方法，是把题设中的条件转化为一个方程，或者能通过条件构造出合适的函数，最终运用判别式来求解的思想方法. 本文讨论了一元二次方程的判别式在一元二次方程根的情况、含参数的一元二次方程、二次函数、二次曲线及证明不等式等方面的应用；研究了三角函数判别法在代数、方程、函数以及在解析几何中的应用；介绍了一元三次方程判别式的一些应用. 利用判别式可以将问题简单化，在方程、函数等有着广泛的应用. 通过应用判别式的思想把方程、函数、不等式联系起来，其核心是能否构造出合适的方程或函数. 本文主要的研究方法是通过举例子来阐述，从而归纳总结出判别式的解题思路和一般步骤.关键词：判别式；方程；函数；应用- I- IIABSTRACTDiscriminant is a skillful level of problem-solving approach, is to set the conditions in question transformed into an equation, or can be constructed condition suitable function, eventually using discriminant to solve the problem. We discuss a quadratic discriminant of a quadratic equation root in the case, the application contains the parameters of a quadratic equation, quadratic function, quadratic and prove inequality etc. I study the trigonometric discrimination law in algebra, equations, functions, and applications in analytic geometry, which introduced some applications of a cubic equation discriminant. These can simplify complex issues with discriminant equation, where the function was widely used in. By applying the idea of the discriminant equations, functions, inequalities linked to its core is the ability to construct a suitable equation or function. The main method we use is to illustrate some examples to the points, which summarize the discriminant problem-solving ideas and general procedures.Key words：Discriminant；Equation；Function；Application-目录摘要 (I)ABSTRACT (II)1前言 (1)1.1研究背景 (1)1.2研究的意义和目的 (1)1.3 主要的研究方法 (1)2 一元二次方程的判别式 (2)2.1 一元二次方程判别式定理 (2)2.2 一元二次方程判别式的应用 (2)2.2.1 在一元二次方程中的应用 (2)2.2.2 在二次函数中的应用 (3)2.2.3 在求极值中的应用 (5)2.2.4 在二次曲线中的应用 (7)2.2.5 在二次不等式的应用 (8)-3 一元三次方程的判别式 (13)3.1 一元三次方程判别式定理 (13)3.2 一元三次方程判别式的应用 (18)4 三角判别式 (20)4.1 三角判别式定理 (20)4.2 三角判别式的应用 (20)4.2.1三角判别式在代数中的应用 (20)4.2.2三角判别式在方程中的应用 (21)4.2.3三角判别式在函数中的应用 (21)4.2.4三角判别式在解析几何中的应用 (21)结论 (23)参考文献 (24)致谢 (25)-- 11 前言1.1 研究背景一元二次方程的求根公式是中国最早发现的,在古代,我国数学家赵爽对古代著名的《周髀算经》注释时,写到“其信弦为广、袤合、令勾、股见者自乘为其实.”董国玉，卢静解释这句话的意思是“阐述了二次方程的求解过程”，可见参考文献[1]. 注释时赵爽研究方程时用到的求根公式和现在基本类似. 在古埃及的草纸文书中涉及了关于二次方程的简单解法，所以判别式很自然广泛的应用在解一元二次方程中.对于一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a 根的判别式在中学数学用途广泛，判别式可直接判断出方程根的情况，若我们知道了方程根的情况,就可以得到系数之间的关系. 当涉及到系数与根之间的问题，或者可以转换成系数与根的问题，我们都可以使用判别式的方法来思考，把这种利用判别式来解数学中的问题的方法叫做“判别式法”.1.2 研究的意义和目的判别式是数学解题中的一种常用方法，判别式一般用于判断一个方程根的情况，而且可以根据方程的根，从而确定方程中一些参数的取值范围和联系，可以通过方程作为桥梁，来解决有关一些函数的问题或解决不等式一些问题，进而有效的把方程、函数、不等式联系起来，从而把复杂困难的问题变的有规律可寻，提高了对问题的理解题能力, 以及对于具体问题的分析能力.1.3 主要的研究的方法（1）例题讲解法：通过例题更好的揭示判别式的规律，根据题目中的条件或结论的不同可以从多个方向，多层次的去思考问题，从而更好地理解判别式的规律.（2）构造函数法：杨辉, 马菊意在文[2]中研究了判别式时介绍了通过对命题的条件、结论特点分析，能够合理构想、组合，以条件重新组合来构造函数，在应用函数解释条件与结论的联系，最终得到所需的结果.- 22 一元二次方程判别式的应用2.1 一元二次方程判别式定理一元二次方程判别式定理:在实数范围内,一元二次方程02=++c bx ax ）（0≠a 判别式记为，ac b 42-=∆ (1) 当0>∆时,方程有2个不相等实数根； (2) 当0=∆时,方程有2个相等实数根；(3) 当0<∆时,方程无实根,但有2个共轭复数根.注：当0<∆时,荣延俊在文[3]中探究了di c +与di c -）（0≠d 是一对共轭复数,若其都是方程的根,则我们称它们为共轭复数根.2.2 一元二次方程判别式的应用2.2.1 在一元二次方程中的应用温双琴在研究一元二次方程根的情况时, 介绍了有关一元二次方程问题或转化为一个一元二次方程的问题, 应用判别式可以解答所需的问题,可见参考文献[4].(1) 判断根的情况.例1 不解方程，判断下列一元二次方程有无实数根. (1) 010342=+-x x . (2) .04252=++x x 解 (1) 因为，10,34,1=-==c b a，）（08101434422>=⨯⨯--=-=∆ac b 所以方程有个不相等的实数根. (2) 因为，4,2,5===c b a，0784542422<-=⨯⨯-=-=∆ac b- 3所以方程无实根, 但有2个共轭复数根. (2) 确定方程中的参数的关系.例2 已知一元二次方程042=++bx ax 有两个相等的实数根, 求、a b 关系. 解 因为042=++bx ax是一个一元二次方程, 所以.0≠a又因为此方程有实数根, 所以，0=∆即为,0442=⨯-a b162b a =, 综上所述0≠a 且.162b a =(3) 判断参数的取值范围.例3 已知关于x 的方程0142=++x ax 有实数根, 求a 的取值范围.分析: 对于一个含有参数的方程,先判断它是一个什么样的方程,在讨论二次项系数是否为零,肖云瑞在文[5]中写到二次项系数是否为零应分情况讨论,然后在根据判别式来求出参数的取值.解 当，0≠a 一元二次方程有实数根,则，0416≥-=∆a由上式得；4≤a当0=a 时方程显然有实数根, 综上所述a 的取值范围是.4≤a 2.2.2 在二次函数中的应用形如02=++c bx ax (0≠a )是一元二次方程的形式,而形式为c bx ax y ++=2 (，a ，b c 为常数,0≠a )是二次函数的一般式.它们在形式上几乎相同,差别只有一元二次方程的表达式等于零,而二次函数的表达式等于y ,这种形式上的类似使得它- 4们之间的关系非常密切.主要是因为当二次函数中的变量y 取零时,二次函数就变成一元二次方程.可以看出,许多一元二次方程中的性质应用在二次函数中. (1) 求二次函数解析式.解 设所求二次函数)(x f 解析式为)0(2)21()(2>--=a x a x f ,化简得，)0(48)(2>-+-=a a ax ax x f 不妨设所求函数与x 轴的两个交点的横坐标为,1x ,2x 则，1x 2x 是所求函数等于零的两个不相等的实数根， 由韦达定理得121=+x x ,，a a x x 4821-=于是由题意得21221214)(x x x x x x -+=- 281=--=aa ,由此解得4=a ,即所求二次函数的解析式为.244)(2--=x x x f注：忽培明在文[6]中介绍了韦达定理及其应用.韦达定理 对于一个一元二次方程02=++c bx ax (0≠a )有,ab x x -=+21，a cx x =21.(2) 函数交点的问题.研究函数交点问题时,其实可转化为方程是否有几个根,在文章[7]介绍了抛物线- 5与直线交点问题.例5 当m 为何值时,抛物线22)12(m x m x y +-+=与x 轴有两个交点.解 由题意得1414)12(22+-=⨯⨯--=∆m m m ,因为抛物线与x 轴有两个交点,所以0>∆,即014>+-m ,解得41<m , 所以当41<m 时抛物线22)12(m x m x y +-+=与x 轴有两个交点. 2.2.3 在求极值的应用在数学分析书中介绍了极值定理[8]：极值定理 设f 在点0x 连续，在某邻域0U ）（δ;0x 上可导.)(i 若当）（00,x x x δ-∈时0≤'）（x f ,当）（δ+∈00,x x x 时0≥'）（x f ,则f 在点0x 取得极小值,可以用min y 表示.)(ii 若当）（00,x x x δ-∈时0≥'）（x f ,当）（δ+∈00,x x x 时0≤'）（x f ,则f 在点0x 取得极大值,可以用m ax y 表示.对于二次函数c bx ax y ++=2）（0≠a ,当ab x 2-=时,y 有极值.我们把c bx ax y ++=2可以写成一个关于x 的一元二次方程的形式，02=-++y c bx ax 因为x 是实数,而有实数根的充要条件是.0≥∆ (1) 有理整函数极值.例6 已知函数)(x f y =满足方程,0122=-++x y yx求)(x f y =的极值.解 原方程可化为- 6，0)1()1(2=++-y x y 因为x 是实数,则0)1)(1(4≥+--=∆y y ,解得11≤≤-y ，显然可以看出,当1=y 时,方程变为0)11()11(2=++-x ,上式显然不成立,所以1=y 不是)(x f y =的极值， 于是)(x f y =只有极小值1min -=y ,无极大值. (2) 求有理分函数的极值.例7 求函数形如c bx ax x ax y ++++=22γβ的极值,贺光明在文[9]中归纳了一般步骤. )(i 把显函数cbx ax x ax y ++++=22γβ的形式化为隐函数的形式； )(ii 由于x 是实数,则用判别式可有0≥∆； )(iii 将y 值代入方程,求出对应的极值.目的：构造相关函数,转化成判别式的知识,进而解决问题. (3) 求多元函数的极值.例8 当)86lg(2++-=m mx mx y 的值域为R ,求m 的取值范围.解 要使上述函数的值域为R ,必须有862++-m mx mx 能取到大于零的一切值,因此⎩⎨⎧≥∆>.0,0m 所以解得m 的取值范围为1>m .- 7例9 令)0()22()(),(22≠++-=y yx y x y x F ,求),(y x F 的最小值是多少.分析 这是一个多元函数,在《多元函数极值的判别方》[10]中介绍了把原函数整理成一个二次函数,把一个未知数看成参数,应用判别式来确定函数的取值.解 令)0()22()(22≠++-=y yx y x T ,把上式化为04)22(45222=-++-+T yy x y y x , 则0)4(5)22(222≥-+--=∆T yy y y ,整理得，1688816522=+≥++≥yy T 当且仅当42=y 时,得，516min =T即),(y x F 的最小值是516.2.2.4 在二次曲线中的应用 (1) 二次曲线之间的位置关系.李永根老师在文[11]中介绍了二次曲线的定义和性质. 二次曲线 在平面上,由二元二次方程022233231322212211=+++++a y a x a y a xy a x a (其中221211,,a a a 不全为零)所表示的曲线,叫做二次曲线.例 10 已知抛物线与椭圆的方程分别为m mx y 522+=,124322=+y x .当m 为何实数时,抛物线与圆相切,相交,相离.- 8解 联立抛物线方程和椭圆方程,整理得0)35(4832=-++m mx x ,其判别式为)35(48642--=∆m m ,当0=∆时,抛物线与椭圆相切,即43=m 或3=m ；当0>∆时,抛物线与椭圆相交,即3>m 或43<m ； 当0<∆时,抛物线与椭圆相离,即33<<m .- 9研究二次不等式在文[12]介绍了讨论二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 0>y 或0<y 的自变量x 的取值范围,其本质当于回归到二次函数中研究. (1) 不等式的证明.例12 已知：x ,y ,z 是实数,且满足等式0782=+--x yz x ,06622=+-++x yz z y ,求证：91≤≤x . 证 由题意得782+-=x x yz ,662-+=+x yz z y ）（，上式整理得，（222)1(6678)-=-++-=+x x x x z y即为，2)1(-±=+x z y因为,t 和z 是方程0)78()1(22=+-+-x x t x t的两个根,由于t 是实数，所以，0)78(4)1(22≥+---=∆x x x解得91≤≤x .(2) 不等式的有关极值.例13 已知1x 和2x 是方程0)53()2(22=+++--k k x k x (k 为实数)的两个实根,求证2221x x +的最大值为19.解 由韦达定理得，19)5(22221++-=+k x x 由此得到5=k 时,最大值为19. (3) 三角不等式的证明.- 10例 14 已知：10≤≤θ,求证)cos(arcsin )arcsin(cos θθ>.证 因为10≤≤θ,所以，02)]2(arcsin[sin )arcsin(cos >-=-=θπθπθ又因为，01)(arcsin sin 1)cos(arcsin 22≥-=-=θθθ下面证明，212θθπ->- 为此构造一个关于θ的二次函数，442)1()2()(22222-+-=---=ππθθθθπθf这是一个关于θ的二次函数,由于二次项系数大于零,，084424-222<+-=-⋅⋅=∆πππ所以对所有θ,恒有0)(>θf ,即，（222)1()2θθπ->- 再由，01,022>->-θθπ得，212θθπ->- 即)cos(arcsin )arcsin(cos θθ>.陈英飞在文[13]中介绍了不等式通过构造函数,应用函数性质来解决不等式证明.- 11(4) 柯西-施瓦茨不等式.柯西-施瓦茨不等式定理若n a a a ,...,21和n b b b ,...,21是任意实数,则有)(121221∑∑∑===≤nk k nk k nk k k b a b a ）（）（，此外,如果某个0≠i a ,则上式中的等号当且仅当存在一个实数x 使得对于每一个n k ,,2,1 =都有0=+k k b x a 成立.分析 在数学分析中有柯西-施瓦茨不等式的证明[14],其实也可以用判别式的方法证明.证 当n a a a ,...,21全为零时,命题显然成立.当n a a a ,...,21不全为零时,令，∑=-=ni i i b x a y 12)(即，∑∑∑===+-=ni i ni i i ni i b x b a x a y 121122)2()(这是关于x 的一元二次函数. 由于012>∑=ni i a ,0≥y 恒成立,所以判别式0≤∆,即，0)(4)2(121221≤⋅+∑∑∑===ni i ni i ni i i b a b a 化简得，）（）（)(121221∑∑∑===≤ni i n i i n i i i b a b a等号是存在x 使得0=+i i b x a ),,2,1(n i =时成立. 例15 已知实数a ,b ,c ,d ,e ,满足等式8=++++e d c b a ,，1622222=++++e d c b a- 12求证5160≤≤e . 分析 这题用一般的证法比较困难,但是利用了柯西-施瓦茨不等式来证明较为方便.证 由于221111）（）（⋅+⋅+⋅+⋅=+++d c b a d c b a)1111(22222222++++++≤）（d c b a）（22224d c b a +++=,因为e d c b a -=+++8,2222216e d c b a -=+++,所以)16(4822e e -≤-）（.解得.5160≤≤e可以看出,一元二次方程判别式用途广泛,若能在解题时准确的应用,会给人简单明快的感觉,在解题过要注意使用条件和本质,有时应分情况讨论，要避免误用、漏用.通过对判别式的性质和特点,有效地构造一个一元二次方程或二次函数,使得问题简单化,体现了数学知识的交叉与迁移.- 133 一元三次方程判别式的应用3.1 一元三次方程判别式的定理文[14]中介绍了可以把一个标准的一元三次方程化为下面式子,),(,03R q p q px x ∈=++其判别式记为，）（32)3(2p q D +=(1) 当0>D ,方程有一个实数根和一对共轭虚数根； (2) 当0=D ,方程有三个实数根，且其中两个相等； (3) 当0<D ,方程有三个不相等的实数根. 首先，我们都知道方程013=-x 的三个根可以写为- 14- 15- 16- 17- 18则, (1) 当0>∆,方程有一个实数根,一对共轭虚数根； (2) 当0=∆,方程有三个实数根,且其中两个相等； (3) 当0<∆,方程有三个不相等的实数根. 3.2 一元三次方程判别式应用例 16 判断一元三次方程0463=+-x x 根的虚实, 并解方程.解 因为6-=p ,4=q ,，）（04276442743232<-=-+=+=∆p q 即方程有三个实数根- 19，i p q q y 222742323+-=++-= 由于，）（i i 2213+-=+ 则，i y +=11 即，1=m ，1=n 所以，i z -=11 于是方程有三个实根为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=--=--===.313,31322321n m x n m x m x ，例17 已知函数13)(3--=ax x x f ,0≠a .若)(x f 在1-=x 处能取得极值,直线m y =与)(x f y =的图像有三个不同的交点,试求m 的取值范围. 解 因为)(x f 在1-=x 处取得极值,所以033)1(=-='a f ,得1=a ,即题目中的函数为13)(3--=x x x f ,由于直线m y =与)(x f y =的图像有三个不同的交点， 构造函数，m x x x g ---=13)(3 转化成关于)(x g 的图像与x 轴有三个不同的交点的问题, 即方程0133=---m x x 有三个不同的实数根, 由判别式定理可知- 20一元三次判别式的应用,这与前面的方法有相似的地方,都是用判断方程根的情况,来构造函数解决问题.一元三次方程式在复数域比较明显，更加全面理解一元三次方程,更好的研究其性质.4 三角函数判别式的应用4.1 三角函数判别式的定理三角函数判别式的定理在文[15]介绍了有关三角方程成立的条件.在实数范围内,三角方程0c cos sin =++x b x a (b a ,不同时为零)有解的条件是122≤+ba c ,其判别式为，222c b a -+=∆- 21(1) 当0>∆,方程有两个不同的实数根； (2) 当0=∆,方程有一个实数根； (3) 当0<∆,方程无实数根.k xy=, 则02cos 5sin 5=--k k θθ,由方程有解,得0)2()5()5(222≥---+=∆k k ,解得55≤≤-k ,即x y 的最大值为5.4.2.2三角判别式在方程中的应用例19 设关于x 的方程k xx x x =++++cos 3sin 21cos sin 23恒有实数根, 求实数k 的取值范围.解 原方程可化为0)3(sin )22(cos )13(=-+-+-k x k x k ,由题意知上式方程恒有解,则0)3()13()22(222≥---+-=∆k k k ,解得0≥k 或13-≤k .- 224.2.3三角判别式在函数中的应用三角函数判别式在函数中用途广泛,杨丽迈,蔡刚介绍了把一般形式的三角函数转化为0cos sin =++c x b x a 形式进行求解,可见参考文献[16]. 例20 求函数x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++=的最大值.解 因为题目中的函数可化为22cos 2sin ++=x x y ,上式转化为022cos 2sin =-++）（y x x ,由题意知x 的方程有解,则0)2(11222≥--+=∆y ,解得2222+≤≤-y ,所以22max +=y .4.2.4三角判别式在解析几何中的应用例21 设圆的方程满足：(1)截y 轴所得弦长为2,(2)被x 轴分成两段圆弧,其弧长之比为1:3.在满足条件的所有圆中,求圆心到直线l ：02=-y x 的距离最小的圆的方程.解 设所求圆的方程为222)()(r b y a x =-+-,由题意得122+=a r , 222b r =,联立消去r 得1222=-a b ,故可令- 23θsec 2=b ,θtan =a ,又设圆心),(b a 到直线l 的距离为d ,则θθθθcos 52sin 5sec 2tan 52-=-=-=b a d令，θθcos 52sin -=t上式可化为02cos 5sin =--θθt ,因为方程有解,则0)2()5(1222≥---+=∆t ,解得5555≤≤-t ,故d 取55,从而所求圆的方程为()21)1(22=-+-y x 或()21)1(22=+++y x .三角函数判别式的应用与前二者应用类似, 都是通过构造合适方程或者函数，应用判别式解决实际问题，三角函数判别式的运用更加广泛, 可以结合三角函数的性质和特点 ,进行数形结合, 有助于提高我们灵活处理问题和解决问题的能力. .结 论本文主要介绍了一元二次方程判别式法、一元三次方程判别式法、三角函数判别式法及其应用. 通过了例题来阐述判别式法在方程中的应用，利用了判别式法在解题时起到由复杂到简单、由难到易的效果，其中点明所注意的事项、步骤和使用条件.首先，一元二次方程判别式是中学数学中的一个重要知识之一，它不仅能够判断出一元二次方程根的情况，而且在函数值域中、取值范围中、不等式证明中，有着重要的应用. 还有判别式对于判断解析几何中各曲线的位置关系、求极值的应用也特别重要，只要熟练掌握这些方面的应用，就可以提高解题能力和对知识的综合应用能力.其次，一元三次判别式的应用，这与一元二次方程判别式的应用有相似的地方，都是根据方程根的情况，合理有效构造函数，从而解决问题. 一元三次方程是在复数域上研究的，这样更加全面理解一元三次方程，更好的研究它的性质.最后，三角函数判别式的运用与前二者应用类似, 都是通过构造合适方程或者函数，应用判别式解决实际问题，三角函数判别式的运用更加广泛, 可以结合三角函数的性质和特点 ,进行数形结合, 有助于提高我们灵活处理问题和解决问题的能力，由此在遇到这种问题时应特别注意、观察和思考.本文主要是通过例题列举、构造函数的方法来探讨判别式的应用，可以从所举的例子可以看到，对于一些方程根问题，一方面要防止漏用或误用“判别式”，另一方面要灵活应用，只要是真正的理解和熟悉“判别式”的性质，才可以正确、合理有效解决问题. 从题目所给的条件，恰当的构造函数，在应用函数的知识解题，在于方程、函数、不等式之间的相互转化，体现了数学知识的相互交叉，由复杂困难转化为简单明了，使得判别式法应用灵活自如.本文探讨了一元二次方程判别式在方程、函数、几何等方面的一些应用，一元三次判别式的应用，三角函数判别式的应用. 在解题过程中，进行了分析说明，指出了在应用判别式解题时应该注意的一些问题. 再者能否合理有效构造适合的函数是本文的核心所在.本文对于判别式的应用还不够系统、全面，而且本文中出现判别式的方法仅仅是一小部分，并不能代表所有的判别式在数学中的的应用，高次的判别式是我们将来研究的方向.参考文献[1] 董国玉, 卢静. 赵爽与《周髀算经》[J]. 沈阳: 辽宁省档案学会, 2014, 5:128-129- 24[2] 杨辉, 马菊意. 构造函数法在数学解题中的应用[J]. 安阳: 安阳大学学报(综合版), 2002, 6:99- 100[3] 荣延俊. 共轭复数的一个充要条件[J]. 监利:监利县龚场中学学报, 1994, 1:12-13[4] 温双琴. 例谈一元二次方程根与系数的关系[J]. 合肥: 初中生必读, 2013, 11:26-28[5] 肖云瑞. 关于判别式法的讨论[J]. 宜宾: 宜宾师专学报, 1994, 2:38-41[6] 忽培明. 浅谈一元二次方程根的判别式与韦达定理的结合应用[J]. 石河子:课程教育研究, 2014, 4:134[7]Hinden. The Additive Persistence of a Number[J].Journal of Recreational Mathematics, 1974, 7:134- 135.[8] 庞学城, 吴畏, 柴俊等. 数学分析第四版(上册)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2010, 7:145-151 [9] 贺光明. 判别式法在求函数值域的应用[J] . 昭阳: 昭阳师范高等专科学校学报, 1999, 2:84-86[10] 陈玉会, 蒋国明. 多元函数极值的判别方法[J] . 淮安: 淮阴工学院学报, 2006, 6:4-6[11] 李永根. 两条二次曲线公共点个数问题的在探- 25讨[J] . 苏州: 中学数学月刊, 1999, 11:40-41 [12] T. Yoshino, The Best Possible Range of a Modified Heinz Inequality[J] Anal: International Journal of Function, 2011, 3:1-7[13] 陈英飞. 构造二次方程证明不等式[J]. 舟山: 数理化解题研究, 2011, 7:7-8[14] 天津市数学会组织编写. 怎么用根的判别式解题[M]. 天津: 天津科技出版社, 1982,10:143- 149[15] 杨丽迈, 蔡刚. 三角函数求值问题的探究(关于0cbxa解的判别式及其应用) [J] . 成都: 成+xcossin=+都教育学院学报, 2000, 9:51-52[16] 王洪江. 三角方程0cba解的判别式及其x++xcossin=应用[J]. 北京: 数学教学研究, 1992,3:37-38- 26致谢大学四年学习生涯,让我有了质的蜕变，专业技能、个人处世能力、人生目标和信仰加强提高和具体化,但每一次的突破自我成长都是心酸的,因此我要感谢在我成长过程中支持、关心、帮助过我的人,也要感谢培育我的济南大学.感谢我的毕业论文指导老师蒋琴会老师,在论文的写作过程中,给予我悉心的指导,老师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远．蒋老师对我的论文要求严格、细致入微，不厌其烦的给我讲解、修改、补充、订正，使我的论文得以按时保质完成，在此向蒋老师致以最诚挚的感谢和敬意！要感谢我的同学和朋友以及家人,在我困难的时候,是他们的理解关心和支持让我渡过一次次难关,没有他们的帮助,我不可能读完大学,对我给他们带来的麻烦表示深深的歉意和真诚的感谢.论文的顺利完成，离不开各位院系领导、老师、同学和朋友的关心与帮助. 最后，我要向在百忙之中抽时间对本文进行审阅、评议、和参加本人论文答辩的各位老师表示感谢！祝愿老师们：身体健康，工作顺利！祝愿同学们：前途似锦，心想事成！- 27。
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｝Ｙ’～
定系数滏
宣鲁蚴。用
÷，１）时直线和∞线
河北ｉ颂ｉ周日
Ｒ有１交点
彰§萎：翥嚣蚩嚣箸磊篷嚣：：
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音有２个或２十“上字母的不等式．若能整理成 一边为ｏ－而另一边为某个字４的：状式．就日考虑 用判￥ｑ式法 是充分条件
要确定变龋问的函数关系．设出某蚌来知系数． 然后根据所给＊件来确定这些未知《数的方法叫待 定《数陆其理论依据是多项式恒等．也就是利用７ 多项式Ｊｆｚ）＝ｒ（ｚ）的克要条件；对ｆ一个任意的Ⅱ 值．都有，（“１ｉＰ（ａ）．或者２十多项式各同类项的系 数对应相等 使用特定系数法就是把肄有某种确定形式的敷 学问题．通过…人一些持定的ｉ数．转化为方程组来 解决要判断 个问题是否用待定系数陪求解．主要 是看所求解的数学目艇是否具有某种确定的数学表 达式．如果具有，就可“用待定系数法求解例如分解 目式．拆升分式、数列求和、求日敫式、求复数、解析几 何中求曲线方程等，这些Ｍ题都具有确定的数学衷然 形式，所“郡可“用待定系数法求解 使用待定§数法解题的基本步骤是； 第１步，确定所求问题音有持定系数的解析式； 第２步，根据恒等的条件．列出一组含特定系教 的方程｝ 第３步．解方程组或者消去待定系数．从而使月 题得到解决 如何列ｍ一组吉待定系数的方程．主要从以下几 方面着手分析 。利用对应系数相等列方程ｌ ＠由恒等的概念用散值代＾法列方程｛ ＠利用定义车身的属性列方程； ＠利用几何条件列方程 Ｆ面举例说明
最短
４…当△＞０时．方程
有２个不相等的寓教根；当』一ｕ时疗程有２个相等 的蜜数根ｊ△≤０时．Ａ程没有实数根所以有关ｔ 兀二状方程或能转化为元二次方程∞魑月．可“考 虑用判别式法
勘§篙嚣瑟芸篡：凳襄ｉ毒≈盖：
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须检验Ｊ…一２１ ２扛是否成立
—■■■■■■■■●■——墨—■—■●
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证明
Ｂ知实数，．，满足，一ｚ，，＋，＋：＋，｝
１－－０．￥｛正ｔｉｌ、＝ｙ≤３
夸ｆ一士ｔ则，～．将其代人Ｂ知得
寺，成立，
４（ｆ
（ｔ】）２一＋（￡＋１）Ｔ＋ｌ一０
（１）若卢ｌ・则一寺・ｙ一
（ｚ）若ｆ≠１．则４一（￡十１）２
１）２≥Ｏ，Ⅻ
３ｔ２—１ ０ｆ＋３≤０．÷≤ｒ＜１或ｌ＜￡≤３
综上：妻≤ｆ≤３，即｛≤羔≤３
０．Ｔ∈Ｒ，由Ｂ知得删≠０ 所以△；（４相）”４（Ｙ—ｍ）（一）＞Ｉ－０． ，’一（Ⅲ＋”），一（…１ ２）≤０
女４
解
函数式变形为（舯），一４√３，＋（ｙ—Ｈ）一
＂
①
＾±””＊＂ｎ＃＾”ｔ§＾ｍ＊¨１＊＊Ｒ＆
浅谈判别式法的应用
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 胡志红 河北省邢台市第一中学 高中数理化（高一） GAOZHONG SHU-LI-HUA 2008，""(7) 0次
４十村止．恰好
ｋ ｒｎ
。．由｛：≥，Ｂ）ｙ一４＂。Ｃ，２“消去，（或清去ｒ）得
ｍｒｌ＋ｈ＋ｆ
Ｏ ｆ＊） Ｆ
座藩在边长为２ ｋｍ的 正方形顶点ｔ．为发展
（１）当ｄ≠０时－则ｄ
４ａｆ．此时ｄ＞０’相
经济．ｊ地政府班定建 立一十使得任何村庄都 有通道的道路嘲．遭路
目自条十心ｊ直及４条
交．△一０等相切．６＜ｏ斗相离Ｉ （２）当８—０时．方程（＊）是一次方程．若有解．则
靠、
河北胡志红
通盛研究
ｔ线组也ｔ要求４条点遭的长度相等（如ｒ目所肃）
Ｍ十心遒妊为十Ｉ值时．道路Ｈ的０忙度最短， 解 没中心道长度为２ｊ ｋｍ（０≤Ｊ≤１）．进
蹄目的总＊度为ｙ
４√ｌ
ｋｍ．依题＝蕞有ｙ一２，一
２７）”＝１ ６（２—２Ｊｆ ｆ一０
（＊】
Ｊ（Ｉ…Ｆ．蹙形得（ｖ
ｌ ２ｘ （４ｙ
ｒ）．郎
３２）ｚ十３２
彭§：ｉ苎：裂霎瓣鬻斛’”””
善：●铡２某且有Ａ、
Ｂ、ｃ、Ｄ
直线与圆锥曲线的位置盖系可分为相交、相切． 相离对于抛物线来说．平行于对称轴的直线与抛物 线相交于１点．但并不是相切；对于取曲线来说．平行 干渐近线的直线与双曲线Ｒ有一十交点，但并不相 切这３种位赞关系的判定条件可归纳为 设直线ｆ：＾』＿Ｂ，。ｃ ０．圆锥∞线Ｃ Ｆ（ｘ．ｙ）一
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相交
，ｒ ．ｊ－。例４
ｏ知直线＿＝（“＋¨一１与曲线，４
；。。
０；ｄ良。。＊
。。。。。。。一。。。。。；一。。。。。。
…。胡
ａｚ恰有１个公共点．求实数ｎ的值 解自
ｒ一‘“＋１’。Βιβλιοθήκη １’得此时一１适台条件； ｎ十１≠。日ｆ，自｛蓥ｉ“一。＆一号
（２）ｇ
（ｄ＋Ｉ），一ａｙ—ｏ．① （１）当“十１—０．＂一１时．方崔ｑ）化为ｌ，一
判别式法是求甬数值域的｜・要方法之一．是方程 思想在自数问题上的应用它的理论依据屉自数的 定义城是非空数集，将原函数看作是Ｕ ｙ为参数∞关 千ｒ的－二政方程，若方程有窭觳解．必须判别式△≥ ０，从ｍ求得函数的值域
在一次函数，（ｒ）…：＋ｂ』一“Ⅱ尹Ｏ）中．当
｛塞：目－，ｃ，，，。Ｍ＆女ｚ自｛：三¨．ｆｃｔ，ｃ。自
（２，Ｉ）ｚ＋（３，１）一０
（１）当，一寺时，方程（＊）无解，
ｆ２）ｇ
ｙ＋言Ｉｌ寸，目∞ｚ∈Ｒ・＊“ｍ（２ｙ”１—
Ｌ…’
解得１＜ｍ＜ｌ ９
４（ｚ，Ｉ）（如＂≥ｏ・解得品≤，（吉
自（１）、（ｚ）得，此函数的值域为『甫３．百１ １
■—●—■■—■●■■■—■■—圈一
综上所求实数ｍ的取值范围是［１．１９）
≈｝！＝●倒Ｉ
Ｂ知自救，一！￡二兰圭ｇ孚！土的最大值
＊“一６ 此２条直线为２ｚ＋，＋ｌ；ｏ和３卅＋１＝ｏ
判别式法是中学教学的一十重要方法．通过转 化或｛句造一元二谯方程．利用方程的思想解斑同 题，在高中数学＋有广泛的应用，希望同学们认真
体台 （作者单位河＊省邢自十第一十学）
为７．最小值为一１．求此ｉ教式 分析 求函数的表达式．实际上就是确定系数 ｍ、ｎ的值；Ｂ知最大值、最小值宴际上就是Ｂ知函散 的值域．由分子或分母为二次函数白勺分式函散的值域 易联想到“判别式法”
日为，∈一０．１］，所“
△一Ｉ ４，一３２＇。４×Ｉ ２ｆ
３２，）≥０
Ⅲｒ，＞ｎ．所“，≠２—２帕，将ｙ，２｛２扪代
人方程得ｌ
２ｘ。｛（８＋８拈一３２）Ｊ眦３２
２
（２一ｚ缸）’一
。解得ｚ—Ｌ半∈［ｏ．１ Ｊ 即中心道长为ｆ
４－
１岩１ ｋｍ时．遒路嗍总ｋ度
我们知道．对于虫系数元一改方柙叫１一ｂｘ
ｒ一０．其根的判男町式为△一６：
成立
ｒｐ ‘ｊ倒３已知不等式（井４…５），４㈨１）Ｔ１
嘤，ｄ・￥自镕，一丢专兰∞值城
解原式变形为
（２，１）ｚ
２
３＞Ｏ对切实数ｊ恒成立．求实数”ｚ的取值范围 解ｆ１）若ｒ，｝４ｍ
显然ｍ一１符台条件，一５不符合基件．
ｃ＊）
５—０．得ｍ＝１或一一５．
（２）若ｍ２＋４ｍ一５≠０．则原命题等价于
一ＪＦ一４ Ｊ＾５ｊ＞０・ ｌｄ＝ｌ ６ｆＭ １）‘一ｌ ２（ｍ２＋４ｍ一５）＜Ｏ，
■■■■■■■■■—■■■■■■—＿ ’；：ｆ倒６若方程，卅。。一一５。一ｌ；。表示２
条相交直线．求ａ的值厦这２幕直线方程 解把方程看成荚于，的一元二次方程．
Ａ一（－－ｘ）２—４（‘一一５ｚ一１）一（１
４４）一十２０ｚ＋４
，＝量上巫三二塑粤生三！！！±！．若方程表示２条
相空直线．则Ａ能表示成完生平方式的形式．把Ａ看成 关干Ｔ的一元二次方程，则４—２口４ｘ４（卜妇）一０，