根的判别式的三种应用
根的判别式的三种应用
类型一：判断方程的解的情况
类型二、求字母系数的取值范围
类型三、证明一元二次方程根的情况
根、有两个不相等的实数、有两个相等的实数根
、只有一个实数根
、没有实数根
的根的情况是（）
的一元二次方程、关于D C B A ax x x 0112=-+时，求方程的根
）当（况
时，判断方程的根的情）当（的一元二次方程、已知关于3231.
0222-===++m m m x x x 1
22
2
2
-012)1(12≠????=+--k k D k C k B k A k x x k x 且、、、、的取值范围（）
，则有两个不相等的实数根的方程、已知关于()()这两个实数根。相等的实数根，并求出数，使原方程有两个不选取一个合适的非零整对有实数根？取什么值时，原方程没当的方程、已知关于m m m x m x x 2)1(.
012222=++-()的值。出该方程的根；求取当最大整数值时：求）当（的最大整数值
）求（有实数根。的一元二次方程
、已知关于11873222109863222+---
=+--x x x x a a x x a x 的值。，求满足条件的整数大于根都是整数，且有一根）如果方程的两个实数（实数根：
）求证：方程总有两个（的方程、已知关于m m x m mx x 121).
0(03)3(12≠=++-()的值。是等腰三角形时，求，当的长为实数根，第三边的长是这个方程的两个的两边若相等的实数根；
求证：该方程有两个不、已知一元二次方程k ABC BC AC AB ABC k k x k x ??=+++-5,2)1(.
0)12(222
一元二次方程的解法归类
类型一、缺少一次项选直接开平方的策略
解下列方程：
类型二、缺少常数项选因式分解法的策略
解下列方程：
类型三、遇到大系数选配方法的策略
解下列方程：
类型四、遇到字母系数讨论的策略
()049312=--x ）（()()251622
=-x x x =21）（()()()()22212+=+-x x x ()98562412=-x x ()012622=--x x ()09991632=--x x ()()()是常数的方程、解关于c m x c c x mx x ,.01=-+-()()()()的值成立？若存在，请求出使得是否存在实数是方程的两个实数根，，设的值。
，求若方程的一个根为的取值范围
求有实数根。
的方程、已知关于m m m m m x m x x 6-312101222222=+=+-+αββαβα。若不存在，请说明理由
(完整版)一元二次方程的根的判别式练习题
一元二次方程的根的判别式 1、方程2x 2+3x －k=0根的判别式是 ；当k 时，方程有实根。 2、关于x 的方程kx 2+(2k+1)x －k+1=0的实根的情况是 。 3、方程x 2+2x+m=0有两个相等实数根，则m= 。 4、关于x 的方程(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0的根的情况是 。 5、当m 时，关于x 的方程3x 2－2(3m+1)x+3m 2－1=0有两个不相等的实数根。 6、如果关于x 的一元二次方程2x(ax －4)－x 2+6=0没有实数根，那么a 的最小整数值 是 。 7、关于x 的一元二次方程mx 2+(2m －1)x －2=0的根的判别式的值等于4，则m= 。 8、设方程(x －a)(x －b)－cx=0的两根是α、β，试求方程(x －α)(x －β)+cx=0的根。 9、不解方程，判断下列关于x 的方程根的情况： (1)(a+1)x 2－2a 2x+a 3=0(a>0) (2)(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0 10、m 、n 为何值时，方程x 2+2(m+1)x+3m 2+4mn+4n 2+2=0有实根? 11、求证：关于x 的方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根。 12、已知关于x 的方程(m 2－1)x 2+2(m+1)x+1=0，试问：m 为何实数值时，方程有实数根? 13、 已知关于x 的方程x 2－2x －m=0无实根(m 为实数)，证明关于x 的方程x 2+2mx+1+2(m 2－ 1)(x 2+1)=0也无实根。 14、已知：a>0,b>a+c,判断关于x 的方程ax 2+bx+c=0根的情况。 15、m 为何值时，方程2(m+1)x 2+4mx+2m －1=0。 (1)有两个不相等的实数根； (2)有两个实数根； (3)有两个相等的实数根； (4)无实数根。 16、当一元二次方程(2k －1)x 2－4x －6=0无实根时，k 应取何值? 17、已知：关于x 的方程x 2+bx+4b=0有两个相等实根，y 1、y 2是关于y 的方程y 2+(2－b)y+4=0的两实根，求以1y 、2y 为根的一元二次方程。 18、若x 1、x 2是方程x 2+p x+q=0的两个实根，且23x x x x 222121=++，25x 1x 12221=+求p 和 q 的值。 19、设x 1、x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0(q ≠0)的两个根，且x 2 1+3x 1x 2+x 2 2=1， 0)x 1(x )x 1(x 2211=+++，求p 和q 的值。 20、已知x 1、x 2是关于x 的方程4x 2－(3m －5)x －6m 2=0的两个实数根，且23x x 21=，求常数m 的值。
二次函数根的分布专题
一元二次方程根的分布专题 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。 一．一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个不等实根为1x ，2x ①方程有两个不等正根 ??? ? ? ? ??? >=>-=+>-=?>>00040,0212 1221a c x x a b x x ac b x x ②方程两根一正一负 ：0021<<=<-=+>-=?<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x 即时应用： (1)若一元二次方程 0)1(2)1(2 =-++-m x m x m 有两个不等正根，求m 的取值范围。 (2)k 在何范围内取值，一元二次方程0332 =-++k kx kx 有一个正根和一个负根？
二、一元二次方程的非零分布——k分布 设一元二次方程20(0) ax bx c a ++=>的两不等实根为1x，2x，k为常数。则一元二次方 k1x2x k 根 的 分 布 ① 12 x x k② 12 k x x③ 12 x k x 图 象 充 要 条 件 2 b k a f k 2 b k a f k f k 根 的 分 布 ④ 1122 k x x k⑤ 11223 k x k x k⑥两根有且仅有一根在 12 ,k k内 图 象 充 要 条 件 1 2 12 2 f k f k b k k a 1 2 3 ()0 ()0 ()0 f k f k f k 12 f k f k 或 1 12 1 ()0 22 f k k k b k a 或 2 12 2 ()0 22 f k k k b k a k k k 2 k 1 k 2 k 1 k 3 k 2 k 1 k
判别式的八种应用
判别式的八种应用 一、求方程(组)的解及解的取值范围 例1若x2＋2x＋y2－6y＋10＝0，x，y为实数．求x，y． 解：将方程看成是关于x的一元二次方程，由于x，y为实数． ∴ Δ＝22－4(y2－6y＋10)＝－4(y－3)2≥0． 即(y－3)2≤0，于是y＝3，进而得x＝－1． 例2已知a，b，c为实数，满足a＋b＋c＝0，abc＝8，求c的取值范围．(第一届“希望杯”全国数学竞赛题) 解：∵a＋b＋c＝0，abc＝8， 例3已知实数x，y，z满足x＝6－y，z2＝xy－9，求x，y的值． 证明：∵x+y＝6，xy=z2+9则x，y是一元二次方程a2－6a＋z2＋9＝0的两个实数根， 则有Δ＝36－4(z2＋9)＝－4z2≥0，即z2≤0． 因z为实数，∴z＝0，从而Δ＝0， 故上述关于a的方程有相等实根，即x＝y＝3． 二、判断三角形形状 例4若三角形的三边a，b，c满足a(a－b)＋b(b－c)＋c(c－a)＝0．试判断三角形形状． 证明：将原式变形为b2－(a＋c)b＋a2＋c3－ac＝0，由于a，b，c为实数，关于b的一元二次方程有实根， ∴Δ＝(a＋c)2－4(a2＋c2－ac)≥0． 整理得－3(a－c)2≥0，
即(a－c)2≤0，故a＝c， 把a＝c代入原式，得b＝c，从而有a＝b＝c， 所以三角形为等边三角形． 三、求某些字母的值． 例5 k为何值时，(x＋1)(x＋3)(x＋5)(x＋7)＋k是一完全平方式． 解：原式＝(x2＋8x＋7)(x2＋8x＋7＋8)＋k ＝(x2＋8x＋7)2＋8(x2＋8x＋7)＋k 令(x2＋8x＋7)2＋8(x2＋8x＋7)＋k＝0，因原式是完全平方式，则其根的判别式， Δ＝82－4k＝0，即k＝16． 例6如果x2－y2＋mx＋5y－6能分解成两个一次因式的积，试求m的值．解：令x2＋mx－(y2－5y＋6)＝0，则关于x的方程的根的判别式Δ＝4y2－20y ＋m2＋24． 欲使原式能分解成两个一次因式乘积，必须“Δ”是一完全平方式， 从而有4y2－20y＋m2＋24＝0的根的判别式 ∴m2＝1，即m＝±1． 例7a为有理数，问：b为何值时，方程x2－4ax＋4x＋3a2－2a＋4b＝0的根是有理数． 解：方程整理为x2＋4(1－a)x＋(3a2－2a＋4b)＝0． 它的判别式Δ＝4(a2－6a－4b＋4)，由于4(a2－6a－4b＋4)是有理数a的二次三项式． 即4(a2－6a－4b＋4)＝0的根的判别式 四、证明不等式
九年级数学上册专题一根的判别式的应用同步测试新人教版
九年级数学上册专题一根的判别式的应用同步测试新人教 版 (教材P17习题21.2第13题) 无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．解：x2－5x＋6－p2＝0， Δ＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝25－24＋4p2＝4p2＋1＞0， 所以方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根． 【思想方法】一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac可以用来判断根的情况，也可以根据一元二次方程根的情况，确定方程中的未知系数． 一判断一元二次方程根的情况 方程x2＋7＝8x的根的情况为(A) A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．方程没有实数根 对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0的根的情况为(C) A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 下列对关于x的一元二次方程x2＋2kx＋k－1＝0的根的情况描述正确的是(A) A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．无法确定 已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． 证明：Δ＝(m＋3)2－4(m＋1)＝(m＋1)2＋4. ∵无论m取何值时，(m＋1)2＋4的值恒大于0， ∴原方程总有两个不相等的实数根． 已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0. (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长． 【解析】(1)根据关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0的根的判别式的符号来证明结论； (2)根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1，3时，由勾股定理得斜边的长度为10；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1，3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为22；再根据三角形的周长公式进行计算． 解：(1)∵b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(2m－1)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4>0， ∴方程恒有两个不相等的实数根； (2)把x＝1代入方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0中，解得m＝2，
人教培优一元二次方程辅导专题训练附答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程 2 (1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式221 6 k k k -+-的值． 【答案】0. 【解析】 【分析】 由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】 解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2 则12123940x x x x a a +-?? ??-≥? ＝＝＝ ， 由条件，知12 1212 11x x x x x x ++==3， 即 33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1， 则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0， Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则221 06 k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，?=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则17 8 k ≤ ， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使221 6k k k -+-无意义. 综上，代数式221 6 k k k -+-的值为0 【点睛】 本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程， 2．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B=90°，∠A=45°，BC= ，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，
二次函数与根的判别式的关系
初三第一学期同步强化-----二次函数的图像与性质 ◆ 核心知识回顾 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 【例1】若函数y=(m －3)x 2 920m m -+是二次函数，则m 的值为 ． 二、二次函数几种基本形式及其图象和性质 1.一般式: 2 y ax bx c =++ 2. 顶点式 : ()2y a x h k =-+ ( 2y ax =; 2y ax c =+ ;()2 y a x h =- ) 3.交点式 :y=a(x-x 1)(x-x 2) 三、研究基本性质： 1、开口方向； 2顶点坐标、 3、对称轴； 4、增减性； 5、最大（小）值； 6、与坐标轴的交点。 7、与一元二次方程（不等式）的关系 8、a ?、b、c、的符号与抛物线的位置关系 ◆ 基础夯实 【例2】 由二次函数 ，可知（ ） A ．其图象的开口向下 B ．其图象的对称轴为直线 C ．其最小值为1 D ．当时，y 随x 的增大而增大 【例3】已知二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）． A ．ab ＞0，c ＞0 B ．ab ＞0，c ＜0 C ．ab ＜0，c ＞0 D ．ab ＜0，c ＜0
【例4】二次函数的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取 值范围是（）． A．－1＜x＜3 B．x＜－1 C．x＞3 D．x＜－1或x＞3 【例5】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0； ④（a+c）2＜b2 其中正确的个数有（） A 1 B 2 C 3 D . 【例6】已知抛物线y＝5x2＋(m－1)x＋m与x轴的两个交点在y轴同侧，它们的距离平方等于为49 25 ，则m 的值为( ) A.－2 B.12 C.24 D.48
第02讲 判别式及其应用
第2讲判别式及其应用 当数学家导出方程式和公式，如同看到 雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一 样而得到充分的快乐。 —— 柯普宁 知识方法扫描 在一元二次方程ax2+bx+c=0中，△=b2-4ac称为根的判别式。当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根。 我们利用判别式主要解决以下两个方面的问题：一是根据方程或题目所给的条件，确定方程根的性质；二是根据给定的方程的条件，确定字母的取值或取值范围。 此外，要注意判别式在以下几个方面的应用： ①在解答关于整系数的一元二次方程方程有整数根一类问题时，要注意它的判别式应该为完全平方数； ②当出现了形如一个平方式与两个代数式的积之差形式的问题时，可以考虑利用这种结构构造一个一元二次方程，再用一元二次方程的理论去解答问题； ③在一些求某个字母（参数）的取值范围的问题中，常可先利用根的定义或根与系数的关系构造二次方程，再用判别式求出其中参数的范围。 经典例题解析 例1（1987年全国初中数学联赛试题）当a、b为何值时，方程x2+2 (1+a)x+ (3a2+4ab+4b2+2)=0有实根？ 解因为方程有实数根，所以判别式 △= 4[(1+a)2-(3a2+4ab+4b2+2) = 4( -1+2a-2a2-4ab-4b2) = -4[(1-2a+a2)+(a2+4ab+4b2)] = -4[(1-a)2+(a+2b)2] ≥0 ∵-4[(1-a)2+(a+2b)2] ≤0,∴-4[(1-a)2+(a+2b)2] =0. ∴ 1-a=0, 且a+2b=0; 即a=1,b=. ∴当a=1, b=时，方程有实数根。 例2 （1987年武汉，广州，福州，重庆，西安五市初中数学联赛试题）已知实数a，b，c，r，p满足pr＞1，pc-2b+ra=0，求证：一元二
“根的判别式”的种种应用
“根的判别式”的种种应用 学习了一元二次方程的求根公式以后，为了研究问题的方便，我们把一元二 次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的求根公式x＝ a ac b b 2 4 2- ± - 中的b2－4ac称做为根的判别式，用符号“Δ”来表示，即Δ＝b2－4ac.至此，我们一般只知道：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，当Δ＜0时，方程没有实数根.反之也成立.至此，我们可以不解方程，利用根的判别式来判别根的情况.而事实上，一元二次方程根的判别式还许多其它的应用，为方便同学们的学习，现举例说明. 一、不解方程，判断根的情况 例1已知关于x的一元二次方程x2－mx－2＝0.…① （1）若x＝－1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根； （2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由. 解（1）因为x＝－1是方程①的一个根，所以1+m－2＝0，解得m＝1. 所以原方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.所以方程的另一根为x＝2. （2）Δ＝b2－4ac＝m2+8，因为对于任意实数m，m2≥0，所以m2+8＞0， 所以对于任意的实数m，方程①有两个不相等的实数根. 说明运用根的判别式时，必须注意化方程为一元二次方程的一般形式，明确a，b，c的值. 二、确定字母系数的范围 例2已知关于x的一元二次方程(k+1)x2+2x－1＝0有两个不相同的实数根，则k的取值范围是＿＿＿. 解因为于x的一元二次方程(k+1)x2+2x－1＝0有两个不相同的实数根，所以满足Δ＝22－4×(k+1)×(－1)＞0，且k+1≠0，解得k＞－2，且k≠－1. 说明利用根的判别式解题时，若原一元二次方程的二次项含有字母系数，则必须保证二次项系数不等于0这一隐含条件的限制. 三、字母系数的值 例3当m为何值时，关于x的一元二次方程x2－4x+m－1 2 ＝0有两个相等的 实数根？此时这两个实数根是多少？
求根公式及根的判别式
加强班求根公式及根的判别式 在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特点：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等。我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下几个方面有着广泛的应用： 利用判别式，判定方程实根的个数，根的特点； 运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数的值或参数的取值范围； 通过判别式，证明与方程相关的代数问题； 借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。 例题1 （1）设a,b 是整数，方程02=++b ax x 的一根是324-，则a+b 的值是 （2）满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。（全国初中数学竞赛题） 例题2 已知0132=+-a a ，那么=++ --2219294a a a （ ） A 、3； B 、5； C 、35； D 、65 例题3 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 例题4 设方程04|12|2=---x x ，求满足该方程的所有根之和。 例题 5 设关于x 的二次方程0)2()2()1(222=+++--a a x a x a ○1及 0)2()2()1(222=+++--b b x b x b ○ 2（其中a,b 皆为正整数，且a ≠b ）有一个公共根。求
a b a b b a b a --++的值。 例题6（1）关于x 的方程k x k kx 8)18(22-=++有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ， （2）关于x 的方程0122 23=-+--a ax ax x 只有一个实数根，则a 的取值范围是 例题7 把三个连续的正整数a,b,c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入□2x +□x+□=0的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，使所得方程至少有一个整数根的a,b,c （ ） A 、不存在； B 、有一组； C 、有两组； D 、多于两组； 例题8 已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x （1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根。 （2）若等腰三角形ABC 的一边长a=1，另两边长b,c 恰好是这个方程的两个根，求三角形ABC 的周长。（湖北省荆门市中考题） 例题9 设方程4||2=+ax x 只有3个不相等的实数根，求a 的取值和相应的3个根。（重庆市竞赛题）
一元二次方程根的判别式练习题Word版
2.3 一元二次方程根的判别式 要点感知 关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△= . （1）△>0?原方程有 的实数根，其根为x 1= ，x 2= . (2)△=0?原方程有 的实数根，这两个根为x 1=x 2=2b a -. (3)△<0?原方程 实数根. 注意：在运用一元二次方程根的判别式时，要注意二次项系数a 的条件. 预习练习1-1 (2013·昆明)一元二次方程2x 2-5x+1=0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 1-2 (2013·大连)若关于x 的方程x 2-2x+m=0没有实数根，则实数m 的取值范围是( ) A.m ＜-1 B.m ＞-1 C.m ＜1 D.m ＞1 1-3 (2012·梧州)关于x 的一元二次方程(a+1)x 2-4x-1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是(B) A.a ＞-5 B.a ＞-5且a ≠-1 C.a ＜-5 D.a ≥-5且a ≠-1 知识点1 不解方程，判断根的情况 1.(2013·泰州)下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是( ) A.x 2-3x+1=0 B.x 2+1=0 C.x 2-2x+1=0 D.x 2+2x+3=0 2.一元二次方程ax 2+bx+c=0中a ，c 异号，则方程的根的情况是( ) A.b 为任意实数，方程有两个不等的实数根 B.b 为任意实数，方程有两个相等的实数根 C.b 为任意实数，方程没有实数根 D.无法确定 3.不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况： (1)3x 2-2x-1=0； (2)2x2-x+1=0； (3)4x-x 2=x 2+2. 知识点2 根据根的情况，确定字母系数的取值范围 4.(2013·钦州)关于x 的一元二次方程3x 2-6x+m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( ) A.m ＜3 B.m ≤3 C.m ＞3 D.m ≥3 5.已知(m-1)x 2+2mx+(m-1)=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( ) A.m>12 B.m<12且m ≠1 C.m>12且m ≠1 D.12 ＜m ＜1 6.(2013·张家界)若关于x 的一元二次方程kx 2+4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是 . 7.已知关于x 的方程2x 2-(4k+1)x+2k 2-1=0，问当k 取什么值时， (1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程没有实数根. 8.(2013·成都)一元二次方程x 2+x-2=0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 9.(2013·西宁)已知函数y=kx+b 的图象如图所示，则一元二次方程x 2+x+k-1=0根的情况是( ) A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定
二次函数与根的判别式的关系
一师一优课导学案 《二次函数与一元二次方程（第一课时）》导学案 郑州市金水区第一中学 汤慧敏 【学习目标】 1. 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系； 2. 会利用一元二次方程中ac b 42 -的值，判断对应的二次函数与横轴有几个交点； 3. 能利用二次函数的图象与横轴交点的个数，来判断对应的一元二次方程有几个实数根； 4. 能够明白一元二次方程的根就是对应的二次函数图象与直线 是实数）h h y (=交点的横坐标。 【教学过程】 活动一：初探二次函数的图象与一元二次方程的关系 问题：二次函数22,12,22 2 2 +-=+-=+=x x y x x y x x y 的图象如下图所示。 （1）每个图象与x 轴有几个交点？ （2）一元二次方程012,022 2=+-=+x x x x 有几个实数根？用判别式验证一下，一元二次方程0222 =+-x x 有实数跟吗？ 活动二：再探二次函数c bx ax y ++=2 的图象与一元二次方程的关系 问题：（3）二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴交点的坐标和一元二次方程02 =++c bx ax 的根有什么关系？ 活动三：你说我说大家说...... 学完了这节课，你有什么收获？（知识、能力、易错点、数学思想......) 【当堂检测】 1. 求二次函数3 2 12 +-= x x y 的图象与x 轴的交点的坐标。 2. 二次函数为常数）b bx x y (12 -+=的图象与x 轴相交吗？如果相交，有几个交点？ 3. 已知抛物线22 -++=m mx x y ，求证：无论m 取何值，抛物线总与x 轴有两个交点。 【拓展延伸】一元二次方程1462 =+-x x 的根与二次函数 462+-=x x y 的图象有什么关系？试着把方程的根在图象上表示出来。
一元二次方程根的判别式的综合应用
一元二次方程根的判别式的综合应 用 一、知识要点： 1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式=b2-4ac。 定理1 ax2+bx+c=0(a0)中，＞0方程有两个不等实数根. 定理2 ax2+bx+c=0(a0)中，=0方程有两个相等实数根. 定理3 ax2+bx+c=0(a0)中，＜0方程没有实数根. 2、根的判别式逆用（注意：根据课本反过来也成立）得到三个定理。 定理4 ax2+bx+c=0(a0)中，方程有两个不等实数根＞0. 定理5 ax2+bx+c=0(a0)中，方程有两个相等实数根＝0.
定理6 ax2+bx+c=0(a0)中，方程没有实数根＜0. 注意：（1）再次强调：根的判别式是指=b2-4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。 (3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a0. 二.根的判别式有以下应用： ①不解一元二次方程，判断根的情况。 例1．不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)2x2+3x-4=0(2)ax2+bx=0(a0) 解：(1) 2x2+3x-4=0 a=2, b=3, c=-4,
∵=b2-4ac=32-42(-4)=41 方程有两个不相等的实数根。 (2)∵a0,方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零， ∵=(-b)2-4a0=b2, ∵无论b取任何关数，b2均为非负数， 0，故方程有两个实数根。 ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。 例2．k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根； 分析：由判别式定理的逆定理可知（1）＞0；（2）=0；（3）＜0；
根的判别式练习(答案版)
一元二次方程根的判别式练习题 （一）填空 1．方程x2＋2x-1＋m=0有两个相等实数根，则m=____． 2．a是有理数，b是____时，方程2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）=0的根也是有理数． 3．当k＜1时，方程2（k+1）x2＋4kx+2k-1=0有____实数根． 5．若关于x的一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根，则m的值为____． 6．方程4mx2-mx＋1=0有两个相等的实数根，则 m为____． 7．方程x2-mx＋n=0中，m，n均为有理数，且方程有一个根是2 8．一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）中，如果a，b，c是有理数且Δ=b2-4ac是一个完全平方数，则方程必有__．9．若m是非负整数且一元二次方程（1-m2）x2+2（1-m）x-1=0有两个实数根，则m的值为____． 10．若关于x的二次方程kx2+1=x-x2有实数根，则k的取值范围是____． 11．已知方程2x2-（3m＋n）x＋m·n=0有两个不相等的实数根，则m，n的取值范围是____． 12．若方程a（1-x2）＋2bx＋c（1＋x2）=0的两个实数根相等，则a，b，c的关系式为_____． 13．二次方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有两个实数根，则k为___． 14．若一元二次方程（1-3k）x2＋4x-2=0有实数根，则k的取值范围是____． 15．方程（x2＋3x）2+9（x2+3x）＋44=0解的情况是＿解． 16．如果方程x2＋px＋q=0有相等的实数根，那么方程x2-p（1＋q）x＋q3＋2q2＋q=0____实根． （二）选择 那么α= [ ]． 18．关于x的方程：m（x2＋x+1）=x2+x＋2有两相等的实数根，则m值为 [ ]． 19．当m＞4时，关于x的方程（m-5）x2-2（m＋2）x+m=0的实数根的个数为 [ ]． A．2个； B．1个； C．0个； D．不确定． 20．如果m为有理数，为使方程x2-4（m-1）x＋3m2-2m+2k=0的根为有理数，则k的值为 [ ]． 则该方程 [ ]． A．无实数根； B．有相等的两实数根； C．有不等的两实数根； D．不能确定有无实数根． 22．若一元二次方程（1-2k）x2+8x=6没有实数根，那么k的最小整数值是 [ ]． A．2； B．0； C．1； D．3． 23．若一元二次方程（1-2k）x2+12x-10=0有实数根，那么k的最大整数值是 [ ]． A．1； B．2； C．-1； D．0． 24．方程x2+3x+b2-16=0和x2+3x-3b＋12=0有相同实根，则b的值是 [ ]． A．4； B．-7； C．4或-7； D．所有实数． [ ]． A．两个相等的有理根； B．两个相等的实数根； C．两个不等的有理根； D．两个不等的无理根． 26．方程2x（kx-5）-3x2+9=0有实数根，k的最大整数值是 [ ]． A．-1； B．0； C．1； D．2． 29．若m为有理数，且方程2x2＋（m＋1）x-（3m2-4m+n）=0的根为有理数，则n的值为 [ ]． A．4； B．1； C．-2； D．-6． 30．方程x|x|-3|x|+2=0的实数根的个数是 [ ]． A．1； B．2； C．3； D． 4．
九年级数学上册专题突破讲练根的判别式的深化应用试题新版青岛版
根的判别式的深化应用 一、一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），它的解的情况由b 2－4ac 的取值决定，我们 通常用“?2-，即ac b 42 -=?。 方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况 =?b 2－4ac ＞0 两个不相等的实数根 =?b 2－4ac ＝0 两个相等的实数根 =?b 2－4ac ＜0 没有实数根 方法归纳：用b －4ac 可以判断方程根的情况，反过来，若已知方程根的情况，则可确定b 2－4ac 的取值。 二、根的判别式的应用 1. 判断一元二次方程根的情况。 2. 确定一元二次方程中字母系数的取值范围。 3. 确定一元二次方程根的某些特性，如是不是有理根。 方法归纳：（1）计算=?b 2－4ac 时注意a 、b 、c 表示各项系数，包括它们前面的符号； （2）关于根的判别式=?b 2－4ac 的正、负号的判定涉及代数式的恒等变形，一般地，将表 示=?b 2－4ac 的代数式进行配方，利用非负数、非正数的概念，确定=?b 2－4ac 的正、负号。 总结： 1. 会讨论方程的根的情况，包括一元一次方程和一元二次方程。 2. 能利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的特性，如：有理根、整数根等。 例题1 关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋（m －2）＝0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 解析：这是含字母系数的一元二次方程，将字母视为数字即可。这里a ＝1，b ＝－m ，c ＝m －2。因为b 2－4ac ＝（－m ）2－4×1×（m －2）＝m 2－4m ＋8＝m 2－4m ＋4＋4＝（m －2）2＋4＞0，所以方程有两个不相等的实数根。 答案：A 点拨：判断b 2－4ac 的正、负情况时，通常有两种情形，（1）已知判别式中某些字母的 取值范围，依此确定判别式?的取值范围；（2）一般要将表示b 2－4ac 的代数式进行配方， 利用偶次幂的非负性确定b 2－4ac 的正、负号。 例题2 定义：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）满足a ＋b ＋c ＝0，那么我们 称这个方程为“凤凰”方程，已知ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等 的实数根，则下列结论正确的是
公式法解一元二次方程与根的判别式
课题 公式法解一元二次方程与根的判别式 教学目标： 1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程. 2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想. 3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度. 4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况. 5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力. 教学重点： 1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程. 2、会用判别式判定一元二次方程根的情况. 教学难点： 1、正确理解“当240b ac -<时，方程2 0(0)ax bx c a ++=≠无实数根. 2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围. 一、学习新知，推导公式 我们以前学过的一元一次方程0=+b ax （其中a 、b 是已知数，且a ≠0）的根唯一存在，它的根可以用已知数a 、b 表示为a b x -=，那么对于一元二次方程02=++ c bx ax （其中a 、b 、c 是已知数，且a ≠0），它的根情况怎样？能不能用已知数a 、b 、c 来表示呢？我们用配方法推导一元二次方程的求根公式. 用配方法解一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 解： c bx ax -=+2 移常数项 a c x a b x -=+2 方程两边同除以二次项系数（由于a ≠0，因此不需要分类讨论） 222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++ 两边配上一次项系数一半的平方 22244)2(a ac b a b x -=+ 转化为n m x =+2)(的形式 注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有解。 因此对上面这个方程要进行讨论
判别式与韦达定理的应用
【学习课题】 九上 补充内容 综合应用根的判别式和韦达定理 【学习目标】 1、掌握一元二次方程根与系数的符号关系 2、利用韦达定理并结合判别式，求参数的值 【学习重点】一元二次方程根与系数的符号关系 【学习难点】利用韦达定理并结合判别式，求参数的值 【学习过程】 学习准备：（1）一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 的判别式△=__________ △＞0?__________△=0 ?_____________△＜0 ?__________ （2）一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根分别为x 1和x 2 x 1+x 2=____________, x 1x 2=_____________ 解读教材：由根的判别式及韦达定理可得如下结论： （1）若a 、c 异号 ? ax 2+bx+c=0 (a ≠0)必有两个不相等的实数根； （2）有一个根为1 ? a+b+c=0 ； （3） 有一个根为—1 ? a —b+c=0； （4）有一个根为0 ? c=0 （5）有两个正根 ??????+≥0210210＞＞△x x x x （6）有两个负根 ? ?? ???+≥0210210＞＜△x x x x (7) 有一正根一负根 ????0021＜△＞x x （8）两根同号 ????≥002 1＞△x x （9）两根互为相反数????=?=+0 0021b x x △＞ （10）两根互为倒数????=≥102 1x x △ （11）一根为正，一根为0 ??????=?=+00002 121c x x x x ＞△＞ （12）一根为负，一根为0 ??????=?=+00002 121c x x x x ＜△＞ （13）两根均为0?b=c=0 (14) 一根比a 大，一根比a 小????--0 ))(021＜（△＞a x a x 例1 已知方程（k+1）x 2—4kx+3k —1=0 的两个实数根均为正，求k 的值。 思路点拨：因为原方程两个实数根均为正，有上述结论（5）可得不等式组，解这个不 等式组即可求出k 的值。
一元二次方程根的判别式的多种应用
一元二次方程根的判别式的多种应用 一元二次方程根的判别式用来判断一元二次方程根的情况，能帮助我们解一元二次方程，也是以后学习一些知识的基础，在解题中应用很多，举例如下： 一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。 例1、判断下列方程根的情况 2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0 二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。 例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？ 简解：当Δ=[-（2m-1）]2-4（m-4）m≥0时，原方程有两个实数根， ∴4m2-4m+1-4m2+16m≥0，解得m≥- 又∵m-4≠0 ∴m≠4 ∴当m≥- 且m≠4时，原方程有两个实数根。 例3、当m分别取何值时关于x的方程（m-1）x2+（2m-1）x+m-1=0 l 有两个不相等的实数根 l 有两个相等的实数根 l 有两个实数根 l 有一个实数根 l 有实数根 l 无实数根 评析：初中阶段的根的判别式Δ=b2-4ac是相对于一元二次方程而言的，而ax2+bx+c=0当a=0时是一元一次方程不能用判别式，所以例2中一定要考虑二次项系数m-4≠0；例3则一定要做分类讨论。 三、证明方程根的性质。 例4、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。简解：∵Δ=（m2+3）2-4╳0.5(m2+2)=m4+4m2+5=（m2+2）2+1>0 ∴无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。 评析：这种应用有两个难点：（1）是容易与（二）中求字母取值混淆，即用Δ≥0求m的取值范围；（2）是用配方法证明二次三项式的特性。 四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。 例5、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围 内因式分解。 简解：当Δ=[-2（m+2）]2-4m（m+5）≥0时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。 ∴m≥4且m≠0。 评析：对于系数是有理数的二次三项式ax2+bx+c（a≠0）的因式分解，其方法是先求ax2+bx+c=0（a≠0）的根然后再代入公式，所以，判别式决定了二次三项式能否在实数范围内因式分解，即： Δ<0时不能在实数范围内因式分解； Δ≥0时能在实数范围内因式分解；进而当Δ为完全平方数时能在有理数范围内因式分解； 再进而当Δ=0时ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）=a（x-x1）2（a≠0），所以此时可以说它是完全平方式。五、判定二次三项式为完全平方式。 例6、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。 例7、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）+3m—2是完全平方式。 六、利用判别式构造一元二次方程。 例8、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y） 求证：2y=x+z
公式法与根的判别式
八 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 5 课时 课题 求根公式与根的判别式 教学目标： 1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程. 2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想. 3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度. 4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况. 5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力. 教学重点： 1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程. 2、会用判别式判定一元二次方程根的情况. 教学难点： 1、正确理解“当240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根. 2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围. 一、学习新知，推导公式 我们以前学过的一元一次方程0=+b ax （其中a 、b 是已知数，且a ≠0）的根唯一存在，它的根可以用已知数a 、b 表示为a b x -=，那么对于一元二次方程02=++ c bx ax （其中a 、b 、c 是已知数，且a ≠0），它的根情况怎样？能不能用已知数a 、b 、c 来表示呢？我们用配方法推导一元二次方程的求根公式. 用配方法解一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 解： c bx ax -=+2 移常数项 a c x a b x -=+2 方程两边同除以二次项系数（由于a ≠0，因此不需要分类讨论） 222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++ 两边配上一次项系数一半的平方 22244)2(a ac b a b x -=+ 转化为n m x =+2)(的形式 注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有实数解。 因此对上面这个方程要进行讨论 因为2 040a a ≠>所以
根与判别式含参数一元二次方程专项练习60题(有答案)ok
一元二次方程专项练习60题 1．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2． （1）求实数m的取值范围； （2）当时，求m的值． 2．关于x的方程2x2﹣（a2﹣4）x﹣a+1=0， （1）若方程的一根为0，求实数a的值； （2）若方程的两根互为相反数，求实数a的值． 3．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k+2=0的两个实数根分别为x1和x2，且x12+x22=6，求k的值？ 4．已知关于x的方程kx2+2（k+1）x﹣3=0． （1）请你为k选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根； （2）若k满足不等式16k+3＞0，试讨论方程实数根的情况． 5．已知方程2（m+1）x2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m的值． （1）方程有两个相等的实数根； （2）方程有两个相反的实数根； （3）方程的一个根为0． 6．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，求m的值．
7．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足，求m 的值． 8．已知关于x的一元二次方程x2+2（2一m）x+3﹣6m=0． （1）求证：无论m取何实数，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根x l和x2满足x l+x2=m，求m的值． 9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k=0 （1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（1﹣m）x+m2=0的两根为x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若x12+12m+x22=10，求m的值． 11．已知：关于x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+k﹣2=0的两个实数根是x1和x2． （1）求k的取值范围； （2）若x12=11﹣x22，求k的值． 12．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m=0有两个实数根 （1）求m的取值范围； （2）若x=﹣1是方程的一个根，求m的取值及方程的另一个根．