一元二次方程根的判别式的多种应用
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式是指b²-4ac，它可以用来判断方程的根的情况。
当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac<0时，方程没有实数根。
判别式的应用包括不解方程判断根的情况、确定方程待定系数的取值范围、证明方程根的性质以及解决综合题。
正确理解判别式的性质并熟练灵活地运用它是本节的重点和难点。
举例来说，对于方程2x²-5x+10=0，其判别式为b²-4ac=(-5)²-4×2×10=－550，因此该方程有两个不相等的实数根。
对于方程x²-2kx+4(k-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-2k)²-4×1×4(k-1)=4(k-2)²≥0，因此该方程有实数根。
对于方程2x²-(4m-1)x+(m-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-(4m-1))²-4×2×(m-1)=4(2m-1)²+5>0，因此该方程有两个不相等实根。
对于方程4x²+2nx+(n²-2n+5)=0，其判别式为b²-4ac=(2n)²-4×4(n²-2n+5)=－12(n-4/3)²－176/33<0，因此该方程没有实数根。
解这类题目时，一般先求出判别式Δ=b^2-4ac，然后对XXX进行化简或变形，使其符号明朗化，进而说明Δ的符号情况，得出结论。
对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方法等。
在解题前，首先应将关于x的方程整理成一般形式，再求Δ=b^2-4ac。
当Δ≥0时，方程有实数根，反之也成立。
例2已知关于x的方程x-(m-2)x+m^2=0，求解以下问题：1)有两个不相等实根，求m的范围。
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式．通常用符号“Δ”来表示．2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-ab，x1x2=ac4. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系2.根的判别式是指Δ＝b2－4ac，而不是指Δ＝acb42 ．3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b2－4ac≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
【例题罗列】根的判别式类型1：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）3x2－2x－1＝0；（2）y2＝2y－4；（3）（2k2＋1）x2－2kx＋1＝0；（4）9x2－（p＋7）x＋p－3＝0．（系数中有字母的情况）解：(1)∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝4＋12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程就是y2－2y＋4＝0．∵Δ＝（－2）2－4×1×4＝4－16＜0，∴原方程无实数根．(3)∵2k2＋1≠0，∴原方程为一元二次方程．又∵Δ＝（－2k）2－4（2k2＋1）×1＝－4k2－4＜0，∴原方程无实数根．(4)Δ＝［－（p＋7）］2－4×9×（p－3）＝（p－11）2＋36，∵不论p取何实数，（p－11）2均为非负数，∴(p－11)2＋36＞0，即Δ＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．升级:如果关于x的方程x2＋2x＝m＋9没有实数根，试判断关于y的方程y2＋my－2m＋5＝0的根的情况．这是一类需要自己找出隐含条件的题解：∵x2＋2x－m－9＝0没有实数根，∴Δ1＝22－4(－m－9)＝4m＋40＜0，即m＜－10．又y 2＋my －2m ＋5＝0的判断式Δ2．Δ2＝m 2－4(－2m ＋5)＝m 2＋8m －20 当m ＜－10时，m 2＋8m －20>0，即Δ2>0．∴方程y 2＋my －2m ＋5＝0有两个不相等的实数根． 类型2：1.已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2kx ＋k ＋3＝0．k 取什么值时， (1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根?解：Δ＝(2k )2－4（k －1）（k ＋3）＝－8k ＋12．(1)当－8k ＋12＞0，且k －1≠0，即k ＜23且k ≠1时，方程有两个不相等的实数根；(2)当－8k ＋12＝0，且k －1≠0，即k ＝23时，方程有两个相等的实数根；(3)当－8k ＋12＜0，且k －1≠0，即k ＞23时，方程没有实数根．说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零．2．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程a(1+x 2)+2bx-c(1-x 2)=0有两个相等的实数根，则此三角形为（ ）A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、直角三角形D 、斜三角形 看到有两个相同的实数根立即判断 应用根的判别式解：原方程可化为（a+c ）x 2＋2bx ＋a-c ＝0，Δ＝(2b)2－4（a +c ）（a -c ）＝0得到a 2=b 2+c 2，因此此三角形为直角三角形。
根的判别式的应用
根的判别式的应用根的判别式内容：一元二次方程在一般形式下，即形如：ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．根的判别式的应用：一、判断方程根的情况例1：一元二次方程y2+2（y﹣1）＝3y的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根解：y2+2（y﹣1）＝3y，y2+2y﹣2＝3y，y2﹣y﹣2＝0，∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，∴有两个不相等的实数根．故选：A．练习1：1.关于x的一元二次方程x2+mx﹣m﹣2＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．实数根的个数由m的值确定2.下列一元二次方程中，无实数根的是（）A．x2﹣2x﹣3＝0B．x2+3x+2＝0C．x2﹣2x+1＝0D．x2+2x+3＝03.已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．实数根的个数与实数b的取值有关二、根据方程根的情况求字母的取值范围例2：如果关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＞﹣1B．a≥﹣1C．a≥﹣1且a≠0D．a＞﹣1且a≠0解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴a≠0，Δ＝22﹣4a×（﹣1）＝4+4a＞0，解得：a＞﹣1且a≠0，故选：D．练习2：1.关于x的一元二次方程﹣kx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣3B．k＜3C．k＜3且k≠0D．k＞﹣3且k≠02.已知关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2 B．m≤﹣2 C．m≥﹣2且m≠﹣1 D．m≤﹣2且m≠﹣13.若实数a使关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．a＜B．a＜且a≠﹣1C．a＞D．a＞且a≠﹣14.若一元二次方程kx2﹣4x﹣5＝0有两个实数根，求k的取值范围．5.若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2（a+1）x+a+5＝0有实根，则实数a的取值范围是.6.已知关于x的方程mx2+（2m-1）x+m=0.(1)若方程有两个不相等的实数根，则m.(2)若方程有两个相等的实数根，则m.(3)若方程有两个实数根，则m.(4)若方程有实数根，则m.三、与新运算（定义）的综合例3：定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）“满足a+b+c＝0”，那我们称这个方程为“蜻蜓”方程，已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，下列结论正确的是（）A．a＝c≠b B．a＝b≠c C．b＝c≠a D．a＝b＝c解：把x＝1代入方程ax2+bx+c＝0得出a+b+c＝0，∴b＝﹣a﹣c，∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0，∴a＝c，∴a＝c≠b，故选：A．练习3：1.定义比如，4⊗2＝2，1⊗5＝1．若实数k满足k[x2⊗（x+1）]﹣1＝0，并且这个关于x的方程有两个不相等的实数解，则k的取值范围是．2.如果a2+b2＝c2，那么把形如ax2+cx+b＝0（a≠0）的方程称为“勾系方程”．（1）当a＝3，b＝4时，写出相应的“勾系方程”：；（2）求证：关于x的“勾系方程”ax2+cx+b＝0（a≠0）必有实数根．3.定义新运算，对干任意实数m，n．都有m☆n＝m2n+n．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2×2+2＝20．若2☆a的值小于0．请判断方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．四、利用根的判别式判断三角形的形状例4：已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；（2）△ABC为直角三角形；理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；（3）∵△ABC为等边三角形，∴a＝b＝c，∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．练习4：1.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0．（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．2.边长为整数的直角三角形若其两直角边长是方程x2﹣（k+2）x+4k＝0的两根，求k的值并确定直角三角形三边之长．五、证明一元二次方程有（无）实数根例5：关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为1，求m的值．（1）证明：x2﹣mx+2m﹣4＝0，Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（2m﹣4）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2，∵不论m为何值，（m﹣4）2≥0，∴Δ≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：把x＝1代入关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0，得1﹣m+2m﹣4＝0．解得m＝3．练习5：1.已知关于x的一元二次方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根；（2）如果这个方程的根的判别式的值等于2，求m的值．2.已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程有一个根﹣1，求m的值．3.已知关于x的方程x2+（a﹣2）x﹣a＝0．（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若此方程两个实数根都是正实数，求a取值范围．4.已知一元二次方程﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0．（1）求证：方程有两个不等的实数根；（2）若方程只有一个实数根小于1，求a的取值范围．六、与韦达定理的结合运用例6：已知：x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣m＝0的两个实数根，x1，x2满足（x1﹣x2）2＝5，且x1•x2＜0．（1）求m的值．（2）不解方程，求3x1﹣x24．解：∵x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣m＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣m，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝m2+4m，∴m2+4m＝5，解得m1＝1，m2＝﹣5，如果m2＝﹣5，那么x1x2＝5＞0，不合题意舍去，当m1＝1时，满足Δ＞0，且x1•x2＜0，∴m＝1；（2）当m＝1时，原方程即为x2+x﹣1＝0，∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣1，x12＝1﹣x1，x22＝1﹣x2，∴x12+x22＝2﹣（x1+x2）＝3，∴3x1﹣x24＝3x1﹣（1﹣x2）2＝3x1﹣1+2x2﹣x22＝2x1+2x2﹣（1﹣x1+x22）＝2（x1+x2）﹣（x12+x22）＝﹣2﹣3＝﹣5．练习6：1.已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0的两根为x1，x2，满足：x12+x22＝16+x1x2，求实数k的值．2.已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x＝4m﹣3有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两实根分别为x1与x2若x1x2﹣x12﹣x22＝﹣7，求m的值．3.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x1+x2﹣x1x2＝1，计算m的值．4.已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m＝0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围．（2）若|x1|＝|x2|，求m的值及方程的根．。
一元二次方程根的判别式的应用
一元二次方程根的判别式的应用一元二次方程根的判别式是一个重要的知识点，有极为广泛的应用．下面举例说明判别式的几种常见应用．一、判断方程根的情况例1 方程04322=-+x x 的根的情况是（ ）（A ）有两个不相等的实数根 （B ）无实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）有一个根为零分析：由041329)4(243422>=+=-⨯⨯-=-ac b 知方程有两个不相等的实数根．二、证明方程根的情况例2 已知关于x 的方程0)12()2(2=+--+m x m x ，求证：无论m 取什么数，这个方程总有两个不相等的实数根．分析：由222224(2)4[(21)]448448(2)40b ac m m m m m m m m -=--⋅-+=-+++=++=++>，所以不论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．三、判断方程中未知系数的取值范围例 3 已知关于x 的一元二次方程012)1(2=---x x k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围． 分析：由题意得⎩⎨⎧>-⋅---≠-.0)1()1(4)2(,012k k 解得2<k 且1≠k ． 所以k 的取值范围是2<k 且1≠k ．四、确定二次三项式是完全平方式的条件例4 已知关于x 的二次三项式1)1(2+++mx x m 是一个完全平方式，求m 的值．分析：因关于x 的二次三项式1)1(2-++mx x m 是一个完全平方式，故关于x 的方程01)1(2=-++mx x m 有两个相等的实数根，所以0)1(4422=++=-m m ac b ，解得2-=m ．五、讨论两函数图象的交点情况例5 直线2-=x y 与双曲线x y 6=有没有交点？若有，求出交点坐标；若没有，请说明理由．分析：要判断直线与双曲线有没有交点，只要看它们的解析式组成的方程组有没有实数根，即看消去y 的方程0622=--x x 有无实数解，易知=-⨯--=-)6(4)2(422ac b 28>0,故直线与双曲线有交点．一元二次方程根的判别式还有其它方面的应用,这里不在一一举例,但同学们学习时要注意根的判别式与其它知识之间的联系和区别,掌握将所研究的问题转化为一元二次方程问题的方法，通过对知识的归纳、整理进一步提高分析问题解决问题的能力．。
一元二次方程根的判别式的多种应用
一元二次方程根的判别式的多种应用一元二次方程根的判别式用来判断一元二次方程根的情况，能帮助我们解一元二次方程，也是以后学习一些知识的基础，在解题中应用很多，举例如下：一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。
例1、判断下列方程根的情况2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。
例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？简解：当Δ=[-（2m-1）]2-4（m-4）m≥0时，原方程有两个实数根，∴4m2-4m+1-4m2+16m≥0，解得m≥-又∵m-4≠0 ∴m≠4∴当m≥- 且m≠4时，原方程有两个实数根。
例3、当m分别取何值时关于x的方程（m-1）x2+（2m-1）x+m-1=0l 有两个不相等的实数根l 有两个相等的实数根l 有两个实数根l 有一个实数根l 有实数根l 无实数根评析：初中阶段的根的判别式Δ=b2-4ac是相对于一元二次方程而言的，而ax2+bx+c=0当a=0时是一元一次方程不能用判别式，所以例2中一定要考虑二次项系数m-4≠0；例3则一定要做分类讨论。
三、证明方程根的性质。
例4、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。
简解：∵Δ=（m2+3）2-4╳0.5(m2+2)=m4+4m2+5=（m2+2）2+1>0∴无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。
评析：这种应用有两个难点：（1）是容易与（二）中求字母取值混淆，即用Δ≥0求m的取值范围；（2）是用配方法证明二次三项式的特性。
四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。
例5、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。
简解：当Δ=[-2（m+2）]2-4m（m+5）≥0时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。
一元二次方程根的判别式的六种常见应用
一元二次方程根的判别式的六种常见应用所以kx2＋2x＋1＝0是一个关于x的一元二次方程。
利用根的判别式，Δ＝(2)2－4(k)(1)＝4－4k.当Δ<0时，方程没有实数根；当Δ=0时，方程有一个实数根；当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
所以，答案为C．有两个不相等的实数根。
应用5：利用根的判别式解函数的最值问题6．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的最小值．解：f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞2.由于平方项非负，所以当且仅当x＝1时，(x－1)2＝0，f(x)取得最小值3.所以，f(x)的最小值为3.一元二次方程根的判别式有着广泛的应用。
下面介绍其中的六种常见应用。
应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况。
例如，已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0是否有实数根。
解法如下：由于x2－2x－m＝0没有实数根，因此判别式Δ1=（－2）2－4·（－m）＝4＋4m4，因此方程有两个不相等的实数根。
应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围。
例如，已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0，要求不解方程，判别方程根的情况，以及若方程有一个根为3，求m的值。
解法如下：对于方程x2＋2mx＋m2－1＝0，判别式Δ=（2m）2－4·（m2－1）＝4＋4=8＞0，因此方程有两个不相等的实数根。
又因为方程有一个根为3，代入方程可得2m2－7m＋5＝0，解得m＝1或m＝5/2.但由于方程的两个根不相等，因此m≠2，因此m＝1.应用3：利用根的判别式求代数式的值。
例如，已知关于x的方程mx2－（m＋2）x＋2＝0有两个相等的实数根，求m的值。
解法如下：对于方程mx2－（m＋2）x＋2＝0，判别式Δ＝（m＋2）2－4m·2＝（m－2）2≥0，因此不论m为何值，方程总有实数根。
又因为方程有两个相等的实数根，因此Δ＝0，解得m＝1.应用4：利用根的判别式解与函数综合问题。
一元二次方程根的判别式及其应用
x 代入原方程得： 2 2 x 1ห้องสมุดไป่ตู้ 0 x 1 ． x 综上知： 1, y 0 .
2013年4月22日星期一
小结
应用一元二次根的判别式主意几点： 1、判断是否一元二次方程； 2、其次要化为标准形式; 3、最后正确求出判别式的值 与零作比较得出根的情况
一元二次方程根的判别式的应用
平乡县实验中学 庞西宏
2013年4月22日星期一
现行初中数学教材要求学生掌握 一元二次方程的根的判断式及其应 用．本讲主要讲解什么是一元二次 方程根的判别式，它有哪些应用。
2013年4月22日星期一
一、什么是一元二次方程的根的 判断式 ax 2 bx c 0 (a 0) ，用配方法将 一元二次方程
说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二 次方程的一般形式．
2013年4月22日星期一
【例2】已知关于x的一元二次方程 3 x 2 2 x k 0 , 根据 下列条件，分别求出K的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等 的实数根 (3) 方程有实数根； (4) 方程无实数根
(3) 当 b 4ac 0 时，方程没有实数根．
2013年4月22日星期一
二、一元二次方程的根的判断式 的应用
【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：
(1)2 x 2 3 x 1 0 (2)4 y 2 9 12 y (3)5( x 2 3) 6 x 0
2013年4月22日星期一
谢 谢！
2013年4月22日星期一
2013年4月22日星期一
【例3】已知实数 x , y 、满足 x 2 y 2 xy 2 x y 1 0 ， 试求 x , y 的值． 解：把方程看作是关于 x 的方程，整理得：
根的判别式的六种常见应用
根的判别式的六种常见应用方法指导：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．2．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围3．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．应用3：利用根的判别式求代数式的值4．已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求m－1（2m－1）2＋2m的值．应用4：利用根的判别式解与函数综合问题5．y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数，则一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的根的情况为( )A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有两个相等的实数根应用5： 利用根的判别式确定三角形的形状6．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．应用6： 利用根的判别式探求菱形条件7．已知▱ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个根． (1)m 为何值时，▱ABCD 是菱形？并求出菱形的边长．(2)若AB 的长为2，求▱ABCD 的周长是多少？参考答案1．解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.对于方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0，Δ2＝(2m)2－4·m(m ＋1)＝－4m>4，∴方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0有两个不相等的实数根．2．解：(1)Δ＝b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4m 2－4m 2＋4＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入方程中，得9＋2m ×3＋m 2－1＝0，即m 2＋6m ＋9＝1，∴(m ＋3)2＝1.∴m ＋3＝±1. ∴m 1＝－2，m 2＝－4.3．(1)证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵不论m 为何值，(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解：解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，得x ＝m ＋2±Δ2m ＝m ＋2±（m －2）2m. ∴x 1＝2m，x 2＝1. ∵方程的两个根都是正整数，∴2m是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等，∴m ≠2，∴m ＝1.4．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，即2m －1＝±4.∴m ＝52或m ＝－32. 当m ＝52时，m －1（2m －1）2＋2m ＝52－116＋5＝114； 当m ＝－32时，m －1（2m －1）2＋2m ＝－32－116－3＝－526.5．A 解析：∵y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数， ∴k －1≠0.∴k －1>0，解得k>1.又一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的判别式Δ＝4－4k ， ∴Δ<0.∴一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0无实数根，故选A .6．解：∵方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b 2－4(a ＋c)·a －c 4＝b 2－(a 2－c 2)＝0. 即b 2＋c 2＝a 2，∴此三角形是直角三角形．7．解：(1)∵▱ABCD 是菱形，∴AB ＝AD.∴Δ＝0，即m 2－4⎝⎛⎭⎫m 2－14＝m 2－2m ＋1＝0，∴m ＝1.此时原方程为x 2－x ＋14＝0， ∴x 1＝x 2＝12， ∴当m ＝1时，▱ABCD 是菱形，菱形ABCD 的边长为12. (2)∵AB ＝2，∴将x ＝2代入原方程得4－2m ＋m 2－14＝0， 解得m ＝52， 故原方程为x 2－52x ＋1＝0， 解得x 1＝2，x 2＝12，∴AD ＝12. 故▱ABCD 的周长为2×⎝⎛⎭⎫2＋12＝5.。
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一元二次方程根的判别式的多种应用一元二次方程根的判别式用来判断一元二次方程根的情况，能帮助我们解一元二次方程，也是以后学习一些知识的基础，在解题中应用很多，举例如下：一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。
例1、判断下列方程根的情况2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。
例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？简解：当Δ=[-（2m-1）]2-4（m-4）m≥0时，原方程有两个实数根，∴4m2-4m+1-4m2+16m≥0，解得m≥-又∵m-4≠0 ∴m≠4∴当m≥- 且m≠4时，原方程有两个实数根。
例3、当m分别取何值时关于x的方程（m-1）x2+（2m-1）x+m-1=0l 有两个不相等的实数根l 有两个相等的实数根l 有两个实数根l 有一个实数根l 有实数根l 无实数根评析：初中阶段的根的判别式Δ=b2-4ac是相对于一元二次方程而言的，而ax2+bx+c=0当a=0时是一元一次方程不能用判别式，所以例2中一定要考虑二次项系数m-4≠0；例3则一定要做分类讨论。
三、证明方程根的性质。
例4、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。
简解：∵Δ=（m2+3）2-4╳0.5(m2+2)=m4+4m2+5=（m2+2）2+1>0∴无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。
评析：这种应用有两个难点：（1）是容易与（二）中求字母取值混淆，即用Δ≥0求m的取值范围；（2）是用配方法证明二次三项式的特性。
四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。
例5、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。
简解：当Δ=[-2（m+2）]2-4m（m+5）≥0时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。
∴m≥4且m≠0。
评析：对于系数是有理数的二次三项式ax2+bx+c（a≠0）的因式分解，其方法是先求ax2+bx+c=0（a≠0）的根然后再代入公式，所以，判别式决定了二次三项式能否在实数范围内因式分解，即：Δ<0时不能在实数范围内因式分解；Δ≥0时能在实数范围内因式分解；进而当Δ为完全平方数时能在有理数范围内因式分解；再进而当Δ=0时ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）=a（x-x1）2（a≠0），所以此时可以说它是完全平方式。
五、判定二次三项式为完全平方式。
例6、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。
例7、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）+3m—2是完全平方式。
六、利用判别式构造一元二次方程。
例8、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y）求证：2y=x+z简解：证明：以（x-y）、（z-x）、（y-z）为系数的一元二次方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0有两个相等的实数根又∵（x-y）+（z-x）+（y-z）=0∴t1=t2=1由根与系数的关系可知：= t1t2=1∴2y=x+z七、限制一元二次方程的根与系数关系的应用。
例9、已知关于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的两个实数根的平方和为17，求k的值。
简解：设方程的两个实数根为m、n，∴m+n=k-1，mn=-3k-2∴m2+n2=（m+n）2-2mn=k2+4k+5=17∴k1=-6，k2=2又∵Δ=[--2（k-1）]2-4（-3k-2）=k2+10k+9∴当k1=-6时，Δ= k2+10k+9=-15<0，方程无实数根；当k2=2时，Δ= k2+10k+9=33>0方程有实数根。
故只取k=2。
评析：初中范围内，在应用韦达定理求字母取值时，其前提条件是使方程有实数根，即必须使所求字母的值满足Δ≥0，正如应用判别式时一定要考虑二次项系数，即对于ax2+bx+c=0（a≠0），可按如下顺序求字母取值：a——Δ——韦达定理。
八、与几何知识相联系的问题。
例10、已知方程a（x2+1）-2bx+c（x2-1）=0有两个相等的实数根，a、b、c为一三角形的三条边，求此三角形的形状。
例11、已知a、b、c为直角三角形的三条边，c为斜边，求证：关于x的方程x2-2（a+b）x+c2+ab=0有两个相等的实数根。
简解：证明：Δ=[-2（a+b）]2-4（c2+ab）=4（a2+b2-c2）∵a、b、c为直角三角形的三条边，c为斜边∴Δ=a2+b2-c2 =0 ∴原方程有两个相等的实数根。
在以后的学习中，判别式的应用也非常频繁，在与其他知识的综合运用时更显得尤为重要。
九、判断其他类方程根的情况。
例12、分式方程无实数根，求m的取值范围。
例13、a、b、c为一三角形的三条边长，若方程ax-y+bc=0与方程x2-ax-y+b2=0只有一组公共的实数解，求次三角形的形状。
十、解决二次函数的相关问题。
例14、若抛物线y=x2-ax+8的顶点在横轴上，求a值。
例15、求证：无论m为何值，二次函数y= x2-（m+4）x+2（m-1）总与横轴有两个交点。
例16、直线y=3x-3与y=x2-x+1有几个交点？评析：二次函数与二次方程有密切的联系，抛物线与横轴交点个数由Δ决定，即Δ>0时，有两个交点；Δ=0时，有一个交点（或者说顶点在横轴上）；Δ<0时没有交点（或者说当a>0时函数值恒为正，当a<0时函数值恒为负）。
十一、求最值问题。
例17、已知x为任意实数，求的最值。
简解：设=y，整理得：（y-1）x2-x-2=0∵x≠0 ∴在y-1≠0时Δ=1+8（x-1）≥0即：y≥且y≠1，当y=1时，x=-2∴的最小值为十二、巧解方程（组）。
例18、求方程2x2-2xy+y2-2x+1=0的实数解。
简解：方程变形为2x2-2（y+1）x+y2+1=0Δ=[-2（y+1）]2-4（y2+1）╳2≥0化简得：-（y-1）2≥0 ，而-（y-1）2≤0∴-（y-1）2=0 即y=1∴代入方程得：x1=x2=1十三、证明恒等式。
例19、若a、b、c为实数，且a（a-b）+b（b-c）+c（c-a）=0求证：a=b=c简解：视a为主元，整理得：a2-（b+c）a+（b2-bc+c2 ）=0∵a为实数，∴Δ=[-（b+c）]2-4（b2-bc+c2）≥0解得：b=c，代入上式得a=b，故a=b=c。
由以上例题可以看出一元二次方程的判别式在初中数学中占有非常重要的地位，也是学习某些知识的基础。
在中考试题和竞赛中常有出现。
附：（中考试题和竞赛试题精选）1、不解方程，判别方程2x2+3x-4=0的根的情况（）A、有两个相等的实数根。
B、有两个不相等的实数根。
C、有一个实数根。
D、无实数根（20XX年武汉市中考数学试题）2、已知关于x的方程0.25x2- (m-3)x+m2=0有两个不相等的实数根，那么m的最大整数值是（）。
A、2 B、1 C、0 D－1（２００２年四川省中考数学试题）3、已知关于x的方程x2－2x+k=0有实数根，则k的取值范围是（）A、k<1B、k≤1C、k≤-1D、k≥--1（20XX年辽宁省中考数学试题）4、已知a、b、c是一个三角形三条边的长，那么方程cx2+(a+b)x+0.25c=0的根的情况是（）。
A、无实数根。
B、有两个不相等的正实数根。
C、有两个不相等的负实数根。
D、有两个异号的实数根。
（20XX年河南省中考数学试题）5、关于x的一元二次方程x2—(k+1)x+k=0的根的情况是（）。
A、有两个不相等的实数根。
B、总有实数根。
C、有两个相等的实数根。
D、实数根。
（20XX年包头市中考数学试题）6、关于x的方程x2—2x+k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）。
（20XX年南昌市中考数学试题）7、如果方程组只有一个实数解，则m的取值是（）。
（20XX年厦门市中考数学试题）8、已知关于x的方程x2—x+a=0的两个实数根的平方的倒数和为3，则a=（）。
（20XX年嘉兴市中考数学试题）9、m>2时，关于x、y的方程组的实数解有（）个。
10、已知关于x的方程x2—kx-2=0,求证：方程总有两个不相等的实数根。
（20XX年南京市中考数学试题）11、已知:二次函数y=x2+ax+a-2求证：〈1〉不论a取何值，抛物线y=x2+ax+a-2的顶点总在横轴下方。
〈2〉是否存在a的值使抛物线y=x2+ax+a-2在横轴上截得的线段长为1？（20XX年杭州市中考数学试题）12、已知x1x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，是否存在实数k，使（2x1-x2）（x1-2x2）= -1.5，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。
(20XX年四川省中考数学试题)13、是否存在这样的非负整数m，使关于x的一元二次方程m2x2-(2m-1)x+1=0有两个实数根？若存在请求出m的值；若不存在，请说明理由。
14、若方程x2+2px-q=0(p、q为实数)没有实数根。
a) 求证：p+q<0.25b) 试写出上述命题的逆命题。
c) 判断〈2〉中逆命题是否正确，若正确请加以证明；若不正确请举一反例说明。
15、已知关于x的方程（n-1）x2+mx+1=0 <1>有两个相等的实数根。
i. 求证：关于y的方程m2y2-2my-m2-2n2+3=0 <2>必有两个不相等的实数根。
ii. 若方程〈1〉的一根的相反数恰好是方程〈2〉的一根求代数式m2n+12n的值。
（20XX年北京市海淀区中考数学试题）16、若三个方程x2+4ax-4a+3=0；x2+(a-1)x+a2=0；x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围。
17、若a、b、c、d都是实数，且满足a2d2+b2(d2+1)+c2+2b(a+c)d=0,求证：b2=ac。
18、已知：a、b、c三数满足方程组，试求方程bx2+cx-a=0的根。
（20XX年全国初中数学联合竞赛试题）19、已知a、b、c为实数，a-b=8，ab+c2+16=0，求证：a+b+c=020、已知0.25(b-c)2=(a-b)(c-a)且a≠0,则(b+c)/a的值是_____.21、ΔABC的三边满足b+c=8,bc=a2-12a+52,试问ΔABC是什么三角形（按边分类）并证明你的结论。
（第九届“缙云杯”初中数学邀请赛试题）。