九年级数学上册专题突破讲练根的判别式的深化应用试题新版青岛版
九年级数学上册第4章一元二次方程4.5一元二次方程根的判别式练习(新版)青岛版
4.5 一元二次方程根的判别式1．一元二次方程x 2－x －1＝0的根的情况为( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2．下列方程没有实数根的是( )A ．x 2＋4x ＝0B ．3x 2＋8x －3＝0C ．x 2－2x ＋3＝0D ．(x －2)(x －3)＝123．下列关于x 的方程有实数根的是( )A ．x 2－x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋1＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝0D ．(x －1)2＋1＝04．下列方程中，有两个相等的实数根的是( )A ．x 2－2x －1＝0B ．x 2－2x ＋1＝0C ．x 2＝3x －9D ．x 2－4x －4＝05．关于x 的一元二次方程x 2－2ax －1＝0(其中a 为常数)的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．可能有实数根，也可能没有C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根6．关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( )A ．m ＞94B ．m ＜94C ．m ＝94D ．m ＜－947．若一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0总有实数根，则m 应满足的条件是( )A ．m ＞1B ．m ＝1C ．m ＜1D ．m≤18．下列选项中，能使关于x 的一元二次方程ax 2－4x ＋c ＝0一定有实数根的是( )A ．a ＞0B ．a ＝0C ．c ＞0D ．c ＝09．已知关于x 的方程kx 2＋(1－k)x －1＝0，下列说法正确的是( )A ．当k ＝0时，方程无解B．当k＝1时，方程有一个实数解C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解10．若关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0无实数根，则实数k的取值范围是．11．关于x的一元二次方程x2＋bx＋2＝0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数b的值：．12．若|b－1|＋a－4＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有两个实数根，则k的取值范围是．13．不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况．(1)3x2－2x－1＝0；(2)2x2－x＋1＝0；(3)4x－x2＝x2＋2.14．已知关于x的方程为2x2－(4k＋1)x＋2k2－1＝0，问当k取什么值时：(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程没有实数根．15．已知关于x的方程mx2－(m＋2)x＋2＝0(m≠0)．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．16．已知关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋2bx ＋a －c ＝0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．(1)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．参考答案1．A 2．C 3．C 4．B 5．A6．B 7．D 8．D 9．C10． k ＞1 11． b ＝3(答案不唯一，满足b 2>8即可)12． k≤4且k≠013．解：(1)Δ＝(－2)2－4×3×(－1)＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)Δ＝(－1)2－4×2×1＝－7＜0，∴方程没有实数根．(3)原方程可整理为x 2－2x ＋1＝0，∴Δ＝(－2)2－4×1×1＝0.∴方程有两个相等的实数根．14．解：(1)∵a＝2，b ＝－(4k ＋1)，c ＝2k 2－1，∴Δ＝b 2－4ac ＝[－(4k ＋1)]2－4×2×(2k 2－1)＝8k ＋9.∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即8k ＋9＞0，解得k ＞－98.(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即8k ＋9＝0，解得k ＝－98.(3)∵方程没有实数根，∴Δ＜0，即8k ＋9＜0，解得k<－98. 15．(1)证明：∵Δ＝(m ＋2)2－8m ＝m 2＋4m ＋4－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2≥0， ∴方程总有两个实数根．(2)解：∵x＝m ＋2±（m －2）22m ＝m ＋2±（m －2）2m， ∴x 1＝m ＋2＋m －22m ＝1，x 2＝m ＋2－m ＋22m ＝2m. ∵方程的两个实数根都是整数，∴2m是整数．∴m＝±1或m ＝±2. 又∵m 是正整数，∴m＝1或m ＝2.16．解：(1)∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a ＋c)(a －c)＝0.∴4b 2－4a 2＋4c 2＝0.∴a 2＝b 2＋c 2.∴△ABC 是直角三角形．(2)∵当△ABC 是等边三角形，∴a＝b ＝c.∵(a＋c)x 2＋2bx ＋a －c ＝0，∴2ax 2＋2ax ＝0.∴x 1＝0，x 2＝－1.。
青岛版-数学-九年级上册-何时运用根的判别式
何时运用根的判别式一元二次方程2ax bx c ++=0（a≠0）根的判别式指的是代数式△=24b ac -的值，它的正负性决定了一元二次方程有没有实数根的命运，因此，根的判别式在一元二次方程中有着举足轻重的作用，可是什么情况下运用根的判别式呢？一般而言，常见的有以下三种情形需要运用根的判别式.一、判定一元二次方程根的情况时，运用根的判别式例1、关于x 的一元二次方程()220x mx m -+-=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根；B ．有两个相等的实数根；C ．没有实数根；D ．无法确定.解析：欲知一元二次方程根的情况，必须明确根的判别式的值.因为△=()()224248m m m m ---=-+=()22m -+4，显然，不论m 为何值，总有()22m -+4＞0，即△＞0，所以该方程有两个不相等的实数根，选A.点评：列出根的判别式△=()()224248m m m m ---=-+后，不能至此就断言△＞0，应再运用配方法将△化为4)2(2+-m ，然后由非负数的性质再得出△＞0，否则，解答是不够完整的.二、已知一元二次方程两根情况时，运用根的判别式例2、如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A.k ＞14-B.k ＞14-且0k ≠C.k ＜14-D.14k ≥-且0k ≠ 解析：因为方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，所以△=（2k+1）2-42k ＞0，解之，得k ＞-14； 又2k ≠0，k≠0，故k 的取值范围是k ＞-14且k≠0，选B. 点评：由△＞0，解得k ＞-14后，要记住此取值范围是在二次项系数2k ≠0的前提下得到，因此，别忘了k≠0.三、在运用根和系数关系时，运用根的判别式例3、已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）当22120x x -=时，求m 的值．（友情提示：若1x ，2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠两根，则有12b x x a +=-，12c x x a⋅=） 解析：（1）欲求m 的取值范围，关键在于建立关于m 的不等式.注意一元二次方程有无实数根与根的判别式之间的关系，可得△=()22214m m --=-4m+1≥0，解之，得m≤14， 即实数m 的取值范围是m≤14； （2）注意题目的提示，有1x +2x =-（2m-1），由22120x x -=得1212()()0x x x x +-=． 若120x x +=，则(21)0m --=，解得12m =， 又m≤14，所以12m =不合题意，舍去； 若120x x -=，则12x x =，从而△=-4m+1=0，14m =，满足m≤14． 故当22120x x -=时，14m =． 点评：解决第（2）问时，由120x x +=，解得12m =后，如果没有考虑根的判别式的正负性，则便会掉进命题者设计的陷阱.。
九年级数学上册 一元二次方程根的判别式 一元二次方程
一元二次方程根的判别式知识考点：理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况。
精典例题：【例1】当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。
（1）有两个相等实根； （2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。
分析：用判别式△列出方程或不等式解题。
答案：（1）43-=m ；（2）43-<m ；（3）43->m【例2】求证：无论m 取何值，方程03)7(92=-++-m x m x 都有两个不相等的实根。
分析：列出△的代数式，证其恒大于零。
【例3】当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。
分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分42-m ＝0和42-m ≠0两种情形讨论。
略解：当42-m ＝0即2±=m 时，)1(2+m ≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当42-m ≠0即2±≠m 时，方程有根的条件是：△＝[]208)4(4)1(222+=--+m m m ≥0，解得m ≥25-∴当m ≥25-且2±≠m 时，方程有实根。
综上所述：当m ≥25-时，方程有实根。
探索与创新：【问题一】已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。
略解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+≥--=∆≠01204)12(022122k k x x k k k 化简得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≠214102k k k∴不存在。
【问题一】如图，某校广场有一段25米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块100平方米的长方形草坪（如图CDEF ，CD ＜CF ）已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价格是每米4.5元。
青岛版-数学-九年级上册- 一元二次方程根的判别式 同步练习2
一元二次方程根的判别式练习一、 填空题1.若方程ax 2+bx+c=0（a≠0），则根的判别式为_________;当_________时,方程有两个不相等的实数根,当_______时,方程有两个相等的实数根,则_______时,方程无实数根.2.利用根的判别式,判断方程根的情况,首先将方程(x-2)(x-5)-16=0化成一般形式是_________,再代入判别式为_________,则方程根的情况___________.3.不解方程,判断方程根的情况:(1) 4p(p-1)-3=0.△_________,则方程____________:(2) .026232=+-x x △_________,则方程__________________.(3) .02232=+-t t △___________,则方程_________________.4.当k_________时,方程x 2-2(k+1)x+(k 2-2)=0有两个不相等的实数根.5.当m________时,方程x 2-(m+1)x+4=0有两个相等的实数根.6.如果方程x 2-2x+2c =0没有实数根,那么c 的取值是__________. 二、 解答题7.已知关于x 的方程（m 2-2）x 2-2（m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.8.证明关于x 的方程x 2+（k-1）x+（k-3）=0有两个不相等的实数根.9.已知关于x 的方程a （1-x 2）+2bx+c （1+x 2）=0有两个相等的实数根，且a ，b ，c 是△ABC 的三条边，判断△ABC 的形状.三、 选择题10.关于x 的方程x 2-201=-x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）.(A)k≥0 (B)k ＞0 (C)k ＞-1 (D)k≥-111.关于x 的方程mx 2-mx+1=0有两个相等的实数根，则m 的取值范围是（）.(A)m=0 (B)m=7 (C)m=4 (D)m ＞4且m≠012.若关于x 的二次方程2x （kx-4）-x 2+6=0无实数根，则k 的最小整数应是（）.(A)-1 (B)2 (C)3 (D)413.关于x 的方程nx 2-(2n-1)x+n=0有两个实数根,则n 的值为( ). (A)n≤41(B)≤41且n≠0 (C)n≥-41 (D)n≥-41或n≠0 14.若关于y 的方程y 2-19y+k=0有两个相等的实数根,那么方程y 2+19y-k=0的根的情况是( ).(A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的实数根(C)无实数根 (D)无法判定四、 填空题15.若方程组⎩⎨⎧=+=+36222y mx y x 有一个实数根，则m 值为__________.16.已知方程x2-0cos 422=+a x 有两个相等的实数根,求锐角a=_________.五、 解答题17.判断关于y 的方程y 2+3（m-1）y+2m 2-4m+47=0的根的情况.18.当m ＞3时，讨论关于x 的方程（m-5）x 2-2（m+2）x+m=0的实数根的个数.19.关于x 的方程x 2+3x+a=0中有整数解，a 为非负整数，求方程的整数解.20.当m=1时，求证关于x 的方程（k-3）x 2+kmx-m 2+6m-4=0有实数根.。
2022年青岛版九上《一元二次方程根的判别式》同步练习( 附答案)
一元二次方程根的判别式练习题〔一〕填空1．方程x2＋2x-1＋m=0有两个相等实数根，那么m=____．2．a是有理数，b是____时，方程2x2＋〔a＋1〕x-〔3a2-4a＋b〕=0的根也是有理数．3．当k＜1时，方程2〔k+1〕x2＋4kx+2k-1=0有____实数根．5．假设关于x的一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根，那么m的值为____．6．方程4mx2-mx＋1=0有两个相等的实数根，那么 m为____．7．方程x2-mx＋n=0中，m，n均为有理数，且方程有一个根是23，那么m= ，n= 。
8．一元二次方程ax2＋bx＋c=0〔a≠0〕中，如果a，b，c是有理数且Δ=b2-4ac是一个完全平方数，那么方程必有__．9．假设m是非负整数且一元二次方程〔1-m2〕x2+2〔1-m〕x-1=0有两个实数根，那么m的值为____．10．假设关于x的二次方程kx2+1=x-x2有实数根，那么k的取值范围是____．11．方程2x2-〔3m＋n〕x＋m·n=0有两个不相等的实数根，那么m，n的取值范围是____．12．假设方程a〔1-x2〕＋2bx＋c〔1＋x2〕=0的两个实数根相等，那么a，b，c的关系式为_____．13．二次方程〔k2-1〕x2-6〔3k-1〕x+72=0有两个实数根，那么k为___．14．假设一元二次方程〔1-3k〕x2＋4x-2=0有实数根，那么k的取值范围是____．15．方程〔x2＋3x〕2+9〔x2+3x〕＋44=0解的情况是＿解．16．如果方程x2＋px＋q=0有相等的实数根，那么方程x2-p〔1＋q〕x＋q3＋2q2＋q=0____实根．〔二〕选择那么α= [ ]．18．关于x的方程：m〔x2＋x+1〕=x2+x＋2有两相等的实数根，那么m值为[ ]．19．当m＞4时，关于x的方程〔m-5〕x2-2〔m＋2〕x+m=0的实数根的个数为 [ ]．A．2个； B．1个； C．0个； D．不确定．20．如果m为有理数，为使方程x2-4〔m-1〕x＋3m2-2m+2k=0的根为有理数，那么k的值为[ ]．那么该方程 [ ]．A．无实数根； B．有相等的两实数根；C．有不等的两实数根； D．不能确定有无实数根．22．假设一元二次方程〔1-2k〕x2+8x=6没有实数根，那么k的最小整数值是 [ ]．A．2； B．0；C．1； D．3．23．假设一元二次方程〔1-2k〕x2+12x-10=0有实数根，那么k的最大整数值是 [ ]．A．1； B．2；C．-1； D．0．24．方程x2+3x+b2-16=0和x2+3x-3b＋12=0有相同实根，那么b的值是[ ]．A．4； B．-7； C．4或-7； D．所有实数．[ ]．A．两个相等的有理根； B．两个相等的实数根；C．两个不等的有理根；D．两个不等的无理根．26．方程2x〔kx-5〕-3x2+9=0有实数根，k的最大整数值是 [ ]．A．-1； B．0；C．1； D．2．29．假设m为有理数，且方程2x2＋〔m＋1〕x-〔3m2-4m+n〕=0的根为有理数，那么n的值为[ ]．A．4； B．1；C．-2； D．-6．30．方程x|x|-3|x|+2=0的实数根的个数是 [ ]．A．1； B．2；C．3； D． 4．〔三〕综合练习有两个相等的实数根．求证：a2+b2=c2．32．如果a，b，c是三角形的三条边，求证：关于x的方程a2x2+〔a2＋b2－c2〕x＋b2=0无解．33．当a，b为何值时，方程x2+2〔1+a〕x＋〔3a2+4ab＋4b2＋2〕=0有实数根．34．：关于x的方程x2+〔a-8〕x+12-ab=0，这里a，b是实数，如果对于任意a值，方程永远有实数解，求b的取值范围．35．一元二次方程〔m-1〕x2+2mx＋m＋3=0有两个不相等的实数根，求m的最大整数值．36．k为何值时，方程x2+2〔k-1〕x+ k2+2k-4=0：〔1〕有两个相等的实数根；〔2〕没有实数根；〔3〕有两个不相等的实数根．37．假设方程3kx2-6x＋8=0没有实数根，求k的最小整数值．38．m是什么实数值时，方程2〔m＋3〕x2＋4mx＋2m-2=0：〔1〕有两个不相等的实数根；〔2〕没有实数根．39．假设方程3x2-7x＋3k-2=0有两个不相同的实数根，求k的最大整数值．40．假设方程〔k+2〕x2+4x-2=0有实数根，求k的最小整数值．41．设a为有理数，当b为何值时，方程2x2＋〔a＋1〕x-〔3a2-4a＋b〕＝0的根对于a的任何值均是有理数？42．k为何值时，方程k2x2＋2〔k＋2〕x＋1=0：〔1〕有两不等的实根；〔2〕有两相等的实根；〔3〕没有实数根．43．方程〔b-x〕2-4〔a-x〕〔c-x〕=0〔a，b，c为实数〕．求证〔1〕此方程必有实根；〔2〕假设此方程有两个相等的实数根，那么a= b= c．44．假设方程〔c2＋a2〕x＋2〔b2-c2〕x＋c2-b2=0有两个相等的实数根，且a，b，c是三角形ABC的三边，证明此三角形是等腰三角形．参考答案〔一〕填空1．2 2．1 3．有两个不相等的 4．6，-46．16 7．4，1 8．两个有理数根 9．m=011．m，n为不等于零的任意实数 12．b2-c2+a2=0 13．任意实数14．k≤1 15．无实数 16．也有相等的〔二〕选择17．B 18．A 19．A 20．B 21．C22．A 23．B 24．A 25．B 26．D 29．B 30．C〔三〕综合练习方程有两个相等的实根，得Δ=0，即得4m〔a2-c2+b2〕=0．由于m＞0，所以a2-c2+b2=0，即a2+b2=c2．32．提示：Δ＝〔a2+b2-c2〕2-4a2b2=〔a2+b2-c2+2ab〕〔a2+b2-c2-2ab〕=[〔a+b〕2-c2][〔a-b〕2-c2]=〔a+b+c〕〔a+b-c〕〔a-b+c〕〔a-b-c〕．因为a，b，c是三角形的三条边，所以a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b+c＞0，a-b-c＜0，因此Δ＜0，所以方程无解．33．当a=1，b=-0.5时，方程有实数根．提示：由方程有实数根得Δ=[2〔1+a〕］2-4〔3a2+4ab+4b2+2〕=-4[〔1-a〕2+〔a+2b〕2]≥0．又因为〔1-a〕2≥0，〔a+2b〕2≥0，故而有〔1-a〕2+〔a+2b〕2≥0，所以只有-4[〔1-a〕2+〔a+2b〕2]=0，即〔1-a〕2+〔a+2b〕2=0．从而得出1-a=0，所以a=1；a+2b=0，解出b=-0.5．34．2≤b≤6．提示：方法一Δ=〔a-8〕2-4〔12-2b〕≥0，即a2+4a〔b-4〕+16≥0．因为对于任意a值上式均大于等于零，且二次项系数大于0．所以关于a的二次三项式中的判别式应小于等于零，即[4〔b-4〕]2-4×16≤0，即有b2-8b+12≤0，解之2≤b≤6．方法二Δ=〔a-8〕2-4〔12-2b〕=a2+4a〔b-4〕+16={a2+2a[2〔b-4〕]+[2〔b-4〕]2}-[2〔b-4〕]2+16E AB P 0M N F =[a+2〔b-4〕]2-4[〔b-4〕2-4]≥0．因此只能〔b-4〕2-4≤0，由此得-2≤b-4≤2，所以2≤b ≤6．35．m 的最大整数值为零．提示：由m-1≠0且Δ=〔2m 〕2-4k 的最大整数值为2．40．-4．41．b=1．提示：Δ=〔a+1〕2+8〔3a 2-4a+b 〕=25a 2-30a+8b+1．由于25a 2-30a+8b+1应为a 的完全平方式．所以〔-30〕2-4×25×〔8b+1〕=0，所以b=1．42．〔1〕-1＜k ＜0或k ＞0；〔2〕k=-1；〔3〕k ＜-1．43．〔1〕〔a-b 〕2+〔b-c 〕2+〔c-a 〕2≥0，即Δ≥0；〔2〕a-b=0，b-c=0，c-a=0，那么a=b=c ．44．提示：Δ=[2〔b 2-c 2〕]2-4〔c 2+a 2〕〔c 2-b 2〕=4〔b 2-c 2〕〔b 2-c 2+a 2+c 2〕=4〔b+c 〕〔b-c 〕〔b 2+a 2〕．由方程有两个相等实根．故而Δ= 0，即4〔b+c 〕〔b-c 〕〔b 2+a 2〕=0．因为a ，b ，c 是三角形的三边，所以b+c ≠0，a 2+b 2≠0，只有b-c=0，解出b=c ．第1课时 画轴对称图形一、选择题1．以下说法正确的选项是〔 〕A ．任何一个图形都有对称轴;B ．两个全等三角形一定关于某直线对称;C ．假设△ABC 与△A ′B ′C ′成轴对称，那么△ABC ≌△A ′B ′C ′;D ．点A ，点B 在直线1两旁，且AB 与直线1交于点O ，假设AO=BO ，那么点A 与点B•关于直线l 对称. 2．两条互不平行的线段AB 和A ′B ′关于直线1对称，AB 和A ′B ′所在的直线交于点P ，下面四个结论：①AB=A ′B ′；②点P 在直线1上；③假设A 、A ′是对应点，•那么直线1垂直平分线段AA ′；④假设B 、B ′是对应点，那么PB=PB ′，其中正确的选项是〔 〕A ．①③④B ．③④C ．①②D ．①②③④二、填空题3．由一个平面图形可以得到它关于某条直线对称的图形，•这个图形与原图形的_________、___________完全一样．4．数的运算中会有一些有趣的对称形式，仿照等式①的形式填空，并检验等式是否成立． ①12×231=132×21;②12×462=___________; ③18×891=__________;④24×231=___________.5．如图，点P 在∠AOB 的内部，点M 、N 分别是点P 关于直线OA 、OB•的对称点，线段MN 交OA 、OB 于点E 、F ，假设△PEF 的周长是20cm ，那么线段MN 的长是___________．三、解答题6．如图，C 、D 、E 、F 是一个长方形台球桌的4个顶点，A 、B•是桌面上的两个球，怎样击打A 球，才能使A 球撞击桌面边缘CF 后反弹能够撞击B 球？请画出A•球经过的路线，并写出作法． E D C ABF7．如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点〔保存作图痕迹〕aA B8．如图，仿照例子利用“两个圆、•两个三角形和两条平行线段〞设计一个轴对称图案，并说明你所要表达的含义． 例:一辆小车四、探究题9．如图，牧马营地在P 处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线．草地河流营地P答案:1．C 2．D 3．形状；大小4．264×21；198×81；132×42 5．20cm6．作点A 关于直线CF 对称的点G ，连接BG 交CF 于点P ，那么点P 即为A•球撞击桌面边缘CF 的位置7．作点A 关于直线a 对称的点C ，连接BC 交a 于点P ，那么点P 就是抽水站的位置 8．略9．分别作P 点关于河边和草地边对称的点C 、D ，连接CD 分别交河边和草地于A 、B 两点，那么沿PA →AB →BP 的线路，所走路程最短．。
最新青岛版九年级数学上册精品课件4.5一元二次方程根的判别式
x b
b2
• 第级
4ac •. 就第得五级到方程的根，这个式子叫做一元二次方
2a
程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，
由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
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一元二次方程根的判别式
我•们单把•击第b2此二-4处级ac叫编作辑一母元版二文次本方样式程ax2+bx+c=0根的判
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例3:不解方程，判断下列方程的根的情况．
（•1单）击3x此2+处4x－编3辑=母0；版（文2本）样4x式2=12x－9; (3) 7y=5(y2+1). 解：• （第1二）级3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3,
• 第三级
∴b• 2－第四4级ac=32－4×3×(－3)=52＞0. • 第五级
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根• 单的•击判第此二别处级式编b2辑-4a母c 版文本务为样必一式将般方形程式化
• 第三级
• 第四级
应用根的判别式• 第时五要级 注意： (1)要注意一元二次方程的二次项系数不为0,在运用根的判别 式时,要找准a,b,c的值.
(2)此判别式只适用于一元二次方程,当无法判定方程是不是 一元二次方程时,应对方程进行分类讨论.
别式，通• 常第三用级符号“ ”表示，即 = b2-4ac.
• 第四级
• 第五级
判别式的情况
根的情况
>0
两个不相等实数根
=0
两个相等实数根
<0
没有实数根
≥0
九年级数学上册132判别式、根与系数的关系专题训练 试题
判别式、根与系数的关系专题训练〔3〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一、根底知识：1、 一元二次方程的判别式与解的关系：ac b 42-=∆1〕当b 2－4ac 0时，方程有两个不相等的实数根，反之也成立。
2〕当b 2－4ac 0时，方程有两个相等的实数根，反之也成立。
3〕当b 2－4ac 0时，方程有实数根，反之也成立。
4〕当b 2－4ac 0时，方程没有实数根，反之也成立2、 一元二次方)0(02≠=++a c bx ax ，设方程的两个根分别为2,1x x ，那么有：1〕_______21=+x x ， 2〕______21=•x x3〕,__________2221=+x x 4〕_________,2112=+x x x x 5〕,__________2221=-x x 6〕 ______________||21x x - ，7〕______________21x x -，二、才能训练1、一元二次方程0132=-+x x ，判断方程有 个根。
2、方程022=+-mx x 有两个不相等实数根，那么x 的取值范围 。
3、一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12x x ，，那么221212x x x x +的值是〔 〕Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．13 Ｄ．13- 4、正比例函数(1)y a x =+的图象经过第二、四象限，假设a 同时满足方程22(12)0x a x a +-+=，那么此方程的根的情况是〔 〕Ａ．有两个不相等的实数根Ｂ．有两个相等的实数根 Ｃ．没有实数根 Ｄ．不能确定5、假设一元二次方01)12(22=+-+x k x k ，有两个不相等的实数根，是否存在k 是方程的两个根互为相反数，假设存在求出k 的值，不存在，说明理由。
6、一元二次方程0)2(222=+--m x m x ，是否存在实数m,是方程的两个根的平方和为56，存在求出m 的值，不存在说明理由。
九年级数学上册 一元二次方程根的判别式 判别式的八种应用素材 (新版)青岛版
判别式的八种应用一、求方程(组)的解及解的取值范围例1若x2＋2x＋y2－6y＋10＝0，x，y为实数．求x，y(原初中代数第四册第207页3(2)题)解：将方程看成是关于x的一元二次方程，由于x，y为实数．∴Δ＝22－4(y2－6y＋10)＝－4(y－3)2≥0．即(y－3)2≤0，于是y＝3，进而得x＝－1．例2已知a，b，c为实数，满足a＋b＋c＝0，abc＝8，求c的取值范围．(第一届“希望杯”全国数学竞赛题)解：∵a＋b＋c＝0，abc＝8，例3已知实数x，y，z满足x＝6－y，z2＝xy－9，求x，y的值．证明：∵x+y＝6，xy=z2+9则x，y是一元二次方程a2－6a＋z2＋9＝0的两个实数根，则有Δ＝36－4(z2＋9)＝－4z2≥0，即z2≤0．因z为实数，∴z＝0，从而Δ＝0，故上述关于a的方程有相等实根，即x＝y＝3．二、判断三角形形状例4若三角形的三边a，b，c满足a(a－b)＋b(b－c)＋c(c－a)＝0．试判断三角形形状．证明：将原式变形为b2－(a＋c)b＋a2＋c3－ac＝0，由于a，b，c为实数，关于b的一元二次方程有实根，∴Δ＝(a＋c)2－4(a2＋c2－ac)≥0．整理得－3(a－c)2≥0，即(a－c)2≤0，故a＝c，把a＝c代入原式，得b＝c，从而有a＝b＝c，所以三角形为等边三角形．三、求某些字母的值．例5 k为何值时，(x＋1)(x＋3)(x＋5)(x＋7)＋k是一完全平方式．解：原式＝(x2＋8x＋7)(x2＋8x＋7＋8)＋k＝(x2＋8x＋7)2＋8(x2＋8x＋7)＋k令(x2＋8x＋7)2＋8(x2＋8x＋7)＋k＝0，因原式是完全平方式，则其根的判别式，Δ＝82－4k＝0，即k＝16．例6如果x2－y2＋mx＋5y－6能分解成两个一次因式的积，试求m的值．解：令x2＋mx－(y2－5y＋6)＝0，则关于x的方程的根的判别式Δ＝4y2－20y＋m2＋24．欲使原式能分解成两个一次因式乘积，必须“Δ”是一完全平方式，从而有4y2－20y＋m2＋24＝0的根的判别式∴m2＝1，即m＝±1．例7a为有理数，问：b为何值时，方程x2－4ax＋4x＋3a2－2a＋4b＝0的根是有理数．解：方程整理为x2＋4(1－a)x＋(3a2－2a＋4b)＝0．它的判别式Δ＝4(a2－6a－4b＋4)，由于4(a2－6a－4b＋4)是有理数a的二次三项式．即 4(a2－6a－4b＋4)＝0的根的判别式四、证明不等式令y＝(a2＋b2＋c2)x2－2(a＋b＋c)x＋3，易知y＝(ax－1)2＋(bx－1)2＋(cx－1)2≥0．因为a2＋b2＋c2＞0，且对任意的x值y≥0，故有Δ＝4(a＋b＋c)2－4×3(a2＋b2＋c2)≤0，所以(a＋b＋c)2≤3(a2＋b2＋c2)．五、求函数的最大值最小值解：令x2-x+1=0，它的判别式Δ=-3＜0，可见x为一切实数时，有x2-x+1＞0，∴原式变形为(1－y)x2＋(y－5)x＋(1－y)＝0，要使x为实数，则有Δ＝(y－5)2－4(1－y)2≥0．六、证明实数存在性问题例10若ab＝2(c＋d)，a，b，c，d均为实数，求证方程x2＋ax＋c＝0和x2＋bx＋d＝0至少有一个方程有实根．证明：假设方程x2＋ax＋c＝0和x2＋bx＋d＝0都没有实根．从而有a2＋b2＜2ab，即(a－b)2＜0，与(a－b)2≥0矛盾，因此假设不成立，原题得证．七、在解三角形中的应用例11在ΔABC中，AC＝1，AB＝2，求∠B的范围．解：设BC＝x，由余弦定理得．1＝x2＋22－2·2xcosB，即x2－4cosB·x＋3＝0．八、在平面几何中的应用例12如图1,已知：△ABC中，D为BC边上任意一点，DE∥BC，DE与AC交于E,的面积S△的一半．(1989年沈阳市中考试题)设△ADE的面积为S1，△EHC的面积为S2，。
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根的判别式的深化应用一、一元二次方程根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），它的解的情况由b 2－4ac 的取值决定，我们通常用“∆2-，即ac b 42-=∆。
方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况 =∆b 2－4ac ＞0 两个不相等的实数根=∆b 2－4ac ＝0 两个相等的实数根=∆b 2－4ac ＜0 没有实数根方法归纳：用b －4ac 可以判断方程根的情况，反过来，若已知方程根的情况，则可确定b 2－4ac 的取值。
二、根的判别式的应用1. 判断一元二次方程根的情况。
2. 确定一元二次方程中字母系数的取值范围。
3. 确定一元二次方程根的某些特性，如是不是有理根。
方法归纳：（1）计算=∆b 2－4ac 时注意a 、b 、c 表示各项系数，包括它们前面的符号；（2）关于根的判别式=∆b 2－4ac 的正、负号的判定涉及代数式的恒等变形，一般地，将表示=∆b 2－4ac 的代数式进行配方，利用非负数、非正数的概念，确定=∆b 2－4ac 的正、负号。
总结：1. 会讨论方程的根的情况，包括一元一次方程和一元二次方程。
2. 能利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的特性，如：有理根、整数根等。
例题1 关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋（m －2）＝0的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定解析：这是含字母系数的一元二次方程，将字母视为数字即可。
这里a ＝1，b ＝－m ，c ＝m －2。
因为b 2－4ac ＝（－m ）2－4×1×（m －2）＝m 2－4m ＋8＝m 2－4m ＋4＋4＝（m －2）2＋4＞0，所以方程有两个不相等的实数根。
答案：A点拨：判断b 2－4ac 的正、负情况时，通常有两种情形，（1）已知判别式中某些字母的取值范围，依此确定判别式∆的取值范围；（2）一般要将表示b 2－4ac 的代数式进行配方，利用偶次幂的非负性确定b 2－4ac 的正、负号。
例题2 定义：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）满足a ＋b ＋c ＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程，已知ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A. a ＝cB. a ＝bC. b ＝cD. a ＝b ＝c解析：由方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）满足a ＋b ＋c ＝0可知方程的解为x ＝1，然后由方程解的情况建立a 、b 、c 之间的数量关系。
答案：因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＝－（a ＋c ）。
因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个相等的实数根，所以b 2－4ac ＝0，把b ＝－（a ＋c ）代入，得：[－（a ＋c ）]2－4ac ＝a 2＋2ac ＋c 2－4ac ＝0。
所以a 2－2ac ＋c 2＝0，即（a －c ）2＝0。
所以a ＝c 。
故选A 。
点拨：解此类型问题，首先要明确所给定义的含义，然后用定义去考量已知条件，依据定义或定义提供的方法解题。
例题3 已知关于x 的方程kx 2－5x ＋2＝0有实数根，求k 的取值范围。
解析：本题并没有明确指出方程是否为一元二次方程，因此应对二次项系数a 的取值进行分类讨论。
答案：当k ＝0时，方程为一元一次方程，有一个实数根。
当k ≠0时，方程为一元二次方程，且a ＝k 、b ＝－5、c ＝2。
所以∆＝b 2－4ac ＝（－5）2－4×k ×2＝25－8k 。
当25－8k ＞0，即k ＜258且k ≠0时，方程有两个不相等的实数根； 当25－8k ＝0，即k ＝258时，方程有两个相等的实数根； 当25－8k ＜0，即k ＞258时，方程无实数根。
综上所述，k 的取值范围是k ≤258。
点拨：从数学方法的角度看，本题属于分类讨论型问题，而且需要讨论两点：一是此方程可分为一元一次方程和一元二次方程两种情况；二是一元二次方程有实数根可分为有两个相等的实数根和两个不相等的实数根。
一元二次方程根的判别式不但可以判断方程有没有实数根，而且可以判断出方程有没有有理根。
不难理解，只要∆＝b 2－4ac 是一个有理数的完全平方数（或开平方开得尽），原方程的根就一定是有理数。
要判断一个一元二次方程的根是不是整数可结合x ＝－b ±b 2－4ac 2a来确定。
例题 边长为整数的直角三角形，若其两直角边边长是方程x 2－（k ＋2）x ＋4k ＝0的两根，求k 的值，并确定直角三角形三边之长。
解：因为方程的根为整数，故∆＝（k ＋2）2－16k 为完全平方数。
设（k ＋2）2－16k ＝n 2，∴k 2－12k ＋4＝n 2，∴（k －6）2－n 2＝32，∴（k ＋n －6）（k －n－6）＝1×32＝2×16＝4×8。
∵k ＋n －6＞k －n －6，∴⎩⎨⎧k ＋n －6＝32k －n －6＝1或⎩⎨⎧k ＋n －6＝16k －n －6＝2或⎩⎨⎧k ＋n －6＝8k －n －6＝4。
45 2（舍去），k2＝15，k3＝12。
解得k1＝当k ＝15时，有x 2－17x ＋60＝0，解得x ＝5或12，则斜边c ＝13；当k ＝12时，有x 2－14x ＋48＝0，解得x ＝6或8，则斜边c ＝10。
所以这个直角三角形三边长分别为5、12、13或6、8、10。
分析：解答本题的关键是根据已知方程求出直角三角形的两条直角边长，因为直角三角形的边长为整数，所以已知方程有两个整数根。
一元二次方程有整数根至少要求判别式为有理数的完全平方数。
（答题时间：45分钟）一、选择题1. 关于x 的方程x 2－kx ＋k ＝2的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 不能确定2. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A. x 2－3x ＋1＝0B. x 2＋1＝0C. x 2－2x ＋1＝0D. x 2＋2x ＋3＝03. 对于任意实数k ，关于x 的方程x 2－2（k ＋1）x －k 2＋2k －1＝0的根的情况为（ ）A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定4. 已知b ＜0，关于x 的一元二次方程（x －1）2＝b 的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 有两个实数根*5. 若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A. k ＞－1B. k ＜1且k ≠0C. k ≥－1且k ≠0D. k ＞－1且k ≠0**6. 如果关于x 的方程x 2＋4x ＋10－a ＋2＝0有两个有理根，那么所有满足条件的正整数a 的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题*7. 若5k ＋20＜0，则关于x 的一元二次方程x 2＋4x －k ＝0的根的情况是__________。
*8. 若关于x 的一元二次方程kx 2＋4x ＋3＝0有实数根，则k 的非负整数值是__________。
*9. 若︱b －1︱＋a －4＝0，且一元二次方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个实数根，则k 的取值范围是__________。
**10. 如果关于x 的方程x 2＋kx ＋34k 2－3k ＋92＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，那么x 12012x 22013的值为__________。
三、解答题11. 当m 为何值时，关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋m －12＝0有两个相等的实数根，此时这两个实数根是多少？12. 关于x的方程x2－（2a－1）x＋（a－3）＝0，试说明无论a取任何实数，方程总有两个不等实数根。
*13. 已知关于x的方程x2＋2（a＋1）x＋（3a2＋4ab＋4b2＋2）＝0有实数根，求a、b 的值。
**14. 已知一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋k＝0。
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5。
当△ABC 是等腰三角形时，求k的值。
**15. 已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根。
（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值。
一、选择题1. A 解析：因为b 2－4ac ＝k 2－4（k －2）＝k 2－4k ＋8＝（k －2）2＋4＞0，所以原方程有两个不相等的实数根。
2. A 解析：依据判别式进行判断即可，选项A 中∆＞0，选项B 中∆＜0，选项C 中∆＝0，选项D 中∆＜0。
3. C 解析：∆＝4（k ＋1）2－4（－k 2＋2k －1）＝4k 2＋8k ＋4＋4k 2－8k ＋4＝8k 2＋8＞0，所以原方程有两个不相等的实数根。
4. C 解析：本题不必利用判别式，根据二次幂的意义判断即可。
*5. D 解析：根据题意可知，（－2）2－4k ×（－1）＞0，即k ＞－1。
且当k ＝0时原方程为一元一次方程，不符合题意，所以k ＞－1且k ≠0。
**6. B 解析：根据题意得42－4（10－a ＋2）＝8－410－a 是一个有理数的完全平方数。
又10－a ≥0，即a ≤10，因为a 是正整数，显然，当a ＝1、6、9、10时10－a 是有理数，其中a ＝6、9时8－410－a 是一个有理数的完全平方数。
所以a ＝6或9。
二、填空题*7. 没有实数根 解析：由5k ＋20＜0得k ＜－4。
此时∆＝42＋4k ＜0，所以原方程没有实数根。
*8. 1 解析：由题意可得∆＝42－4k ×3＝16－12k ≥0，即k ≤43，所以k 的非负整数值是1。
*9. k ≤4且k ≠0 解析：∵︱b －1︱＋a －4＝0，∴b －1＝0，a －4＝0，解得b ＝1，a ＝4。
又∵一元二次方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个实数根，∴∆＝a 2－4kb ≥0且k ≠0，解得k ≤4且k ≠0。
**10. －23 解析：根据题意，关于x 的方程有两个实数根，则∆＝k 2－4（34k 2－3k ＋92）≥0，即（k －3）2≤0。
又因为恒有（k －3）2≥0，所以（k －3）2＝0，解得k ＝3。
此时方程为x 2＋3x ＋94＝0，解得x 1＝x 2＝－32。
故x 12012x 22013＝1x 2＝－23。
三、解答题11. 解：因为一元二次方程有两个相等的实数根，∴（－4）2－4（m －12）＝0，即16－4m ＋2＝0，m ＝92，当m ＝92时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝2。