《挑战中考数学压轴题精讲解读篇第11版》第四部分(4.7)
2018《挑战中考数学压轴题精讲解读篇第11版》第四部分(4.5、4.6)(无答案)
§4.5四边形在三角形纸片ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AC=30cm.将该纸片沿过点B的直线折叠,使点A落在斜边BC上的一点E处,折痕记为BD(如图1),剪去△CDE后得到双层的△BDE(如图2),再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开,使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形,则所得平行四边形的周长为cm.图1 图2已知矩形ABCD的四个顶点落在反比例函数y=的图象上,点A的横坐标为2,则矩形ABCD的面积为.如图,任意四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点,对于四边形EFGH的形状,某班学生在一次数学活动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中错误的是().A.当E、F、G、H是各边中点,且AC=BD时,四边形EFGH是菱形B.当E、F、G、H是各边中点,且AC⊥BD时,四边形EFGH是矩形C.当E、F、G、H不是各边中点时,四边形EFGH可以为平行四边形D.当E、F、G、H不是各边中点时,四边形EFGH不可能为菱形如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E, AF⊥CD于点F,若∠EAF=56°,则∠B= .如图,在△ABC中,点D是边BC上的点(与B、C两点不重合),过点D作DE∥AC, DF∥AB,分别交AB、AC于E、F两点,下列说法中正确的是().A.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形B.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形C.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形D.若AD平分∠BAC,则AEDF是菱形一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形,且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形.在满足条件的所有分割中,若知道九个小矩形中n个小矩形的周长,就一定能算出这个大矩形的面积,则n的最小值是()A. 3B. 4C. 5D. 6如图,在四边形ABCD中,AB=AD, ∠BAD=∠BCD=90°,连结AC.若AC=6,则四边形ABCD的面积为.§4.6圆如图,矩形ABCD中,AB=4, AD=7,点E、F分别在边AD、BC上,且点B、F关于过点E 的直线对称.如果以CD为直径的圆与EF相切,那么AE= .如图,☉A和☉B的半径分别为5和1, AB=3,点O在直线AB上,☉O与☉A、☉B都内切,那么☉O的半径是.图1中是两个全等的正五边形,则α= .图1、如图,已知∠AOB=30°,在射线OA上取点O1,以O1为圆心的圆与OB相切;在射线O1A上取点O2,以O2为圆心、O2O1为半径的圆与OB相切;在射线O2A上取点O3,以O3为圆心、O3O2为半径的圆与OB相切……在射线O9A上取点O10,以O10为圆心、O10O9为半径的圆与OB相切.若☉O1的半径为1,则☉O10的半径长是.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1.将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,点B经过的路径为,则图中阴影部分的面积是().A.B.C.-D.如图1,正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1,它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2,如此继续下去,则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是.图1运用图形变化的方法研究下列问题:如图, AB是☉O的直径,CD、EF是☉O的弦,且AB ∥CD∥EF, AB=10, CD=6, EF=8,则图中阴影部分的面积是().A.B. 10πC. 24+4πD. 24+5π如图,在直角坐标系中,☉A的圆心A的坐标为(-1, 0),半径为1,点P为直线y=-x+3上的动点,过点P作☉A的切线,切点为Q,则切线长PQ的最小值是.正n边形(n≥4)的最短对角线与最长对角线的比值称为“特征值”,记为λn,那么λ6= .如图,有一个不定的正方形ABCD,它的两个相对的顶点A、C分别在边长为1的正六边形一组对边上,另外两个顶点B、D在正六边形内部(包括边界),则正方形边长a的取值范围是.如图,在矩形ABCD中,AB=4, AD=2,分别以点A、C为圆心,AD、CB为半径画弧,交AB 于点E,交CD于点F,则图中阴影部分的面积是().A. 4-2πB. 8-C. 8-2πD. 8-4π。
2018中考数学挑战压轴题[含答案解析]
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2017 挑战压轴题中考数学精讲解读篇因动点产生的相似三角形问题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值．2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O 于点F．（1）求证：AH=BD；（2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式；（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．（1）求直线AB的表达式；（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），的值；当AD=2DB时，求k1（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条的值．件的所有k24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G．（1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值；（2）CE•AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE•AF的值；如果变化，请说明理由；（3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．5．如图，平面直角坐标系xOy中，已知B（﹣1，0），一次函数y=﹣x+5的图象与x轴、y轴分别交于点A、C两点，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A、点B．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是该二次函数图象的顶点，求△APC的面积；（3）如果点Q在线段AC上，且△ABC与△AOQ相似，求点Q的坐标．6．已知：半圆O的直径AB=6，点C在半圆O上，且tan∠ABC=2，点D为弧AC上一点，联结DC（如图）（1）求BC的长；（2）若射线DC交射线AB于点M，且△MBC与△MOC相似，求CD的长；（3）联结OD，当OD∥BC时，作∠DOB的平分线交线段DC于点N，求ON的长．7．如图，已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣1），点C（0，﹣4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴与点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包含△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P时直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．因动点产生的等腰三角形问题8．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F 是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=2，求AB，BD的长；（2）如图1，求证：HF=EF；（3）如图2，连接CF，CE．猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由．9．已知，一条抛物线的顶点为E（﹣1，4），且过点A（﹣3，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作DK ⊥x轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求证：GH=HK；（3）当△CGH是等腰三角形时，求m的值．10．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sinA=，点P是边BC上的一点，PE⊥AB，垂足为E，以点P为圆心，PC为半径的圆与射线PE相交于点Q，线段CQ与边AB交于点D．（1）求AD的长；（2）设CP=x，△PCQ的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）过点C作CF⊥AB，垂足为F，联结PF、QF，如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形，求CP的长．11．如图（1），直线y=﹣x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2）．点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；（3）如图（2），将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC，且点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．12．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．因动点产生的直角三角形问题13．已知，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=11，CD=6，tan ∠ABC=2，点E在AD边上，且AE=3ED，EF∥AB交BC于点F，点M、N分别在射线FE和线段CD上．（1）求线段CF的长；（2）如图2，当点M在线段FE上，且AM⊥MN，设FM•cos∠EFC=x，CN=y，求y 关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长．14．如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．（1）分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．因动点产生的平行四边形问题15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a 的值；（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．16．如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．（1）求点E坐标及经过O，D，C三点的抛物线的解析式；（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2 个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；（3）若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH 平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．18．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x．（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．（3）在点P的整个运动过程中，①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．19．在平面直角坐标系xOy（如图）中，经过点A（﹣1，0）的抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称．（1）求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；（2）如果点E是抛物线上一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F，且F 在E的右边，过点E作EG⊥AD与点G，设E的横坐标为m，△EFG的周长为l，试用m表示l；（3）点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，Q是坐标平面内一点，如果以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．20．如图，直线y=mx+4与反比例函数y=（k＞0）的图象交于点A、B，与x轴、y轴分别交于D、C，tan∠CDO=2，AC：CD=1：2．（1）求反比例函数解析式；（2）联结BO，求∠DBO的正切值；（3）点M在直线x=﹣1上，点N在反比例函数图象上，如果以点A、B、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P 在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．因动点产生的梯形问题22．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=+bx+c的图象与y轴交于点A，与双曲线y=有一个公共点B，它的横坐标为4，过点B作直线l∥x轴，与该二次函数图象交于另一个点C，直线AC在y轴上的截距是﹣6．（1）求二次函数的解析式；（2）求直线AC的表达式；（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形？如果存在，求出点D坐标；如果不存在，说明理由．23．如图，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在x轴和y轴的正半轴上，OM=6，ON=3，反比例函数y=的图象与PN交于C，与PM交于D，过点C作CA⊥x轴于点A，过点D作DB⊥y轴于点B，AC与BD交于点G．（1）求证：AB∥CD；（2）在直角坐标平面内是否若存在点E，使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是等腰梯形？若存在，求点E的坐标；若不存在请说明理由．因动点产生的面积问题24．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC 于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD、PE、DE．（1）请直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．25．如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．26．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD 与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG 在同一直线上．（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG 上时，请你帮他求出此时BE的长．（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．27．在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线y=﹣x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；②若点P的横坐标为t（﹣1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大？并说明理由．28．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．（1）∠OBA= °．（2）求抛物线的函数表达式．（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？29．如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC =3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．30．已知抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B（1）求m的取值范围；（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；（3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值．31．问题提出（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．32．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，OC=8，OE=17，抛物线y=x2﹣3x+m与y轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，与CD交于点K．（1）将矩形OCDE沿AB折叠，点O恰好落在边CD上的点F处．①点B的坐标为（、），BK的长是，CK的长是；②求点F的坐标；③请直接写出抛物线的函数表达式；（2）将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠，点O恰好落在边CD上的点G处，连接OG，折痕与OG相交于点H，点M是线段EH上的一个动点（不与点H重合），连接MG，MO，过点G作GP⊥OM于点P，交EH于点N，连接ON，点M从点E开始沿线段EH向点H运动，至与点N重合时停止，△MOG和△NOG的面积分别表示为S 1和S2，在点M的运动过程中，S1•S2（即S1与S2的积）的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．33．如图，已知▱ABCD的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作▱ABCD关于直线AD的对称图形AB1C 1 D（1）若m=3，试求四边形CC1B1B面积S的最大值；（2）若点B1恰好落在y轴上，试求的值．因动点产生的相切问题34．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A （﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线l．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；（2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标．35．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=14，tanA=，点D是边AC上一点，AD=8，点E是边AB上一点，以点E为圆心，EA为半径作圆，经过点D，点F是边AC上一动点（点F不与A、C重合），作FG⊥EF，交射线BC于点G．（1）用直尺圆规作出圆心E，并求圆E的半径长（保留作图痕迹）；（2）当点G的边BC上时，设AF=x，CG=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结EG，当△EFG与△FCG相似时，推理判断以点G为圆心、CG为半径的圆G与圆E可能产生的各种位置关系．36．如图，线段PA=1，点D是线段PA延长线上的点，AD=a（a＞1），点O是线段AP延长线上的点，OA2=OP•OD，以O为圆心，OA为半径作扇形OAB，∠BOA=90°．点C是弧AB上的点，联结PC、DC．（1）联结BD交弧AB于E，当a=2时，求BE的长；（2）当以PC为半径的⊙P和以CD为半径的⊙C相切时，求a的值；（3）当直线DC经过点B，且满足PC•OA=BC•OP时，求扇形OAB的半径长．37．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）．（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为；（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O 是否也相切？说明理由．38．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（2，3），对称轴为直线x=1，一次函数y=kx+b的图象经过点A，交x轴于点P，交抛物线于另一点B，点A、B 位于点P的同侧．（1）求抛物线的解析式；（2）若PA：PB=3：1，求一次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，当k＞0时，抛物线的对称轴上是否存在点C，使得⊙C 同时与x轴和直线AP都相切，如果存在，请求出点C的坐标，如果不存在，请说明理由．因动点产生的线段和差问题39．如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P 的直线y=x+m与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是；（2）若两个三角形面积满足S△POQ =S△PAQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．40．抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．41．如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为；（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．42．如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4，∠BAD=60°，且AB＞4．（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=6，求AE+AF的值；（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．43．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．（1）填空：点A的坐标为（，），点B的坐标为（，），点C的坐标为（，），点D的坐标为（，）；（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．44．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM 对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．45．如图，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在上且不与A点重合，但Q点可与B点重合．发现：的长与的长之和为定值l，求l：思考：点M与AB的最大距离为，此时点P，A间的距离为；点M与AB的最小距离为，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为；探究：当半圆M与AB相切时，求的长．（注：结果保留π，cos35°=，cos55°=）46．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．47．如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．①写出点M′的坐标；②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．48．如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N．（1）求N的函数表达式；（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值；（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．49．如图，顶点为A（，1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．2017 挑战压轴题中考数学精讲解读篇参考答案与试题解析一．解答题（共36小题）1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值．【分析】（1）根据题意易得点M、P的坐标，利用待定系数法来求直线AB的解析式；（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，构建等腰直角△QDC，利用二次函数图象上点的坐标特征和二次函数最值的求法进行解答；（3）根据相似三角形的对应角相等推知：△PBQ中必有一个内角为45°；需要分类讨论：∠PBQ=45°和∠PQB=45°；然后对这两种情况下的△PAT是否是直角三角形分别进行解答．另外，以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似也有两种情况：△Q″PB∽△PAT、△Q″BP∽△PAT．【解答】解：（1）如图①，设直线AB与x轴的交点为M．∵∠OPA=45°，∴OM=OP=2，即M（﹣2，0）．设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将M（﹣2，0），P（0，2）两点坐标代入，得，解得．故直线AB的解析式为y=x+2；（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂足为D，根据条件可知△QDC为等腰直角三角形，则QD=QC．设Q（m，m2），则C（m，m+2）．∴QC=m+2﹣m2=﹣（m﹣）2+，QD=QC=[﹣（m﹣）2+]．故当m=时，点Q到直线AB的距离最大，最大值为；（3）∵∠APT=45°，∴△PBQ中必有一个内角为45°，由图知，∠BPQ=45°不合题意．①如图②，若∠PBQ=45°，过点B作x轴的平行线，与抛物线和y轴分别交于点Q′、F．此时满足∠PBQ′=45°．∵Q′（﹣2，4），F（0，4），∴此时△BPQ′是等腰直角三角形，由题意知△PAT也是等腰直角三角形．（i）当∠PTA=90°时，得到：PT=AT=1，此时t=1；（ii）当∠PAT=90°时，得到：PT=2，此时t=0．②如图③，若∠PQB=45°，①中是情况之一，答案同上；先以点F为圆心，FB为半径作圆，则P、B、Q′都在圆F上，设圆F与y轴左侧的抛物线交于另一点Q″．则∠PQ″B=∠PQ′B=45°（同弧所对的圆周角相等），即这里的交点Q″也是符合要求．设Q″（n，n2）（﹣2＜n＜0），由FQ″=2，得n2+（4﹣n2）2=22，即n4﹣7n2+12=0．解得n2=3或n2=4，而﹣2＜n＜0，故n=﹣，即Q″（﹣，3）．可证△PFQ″为等边三角形，所以∠PFQ″=60°，又PQ″=PQ″，所以∠PBQ″=∠PFQ″=30°．则在△PQ″B中，∠PQ″B=45°，∠PBQ″=30°．（i）若△Q″PB∽△PAT，则过点A作y轴的垂线，垂足为E．则ET=AE=，OE=1，所以OT=﹣1，解得t=1﹣；（ii）若△Q″BP∽△PAT，则过点T作直线AB垂线，垂足为G．设TG=a，则PG=TG=a，AG=TG=a，AP=，∴a+a=，解得PT=a=﹣1，∴OT=OP﹣PT=3﹣，∴t=3﹣．综上所述，所求的t的值为t=1或t=0或t=1﹣或t=3﹣．2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O 于点F．（1）求证：AH=BD；（2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式；（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度．【分析】（1）由AD⊥BC，BH⊥AO，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对公共角，且半径相等，利用AAS得到三角形ADO与三角形BHO全等，利用全等三角形对应边相等得到OH=OD，利用等式的性质化简即可得证；（2）连接AB，AF，如图1所示，利用HL得到直角三角形ADB与直角三角形BHA全等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由公共角相等得到三角形ABE与三角形AFB相似，由相似得比例即可确定出y与x的函数解析式；（3）连接OF，如图2所示，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AFO与三角形FOG相似，由相似得比例求出BD的长即可．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BH⊥AO，∴∠ADO=∠BHO=90°，在△ADO与△BHO中，，∴△ADO≌△BHO（AAS），∴OH=OD，又∵OA=OB，∴AH=BD；（2）解：连接AB、AF，如图1所示，∵AO是半径，AO⊥弦BF，∴∴AB=AF，∴∠ABF=∠AFB，在Rt△ADB与Rt△BHA中，，∴Rt△ADB≌Rt△BHA（HL），∴∠ABF=∠BAD，∴∠BAD=∠AFB，又∵∠ABF=∠EBA，∴△BEA∽△BAF，∴=，。
中考数学压轴题十大类型经典题目
第七讲 中考压轴题十大类型 第 讲 中考压轴题十大类型
定值问题 几何 大变换问题 问题探究
第九讲 中考压轴题十大类型 第十讲 中考压轴题十大类型 第十一讲 中考压轴题综 第十二讲 中考压轴题综 训 训
实践操作 圆 一 二
第一讲
1. 2011 出发 运 规定 1 林 如图
中考压轴题十大类型
梯形 ABCD 中 AD∥BC 初始时刻开始 设运 角形
样的 t 使△AOH
是等腰
角形
请说明理
D
C
D
C
A
E O
B
F P
A
E O
备用图 1
B
F P
D
C
A
E O
备用图 2
B
F P
测试提高
1 2011 山东烟
如图
在直角坐标系中
边 CD 的端点 D 在 y 轴 别为 点时
4 0 0 4
梯形 ABCD 的 边 AB 在 x 轴 4 16 直线 CB 的表 式为 y = − x + 点 A D 的坐标 3 3 点 P 自 A 点出发 在 AB 匀速运 点 Q 自点 B 速度均为
点 P 在 AB 的延长线 的速度沿 OA 匀速运
P 点出发
一
点E
O 点出发 以
A 点后
立即以原速度沿 AO 返回 点E
另一
点F
以
1 个单位长度的速度沿射线 PA 匀速运
F 同时出发
两点相遇时停
运
在点 E F 的运
过程中 以 EF 为边作等边△EFG 使
△EFG 和矩形 ABCD 在射线 PA 的同侧 设运 的时间为 t
到点 E 停 △PAQ 的面
中考数学压轴题(含答案)
中考数学压轴题（含答案）目录第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2021年义乌市中考第24题 1.2 因动点产生的等腰三角形问题例2 2021年扬州市中考第27题 1.3 因动点产生的直角三角形问题例3 2021年杭州市中考第22题 1.4 因动点产生的平行四边形问题例4 2021年上海市中考第24题 1.5 因动点产生的梯形问题例5 2021年义乌市中考第24题例6 2021年杭州市中考第24题 1.6 因动点产生的面积问题例7 2021年河南省中考第23题 1.7 因动点产生的相切问题例8 2021年无锡市中考第28题 1.8 因动点产生的线段和差问题例9 2021年天津市中考第25题第二部分图形运动中的函数关系问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例1 2021年宁波市中考第26题2.2 由面积公式产生的函数关系问题例2 2021年广东省中考第22题第三部分图形运动中的计算说理问题3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 2021年南昌市中考第25题3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例2 2021年江西省中考第24题第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2021年义乌市中考第24题如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x2－x1随S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似．思路点拨1．第（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方．满分解答（1）抛物线的对称轴为直线x?1，解析式为y?（2）梯形O1A1B1C1的面积S?1211． x?x，顶点为M（1，?）8842(x1?1?x2?1)???3(x1?x2)?6，由此得到2s12111x1?x2??2．由于y2?y1?3，所以y2?y1?x2?x2?x12?x1?3．整理，得38484721??1． (x2?x1)?(x2?x1)???3．因此得到x2?x1?S84???x2?x1?14,?x1?6,当S=36时，? 解得? 此时点A1的坐标为（6，3）．?x2?x1?2.?x2?8.（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G．在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF．因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．由于tan?GAF?3t203DQt，tan?PQD?，所以?．解得t?． ?45?t74QP5?t图3 图4考点伸展第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．1.2 因动点产生的等腰三角形例2 2021年盐城市中考第28题如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y?4x的图象交于点A，且与x轴交于3点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y 轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O―C―A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图象中可以看到，△APR的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形．思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答?y??x?7,?x?3, 所以点A的坐标是(3，4)．（1）解方程组? 得?4?y?x,?y?4.?3?令y??x?7?0，得x?7．所以点B的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由S△APR?S梯形CORA?S△，ACP?SP△OR?8111得（3+7?t)?4??4?(4?t)??t(7?t)?8．整理，得t2?8t?12?0．解得t＝2或t＝6222（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，AB?42，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．35520在△APQ中， cos?A?为定值，AP?7?t，AQ?OA?OQ?OA?OR?t?．533352041如图5，当AP＝AQ时，解方程7?t?t?，得t?．338如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程7?t?2[(7?t)?(t?4)]，得t?5．1AQ2如7，当PA＝PQ时，那么cos?A?．因此AQ?2AP．解方程?cos?AAP2265203． t??2(7?t)?，得t?4333541226综上所述，t＝1或或5或时，△APQ 是等腰三角形．843图5 图6 图7考点伸展当P在CA上，QP＝QA时，也可以用AP?2AQ?cos?A来求解．感谢您的阅读，祝您生活愉快。
挑战压轴题解答题(真题汇编压轴特训)-2024年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编(广州卷)(原卷版)
03挑战压轴题（解答题一）(1)尺规作图：将法）；(2)在（1）所作的图中，连接V①求证：ABD②若tan BAC∠2．（2022·广东广州·统考中考真题）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD = 1.6m，BC =5CD．(1)求BC的长；(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆AB的高度．条件①：CE = 1.0m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°．注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．参考数据：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）设PAO V 的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式：并写出x 的取值范围；（3）作PAO V 的外接圆C e ，延长PC 交C e 于点Q ，当POQ △的面积最小时，求C e 的半径．(1)沿AC BC 、剪下ABC V ，则ABC V 是_______三角形（填“锐角______．(2)分别取半圆弧上的点E 、F 和直径AB 上的点G 、H ．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm 的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；2．（2022上·陕西西安·九年级校考期中）如图，在等边ABC V 中，点D 是AB 边上的一个动点（不与点A ，B 重合），以CD 为边作等边EDC △，AC 与DE 交于点F ，连接AE ．(1)求证：ADF BCD △∽△；(2)若:5:2AB BD =，且20AB =，求ADF △的面积．3．（2022·安徽合肥·统考一模）如图，在正方形ABCD 中，9AB =，E 为AC 上一点，以AE 为直角边构造等腰直角AEF △（点F 在AB 左侧），分别延长FB ，DE 交于点H ，DH 交线段BC 于点M ，AB 与EF 交于点G ，连结BE ．(1)求证：AFB AED≅V V (2)当62AE =时，求sin MBH ∠的值．(3)若BEH △与DEC V 的面积相等，记△(1)当点D 与圆心O 重合时，如图2所示，求DE 的长．(2)当CEF △与ABC V 相似时，求cos BDE ∠的值．6．（2023下·安徽蚌埠·九年级校考开学考试）如图，矩形ABCD 中，8AB =厘米，12BC =厘米，P 、Q 分别是AB 、BC 上运动的两点，若点P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度沿AB 方向运动，同时，点Q 从点B 出发以2厘米/秒的速度沿BC 方向运动，设点P ，Q 运动的时间为x 秒．(1)设PBQ V 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2)当x 为何值时，以P ，B ，Q 为顶点的三角形与BDC V 相似？7．（2021下·湖北随州·七年级统考期末）阅读材料：在平面直角坐标系中，二元一次方程0x y -=的一个解11x y =⎧⎨=⎩可以用一个点（1，1）表示，二元一次方程有无数个解，以方程0x y -=的解为坐标的点的全体叫作方程0x y -=的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，我们可以把方程0x y -=的图象称为直线0x y -=．直线x －y ＝0把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点M （x 0，y 0）的坐标满足不等式x －y ≤0，那么点M （x 0，y 0）就在直线x －y ＝0的上方区域内。
挑战中考数学压轴题全套含答案
2017年挑战中考数学压轴题(全套含答案)第一部分函数图象中点的存在性问题§1．1 因动点产生的相似三角形问题例1 2014年衡阳市中考第28题例2 2014年益阳市中考第21题例3 2015年湘西州中考第26题例4 2015年张家界市中考第25题例5 2016年常德市中考第26题例6 2016年岳阳市中考第24题例7 2016年上海市崇明县中考模拟第25题例8 2016年上海市黄浦区中考模拟第26题§1．2 因动点产生的等腰三角形问题例9 2014年长沙市中考第26题例10 2014年张家界市第25题例11 2014年邵阳市中考第26题例12 2014年娄底市中考第27题例13 2015年怀化市中考第22题例14 2015年长沙市中考第26题例15 2016年娄底市中考第26题例16 2016年上海市长宁区金山区中考模拟第25题例17 2016年河南省中考第23题§1．3 因动点产生的直角三角形问题例19 2015年益阳市中考第21题例20 2015年湘潭市中考第26题例21 2016年郴州市中考第26题例22 2016年上海市松江区中考模拟第25题例23 2016年义乌市绍兴市中考第24题§1．4 因动点产生的平行四边形问题例24 2014年岳阳市中考第24题例25 2014年益阳市中考第20题例26 2014年邵阳市中考第25题例27 2015年郴州市中考第25题例28 2015年黄冈市中考第24题例29 2016年衡阳市中考第26题例30 2016年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第24题例31 2016年上海市徐汇区中考模拟第24题§1．5 因动点产生的面积问题例32 2014年常德市中考第25题例33 2014年永州市中考第25题例35 2015年邵阳市中考第26题例36 2015年株洲市中考第23题例37 2015年衡阳市中考第28题例38 2016年益阳市中考第22题例39 2016年永州市中考第26题例40 2016年邵阳市中考第26题例41 2016年陕西省中考第25题§1．6 因动点产生的相切问题例42 2014年衡阳市中考第27题例43 2014年株洲市中考第23题例44 2015年湘潭市中考第25题例45 2015年湘西州中考第25题例46 2016年娄底市中考第25题例47 2016年湘潭市中考第26题例48 2016年上海市闵行区中考模拟第24题例49 2016年上海市普陀区中考模拟中考第25题§1．7 因动点产生的线段和差问题例50 2014年郴州市中考第26题例51 2014年湘西州中考第25题例53 2015年济南市中考第28题例54 2015年沈阳市中考第25题例55 2016年福州市中考第26题例56 2016年张家界市中考第24题例57 2016年益阳市中考第21题第二部分图形运动中的函数关系问题§2．1 由比例线段产生的函数关系问题例1 2014年常德市中考第26题例2 2014年湘潭市中考第25题例3 2014年郴州市中考第25题例4 2015年常德市中考第25题例5 2015年郴州市中考第26题例6 2015年邵阳市中考第25题例7 2015年娄底市中考第26题例8 2016年郴州市中考第25题例9 2016年湘西州中考第26题例10 2016年上海市静安区青浦区中考模拟第25题例11 2016年哈尔滨市中考第27题第三部分图形运动中的计算说理问题§3．1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 2014年长沙市中考第25题例2 2014年怀化市中考第23题例3 2014年湘潭市中考第26题例4 2014年株洲市中考第24题例5 2015年衡阳市中考第27题例6 2015年娄底市中考第25题例7 2015年永州市中考第26题例8 2015年长沙市中考第25题例9 2015年株洲市中考第24题例10 2016年怀化市中考第22题例11 2016年邵阳市中考第25题例12 2016年株洲市中考第26题例13 2016年长沙市中考第25题例14 2016年长沙市中考第26题§3．2 几何证明及通过几何计算进行说理问题例15 2014年衡阳市中考第26题例16 2014年娄底市中考第26题例17 2014年岳阳市中考第23题例18 2015年常德市中考第26题例19 2015年益阳市中考第20题例20 2015年永州市中考第27题例21 2015年岳阳市中考第23题例22 2016年常德市中考第25题例23 2016年衡阳市中考第25题例24 2016年永州市中考第27题例25 2016年岳阳市中考第23题例26 2016年株洲市中考第25题例27 2016年湘潭市中考第25题第四部分图形的平移、翻折与旋转§4．1 图形的平移例1 2015年泰安市中考第15题例2 2015年咸宁市中考第14题例3 2015年株洲市中考第14题例4 2016年上海市虹口区中考模拟第18题§4．2 图形的翻折例5 2016年上海市奉贤区中考模拟第18题例6 2016年上海市静安区青浦区中考模拟第18题例7 2016年上海市闵行区中考模拟第18题例8 2016年上海市浦东新区中考模拟第18题例8 2016年上海市普陀区中考模拟第18题例10 2016年常德市中考第15题例11 2016年张家界市中考第14题例12 2016年淮安市中考第18题例13 2016年金华市中考第15题例14 2016年雅安市中考第12题§4．3 图形的旋转例15 2016年上海昂立教育中学生三模联考第18题例16 2016年上海市崇明县中考模拟第18题例17 2016年上海市黄浦区中考模拟第18题例18 2016年上海市嘉定区宝山区中考模拟第18题例19 2016年上海市闸北区中考模拟第18题例20 2016年邵阳市中考第13题例21 2016年株洲市中考第4题§4．4 三角形例22 2016年安徽省中考第10题例23 2016年武汉市中考第10题例24 2016年河北省中考第16题例25 2016年娄底市中考第10题例27 2016年台州市中考第10题例28 2016年陕西省中考第14题例29 2016年内江市中考第11题例30 2016年上海市中考第18题§4．5 四边形例31 2016年湘西州中考第11题例32 2016年益阳市中考第4题例33 2016年益阳市中考第6题例34 2016年常德市中考第16题例35 2016年成都市中考第14题例36 2016年广州市中考第13题例37 2016年福州市中考第18题例38 2016年无锡市中考第17题例39 2016年台州市中考第15题§4．6 圆例40 2016年滨州市中考第16题例41 2016年宁波市中考第17题例42 2016年连云港市中考第16题例43 2016年烟台市中考第17题例45 2016年无锡市中考第18题例46 2016年武汉市中考第9题例47 2016年宿迁市中考第16题例48 2016年衡阳市中考第17题例49 2016年邵阳市中考第18题例50 2016年湘西州中考第18题例51 2016年永州市中考第20题§4．7 函数的图象及性质例52 2015年荆州市中考第9题例53 2015年德州市中考第12题例54 2015年烟台市中考第12题例55 2015年中山市中考第10题例56 2015年武威市中考第10题例57 2015年呼和浩特市中考第10题例58 2016年湘潭市中考第18题例59 2016年衡阳市中考第19题例60 2016年岳阳市中考第15题例61 2016年株洲市中考第9题例62 2016年永州市中考第19题例63 2016年岳阳市中考第8题例64 2016年岳阳市中考第16题例65 2016年益阳市中考第14题例66 2016年株洲市中考第10题例67 2016年株洲市中考第17题例68 2016年东营市中考第15题例69 2016年成都市中考第13题例70 2016年泰州市中考第16题例71 2016年宿迁市中考第15题例72 2016年临沂市中考第14题例73 2016年义乌市绍兴市中考第9题例74 2016年淄博市中考第12题例75 2016年嘉兴市中考第16题§1．1 因动点产生的相似三角形问题课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A ＝∠D ，探求△ABC 与△DEF 相似，只要把夹∠A 和∠D 的两边表示出来，按照对应边成比例，分AB DE AC DF =和AB DF AC DE=两种情况列方程．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．图1例 1 2014年湖南省衡阳市中考第28题二次函数y＝a x2＋b x＋c（a≠0）的图象与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)（m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m 的代数式表示）；（2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C 三点为顶点的三角形与△OBC相似？图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14衡阳28”，拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到AC的中点的正下方时，△APC的面积最大．拖动y轴上表示实数m的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，∠ACD和∠ADC都可以成为直角．思路点拨1．用交点式求抛物线的解析式比较简便．2．连结OP，△APC可以割补为：△AOP 与△COP的和，再减去△AOC．3．讨论△ACD与△OBC相似，先确定△ACD是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似．4．直角三角形ACD存在两种情况．图文解析（1）因为抛物线与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，设y＝a(x＋3)(x－1)．代入点C(0,－3m)，得－3m＝－3a．解得a ＝m．所以该二次函数的解析式为y＝m(x＋3)(x－1)＝mx2＋2mx－3m．（2）如图3，连结OP．当m＝2时，C(0,－6)，y＝2x2＋4x－6，那么P(x, 2x2＋4x－6)．由于S△AOP ＝1()2POA y⨯-＝32-(2x2＋4x－6)＝－3x 2－6x ＋9，S △COP ＝1()2POC x ⨯-＝－3x ，S △AOC ＝9， 所以S ＝S △APC ＝S △AOP ＋S △COP －S △AOC ＝－3x 2－9x ＝23273()24x -++．所以当32x =-时，S 取得最大值，最大值为274．图3图4 图5（3）如图4，过点D 作y 轴的垂线，垂足为E ．过点A 作x 轴的垂线交DE 于F ．由y ＝m (x ＋3)(x －1)＝m (x ＋1)2－4m ，得D (－1,－4m )．在Rt △OBC 中，OB ∶OC ＝1∶3m ．如果△ADC 与△OBC 相似，那么△ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m ．①如图4，当∠ACD ＝90°时，OA OC EC ED=．所以331m m =．解得m ＝1． 此时3CA OC CD ED ==，3OC OB =．所以CA OC CD OB=．所以△CDA ∽△OBC ．②如图5，当∠ADC ＝90°时，FA FD ED EC=．所以421m m =．解得2m =．此时222DA FD DC EC m ===，而323OC m OB ==．因此△DCA 与△OBC 不相似．综上所述，当m ＝1时，△CDA ∽△OBC ． 考点伸展第（2）题还可以这样割补：如图6，过点P 作x 轴的垂线与AC 交于点H ．由直线AC ：y ＝－2x －6，可得H (x ,－2x －6)．又因为P (x , 2x 2＋4x －6)，所以HP ＝－2x 2－6x ．因为△PAH 与△PCH 有公共底边HP ，高的和为A 、C 两点间的水平距离3，所以S ＝S △APC ＝S △APH ＋S △CPH＝32(－2x 2－6x ) ＝23273()24x -++．图6例 2 2014年湖南省益阳市中考第21题如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP＝x．2·1·c·n·j·y （1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S＝S1＋S2，求S的最小值.动感体验图1 请打开几何画板文件名“14益阳21”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，圆心O的运动轨迹是线段BC的垂直平分线上的一条线段．观察S随点P运动的图象，可以看到，S有最小值，此时点P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已．思路点拨1．第（2）题先确定△PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．2．第（3）题理解△PCB的外接圆的圆心O 很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分线上，同时又在不确定的BP的垂直平分线上．而BP 与AP是相关的，这样就可以以AP为自变量，求S的函数关系式．图文解析（1）如图2，作CH⊥AB于H，那么AD ＝CH．在Rt△BCH中，∠B＝60°，BC＝4，所以BH＝2，CH＝23．所以AD＝23．（2）因为△APD是直角三角形，如果△APD 与△PCB相似，那么△PCB一定是直角三角形．①如图3，当∠CPB＝90°时，AP＝10－2＝8．所以APAD ＝23＝433，而PCPB＝3．此时△APD与△PCB不相似．图2 图3 图4②如图4，当∠BCP ＝90°时，BP ＝2BC ＝8．所以AP ＝2．所以APAD APD ＝60°．此时△APD ∽△CBP ．综上所述，当x ＝2时，△APD ∽△CBP ．（3）如图5，设△ADP 的外接圆的圆心为G ，那么点G 是斜边DP 的中点．设△PCB 的外接圆的圆心为O ，那么点O 在BC 边的垂直平分线上，设这条直线与BC 交于点E ，与AB 交于点F ．设AP ＝2m ．作OM ⊥BP 于M ，那么BM ＝PM ＝5－m ．在Rt △BEF 中，BE ＝2，∠B ＝60°，所以BF ＝4．在Rt △OFM 中，FM ＝BF －BM ＝4－(5－m )＝m －1，∠OFM ＝30°，所以OM 1)m -．所以OB 2＝BM 2＋OM 2＝221(5)(1)3m m -+-．在Rt △ADP 中，DP 2＝AD 2＋AP 2＝12＋4m 2．所以GP 2＝3＋m 2．于是S ＝S 1＋S 2＝π(GP 2＋OB 2) ＝22213(5)(1)3m m m π⎡⎤++-+-⎢⎥⎣⎦＝2(73285)3m m π-+．所以当167m =时，S 取得最小值，最小值为1137π．图5 图6 考点伸展关于第（3）题，我们再讨论个问题．问题1，为什么设AP ＝2m 呢？这是因为线段AB ＝AP ＋PM ＋BM ＝AP ＋2BM ＝10．这样BM ＝5－m ，后续可以减少一些分数运算．这不影响求S 的最小值．问题2，如果圆心O 在线段EF 的延长线上，S 关于m 的解析式是什么？如图6，圆心O 在线段EF 的延长线上时，不同的是FM ＝BM －BF ＝(5－m )－4＝1－m ．此时OB 2＝BM 2＋OM 2＝221(5)(1)3m m -+-．这并不影响S 关于m 的解析式．例 3 2015年湖南省湘西市中考第26题如图1，已知直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B 以每秒2个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）过点P作PE//y轴，交AB于点E，过点Q作QF//y轴，交抛物线于点F，连结EF，当EF//PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：是否存在t的值，使以B、Q、M为顶点的三角形与以O、B、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“15湘西26”，拖动点P 在OA 上运动，可以体验到，△APQ 有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF 有一个时刻可以成为平行四边形，△MBQ 与△BOP 有一次机会相似．思路点拨1．在△APQ 中，∠A ＝45°，夹∠A 的两条边AP 、AQ 都可以用t 表示，分两种情况讨论直角三角形APQ ．2．先用含t 的式子表示点P 、Q 的坐标，进而表示点E 、F 的坐标，根据PE ＝QF 列方程就好了．3．△MBQ 与△BOP 都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论． 图文解析（1）由y ＝－x ＋3，得A (3, 0)，B (0, 3)． 将A (3, 0)、B (0, 3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得930,3.b c c -++=⎧⎨=⎩ 解得2,3.b c =⎧⎨=⎩所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3．（2）在△APQ 中，∠PAQ ＝45°，AP ＝3－t ，AQ．分两种情况讨论直角三角形APQ ：①当∠PQA＝90°时，AP＝2AQ．解方程3－t＝2t，得t＝1（如图2）．②当∠QPA＝90°时，AQ＝2AP．解方程2t ＝2(3－t)，得t＝1.5（如图3）．图2 图3 （3）如图4，因为PE//QF，当EF//PQ时，四边形EPQF是平行四边形．所以EP＝FQ．所以y E－y P＝y F－y Q．因为x P＝t，x Q＝3－t，所以y E＝3－t，y Q＝t，y F＝－(3－t)2＋2(3－t)＋3＝－t2＋4t．因为y E－y P＝y F－y Q，解方程3－t＝(－t2＋4t)－t，得t＝1，或t＝3（舍去）．所以点F的坐标为(2, 3)．图4 图5（4）由y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，得M (1, 4)．由A (3, 0)、B (0, 3)，可知A 、B 两点间的水平距离、竖直距离相等，AB ＝由B (0, 3)、M (1, 4)，可知B 、M 两点间的水平距离、竖直距离相等，BM所以∠MBQ ＝∠BOP ＝90°．因此△MBQ 与△BOP 相似存在两种可能： ①当BM OBBQ OP=3t =．解得94t =（如图5）．②当BM OP BQ OB =3t =．整理，得t 2－3t ＋3＝0．此方程无实根．考点伸展第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P (t , 0)，E (t , 3－t )，Q(3－t , t )，按照P →E 方向，将点Q 向上平移，得F (3－t , 3)．再将F (3－t , 3)代入y ＝－x 2＋2x ＋3，得t ＝1，或t ＝3．§1．2 因动点产生的等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题：1．已知线段AB＝5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB＝6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C．已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC 的∠A （的余弦值）是确定的，夹∠A 的两边AB 和AC 可以用含x 的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB ＝AC ，直接列方程；②如图2，如果BA ＝BC ，那么1cos 2AC AB A =∠；③如图3，如果CA ＝CB ，那么1cos 2AB AC A =∠． 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．图1 图2 图3例 9 2014年长沙市中考第26题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和1a(,)16两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2)．（1）求a、b、c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P在抛物线上运动，可以体验到，圆与x 轴总是相交的，等腰三角形AMN存在五种情况．思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P在x轴上截得的弦长MN ＝4是定值．2．等腰三角形AMN 存在五种情况，点P的纵坐标有三个值，根据对称性，MA ＝MN 和NA ＝NM 时，点P 的纵坐标是相等的．图文解析（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y ＝ax 2．所以b ＝0，c ＝0． 将1)16代入y ＝ax 2，得2116a =．解得14a =（舍去了负值）．（2）抛物线的解析式为214y x =，设点P 的坐标为21(,)4x x ． 已知A (0, 2)，所以PA ==214x ． 而圆心P 到x 轴的距离为214x ，所以半径PA ＞圆心P 到x 轴的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交．（3）如图2，设MN 的中点为H ，那么PH垂直平分MN ．在Rt △PMH 中，2241416PMPA x ==+，22411()416PH x x ==，所以MH 2＝4．所以MH ＝2．因此MN ＝4，为定值．等腰△AMN 存在三种情况：①如图3，当AM ＝AN 时，点P 为原点O重合，此时点P 的纵坐标为0．图2图3 ②如图4，当MA ＝MN 时，在Rt △AOM 中，OA ＝2，AM ＝4，所以OM ＝23． 此时x ＝OH ＝232+．所以点P 的纵坐标为22211(232)(31)42344x =+=+=+． 如图5，当NA ＝NM 时，根据对称性，点P的纵坐标为也为423+．图4图5③如图6，当NA ＝NM ＝4时，在Rt △AON中，OA ＝2，AN ＝4，所以ON ＝23． 此时x ＝OH ＝232-．所以点P 的纵坐标为22211(232)(31)42344x =-=-=-． 如图7，当MN ＝MA ＝4时，根据对称性，点P 的纵坐标也为423-．图6图7考点伸展 如果点P 在抛物线214y x =上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点B (0, 1)，那么在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．这是因为：设点P 的坐标为21(,)4x x ． 已知B (0, 1)，所以222222111(1)(1)1444PB x x x x =+-+=+． 而圆心P 到直线y ＝－1的距离也为2114x +，所以半径PB ＝圆心P 到直线y ＝－1的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．例 10 2014年湖南省张家界市中考第25题如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过O、B、C 三点，B、C坐标分别为(10, 0)和1824(,)，以OB55为直径的⊙A经过C点，直线l垂直x轴于B点．（1）求直线BC的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M是⊙A上一动点（不同于O、B），过点M作⊙A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m，MF 长为n，请猜想mn的值，并证明你的结论；（4）若点P从O出发，以每秒1个单位的速度向点B作直线运动，点Q同时从B出发，以相同速度向点C作直线运动，经过t（0＜t≤8）秒时恰好使△BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t值．图1动感体验请打开几何画板文件名“14张家界25”，拖动点M 在圆上运动，可以体验到，△EAF 保持直角三角形的形状，AM 是斜边上的高．拖动点Q 在BC 上运动，可以体验到，△BPQ 有三个时刻可以成为等腰三角形．思路点拨1．从直线BC 的解析式可以得到∠OBC 的三角比，为讨论等腰三角形BPQ 作铺垫．2．设交点式求抛物线的解析式比较简便．3．第（3）题连结AE 、AF 容易看到AM 是直角三角形EAF 斜边上的高．4．第（4）题的△PBQ 中，∠B 是确定的，夹∠B 的两条边可以用含t 的式子表示．分三种情况讨论等腰三角形．图文解析（1）直线BC 的解析式为31542y x =-． （2）因为抛物线与x 轴交于O 、B (10, 0)两点，设y ＝ax (x －10)．代入点C 1824(,)55-，得241832()555a -=⨯⨯-．解得524a =． 所以2255255125(10)(5)2424122424y x x x x x =-=-=--． 抛物线的顶点为125(5,)24-． （3）如图2，因为EF 切⊙A 于M ，所以AM ⊥EF ．由AE ＝AE ，AO ＝AM ，可得Rt △AOE ≌Rt △AME ．所以∠1＝∠2．同理∠3＝∠4．于是可得∠EAF ＝90°．所以∠5＝∠1．由tan ∠5＝tan ∠1，得MA ME MF MA=． 所以ME ·MF ＝MA 2，即mn ＝25．2（4）在△BPQ 中，cos ∠B ＝45，BP ＝10－t ，BQ ＝t ．分三种情况讨论等腰三角形BPQ ：①如图3，当BP ＝BQ 时，10－t ＝t ．解得t ＝5．②如图4，当PB ＝PQ 时，1cos 2BQ BP B =∠．解方程14(10)25t t =-，得8013t =． ③如图5，当QB ＝QP 时，1cos 2BP BQ B =∠．解方程14(10)25t t -=，得5013t =．图3 图4 图5考点伸展在第（3）题条件下，以EF 为直径的⊙G 与x 轴相切于点A ．如图6，这是因为AG 既是直角三角形EAF 斜边上的中线，也是直角梯形EOBF 的中位线，因此圆心G 到x 轴的距离等于圆的半径，所以⊙G 与x 轴相切于点A ．图6例 11 2014年湖南省邵阳市中考第26题在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－(m＋n)x＋mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m＝2，n＝1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C 点坐标是(0,－1)，求∠ACB的大小；（3）若m＝2，△ABC是等腰三角形，求n 的值．动感体验请打开几何画板文件名“14邵阳26”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点A在x轴正半轴上运动，可以体验到，△ABC保持直角三角形的形状．点击屏幕左下方的按钮（3），拖动点B 在x轴上运动，观察△ABC的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形ABC有4种情况．思路点拨1．抛物线的解析式可以化为交点式，用m，n表示点A、B、C的坐标．2．第（2）题判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比．3．第（3）题讨论等腰三角形ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程．图文解析（1）由y＝x2－(m＋n)x＋mn＝(x－m)(x－n)，且m＞n，点A位于点B的右侧，可知A(m, 0)，B(n, 0)．若m＝2，n＝1，那么A(2, 0)，B(1, 0)．．（2）如图1，由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn＝－1，OC＝1．若A、B两点分别位于y轴的两侧，那么OA·OB＝m(－n)＝－mn＝1．所以OC2＝OA·OB．所以OC OB．OA OC所以tan∠1＝tan∠2．所以∠1＝∠2．又因为∠1与∠3互余，所以∠2与∠3互余．所以∠ACB＝90°．图1 图2图3（3）在△ABC 中，已知A (2, 0)，B (n , 0)，C (0, 2n )．讨论等腰三角形ABC ，用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得AB 2＝(n －2)2，BC 2＝5n 2，AC 2＝4＋4n 2．①当AB ＝AC 时，解方程(n －2)2＝4＋4n 2，得43n =-（如图2）． ②当CA ＝CB 时，解方程4＋4n 2＝5n 2，得n ＝－2（如图3），或n ＝2（A 、B 重合，舍去）．③当BA ＝BC 时，解方程(n －2)2＝5n 2，得51n +=4），或51n -=5）．图4 图5考点伸展第（2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理．由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn＝－1．由A(m, 0)，B(n, 0)，C(0,－1)，得AB2＝(m －n)2＝m2－2mn＋n2＝m2＋n2＋2，BC2＝n2＋1，AC2＝m2＋1．所以AB2＝BC2＋AC2．于是得到Rt△ABC，∠ACB＝90°．第（3）题在讨论等腰三角形ABC时，对于CA＝CB的情况，此时A、B两点关于y轴对称，可以直接写出B(－2, 0)，n＝－2．例 12 2014年湖南省娄底市中考第27题如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC 方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连结PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S 取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图2，连结PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14娄底27”，拖动点Q在AC上运动，可以体验到，当点P运动到AB的中点时，△APQ的面积最大，等腰三角形APQ 存在三种情况．还可以体验到，当QC ＝2HC 时，四边形PQP ′C 是菱形． 思路点拨1．在△APQ 中，∠A 是确定的，夹∠A 的两条边可以用含t 的式子表示．2．四边形PQP ′C 的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形，． 图文解析（1）在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，所以AB ＝5，sin A ＝35，cos A ＝45．作QD ⊥AB 于D ，那么QD ＝AQ sin A ＝35t ． 所以S ＝S △APQ ＝12AP QD ⋅＝13(5)25t t -⨯＝23(5)10tt --＝23515()+1028t --．当52t =时，S 取得最大值，最大值为158． （2）设PP ′与AC 交于点H ，那么PP ′⊥QC ，AH ＝AP cos A ＝4(5)5t -．如果四边形PQP ′C 为菱形，那么PQ ＝PC ．所以QC ＝2HC ．解方程4424(5)5t t ⎡⎤-=⨯--⎢⎥⎣⎦，得2013t =．图3 图4 （3）等腰三角形APQ 存在三种情况： ①如图5，当AP ＝AQ 时，5－t ＝t ．解得52t =． ②如图6，当PA ＝PQ 时，1cos 2AQ AP A =．解方程14(5)25t t =-，得4013t =． ③如图7，当QA ＝QP 时，1cos 2AP AQ A =．解方程14(5)25t t -=，得2513t =．图5 图6图7考点伸展在本题情境下，如果点Q 是△PP ′C 的重心，求t 的值．如图8，如果点Q 是△PP ′C 的重心，那么QC ＝23HC ． 解方程2444(5)35t t ⎡⎤-=⨯--⎢⎥⎣⎦，得6023t =．例 13 2015年湖南省怀化市中考第22题如图1，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →B →C 方向运动，它们到C 点后都停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒．（1）在运动过程中，求P 、Q 两点间距离的最大值；（2）经过t 秒的运动，求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；（3）P ，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形．若存在，求出此时的t 值，若不存在，请说明理由．（24.25≈，结果保留一位小数）图1动感体验请打开几何画板文件名“15怀化22”，拖动点P 在AC 上运动，可以体验到，PQ 与BD 保持平行，等腰三角形PQC 存在三种情况．思路点拨1．过点B 作QP 的平行线交AC 于D ，那么BD 的长就是PQ 的最大值．2．线段PQ 扫过的面积S 要分两种情况讨论，点Q 分别在AB 、BC 上．3．等腰三角形PQC 分三种情况讨论，先罗列三边长．图文解析（1）在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，所以AB ＝10．如图2，当点Q 在AB 上时，作BD //PQ 交AC 于点D ，那么22AB AQ tAD AP t===． 所以AD ＝5．所以CD ＝3．如图3，当点Q 在BC 上时，16228CQ tCP t-==-．又因为623CB CD==，所以CQ CBCP CD=．因此PQ //BD ．所以PQ 的最大值就是BD ．在Rt △BCD 中，BC ＝6，CD ＝3，所以BD ＝35．所以PQ 的最大值是35．图 2 图 3图4（2）①如图2，当点Q 在AB 上时，0＜t ≤5，S △ABD ＝15．由△AQP ∽△ABD ，得2()AQPABDSAP SAD=△△．所以S ＝S△AQP＝215()5t ⨯＝235t ． ②如图3，当点Q 在BC 上时，5＜t ≤8，S△ABC＝24．因为S △CQP ＝12CQ CP ⋅＝1(162)(8)2t t --＝2(8)t -， 所以S ＝S △ABC －S △CQP ＝24－(t －8)2＝－t 2＋16t －40．（3）如图3，当点Q 在BC 上时，CQ ＝2CP ，∠C ＝90°，所以△PQC 不可能成为等腰三角形．当点Q在AB上时，我们先用t表示△PQC的三边长：易知CP＝8－t．如图2，由QP//BD，得QP AP=，即5t=．所以QP=．如图4，作QH⊥AC于H．在Rt△AQH中，QH＝AQ sin∠A＝6t，AH＝85t．5在Rt△CQH中，由勾股定理，得CQ＝分三种情况讨论等腰三角形PQC：（1）①当PC＝PQ时，解方程8t-=，得t=≈3.4（如图5所示）．10②当QC＝QP=．整理，得2-+=．t t111283200所以(11t－40)(t－8)＝0．解得40t=≈3.6（如11图6所示），或t＝8（舍去）．③当CP＝CQ时，8t-=．整理，得2-=．5160t t解得16t=＝3.2（如图7所示），或t＝0（舍去）．5综上所述，当t 的值约为3.4，3.6，或等于3.2时，△PQC 是等腰三角形．图5 图6图7考点伸展第（1）题求P 、Q 两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法：①如图8，当点Q 在AB 上时，PQ 22QH PH +2268()()55t t t +-35．当Q 与B 重合时，PQ 最大，此时t ＝5，PQ 的最大值为35．②如图9，当点Q 在BC 上时，PQ 22CQ CP +22(2)CP CP +5(8)t -．当Q 与B 重合时，PQ 最大，此时t ＝5，PQ 的最大值为35．综上所述，PQ 的最大值为35．图8 图9§1．3 因动点产生的直角三角形问题课前导学我们先看三个问题：1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标．图1 图2 图3如图1，点C在垂线上，垂足除外．如图2，。
04挑战压轴题(解答题二)(解析版)
（挑战压轴题）-2023年中考数学【三轮冲刺】专题汇编（安徽专用）—04挑战压轴题（解答题二）(1)求此抛物线对应的函数表达式；“”“”“”“”“”（3）令x2―2x+1=m∵BP =PQ ，PC ⊥BQ ，∴BC =12BQ =12m 2，∠BPC =12∠BPQ ∴tan ∠BPC = tan 60°=BC PC =12m 2|m |=解得：m =±23（舍去负数），∴n =12m 2―3=3，故P 的坐标为（23，3）.（2）①把2x=代入y=―x2+2x+3得：y=∴D(2,3)．y=，又当x=0，3∴C(0,3)，②设D(m,―m2+2m+3)(1<m<3)，直线AD:y=k1x+b1，BD:y=k2x+b2，因此可得：0=―k1+b1―m2+2m+3=k1m+b1或0=3―m2+2m+解得：k1=3―mb1=3―m或k2=―1―mb2=3m+3，∴直线AD:y=(3―m)x+(3―m)，BD:y=―(m+1)x+3(m+1)．令x=1得y M=6―2m，y N=2m+2，（1）填空：b =________；（2）点P 是抛物线上一点，点的横坐标大于1，直线PC 交直线BD 的坐标；（3）点E 在直线AC 上，点E 关于直线BD 对称的点为F ，点F 关于直线在x 轴上时，直接写出AG 的长．【答案】（1）-4；（2）（3，0）或（53，―89）；（3）10【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）分点Q 在CD 上方和点Q CD 下方时，两种情况，结合三角函数，勾股定理等知识求解；C′，BD 中点为点R ，直线AC 与直线∴tan∠ACH= tan∠OAC=13，根据勾股定理可得BC=32，CD=2，BD=∴BD=BC2+CD2，∴∠BCD=90°，∴tan∠CBD=13，∴∠ACH=∠CBM，（3）设点C关于BD的对称点为C′，BD中点为点∴R（3，1），设C′（p，q），由题意可求得：直线AC表达式为：y=-3x+3，【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数解析式，一次函数，三角函数，面积法，对称的性质，当3≤x≤m时，x2﹣2bx+c≤x﹣2恒成立，【答案】（1）y=―1x2+x+8，C（8,0）；（2）25；（3）设直线MD的解析式为：∵CD∥x轴，C(0,3)，设点P(x,―x2+2x+∴PQ=(―x2+2x+∵PQ∥y轴，∴△OCE∽△PQE，∴PEOE =PQOC，∴PEOE =x23x3=―13(1)写出平移后的新抛物线(2)点P是直线BC下方的抛物线上一动点，连接那么是否存在点P，使四边形(3)当点P运动到什么位置时，△【答案】(1)y=2x-x-2对于y=2x-x-2，令x=0，则故点C的坐标为(0，-2)，即当四边形PO P′C为菱形，则点×OC=-1则点P的纵坐标为-12当y=-1时，即y=2x-x-2=-1设P(x，2x-x-2)，∵点P是直线BC下方的抛物线上一动点，∴PD=-2x+x+2，对于抛物线y=2x-x-2，当y=0时，2x-x-2=0，(1)求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式；(2)身高为1.67m的小颖站在距离喷水管4m的地方，她会被水喷到吗？(3)现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离证利润W最大？(3)由于质量上乘，前两批跳绳很快售完，店主第三批购进甲、乙两种跳绳若干，当甲、乙两种跳绳保持原有利润时，甲、乙两种跳绳每天分别可以卖出120根和105根，后来店主决定将甲、乙两种跳绳的售价同时提高相同的售价，已知甲、乙两种跳绳每提高1元均少卖出5根，为了每天获取更多利润，请问店主将两种跳绳同时提高多少元时，才能使日销售利润达到最大？【答案】(1)甲、乙两种跳绳的单价分别是15元和17元；(2)当购进甲种跳绳10根，购进乙种跳绳50根，利润W最大；(3)当店主将两种跳绳同时提高9元时，才能使日销售利润达到最大．【分析】（1）设甲、乙两种跳绳的单价各是x元和y元，根据题意列出方程即可解决问题；（2）设第二批购进甲种跳绳a根，乙种跳绳(60―a)根，列出函数关系式和不等式即可解决问题．（3）设店主将两种跳绳同时提高m元时，才能使日销售利润n达到最大，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．【详解】（1）解∶设甲、乙两种跳绳的单价分别是x元和y元，根据题意得，x+y=3225x+30y=885，解得∶x=15 y=17，答∶甲、乙两种跳绳的单价分别是15元和17元；（2）解：设第二批购进甲种跳绳a根，乙种跳绳(60―a)根，由题意得，W=4a+5(60―a)=―a+300，∵―1<0，∴W随a的增大而减小，∵费用不超过1000元，∴15a+17(60―a)≤1000，解得∶a≥10，∴60―a=50（根），∴当购进甲种跳绳10根，购进乙种跳绳50根，利润W最大；（3）解：设店主将两种跳绳同时提高m元时，才能使日销售利润n达到最大，由题意得，n=(4+m)(120―5m)+(5+m)(105―5m)=―10m2+180m+1005=―10(m―9)2+1815，∴当店主将两种跳绳同时提高9元时，才能使日销售利润达到最大．【点睛】本题考查二次函数的性质、二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数等知识，解题的关键是学会设未知数构建方程或不等式或二次函数解决问题，属于中考常考题型．11．（2023·安徽·模拟预测）小明同学利用寒假30天时间贩卖草莓，了解到某品种草莓成本为10元/千克，在第x天的销售量与销售单价如下（每天内单价和销售量保持一致）当30x=时，y=―10×30+b=200，∴b=500，即：y=―10x+500，∵在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%∴20≤x≤20+20×60%，即20≤x≤32则小明每月获得利润为：w=(x―20)⋅y=(x―20)(―10x+500)=―10x2+700x―10000即：每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式为w=―10x2+700x―10000(20≤x≤32)；（2）由（1）知w=―10x2+700x―10000=―10(x―35)2+2250(20≤x≤32)又∵a=―10<0，抛物线开口向下．∴当20≤x≤32时，w随着x的增大而增大，∴当x=32时，w=2160答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．（3）取w=2000得，―10x2+700x―10000=2000解这个方程得：x1=30，x2=40．∵a=―10<0，抛物线开口向下．∴当30≤x≤40时，w≥2000．∵20≤x≤32∴当30≤x≤32时，w≥2000．设每月的成本为P（元），由题意，得：P=20(―10x+500)=―200x+10000∵k=―200<0，∴P随x的增大而减小．∴当x=32时，P的值最小，P最小值=3600．答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．【点睛】此题考查二次函数和一次函数的性质及其应用，还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．13．（2023·安徽·模拟预测）戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售，如果按每盒70元销售，每天可卖出20盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒．(1)若每盒售价降低x元，则日销量可表示为___________盒，每盒口罩的利润为___________元．(2)若商家要使日利润达400元，又想尽快销售完该款口罩，问每盒售价应定为多少元？(3)当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润．【答案】(1)(20+2x)，(20―x)(2)60(3)当每盒售价定为65元时，商家可以获得最大日利润，最大日利润为450元【分析】（1）利用日销售量=20+2×降低的价格，每盒口罩的利润=售价-进价，即可求出结论；(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是抛物线上位于直线线交直线AB于点D，以PQ(3)若点N 是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点平行四边形，若存在，请直接写出点【答案】(1)24y x x =-++(2)矩形PDEQ 周长的最大值(3)在抛物线上存在一点M (3,16)--，(7,16)-【分析】（1）把点B (5,0)代入抛物线(1)求抛物线的顶点纵坐标的最小值；(2)若k=2，点P为抛物线上一点，且在A、B，若存在，求出点①是否存在点Р使得S△PAB=152②如图2，连接AP，BC相交于点M，当S△PMB【答案】(1)9415当k=2，则y=―x2设点P的坐标为(a,―∵抛物线y=―x2+2∴y=0时，即―x2+2解得：x1=3，x2=―∴点B的坐标为(3,0)，点∵抛物线y=―x2+2当x=0时，y=0+2∴点C的坐标为(0,3)由①可知，点B的坐标为∴OA=1，OB=3，AB(1)求A，B两点的坐标；(2)求线段EF的最大值；(3)如图2，是否存在以点C，E，F为顶点的三角形与△ABC 明理由．【答案】(1)A(―1,0)，B(3,0)(2)EF最大值为94由（1）可得：3,4,OB OC AB===∴∠ABC=∠BCO=∠MFB=∠CFE ∴△CFG是等腰直角三角形，∴CF=2m．∴当以点C，E，F为顶点的三角形与①当△ABC∽△CFE时，AB BC CF FE=即42m =32m23m，(1)求该二次函数的解析式；(2)若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=―x2+3x+4(2)存在，K点的坐标为―6，―2或6，2【分析】（1）将A―1，0、B4，0代入y=ax2+bx+4，联立方程组，求出a、b的值，即可得出该二次函数的解析式；（2）设Q m，―m2+3m+4，当m>0时，过点Q作QH⊥y轴交H点，过K作KG⊥x轴交G点，证明△CHQ ≌△BGK(AAS)，得到m=―m2+3m+4―4，则HQ=2，所以K6，2；当m<0时，设KC与x轴的交点为F，BQ与y轴的交点为H，过点Q作QG⊥y轴交G点，过K作KE⊥x轴交E点，证明△QHG≌△KFE(AAS)，则有―m=―4―(―m2+3m+4)，求得m=―2，则GQ=2，可求K―6，―2，综合即可得出K点的坐标．【详解】（1）解：把A―1，0、B4，0代入y=ax2+bx+4，可得：a―b+4=016a+4b+4=0，解得：a=―1 b=3，∴该二次函数的表达式为y=―x2+3x+4．（2）解：存在，理由如下：设Q m，―m2+3m+4，当m>0时，如图1，∵矩形是以BC为边，∴QK∥BC，CQ⊥BC，KB⊥BC，过点Q作QH⊥y轴交H点，过K作KG⊥x轴交G点，∵CQ=BK，OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠HCQ=∠GBK=45°，∴△CHQ≌△BGK(AAS)，∴HC=HQ=BG=GK，∴m=―m2+3m+4―4，∴m=2或0m=（舍去），∴HQ=2，∴K6，2；当m<0时，如图2，∵矩形是以BC为边，∴QK∥BC，KC⊥BC，BQ⊥BC，设KC与x轴的交点为F，BQ与y轴的交点为H，过点Q作QG⊥y轴交G点，过K作KE⊥x轴交E点，∵∠OCB=∠OBC=45°，∴∠OBH=∠OHB=45°，∠FCO=∠CFO=45°，∴OF=OC=OB=OH=4，∠HQG=∠EFK=45°，∵KC=BQ，CF=HB，∴FK=QH，∴△QHG≌△KFE(AAS)，∴QG=HG=EF=EK，∴―m=―4―(―m2+3m+4)，m（舍去），∴m=―2或=4∴GQ=2，∴K―6，―2；综上所述，K点的坐标为K―6，―2或K6，2．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用矩形和等腰直角三角形的性质是解本题的关键．3．（2023·安徽池州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x＋bx＋c的图象与坐标轴相交(1)求b、c的值；(2)在P、Q运动的过程中，当【答案】(1)b=2 c=3(2)t=2时；最小值为4∴AH=PH=2t2=t，即H(1)求抛物线和直线l的解析式；∵四边形PEDF 是平行四边形，由题意可得：S △BCF =12×PF PF =t ―1―(t 2+2t ―3)=∴S △BCF =―32t 2―32t +3，(1)求抛物线的解析式；(2)求证：BE=2CE；(3)若点P是第四象限内抛物线上的一动点，设点S，求S关于x的函数关系式，并求【答案】(1)y=x2―2x―3(2)见解析(3)S=―x2+3x；9设点P x，x2―2x―3(0<x 则BEP△的面积为：S=S梯形BOFP―S梯形BOGE―S=12×(x+3)(―=―x―322+94，(1)求抛物线的函数表达式；(2)连接AP、CP，求四边形AOCP面积的最大值；(3)是否存在这样的点P，使得点P到AB和AC两边的距离相等，若存在，请求出点说明理由．【答案】(1)y=x2+143x―8(2)33(3)存在这样的点P56,―4112，使得点P到AB和AC两边的距离相等（3）解：如图所示，取点∵A―6，0，C0，―∴AE=10，AC=OA∴AC=AE，∵F是CE的中点，∴AF平分∠CAE，【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，一次函数与几何综合，角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．7．（2023·安徽滁州·校考一模）直线点．(1)求直线l及抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的一个动点，点写出直线l′与y轴的交点的纵坐标为。
《挑战中考数学压轴题精讲解读篇第11版》第二部分(3.1)
关键是寻找比例关系,难点是有的整理、变形比较繁琐,容易出错.第三部分图形运动中的计算说理问题这部分压轴题的主要特征是先给出一个图形进行研究,然后研究图形的位置发生变化后结论是否发生变化,进而进行证明.解决这部分压轴题的关键是抓住图形运动过程中的数据特征和不变关系,通过计算进行说理.§3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题计算说理是通过计算得到结论;说理计算侧重说理,说理之后进行代入求值.压轴题中的代数计算题,主要是函数类题.函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式,按照设、列、解、验、答五步完成,一般来说,解析式中待定几个字母,就要代入几个点的坐标.还有一类计算题,就是从特殊到一般,通过计算寻找规律.代数计算和说理较多的一类题目,是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线的解析式组成方程组,消去y,得到关于x的一元二次方程,然后根据Δ确定交点的个数.我们介绍一下求函数图象交点坐标的几何方法.如图,已知直线y=x+1与x轴交于点A,抛物线y=x2-2x-3与直线y=x+1交于A、B两点,求点B的坐标的代数方法,就是联立方程组,方程组的一个解是点A的坐标,另一个解计算点的坐标.几何法是这样的: 设直线AB与y轴交于C,那么tan∠CAO=1. Array作BE⊥x轴于E,那么=1.设B(x, x2-2x-3),于是--=1.请注意,这个分式的分子因式分解后,-=1.这个分式能不能约分,为什么?因为x=-1的几何意义是点A,由于点B与点A不重合,所以x≠-1,因此约分以后就是x-3=1.这样的题目一般都是这样,已知一个交点求另一个交点,经过约分,直接化为一元一次方程,很简便.在平面直角坐标系中,点P的坐标为(x1, y1),点Q的坐标为(x2, y2),且x1≠x2, y1≠y2,若P、Q为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P、Q 的“相关矩形”.图为点P、Q的“相关矩形”的示意图.(1) 已知点A的坐标为(1, 0),①若点B的坐标为(3, 1),求点A、B的“相关矩形”面积;②点C在直线x=3上,若点A、C的“相关矩形”为正方形,求直线AC的表达式;(2) ☉O的半径为,点M的坐标为(m, 3),若在☉O上存在一点N,使得点M、N的“相关矩形”为正方形,求m的取值范围.请打开几何画板文件名“16北京29”,拖动点C在直线x=3运动,可以体验到,以AC为对角线的正方形有两个.点击屏幕左下方的按钮“第(2)题”,拖动点M运动,可以体验到,经过点M与坐标轴夹角为45°的直线与☉O相交或相切于点N时,存在以MN为对角线的正方形.1.“相关矩形”的形状、大小是由对角线的两个端点确定的.2.“相关矩形”是正方形,那么对角线与坐标轴的夹角为45°.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+与y轴相交于点A,点B与点O关于点A对称.(1) 填空: 点B的坐标是;(2) 过点B的直线y=kx+b(其中k<0)与x轴相交于点C,过点C作直线l平行于y轴,P 是直线l上一点,且PB=PC.求线段PB的长(用含k的式子表示),并判断点P是否在抛物线上,说明理由;(3) 在(2)的条件下,若点C关于直线BP的对称点C'恰好落在该抛物线的对称轴上,求此时点P的坐标.请打开几何画板文件名“16大连26”,拖动点C在x轴的正半轴上运动,可以体验到,点P始终在抛物线上,当点C'落在抛物线的对称轴上时,四边形C'BCP是菱形,而且△BCP是等边三角形.1.用含k的式子表示点C的坐标,再设点P的纵坐标为m,根据PB=PC列关于k、m的方程,得到m关于k的关系式.2.第(3)题:先说理四边形C'BCP是菱形.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点,顶点为A(h, k)(h≠0).(1) 当h=1, k=2时,求抛物线的解析式;(2) 若抛物线y=tx2(t≠0)也经过A点,求a与t之间的关系式;(3) 当点A在抛物线y=x2-x上,且-2≤h<1时,求a的取值范围.请打开几何画板文件名“16福州27”,拖动点A在象限内运动,可以体验到,两条抛物线的形状相同,开口方向相反.点击屏幕左下方的按钮“第(3)题”,拖动点A在蓝色抛物线y=x2-x的自变量-2和1之间运动,观察绿色抛物线y=ax2+bx+c,可以体验到,当点A在自变量-2和0之间运动时,绿色抛物线的开口向下;当点A在自变量0和1之间运动时,绿色抛物线的开口向上.1.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点A(h, k),可以写出顶点式.2.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点,可以用h、k表示a.3.将点A(h, k)代入y=tx2,结合y=a(x-h)2+k,消去k,就得到a、t的关系式.4.第(3)题:先用h表示a,再讨论a随h变化的取值范围.如图,抛物线L: y=-(x-t)(x-t+4)(常数t>0)与x轴从左到右的交点为B、A,过线段OA的中点M作MP⊥x轴,交双曲线y=(k>0, x>0)于点P,且OA·MP=12.(1) 求k的值;(2) 当t=1时,求AB的长,并求直线MP与L对称轴之间的距离;(3) 把L在直线MP左侧部分的图象(含与直线MP的交点)记为G,用t表示图象G最高点的坐标;(4) 设L与双曲线有个交点的横坐标为x0,且满足4≤x0≤6,通过L位置随t变化的过程,直接写出t的取值范围.请打开几何画板文件名“16河北26”,拖动点A在x轴上运动,可以体验到,抛物线与双曲线的交点的横坐标x0在4≤x0≤6时,交点可能在抛物线的对称轴的右侧,也可能在左侧,因此对应的点A的运动区间有两个.1.由抛物线的交点式可以写出A、B两点的坐标,AB=4为定值.2.第(3)题:按照对称轴与直线MP的位置关系,分两种情况讨论最高点.3.第(4)题:分三步,先根据双曲线的解析式求x=4和x=6时的两个交点坐标,再代入到抛物线的解析式解关于t的方程,最后讨论t的范围.抛物线的解析式为y=ax2,过点B1(1, 0)作x轴的垂线,交抛物线于点A1(1, 2);过点B2作x轴的垂线,交抛物线于点A2; …;过点B n -(n为正整数)作x轴的垂线,交抛物线于点A n.连结A n B n, B n,得Rt△A n B n.(1) 求a的值;(2) 直接写出线段A n B n, B n B n+1的长(用含n的式子表示);(3) 在系列Rt△A n B n B n+1中,探究下列问题:①当n为何值时,Rt△A n B n B n+1是等腰直角三角形?②设1≤k<m≤n(k、m均为正整数),问: 是否存在Rt△A k B k B k+1与Rt△A m B m B m+1相似?若存在,求出其相似比;若不存在,请说明理由.请打开几何画板文件名“16江西23”,可以体验到,从最大的△A1B1B2开始,这些三角形“衰减”地很快,第3个△A3B3B4看上去是等腰直角三角形.还可以感受到,△A3B3B4右侧的三角形是“挺立的”,左侧的三角形是“躺下的”,所有三角形的斜边没有平行的.1.第(2)题如果错了,第(3)题就没有办法做对了.2.第(3)题的等腰直角三角形根据直角边相等,列关于n的方程,没有什么障碍.3.第(3)题中,讨论两个直角三角形相似分三步.第一步说理斜边不平行,因此不存在同位角相等的情形;第二步列关于k、m的方程,得到k+m=6;第三步分两种情况计算相似比,(k, m)存在(1, 5)和(2, 4)两种情况.如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90° AC=8cm, AD⊥BC于D.点P从点A出发,沿A→C方向以cm/s的速度运动到点C停止.在运动过程中,过点P作PQ∥AB交BC于点Q,以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM,且∠PQM=90° 点M、C位于PQ异侧).设点P 的运动时间为x(s),△PQM与△ADC重叠部分的面积为y(cm2).(1) 当点M落在AB上时,x= ;(2) 当点M落在AD上时,x= ;(3) 求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.图1 备用图请打开几何画板文件名“16吉林25”,拖动点P从A向C运动,可以体验到,重叠部分的形状依次是等腰三角形、四边形和等腰三角形.1.由点P引发的全部动态线段的长,都可以用x表示出来.2.第(1)、(2)题的结果,就是第(3)题分段函数的临界值.如图,把函数y=x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,横坐标不变,得到函数y=2x 的图象;也可以把函数y=x的图象上各点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=2x的图象.类似地,我们可以认识其他函数.(1) 把函数y=的图象上各点的纵坐标变为原来的倍,横坐标不变,得到函数y=的图象;也可以把函数y=的图象上各点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=的图象.(2) 已知下列变化: ①向下平移2个单位长度;②向右平移1个单位长度;③向右平移个单位长度;④纵坐标变为原来的4倍,横坐标不变;⑤横坐标变为原来的倍,纵坐标不变;⑥横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变.(i) 函数y=x2的图象上所有的点经过④→②→①,得到函数的图象;(ii) 为了得到函数y=-(x-1)2-2的图象,可以把函数y=-x2的图象上所有的点().A.①→⑤→③B. ①→⑥→③C.①→②→⑥D.①→③→⑥(3) 函数y=的图象可以经过怎样的变化得到函数y=-的图象?(写出一种即可)请打开几何画板文件名“16南京27”,依次拖动表示实数m、k、n的点运动,可以体验到,m向左平移2个单位,k由1变到1.5, n向下平移1个单位,函数y=的图象就与函数y=-的图象重合.1.第(1)题有陷阱,其实函数y=和x=的变换是相同的.2.第(2)题中,上下平移不影响横坐标或纵坐标缩放的.3.第(3)题中,要先对解析式进行变形,分离出系数k.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax+bx+5经过点M(1, 3)和点N(3, 5).(1) 试判断该抛物线与x轴的交点情况;(2) 平移这条抛物线,使平移后的抛物线经过点A(-2, 0),且与y轴交于点B,同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形,请你写出平移过程,并说明理由.请打开几何画板文件名“16陕西24”,可以体验到,平移前的抛物线与x轴没有交点,等腰直角三角形AOB存在两种情况.1.待定两个系数,已知两个点的坐标,列关于a、b的方程组.2.等腰直角三角形AOB存在两种情况.3.抛物线平移的过程中,二次项系数不变.已知抛物线C: y=x2-2x+1的顶点为P,与y轴的交点为Q,点F.(1) 求点P、Q的坐标;(2) 将抛物线C向上平移得到抛物线C',点Q平移后的对应点为Q',且FQ'=OQ'.①求抛物线C'的解析式;②若点P关于直线Q'F的对称点为K,射线FK与抛物线C'相交于点A,求点A的坐标.请打开几何画板文件名“16天津25”,可以体验到,△Q'HF∽△FDP∽△PEK,其中Q'、F、P三点是已知的,可以先求出PD、PK的长,再求PE、KE的长,这样点K的坐标就确定了.1.抛物线上下平移,二次项系数、一次项系数不变,只是常数项变化.2.求点A的坐标,关键的一步是确定点K的坐标.点K可以由Q'K=Q'P和FK=FP两个条件确定.抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点,顶点为C,点P在抛物线上,且位于x轴下方.(1) 如图1,若P(1, -3)、B(4, 0).①求该抛物线的解析式;②若D是抛物线上一点,满足∠DPO=∠POB,求点D的坐标.(2) 如图2,已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点.当点P运动时,是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.图1 图2请打开几何画板文件名“16武汉24”,拖动点A、B、C或P运动,观察度量值,可以体验到,=2为定值.1.按照点D与OP的位置关系,点D存在两种情况.一种情况是内错角相等,两直线平行;另一种情况是等角对等边.2.第(2)题中,作PH⊥x轴于H,由OE∥HP∥OF就得到两组三角形相似,结合根与系数的关系进行推算.对于平面直角坐标系中的点P和图形M,给出如下定义:若在图形M上存在点Q,使得P、Q两点间的距离小于或等于1,则称P为图形M的关联点.(1) 当☉O的半径为2时.①在点P1、P2、P3中,☉O的关联点有;②点P在直线y=-x上,若P为☉O的关联点,求点P的横坐标的取值范围;(2) ☉C的圆心在x轴上,半径为2,直线y=-x+1与x轴、y轴分别交于点A、B,若线段AB上的所有点都是☉C的关联点,直接写出圆心C的横坐标的取值范围.请打开几何画板文件名“17北京29”,拖动点P在直线y=-x上运动,可以体验到,当点P在☉Q或☉Q'内部或圆周上时,P到点Q或Q'的距离小于或等于1, P是☉O的关联点.点击屏幕左下方的按钮“第(2)题”,拖动圆心C从左向右运动,圆心C在两条线段上时,线段AB 上的所有点是☉C的关联点.1.第(1)题①: 分别以P1、P2、P3为圆心,1为半径画圆,如果这个圆和☉O有公共点,那么☉O上存在点Q到这个点的距离小于或等于1,圆心就是☉O的关联点.2.第(1)题②: 先容易找到两个点Q、Q',就是直线y=-x与☉O的两个交点.3.第(2)题中,线段AB是确定的,线段AB上的每个点到☉C上某个点的距离小于或等于1,☉C有四个临界位置.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的开口向上,且经过点A.(1) 若此抛物线经过点B-,且与x轴交于点E、F.①填空:b= (用含a的代数式表示);②当EF2的值最小时,求抛物线的解析式;(2) 若a=,当0≤x≤1,抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时,求b的值.请打开几何画板文件名“17大连26”,拖动y轴正半轴上表示正数a的点运动,观察a 的度量值和EF2运动变化的函数图象,可以体验到,当a=1时,EF2取得最小值.点击屏幕左下方的按钮“第(2)题”,拖动x轴上表示实数b的点运动,观察抛物线在0≤x≤1范围内,有(1, 3)和(1, -3)两个点到x轴的距离等于3.1.第(1)①题:将A、B两点代入抛物线的解析式,列关于a、b、c的方程组, c的值是确定的,可以用a表示b.2.第(1)②题要用到根与系数的关系及配方法.3.本题没有图示,但是处处需用数形结合.第(2)题数形结合,其实就是将点A和点(1, 3)代入y=x2+bx+c,求b的值.还有另一种情况:点A和点(1, -3).有这样一个问题:探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y=x与y=(k≠0)的图象与性质.小明根据学习函数的经验,对函数y=x与y=,当k>0时的图象性质进行了探究.(1) 如图1所示,设函数y=x与y=的图象的交点为A、B,已知点A的坐标为(-k, -1),则点B的坐标为.(2) 若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点.①设直线PA交x轴于点M,直线PB交x轴于点N.求证:PM=PN.证明过程如下:设P,直线PA的解析式为y=ax+b(a≠0).则--解得所以直线PA的解析式为.请你把上面的过程补充完整,并完成余下的证明.②当点P的坐标为(1, k)(k≠1)时,判断△PAB的形状,并用k表示出△PAB的面积.图1 备用图请打开几何画板文件名“17德州24”,拖动点P运动,可以体验到,直线PA和x轴所夹的锐角与PB和x轴所夹锐角保持相等.当点P的横坐标为1时,△PAB是直角三角形.1.点A与点B关于原点中心对称.2.求证PM=PN,只要证明点P在MN的垂直平分线上就可以了.3.已知A、B、P三点的坐标,用勾股定理的逆定理证明△PAB是直角三角形比较简便.在平面直角坐标系中,设二次函数y1=(x+a)(x-a-1),其中a≠0.(1) 若函数y1的图象经过点(1, -2),求函数y1的表达式;(2) 若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点,探究实数a、b满足的关系式;(3) 已知点P(x0, m)和Q(1, n)在函数y1的图象上,若m<n,求x0的取值范围.请打开几何画板文件名“17杭州22”,拖动x轴上表示实数a的点运动,可以体验到,抛物线的对称轴保持不变,当点P位于点Q下方的抛物线上时,点P的纵坐标小于点Q的纵坐标,点P的横坐标的取值范围是一定的.1.第(1)题:代入已知点求a的值.2.第(2)题:不要受第(1)题运算结果的干扰哦.3.第(3)题:m<n的几何意义是,点P在点Q下方的抛物线上.已知抛物线C1: y=ax2-4ax-5(a>0).(1) 当a=1时,求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴;(2) ①试说明无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点,并求出这两个定点的坐标;②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折,得到抛物线C2,直接写出C2的表达式;(3) 若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,求a的值.备用图请打开几何画板文件名“17江西22”,拖动y轴正半轴上表示正实数a的点运动,可以体验到,两条抛物线与y轴的交点是确定的,抛物线的对称轴相同.还可以体验到,开口向下的抛物线的顶点到x轴的距离为2存在两种情况.1.抛物线C1的解析式暗含了两个确定的因素:与y轴的交点和对称轴.2.抛物线C2与C1关于一条水平直线对称,那么开口相反,二次项系数互为相反数.如图,抛物线y=-x2+x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连结AC、BC.点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动,同时,点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动,当一个点停止运动时,另一个点也随之停止运动,连结PQ.过点Q作QD⊥x轴,与抛物线交于点D,与BC交于点E.连结PD,与BC交于点F.设点P的运动时间为t秒(t>0).(1) 求直线BC的函数表达式;(2) ①直接写出P、D两点的坐标(用含t的代数式表示,结果需化简);②在点P、Q运动的过程中,当PQ=PD时,求t的值;(3) 试探究在点P、Q的运动过程中,是否存在某一时刻,使得点F为PD的中点.若存在,请直接写出此时t的值与点F的坐标;若不存在,请说明理由.请打开几何画板文件名“17山西23”,拖动点Q运动,可以体验到,△APN与△BQE保持相似,均有一个锐角为30°.当PD=PQ时,点P在DQ的垂直平分线上.还可以体验到,当F是PD的中点时,MP=DE.1.由A、B、C三点坐标,可以判断△ABC是30°角的直角三角形.2.用t先表示点Q、P的坐标,把点Q的横坐标代入抛物线和直线BC的解析式,可以用m表示点D、E的坐标.3.第(3)题中,点F是倾斜的线段PD的中点,构造“8字型”,转化为两条竖直线段相等,就可以列关于t的方程了.在同一直角坐标系中,抛物线C1: y=ax2-2x-3与抛物线C2: y=x2+mx+n关于y轴对称,C2与x轴交于A、B两点,其中点A在点B的左侧.(1) 求抛物线C1、C2的函数表达式;(2) 求A、B两点的坐标;(3) 在抛物线C1上是否存在一点P,在抛物线C2上是否存在一点Q,使得以AB为边,且以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出P、Q两点的坐标;若不存在,请说明理由.请打开几何画板文件名“17陕西24”,拖动点P在抛物线上运动,可以体验到,点Q和点Q'各有一次机会落在另一条抛物线上.1.这是一道无图题,但是处处需要数形结合.2.第(3)题:根据PQ与AB平行且相等,用t表示点P的横坐标,那么点Q的横坐标也可以用t的式子表示,这样就可以根据纵坐标相等列关于t的方程了.3.第(3)题:用t表示点Q的横坐标分两种情况:点Q在点P的左侧或右侧.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(2, 2),且对称轴为直线x=1,顶点为B.(1) 求抛物线的解析式及顶点B的坐标;(2) 若点M在抛物线的对称轴上,且在点B的上方,设它的纵坐标为m,连结AM,用含m 的代数式表示∠AMB的余切值;(3) 将该抛物线向上或向下平移,使得新抛物线的顶点落在x轴上,原抛物线上一点P 平移后的对应点为点Q,如果OP=OQ,求点Q的坐标.请打开几何画板文件名“17上海24”,拖动点P在抛物线上运动,可以体验到,点Q可以两次落在另一条抛物线上.1.第(1)题:设抛物线的顶点式比较简便.2.第(2)题:构造以AM为斜边的直角三角形就可以了,直角顶点在对称轴上.3.第(3)题:点P、Q的横坐标相等,纵坐标互为相反数.已知抛物线y=x2+bx-3(b是常数)经过点A(-1, 0).(1) 求该抛物线的解析式和顶点坐标;(2) 点P(m, t)为该抛物线上的一个动点,点P关于原点的对称点为P'.①当点P'落在该抛物线上时,求m的值;②当点P'在第二象限内,P'A2取得最小值时,求m的值.请打开几何画板文件名“17天津25”,拖动点P在抛物线上运动,观察点P'的运动轨迹,可以体验到,有两个时刻,点P'可以落在抛物线上.观察P'A随点P运动变化的函数图象,仿佛是一个“W”字,当图象上的从动点运动到“W”字右下角的顶点时,表示点P'在第二象限时P'A取得最小值.1.第(2)①题:将P、P'两点的坐标分别代入抛物线的解析式,列关于m、t的方程组,解方程组求得m的两个值.事实上,点P和点P'的位置是可以互换的.2.第(2)②题:用m表示P'A2,得到一个关于m的四次函数.求四次函数的最小值,会让我们束手无策.其实通过设元降次,四次函数可以转化为二次函数.如图,抛物线y=mx-16mx+48m(m>0)与x轴交于A、B两点(点B在点A的左侧),与y轴交于点C,点D是抛物线上的一个动点,且位于第四象限,连结OD、BD、AC、AD,延长AD 交y轴于点E.(1) 若△AOC为等腰直角三角形,求m的值;(2) 若对任意m>0, C、E两点总关于原点对称,求点D的坐标(用含m的式子表示);(3) 当点D运动到某一位置时,恰好使得∠ODB=∠OAD,且点D为线段AE的中点,此时对于该抛物线上任意一点P(x0, y0)总有n+≥-4m-12y0-50成立,求实数n的最小值.请打开几何画板文件名“17长沙26”,点击屏幕左下方的按钮“第(1)题”,拖动点C 在y轴的正半轴上运动,可以体验到,抛物线与x轴的两个交点A、B是确定的.点击按钮“第(2)题”,拖动点C运动,可以体验到,点D的横坐标保持不变.点击按钮“第(3)题”,对照两个图象,可以体验到,当点P运动到抛物线的最低点时,y0取得最小值,而另一个图象中y0的对应值是函数的最大值.1.由抛物线的解析式可以得到A、B两点的坐标是确定的.2.第(1)题由OC=OA就可以解决.3.第(2)题作DH⊥x轴,根据直角边对应成比例列方程.4.第(3)题跨界太大,生涩难懂,一步一步慢慢来.第一步,由角相等容易得到三角形相似.第二步,中点D的坐标可用m表示出来.前两步结合,可以求出确定的m.第三步分两步走,①把m代入到抛物线的解析式中,求这个二次函数的最小值y0.②把m代入到不等号后面的式子中,就得到一个关于y0的二次三项式(设S为关于y0的二次函数),二次项系数是负数,怎样求这个二次函数的最大值呢?要结合抛物线的对称轴和y0的取值范围综合考虑,求得S的最大值.第四步,解不等式n+≥S的最大值,得到n的最小值.。
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§4.7函数的图象及性质
已知函数y=-
的图象如图1所示,点P是y轴负半轴上一点,过点P作y
轴的垂线交图象于A、B两点,连结OA、OB.下列结论:
①若点M1(x1, y1)、M2(x2, y2)在图象上,且x1<x2<0,则y1<y2;
②当点P的坐标为(0, -3)时,△AOB是等腰三角形;
③无论点P在什么位置,始终有S△AOB=7.5, AP=4BP;
④当点P移动到使∠AOB=90°时,点A的坐标为(2, -).
其中正确结论的个数为().
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
图1
请打开几何画板文件名“17达州10”,拖动点P在y轴的负半轴上运动,可以体验到,△AOB的形状随点P的运动而改变.
在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(3, m)、 (3, m+2),直线y=2x+b与线段AB有公共点,则b的取值范围是(用含m的代数式表示).
图1
请打开几何画板文件名“17大连16”,拖动y轴上表示实数b的点运动,可以体验到,直线y=2x+b与线段AB有公共点,b的最小值由点A确定, b的最大值由点B确定.
图1
正方形A1B1C1O,正方形A2B2C2C1,正方形A3B3C3C2,……,按如图1所示放置,点A1, A2, A3, …在直线y=x+1上,点C1, C2, C3, …在x轴上,则点A n的坐标是.
图2
请打开几何画板文件名“17广安16”,可以体验到,每个正方形的边长是它紧邻左侧一个正方形边长的2倍.
如图1,在△ABC中,AB=AC, BC=12, E为AC边的中点,线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD=x, tan∠ACB=y,则().
A.x-y2=3
B. 2x-y2=9
C. 3x-y2=15
D. 4x-y2=21
图1
请打开几何画板文件名“17杭州10”,拖动点A可以改变等腰三角形ABC的形状,可以体验到,在Rt△EDN中,点N的位置是不变的,ED与BD保持相等.
函数y1=x与y2=的图象如图1所示,下列关于函数y=y1+y2的结论:
①函数的图象关于原点中心对称;
②当x<2时,y随x的增大而减小;
③当x>0时,函数的图象的最低点的坐标是(2, 4).
其中所有正确结论的序号是.
图1
请打开几何画板文件名“17南京16”,借助几何画板画出函数的图象,可以体验到,函数的图象关于原点中心对称;当x>0时,函数图象的最低点的坐标是(2, 4).
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过A(-1, -4)、B(2, 2)两点,P为反比例函数y=图象上一动点,O为坐标原点,过点P作y轴的垂线,垂足为C,则△PCO的面积为().
A. 2
B. 4
C. 8
D.不确定
图1
请打开几何画板文件名“17青岛08”,拖动点P运动,可以体验到,因为直线AB是确定的,所以反比例函数的系数kb也是确定的,所以△PCO的面积为定值.
如图1,在△ABC中,∠C=90° AB=10cm, BC=8cm,点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边形PABQ的面积的最小值为().
A. 19cm2
B. 16cm2
C. 15cm2
D. 12cm2
图1
请打开几何画板文件名“17泰安20”,拖动点P运动,可以体验到,当点P运动到AC的中点时,四边形PABQ的面积最小.
如图1, P为反比例函数y=(k>0)在第一象限内图象上的一点,过点P分别作x轴、y轴的垂线交一次函数y=-x-4的图象于点A、B,若∠AOB=135° 则k的值是().
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
图1
请打开几何画板文件名“17泰州06”,拖动点P运动,可以体验到,△BMO与△ONA保持相似.
如图1,正方形ABCD的边长为5,点A的坐标为(-4, 0),点B在y轴上,若反比例函数y=(k ≠0)的图象过点C,则该反比例函数的表达式为().
A.y=
B.y=
C.y=
D.y=
图1
如图1,矩形ABCO的边OA、OC在x轴、y轴上,点B在第一象限,点D在边BC上,且∠AOD=30° 四边形OA'B'D与四边形OABD关于直线OD对称(点A和点A',点B和点B'分别对
应).若AB=1,反比例函数y=(k≠0)的图象恰好经过点A'、B,则k的值为.
图1
请打开几何画板文件名“17温州15”,拖动点A运动,可以体验到,△A'OA保持等边三角形的形状,存在一个时刻,点A'落在双曲线上.
如图1,在平面直角坐标系中,OA=AB, ∠OAB=90° 反比例函数y=(x>0)的图象经过A、B两点,若点A的坐标为(n, 1),则k的值为.
图1
请打开几何画板文件名“17孝感16”,拖动点A在直线y=1上水平运动,可以体验到,△OEA与△ADB保持全等,存在一个时刻,点B落在双曲线上.
如图1,矩形ABOC的顶点O在坐标原点,顶点B、C分别在x轴、y轴的正半轴上,顶点A在反比例函数y=(k为常数, k>0, x>0)的图象上,将矩形ABOC绕点A逆时针旋转90°得到矩形AB'O'C',若点O的对应点O'恰好落在反比例函数的图象上,则的值是.
图1
请打开几何画板文件名“17宿迁16”,拖动点B运动,观察OB与OC比的度量值,可以体验到,当点O'恰好落在双曲线上时,比值是黄金分割数.
若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是().
A.b<1且b≠0
B.b>1
C. 0<b<1
D.b<1
如图1,将函数y=(x-2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中A(1, m)、
B(4, n)平移后的对应点分别为A'、B',若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数表达式是().
A.y=(x-2)2-2
B.y=(x-2)2+7
C.y=(x-2)2-5
D.y=(x-2)2+4
图1
如图1,已知△ABC的顶点坐标分别为A(0, 2)、B(1, 0)、C(2, 1),若二次函数y=x2+bx+1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点,则实数b的取值范围是().
A.b≤-2
B.b<-2
C.b≥-2
D.b>-2
图1
请打开几何画板文件名“17扬州08”,拖动x轴上表示实数b的点运动,可以体验到,抛物线的开口不变,与y轴的交点不变,对称轴在变.当b≥-2时,抛物线与阴影部分(含边界)一定有公共点.
如图1,已知点A是反比例函数y=-的图象上的一个动点,连结OA,若将线段OA绕点O 顺时针旋转90°得到线段OB.那么点B所在图象的函数表达式为.
图1
请打开几何画板文件名“17扬州17”,拖动点A运动,可以体验到,点B的运动轨迹是双曲线.
一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=(k1·k2≠0)的图象如图1所示,若y1>y2,则x的取
值范围是().
A.-2<x<0或x>1
B.-2<x<1
C.x<-2或x>1
D.x<-2或0<x<1
图1
请打开几何画板文件名“17自贡12”,拖动x轴上表示实数x的点运动,可以体验到,在两个区间内,直线在双曲线的上方(如图2所示).。