空间几何体的表面积与体积训练题

空间几何体的表面积与体积训练题一、题点全面练1．(2019·沈阳质检)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是( )A ．4＋4 2B ．42＋2C ．8＋4 2D.83解析：选A 由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P ­ABCD ，如图所示，其中PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且PA ＝2，AB ＝2，PB ＝22，所以该四棱锥的侧面积S 是四个直角三角形的面积和，即S ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2＋12×2×22＝4＋4 2.2．(2019·开封模拟)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )A ．4π B.2π C.4π3D ．π解析：选B 由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为α，由tan α＝31＝3，得α＝π3，故底面面积为12×π3×22＝2π3，则该几何体的体积为2π3×3＝2π. 3．一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )A ．72＋6πB ．72＋4πC ．48＋6πD ．48＋4π解析：选A 由三视图知，该几何体由一个正方体的34部分与一个圆柱的14部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π.4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A ．64－16π3B.64－32π3C ．64－16πD ．64－64π3解析：选A 由三视图可知，该几何体是一个正方体中间挖去两个顶点相接的圆锥，其中，两个圆锥的体积和是V 锥＝13Sh ＝13×π×22×4＝16π3，∴V ＝V 正方体－V 锥＝43－16π3＝64－16π3.5.(2018·广州调研)如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.112π B.6π C ．11πD ．12π解析：选C 根据三视图知，可将该三棱锥放在长方体中，如图中三棱锥S ­ABC 所示，取线段AC 的中点O 1，过O 1作直线垂直于平面ABC交长方体的上底面于点P ，因为△ABC 是直角三角形，所以外接球的球心O 必在直线PO 1上，连接SO ，SP ，OC ，设OO 1＝x ，球的半径为R ，易得SP ＝102，所以⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝x 2＋12，R 2＝－x2＋52，解得R 2＝114，所以该三棱锥外接球的表面积S ＝4πR 2＝11π，故选C.6.如图，已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，过点A ，P ，C 1的平面截正方体所得的截面为M ，则截面M 的面积为________．解析：如图，取A 1D 1，AD 的中点分别为F ，G .连接AF ，AP ，PC 1，C 1F ，PG ，D 1G ，AC 1，PF .∵F 为A 1D 1的中点，P 为BC 的中点，G 为AD 的中点，∴AF ＝FC 1＝AP ＝PC 1＝52，PG 綊CD ，AF 綊D 1G .由题意易知CD 綊C 1D 1，∴PG 綊C 1D 1，∴四边形C 1D 1GP 为平行四边形，∴PC 1綊D 1G ，∴PC 1綊AF ，∴A ，P ，C 1，F 四点共面，∴四边形APC 1F 为菱形．∵AC 1＝3，PF ＝2，过点A ，P ，C 1的平面截正方体所得的截面M 为菱形APC 1F ，∴截面M 的面积S ＝12AC 1·PF＝12×3×2＝62. 答案：627．(2019·合肥质量检测)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图可知，该几何体由一个半圆柱与两个半球构成，故其表面积为4π×12＋12×2×π×1×3＋2×12×π×12＋3×2＝8π＋6. 答案：8π＋68．已知三棱锥S ­ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ­ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．解析：如图，取SC 的中点O ，连接OA ，OB .∵SA ＝AC ，SB ＝BC ，∴OA⊥SC ，OB ⊥SC ，∵平面SAC ⊥平面SBC ，∴OA ⊥平面SBC .设OA ＝r ，则V S ­ABC ＝V A ­SBC ＝13S △SBC ×OA ＝13×12×2r ×r ×r ＝13r 3＝9.∴r ＝3.∴球O 的表面积为4πr 2＝36π.答案：36π9．已知球的半径为R ，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？解：如图为其轴截面，令圆柱的高为h ，底面半径为r ，侧面积为S ， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫h 2 2＋r 2＝R 2，即h ＝2R 2－r 2. 因为S ＝2πrh ＝4πr ·R 2－r 2＝ 4πr2R 2－r2≤4πr 2＋R 2－r 224＝2πR 2，当且仅当r 2＝R 2－r 2，即r ＝22R 时，取等号， 所以当内接圆柱底面半径为22R ，高为2R 时，其侧面积的值最大，最大值为2πR 2. 10.如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD . (1)求证：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ­ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积．解：(1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD . 因为BE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以BE ⊥AC .因为BD ∩BE ＝B ，BD ⊂平面BED ，BE ⊂平面BED ， 所以AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED . (2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°， 可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x 2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x . 由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x . 由已知得，三棱锥E ­ACD 的体积V 三棱锥E ­ACD ＝13·12AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63， 故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥E ­ACD 的侧面积为3＋2 5.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．(2018·衡水二模)如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是( )A ．π＋42＋4 B.2π＋42＋4 C ．2π＋42＋2D ．2π＋22＋4解析：选B 由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱与一个三棱柱组成的几何体，其直观图如图所示，其表面积S ＝2×12π×12＋2×12×2×1＋12π×2×1＋(2＋2＋2)×2－2×1＝2π＋42＋4.2．(2019·石家庄质检)如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为( )A.83B.43C.823D.423解析：选A 记由三视图还原后的几何体为四棱锥A ­BCDE ，如图，将其放入棱长为2的正方体中，其中点D ，E 分别为所在棱的中点，分析知平面ABE ⊥平面BCDE ，点A 到直线BE 的距离即棱锥的高，设为h ，在△ABE 中，易知AE ＝BE ＝5，cos ∠ABE ＝55，则sin ∠ABE ＝255，所以h ＝455，故四棱锥的体积V ＝13×2×5×455＝83.3．三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面是边长为3的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，若球O 与三棱柱ABC ­A 1B 1C 1各侧面、底面均相切，则侧棱AA 1的长为( )A.12B.32C ．1D. 3解析：选C 因为球O 与直三棱柱的侧面、底面均相切，所以侧棱AA 1的长等于球的直径．设球的半径为R ，则球心在底面上的射影是底面正三角形ABC 的中心，如图所示．因为AC ＝3，所以AD ＝12AC＝32.因为tan π6＝MD AD ，所以球的半径R ＝MD ＝AD tan π6＝32×33＝12，所以AA 1＝2R ＝2×12＝1. 4．(2018·洛阳联考)已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为( )A.823π B.833π C.863π D.1623π 解析：选A 将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2 2.因为球O 与正四面体的各棱都相切，所以球O 为正方体的内切球，即球O 的直径为正方体的棱长22，则球O 的体积V ＝43πR 3＝823π.(二)技法专练——活用快得分5．[构造法]某几何体的三视图如图所示(粗实线部分)，正方形网格的边长为1，该几何体的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．15π B.16π C ．17πD ．18π解析：选C 由题中的三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥D 1­BCD ，将其放在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，则该几何体的外接球即长方体的外接球，长方体的长、宽、高分别为2,2,3，长方体的体对角线长为4＋4＋9＝17，球O 的直径为17，所以球O 的表面积S ＝17π.6．[补形法]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.32B.136 C ．2D.116解析：选D 由三视图可知，该几何体是一个底面为等腰直角三角形，高为2的直三棱柱，截去一个小三棱锥的组合体，直观图如图所示．直三棱柱的体积为12×2×1×2＝2，而截去的三棱锥的体积为13×12×1×1×1＝16，故所求几何体的体积为2－16＝116.7．[等体积法]在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AD ＝1，AB ＝2，AA 1＝2，点M 在平面ACB 1内运动，则线段BM 的最小值为( )A.62B. 6C.63D ．3解析：选C 线段BM 的最小值即点B 到平面ACB 1的距离h .在△ACB 1中，AC ＝B 1C ＝5，AB 1＝22，所以AB 1边上的高为5－2＝3，所以S △ACB 1＝12×22×3＝ 6.又三棱锥B ­ACB 1的体积VB ­ACB 1＝VA ­BB 1C ＝13×12×2×1×2＝23，所以VB ­ACB 1＝13×6h ＝23，所以h ＝63. 8．[分割法]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：如图，由三视图可知，该几何体是由棱长为3的正方体削去左上角一个底面是直角边长为3和1的直角三角形，侧棱长为3且垂直于底面的三棱锥，削去右上角的一底面为直角边长为2和3的直角三角形，侧棱长为3的直棱柱之后得到的，剩余几何体的体积为V ＝27－⎝ ⎛⎭⎪⎫13×12×3×1×3＋3×12×2×3＝332. 答案：332(三)交汇专练——融会巧迁移9．[与数学文化交汇]刍甍(ch ú m én ɡ)，中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍甍的字面意思为茅草屋顶．”如图为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它(无底面且不考虑厚度)需要的茅草面积为( )A ．24 B.32 5 C ．64D ．32 6解析：选B 由三视图易知，此几何体的表面由两个等腰三角形和两个等腰梯形组成(不考虑底面)，则搭建此几何体需要的茅草面积为S ＝2×12×4×22＋42＋2×12×(4＋8)×22＋42＝32 5.10．[与数学文化交汇]古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”题目的意思是：有一粮仓的三视图如图所示(单位：尺)，问能储存多少粟米．已知1斛米的体积约为1.62立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有(取整数)( )A ．410斛 B.420斛 C ．430斛D ．441斛解析：选 D 粮仓的形状为一个如图所示的直四棱柱，其体积为V ＝9＋82×7×12＝714(立方尺)，又7141.62≈441，所以可以储存粟米约441斛．11．[与线面角交汇](2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．解析：如图，∵SA 与底面成45°角， ∴△SAO 为等腰直角三角形．设OA ＝r ，则SO ＝r ，SA ＝SB ＝2r .在△SAB 中，cos ∠ASB ＝78，∴sin ∠ASB ＝158， ∴S △SAB ＝12SA ·SB ·sin ∠ASB＝12×(2r )2×158＝515， 解得r ＝210，∴SA ＝2r ＝45，即母线长l ＝45， ∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×210×45＝402π. 答案：402π。