例谈导数在圆锥曲线问题中的应用
圆锥曲线综合 导数基本知识
圆锥曲线综合考点名称：圆锥曲线综合圆锥曲线的综合问题：1、圆锥曲线的范围问题有两种常用方法：（1）寻找合理的不等式，常见有△＞0和弦的中点在曲线内部；（2）所求量可表示为另一变量的函数，求函数的值域。
2、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。
直线与圆锥曲线的位置关系：(1)从几何角度来看，直线和圆锥曲线有三种位置关系：相离、相切和相交，相离是直线和圆锥曲线没有公共点，相切是直线和圆锥曲线有唯一公共点，相交是直线与圆锥曲线有两个不同的公共点，并特别注意直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时，并不一定是相切，如直线与双曲线的渐近线平行时，与双曲线有唯一公共点，但这时直线与双曲线相交；直线平行（重合）于抛物线的对称轴时，与抛物线有唯一公共点，但这时直线与抛物线相交，故直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时可能是相切，也可能是相交，直线与这两种曲线相交，可能有两个交点，也可能有一个交点，从而不要以公共点的个数来判断直线与曲线的位置关系，但由位置关系可以确定公共点的个数．(2)从代数角度来看，可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数确定位置关系．设直线l的方程与圆锥曲线方程联立得到ax2+bx+c=0．①若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．②若当Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交．当Δ=0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切．当Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离．直线与圆锥曲线相交的弦长公式：若直线l与圆锥曲线F(x，y)=0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：(1)求交点法：把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．(2)韦达定理法：不求交点坐标，可用韦达定理求解．若直线l的方程用y=kx+m或x=n表示．抛物线的性质（见下表）:抛物线的焦点弦的性质：关于抛物线的几个重要结论：(1)弦长公式同椭圆．(2)对于抛物线y2=2px(p>0)，我们有P(x0，y0)在抛物线内部P(x0，y0)在抛物线外部(3)抛物线y2=2px上的点P（x1，y1）的切线方程是抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是y=kx+(4)抛物线y2=2px外一点P(x0，y0)的切点弦方程是(5)过抛物线y2=2px上两点的两条切线交于点M(x0，y0)，则(6)自抛物线外一点P作两条切线，切点为A,B，若焦点为F,又若切线PA⊥PB，则AB必过抛物线焦点F．利用抛物线的几何性质解题的方法：根据抛物线定义得出抛物线一个非常重要的几何性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．利用抛物线的几何性质，可以进行求值、图形的判断及有关证明．抛物线中定点问题的解决方法：在高考中一般以填空题或选择题的形式考查抛物线的定义、标准方程以及几何性质等基础知识，在解答题中常常将解析几何中的方法、技巧与思想集于一身，与其他圆锥曲线或其他章节的内容相结合，考查综合分析问题的能力，而与抛物线有关的定值及最值问题是一个很好的切人点，充分利用点在抛物线上及抛物线方程的特点是解决此类题型的关键，在求最值时经常运用基本不等式、判别式以及转化为函数最值等方法。
拉格朗日中值定理圆锥曲线-概述说明以及解释
拉格朗日中值定理圆锥曲线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述拉格朗日中值定理以及圆锥曲线作为数学中的两个重要概念，都在不同领域发挥着重要的作用。
拉格朗日中值定理是微积分中的一个基本定理，它为我们提供了一种有力的工具，用于研究函数在某个区间内的性质。
而圆锥曲线则是解析几何中的一个重要分支，它涉及到平面上的曲线形状与其代数方程之间的联系。
拉格朗日中值定理是法国数学家拉格朗日于18世纪所提出的，在微积分学中占据着举足轻重的地位。
它描述了函数在某个闭区间内连续且导数存在的条件下，必然存在着某个点，使得该点的导数等于函数在该区间两端点的函数值之差与两端点之差的比值。
也就是说，拉格朗日中值定理给出了函数在某个区间内平均变化率等于瞬时变化率的条件。
这个定理被广泛应用于微积分、最优化等领域，为我们研究函数的增减性、最值等问题提供了便利。
而圆锥曲线是一个由平面与一个圆锥相交所形成的曲线。
它的特点是在平面上的每个点，到一个定点和一个定直线的距离之比是一个常数，该常数称为离心率。
由于离心率的不同取值，圆锥曲线可以分为椭圆、抛物线和双曲线三种类型。
椭圆是离心率小于1的情况，抛物线是离心率等于1的情况，而双曲线是离心率大于1的情况。
圆锥曲线的研究在解析几何、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
它们可以描述光学系统中的折射和反射现象，也可以用于建模天体运动的轨迹等。
通过对拉格朗日中值定理和圆锥曲线的研究，我们可以深入理解函数的变化规律以及几何形状的特性。
这两个概念的结合为我们提供了一种数学工具的扩展和应用的可能性。
在本文中，我们将首先介绍拉格朗日中值定理的基本原理和证明方法，然后探讨圆锥曲线的定义和性质，最后总结两者的研究意义。
通过这样的分析，我们可以更好地理解这两个概念在数学和相关学科中的重要性和应用价值。
1.2文章结构文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
1. 引言部分会对拉格朗日中值定理和圆锥曲线进行概述，明确文章的主要研究内容和目的。
圆锥曲线解题技巧归纳
圆锥曲线解题技巧归纳圆锥曲线是数学中的重要主题之一、它涉及到许多重要的概念和技巧，可以用于解决各种问题。
本文将归纳总结圆锥曲线解题的一些常用技巧，帮助读者更好地理解和应用这一主题。
1.判别式法：对于给定的二次方程，可以根据判别式的符号来判断它表示的曲线类型。
当判别式大于零时，曲线是一个椭圆；当判别式小于零时，曲线是一个双曲线；当判别式等于零时，曲线是一个抛物线。
2.参数方程法：对于给定的圆锥曲线，可以使用参数方程来表示。
通过选取合适的参数，可以将曲线表示为一系列点的集合。
这种方法可以简化问题，使得求解过程更加直观和方便。
3.极坐标方程法：对于给定的圆锥曲线，可以使用极坐标方程来表示。
通过将直角坐标系转换为极坐标系，可以更好地描述和分析曲线的特性。
这种方法在求解对称性等问题时非常有用。
4.曲线拟合法：对于给定的一组数据点，可以使用曲线拟合的方法来找到一个最适合的圆锥曲线。
通过将数据点与曲线进行比较，可以得出曲线的参数和特性。
这种方法在实际应用中非常常见，例如地图估算、经济预测等领域。
5.曲线平移法：对于给定的圆锥曲线，可以通过平移坐标系来使其简化。
通过选取合适的平移距离，可以将曲线的对称轴对准到坐标原点，从而更方便地进行分析和求解。
6.曲线旋转法：对于给定的圆锥曲线，可以通过旋转坐标系来改变其方向和形状。
通过选取合适的旋转角度，可以使曲线变得更简单和易于处理。
这种方法在求解对称性、求交点等问题时非常有用。
7.曲线对称性法：对于给定的圆锥曲线，可以通过研究其对称性来简化问题。
根据曲线的对称轴、对称中心等特性，可以快速得到曲线的一些重要参数和结论。
8.曲线的几何性质法：对于给定的圆锥曲线，可以通过研究其几何性质来解决问题。
例如，对于椭圆可以利用焦点、半长轴、半短轴等参数来求解问题；对于双曲线可以利用渐近线、渐近点等参数来求解问题。
9.曲线的微积分法：对于给定的圆锥曲线，可以通过微积分的方法来求解其一些重要特性。
导数在高中数学圆锥曲线参数方程中的应用
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２８数学学习与研究㊀２０２２ ２导数在高中数学圆锥曲线参数方程中的应用导数在高中数学圆锥曲线参数方程中的应用Һ吴玉辉㊀（福建省永定第一中学，福建㊀龙岩㊀３６４１００）㊀㊀ʌ摘要ɔ在高中数学课本中，导数是核心知识点之一，并在求圆锥曲线参数方程中得到了很好的运用．导数加入高中数学体系后，使高中数学的知识体系得到了极大的延展，也为一些比较难的数学问题提供了一种新的解题思路．基于此，本文将通过具体例题来说明导数在圆锥曲线参数方程问题中的一些应用策略．ʌ关键词ɔ导数；圆锥曲线；应用ʌ基金项目ɔ本文系福建省教育科学 十三五 规划２０２０年度课题 大数据驱动的高中生数学学习监控与精准干预行动研究 （课题编号：ＦＪＪＫＸＢ２０－７９０）系列论文之一．导数是高中数学过渡到高等数学的重要工具，学好导数可以让学生步入大学时能够有一个良好的开端．目前，在高中数学的解题中，导数的概念得到了极大的完善和运用．因此，笔者将着重研究如何在解决圆锥曲线参数方程问题的过程中应用导数．一㊁导数与圆锥曲线的概念１．导数定义导数（Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ），也称为导函数值，是微积分中一个重要的基本概念．函数ｙ＝ｆ（ｘ）的自变量ｘ在点ｘ０处产生增量Δｘ，当Δｘ接近０时，函数输出值的增量Δｙ与自变量的增量Δｘ的比值在Δｘ趋于０时的极限ａ若存在，则ａ是函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ０处的导数，记作ｆᶄ（ｘ０）或ｄｆ（ｘ０）ｄｘ．对于可导的函数ｆ（ｘ），ｘңｆᶄ（ｘ）也是一个函数，称为ｆ（ｘ）的导数．在某个点上找到已知函数的导数或其导函数的过程称为求导．实际上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来自极限的四则运算法则．已知的导数也可以被逆转，从而找到原始函数，即不定积分．２．导数性质单调性：①若导数大于零，则单调增加；若导数小于零，则单调递减；若导数等于零，则为函数驻点，但不一定是极值点，需要代入驻点左右两侧的值以找到正负导数才能确定单调性．②若已知函数是一个递增函数，则其导数大于或等于零；若已知函数是一个递减函数，则其导数小于或等于零．根据导数的基本定理，对于可导函数，有如下定义：若函数的导数在某个区间中始终大于零（或始终小于零），则函数在该区间中单调递增（或单调递减），此区间称为函数的单调区间．其中，函数的驻点定义为导数等于零的点．在这些点上，函数可能会取得极大值或极小值（即极值可疑点）．进一步判断则需要知道导数在驻点附近的符号．ｘ改变时，函数图象的切线也会发生改变，其中，切线的斜率为对应的导数值．进一步介绍一下函数的凹凸性：若函数的导数在某个区间内单调递增，则该区间上的函数图象向下凹，否则上凸．如果函数存在二阶导数，也可以通过其正负性来判断，如果在一区间内始终大于零，则该区间内的函数向下凹，否则上凸．３．圆锥曲线定义圆锥曲线是平面截二次锥面获得的曲线，包括椭圆（圆为椭圆的特例）㊁抛物线和双曲线．对圆锥曲线的研究始于２０００多年前的古希腊．４．圆锥曲线定理圆锥曲线又叫二次曲线，通过直角坐标系可与二次方程相对应，并由此衍生出很多大家熟知的曲面，如圆柱㊁椭球面㊁单叶和双叶曲面等，这些都证明了圆锥曲线最具代表性的特征便是 焦点 准线 ．帕普斯定理的详细定义如下：圆锥曲线上一点的焦距长度等于从该点到相应方向的距离乘偏心率．帕斯卡定理的详细定义如下：圆锥曲线的内接六边形，如果相对的边不平行，则该六边形的对边的延长线的交点是共线的（这也适用于降级的情况）．布里昂雄（Ｂｒｉａｎｃｈｏｎ）定理的详细定义如下：圆锥曲线的外切六边形在同一点有三条对角线．当德兰（Ｄａｎｄｅｌｉｎ）得出的冰激凌定理的结论如下：圆锥曲线几何定义与焦点 准线定义具有等价性．如图１，若将圆锥的顶点设为Ｑ，则有一平面πᶄ与其相截可以得到圆锥曲线，作球与平面πᶄ及圆锥体相切，当曲线为椭圆或双曲线时，平面与球有两个切点，而抛物线只有一个，也就说明了切点就是焦点．若球与圆锥之交为椭圆，可设此椭圆所在平面π与πᶄ之交为直线ｄ，则ｄ是准线．图１㊀㊀㊀图２虽然该图仅画出一个椭圆，但证明方法适用于抛物线和双曲线．也就是说，任何一个切点都可以是焦点，ｄ为All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１２９㊀数学学习与研究㊀２０２２ ２准线．证明：假设Ｐ是曲线上的一个点，如图２所示，连接ＰＱ与圆Ｏ交于Ｅ，设球与平面πᶄ的切点为Ｆ，令平面πᶄ和π之间的交角为α，圆锥的母线与平面π的交角为β．设Ｐ到平面π的垂足为Ｈ，从Ｈ到直线ｄ的垂足为Ｒ，则ＰＲ为从Ｐ到ｄ的垂线，又øＰＲＨ＝α，其中，由于ＰＥ和ＰＦ都是球体的切线，所以ＰＥ＝ＰＦ．因此有ＰＲ㊃ｓｉｎα＝ＰＥ㊃ｓｉｎβ＝ＰＦ㊃ｓｉｎβ＝ＰＨ，其中ＰＦＰＲ＝ｓｉｎαｓｉｎβ为常数．二㊁用导数方法求圆锥曲线的切线方程的引理论证目前，大多教师仍然采用传统的解题思路进行圆锥曲线问题的求解，导致在当前的高中数学教学中，导数并没有被实际运用到对圆锥曲线问题的求解中．例如在求直线和圆锥曲线结合的题目时，虽然利用导数方法可以更加简单清晰地进行解题，但是教师普遍会教导学生按照传统解题思路进行解题．传统解决方案比较麻烦，尤其是包含参数时．因此，我们可以将圆锥部分划分为 几个函数 以进行单独讨论，以便学生使用导数方法找到曲线的切线．本文将使用导数方法来证明圆锥曲线的一些性质．（一）引理一过椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）上的任意一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）作该椭圆的切线，则切线方程可以表示为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１．证明㊀先考虑ｙ＞０的情形：当ｙ＞０时，ｙ＝ｂａａ２－ｘ２，ｙᶄ＝－ｂｘａａ２－ｘ２，ｙᶄ｜ｘ＝ｘ０＝－ｂｘ０ａａ２－ｘ２０．而ｙ０＝ｂａａ２－ｘ２０，ʑａ２－ｘ２０＝ａｙ０ｂ，ʑｙᶄ｜ｘ＝ｘ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０，为椭圆过Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线ｌ的斜率，ʑ切线ｌ：ｙ－ｙ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０（ｘ－ｘ０），化简得ｂ２ｘ０ｘ＋ａ２ｙ０ｙ＝ｂ２ｘ２０＋ａ２ｙ２０，两边同时除以ａ２ｂ２得ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝ｘ２０ａ２＋ｙ２０ｂ２，即ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１．当ｙ＜０时，ｙ＝－ｂａａ２－ｘ２，同理可得其过Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１．点Ｐ在（ａ，０）或（－ａ，０）处时，其切线方程为ｘ＝ａ或ｘ＝－ａ，以上结论仍然成立，从而引理一得证．（二）引理二过双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）上的任意一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线方程可以表示为ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝１．证明㊀先考虑ｙ＞０的情形，当ｙ＞０时，ｙ＝ｂａｘ２－ａ２，ｙᶄ＝ｂｘａｘ２－ａ２，ｙᶄ｜ｘ＝ｘ０＝ｂｘ０ａｘ２０－ａ２．而ｙ０＝ｂａｘ２０－ａ２，ʑｘ２０－ａ２＝ａｙ０ｂ，ʑｙᶄ｜ｘ＝ｘ０＝ｂ２ｘ０ａ２ｙ０，为双曲线过Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线的斜率．ʑ切线方程为ｙ－ｙ０＝ｂ２ｘ０ａ２ｙ０（ｘ－ｘ０），整理得ｂ２ｘ０ｘ－ａ２ｙ０ｙ＝ｂ２ｘ２０－ａ２ｙ２０，进而有ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝ｘ２０ａ２－ｙ２０ｂ２，即ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝１．当ｙ＜０时，ｙ＝－ｂａｘ２－ａ２，其过点Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线方程仍为ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝１．点Ｐ在（ａ，０）或（－ａ，０）处时，其切线方程为ｘ＝ａ或ｘ＝－ａ，以上结论仍然成立，从而引理二成立．同理，对于焦点在ｙ轴上的椭圆和双曲线，可以使用类似的推理方式得到相同的结论．（三）引理三过圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２上的一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线方程为ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２．上述公式在高中课本中已进行推导，因此本文中将不进行具体阐述，而且本公式也可以通过导数进行推导．定理：对于二次方程：αｘ２＋βｙ２＝γ（αβγʂ０，γ与α，β中至少一个同号）所表示的曲线，设曲线上任意一点为Ｐ（ｘ０，ｙ０），那么过点Ｐ且与已知曲线相切的直线方程为αｘ０ｘ＋βｙ０ｙ＝γ．由图象平移法则，很容易得到一个更一般的结论．推论：对于二次方程α（ｘ－ｈ）２＋β（ｙ－ｋ）２＝γ（αβγʂ０，γ与α，β中至少一个同号）所表示的曲线，设其上任意一点为Ｐ（ｘ０，ｙ０），那么过点Ｐ且与已知曲线相切的直线方程为α（ｘ０－ｈ）（ｘ－ｈ）＋β（ｙ０－ｋ）（ｙ－ｋ）＝γ．解决切线方程问题是导数的重要应用．圆锥截面通常不是功能性图形，因此教师通常不使用导数解决圆锥截面的切线问题，而使用传统的方法来查找由直线和圆锥截面方程组成的方程组的解，但是这种方法比较麻烦，尤其对于参数而言，计算量很大．因此，应将圆锥部分划分为 几个函数 以单独讨论．三㊁导数在圆锥曲线方程中的实际应用（一）利用导数求圆锥曲线的切线方程例１㊀求过抛物线ｙ＝ｘ２上的点Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线方程．All Rights Reserved.㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１３０数学学习与研究㊀２０２２ ２解㊀（１）当ｙȡ０时，ｙ＝ｘ，ｙᶄ＝１２ｘ，故切线的斜率为１２ｘ０，ʑ所求的切线方程为ｙ－ｙ０＝１２ｘ０（ｘ－ｘ０）．ȵｙ０＝ｘ０，ʑ切线方程为２ｙｙ０－ｘ－ｘ０＝０．（２）当ｙɤ０时，ｙ＝－ｘ，ｙᶄ＝－１２ｘ，故切线的斜率为－１２ｘ０，ʑ所求的切线方程为ｙ－ｙ０＝－１２ｘ０（ｘ－ｘ０）．ȵｙ０＝－ｘ０，ʑ切线方程为２ｙｙ０－ｘ－ｘ０＝０．综上可得所求的切线方程为２ｙｙ０－ｘ－ｘ０＝０．（二）利用导数求含参数的圆锥曲线的切线方程例２㊀设Ｐ（ｘ０，ｙ０）是椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１上的点，求过该点的切线方程．解㊀对ｘ求导，得２ｘａ２＋２ｙｙᶄｂ２＝０，得ｙᶄ｜ｘ＝ｘ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０，由点斜式得切线方程为ｙ－ｙ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０（ｘ－ｘ０），即ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝ｘ２０ａ２＋ｙ２０ｂ２＝１，即ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１．例３㊀设Ｐ（ｘ０，ｙ０）是双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１上的点，求过该点的切线方程．解㊀对ｘ求导，得ｙᶄ＝ｂｘａｘ２－ａ２，得ｙᶄｘ＝ｘ０＝ｂ２ｘ０ａ２ｙ０，由点斜式得切线方程为ｙ－ｙ０＝ｂ２ｘ０ａ２ｙ０（ｘ－ｘ０），化简得ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝ｘ２０ａ２－ｙ２０ｂ２＝１，即ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝１．四㊁利用导数求解圆锥曲线问题的方法与注意事项（一）利用导数求解圆锥曲线问题的方法学生在求解圆锥曲线问题时，需要有一定的创新思维能力．在传统的教学模式中，学生一般都先自学，然后对同一类型的多类题进行大量训练，从而提高成绩．但是考虑到学生的学习状况，教师应该兼顾学生的学习特点和学习效率，通过加强典型案例的培训方式，培养学生的创新思维能力，加强学生运用数字和组合图形的能力，提高他们对数学知识的掌握水平与对数学题型的理解能力．传统的教学方式过于单调乏味，无法因材施教．教师的教学方法应注重人性化，在教学过程中，教师的教学进度要以学生为中心，避免使用题海战术．在数学解题过程中，不仅要有创新思维，还要有与之相伴的探索性思维．这对学生来说有一定的难度，对学生的综合学习能力提出了更高的要求．高中生如果能够在实际解决问题的过程中进行探索性思考，那么就能不断提高自身解决问题的能力．在高中阶段的数学科目中，对圆锥曲线参数方程问题的求解，单一理论求解的形式较少，大多都复杂而广泛，也就导致需要使用的知识更加广泛和复杂．学生如果不能充分利用探索性思维，解决问题的难度就会逐渐增加．这里存在的问题是：学生应该如何使用探索性思维？这就要求教师在教学过程中摆脱形式主义，加强学生对基础知识的理解，运用广泛的知识，深入介绍圆锥曲线的本质．（二）利用导数求解圆锥曲线问题的注意事项高中阶段的每个科目都是相互关联的．每个知识都不应该是一个独立的个体．因此，学生在求解圆锥曲线参数方程的问题时，也需要具备一定的知识基础和思维能力．所以从知识库储备的角度来看，学生在学习之前需要了解参数方程的含义．参数方程是充分利用数形结合知识的一个方面，它用函数方程来表示圆锥截面上的一个点，并用中间变量的表达式来表示点的坐标位置．从一般意义来说，就是方程组中的ｘ，ｙ可以代表曲线上所有点的横坐标和纵坐标．目前，在高中数学中，运用导数的概念和方法进行题目解答已经逐渐普及，让高中生在面对数学难题时，多出一种解答手段．如果学生不能完全理解导数与参数方程的含义，他们就不会理解数和形的结合是什么．学生需要明白，数学思维的层次不是单一的，而是多方面的．学生解决圆锥曲线问题时，观察问题的能力是非常重要的，只有充分理解问题中条件给出的方程的表达意义，将图中提供的条件和圆锥截面知识完全整合，才能将问题和图形结合起来，从而找到解决问题的方法和思路．高中数学教学中涉及的知识点较多，教师在教学利用导数解决圆锥曲线问题时需要根据题目的实际情况进行分析，发挥理论联系实际的具体作用，改变以往的教学方式，运用导数概念来处理圆锥曲线问题，从而减轻学生的运算负担．本文主要介绍了导数与圆锥曲线的相关概念及理论论证，并通过举例论证了导数在求解圆锥曲线的切线等问题中的优势，可以使学生的解题思路更加清晰，从而让数学问题变得更加简单．ʌ参考文献ɔ［１］马志良．利用隐函数导数求解圆锥曲线的切线及切点弦方程［Ｊ］．数学学习与研究，２０１７（２１）：１２－１３．［２］罗文军．利用导数破解圆锥曲线中的最值问题［Ｊ］．广东教育（高中版），２０１７（７）：６６－６７．［３］张淑滢．用导数探究圆锥曲线切线问题的方法［Ｊ］．语数外学习，２０１７（１２）：４１－４２．All 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例谈导数在圆锥曲线问题中的应用 wps 2
例谈导数在圆锥曲线问题中的应用武威第十五中学数学教研组（邮编：733000） 尹尚智内容摘要：在圆锥曲线问题的求解中引入导数，可以在一定程度上开拓思路，降低难度。
本文主要通过实例来展现导数在圆锥曲线的切线问题、中点弦问题和最值问题方面的应用. 关键词：导数 圆锥曲线 切线 中点弦 最值导数是高中数学的主要内容，导数的引入大大丰富了高中数学的知识体系，给许多常规问题的解法提供了新的视野，同时也拓宽了解决圆锥曲线问题的思路， 尤其是求圆锥曲线中的切线，中点弦，最值问题.本文试举例来说明导数在圆锥曲线问题中的一些应用. 一.导数在切线问题中的应用利用导数的几何意义，把二次曲线看做：y 是的函数利用符合函数求导法则，可以轻松求出切线的斜率.例1.已知抛物线C ：y x 42=（1）求过点P(0,-4)的抛物线C 的切线方程. （2）求点Q （2,1）处的切线方程.解析：（1）设切点)4,(200x x Q ，由2xy ='可知抛物线在P 点处的斜率2x y x x ='=，所以所求的切线方程为)(24000x x x x y -=-.因为点P0,-4)在切线上，从而满足切线方程，代入化简可得40±=x .所求切线方程为：42-±=x y .（2）由（1）知点Q 处的斜率12='==x y k ，又点Q 在切线上，可得切线方程为：01=--y x .例2.已知动圆过定点)2,0(F ，且与直线2:-=y l 相切，若AB 是动圆圆心的轨迹C 上的动弦，且AB 过点)2,0(F ,分别以AB 为切点做轨迹C 的切线，设两切线的交点为Q. 证明BQ AQ ⊥.证明：设圆心C 的坐标为（x,y ）,则依题意2==y CF ,代入坐标得2)2(22==-+y y x ，化简得圆心C 的轨迹方程为y x 82=.设AB 所在直线方程为：2+=kx y ，A,B 点的坐标分别为，),(),,(2211y x B y x A ，联立方程组⎩⎨⎧=+=yx kx y 822，解得01682=--kx x ，由根与系数关系可得16,82121-==+x x k x x . 将y x 82=化为281x y =，求导得x y 41='，AQ 的斜率1411x y K x x AQ ='==，BQ 的斜率2412x y K x x BQ ='==.141.4121-==⋅x x K K BQ AQ ，所以BQ AQ ⊥.二.导数在中点弦问题中的应用对二次曲线方程两边求导，解出x y '，令x y k '=，可方便求解中点弦相关问题.例3.点P(2,2)是曲线06122422=+--+y x y x 的一条弦的中点，求这条弦所在直线的方程. 解析：对方程0612242=+--+y x y x 两边求导：012282='--'+x x y y y x 化解得斜率y x y k x 461--='=.因为点P(2,2)在弦上，求得.：21-='=xy k ，代入直线方程的点斜式并化简可得直线方程为：062=-+y x .例4.已知曲线C:1222=-y x ，过点P(2，1),的直线L 与曲线交与点21,P P ,求线段21,P P 的中点M 的轨迹方程.解析：设L 的方程为)2(1-=-x k y ，),(00y x M 是21,P P 的中点，则：)2(100-=-x k y （*）.将方程1222=-y x 两边求导得02='-xy y x ，于是0200='-=x x y y x ，从而0020y x y k x x ='==，代入（*）得042002020=+--y x y x .所求的轨迹方程为04222=+--y x y x .三.导数在求最值问题中的应用利用导数与函数单调性之间的关系可以求解相关弦长，距离的最值以及离心率取值范围等问题.例5.已知点P 是抛物线221x y =上一个动点，其上定点M （4,1），求PM 的最小值. 解析：设点P 的坐标为（x,y ）,则178_4114116812168)1()4(42422222+=+-++-=+-++-=-+-=x x x x x x y y x x y x PM令t=178414+-x x ，则[]3)1()2(823+--=-='x x x t当x=2时，0='t ；当)2,(-∞∈x 时0<'t ，当),2(+∞∈x 时，0>'t 。
导数在圆锥曲线中的妙用
导数在圆锥曲线中的妙用作者：宋艳艳来源：《中学教学参考·理科版》2011年第10期导数是目前中学数学与高等数学的一个重要的衔接点，导数的思想方法和基本理论有着广泛的应用，特别是在函数、解析几何、不等式、数列等内容交叉渗透的综合性问题上，使用导数的知识和方法解决，不仅使问题的解答显得简捷、巧妙，而且还给人耳目一新的感觉，展现了数学的奇异美下面就一道圆锥曲线的切线问题来展现导数的妙用【例1】求椭圆在点P(2,1)处的切线方程与法线方程解法一：设在点P(2,1)处的切线方程为y--2)，则联立方程，-1=k(x-2)，消去y得-18(2k--9k-4)=0,所以Δ=［-18(2k-1)k］-［-9k-4］.由题意知Δ=0，整理得，∴k=-所以点P处的切线方程为：y-1=-89(x-即设点P处的法线方程为9x-8y=m，将P（2,1）代入上式得m=10，所以点P处的法线方程为：9x-解法二：代数式两边对x求导，得8x+18y•dydx=0，∴dydx=-4x9x.在P(2,1)处切线斜率k=-4×29×1=-89,所以点P处的切线方程为：y-1=-89(x-2)，即设点P处的法线方程为9x-8y=m，将P(2,1)代入上式得m=10，所以P处的法线方程为：9x-点评：解法一是一般性方法，通过联立方程，消参，再利用判别式求切线的斜率，运算量比较大，学生在解决这类问题时，往往在运算上感觉比较困难；解法二是巧妙利用导数，在代数式两边对x求导，再求出微商dydx，进而代入切点坐标，迅速求出切线的斜率，方法简单，给人耳目一新的感觉【例2】求过P(3,-2)与椭圆相切的直线方程并求切点坐标解析：设为切点，由两边对x求导，得2x9+2y4•dydx=0,∴dydx=-4x9y.所以切线斜率k=-又-整理得-3①∵在椭圆上∴②由①②得，-2，或，所以切线方程为x=3，切点为（3,0）；或y=-2，切点为（0，-2）点评：本题是切点不一定在曲线上的情况，设出切点，可以用导数法先求微商dydx，再代入切点坐标得出切点坐标的一个关系式，同样可以避免联立方程，减少运算量，使题目迅速得到解决有关导数的内容，在新课程改革以来，高考试题对该部分的考查在逐年加深.特别是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性或者圆锥曲线的切线斜率等有机地结合在一起.灵活运用导数解题，往往会使问题的解答显得简捷、巧妙(责任编辑金铃）。
妙用“隐函数的导数法”求圆锥曲线的切线方程 精品
妙用“隐函数的导数法”求圆锥曲线的切线方程【摘要】 本文通过隐函数相关理论解决中学数学教学中求圆锥曲线的切线方程问题，以一个小问题为出发点，引出隐函数的导数带来便利之处，由此可以培养高中学生思维能力，学习数学运算技巧，并为高中数学教师研究数学课堂教学提供借鉴。
【关键词】 圆锥曲线 切线 隐函数 导数随着新课程进一步的深入，高中数学课堂教学对教师的专业素质提出了更高的要求，对高中数学教师的数学专业知识容量提出了新的挑战，为此笔者重新对高等数学内容进行学习，寻找高中数学各模块知识在高等数学中的渊源，以更好地有针对地进行课堂教学。
圆锥曲线的切线问题是导数知识与解析几何知识交汇点，也是最近几年高考的热点问题。
如何利用导数这一工具解决此类问题，笔者在此提几点自己看法。
1．问题的提出数学问题是学生学习数学的核心，是学生提高数学素质的媒介，也是教师引导学生学习数学思想，领悟数学思想方法的一个平台。
对数学问题进行适当的变换不仅能拓展学生的知识面，也有利于提高学生的能力，更能让学生体会到新课程大环境下学科思想。
例如在求抛物线的切线方程我们会发现一个有趣的现象。
例1已知抛物线C ：2y x =及C 上一点A （1，1），过A 作C 的切线，求切线方程。
分析：此题若通过直线与抛物线的位置处理方法，很容易就能得出结果；若运用导数的几何意义也不难得到结果：先求出y 关于x 的导数再将A 点的横坐标代入得到切线的斜率2，即所求的切线方程为21y x =-。
变式1 将题中C 的方程改成2x y =。
分析：通过传统求切线方程方法易得1122y x =+；如果运用导数去求呢？学生肯定会发现表示曲线C 的方程不是函数所以也不能求导，怎么办？笔者在教学中得到这样几种解题思路：①在方程C 中将,x y 互换也就是将x 看成关于y 的函数求导即得2x y '=，再在写切线程时也将,x y 互换可得12(1)x y -=-即1122y x =+；②将方程C 改写成两个函数y =y '=因为点A 在x 轴上方，所以斜率为12；③研究②将y =y '=可得12y y'=此时过A 点的切线斜率为12。
圆锥曲线最值问题方法总结
圆锥曲线最值问题方法总结
圆锥曲线最值问题方法总结
圆锥曲线最值问题涉及到求解曲线上最大值或最小值的问题，在数学和物理学中经常应用。
以下是一些常用的解决方法：
1. 初等法
初等法是指通过观察和推理，利用数学基本法则和基本知识来解题的方法。
初等法的优点是简单易懂，适用范围广，但受限于个人数学基础，对复杂问题求解不够实用。
2. 使用微积分
微积分是解决圆锥曲线最值问题最常用的方法之一。
通过求取曲线函数的导数，并令导数为零，可以得到函数可能的最值点。
对于一些复杂的问题，需要用到高阶导数和一些特殊的微积分技巧。
3. 利用几何形状特征
圆锥曲线具有不同的几何形状特征，如椭圆的长轴和短轴，双曲线的渐近线和焦点等等。
利用这些特征，可以通过画图等方式确定曲线的最值点。
4. 使用向量分析
向量分析是一种基于微积分的高级数学方法，通过对曲线方程进行向量运算，可以求解曲线的最大值或最小值。
5. 应用拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法是一种求解约束条件的最值问题的方法，也可以应用于圆锥曲线最值问题中。
通过合理选择拉格朗日乘数，可以得到曲线的最值点。
总之，对于圆锥曲线最值问题的求解，需要综合运用多种数学工具和方法，以最快、最简单、最准确的方式解决问题。
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例谈导数在圆锥曲线问题中的应用
作者：尹尚智
来源：《中学教学参考·理科版》2013年第08期
导数是高中数学的主要内容，导数的引入大大丰富了高中数学的知识体系，给许多常规问题的解法提供了新的视野，同时也拓宽了解决圆锥曲线问题的思路，尤其是求圆锥曲线中的
切线、中点弦等问题.本文试举例来说明导数在圆锥曲线问题中的一些应用.
一、导数在切线问题中的应用
利用导数的几何意义，可以轻松求出切线的斜率.
所以b-ca的取值范围为（-1，0）.
导数的应用博大精深，有待于我们在以后的教学中进一步总结、探索，真正体现导数的“数学工具”功能.
（责任编辑金铃）。