六年级春季班第14讲：一次方程组的应用(1)(教案教学设计导学案)
数学教案-一次方程组的应用-教学教案
数学教案－一次方程组的应用－教学教案（最新版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制学校：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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六年级春季班第14讲：一次方程组的应用-教师版
x y 15+=⎧⎨⎩一次方程组的应用是初中数学六年级下学期第2章第4节的内容，主要考察方程的思想方法．之前学习一元一次方程的应用，只需设一个未知数，列方程解应用题，而方程组的应用需要考虑设几个未知数来解决问题． 列方程组解应用题时要灵活选择未知数的个数．对于含有两个未知数的应用题一般采用列二元一次方程组求解；对于含有三个未知数的应用题一般采用列三元一次方程组求解．本讲的重点是掌握利用方程组的思想解决相关的实际问题，有利于培养学生利用数学知识解决实际问题的能力．1、 列方程组解应用题的一般步骤（1）审题：分析题中的条件，什么是所求的，什么是已知的，并了解已知量和所求量之间的数量关系；（2）设未知数（元）；（3）列方程组；（4）解方程组；（5）检验并作答．一次方程组的应用内容分析知识结构模块一：二元一次方程组的应用 知识精讲【例1】笔记本每本3元，钢笔每支4元，共15件用去50元，设买笔记本x本，钢笔y 支，可列出方程组：____________________________．【难度】★【答案】15 3450x yx y+=⎧⎨+=⎩．【解析】笔记本和钢笔一共15件，则15x y+=，笔记本用去3x元，钢笔用去4y元，根据题意，列出方程组为15 3450x yx y+=⎧⎨+=⎩．【总结】考察分析题意后列二元一次方程组解应用题．【例2】已知某年级共有学生568人，其中男生人数比女生人数的2倍少5人．设男生人数为x，女生人数为y，根据题意，可列出方程组为____________________．【难度】★【答案】568 25x yy x+=⎧⎨-=⎩．【解析】男生和女生一共568人，则568x y+=，男生人数比女生人数的2倍少5人，则25y x-=，根据题意列出方程组为568 25x yy x+=⎧⎨-=⎩．【总结】考察分析题意后列二元一次方程组解应用题．【例3】某班同学参加运土活动，女同学抬土，每两人抬一筐；男同学挑土，每人挑两筐．全班同学共用箩筐59只，扁担36根．设该班女同学有x人，男同学y人，根据题意，可列出方程组（）A．125921362x yx y⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩B．125921362x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C．23612592x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩D．259236x yx y+=⎧⎨+=⎩例题解析【难度】★【答案】B【解析】女同学抬土，每两人抬一筐，用筐12x ，用扁担12x ，男同学挑土，每人挑两筐， 用筐2y ，用扁担y ，根据题意，列车方程组为125921362x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，故选B 【总结】考察分析题意后列二元一次方程组解应用题．【例4】 汽车从甲地到乙地，如每小时行驶40千米，则要迟到3小时，每小时行驶50千米，则可早到2小时，设甲、乙两地距离x 千米，原规定时间为y 小时，可列出方程组： _______________________． 【难度】★★【答案】340250x y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【解析】根据=路程时间速度，列出方程组，注意迟到与早到和规定时间的关系加减． 【总结】考察列二元一次方程组解决行程问题类应用题．【例5】 六年级学生乘车去参观，如果每辆车坐45人，则15人没有座位；如果每辆车坐60人，则恰好空出一辆汽车，问有几辆车？共有多少学生？【难度】★★【答案】一共有5辆车，共240名学生．【解析】解：设共有x 辆车，共有y 名学生，根据题意列方程组得：()45156010y x y x -=⎧⎨--=⎩，整理得：45156060y x y x -=⎧⎨-=-⎩， 解得：5240x y =⎧⎨=⎩． 答：一共有5辆车，共240名学生．【总结】考察列二元一次方程组解应用题．【例6】 某车间51名工人要完成一个轿车零件订单，每个工人每天能加工甲种零件16个，或加工乙种零件21个，而一辆轿车需要5个甲种零件和3个乙种零件才可以配套，为了每天能配套生产应如何安排工人？【难度】★★【答案】安排35人加工甲种零件，安排16人加工乙种零件．【解析】解：设安排x 人加工甲种零件，安排y 人加工乙种零件，根据题意列方程组得：51162153x y x y +=⎧⎪⎨=⎪⎩，整理得：511635x y x y +=⎧⎨=⎩，解得：3516x y =⎧⎨=⎩． 答：安排35人加工甲种零件，安排16人加工乙种零件．【总结】考察列二元一次方程组解应用题．【例7】 六年级（1）班、（2）班各有44人，两个班都有一些同学参加课外天文小组，（1）班参加天文小组的人数恰好是（2）班没有参加天文小组的人数的三分之一，（2）班参加天文小组的人数恰好是（1）班没有参加天文小组的人数的四分之一．问六年级（1）班、（2）班没有参加天文小组各有多少人？【难度】★★【答案】六年级（1）班有32人没有参加天文小组，（2）班有36人没有参加天文小组．【解析】解：设六年级（1）班有x 人没有参加天文小组，（2）班有y 人没有参加天文小组，根据题意列方程组得：14431444x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，整理解得：3236x y =⎧⎨=⎩． 答：六年级（1）班有32人没有参加天文小组，（2）班有36人没有参加天文小组．【总结】考察列二元一次方程组解应用题，注意巧设未知数．【例8】 山上牧童赶着一群羊，山下牧童也赶着一群羊，山下牧童对山上牧童说：“如果你的羊跑下来4只，那么我们两个人的羊恰好相等．”山上牧童说：“如果你的羊跑上来4只，那么我的羊恰好是你的羊的3倍．”他们到底各赶多少只羊？【难度】★★【答案】山上牧童赶羊20只，山下牧童赶羊12只．【解析】解：设山上牧童赶羊x 只，山下牧童赶羊y 只，根据题意列方程组得：()44434x y x y -=+⎧⎨+=-⎩，解得：2012x y =⎧⎨=⎩． 答：山上牧童赶羊20只，山下牧童赶羊12只．【总结】考察列二元一次方程组解应用题．【例9】把48升水注入两个容器，可灌满第一个容器和第二个容器的三分之一，或者可灌满第一个容器和第二个容器各二分之一，求每个容器的容量．【难度】★★【答案】第一个容器24升，第二个容器72升．【解析】解：设第一个容器x升，第二个容器y升，根据题意列方程组得：1483114822x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：2472xy=⎧⎨=⎩．答：第一个容器24升，第二个容器72升．【总结】考察列二元一次方程组解应用题，注意对题意的理解，列出合适的方程．【例10】甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你的岁数时，你将61岁．”那么甲与乙现在的年龄分别是多少岁？【难度】★★【答案】甲现在的年龄是42岁，乙现在的年龄是23岁．【解析】解：设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，根据题意得：461x y yx y x-=-⎧⎨-=-⎩，解得：4223xy=⎧⎨=⎩答：甲现在的年龄是42岁，乙现在的年龄是23岁．【总结】考察列二元一次方程组解应用题，注意两人的年龄差是不变的．【例11】某船顺流下行36千米用3小时，逆流上行24千米用3小时，求水流速度和船在静水中的速度．【难度】★★【答案】水流速度为2千米/时，船在静水中的速度为10千米/时．【解析】解：设水流速度为x千米/时，船在静水中的速度为y千米/时，根据题意列方程组得：()()336324x yy x+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：210xy=⎧⎨=⎩答：水流速度为2千米/时，船在静水中的速度为10千米/时．【总结】考察行船问题列二元一次方程组解应用题，根据=+⎧⎨=⎩顺水速度静水速度水流速度逆水速度静水速度-水流速度．【例12】 用长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图所示的竖式和横式的两种无盖纸盒，现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少只，恰好使库存的纸板用完？【难度】★★【答案】竖式无盖纸盒做200只，横式无盖纸盒400只．【解析】解：设竖式无盖纸盒做x 只，横式无盖纸盒y 只，根据题意列方程组得：43200021000x y x y +=⎧⎨+=⎩ ，解得：200400x y =⎧⎨=⎩． 答：竖式无盖纸盒做200只，横式无盖纸盒400只．【总结】考察列二元一次方程组解应用题，注意对两种纸盒正确区分．【例13】 一个工人需在规定时间内完成加工一批零件的任务，如果他每小时做10个零件，就可超过任务3个，如果每小时做11个零件，就可提前1小时完成，他加工的零件使多少个？规定时间是多少小时？【难度】★★【答案】加工零件77个，规定时间为8小时．【解析】解：设加工零件x 个，规定时间为y 小时，根据题意得：()103111y x y x =+⎧⎨-=⎩，解得：778x y =⎧⎨=⎩ 答：加工零件77个，规定时间为8小时．【总结】考察列二元一次方程组解应用题，注意找到题目中的等量关系．【例14】 一批零件190个，如甲先做2天，然后乙加入合作3天正好完成；如果乙先做3天，然后甲加入合作2天也正好完成．问甲、乙两人每天各能做多少个零件？【难度】★★【答案】甲每天做20个零件，乙每天做30个零件【解析】解：设甲每天做x 个零件，乙每天做y 个零件根据题意得：()()2319032190x x y y x y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得：2030x y =⎧⎨=⎩ 答：甲每天做20个零件，乙每天做30个零件．【总结】考察列二元一次方程组解应用题．【例15】 小红家去年结余5000元，估计今年可结余9500元，并且今年收入比去年收入高15%，支出比去年低10%，求去年的收入和支出各是多少元？【难度】★★【答案】去年收入20000元，去年支出15000元．【解析】解：设去年收入x 元，去年支出y 元，根据题意得：()()5000115%110%9500x y x y -=⎧⎨+--=⎩，解得：2000015000x y =⎧⎨=⎩ 答：去年收入20000元，去年支出15000元．【总结】考察列二元一次方程组解应用题．关键是从实际问题中整理出两个等量关系．【例16】 电信局现有600部已申请电话待装，此外每天另有新申请电话待装，设每天新申请的电话数相同．如果安排3个装机小组，60天恰好装完，如果安排5个装机小组，20天恰好装完；问每天新申请电话多少部？每个装机小组每天安装多少部电话？【难度】★★【答案】每天新申请电话20部，每个装机小组每天安装10部电话【解析】解：设每天新申请电话x 部，每个装机小组每天安装y 部电话，根据题意得：6060060320600205x y x y +=⨯⎧⎨+=⨯⎩，解得：2010x y =⎧⎨=⎩， 答：每天新申请电话20部，每个装机小组每天安装10部电话．【总结】考察列二元一次方程组解应用题，注意找到题目中的等量关系．【例17】 甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后3小时相遇；求甲、乙两人每小时各走多少千米？【难度】★★★【答案】甲每小时走6千米，乙每小时走3.6千米．【解析】解：设甲每小时走x 千米，乙每小时走y 千米，根据题意得：()()2.52 2.53633236x y x y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩， 解得：63.6x y =⎧⎨=⎩， 答：甲每小时走6千米，乙每小时走3.6千米．【总结】考察列二元一次方程组解行程问题的应用题，注意两人行走的时间是不相等的．【例18】 甲、乙两人相距28千米，若同时同向而行，则甲在14小时后追上乙；若相向而行，乙先出发2小时，则在甲出发2小时45分后相遇，求甲、乙两人的速度．【难度】★★★【答案】甲的速度为5千米/时，乙的速度为3千米/时．【解析】解：设甲的速度为x 千米/时，乙的速度为y 千米/时 根据题意得：14142811192844x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：53x y =⎧⎨=⎩ 答：甲的速度为5千米/时，乙的速度为3千米/时．【总结】考察列二元一次方程组解行程问题的应用题，同向是追及问题，相向是相遇问题．【例19】 两个两位数的和是68，在较大的两位数右边接着写上较小的两位数，得到一个四位数，类似的，在较大的两位数左边写上较小的两位数，得到的四位数比前一个四位数少2178，求这两个两位数．【难度】★★★【答案】较小的两位数为23，较大的两位数为45．【解析】解：设较小的两位数为x ，较大的两位数为y ，根据题意得：()()681001002178x y y x x y +=⎧⎨+-+=⎩，解得：2345x y =⎧⎨=⎩ 答：较小的两位数为23，较大的两位数为45．【总结】考察列二元一次方程组解数字类应用题，注意数的表示．【例20】 一商贩第一天卖出鲫鱼30千克、草鱼50千克，共获利310元；第二天卖出鲫鱼25千克、草鱼45千克，共获利267元．照这样计算，若该商贩某一个月中卖出鲫鱼700千克、草鱼1200千克，请你帮他算算这个月他能获利多少元？【难度】★★★【答案】这个月他能获利7320元．【解析】解：设鲫鱼每千克获利x 元，草鱼每千克获利y 元，根据题意得：30503102545267x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：62.6x y =⎧⎨=⎩， 则70061200 2.67320⨯+⨯=（元）答：这个月他能获利7320元．【总结】考察列二元一次方程组解应用题，注意先算出每千鲫鱼和每千克草鱼的获利．【例21】已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000 元，B型每台4000元，C型每台2500元．某中学计划将100500元全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由．【难度】★★★【答案】有两种方案可供选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台【解析】解：设从该电脑公司购进A型电脑x台，购进B型电脑y台，购进C型电脑z台，则可以分为三种情况考虑：（1）只购进A型电脑和B型电脑，根据题意得：6000400010050036x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：21.7557.75xy=-⎧⎨=⎩，不合题意，应舍去；（2）只购进A型电脑和C型电脑，根据题意得：6000250010050036x zx z+=⎧⎨+=⎩，解得：333xz=⎧⎨=⎩，（3）只购进B型电脑和C型电脑，根据题意得：4000250010050036y zy z+=⎧⎨+=⎩，解得：729yz=⎧⎨=⎩，答：有两种方案可供选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台．【总结】考察列二元一次方程组解应用题，注意要充分考虑三种情况及题中的整数性．【例22】 从甲地到乙地，先下山然后走平路．某人骑自行车从甲地以每小时12千米的速度下山，再以每小时9千米的速度通过平路，到乙地共用去1小时．他回来时以每小时8千米的速度上山，通过平路的速度不变，回到甲地共用去1小时15分钟，问甲乙两地距离多远？【难度】★★★【答案】甲、乙两地距离10.5千米．【解析】解：设坡路的路程是x 千米，平路的路程是y 千米， 根据题意得：11295894x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：64.5x y =⎧⎨=⎩， 则甲、乙的距离为6 4.510.5+=（千米）答：甲、乙两地距离10.5千米．【总结】考察列二元一次方程组解应用题，此题综合性较强，注意去时是下坡路则回来时变 为上坡路．列方程组解应用题的一般步骤（1）审题：分析题中的条件，什么是所求的，什么是已知的，并了解已知量和所求量之间的数量关系；（2）设未知数（元）；（3）列方程组；（4）解方程组；（5）检验并作答．模块二：三元一次方程组的应用 知识精讲【例23】 一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位数上的数字，百位上的数字的7倍比个位、十位上的数字的和大2，个位、十位、百位上的数字的和是14，求这个三个数． 【难度】★★【答案】这个三位数为275．【解析】解：设个位数字为x ，十位数字为y ，百位数字为z 根据题意得：()7214x z y z x y x y z +=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得：572x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，答：这个三位数为275．【总结】考察列三元一次方程组解数字类应用题．【例24】 小明有12张面额分别为1元，5元，10元的纸币，共计38元，其中1元纸币的数量是5元元纸币数量的4倍，求1元，5元，10元纸币各多少张？ 【难度】★★【答案】1元纸币有8张，5元纸币有2张，10元纸币有2张． 【解析】解：设1元纸币有x 张，5元纸币有y 张，10元纸币有z 张 根据题意得：12510384x y z x y z x y ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：822x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，答：1元纸币有8张，5元纸币有2张，10元纸币有2张． 【总结】考察列三元一次方程组解应用题．【例25】 某人某天能加工甲种零件12个或乙种零件10个或丙种零件20个，而甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个能配成一套．要在10天内加工最多的成套产品，甲、乙、丙三种产品各应加工几天？ 【难度】★★【答案】甲应加工5天，乙应加工4天，丙应加工1天．例题解析【解析】解：设甲应加工x 天，乙应加工y 天，丙应加工z 天， 根据题意得：101232010220x y z x z y z ++=⎧⎪=⨯⎨⎪=⨯⎩，解得：541x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，答：甲应加工5天，乙应加工4天，丙应加工1天． 【总结】考察列三元一次方程组解应用题．【例26】 某单位职工在植树节去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株树是甲、丙两组和的四分之一，甲组植树的株树恰是乙组和丙组的和，问甲、乙、丙三个小组分别植树多少株？ 【难度】★★【答案】甲组植树25株，乙组植树10株，丙组植树15株 【解析】解：设甲组植树x 株，乙组植树y 株，丙组植树z 株 根据题意得：()5014x y z y x z x y z ++=⎧⎪⎪=+⎨⎪=+⎪⎩，解得：251015x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，答：甲组植树25株，乙组植树10株，丙组植树15株．【总结】考察列三元一次方程组解应用题，注意找到相应的等量关系．【例27】 某足球队共参加了11场比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，该队所负场次是所胜场次的一半，结果共得20分．求该队胜、平、负各几场． 【难度】★★【答案】该队胜6场，平2场，负3场． 【解析】解：设该队胜x 场，平y 场，负z 场 根据题意得：1112320x y z z x x y ++=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，解得：623x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，答：该队胜6场，平2场，负3场．【总结】考察列三元一次方程组解应用题，注意认真分析，从不同的角度找到等量关系．【例28】 某同学有1元、5角、1角硬币共23枚，共计10.10元，问三种硬币各有多少枚？ 【难度】★★★【答案】1元硬币有6枚，5角硬币有6枚，1角硬币有11枚 【解析】解：设1元硬币有x 枚，5角硬币有y 枚，1角硬币有z 枚根据题意得：23,(1)0.50.110.10,(2)x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，则()()12-得：0.50.912.9y z +=根据实际意义可知x 、y 、z 均为非负整数，则当1z =时，24y =，不符题意，应舍去； 当11z =时，6y = ，6611x y z =⎧⎪∴=⎨⎪=⎩答：1元硬币有6枚，5角硬币有6枚，1角硬币有11枚．【总结】考察将三元一次方程组应用到实际生活问题的能力，未知数的取值要考虑非负整数．【例29】 汽车在平路上每小时行30公里，上坡路每小时行28公里，下坡路每小时行35公里，现在去某地有142公里的路程，去的时候用4小时30分钟，回来时用4小时42分钟．那么这段路的平路、去的时候的上坡路与下坡路各有多少公里？ 【难度】★★★【答案】这段路平路有30公里，去的时候上坡有42公里，去的时候下坡有70公里 【解析】解：设这段路平路有x 公里，去的时候上坡有y 公里，去的时候下坡有z 公里 根据题意得：1423043028356042430352860x y z x y z xy z ⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得：304270x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 答：这段路平路有30公里，去的时候上坡有42公里，去的时候下坡有70公里． 【总结】考察三元一次方程组在实际问题中的应用，注意去时上坡，回来时下坡，平路不变．【习题1】 甲、乙两人在植树节那天共植树30棵，甲的植树数是乙的1.5倍．若设甲、乙各值x 棵，y 棵，则可列方程组为________________________． 【难度】★【答案】301.5x y x y +=⎧⎨=⎩．【解析】由题意可知，甲、乙共植树30棵，则30x y +=，甲的植树数是乙的1.5倍，则 1.5x y =， 根据题意可得：301.5x y x y +=⎧⎨=⎩．【总结】考察列一元二次方程组解应用题．【习题2】 一个两位数，个位数字比十位数字的2倍大2，如果把个位数字与十位数字对调，所得的两位数比原数大45，设个位数字是x ，十位数字是y ，可列出方程组 ______________________． 【难度】★★【答案】()()22101045x y x y y x -=⎧⎪⎨+-+=⎪⎩．【解析】解：由个位数字比十位数字的2倍大2可得：22x y -=，原数可表示()10y x +， 对调后可表示()10x y +，由题意可得：()()101045x y y x +-+= 【总结】考察列一元二次方程组解应用题，以及两位数如何用数字表示．【习题3】 22名工人按定额完成了1400件产品，其中高级工每人定额200件，初级工每人定额50件，若这22名工人中只有高级工和初级工，问初级工与高级工各有多少名？ 【难度】★★【答案】初级工有20名，高级工有2名． 【解析】解：设初级工有x 名，高级工有y 名， 根据题意得：22502001400x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：202x y =⎧⎨=⎩，答：初级工有20名，高级工有2名． 【总结】考察列二元一次方程组解应用题．随堂检测【习题4】 为改善某河的周围环境，政府决定，将该河上游的一部分牧场改为林场．改变后，预计林场和牧场共有162公顷，牧场面积是林场面积的20%．请你算一算，完成后林场和牧场的面积各有多少公顷？ 【难度】★★【答案】完成后林场面积为135公顷，牧场的面积为27公顷． 【解析】解：设完成后林场面积为x 公顷，牧场的面积为y 公顷，根据题意得：16220%x y y x +=⎧⎨=⎩，解得：13527x y =⎧⎨=⎩．答：完成后林场面积为135公顷，牧场的面积为27公顷． 【总结】考察列二元一次方程组解应用题．【习题5】 已知三个数中，第二个数与第一个数之差和第三个数与第二个数之差相等，三个数的和是87，且后两数和的2倍比第一个数的7倍多3，求这三个数． 【难度】★★【答案】这个三个数为19、29、39．【解析】解：设第一个数为x ，第二个数为y ，第三个数为z根据题意得：()87273y x z y x y z y z x -=-⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩，解得：192939x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，答：这个三个数为19、29、39． 【总结】考察列三元一次方程组解应用题．【习题6】 某厂生产一批零件，如果技术工人完成任务的23后，由徒工接着完成其余的部分 后，共需6小时40分钟，如果技术工人完成任务的13后，由徒工接着完成其余的部分后，共需172小时，问他们单独做各需多少时间完成全部任务？【难度】★★【答案】技术工人单独完成需350分钟，徒工单独完成需500分钟 【解析】解：设技术工人单独完成需x 分钟，徒工单独完成需y 分钟， 根据题意得：21400331245033x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：350500x y =⎧⎨=⎩ 答：技术工人单独完成需350分钟，徒工单独完成需500分钟．【习题7】 用锌、铝、锡制成甲、乙、丙三种合金，其重量之比在甲中为1 : 3 : 2，在乙中为2 : 1 : 1，在丙中为1 : 2 : 5，三种合金共用锌5.5千克，铝8千克，锡9.5千克， 求甲、乙、丙三种合金各自的重量． 【难度】★★★【答案】甲重9千克，乙重6千克，丙重8千克 【解析】解：甲重x 千克，乙重y 千克，丙重z 千克根据题意得：121 5.512321112531281232111252159.5123211125x y z x y z x y z ⎧∙+∙+∙=⎪++++++⎪⎪∙+∙+∙=⎨++++++⎪⎪∙+∙+∙=⎪++++++⎩， 解得：968x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，答：甲重9千克，乙重6千克，丙重8千克．【总结】考察列三元一次方程组解应用题，注意列等量关系式时考虑到按比例进行分配．【习题8】 某个三位数除以它各数位上的数字的和的9倍，得到的商为3，已知百位上的数字与个位上的数字的和比十位上的数字大1．如果把数位上的数字颠倒，则所得的新数比原数大99，求这个三位数． 【难度】★★★【答案】这个三位数为243．【解析】解：设这个三位数的百位数字为x ，十位数字为y ，个位数字为z 根据题意得：()()()10010931100101001099x y z x y z x z y z y x x y z ++=⨯++⎧⎪+-=⎨⎪++-++=⎩，解得：243x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，答：这个三位数为243．【总结】考察列三元一次方程组解应用题，注意对数字的准确表示．【习题9】 江堤边一洼地发生了管涌，江水不断涌出，假定每分钟涌出的水量相等．如果用两台抽水机抽水，40分钟内可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要多少台抽水机？ 【难度】★★★【答案】需要6台抽水机．【解析】解：每分钟涌水x 升，一台抽水机一分钟可以抽水y 升，原来的水量有a 升， 根据题意得：4024016416a x y a x y +=⨯⎧⎨+=⨯⎩，两式相减再化简得：32x y =，代入第一个方程得：80a x =，若要10分钟抽完，则有1010a x n y +=∙， 将80a x =，32x y =代入得：8010 1.510x x n x +=∙∙，解得：6n = 答：需要6台抽水机．【总结】考察列二元一次方程组解应用题，但未知量太多，需要设一个辅助未知数，计算中 通过化简就可以消去，从而得到答案．【作业1】 甲、乙两班有88名学生，如从乙班调25人到甲班，则甲班人数是乙班人数的3倍，设甲班x 人，乙班y 人，可列出方程组：_______________________． 【难度】★【答案】()8825325x y x y +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩【解析】解：甲、乙两班有88名学生，则88x y +=，乙班调出25人后，乙班有()25y -人，甲班则有()25x +人，根据题意得：()8825325x y x y +=⎧⎨+=-⎩．【总结】考察列二元一次方程组解应用题．课后作业【作业2】某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使螺栓和螺帽刚好配套？【难度】★★【答案】生产螺栓40人，生产螺帽50人．【解析】解：设生产螺栓x人，生产螺帽y人，根据题意得：9021524x yx y+=⎧⎨⨯=⎩，解得：4050xy=⎧⎨=⎩，答：生产螺栓40人，生产螺帽50人．【总结】考察列二元一次方程组解应用题．【作业3】小兰在玩具厂劳动，做4只小狗、7辆小汽车用去3小时42分，做5只小狗、6 辆小汽车用去3小时37分钟．平均做1只小狗与1辆小汽车各用多少时间？【难度】★★【答案】平均做1只小狗用17分钟，平均做1辆小汽车用22分钟．【解析】解：设平均做1只小狗用x分钟，平均做1辆小汽车用y分钟，根据题意得：47360425636037x yx y+=⨯+⎧⎨+=⨯+⎩，解得：1722xy=⎧⎨=⎩，答：平均做1只小狗用17分钟，平均做1辆小汽车用22分钟．【总结】考察列二元一次方程组解应用题，注意时间的单位化成分，会使计算简单．【作业4】有甲乙两桶水，若将甲桶中的水倒2千克到乙桶中，则甲桶中的水是乙桶中的3 倍；若将乙桶中的水倒入1千克到甲桶中，则甲桶中的水比乙桶中的水多8倍．问甲乙两桶中各有水多少千克？【难度】★★【答案】甲桶有水17千克，乙桶原有水3千克．【解析】解：设甲桶有水x千克，乙桶原有水y千克根据题意得：()()232191x yx y-=+⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得：173xy=⎧⎨=⎩，答：甲桶有水17千克，乙桶原有水3千克．【总结】考察列二元一次方程组解应用题．注意“多8倍”实际上是9倍．【作业5】一批货物运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货物，如果按每吨付运费30元计算，问：货主应付运费多少元？【难度】★★【答案】货主应付运费735元．【解析】解：设甲种货车每辆每次运货x吨，乙种货车每辆每次运货y吨，根据题意得：2315.55635x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：42.5xy=⎧⎨=⎩，()()303530345 2.5735x y⨯+=⨯⨯+⨯=（元）答：货主应付运费735元．【总结】考察列二元一次方程组解应用题，本题中要先算出两种货车每次的运货量．【作业6】某车间有工人30人，生产甲、乙、丙三种零件，每人每小时能生产零件甲30个，或零件乙25个，或零件丙20个，现用零件甲3个、乙5个、丙4个装配成某种机件，如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件刚好配套？【难度】★★【答案】生产甲零件的6个工人，生产乙零件的12个工人，生产丙零件的12个工人【解析】解：设生产甲零件的x个工人，生产乙零件的y个工人，生产丙零件的z个工人根据题意得：30302520354x y zx y z++=⎧⎪⎨==⎪⎩，解得：61212xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩，答：安排生产甲零件的6个工人，生产乙零件的12个工人，生产丙零件的12个工人，才能使每小时生产的零件刚好配套．【总结】考察列三元一次方程组解应用题，注意按比例分配．。
【小升初数学】六年级春季班第14讲：一次方程组的应用-学生版
六年级下学期春季班（学生版）最新讲义一次方程组的应用是初中数学六年级下学期第2章第4节的内容，主要考察方程的思想方法．之前学习一元一次方程的应用，只需设一个未知数，列方程解应用题，而方程组的应用需要考虑设几个未知数来解决问题．列方程组解应用题时要灵活选择未知数的个数．对于含有两个未知数的应用题一般采用列二元一次方程组求解；对于含有三个未知数的应用题一般采用列三元一次方程组求解．本讲的重点是掌握利用方程组的思想解决相关的实际问题，有利于培养学生利用数学知识解决实际问题的能力．1、列方程组解应用题的一般步骤（1）审题：分析题中的条件，什么是所求的，什么是已知的，并了解已知量和所求量之间的数量关系；（2）设未知数（元）；（3）列方程组；（4）解方程组；（5）检验并作答．一次方程组的应用内容分析知识结构模块一：二元一次方程组的应用知识精讲【例1】笔记本每本3元，钢笔每支4元，共15件用去50元，设买笔记本x本，钢笔y 支，可列出方程组：____________________________．【难度】★【答案】【解析】【例2】已知某年级共有学生568人，其中男生人数比女生人数的2倍少5人．设男生人数为x，女生人数为y，根据题意，可列出方程组为____________________．【难度】★【答案】【解析】【例3】某班同学参加运土活动，女同学抬土，每两人抬一筐；男同学挑土，每人挑两筐．全班同学共用箩筐59只，扁担36根．设该班女同学有x人，男同学y人，根据题意，可列出方程组（）A．125921362x yx y⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩B．125921362x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C．23612592x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩D．259236x yx y+=⎧⎨+=⎩【难度】★【答案】【解析】例题解析【例4】汽车从甲地到乙地，如每小时行驶40千米，则要迟到3小时，每小时行驶50千米，则可早到2小时，设甲、乙两地距离x千米，原规定时间为y小时，可列出方程组：_______________________．【难度】★★【答案】【解析】【例5】六年级学生乘车去参观，如果每辆车坐45人，则15人没有座位；如果每辆车坐60人，则恰好空出一辆汽车，问有几辆车？共有多少学生？【难度】★★【答案】【解析】【例6】某车间51名工人要完成一个轿车零件订单，每个工人每天能加工甲种零件16个，或加工乙种零件21个，而一辆轿车需要5个甲种零件和3个乙种零件才可以配套，为了每天能配套生产应如何安排工人？【难度】★★【答案】【解析】【例7】六年级（1）班、（2）班各有44人，两个班都有一些同学参加课外天文小组，（1）班参加天文小组的人数恰好是（2）班没有参加天文小组的人数的三分之一，（2）班参加天文小组的人数恰好是（1）班没有参加天文小组的人数的四分之一．问六年级（1）班、（2）班没有参加天文小组各有多少人？【难度】★★【答案】【解析】【例8】山上牧童赶着一群羊，山下牧童也赶着一群羊，山下牧童对山上牧童说：“如果你的羊跑下来4只，那么我们两个人的羊恰好相等．”山上牧童说：“如果你的羊跑上来4只，那么我的羊恰好是你的羊的3倍．”他们到底各赶多少只羊？【难度】★★【答案】【解析】【例9】把48升水注入两个容器，可灌满第一个容器和第二个容器的三分之一，或者可灌满第一个容器和第二个容器各二分之一，求每个容器的容量．【难度】★★【答案】【解析】【例10】甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你的岁数时，你将61岁．”那么甲与乙现在的年龄分别是多少岁？【难度】★★【答案】【解析】【例11】某船顺流下行36千米用3小时，逆流上行24千米用3小时，求水流速度和船在静水中的速度．【难度】★★【答案】【解析】【例12】用长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图所示的竖式和横式的两种无盖纸盒，现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少只，恰好使库存的纸板用完？【难度】★★【答案】【解析】【例13】一个工人需在规定时间内完成加工一批零件的任务，如果他每小时做10个零件，就可超过任务3个，如果每小时做11个零件，就可提前1小时完成，他加工的零件使多少个？规定时间是多少小时？【难度】★★【答案】【解析】【例14】一批零件190个，如甲先做2天，然后乙加入合作3天正好完成；如果乙先做3天，然后甲加入合作2天也正好完成．问甲、乙两人每天各能做多少个零件？【难度】★★【答案】【解析】【例15】小红家去年结余5000元，估计今年可结余9500元，并且今年收入比去年收入高15%，支出比去年低10%，求去年的收入和支出各是多少元？【难度】★★【答案】【解析】【例16】电信局现有600部已申请电话待装，此外每天另有新申请电话待装，设每天新申请的电话数相同．如果安排3个装机小组，60天恰好装完，如果安排5个装机小组，20天恰好装完；问每天新申请电话多少部？每个装机小组每天安装多少部电话？【难度】★★【答案】【解析】【例17】甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后3小时相遇；求甲、乙两人每小时各走多少千米？【难度】★★★【答案】【解析】【例18】甲、乙两人相距28千米，若同时同向而行，则甲在14小时后追上乙；若相向而行，乙先出发2小时，则在甲出发2小时45分后相遇，求甲、乙两人的速度．【难度】★★★【答案】【解析】【例19】两个两位数的和是68，在较大的两位数右边接着写上较小的两位数，得到一个四位数，类似的，在较大的两位数左边写上较小的两位数，得到的四位数比前一个四位数少2178，求这两个两位数．【难度】★★★【答案】【解析】【例20】一商贩第一天卖出鲫鱼30千克、草鱼50千克，共获利310元；第二天卖出鲫鱼25千克、草鱼45千克，共获利267元．照这样计算，若该商贩某一个月中卖出鲫鱼700千克、草鱼1200千克，请你帮他算算这个月他能获利多少元？【难度】★★★【答案】【解析】【例21】已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元．某中学计划将100500元全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由．【难度】★★★【答案】【解析】【例22】从甲地到乙地，先下山然后走平路．某人骑自行车从甲地以每小时12千米的速度下山，再以每小时9千米的速度通过平路，到乙地共用去1小时．他回来时以每小时8千米的速度上山，通过平路的速度不变，回到甲地共用去1小时15分钟，问甲乙两地距离多远？【难度】★★★【答案】【解析】模块二：三元一次方程组的应用知识精讲列方程组解应用题的一般步骤（1）审题：分析题中的条件，什么是所求的，什么是已知的，并了解已知量和所求量之间的数量关系；（2）设未知数（元）；（3）列方程组；（4）解方程组；（5）检验并作答．例题解析【例23】一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位数上的数字，百位上的数字的7倍比个位、十位上的数字的和大2，个位、十位、百位上的数字的和是14，求这个三个数．【难度】★★【答案】【解析】【例24】小明有12张面额分别为1元，5元，10元的纸币，共计38元，其中1元纸币的数量是5元元纸币数量的4倍，求1元，5元，10元纸币各多少张？【难度】★★【答案】【解析】【例25】某人某天能加工甲种零件12个或乙种零件10个或丙种零件20个，而甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个能配成一套．要在10天内加工最多的成套产品，甲、乙、丙三种产品各应加工几天？【难度】★★【答案】【解析】【例26】某单位职工在植树节去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株树是甲、丙两组和的四分之一，甲组植树的株树恰是乙组和丙组的和，问甲、乙、丙三个小组分别植树多少株？【难度】★★【答案】【解析】【例27】某足球队共参加了11场比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，该队所负场次是所胜场次的一半，结果共得20分．求该队胜、平、负各几场．【难度】★★【答案】【解析】【例28】某同学有1元、5角、1角硬币共23枚，共计10.10元，问三种硬币各有多少枚？【难度】★★★【答案】【解析】【例29】汽车在平路上每小时行30公里，上坡路每小时行28公里，下坡路每小时行35公里，现在去某地有142公里的路程，去的时候用4小时30分钟，回来时用4小时42分钟．那么这段路的平路、去的时候的上坡路与下坡路各有多少公里？【难度】★★★【答案】【解析】随堂检测【习题1】甲、乙两人在植树节那天共植树30棵，甲的植树数是乙的1.5倍．若设甲、乙各值x棵，y棵，则可列方程组为________________________．【难度】★【答案】【解析】【习题2】一个两位数，个位数字比十位数字的2倍大2，如果把个位数字与十位数字对调，所得的两位数比原数大45，设个位数字是x，十位数字是y，可列出方程组______________________．【难度】★★【答案】【解析】【习题3】22名工人按定额完成了1400件产品，其中高级工每人定额200件，初级工每人定额50件，若这22名工人中只有高级工和初级工，问初级工与高级工各有多少名？【难度】★★【答案】【解析】【习题4】为改善某河的周围环境，政府决定，将该河上游的一部分牧场改为林场．改变后，预计林场和牧场共有162公顷，牧场面积是林场面积的20%．请你算一算，完成后林场和牧场的面积各有多少公顷？【难度】★★【答案】【解析】【习题5】已知三个数中，第二个数与第一个数之差和第三个数与第二个数之差相等，三个数的和是87，且后两数和的2倍比第一个数的7倍多3，求这三个数．【难度】★★【答案】【解析】【习题6】某厂生产一批零件，如果技术工人完成任务的23后，由徒工接着完成其余的部分后，共需6小时40分钟，如果技术工人完成任务的13后，由徒工接着完成其余的部分后，共需172小时，问他们单独做各需多少时间完成全部任务？【难度】★★【答案】【解析】【习题7】用锌、铝、锡制成甲、乙、丙三种合金，其重量之比在甲中为1 : 3 : 2，在乙中为2 : 1 : 1，在丙中为1 : 2 : 5，三种合金共用锌5.5千克，铝8千克，锡9.5千克，求甲、乙、丙三种合金各自的重量．【难度】★★★【答案】【解析】【习题8】某个三位数除以它各数位上的数字的和的9倍，得到的商为3，已知百位上的数字与个位上的数字的和比十位上的数字大1．如果把数位上的数字颠倒，则所得的新数比原数大99，求这个三位数．【难度】★★★【答案】【解析】【习题9】江堤边一洼地发生了管涌，江水不断涌出，假定每分钟涌出的水量相等．如果用两台抽水机抽水，40分钟内可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要多少台抽水机？【难度】★★★【答案】【解析】课后作业【作业1】甲、乙两班有88名学生，如从乙班调25人到甲班，则甲班人数是乙班人数的3倍，设甲班x人，乙班y人，可列出方程组：_______________________．【难度】★【答案】【解析】【作业2】某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使螺栓和螺帽刚好配套？【难度】★★【答案】【解析】【作业3】小兰在玩具厂劳动，做4只小狗、7辆小汽车用去3小时42分，做5只小狗、6辆小汽车用去3小时37分钟．平均做1只小狗与1辆小汽车各用多少时间？【难度】★★【答案】【解析】【作业4】有甲乙两桶水，若将甲桶中的水倒2千克到乙桶中，则甲桶中的水是乙桶中的3倍；若将乙桶中的水倒入1千克到甲桶中，则甲桶中的水比乙桶中的水多8倍．问甲乙两桶中各有水多少千克？【难度】★★【答案】【解析】【作业5】一批货物运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两第一次第二次甲种货车辆数（单位：辆）25乙种货车辆数（单位：辆）36累计运货吨数（单位：吨）15.535现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货物，如果按每吨付运费30元计算，问：货主应付运费多少元？【难度】★★【答案】【解析】【作业6】某车间有工人30人，生产甲、乙、丙三种零件，每人每小时能生产零件甲30个，或零件乙25个，或零件丙20个，现用零件甲3个、乙5个、丙4个装配成某种机件，如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件刚好配套？【难度】★★【答案】【解析】【作业7】某厂去年总产值比总支出多500万元，而今年计划的总产值比总支出多950万元．已知今年计划总产值比去年增加15%，而计划总支出比去年减少10%，求今年计划的总产值与总支出分别为多少万元？【难度】★★【答案】【解析】【作业8】一个三位数的数字之和为11，如果把百位数上的数字与个位上的数字对调，那么所成的数比原来的数大693；如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所成的数比原数大54，求原数．【难度】★★★【答案】【解析】【作业9】一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶．已知船在静水中的速度为每小时8千米，平时逆水行驶和顺水行驶单程所用的时间比为2 : 1．某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9小时，问甲、乙两港相距多少千米？【难度】★★★【答案】【解析】【作业10】甲、乙两人在一条与铁路平行的笔直的小路上，同时同地背向而行．当一列火车开过来时，两人在行进中各自测出整列火车通过的时间分别为42秒和34秒，且在整列火车通过时两人各自走了68米和44米，求火车的速度．【难度】★★★【答案】【解析】。
一次方程组的应用
一次方程组的应用引言一次方程组是数学中常见的问题解决工具，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍一次方程组的定义、求解方法以及在现实生活中的一些应用案例。
一次方程组的定义一次方程组指的是一组含有未知数的线性方程的集合。
一般来说，一次方程组的形式可以表示为：a1*x1 + a2*x2 + ... + an*xn = b1a1*x1 + a2*x2 + ... + an*xn = b2...a1*x1 + a2*x2 + ... + an*xn = bn其中，x1, x2, …, xn是未知数，a1, a2, …, an是已知系数，b1, b2, …, bn是已知常数。
一次方程组的求解方法一次方程组的求解方法有多种。
以下是常见的两种方法：1. 代入法代入法是一种简单直接的求解一次方程组的方法。
其基本思路是将一个方程的一个未知数的表达式代入到另一个方程中，从而得到只含有一个未知数的方程，进而求解出未知数的值。
以一个简单的一次方程组为例，：2x + y = 10x + y = 6我们可以选择第二个方程将y的表达式代入到第一个方程中：2x + (6 - x) = 10化简后得到：x = 2将x的值代回第二个方程，得到y的值：2 + y = 6y = 4最终，方程组的解为x = 2, y = 4。
2. 消元法消元法是另一种常用的求解一次方程组的方法。
其基本思路是通过将方程组中的某些方程相加、相减或相乘，消去其中的未知数，从而得到只含有一个未知数的方程，进而求解出未知数的值。
以一个简单的一次方程组为例，：2x + y = 10x + y = 6我们可以将第二个方程的y系数乘以2，然后将第一个方程减去第二个方程：2 * (x + y) - (2x + y) = 2 * 6 - 10化简后得到：x = 2将x的值代回第二个方程，得到y的值：2 + y = 6y = 4最终，方程组的解为x = 2, y = 4。
一次方程组在现实生活中的应用案例一次方程组在现实生活中有很多应用，以下是一些常见的应用案例：1. 购物问题假设你去商店购买3个苹果和2个香蕉，总共花费15元；如果购买2个苹果和3个香蕉，总共花费13元。
一元一次方程组的应用教案
一元一次方程组的应用教案第一章：方程组的概念与解法1.1 方程组的概念引入方程组的概念，引导学生理解方程组是由多个方程组成的数学问题。
通过实际例子，让学生了解方程组在现实生活中的应用。
1.2 解方程组的方法介绍解方程组的基本方法，如代入法、消元法等。
通过例题讲解和解题步骤，让学生掌握解方程组的方法和技巧。
第二章：一元一次方程组的解法2.1 一元一次方程组的定义引入一元一次方程组的定义，让学生了解一元一次方程组的形式。
解释一元一次方程组的解的概念。
2.2 解一元一次方程组的方法介绍解一元一次方程组的方法，如加减法、代入法等。
通过例题讲解和解题步骤，让学生学会解一元一次方程组。
第三章：一元一次方程组在实际问题中的应用3.1 应用题的概念引入应用题的概念，引导学生理解应用题是现实生活中的数学问题。
解释应用题中的未知数和已知数。
3.2 解一元一次方程组应用题的方法介绍解一元一次方程组应用题的方法和步骤。
通过实际例子，让学生学会将实际问题转化为方程组，并解出答案。
第四章：一元一次方程组的综合应用4.1 方程组的图形解法介绍利用坐标系图形解一元一次方程组的方法。
通过例题讲解和解题步骤，让学生掌握图形解法。
4.2 方程组的实际应用问题提供一些综合性的实际应用问题，让学生运用一元一次方程组的知识解决。
引导学生运用解题策略和思维方法，提高解决问题的能力。
第五章：巩固与提高5.1 巩固练习提供一些练习题，让学生巩固和加深对一元一次方程组的理解和应用能力。
引导学生运用解题技巧和方法，提高解题速度和准确性。
5.2 拓展思考提供一些拓展性的思考题，引导学生思考一元一次方程组在实际生活中的应用。
鼓励学生主动探索和发现，培养学生的创新思维和解决问题的能力。
第六章：一元一次方程组与函数的关系6.1 函数与方程组的关系介绍函数与方程组之间的联系，让学生理解方程组可以看作是函数的特殊情况。
解释如何将一元一次方程组转化为函数形式，并利用函数性质解决问题。
一次方程组的应用
7.布置作业 六、 教学反思 依照课程标准，通过分析教材中教学情境设计和例习题安排的意图，在此基础上 依据学生实际，制订了本堂课的教学目标，教学重点和难点，课堂教学的设计始终围 绕这教学重点和难点展开. 在充分理解教材编写意图、教学要求和教学理念的基础上，根据学生实际，从学 生的已有经验出发， 创设了教学情境： 关心老人， 突出情感主线， 并贯穿整个教学. 并 对教学内容进行适当的重组、补充和加工等，创造性地使用了教材. 所选择的例习题 都体现实际问题数学化的思想，让学生感受到数学的魅力. 这两个方面的设计贯穿整 堂课，把知识内容和情感体验自然连贯起来. 其次，在教学过程设计中，体现了让学生展示解决问题的思维过程，通过几个合 作学习，激发学生主动去接触问题，从而达到解决问题的目的. 重视学生学习过程中 的自我评价和生生间的相互评价，关注学生对解题思路回顾能力的培养. 导入中的（1）题联系社会生活实际，引起学生的学习兴趣。 （2）题为根据相等关 系列二元一次方程打下了基础； （3）题通过两种解法的比较，让学生体会列方程组的 优越性，这样引入课题，可以引起学生学习新知识的兴趣。 反馈练习用拟题训练的方法让学生自己去尝试分析问题，不但能活跃课堂气氛， 而且能促进学生积极思维，培养学生分析问题、解决问题的能力。 七、 教师个人介绍 省份：山东 学校： 青州市黄楼初中 姓名： 韩淑杰 职称： 一级教师 电话： 3831061 电子邮件：1019610396@ 通讯地址：山东省青州市黄楼初中 [个人简介 个人简介] 个人简介 韩淑杰，女，中学一级教师。1990 年进入黄楼初中任数学教师，参加过“十五”教育 技术重点研究课题、山东省“十一五”教育技术研究课题研究。工作期间，积极撰写 论文，并多次获奖， 2008 年被评为“优秀且含有两个相等关系，列出二元一次方程组比 列一元一次方程更直接、更容易。我们这一节课就来学习二元一次方程组的应用。 2、探索新知 、 出示例 1：小华买了 80 分与 2 元的邮票共 16 枚，共花了 18 元 8 角，80 分与 2 元的邮票各买了多少枚？ （1） 题中有几个未知数？分别是什么？ （2） 题中有几个相等关系？分别是什么？ 学生分小组讨论，指名回答。 未知数：80 分邮票枚数与 2 元邮票枚数。 相等关系 1）80 分邮票枚数+2 元邮票枚数=总枚数 2）80 分邮票总价+2 元邮票总价=全部邮票总价 一名同学板演，其余同学在练习上完成解题过程。然后讲评。 /z/q109662964.htm?sp=3001 强调：1）选定几个未知数，就是根据问题中条件找几个相等关系，这 几个相等关系正好表示了应用题的全部含义。 2)列方程组解应用题时，解方程组的过程在练习本上完成。 3）得到结果后，要检验是不是原方程组的解，是不是符合应用题的实际意义，然 后再写答语。 反馈练习： 反馈练习 小兰在玩具厂劳动， 4 个小火车、 个小汽车用去 3 小时 42 分； 5 个小火车、 做 7 做 6 个小汽车用去 3 小时 37 分，平均做 1 个小火车与 1 个汽车各用去多少时间？ 请同学们仿照例 1 的方法，拟出分析问题。学生分小组讨论，然后解答。教师巡 视指导。最后出示一名同学解答过程集体纠正。 /question/175839641.html 变式训练，培养能力： 变式训练，培养能力 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身 16 个或制盒底 43 个，一个盒身与两个盒底配 成一套罐头盒，现有 150 张白铁皮，用多少张做盒身、多少张做盒底，可以正好制成 整套罐头盒？ 此题的相等关系不明显，所以小组讨论的时候要及时的加以指导，找到第二个相 等关系。 相等关系： （1）制盒身铁皮张数+制盒底铁皮张数=150 张 （2）盒底总数=2×盒身总数 一名同学板演，然后集体订正。 /question_detail.php?id=13057 4、课堂小结 、 我们这节课学习了二元一次方程组的应用， 你能简单归纳出列二元一次方程组解 应用题的步骤吗？ 学生发言后，教师适当补充、纠正。 板书： （1）设(未知数)（2）找（相等关系） （3）列（方程组） （4）解（方程组） (5)答 关键是找出相等关系。 (3) 已知 x = 2, 是关于 x,y 的方程 2x+ay=5 的一个解，则 a= y =1 .
一次方程(组)复习教案
一次方程（组）复习教案教学目标：1. 回顾和巩固一次方程（组）的基本概念和解法。
2. 提高学生解决实际问题的能力，培养学生的逻辑思维和运算能力。
教学内容：1. 一次方程（组）的概念。
2. 一次方程（组）的解法。
3. 一次方程（组）在实际问题中的应用。
教学重点：1. 一次方程（组）的基本概念和解法。
2. 将实际问题转化为一次方程（组）求解。
教学难点：1. 一次方程（组）的解法。
2. 实际问题与一次方程（组）之间的联系。
教学准备：1. PPT课件。
2. 教学实例。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习一次方程（组）的基本概念。
2. 引导学生回顾一次方程（组）的解法。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解一次方程（组）的解法，包括代入法、消元法等。
2. 通过实例演示和解题思路分析，帮助学生掌握解法。
三、课堂练习（10分钟）1. 布置一组一次方程（组）的练习题。
2. 学生独立完成，教师巡回指导。
四、实际问题应用（10分钟）1. 给出一个实际问题，要求学生将其转化为一次方程（组）求解。
2. 学生分组讨论，展示解题过程和结果。
五、总结与反思（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，总结一次方程（组）的解法和实际应用。
2. 学生分享学习心得，教师给予点评和鼓励。
教学评价：1. 课堂练习的完成情况。
2. 实际问题应用的能力。
3. 学生对一次方程（组）的掌握程度。
六、一次方程（组）的解法深入探讨（15分钟）1. 深入分析一次方程（组）的解法，包括解的定义、性质及解的存在性。
2. 通过具体例子，讲解如何判断方程（组）是否有解、解的个数以及解的范围。
七、解一次方程（组）的策略（10分钟）1. 介绍解一次方程（组）的常用策略，如从简单方程开始解、先解出某个变量再解出其他变量等。
2. 引导学生学会选择合适的策略，提高解题效率。
八、一次方程（组）在实际问题中的应用举例（15分钟）1. 通过生活、物理、数学等领域的具体实例，展示一次方程（组）在解决实际问题中的应用。
6年级下册数学(春季)-第14讲-一次方程组的应用
6年级数学下册（春季）辅导教案1．能根据题意合理设元，找出等量关系，列出一次方程组解应用题；2．经历和体验解决实际问题的过程，提高解决实际问题的能力．（此环节设计时间在10-15分钟）教法说明：首先回顾上次课的预习思考内容。
某车间有28名工人，生产特种螺栓和螺帽，一个螺栓的两头各套上一个螺帽配成一套，每人每天平均生产螺栓12个或螺帽18个．问要多少工人生产螺栓，其余工人生产螺栓才能使一天所生产的螺栓和螺帽刚好配套．分析：由“某车间有28名工人，生产特种螺栓和螺帽”得一等量关系：（1）生产螺栓的工人数＋生产螺帽的工人数＝28人由“一个螺栓的两头各套上一个螺帽配成一套”得另一个等量关系：（2）生产的螺栓的个数：生产的螺帽的个数＝1：2解：设x人生产螺栓，y人生产螺帽．由题意得2812:181:2x yx y+=⎧⎨=⎩解得1216xy=⎧⎨=⎩答：12人生产螺栓，16人生产螺帽．练习：试一试：某工厂一车间有51名工人，某月接到加工两种轿车零件的生产任务，每个工人每天能加工甲种零件16个或加工乙种零件21个，而一辆轿车只需要甲零件5个和乙零件3个，为了每天能配套生产应如何安排工人？解：设x 人生产甲零件，y 人生产乙零件．由题意得5116:215:3x y x y +=⎧⎨=⎩ 解得3516x y =⎧⎨=⎩ 答：35人生产甲零件，16人生产乙零件．归纳总结运用方程组解决实际问题的一般步骤是：1. 审题：分析题意，找出题中的数量关系；2. 设未知数：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x 、y ）；3. 列方程组：根据等量关系列出方程组；4. 解方程组：求出未知数的值；5. 作答：并写出答案．（此环节设计时间在50-60分钟）例题1：甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50﹪的利润定价，乙服装按40﹪的利润定价。
在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？解：甲、乙两件服装的成本各是x 元、y 元．由题意得：[]500(150%)(140%)90%500157x y x y +=⎧⎪⎨⨯++⨯+⨯=+⎪⎩ 解得： 300200x y =⎧⎨=⎩答：甲、乙两件服装的成本各是300元、200元．试一试：已知某种商品每件定价为10元，邮购这种商品的数量不满100件，则每件按定价付款，另外还要加 付定价的10%作为邮费；邮购的数量达到或超过100件，则每件按定价的九折付款，而且免付邮费．某公司根据题意，得2()4214()42x yy x+=⎧⎨-=⎩解得912xy=⎧⎨=⎩答：甲乙两人的平均速度为9千米/小时、12千米/小时．试一试：甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，2小时后相遇；如果甲比乙先出发40分钟，那么在乙出发后1.5时两人相遇。
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一次方程组的应用是初中数学六年级下学期第2章第4节的内容，主要考察方程的思想方法．之前学习一元一次方程的应用，只需设一个未知数，列方程解应用题，而方程组的应用需要考虑设几个未知数来解决问题．列方程组解应用题时要灵活选择未知数的个数．对于含有两个未知数的应用题一般采用列二元一次方程组求解；对于含有三个未知数的应用题一般采用列三元一次方程组求解．本讲的重点是掌握利用方程组的思想解决相关的实际问题，有利于培养学生利用数学知识解决实际问题的能力．1、列方程组解应用题的一般步骤（1）审题：分析题中的条件，什么是所求的，什么是已知的，并了解已知量和所求量之间的数量关系；（2）设未知数（元）；（3）列方程组；（4）解方程组；（5）检验并作答．【例1】笔记本每本3元，钢笔每支4元，共15件用去50元，设买笔记本x本，钢笔y 支，可列出方程组：____________________________．【难度】★【答案】【解析】【例2】已知某年级共有学生568人，其中男生人数比女生人数的2倍少5人．设男生人数为x，女生人数为y，根据题意，可列出方程组为____________________．【难度】★【答案】【解析】【例3】某班同学参加运土活动，女同学抬土，每两人抬一筐；男同学挑土，每人挑两筐．全班同学共用箩筐59只，扁担36根．设该班女同学有x人，男同学y人，根据题意，可列出方程组（）A．B．C．D．【难度】★【答案】【解析】【例4】汽车从甲地到乙地，如每小时行驶40千米，则要迟到3小时，每小时行驶50千米，则可早到2小时，设甲、乙两地距离x千米，原规定时间为y小时，可列出方程组：_______________________．【难度】★★【答案】【解析】【例5】六年级学生乘车去参观，如果每辆车坐45人，则15人没有座位；如果每辆车坐60人，则恰好空出一辆汽车，问有几辆车？共有多少学生？【难度】★★【答案】【解析】【例6】某车间51名工人要完成一个轿车零件订单，每个工人每天能加工甲种零件16个，或加工乙种零件21个，而一辆轿车需要5个甲种零件和3个乙种零件才可以配套，为了每天能配套生产应如何安排工人？【难度】★★【答案】【解析】【例7】六年级（1）班、（2）班各有44人，两个班都有一些同学参加课外天文小组，（1）班参加天文小组的人数恰好是（2）班没有参加天文小组的人数的三分之一，（2）班参加天文小组的人数恰好是（1）班没有参加天文小组的人数的四分之一．问六年级（1）班、（2）班没有参加天文小组各有多少人？【难度】★★【答案】【解析】【例8】山上牧童赶着一群羊，山下牧童也赶着一群羊，山下牧童对山上牧童说：“如果你的羊跑下来4只，那么我们两个人的羊恰好相等．”山上牧童说：“如果你的羊跑上来4只，那么我的羊恰好是你的羊的3倍．”他们到底各赶多少只羊？【难度】★★【答案】【解析】【例9】把48升水注入两个容器，可灌满第一个容器和第二个容器的三分之一，或者可灌满第一个容器和第二个容器各二分之一，求每个容器的容量．【难度】★★【答案】【解析】【例10】甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你的岁数时，你将61岁．”那么甲与乙现在的年龄分别是多少岁？【难度】★★【答案】【解析】【例11】某船顺流下行36千米用3小时，逆流上行24千米用3小时，求水流速度和船在静水中的速度．【难度】★★【答案】【解析】【例12】用长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图所示的竖式和横式的两种无盖纸盒，现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少只，恰好使库存的纸板用完？【难度】★★【答案】【解析】【例13】一个工人需在规定时间内完成加工一批零件的任务，如果他每小时做10个零件，就可超过任务3个，如果每小时做11个零件，就可提前1小时完成，他加工的零件使多少个？规定时间是多少小时？【难度】★★【答案】【解析】【例14】一批零件190个，如甲先做2天，然后乙加入合作3天正好完成；如果乙先做3天，然后甲加入合作2天也正好完成．问甲、乙两人每天各能做多少个零件？【难度】★★【答案】【解析】【例15】小红家去年结余5000元，估计今年可结余9500元，并且今年收入比去年收入高15%，支出比去年低10%，求去年的收入和支出各是多少元？【难度】★★【答案】【解析】【例16】电信局现有600部已申请电话待装，此外每天另有新申请电话待装，设每天新申请的电话数相同．如果安排3个装机小组，60天恰好装完，如果安排5个装机小组，20天恰好装完；问每天新申请电话多少部？每个装机小组每天安装多少部电话？【难度】★★【答案】【解析】【例17】甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后3小时相遇；求甲、乙两人每小时各走多少千米？【难度】★★★【答案】【解析】【例18】甲、乙两人相距28千米，若同时同向而行，则甲在14小时后追上乙；若相向而行，乙先出发2小时，则在甲出发2小时45分后相遇，求甲、乙两人的速度．【难度】★★★【答案】【解析】【例19】两个两位数的和是68，在较大的两位数右边接着写上较小的两位数，得到一个四位数，类似的，在较大的两位数左边写上较小的两位数，得到的四位数比前一个四位数少2178，求这两个两位数．【难度】★★★【答案】【解析】【例20】一商贩第一天卖出鲫鱼30千克、草鱼50千克，共获利310元；第二天卖出鲫鱼25千克、草鱼45千克，共获利267元．照这样计算，若该商贩某一个月中卖出鲫鱼700千克、草鱼1200千克，请你帮他算算这个月他能获利多少元？【难度】★★★【答案】【解析】【例21】已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元．某中学计划将100500元全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由．【难度】★★★【答案】【解析】【例22】从甲地到乙地，先下山然后走平路．某人骑自行车从甲地以每小时12千米的速度下山，再以每小时9千米的速度通过平路，到乙地共用去1小时．他回来时以每小时8千米的速度上山，通过平路的速度不变，回到甲地共用去1小时15分钟，问甲乙两地距离多远？【难度】★★★【答案】【解析】列方程组解应用题的一般步骤（1）审题：分析题中的条件，什么是所求的，什么是已知的，并了解已知量和所求量之间的数量关系；（2）设未知数（元）；（3）列方程组；（4）解方程组；（5）检验并作答．【例23】一个三位数，个位、百位上的数字的和等于十位数上的数字，百位上的数字的7倍比个位、十位上的数字的和大2，个位、十位、百位上的数字的和是14，求这个三个数．【难度】★★【答案】【解析】【例24】小明有12张面额分别为1元，5元，10元的纸币，共计38元，其中1元纸币的数量是5元元纸币数量的4倍，求1元，5元，10元纸币各多少张？【难度】★★【答案】【解析】【例25】某人某天能加工甲种零件12个或乙种零件10个或丙种零件20个，而甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个能配成一套．要在10天内加工最多的成套产品，甲、乙、丙三种产品各应加工几天？【难度】★★【答案】【解析】【例26】某单位职工在植树节去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50株，乙组植树的株树是甲、丙两组和的四分之一，甲组植树的株树恰是乙组和丙组的和，问甲、乙、丙三个小组分别植树多少株？【难度】★★【答案】【解析】【例27】某足球队共参加了11场比赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，该队所负场次是所胜场次的一半，结果共得20分．求该队胜、平、负各几场．【难度】★★【答案】【解析】【例28】某同学有1元、5角、1角硬币共23枚，共计10.10元，问三种硬币各有多少枚？【难度】★★★【答案】【解析】【例29】汽车在平路上每小时行30公里，上坡路每小时行28公里，下坡路每小时行35公里，现在去某地有142公里的路程，去的时候用4小时30分钟，回来时用4小时42分钟．那么这段路的平路、去的时候的上坡路与下坡路各有多少公里？【难度】★★★【答案】【解析】【习题1】甲、乙两人在植树节那天共植树30棵，甲的植树数是乙的1.5倍．若设甲、乙各值x棵，y棵，则可列方程组为________________________．【难度】★【答案】【解析】【习题2】一个两位数，个位数字比十位数字的2倍大2，如果把个位数字与十位数字对调，所得的两位数比原数大45，设个位数字是x，十位数字是y，可列出方程组______________________．【难度】★★【答案】【解析】【习题3】22名工人按定额完成了1400件产品，其中高级工每人定额200件，初级工每人定额50件，若这22名工人中只有高级工和初级工，问初级工与高级工各有多少名？【难度】★★【答案】【解析】【习题4】为改善某河的周围环境，政府决定，将该河上游的一部分牧场改为林场．改变后，预计林场和牧场共有162公顷，牧场面积是林场面积的20%．请你算一算，完成后林场和牧场的面积各有多少公顷？【难度】★★【答案】【解析】【习题5】已知三个数中，第二个数与第一个数之差和第三个数与第二个数之差相等，三个数的和是87，且后两数和的2倍比第一个数的7倍多3，求这三个数．【难度】★★【答案】【解析】【习题6】某厂生产一批零件，如果技术工人完成任务的后，由徒工接着完成其余的部分后，共需6小时40分钟，如果技术工人完成任务的后，由徒工接着完成其余的部分后，共需小时，问他们单独做各需多少时间完成全部任务？【难度】★★【答案】【解析】【习题7】用锌、铝、锡制成甲、乙、丙三种合金，其重量之比在甲中为1 : 3 : 2，在乙中为2 : 1 : 1，在丙中为1 : 2 : 5，三种合金共用锌5.5千克，铝8千克，锡9.5千克，求甲、乙、丙三种合金各自的重量．【难度】★★★【答案】【解析】【习题8】某个三位数除以它各数位上的数字的和的9倍，得到的商为3，已知百位上的数字与个位上的数字的和比十位上的数字大1．如果把数位上的数字颠倒，则所得的新数比原数大99，求这个三位数．【难度】★★★【答案】【解析】【习题9】江堤边一洼地发生了管涌，江水不断涌出，假定每分钟涌出的水量相等．如果用两台抽水机抽水，40分钟内可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要多少台抽水机？【难度】★★★【答案】【解析】【作业1】甲、乙两班有88名学生，如从乙班调25人到甲班，则甲班人数是乙班人数的3倍，设甲班x人，乙班y人，可列出方程组：_______________________．【难度】★【答案】【解析】【作业2】某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使螺栓和螺帽刚好配套？【难度】★★【答案】【解析】【作业3】小兰在玩具厂劳动，做4只小狗、7辆小汽车用去3小时42分，做5只小狗、6辆小汽车用去3小时37分钟．平均做1只小狗与1辆小汽车各用多少时间？【难度】★★【答案】【解析】【作业4】有甲乙两桶水，若将甲桶中的水倒2千克到乙桶中，则甲桶中的水是乙桶中的3倍；若将乙桶中的水倒入1千克到甲桶中，则甲桶中的水比乙桶中的水多8倍．问甲乙两桶中各有水多少千克？【难度】★★【答案】【解析】【作业5】一批货物运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货物，如果按每吨付运费30元计算，问：货主应付运费多少元？【难度】★★【答案】【解析】【作业6】某车间有工人30人，生产甲、乙、丙三种零件，每人每小时能生产零件甲30个，或零件乙25个，或零件丙20个，现用零件甲3个、乙5个、丙4个装配成某种机件，如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件刚好配套？【难度】★★【答案】【解析】【作业7】某厂去年总产值比总支出多500万元，而今年计划的总产值比总支出多950万元．已知今年计划总产值比去年增加15%，而计划总支出比去年减少10%，求今年计划的总产值与总支出分别为多少万元？【难度】★★【答案】【解析】【作业8】一个三位数的数字之和为11，如果把百位数上的数字与个位上的数字对调，那么所成的数比原来的数大693；如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所成的数比原数大54，求原数．【难度】★★★【答案】【解析】【作业9】一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶．已知船在静水中的速度为每小时8千米，平时逆水行驶和顺水行驶单程所用的时间比为2 : 1．某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9小时，问甲、乙两港相距多少千米？【难度】★★★【答案】【解析】【作业10】甲、乙两人在一条与铁路平行的笔直的小路上，同时同地背向而行．当一列火车开过来时，两人在行进中各自测出整列火车通过的时间分别为42秒和34秒，且在整列火车通过时两人各自走了68米和44米，求火车的速度．【难度】★★★【答案】【解析】。