高三数学暑期复习综合能力题 第22讲 参数范围型综合问题
2023高考数学22题
2023高考数学22题
2023年高考数学22题为一道解析几何题，考查了学生对于平行四边形性质的
掌握和几何图形的性质分析能力。
题目内容如下：
已知平行四边形ABCD中，M为BC的中点，N为CD的中点。
过点M作AM
的垂线交AD于点E，过点N作DN的垂线交AD于点F，求证：AE=DF。
解题思路如下：
首先，我们可以利用平行四边形的性质来证明AE=DF。
根据题目中给出的条件，平行四边形ABCD中，M为BC的中点，N为CD的
中点，因此，由平行四边形的性质可知，AM平行于BC，DN平行于BC，所以
AM平行于DN。
接下来，我们分别考虑△AME和△DFN。
根据题目中的条件，AM垂直于AE，DN垂直于DF，所以∠AME=90°，∠DFN=90°。
又因为AM平行于DN，所以∠AME=∠DFN，所以△AME与△DFN中的
∠AME=∠DFN，∠A相等，因此，△AME与△DFN为等腰三角形，所以AE=DF。
综上所述，我们可以得出结论：在平行四边形ABCD中，过点M作AM的垂
线交AD于点E，过点N作DN的垂线交AD于点F，得证：AE=DF。
通过以上的分析，我们成功完成了2023年高考数学22题的解答。
这道题目考
查了学生对于平行四边形性质和几何图形性质的理解，需要运用角的性质和等腰三角形的性质，通过逻辑推理和证明，得出正确的结论。
希望同学们在高考中能够灵活运用所学的数学知识，熟练解题，取得优异的成绩。
祝愿同学们在未来的学习和考试中取得好成绩，实现自己的目标和梦想！。
高考数学总复习第二部分高考22题各个击破2.4.2导数与不等式及参数范围课件文
又 x>1 时,ln x<x-1<x(x-1), 综上所述 a≥1.
ln������ <1(x>1)恒成立, ������2 -������
-8-
解题策略一
解题策略二
������ + 1 e������
-9-
解题策略一
解题策略二
(1)解 f(x)的定义域为R.f'(x)= 由f'(x)>0,得x<0, 由f'(x)<0,得x>0, 所以f(x)的单调增区间为(-∞,0),单调减区间为(0,+∞),f(x)max=f(0)=1, 当x→+∞时,y→0,当x→-∞时,y→-∞,所以m的取值范围是(0,1). (2)证明 由(1)知,x1∈(-1,0),要证x2>-x1>0,只需证f(x2)<f(-x1), 因为f(x1)=f(x2)=m, 所以只需证f(x1)<f(-x1),
-6-
解题策略一
解题策略二
对点训练1已知函数f(x)=ax-ln x. (1)过原点O作函数f(x)图象的切线,求切点的横坐标; (2)对∀x∈[1,+∞),不等式f(x)≥a(2x-x2)恒成立,求实数a的取值范 围. 解 (1)设切点为M(x0,f(x0)),直线的切线方程为y-f(x0)=k(x-x0),
1
∴F'(x)=(x+1)(ex+1),
令 F'(x)>0,解得 x>-1,令 F'(x)<0,解得 x<-1, 故 F(x)在(-∞,-1)递减,在(-1,+∞)递增, 故
1 1 F(x)min=F(-1)=- − . 2 e
2023年高考数学22题讲解
2023年高考数学22题讲解
2023年高考数学第22题是一道关于轨迹和几何证明的题目，难度较大。
题目描述如下：在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点（0，1/2）的距离，记动点P的轨迹为W。
(1) 求W的方程；
(2) 已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于
3√3。
关于第一问，我们可以根据抛物线的定义，抛物线上的任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，结合题目中点P到x轴的距离等于点P到点（0，
1/2）的距离，即可求出W的方程。
关于第二问，我们需要证明矩形的周长大于3√3。
可以通过构造法，在抛物线W上取特殊的矩形ABCD，利用特殊值代入法计算出周长，再利用不等
式的性质进行证明。
由于题目难度较大，这里只给出题目的解题思路和部分答案。
如果需要更详细的解答过程和完整答案，建议查阅2023年高考数学试题解析或向数学老师请教。
参数范围型综合问题的解决策略
值 域均 为 （ ， ×） 可得 Ｆ（ ） ２ 这 与 Ｆ（ Ｏ ＋Ｃ ， 。 ２ ３＜ ． ）
≥ ｍ＞ ２ ＋ 矛 盾 ；
（ ）当 ２
』一１≤０。 。 ≤ 时 （ 丢丢 ， ＜ ｛ ， ） 一＞即 。 Ｆ 【口 ４
一
是 Ｒ上 的增 函数 ， 时 Ｆ ３ 无 最 小 值 ， 此 ） ２ 与题 设
参变 互换 后 的新 问题 与原 问题 实质 是一 样 的． 就是 等 价转 化 ， 也 将难 以下 手 的题 目转化 为 自己熟 练 掌 握 的基 本 问题 ， 应 用 化 归思 想 的 是 灵 魂 ． 求 将 知 识 的 内涵 及 关 联 做 到互 换 有 目 要 标 、 换有 桥 梁 、 换有 效 果． 互 互 例 １ 对于满足 ｏ ４ ≤ ４的 一 切 实数 ， 不 等式 ＋ ｐ ｘ＞４ ｘ＋Ｐ一３恒 成 立 ， 求 的 取 试 值 范 围． 解 将 Ｐ视 为主元 ， ＿ ） 设 厂 （ 一户（ —１ － ２ ３ ）Ｉ －
（。 ４ ２ ３ 一 ｘ＋ ３ ， 当 ０ Ｐ≤ ４时 ， Ｐ） ０恒 ）则 ≤ ｆ（ ＞ 成立．
分析 要求 ｍ 的取值 范 围 ， 以通 过 构造 可 关 于 ｍ 的不 等式 来获 得解 答 ， 法 之一 是 直 接 方 法， 即先 求 出 Ｆ（ 的 最 小值 ， 令 其 大 于 ２ ） 再 ＋
分析
’ ‘ …、 ． 得：＜ ＜２ ｎ一 解 ９ 。 ．
但 这两 个 变 量 的 范 围很 难 确定 ， 需 要 利 故 用第 ３个 变量 ． 比较 自然 的想法 是 “ 线 ＡＢ 的 直 斜率 忌 ． 是 ， ”于 问题就 转化 为“ 如何将 转 化 为关 于 ｋ的表达 式” 只需将 直线 方程 代人 椭 ． 圆方 程 ， 去 得 关 于 的 一 元 二 次 方 程 ， 消 利
高考数学总复习 第二部分 高考22题各个击破 3.3 三角
年份 卷别 设问特点
涉及知识点 题目类型 解题思想方法
全国
Ⅰ
没有考查
知四边形两内
2014 全国
Ⅱ
角互补及四边 长,求一内角、 一条对角线长
余弦定理, 三角形面积 公式
解三角 形
方程思想,等 价转换
及四边形面积
-2-
年份 卷别 设问特点
涉及知识点 题目类型 解题思想方法
知三角形中三 正、余弦定
全国 角的正弦关系 理,勾股定
Ⅰ 求角的余弦,三 理,面积公
角形面积
式
解三角 形
等价转换
已知三角形角
2015
全国
Ⅱ
平分线及边与 线段关系求两 角正弦之比;已 知一角求另一
正弦定理, 内角关系, 和角公式
解三角 形
等价转换
角
2016 没有考查
2017 没有考查
2018 没有考查
-3-
1.正弦(或余弦)型函数y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的对称中
1 2
[(α+β)+(α-β)].
(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次.
(4)弦、切互化:一般是切化弦.
-பைடு நூலகம்-
心是函数图象与x轴的交点,对称轴是过函数图象的最高点或者最
低点且与x轴垂直的直线;正切型函数y=Atan(ωx+φ)的图象是中心
对称图形,不是轴对称图形.
2.三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan 45°等.
(2)角的配凑:如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β);α=
高中数学求参数取值范围题型与方法总结归纳
参数取值问题的题型与方法一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
例1．已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范围。
解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5，要使上式恒成立，只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。
f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin 2x+4sinx+1=-2(sinx -1)2+3≤3,∴45-a -a+5>3即45-a >a+2，上式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或⎩⎨⎧≥-<-04502a a ，解得≤54a<8. 另解：a+cos2x<5-4sinx+45-a 即a+1-2sin 2x<5-4sinx+45-a ,令sinx=t,则t ∈[-1,1],整理得2t2-4t+4-a+45-a >0,( t ∈[-1,1])恒成立。
设f(t)= 2t 2-4t+4-a+45-a 则二次函数的对称轴为t=1,∴f(x)在[-1，1]内单调递减。
∴只需f(1)>0,即45-a >a -2.(下同)例3．设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点，试求APPB的取值范围. 分析：本题中，绝大多数同学不难得到：AP PB =BAx x -，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路1: 从第一条想法入手，AP PB =BA x x -已经是一个关系式，但由于有两个变量B A x x ,，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB 的斜率k . 问题就转化为如何将B A x x ,转化为关于k 的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y 得出关于x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.解1：当直线l 垂直于x 轴时，可求得51-=PB AP ；当l与x 轴不垂直时，设())(,,2211y x B y x A ，，直线l的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y得()045544922=+++kx x k，解之得 .4959627222,1+-±-=k k k x 因为椭圆关于y 轴对称，点P 在y 轴上，所以只需考虑0>k 的情形.当>k 时，4959627221+-+-=k k k x ，4959627222+---=k k k x ，所以21x x PB AP -==5929592922-+-+-k k k k =59291812-+-k k k =25929181k -+-.由 ()049180)54(22≥+--=∆k k , 解得952≥k ，所以51592918112-<-+-≤-k ，综上 511-≤≤-PB AP . 思路2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于21x x PB AP-=不是关于21,x x 的对称关系式。
高考数学二轮复习练酷专题高考第22题坐标系与参数方程课件理
π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝4(ρ∈R)，设 C2 与 C3 的 交点为 M，N，求△C2MN 的面积．
π 解：将 θ＝4代入 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－3 2ρ＋4＝0，解得 ρ1＝2 2，ρ2＝ 2. 故 ρ1－ρ2＝ 2，即|MN|＝ 2. 由于 C2 的半径为 1， 1 所以△C2MN 的面积为2.
x2 2 解：(1)曲线 C 的普通方程为 9 ＋y ＝1. 当 a＝－1 时，直线 l 的普通方程为 x＋4y－3＝0， 21 x ＋ 4 y － 3 ＝ 0 ， x＝－25， 2 x＝3， 由 x 解得 或 2 24 ＋ y ＝ 1 y＝ 0 y＝ . 9 25 从而 C 与 l
2
15 15 所以 l 的斜率为 3 或－ 3 .
3．(2015· 全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－2， 圆 C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求 C1，C2 的极坐标方程； π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝4(ρ∈R)，设 C2 与 C3 的 交点为 M，N，求△C2MN 的面积．
25－
10 2 ， 2
36k2 90 即 ， 2＝ 4 1＋k 15 即 l 的斜率为± 3 .
5 15 整理得 k2＝3，解得 k＝± 3 ，
法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 θ＝ α(ρ∈R)． 设 A，B 所对应的极径分别为 ρ1，ρ2，将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 ρ2＋12ρcos α＋11＝0， 于是 ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2 ＝ 144cos2α－44. 3 15 由|AB|＝ 10得 cos α＝8，tan α＝± 3 .
高考数学复习第二部分高考22题各个击破专题七解析几何7.3.2圆锥曲线中的最值范围证明问题文市赛课公
4
2
12/26
-13-
(2)设F1(-c,0),F2(c,0),直线l方程为y=k(x-c),记M(x3,y3),N(x4,y4),
3
∵e= 2 ,
∴a =4b ,c =3b ,联立
2
2
2
2
= (-),
2
4 2
+
2
2
= 1,
得(1+4k2)x2-8ck 2x+4c 2k2-4b2=0,Δ>0,
(2)求|PA|·|PQ|最大值.
2/26
-31 1
难点突破 (1)由 A - ,
2 4
1
1
3
2
2
2
,P(x,y)⇒kAP=x- ,由- <x< 易得所求范围;
(2)以AP斜率k为自变量,表示出|PA|,联立直线AP与BQ方程用k表
示出点Q横坐标,从而用k表示出|PQ|,得到|PA|·|PQ|是关于k函数,用
19/26
-20-
圆锥曲线中证实问题
解题策略 转化法 2 2
例4已知A是椭圆E: 4 + 3 =1左顶点,斜率为k(k>0)直线交E于A,M
两点,点N在E上,MA⊥NA.
(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN面积;
(2)当2|AM|=|AN|时,证实: 3 <k<2.
π
⇒AM方
4
难点突破 (1)A是椭圆左顶点及MA⊥NA⇒AM倾斜角为
7.3.2 圆锥曲线中最值、范围、证实问题
1/26
-2-
解题策略
圆锥曲线中最值问题
函数最值法
1 1
例 1(2017 浙江,21)如图,已知抛物线 x 2=y,点 A - ,
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高三数学暑期复习综合能力题 第22讲 参数范围型综合问题
题型预测
参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力。
在
值范围。
讲解：（Ⅰ）()()2
2
2422
242
x x x x a a g x f x --=-=-
=-； （Ⅱ）设点()(),P x h x 是函数()y h x =上任一点，
点()(),P x h x 关于1y =的对称点是()()',2P x h x -
由于函数()y h x =与函数()y g x =的图像关于直线1y =对称，所以，点'P 在函数()y g x =的图像上，也即：()()2h x g x -=。
24x a
所以，由（1）（2）（3）可得：当11
4410a a ⎧->⎪⎨⎪->⎩
，即144a <<时，
()F x 22
≥=。
等号当且仅当()11124142x x a a ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭，即
2x =
由2m >1
44
a <<，可得： ()()
4417
a a a --⎧>⎪⎪解之得：22
a <<。
此时，
014,044>->-a a a ，故21
444)(+-+-=t a t a a x F 在a
a a t --=4)
14(4取得最小值
()214442
+-⋅-=a a
a
m 满足条件。
点评：构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解是有关取值范围问题常用的方法。
在构造不等式的过程中，常常要用到一元二次方程的判别式。
例3．设直线l 过点P （0，3）且和椭圆x y 22
94
1+=顺次交于A 、B 两点，求
AP PB 的取值范围.
AP A x
AP
由 ()
049180)54(22≥+--=∆k k , 解得 9
5
2≥k ， 所以 5
15
92918112
-<-+-
≤-k ，
综上 5
1
1-≤≤
-PB AP 。
解法2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等关系的根源。
由判别式非负可以很快确定k 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来。
一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于
21x x PB AP
-=不是关于21,x x 的对称式. 问题找到后，解决的方法自然也就有了，即我们可以构造
12
x x .
高考真题
1．（1990年全国高考题）设()x x x 12(n 1)n a
lg n
f x +++-+= ，其中a 是实数，n 是任意给
定的自然数，且n≥2.
（Ⅰ）如果f(x)当x ∈(－∞，1]时有意义，求a 的取值范围；
（Ⅱ）如果a ∈(0，1]，证明()()22f x f x <当x ≠0时成立.
2．（2002年上海春季高考22题）对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使得()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点。
已知函数()()()()211 0f x ax b x b a =+++-≠。
（Ⅰ）当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；
（Ⅱ）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点。
求a 的取值范围；
[)。