高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用导数中的“看图说话”素材新人教A版选修2-2课件
高中数学第1章导数及其应用1.3.2利用导数研究函数的极值b22b高二22数学
故当 x＝0 时，函数取得极小值，且 y 极小＝0.
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1．讨论函数的性质要注意定义域优先的原则．
2．极值点与导数的关系
(1)可导函数的极值点一定是导数值为 0 的点，导数值为 0 的点
不一定是极值点．
点 x0 是可导函数 f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：
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(3)f(x)＝|x|＝x－，xx，≥x0<，0.
显然函数 f(x)＝|x|在 x＝0 处不可导，
当 x>0 时，f′(x)＝x′＝1>0，
函数 f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增；
当 x<0 时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0，
函数 f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减．
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2．函数 f(x)＝2x－cos x 在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值
B．有极值
C．有最大值
D．有最小值
[解析] f′(x)＝2＋sin x>0 恒成立，所以 f(x)在(－∞，＋∞)上单调 递增，无极值，也无最值．
[答案] A
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3．下列说法正确的是________．(填序号) ①函数的最大值一定是函数的极大值； ②开区间上的单调连续函数无最值； ③函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处 取得．
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1．观察[a，b]上函数 y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小 值．
提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.2 函数的极值与导数讲义 新
1．3.2 函数的极值与导数1．极值点与极值(1)极小值与极小值点如图，若a为极小值点，f(a)为极小值，则必须满足：①f(a)□01<f(x0)，f(x0)表示f(x)在x＝a附近的函数值；②f′(a)＝□020；③在x＝a附近的左侧，f′(x)□03<0，函数单调递□04减；在x＝a附近的右侧，f′(x)□05>0，函数单调递□06增．(2)极大值与极大值点如图，若b为极大值点，f(b)为极大值，则必须满足：①f(b)□07>f(x0)，f(x0)表示f(x)在x＝b附近的函数值；②f′(b)＝□080；③在x＝b附近的左侧，f′(x)□09>0，函数单调递□10增；在x＝b附近的右侧，f′(x)□11<0，函数单调递□12减．2．求函数f(x)极值的方法与步骤解方程f′(x)＝0，当f′(x)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)□13>0，右侧f′(x)□14<0，那么，f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)□15<0，右侧f′(x)□16>0，那么，f(x0)是极小值．(3)如果f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0□17不是极值点．函数极值点的两种情况(1)若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f′(x0)＝0，反过来不一定成立．(2)函数的不可导点也可能是函数的极值点，如：y ＝|x |在x ＝0处不可导，但x ＝0是函数的极小值点，因此，函数取极值点只可能为f ′(x )＝0的根或不可导点两种情况．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋1必有2个极值．( ) (2)在可导函数的极值点处，切线与x 轴平行或重合．( ) (3)函数f (x )＝1x有极值．( )答案 (1)√ (2)√ (3)× 2．做一做(1)函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内极大值点的个数为________．(2)函数f (x )＝ax 3＋x ＋1有极值的充要条件是________． (3)已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，则f (x )的极小值是________． 答案 (1)2 (2)a <0 (3)1探究1 求已知函数的极值 例1 求下列函数的极值． (1)f (x )＝3x＋3ln x ；(2)f (x )＝x 3－3x 2－2在(a －1，a ＋1)内的极值(a >0)． [解] (1)函数f (x )＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x＝3x －1x 2， 令f ′(x )＝0得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x )－＋因此当x＝1(2)由f(x)＝x3－3x2－2得f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：当0<a<1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；当1<a<3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上得，当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．[条件探究] 若将本例(2)中a>0改为a<0，结果会怎样？[解] 由例1(2)中表可得：当－1<a<0时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值．当a≤－1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上得，当－1<a<0时，f(x)有极大值－2，无极小值．当a≤－1时，f(x)无极值．拓展提升求函数极值的方法一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)＝0，设解为x0，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．注意：如果在x0附近的两侧f′(x)符号相同，则x0不是函数f(x)的极值点．例如，对于函数f(x)＝x3，我们有f′(x)＝3x2.虽然f′(0)＝0，但由于无论是x>0，还是x<0，恒有f′(x)>0，即函数f(x)＝x3是单调递增的，所以x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．一般地，函数y＝f(x)在一点的导数值为0是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件．【跟踪训练1】求下列函数的极值．(1)f(x)＝2xx2＋1－2；(2)f (x )＝x 2e －x.解 (1)函数的定义域为R . f ′(x )＝2x 2＋1－4x 2x 2＋12＝－2x －1x ＋1x 2＋12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1. (2)函数的定义域为R .f ′(x )＝2x e －x －x 2e －x＝x (2－x )e －x.令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：由上表可以看出，当x ＝0时，函数有极小值，且f (0)＝0； 当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e 2.探究2 已知函数的极值求参数例2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值． [解] 因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′－1＝0，f －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)， 当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数； 所以f (x )在x ＝－1时取得极小值． 所以a ＝2，b ＝9. 拓展提升已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，研究函数性质时，应注意两点： (1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．【跟踪训练2】 已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f (x )在点x ＝0处取得极值，并且在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性．(1)某某数b 的值； (2)某某数a 的取值X 围．解 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f (x )在点x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，解得b ＝0.(2)令f ′(x )＝0，即3x 2＋2ax ＝0， 解得x ＝0或x ＝－23a ．依题意有－23a >0.又函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性， 所以必有2≤－23a ≤4，解得－6≤a ≤－3.探究3 利用极值判断方程根的个数例3 已知曲线f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 与x 轴只有一个交点，某某数a 的取值X 围． [解] f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9.令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.列表：x (－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞) f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值所以当x＝－1时，f(x)有极小值f(－1)＝a－5；当x＝3时，f(x)有极大值f(3)＝a＋27.画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2)．所以a－5>0或aa>5或a<－27.故实数a的取值X围为a>5或a<－27.拓展提升(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题．一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．【跟踪训练3】设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，某某数a的取值X围．解(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝ 2.因为当x>2或x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调减区间为(－2，2)． 当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42；当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2. (2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如右图所示，当5－42<a <5＋42时，直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有三个不同交点，即方程f (x )＝a 有三个不同的解．1.在极值的定义中，取得极值的点的横坐标称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.1．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1,3 C ．－1,3 D ．－1，－3 答案 A解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝0.① 又当x ＝1时有极值－2，∴a ＋b ＝－2.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.2．设函数f (x )＝x e x ，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点 答案 D解析 求导得f ′(x )＝e x＋x e x＝e x(x ＋1)，令f ′(x )＝e x(x ＋1)＝0，解得x ＝－1，易知x ＝－1是函数f (x )的极小值点．3．函数f (x )＝x 3－6x 2－15x ＋2的极大值是________，极小值是________． 答案 10 －98解析 f ′(x )＝3x 2－12x －15＝3(x －5)(x ＋1)，在(－∞，－1)，(5，＋∞)上f ′(x )>0，在(－1,5)上f ′(x )<0，所以f (x )极大值＝f (－1)＝10，f (x )极小值＝f (5)＝－98.4．函数y ＝x e x在其极值点处的切线方程为________． 答案y ＝－1e解析 由题知y ′＝e x ＋x e x，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1e ，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y ＝－1e . 5．已知函数f (x )＝x 3－3x ＋a (a 为实数)，若方程f (x )＝0有三个不同实根，某某数a 的取值X 围．解 令f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0； 当x >1时，f ′(x )>0.所以当x ＝－1时，f (x )有极大值f (－1)＝2＋a ； 当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝－2＋A ．因为方程f (x )＝0有三个不同实根，所以y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，如图． 所以极大值2＋a ＞0，极小值－2＋a ＜0， 解得－2＜a ＜2，故实数a 的取值X 围是(－2,2)．。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中
1．3.1 函数的单调性与导数(一)学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．知识点一函数的单调性与导函数的关系思考观察图中函数f(x)，填写下表．梳理一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内，(1)如果f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)如果f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减．知识点二利用导数判断函数的单调性的一般步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．( ×) 2．函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.( ×)类型一函数图象与导数图象的应用例1 已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示.给出下列关于函数f(x)的说法：①函数y＝f(x)是周期函数；②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点．其中正确说法的个数是( )A．4 B．3C．2 D．1考点函数的单调性与导数的关系题点根据导函数的图象确定原函数图象答案 D解析依题意得，函数f(x)不可能是周期函数，因此①不正确；当x∈(0,2)时，f′(x)<0，因此函数f(x)在[0,2]上是减函数，②正确；当x∈[－1，t]时，若f(x)的最大值是2，则结合函数f(x)的可能图象分析可知，此时t的最大值是5，因此③不正确；注意到f(2)的值不明确，结合函数f(x)的可能图象分析可知，将函数f(x)的图象向下平移a(1<a<2)个单位长度后相应曲线与x轴的交点个数不确定，因此④不正确．故选D.反思与感悟(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大．跟踪训练1 已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则所给四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )考点 函数的单调性与导数的关系 题点 根据导函数图象确定原函数图象 答案 C解析 当0<x <1时，xf ′(x )<0，∴f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数； 当x >1时，xf ′(x )>0，∴f ′(x )>0， 故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故选C.类型二 利用导数求函数的单调区间 命题角度1 不含参数的函数求单调区间 例2 求下列函数的单调区间． (1)y ＝12x 2－ln x ；(2)y ＝x ＋bx(b >0)．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 解 (1)函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，又y ′＝(x ＋1)(x －1)x.若y ′>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －1)>0，x >0，解得x >1；若y ′<0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －1)<0，x >0，解得0<x <1.故函数y ＝12x 2－ln x 的单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0,1)．(2)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b x ′＝1－b x 2， 令f ′(x )>0，则1x2(x ＋b )(x －b )>0，所以x >b 或x <－b .所以函数的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)． 令f ′(x )<0，则1x2(x ＋b )(x －b )<0，所以－b <x <b 且x ≠0.所以函数的单调递减区间为(－b ，0)，(0，b )． 反思与感悟 求函数y ＝f (x )的单调区间的步骤 (1)确定函数y ＝f (x )的定义域． (2)求导数y ′＝f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数． (4)解不等式f ′(x )<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数．跟踪训练2 函数f (x )＝(x 2＋2x )e x(x ∈R )的单调递减区间为____________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 答案 (－2－2，－2＋2) 解析 由f ′(x )＝(x 2＋4x ＋2)e x<0， 即x 2＋4x ＋2<0，解得－2－2<x <－2＋ 2.所以f (x )＝(x 2＋2x )e x的单调递减区间为(－2－2，－2＋2)． 命题角度2 含参数的函数求单调区间例3 讨论函数f (x )＝12ax 2＋x －(a ＋1)ln x (a ≥0)的单调性．考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求含参数函数的单调区间 解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax ＋1－a ＋1x ＝ax 2＋x －(a ＋1)x.(1)当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x， 由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1. ∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．(2)当a >0时，f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1a (x －1)x，∵a >0，∴a ＋1a>0. 由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1. ∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．综上所述，当a ≥0时，f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数． 反思与感悟 (1)讨论参数要全面，做到不重不漏．(2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解． 跟踪训练3 设函数f (x )＝e x－ax －2，求f (x )的单调区间． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数函数的单调区间解 f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x－a . 若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． 若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增.1．函数f (x )＝x ＋ln x ( ) A ．在(0,6)上是增函数 B ．在(0,6)上是减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数 考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性 答案 A2．若函数f (x )的图象如图所示，则导函数f ′(x )的图象可能为( )考点 函数的单调性与导数的关系 题点 根据原函数图象确定导函数图象 答案 C解析 由f (x )的图象可知，函数f (x )的单调递增区间为(1,4)，单调递减区间为(－∞，1)和(4，＋∞)，因此，当x ∈(1,4)时，f ′(x )>0，当x ∈(－∞，1)或x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )<0，结合选项知选C.3．函数f (x )＝3＋x ·ln x 的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(e ，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 答案 C解析 f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )>0， 即ln x ＋1>0，得x >1e.故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. 4．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为[－1,2]，则b ＝________，c ＝________. 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知单调区间求参数值 答案 －32－6解析 f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知，f ′(x )＝0即3x 2＋2bx ＋c ＝0的两根为－1和2. 由⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－2b3，－1×2＝c3，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32，c ＝－6.5．试求函数f (x )＝kx －ln x 的单调区间． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数函数的单调区间 解 函数f (x )＝kx －ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝k －1x ＝kx －1x.当k ≤0时，kx －1<0，∴f ′(x )<0， 则f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 当k >0时，由f ′(x )<0，即kx －1x<0， 解得0<x <1k；由f ′(x )>0，即kx －1x >0，解得x >1k. ∴当k >0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1k ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k，＋∞.综上所述，当k ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)；当k >0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1k ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，＋∞.1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.一、选择题1．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )A．在区间(－2,1)上，f(x)是增函数B．在(1,3)上，f(x)是减函数C．在(4,5)上，f(x)是增函数D．在(－3，－2)上，f(x)是增函数考点函数的单调性与导数的关系题点利用导数值的正负号判定函数的单调性答案 C解析由图知当x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以在(4,5)上，f(x)是增函数．2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )考点函数的单调性与导数的关系题点根据原函数图象确定导函数图象答案 D解析∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x>0时，f′(x)<0，当x<0时，f′(x)<0，故选D.3．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象只可能是所给选项中的( )考点函数的单调性与导数的关系题点根据导函数的图象确定原函数的图象答案 C解析∵导数的正负确定了函数的单调性，∴从函数f′(x)的图象可知，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a(a>0)，∴函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，故选C. 4．函数f(x)＝x e－x的一个单调递增区间是( )A．[－1,0] B．[2,8]C．[1,2] D．[0,2]考点利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数的函数的单调区间 答案 A解析 因为f ′(x )＝e x －x e x(e x )2＝(1－x )·e －x>0，又因为e －x>0，所以x <1.5．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x e xC ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x考点 函数的单调性与导数的关系题点 利用导数值的正负号判定函数的单调性 答案 B解析 B 项中，y ＝x e x，y ′＝e x＋x e x＝e x(1＋x )， 当x ∈(0，＋∞)时，y ′>0， ∴y ＝x e x在(0，＋∞)内为增函数．6.函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则下列不等式一定成立的是( )A ．f (cos A )<f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (sin A )>f (cos B )考点 利用导数研究函数的单调性 题点 比较函数值的大小 答案 D解析 根据图象知，当0<x <1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在区间(0,1)上是增函数．∵△ABC 为锐角三角形，∴A ，B 都是锐角且A ＋B >π2，则0<π2－B <A <π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－B <sin A ，∴0<cos B <sin A <1，∴f (sin A )>f (cos B )．7．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( )A ．f (0)＋f (2)>2f (1)B ．f (0)＋f (2)＝2f (1)C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 比较函数值的大小 答案 C解析 ∵(x －1)f ′(x )<0，∴当x >1时，f ′(x )<0，x <1时，f ′(x )>0，则f (x )在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增， ∴f (0)<f (1)，f (2)<f (1)， 则f (0)＋f (2)<2f (1)． 二、填空题8．若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (x ＋1)的单调递减区间是________． 考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数的函数的单调区间 答案 (0,2)解析 由f ′(x )＝x 2－4x ＋3，f ′(x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3＝x 2－2x ，令f ′(x ＋1)<0，解得0<x <2， 所以f (x ＋1)的单调递减区间是(0,2)．9.在R 上可导的函数f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式xf ′(x )<0的解集为________．考点 函数的单调性与导数的关系 题点 利用单调性确定导数值的正负号 答案 (－∞，－1)∪(0,1) 解析 由xf ′(x )<0可得，⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f ′(x )<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f ′(x )>0，由题图可知当－1<x <1时，f ′(x )<0， 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1<x <1或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x <－1或x >1，解得0<x <1或x <－1，∴xf ′(x )<0的解集为(0,1)∪(－∞，－1)． 10．已知函数f (x )＝k ex －1－x ＋12x 2(k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行，则f (x )的单调递增区间为____________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数的函数的单调区间 答案 (0，＋∞) 解析 f ′(x )＝k ex －1－1＋x ，∵曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行， ∴f ′(0)＝k ·e －1－1＝0，解得k ＝e ， 故f ′(x )＝e x＋x －1. 令f ′(x )>0，解得x >0，故f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．11．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，且在区间(0,2)上单调递减，则a 的值为________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 已知单调区间求参数值 答案 －6解析 由题意得f ′(x )＝6x 2＋2ax ＝0的两根为0和2，可得a ＝－6.12．定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，f ′(x )<2，则满足f (x )>2x －1的x 的取值范围是________．考点 利用导数研究函数的单调性 题点 构造法的应用 答案 (－∞，1)解析 令g (x )＝f (x )－2x ＋1， 则g ′(x )＝f ′(x )－2<0， 又g (1)＝f (1)－2×1＋1＝0，当g (x )>g (1)＝0时，x <1，∴f (x )－2x ＋1>0， 即f (x )>2x －1的解集为(－∞，1)． 三、解答题13．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0. (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间． 考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数的函数的单调区间 解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2， ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0， 知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1.又f ′(－1)＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3，故所求函数解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2. (2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2； 令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)，(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)． 四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的大致图象是( )考点 函数的单调性与导数的关系 题点 根据导数确定函数的图象 答案 A解析 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ， 则g ′(x )＝2－2cos x ≥0，所以函数g (x )＝f ′(x )在R 上单调递增，故选A.15．已知函数f (x )＝x －2x＋a (2－ln x )，a >0，试讨论f (x )的单调性．考点 利用导函数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数的函数的单调区间 解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.令g (x )＝x 2－ax ＋2，其判别式Δ＝a 2－8.(1)当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0，都有f ′(x )>0，此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数；(2)当Δ＝0，即a ＝22时，当且仅当x ＝2时，有f ′(x )＝0，对定义域内其余的x 都有f ′(x )>0，此时f (x )也是(0，＋∞)上的单调递增函数；(3)当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根：x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82和⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减.。
2020学年高中数学第1章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.2函数的极值与导数课件新人教A版选修2_2
变式训练
1．求下列函数的极值： (1)f(x)＝x2e－x； (2)f(x)＝sin x(1＋cos x)(0＜x＜2π)．
解析 (1)函数的ห้องสมุดไป่ตู้义域为 R.
f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x(－x)′
＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.
【问题2】 问题1中a，b，c，d，e，f，g，h哪些是 极小值点，哪些是极大值点？
答案 极小值点有a，c，e，g；极大值点有b，d， f，h.
【问题3】 结合问题1、2思考：函数的极大值一定 大于极小值吗？在同一区间内极值点唯一吗？
答案 函数的极大值与极小值并无确定的大小关 系，一个函数的极大值未必大于极小值，例如图(2)中f(c) 为极小值，f(f)为极大值，但f(c)>f(f)；在区间内可导函数 的极大值或极小值可以不止一个．
＋
0
－
0
＋
y
↗
极大值 ↘
极小值
↗
由上表可以看出，当 x＝－1 时，函数 y＝f(x)有极大
值 f(－1)＝10；
当 x＝3 时，函数 y＝f(x)有极小值 f(3)＝－22.
●规律方法
求可导函数f(x)极值的步骤 (1)求函数的导数f′(x)； (2)令f′(x)＝0，求出全部的根x0； (3)列表，方程的根x0将整个定义域分成若干个区间， 把x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在这个表格 内； (4)判断得结论，若导数在x0附近左正右负，则在x0处 取得极大值；若左负右正，则取得极小值． [注意事项]
f′(x)
＋
0
－
0
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性说课稿2 苏教版选修2-2
导数在研究函数中的应用—单调性一、教材分析本节课，是苏教版选修2-2第一章第3节课。
它承接导数的定义和运算，开启了导数在函数中应用的研究，是导数应用的基础知识，地位重要．二、学情分析学生前面已经学习了导数的定义和简单函数四则运算的导数公式，尤其是已经有了“割线逼近切线”这种数学思想，这为本节课提供了充分的思想方法准备．并且，在本节课开头设置的三个问题中，有的问题可以用单调性定义解决，有些通过观察可以直接判断，而有些则并不能一眼看出单调性，这就触动学生要寻找新的解题方法，探索新的思路。
通过数学问题的导引，带领学生走进课堂．在实际教学中，考虑到学生比较容易局限于观察图象，得出结论，缺乏严谨的推理。
事实上，图象只能提供直观感受，并不能作为说理依据。
教师就要引导学生共同思考：怎样从已有的单调性的定义中，找出合理、可行、有效的方法。
师生共同观察、思考、猜想、证明，最终得出结论，比较圆满地完成一个数学知识的学习过程，体验数学发现的乐趣，拓宽师生的数学视野．三、教学目标1 .探索并了解函数的单调性和函数导数的关系；2.比较初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的异同，体现导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．四、教学重点、难点我认为本节课的重点是从单调性的定义出发，逐步建立单调性与导数之间的关系。
其间，既有代数变形，又有图形直观；既有大胆的猜想，又有严密推理。
教师和学生在这些思想方法之间灵活穿梭、切换，既有激烈地思想交锋，又有严密地逻辑推理，让看似平静的课堂充满了智慧的碰撞。
五、教学方法与教学手段教师从课本章头图引入课题，自然地把导数和单调性结合起来。
教师通过设置问题串，从“会”到“不会”，激发学生学习兴趣，展开探究。
教师利用多媒体PPT和几何画板，动态演示，确定研究方向，最终得出结论。
六、教学过程教师为了能够真正体现“要提高学生独立获取数学知识，并用数学语言表达问题的能力”这个新课程理念，设计了10个环节。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中
高中数学第一章导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用（第1课时）预习导航新人教A版选修2-2
1．函数的单调性与其导数正负的关系
一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
思考1在(a，b)内，f′(x)＞0⇔函数y＝f(x)在这个区间上单调递增吗？
提示：不等价．函数y＝f(x)在(a，b)上单调递增可能推出f′(x)≥0，如f(x)＝x3在R上是增函数，其f′(x)＝3x2≥0.
2．函数单调性与导数值大小的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．思考2如何用曲线的切线的斜率来理解单调性与导函数的关系？
提示：当切线斜率为正时，切线的倾斜角小于90°，函数曲线呈向上增加状态；当切线斜率为负时，切线的倾斜角大于90°，小于180°，函数曲线呈向下减少状态．思考3如何理解函数的单调性与导数的关系？
提示：(1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．
(2)一般利用使导数等于零的点来划分函数的单调区间．
(3)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常数函数．如f(x)＝3，则f′(x)＝3′＝0.
(4)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律中的一个应用，它充分体现了数形结合思想．。
高中数学第1章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性222数学
第十六页，共三十八页。
判断或证明函数的单调性
求证函数 f(x)＝sin x＋tan x 在－π2，π2内为增函数． 【证明】 因为 f(x)＝sin x＋tan x 在－π2，π2内恒有意义，
且
f′(x)＝(sin
x)′＋(tan
x)′＝cos
x＋(sin
x)′cos
x－(cos cos2x
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由函数单调性求参数的取值范围 已知函数 f(x)＝x3－ax－1.若 f(x)在 R 上为增函数，求实数 a 的取值范围． 【解】 f′(x)＝3x2－a. 因为 f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以 f′(x)＝3x2－a≥0 在(－∞，＋∞)上恒成立， 即 a≤3x2 对 x∈R 恒成立． 因为 3x2≥0，所以只需 a≤0. 又因为 a＝0 时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1 在 R 上是增函数，所 以 a≤12/130/2，021 即实数 a 的取值范围为(－∞，0]．
答案：④
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求函数的单调区间 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x3－x； (2)f(x)＝3x2－2ln x.
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【解】 (1)函数的定义域为 R， f′(x)＝3x2－1＝( 3x＋1)( 3x－1)，
令
f′(x)>0
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1．导数与函数的单调性
一般地，在某区间上函数 y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：
导数
函数的单调性
f′(x)>0 f′(x)<0
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 导数在研究函数中的应用 第2课时 函数的极值教案 新人
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江苏省铜山县高中数学第一章导数及其应用1.3.2 导数在研究函数中的应用第2课时函数的极值教案新人教A版选修2-2的全部内容。
1.3。
2 导数在研究函数中的应用 第2课时 函数的极值一、教学目标：1．了解函数极值的概念,会从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用;2．了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；3．增强学生数形结合的思维意识，提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力．二、教学重点：正确理解函数极值的概念，学会用导数判别函数极值的方法并能灵活应用． 教学难点：正确掌握“点是极值点”的充分条件及必要条件,灵活应用导数去解决有关函数极值方面的问题，并逐步养成用数形结合的思想方法去分析和解决问题的习惯． 三、教学用具：多媒体四、教学过程本节课学习“函数的极值”．1．复习引入问题1 对于函数762)(23+-==x x x f y ，利用函数的导数讨论它的单调性．（此题为上一节例2．多媒体展示）同学解答并请上台板演，以帮助复习上节课的知识．老师讲评后，用多媒体展示老师自己的解答和函数图象(略）．2．新授观察函数762)(23+-==x x x f y 图象可知，函数值)0(f 比临近0=x 点的其他函数值都要大；函数值)2(f 比临近2=x 点的其它函数值都要小．由老师给出函数的定义．(略）（此时，多媒体画面上的问题1及其图形向左上方适当缩小，在同一画面的右边分段逐渐显示定义）强调“临近点”的含义，指出函数极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义域内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大．(多媒体画面上的图形与文字再次向上方适当缩小，在同一画面的下方显示如图．有)()(21x f x f <）问题 2 观察图形，说出在极值点附近函数切线的斜率的正负变化与函数的极值有何关系．（多媒体画面中，极值的定义与图2消失，问题1的图形适当增大,并增加展示出图象上点))(,(00x f x 处的切线0x 变化的动画．给出问题2）在老师的引导下，不难得出：曲线在极值点处切线的斜率为0（本例题中，极值点处的导数为0)；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正．（此时，多媒体画面上的图形及问题2向左上方适当缩小，在同一画面的右边分段逐渐显示出判别)(0x f 是极大、极小值的方法（略）)3．例题与练习例1 求函数4431)(3+-=x x x f 的极值．(教科书上例1,解略） 讲解与展示解题过程与图象时，要使学生能够清楚老师的思维过程、求解的一般步骤与书写的格式．(结合例1展示利用导数求函数极值的步骤（略））练习1 教科书第136页练习第(1)、（2)题．请两名学生上讲台板演,其他同学在自己的座位上独立完成，老师巡回检查．讲解后,展示老师的解法、书写和图形．说明：导数为 0的点不一定是极值点．如函数3)(x x f =,在0=x 处的导数是0,但它不是极值点．(展示此函数的图形）例2 求1)1(32+-=x y 的极值．(教科书上例2，解略）讲解时应阐述清楚老师的思路与解题的步骤，完整展示书写的格式与函数的图象．并着重说明：导数为0的点不一定是极值点．对于可导函数，导数为0是点为极值点的必要条件而非充分条件．练习2教科书第136页练习第（3)、（4)题．补充例题1 已知函数x x f =)(，在0=x 处函数极值的情况是（ )A ．没有极值B ．有极大值C ．有极小值D ．极值情况不能确定解：当0>x 0时，x x f =)(，知01)(>='x f ；当0<x 时，x x f -=)(，知01)(<-='x f ；当0=x 时，0)(=x f ，且)(x f 不存在．知0=x 是此函数的极小值点，故选C ．展示函数的图象,着重说明：函数的不可导点也可能是极值点．补充例题2 求函数322)2(x x y -=的极值．解：)(x f 的定义域为R ，且3)2(3)1(4)(x x x x f --='． 可知1=x 时，0)(='x f ；而0=x 和2=x 时，)(x f 不存在．由0=x 、1=x 、2=x 三点将定义域分成四个区间，列表：x ()0,∞-0 (0，1) 1 （1,2） 2 ),2(+∞ )(x f '－ 不存在 ＋ 0 － 不存在 ＋)(x f ↘ 极小值0 ↗ 极大值1 ↘ 极小值0 ↗函数)(x f 有极小值0)2(,0)0(==f f ，有极大值1)1(=f ．展示函数的图象． 着重说明：函数的导数不存在的点也可能是极值点．4．归纳小结(1)可微函数的极值与其导数的关系．第一，函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大．第二,点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数异号．点是极值点的必要条件是在这点的导数为0．第三，函数的不可导点也可能是极值点．（2）求解函数极值的步骤是:第一，确定函数的定义域；第二，求方程0)(='x f 的根；第三，用方程0)(='x f 的根，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；第四，由)(x f '在方程0)(='x f 的根左右的符号，来判断)(x f 在这个根处取极值的情况．五、布置作业教科书习题3．8第1、2题．课外研究题1．已知c x x f +=2)(，且)1()()(2+==x f x f f x g ,设)()()(x f x g x λϕ-=，试问是否存在实数λ,使)(x ϕ在)1,(--∞上是减函数,并且在（－1,0)上是增函数．略解:知)2()2()(,124λλϕ-+-+==x x x c 是连续函数，)]2(2[2)(2λϕ-+='x x x ．由)(x ϕ在)1,(--∞上减,且在(－1,0）上增，知0)1(=-'ϕ，得4=λ．2．当1->x 时，证明不等式x x xx ≤+≤+)1ln(1成立． 注：此题是上节“课外研究题2”的变式，解题思路可作调整．解：作函数)1ln(1)(x x x x f +-+=，有0,)1()(2>+-='x x x x f 时01,0)(<<-<'x x f 时0)(>'x f ，知0)0(=f 是此函数的极大值．知)(x f 在1->x 时，0)(≤x f ．同理可证x x x g -+=)1ln()(在1->x 时0)(≤x g ．综上获证．。
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导数中的“看图说话”
导数的引入，为研究函数的单调性、求最值提供了有力的工具，与传统的证明和各种求解技巧相比，导数的优势是简洁.使用导数首先要学会“看图说话”，因为导数往往和函数图象，各种图表联系紧密.
一、解析几何中的许多问题是通过图象来表达出来的，因此要能够根据文字语言、数学语言、图形语言的提示信息，准确读懂图表，并将隐藏其中的数学信息挖掘出来. 例１ 若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象是（ ）
解析：()2f x x b '=+，由()f x 图象的顶点在第四象限得0b <，则直线()2f x x b '=+的斜率为2，且直线在y 轴的截距为负．易知，只有Ａ符合要求．
二、函数的增减性，由导数值的符号反映出来，由导函数图象可大略知道函数的图象，做此类题需要对导数含义深刻理解．
例2 已知函数()y xf x '=的图象如图1所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =图象大致为（ ）
解析：由图1知，当1x <-时，()0x
f x '<·， ()0f x '>∴，()f x 为增函数，表现在图象上是上升的，
当10x -<<时，()0xf x '>．
()0f x '<∴，()f x 为减函数，表现在图象上为下降．
当1x >时，()0xf x '>，
()0f x '>∴，()f x 为增函数，表现在图象上为上升． 由以上分析知，Ｃ符合．
三、其实，许多看似无从下手的问题，如果有应用导数的意识的话，也许会比较简单． 例3 已知函数32()(0)f x ax bx x a b ab =++∈≠R ，，的图象如图2所示（12x x ，为两个极值点），且12x x >，则有（ ）
Ａ．00a b >>，
Ｂ．00a b <<， Ｃ．00a b >>，
Ｄ．00a b ><，
解析：因为12x x >，根据图象，显然有1200x x <>，，120x x <·，又12x x >，即12x x ->，
120x x +<．
12x x ，为()f x 的两个极值点，求导数有2()321f x ax bx '=++，即方程23210ax bx ++=的两个实根为12x x ，，由根与系数的关系1223b x x a +=-，1213x x a
=·，因此00a b <<，．故选Ｂ．。