直线平面简单几何体1[1].1--1.2
数学竞赛教案讲义立体几何
数学竞赛教案讲义-立体几何第一章：立体几何基础1.1 空间点、线、面的位置关系点、直线、平面的基本性质点与直线、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系1.2 立体几何的基本概念棱柱、棱锥、棱台、球的定义与性质底面、侧面、顶点的概念空间角、二面角的概念与计算第二章：空间几何图形2.1 棱柱直棱柱、斜棱柱的性质棱柱的面积、体积计算2.2 棱锥直棱锥、斜棱锥的性质棱锥的面积、体积计算2.3 棱台棱台的性质棱台的面积、体积计算2.4 球球的性质球的面积、体积计算第三章：立体几何中的线面关系3.1 直线与平面的关系直线与平面平行、直线在平面内的判定与性质直线与平面相交的性质3.2 直线与直线的关系平行线、相交线的性质异面直线、共面直线的性质3.3 平面与平面的关系平面与平面平行的判定与性质平面与平面相交的性质第四章：立体几何中的角与距离4.1 空间角线线角、线面角、面面角的定义与计算空间角的性质与计算方法4.2 距离点与点、点与直线、点与平面的距离计算直线与直线、直线与平面的距离计算第五章：立体几何的综合应用5.1 立体几何图形的放缩与旋转放缩与旋转的性质与方法放缩与旋转在立体几何中的应用5.2 立体几何中的定理与性质欧拉公式、施瓦茨公式等定理的应用立体几何中的重要性质与定理5.3 立体几何与解析几何的综合应用利用解析几何的知识解决立体几何问题立体几何与解析几何的相互转化第六章：立体几何中的立体角与对角线6.1 立体角立体角的定义与性质立体角的计算方法6.2 对角线多面体的对角线长度计算对角线与几何体的性质关系第七章：立体几何中的不等式与最值7.1 立体几何中的不等式利用立体几何图形性质证明不等式利用不等式解决立体几何问题7.2 立体几何中的最值问题利用几何方法求解最值问题利用代数方法求解最值问题第八章：立体几何中的视图与投影8.1 视图正视图、侧视图、俯视图的定义与性质利用视图研究几何体的性质8.2 投影平行投影、中心投影的性质利用投影解决立体几何问题第九章：立体几何中的定理与性质（续）9.1 立体几何中的定理与性质布雷特施奈德定理、莫恩定理等定理的应用立体几何中的其他重要性质与定理9.2 立体几何中的特殊几何体圆柱、圆锥、球台的性质与应用利用特殊几何体解决立体几何问题第十章：立体几何与实际应用10.1 立体几何在实际应用中的案例分析利用立体几何解决工程、物理、艺术等领域的问题立体几何在现实生活中的应用举例10.2 立体几何竞赛题解析分析历年数学竞赛中的立体几何题目讲解解题思路与方法，提高解题能力10.3 立体几何练习题与答案解析提供立体几何练习题，巩固所学知识分析练习题答案，讲解解题过程与思路第十一章：立体几何中的坐标计算11.1 空间点的坐标空间直角坐标系的建立点的坐标表示与运算11.2 空间向量向量的定义与运算向量与立体几何的关系11.3 空间几何体的坐标表示棱柱、棱锥、棱台、球的坐标表示利用坐标解决立体几何问题第十二章：立体几何中的向量计算12.1 向量的线性运算向量的加法、减法、数乘运算向量共线与垂直的判定与性质12.2 向量的数量积与向量积向量的数量积定义与性质向量的向量积定义与性质12.3 空间向量在立体几何中的应用利用向量计算空间角与距离利用向量解决立体几何中的线面关系问题第十三章：立体几何中的解析几何方法13.1 解析几何与立体几何的关系利用解析几何方法解决立体几何问题解析几何在立体几何中的应用举例13.2 参数方程与极坐标方程立体几何图形的参数方程表示利用参数方程与极坐标方程解决立体几何问题第十四章：立体几何中的不等式与最值（续）14.1 立体几何中的不等式问题利用不等式性质解决立体几何问题不等式在立体几何中的应用举例14.2 立体几何中的最值问题（续）利用几何方法求解最值问题利用代数方法求解最值问题第十五章：立体几何的综合与应用15.1 立体几何与其他数学学科的综合立体几何与代数、分析、概率等学科的关系立体几何在交叉学科中的应用15.2 立体几何在实际应用中的案例分析（续）立体几何在工程、物理、艺术等领域中的应用案例立体几何在其他领域中的应用举例15.3 立体几何竞赛题解析与练习题答案解析（续）分析历年数学竞赛中的立体几何题目讲解解题思路与方法，提高解题能力提供立体几何练习题，巩固所学知识分析练习题答案，讲解解题过程与思路重点和难点解析重点：理解并掌握立体几何的基本概念、立体几何图形、空间几何图形、立体几何中的线面关系、立体几何中的角与距离、立体几何中的立体角与对角线、立体几何中的不等式与最值、立体几何中的视图与投影、立体几何中的定理与性质、立体几何中的坐标计算、立体几何中的向量计算、立体几何中的解析几何方法、立体几何中的不等式与最值（续）、立体几何的综合与应用。
立体几何入门学习方法
立体几何入门学习方法立体几何一直是高中数学的一大难点，在已经掌握了平面几何的基础知识后，要进一步学好立体几何的基础知识却并不容易。
下面店铺收集了一些关于立体几何入门学习方法，希望对你有帮助立体几何学习方法第一，建立空间观念，提高空间想象力为了培养空间想象力，可以在刚开始学习时，动手制作一些简单的模型用以帮助想象。
通过模型中的点、线、面之间的位置关系的观察，逐步培养自己对空间图形的想象能力和识别能力。
还可以通过画图帮助理解，从简单的图形(如：直线和平面)、简单的几何体(如：正方体)开始画起，做到能想象出空间图形并把它画在一个平面(如：纸、黑板)上，还要能根据画在平面上的“立体”图形，想象出原来空间图形的真实形状。
第二，掌握基础知识和基本技能直线和平面是立体几何的基础，学好这部分的一个捷径就是认真学习定理的证明，尤其是一些很关键的定理的证明。
例如：三垂线定理。
定理的内容都很简单，就是线与线，线与面，面与面之间的关系的阐述。
但定理的证明在初学的时候一般都很复杂，甚至很抽象。
在学习这些内容的时候，可以用笔、直尺、书之类的东西搭出一个图形的框架，用以帮助提高空间想象力。
对后面的学习也打下了很好的基础。
第三，积累解决问题的策略如将立体几何问题转化为平面问题，又如将求点到平面距离的问题，或转化为求直线到平面距离的问题，再继而转化为求点到平面距离的问题;或转化为体积的问题。
一方面从已知到未知，另方面从未知到已知，寻求正反两个方面的知识衔接点——一个固有的或确定的数学关系。
第四，重视证明过程各类考试中都有立体几何论证的考察，论证时，首先要保持严密性，对任何一个定义、定理及推论的理解要做到准确无误。
符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。
切忌条件不全就下结论。
其次，在论证问题时，思考应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充分条件，向已知靠拢，然后用综合法形式写出。
第五，充分运用“转化”思想解立体几何的问题，要充分运用“转化”这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，有什么联系，这是非常关键的。
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人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修一第一章集合与函数概念1．1集合1．2函数及其表示1．3函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1指数函数2．2对数函数2．3幂函数第三章函数的应用3．1函数与方程3．2函数模型及其应用必修二第一章空间几何体1．1空间几何体的结构1．2空间几何体的三视图和直观图1．3空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．2直线、平面平行的判定及其性质2．3直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1直线的倾斜角与斜率3．2直线的方程3．3直线的交点坐标与距离公式必修三：第一章算法初步1．1算法与程序框图1．2基本算法语句1．3算法案例第二章统计2．1随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3．1随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2古典概型3．3几何概型阅读与思考概率与密码必修四：第一章三角函数1．1任意角和弧度制1．2任意角的三角函数1．3三角函数的诱导公式1．4三角函数的图象与性质1．5函数y=Asin（ωx+ψ）1．6三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念2．2平面向量的线性运算2．3平面向量的基本定理及坐标表示2．4平面向量的数量积2．5平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2简单的三角恒等变换必修五：第一章解三角形1．1正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1．2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1．3实习作业第二章数列2．1数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2．2等差数列2．3等差数列的前n项和2．4等比数列2．5等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学第三章不等式3．1不等关系与不等式3．2一元二次不等式及其解法3．3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3．4基本不等式选修1-1第一章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2充分条件与必要条件1．3简单的逻辑联结词1．4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2．1椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2．2双曲线2．3抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用第三章导数及其应用3．1变化率与导数3．2导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3．3导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3．4生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1-2第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用1．2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业第二章推理与证明2．1合情推理与演绎证明阅读与思考科学发现中的推理2．2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念3．2复数代数形式的四则运算第四章框图4．1流程图4．2结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图选修2-1:第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3双曲线探究与发现2.4抛物线探究与发现阅读与思考第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2立体几何中的向量方法选修2-2:第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算选修2-3 第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用阅读与思考这样的买彩票方式可行吗探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业选修3-1:第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用阅读与思考这样的买彩票方式可行吗探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业选修3-3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史选修3-4:第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn二多项式的对称变换三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4-1:第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行摄影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4-2:第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用选修4-5:第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式选修4-6第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥选修4-7:第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4-9第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例。
直线平面简单几何体球
一个球与底面边长为a的正四棱锥的底面
和侧面都相切.若平行于棱锥
底面且与球相切的平面截棱锥，
所得的截面是一个边长为b的正
方形，求这个球的表面积.
解：过正四棱锥相对两个侧面的斜高作截
面，如图设O为球心，O1、O2
分别为截面和底面正方形的中
心，球与侧面的一个切点为C.
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点评：求球的表面积的关键是求球的半径.求半径时，一般是根据截面圆的圆心与球的圆心的连线段、截面圆的弦长、球的半径三者之间的关系，通过解三角形来求得.
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如图，A、B、C是表面积为 48π的球面上三点，AB=2， BC=4，∠ABC =60°，O为 球心.求直线OA与截面ABC 所成的角的大小. 解：连结AC，设O在 截面ABC上的射影是O′， 则O′为截面三角 形ABC外接圆的圆心，
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已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是( ) A. B. C. D. 解：因为AB=BC=CA=2， 所以△ABC的外接圆半径为r= .设球的半 径为R，则 所以 ， 所以
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第九章 直线、平面、简单几何体
第 讲
球
考点 搜索
●球面、球体的概念，球的截面性质 ●地球的经纬度，球面距离 ●球的表面积和体积高考
高考 猜想
1. 考查有关球的表面积、体积和球面距离等的计算. 2. 考查球的截面问题的分析与计算.
与定点的距离_______________的点的集合,叫做球体,简称球,定点叫做球心,定长叫做球的半径,与定点距离__________的点的集合叫做球面. 用一个平面截一个球,所得的截面是________,且球心与截面圆心的连线________截面. 设球心到截面的距离为d,球半径为R,截面圆半径为r,则三者的关系是____________.
高一数学必修课本目录
【高中数学课本】高中数学必修1~5目录高中数学必修一：第一章. 集合与函数概念1.1. 集合1.2. 函数及其表示1.3. 函数的基本性质第二章. 基本初等函数（I）2.1. 指数函数2.2. 对数函数2.3. 幂函数第三章. 函数的应用3.1. 函数与方程3.2. 函数模型及其应用高中数学必修二：第一章. 空间几何体1.1. 空间几何体的结构1.2. 空间几何体的三视图和直观图1.3. 空间几何体的表面积与体积第二章. 点、直线、平面之间的位置关系2.1. 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2. 直线、平面平行的判定及其性质2.3. 直线、平面垂直的判定及其性质第三章. 直线与方程3.1. 直线的倾斜角与斜率3.2. 直线的方程3.3. 直线的交点坐标与距离公式第四章. 圆与方程4.1. 圆的方程4.2. 直线、圆的位置关系4.3. 空间直角坐标系高中数学必修三：第一章. 算法初步1.1. 算法与程序框图1.2. 基本算法语句1.3. 算法案例第二章. 统计2.1. 随机抽样2.2. 用样本估计总体2.3. 变量间的相关关系第三章. 概率3.1. 随机事件的概率3.2. 古典概型3.3. 几何概型高中数学必修四：第一章. 三角函数1.1. 任意角和弧度制1.2. 任意角的三角函数1.3. 三角函数的诱导公式1.4. 三角函数的图像与性质1.5. 函数y=Asin（ωx+φ）的图像1.6. 三角函数模型的简单应用第二章. 平面向量2.1. 平面向量的实际背景及基本概念2.2. 平面向量的线性运算2.3. 平面向量的基本定理及坐标表示2.4. 平面向量的数量级2.5. 平面向量应用举例第三章. 三角恒等变换3.1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.2. 简单的三角恒等变换高中数学必修五：第一章. 解三角形1.1. 正弦定理和余弦定理1.2. 应用举例1.3. 实习作业第二章. 数列2.1. 数列的概念与简单表示法2.2. 等差数列2.3. 等差数列的前n项和2.4. 等比数列2.5. 等比数列的前n项和第三章. 不等式3.1. 不等关系与不等式3.2. 一元二次不等式及其解法3.3. 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.4. 基本不等式。
立体几何初步——第一章：简单几何体
A．是梯形，不一定是等腰梯形
B．一定是等腰梯形
C） A．圆台是直角梯形绕它的一腰旋转后而成的几何体 B．用平行于圆锥底面的平面去截此圆锥得到一个圆锥和一个圆台 C．用过圆锥的轴的平面截圆锥得到的一定是等边三角形 D．一平面截圆锥，截口形状是圆
球的截面
用平面去截一个球，
C
截面都是圆面；
球面被经过球心的 平面截得的圆叫做 球的大圆；
其它截面圆叫做球的小圆；
请大家想一想怎样用集合的观点去定义球？
把到定点O的距离等于或小于定长的点 的集合叫作球体，简称球。（包括球面）
其中： 1.把定点O叫作球心，定长叫作球的半径 2.到定点O的距离等于定长的点的集合叫作球 面。
二、填空题： （1）用一张６×８的矩形纸卷成一个圆柱，其轴
截面的面积为___4_8____．
（2）圆台的上、下底面的直径分别为２ cm,10cm,高为3cm，则圆台母线长为 5cm _______.
O
A
2、圆锥的表示：
用表示它的轴的字母表示， 如圆锥SO。
旋转轴叫做圆锥的轴。
S
垂直于轴的边旋转而成的曲 面叫做圆锥的底面。
不垂直于轴的边旋转
而成的曲面叫做圆锥
的侧面。
BO
无论旋转到什么位置不 垂直于轴的边都叫做圆 锥的母线。
轴 母线
A 底面
六、圆台的结构特征
1、定义：用一个平行于圆锥底面的平 面去截圆锥，底面与截面之间的部分，这 样的几何体叫做圆台。
球面距离 在球面上，两点之间
最短连线的长度，是经过这两点的
大圆在两点间的劣弧的长度，称这
段劣弧的长度为这
两点的球面距离； 举例：
P O
①飞机的飞行航线；
高中数学教材全解课件 新课标 人教版 必修2(A)
3.分散难点
立体几何教学的两个主要任务： 培养空间观念，培养逻辑推理能力
按照“点线面——体”组织的结构体系， 逻辑严谨，但“两个任务”交织在一起， 特别是对逻辑推理能力要求高，而且“判 定定理”的证明要培养空间观念（合情推理），再推进到 逻辑推理能力的培养，适当分散难点。
证明非常漂亮、经典，渗透了许多数学思想， 重心是逻辑推理能力。
依据“标准”的要求，实验教
材对这个定理不进行演绎证明， 而让学生通过一个探究实验发现 结论，进行合情推理。
上述过程经历的步骤：
具体 观 实 发现 提 出 问题 察 验 规律 猜想
把握立体几何教学的变化：
几何教育功能的全面性，即从单 纯强调几何的逻辑推理转变为合 情推理与逻辑推理并重。
1.3 空间几何体的表面积与体积
教学目标： 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积 的计算公式（不要求记忆公式）；根据柱、 锥、台、球体的几何特征并结合它们的展 开图，推导出它们的表面积的计算公式， 并通过对各种几何体体积计算公式之间联 系的分析，帮助学生从计算的角度去认识 空间几何体，更加准确地把握空间几何体 的结构特征。
在立体几何学习中，经历合情推理——演绎 推理过程。通过对事物、模型、图片等的操 作和感知，引导学生归纳、概括几何图形的 结构特征，认识空间点、线、面的位置关系， 用数学语言表达平行、垂直的性质与判定， 并能进行证明。
不是不要证明，而是完善过程。
既要发展演绎推理能力，也要发展合情推理 能力。
直线与平面垂直的判定定理
能根据三视图描述基本几何体或实物原 型。
高中：
能识别三视图所表示的立体模型，会使 用材料（如纸板）制作模型；用斜二测 画直观图等（初中没有）。
加强实物、三视图、直观图的相互转化 你能画出它们的三视图吗？
必修2总复习(北师大)(李斌)
•必修2 总复习•李斌高中数学必修2现实世界中的物体空间几何体柱、锥、台、球的结构特征构成几何体的基本元素直线、平面间平行与垂直的直观认识柱、锥、台、球的表面积和体积直观图和三视图的画法点、线、面之间的位置关系平面的基本性质确定平面的条件空间中的平行关系空间平行线的传递性线面平行的判定及性质面面平行的判定及性质空间中的线面垂直的判定及性质第一章立体几何初步简单几何体5.1简单旋转体1.11.2 5.2 6.1平行关系的判定6.27.13.1直观图平行关系3.2柱、锥、台、球体的侧面积公式由三视图还原实物图简单多面体三视图简单组合体的三视图空间图形基本关系定理4.24.1空间图形基本关系认识空间图形的公理平行关系的性质垂直关系垂直关系的性质垂直关系的判定表面积、体积公式7.2柱、锥、台、球体的体积公式3§2§1§4§6§5§7§结构特征圆柱圆锥圆台球定义以矩形的一边为轴旋转形成的曲面围成的图形以直角三角形的直角边为轴旋转形成的曲面围成的图形以直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转形成的曲面所围成的几何体以半圆的直径所在直线为轴旋转一周所形成的曲面叫球面，球面所围成的几何体叫作球体底面两平行且半径相等的圆圆两互相平行但半径不相等的圆无侧面展开图矩形扇形扇环不可展开母线平行且相等相交于顶点延长线交于一点无平行于底面的截面与两底面平行且相等的圆与底面平行但半径不相等的圆与两底面平行但半径不相等的圆球的任何截面都是圆轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆简单旋转体1.1结构特征棱柱棱锥棱台定义两个平面互相平行，其余各面都是四边形且公共边平行有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫作棱台底面两底面是全等的多边形多边形两底面是相似的多边形侧面平行四边形形三角形梯形侧棱平行且相等相交于顶点延长线交于一点平行于底面的截面与两底面全等的多边形与底面相似的多边形与两底面相似的多边形过不相邻两平行四边形三角形梯形简单多面体1.2O 'x 'y '直观图的画法2§oyxG EFD C BAH A 'B 'C 'D 'E 'F 'G 'H 'z '45o斜二测画法的规则：斜二测画法的步骤：o O 45x y '''∠=(1)使(2)对应平行关系不变(3)平行x 轴线段长度不变，(2)平移线段找点(3)连线成图（擦去辅助线）3.1简单组合体的三视图a2a3a12a 32a 12a a32a 直观图俯视图左视图主视图长对正高平齐主视俯视左视直观图3.2由三视图还原实物图主视图左视图俯视图主视图左视图俯视图直观图实物图左视俯视主视图左视图主视俯视图实物图俯视左视主视主视图左视图俯视图实物图俯视左视主视主视图左视图俯视图空间图形基本关系5.1平行关系的判定一、线面平行的判定ablb⊆/l a b a ≠⊂b l∥⇒l∥a aAb a ≠⊂⇒≠⊂a a a b ∩=A b ∥a ba ∥b 二、面面平行的判定5.2平行关系的性质一、线面平行的性质二、面面平行的性质abaγbl∥a l ≠⊂baa ∩b =⇒l∥a bab⇒a ∥bb∩b =γa a ∩=γb∥a aγ（1）定义法:直线和平面没有公共点则线面平行（反证法）（2）利用线线平行证明（3）利用面面平行证明⊆l a b a ≠⊂b ∥⇒l∥a ablbl ≠⊂b⇒∥ab l ∥a（1）定义法:两个平面没有公共点则面面平行（反证法）（2）利用线线平行证明（3）利用线面平行证明⊂a ab a ≠⊂⇒≠⊂a a a b ∩=Aa ∥b ∥a a 'b b '≠⊂a '≠⊂b一、线面垂直的判定b a ≠⊂⇒≠⊂a a a b ∩=A l a ⊥l b⊥l a⊥二、面面垂直的判定AB a⊥≠⊂AB b⇒a b ⊥aABbγbal aA一、线面垂直的性质二、面面垂直的性质aba a a⊥b a⊥⇒b∥a a ⇒a b⊥a b ∩=CD ≠⊂AB a AB CD⊥AB b ⊥baCDA B（1）利用线面垂直证明（2）利用面面垂直证明balca ⇒l a⊥≠⊂a a l a⊥⇒a b⊥AB CD ⊥a b ∩=C D ''≠⊂AB a ≠⊂CD b C D ''⊥AB b aCDA BC 'D '（1）利用线线垂直证明（2）平行直线转移法balaAb a ≠⊂⇒≠⊂a aa b ∩=A l a ⊥l b⊥l a⊥（3）平行平面转移法abaa ⇒∥abb a⊥a a ⊥a b∥a b⊥⇒a a ⊥（4）利用面面垂直证明b≠⊂a γ∩=CD γγb⊥⇒a b⊥γCD（1）利用线面垂直证明（2）利用面面垂直证明aABbγAB a⊥≠⊂AB b⇒a b ⊥a bγ⇒∥b γγa⊥b a ⊥（3）利用线线垂直证明a b alAl ≠⊂b ≠⊂b a ≠⊂a a ⇒a b ∩=A l a ⊥b a ⊥7.1柱、锥、台、球体的侧面积公式()12S c c l '=+圆台侧()r r lπ'=+0c '=0r '=c c'=r r'=1一、旋转体的侧面积lr2c rπ=lr 2c rπ=r 'rl2c rπ=2c r π''=c c '=h h'=0c '=()12S c c h ''=+正棱台侧12S ch '=正棱锥侧S ch=直棱柱侧二、多面体的侧面积24S Rπ=球表面积C上底扩大上底缩小lhh 'hl h h 'hh()13V S S S S h''=++⋅台13V Sh=锥V Sh=柱S S '=0S '=7.2柱、锥、台、球体的体积公式343V Rπ=球C内切球棱切球2aR =内切aaa22R a =棱切3V V V::1:2:3锥球柱第二章解析几何初步平面直角坐标系直线基本计算公式平面上两点的距离公式直线的倾斜角与斜率直线的方程点斜式方程斜截式方程两点式方程截距式方程一般式方程两条直线的位置关系两直线相交的条件两直线平行的条件两直线垂直的条件点到直线的距离圆圆的标准方程圆的一般方程直线、圆与圆的位置关系直线与直线的方程1.3直线的倾斜角和斜率1.11.21.42.1直线的方程两条直线的位置关系两条直线的交点2.21.52.33.1平面直角坐标系中的距离公式圆与圆的方程空间直角坐标系3.2直线与圆、圆与圆的位置关系圆的一般方程圆的标准方程空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标2§1§3§直线的倾斜角和斜率1.1一、倾斜角概念及范围二、斜率概念及计算四、倾斜角与斜率关系三、斜率的几何意义xyO ɑɑ倾斜角α变化:0°≤α＜90°斜率k 变化:0≤k ＜+∞90°＜α ＜180°﹣∞＜k ＜0数学问答邹汉峰形式方程局限性各常数的几何意义点斜式斜截式两点式截距式一般式可表示任何直线()00y y k x x -=-y kx b =+ 1.2直线的方程112121y y x x y y x x --=--1x ya b +=0Ax By C ++=0()x x k ≠存在0()x x k ≠存在12(0)y y k ≠≠12()x x k ≠存在且00(,),x y k 是直线上一定点是斜率,a b 存在,0a b ≠且()直线不过原点()不与坐标轴平行k b y 是斜率,是轴上的截距1122(,),(,)x y x y 是直线上两定点a x 是轴上的非零截距b y 是轴上的非零截距0,AB k B ≠=-当时Cb B =-0,C A a A≠=-当时1.3两条直线的位置关系一、两条直线平行111222:;:l y k x b l y k x b =+=+1l 2l ∥1212k k b b =≠且⇔1122:;:l x a l x a ==1l 2l ∥⇔12a a ≠（斜率不存在）111222A B C A B C =≠1l 2l ∥⇔1111:0l A x B y C ++=2222:0l A x B y C ++=二、两条直线垂直12121l l k k ⊥⇔⋅=-12l l ⊥⇔12,l x l y ⊥⊥轴且轴12:;:l x a l y b==1212120l l A A B B ⊥⇔⋅+⋅=12120,0,A B l l ==⊥若则有21120,0,A B l l ==⊥若则有数学问答邹汉峰1.4两条直线的交点；1111:0l A x B y C ++=2222:0l A x B y C ++=1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩联立方程组1l 2l ∩00(,)P x y =⇔00x x y y =⎧⎨=⎩方程组有唯一解1122A B A B ≠⇔1l 2l ∩1l =⇔⇔、12l l 重合方程组有无穷多解⇔111222A B C A B C ==⇔方程组无解⇔111222A B C A B C =≠1l 2l ∩=F 1l 2l ∥⇔1.5平面直角坐标系中的距离公式一、两点间距离公式三、两平行直线间距离公式二、点到直线距离公式1122(,);(,)A x yB x y :0l Ax By C ++=222121()()AB x x y y =-+-00(,)P x y 0022Ax By C d A B ++=+2122C C d A B-=+AB2l 1l PyxO11:0l Ax By C ++=22:0l Ax By C ++=点在线的同侧B2.1圆的标准方程一、圆的几何特征二、定圆的两大要素三、解析法探求动点轨迹方程的基本步骤四、圆的标准方程圆上任意一点到圆心的距离等于定长定点——圆心；定长——半径1、建系2、设点3、找几何关系4、转化为坐标运算5、整理化简222()()x a y b r-+-=(,)P x y Oxy(,)C a b rPC r=22()()x a y b r-+-=2.2圆的一般方程一、二元二次方程完全形式220x y Dx Ey F ++++=22224()()224D E D E F x y +-+++=220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=二、圆的一般方程不表示任何曲线表示一个点o 221.40D E F +-<若o 222.40D E F +-=若o 223.40D E F +->若(,)22D E --表示一个圆o1.1A B ==o2.0C =配方得2242r D E F =+-半径(,)22D E C --圆心数学问答邹汉峰2.3直线与圆、圆与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系222()()x a y b r-+-=:0l Ax By C ++=yd r<直线与圆相交d r>直线与圆相离o1几何法d r =直线与圆相切o2代数法222()()Ax By C x a y b r++=⎨-+-=⎩联立方程组22A aB b Cd A B⋅+⋅+=+0∆<相离∆=相切∆>相交；(),C a b xo数学问答邹汉峰二、圆与圆的位置关系()()22121212d C C x x y y ==-+-()111,C x y ()222,C x y r 1C 112d r r >+两圆相离12d r r =+两圆外切1212r r d r r -<<+两圆相交12d r r =-两圆内切12d r r <-两圆内含C 2r 2•Ox12z12y123.1空间直角坐标系的建立zxy•Oyoz 平面xoy 平面Zox 平面xoy 平面上的点竖坐标为0yoz 平面上的点横坐标为0xoz 平面上的点纵坐标为0x 轴上的点纵坐标竖坐标为0z 轴上的点横坐标纵坐标为0y 轴上的点横坐标竖坐标为0一、坐标平面内的点二、坐标轴上的点xo y zxo yzxoyzM(x,y,z )xoyzM 1(x,y,-z )M(x,y ,z)M 1(x,-y ,z)M 1(-x,-y ,z)M 1(-x ,y,-z )M(x ,y ,z)M(x ,y,z )M(x ,y,z)M 1(-x ,y,z)xoy zM 1(x,-y ,-z )M(x,y ,z )空间对称问题xoy z二、空间点的对称点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz 中的一点(1)与点M 关于x 轴对称的点(2)与点M 关于y 轴对称的点(3)与点M 关于z 轴对称的点(4)与点M 关于原点对称的点(5)与点M 关于xOy 平面对称的点(6)与点M 关于xOz 平面对称的点(7)与点M 关于yOz 平面对称的点(x,-y,-z)(-x,y,-z)(-x,-y,z)(-x,-y,-z)(x,y,-z)(x,-y,z)(-x,y,z)数学问答邹汉峰3.3空间两点间的距离公式zxyO A(x 1,y 1,z 1)B(x 2,y 2,z 2)x 1x 2y 1y 2z 1z 2222121212()()()AB x x y y z z =-+-+-数学问答。
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课 题： 9．1平面的基本性质(一)【教学目标】理解平面的无限延展性,初步掌握平面的基本性质.【教学重点】平面的延展性,会用文字-图形-符号语言正确表示平面的基本性质. 【教学难点】对有且只有的理解. 【教学过程】 一.讲解新课：1平面的基本特征：无限延展 2平面的画法及其表示方法：3平面的基本性质：公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内. 符号语言：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭. 或者：∵,A B αα∈∈，∴A B α⊂ ①判定直线在平面内 ②判定点在平面内 它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法.公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.符号语言：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭. 或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上. 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 符号语言：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合.或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈. 应用：确定平面 .二.例题讲解：【知识点】确定平面的性质推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面. 推理模式：A a ∉⇒存在唯一的平面α，使得A α∈，l α⊂ .推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面.推理模式：P b a = ⇒存在唯一的平面α，使得,a b α⊂. 【变式】推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面. 推理模式：//a b ⇒存在唯一的平面α，使得,a b α⊂. 推论1，推论2，推论3应用：确定平面 . 【课后反思】三.课间或课后作业：1.理解并记忆三个公理和公理3的三个推论.2.判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）空间三点可以确定一个平面（）（2）两条直线可以确定一个平面（）（3）两条相交直线可以确定一个平面（）（4）一条直线和一个点可以确定一个平面（）（5）三条平行直线可以确定三个平面（）（6）两两相交的三条直线确定一个平面（）（7）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（）（8）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（）3.将下列文字语言转化为符号语言：（1）点A在平面α内，但不在平面β内；（2）直线a经过平面α外一点M；（3）直线l在平面α内，又在平面β内（即平面α和β相交于直线l）.4.证明：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.已知：直线,,A B CAB BC CA两两相交，交点分别为,,求证：直线,,AB BC CA共面【教学目标】掌握平面的基本性质，并能熟用文字-图形-符号语言描述平面的基本性质. 【教学重点】平面基本性质的应用． 【教学难点】确定两相交平面的交线． 【教学过程】一.复习引入：公理一、公理二和确定平面的性质 二.题型讲解：【知识点1】平面的基本概念【例1】判断下列说法是否正确?并说明理由． （1）平面的形状是平行四边形； （2）任何一个平面图形都是一个平面； （3）圆和平面多边形都可以表示平面；（4）因ABCD 的面积大于1111A B C D 的面积，则平面ABC D 大于平面1111A B C D ； （5）用平行四边形表示平面，以平行四边形的四条边作为平面的边界线． 【变式1】判断下列说法是否正确： （1）圆和平面多边形都表示平面；（2）三角形ABC 所在的平面与平面α可能只有一个公共点； （3）一条直线和一个平面可能没有公共点；（4）两个相交平面有不在同一条直线的三个公共点； （5）经过空间任意三点有且只有一个平面.【知识点2】直线、平面的画法【例2】判断下面图形是否正确，请给予改正： （1）直线a 在平面α内，如图（1）；（2）直线a 与平面α有且只有一个公共点，如图（2）； （3）平面α与平面β相交，如图（3）．【变式2】三个平面将空间分成几部分？并就各种情况分别画出对应的空间图形.【知识点3】平面基本性质的简单应用【例3】已知直线m 与直线a 和b 分别交于,A B ,且a b ．求证：,,a b m 共面． 【变式3】1.已知一条直线与三条平行直线都相交．求证：这四条直线共面．2.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成 （ ）A ．5部分B ．6部分C ．7部分D ．8部分三.课后作业：平面基本性质活页作业（1）【课后反思】【教学目标】会用平面的基本性质解决有关共点、共线、共面问题.掌握水平放置的平面图形的斜二测画法.【教学重点】平面基本性质的应用.【教学难点】用平面的基本性质解决有关共点、共线、共面问题. 【教学过程】 一.题型讲解：【知识点】线共点、点共线问题【例1】 如图所示，A B C ∆与111A B C ∆不在同一个平面内，如果三直线111,,AA BB C C 两两相交，求证：三直线111,,AA BB C C 交于一点．【变式1】1. 正方体1AC 中，,E F 分别是1,AB AA 的中点， （1）求证：1,,C E D F D A 三线共点； （2）求证：1,,,E C D F 四点共面；（3）若Q 是1A C 与平面11ABC D 的交点．求证：1,,B Q D 三点共线．2.已知ABC ∆的三边,,AB BC AC 分别与平面α相交于,,E F G ，求证：,,E F G 三点共线.【知识点2】水平放置的平面图形的斜二测画法【例2】如图所示（1）中(),p a b 是竖直放置的平面直角坐标系xo y 内一点，画出水平放置的坐标系x o y '''及P 的对应点p '．【变式2】画一个长为4cm ，宽为2cm ，高为3cm 的长方体直观图.三.处理课堂作业：互动课堂练习（第9页） 四.课后作业：平面基本性质活页作业（2）【课后反思】课 题：9．2空间的平行直线与异面直线(一)【教学目标】掌握公理4及等角定理 【教学重点】公理4及等角定理的应用, 【教学难点】等角定理的应用, 【教学过程】 一.复习引入：把一张纸对折几次，为什么它们的折痕平行？ 你还能举出生活中的相关应用的例子吗？二.讲解新课：1 空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何．．一个平面内，没有公共点； 2 平行直线（1）公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：//,////a b b c a c ⇒．（2）空间四边形：顺次连结不共面的四点,,,A B C D 所组成的四边形叫空间四边形，相对顶点的连线,AC BD 叫空间四边形的对角线（3）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等(4)等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.指出:等角定理及其推论,说明了空间角通过任意平行移动,因而成为异面直线所成角的基础.三.题型讲解：【知识点1】公理4的应用【例1】已知棱长为a 的正方体1111ABC D A B C D -中，,M N 分别为,CD AD 的中点． 求证：四边形11M N A C 是梯形．【变式1】已知：正方体1111ABC D A B C D -，,E F 分别为1,1A A C C 的中点． 求证：四边形1BED F 为菱形．A【知识点2】等角定理的应用【例2】 （选用）如图所示的空间图形中，设1111111VA VB VC A AB BC C==≠，且222,,A B C 分别是,,VA VB VC 的中点．求证：111222B A C B A C ∠=∠，111222A B C A B C ∠=∠，111222A C B A C B ∠=∠【变式2】如图所示，不共面的三条直线,,a b c 交于点O ，在点O 的同侧分别取点A 和1A ，B 和1B ，C 和1C ，使得11O A O B O AO B=，11O C O A O CO A=，求证：111ABC A B C ∆∆ ．【知识点3】综合问题【例3】如图所示，两个三角形ABC 和A B C '''的对应顶点的连线,,AA BB CC ''' 交于同一点O ，且2'''3AO BO C O O A O B O C ===．（1）求证：A B AB '' ，A C AC '' ，B C BC '' ； （2）求'''S A B C S A B C ∆∆的值．【变式3】如图，,,AB BC CD 是首尾相连且不在同一平面内的三条线段，它们的三等分点为112233,,,,,P Q P Q P Q ．求证：123P P P ∆与123Q Q Q ∆的面积相等．三.课后作业：空间的平行直线与异面直线活页作业（1）【课后反思】课 题：9．2空间的平行直线与异面直线(二)【教学目标】掌握异面直线的定义和异面直线的夹角等概念，掌握异面直线的判断方法．会解与异面直线及其夹角有关的问题.【教学重点】异面直线的判断及其夹角的计算. 【教学难点】两条异面直线的判断. 【教学过程】一、复习引入：空间两直线的位置关系 二、讲解新课：1．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.推理模式：,,,A B l B l ααα∉∈⊂∉⇒A B 与l 是异面直线2．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上.异面直线所成的角的范围：2,0(π3．求异面直线所成的角的方法.三、讲解范例：【知识点1】两直线位置关系的判断【例1】 在正方体1111,,,ABC D A B C D E F G -中分别是棱11,,AA AB C C 的中点，试判断以下各对线段所在直线的位置关系. （1）1AB D D 与；（2）1D E BC 与； （3）1D E BG 与； （4）1D E CF 与.【变式1】,,a b c 是空间三条直线，给出下列四个命题，其中真命题的个数是（ ） （1）如果,a b b c ⊥⊥则a c（2）②如果,a b 是异面直线，,b c 是异面直线，则,a c 也是异面直线； （3）③如果,a b 相交，,b c 相交，则,a c 也相交；（4）④如果,a b 共面，,b c 共面，则,a c 也共面．A ．3B ．2C ．1D．0【知识点2】异面直线的判定【例2】已知,a b 是异面直线，直线,c d 分别与a 交于不同两点,P Q ,,c d 分别与b 交于不同两点,M N ．求证：,c d 是异面直线．【变式2】如图，已知b a α= ，b α⊂，c β⊂，b a A = ，//c a ．求证：b 与c 是异面直线.【知识点2】求异面直线的夹角【例3】正方体1111ABC D A B C D -中，,E F 分别为1B B ，1C C 的中点，求,AE BF 所成角的余弦值．【变式3】1.长方体1111ABC D A B C D -中，12AB =，3B C =，14AA =，N 在11A B 上，且11113B N A B =，求1BD 与1C N 所成角的余弦值．2.过正方体1111ABC D A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱1,,AB AD AA ，所成的角都相等，这样的直线l 可以作 （ ）A ．1条B ．2条C ．3条D．4条四.课后作业：空间的平行直线与异面直线活页作业（2）【课后反思】。