2高斯定理hipeak
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02高斯定理
【解】 电荷体密度
分析对称性
q
4
3
π
R23
R13
由电荷分布的中心对称性→
场强分布球对称且沿径向。
R2
R1
r
O
dq1 dE2
dq2 P
dE1
dE 所以选取通过场点的同心 球面为高斯面（应用高斯
（q）（dq2= dq1）
定理的闭合面）
12
◆球E对 d称S场对球E型d高S斯面 的E 电d通S量：E4 r 2
一. 高斯定律的证明:
1.通过点电荷q为球心的球面的电通量
等于q/0
nˆ E e E d S
S
r dS
rˆ
q
1
4π0
q r2
rˆ d Snˆ
1q
q
4 π0 r 2
dS
0
6
2.通过包围点电荷 q 的任意封闭曲面的
电 通量都等于q/0
这是因为点电荷q 的
高斯面上各处的 E ; 而 q内只是对高斯面内的
电荷求和。
8
明确几点： 1.高斯面为闭合面。
e E d S （S）
q内
0
高斯面为几何面， q内 和 q外 总能分清。
2. 式中的电场强度为高斯面上某点的场强，是由空间 所有电荷产生的，与面内面外电荷都有关。
3.电通量 Φ 只与面内电荷有关，与面外电荷无关。
高斯定理高斯定理公式高斯定理求场强高斯定理的应用静电场的高斯定理大学物理高斯定理磁场的高斯定理静电场高斯定理高斯定理适用范围磁场高斯定理
电磁学
电场中的高斯定理
张三慧教材： 10.4、10.5、10.6
高斯定理(高斯定理是什么？高斯定理怎么用？)
解 对称性分析：E垂直平面
选取闭合的柱形高斯面
E dS S＇
S
0 底面积
2S＇E S＇
E
S＇
0
S＇ E
S＇
E 20
E
EE
E
E 2 0
E
x
O
( 0)
讨论
无的 限电 大场 带叠 电加 平问 面题
0
0
高斯定理举例：
均匀带电球面（球体、球壳等）的 电场分布 均匀带电直线（圆柱面、圆柱体等）
的电场分布 均匀带电无限大平面的电场分布
例：均匀带电球壳的电场强度
一半径为R , 均匀带电 Q 的薄
球壳 . 求球壳内外任意点的电场强
度. 解（1）0 r R
r S +
r +
+
O
+ 1+ + +
+R +
S
s (柱面）
h 0
2 rhE h 0
E
2 0 r
z
+
+
r h
+
+o
x+
E y en
E
O
r
讨论
o
E O
无限长均匀带电柱面的电场分布
对称性分析: 视为 无限长均匀带电直 线的集合；
r
P
dE '
选同轴圆柱型高斯 面；
由高斯定理计算
dE
dE dE'
0 rR
高斯 Carl Friedrich
Gauss 德国 1777～1855 数学家、天文学家
选取闭合的柱形高斯面
E dS S＇
S
0 底面积
2S＇E S＇
E
S＇
0
S＇ E
S＇
E 20
E
EE
E
E 2 0
E
x
O
( 0)
讨论
无的 限电 大场 带叠 电加 平问 面题
0
0
高斯定理举例：
均匀带电球面（球体、球壳等）的 电场分布 均匀带电直线（圆柱面、圆柱体等）
的电场分布 均匀带电无限大平面的电场分布
例：均匀带电球壳的电场强度
一半径为R , 均匀带电 Q 的薄
球壳 . 求球壳内外任意点的电场强
度. 解（1）0 r R
r S +
r +
+
O
+ 1+ + +
+R +
S
s (柱面）
h 0
2 rhE h 0
E
2 0 r
z
+
+
r h
+
+o
x+
E y en
E
O
r
讨论
o
E O
无限长均匀带电柱面的电场分布
对称性分析: 视为 无限长均匀带电直 线的集合；
r
P
dE '
选同轴圆柱型高斯 面；
由高斯定理计算
dE
dE dE'
0 rR
高斯 Carl Friedrich
Gauss 德国 1777～1855 数学家、天文学家
高斯定理(电磁学)
证明方法
高斯定理的证明通常基于库仑定律、电场线性质和微积分等 基本原理。通过选择适当的闭合曲面和运用微积分中的高斯 公式，可以推导出高斯定理。
推导过程
首先，根据库仑定律，电场线从正电荷发出，终止于负电荷 或无穷远处。然后，通过选取适当的闭合曲面，将电荷包围 在其中，运用高斯公式和高斯定理的推导过程，最终得到高 斯定理的数学表述。
要点一
总结词
高斯定理在其他领域也有广泛的应用，如电场、量子力学 、光学等。
要点二
详细描述
高斯定理在电场中可以用来计算电场的分布和强度，以及 电通量的计算等问题。在量子力学中，高斯定理可以用来 研究波函数的性质和演化。在光学中，高斯定理可以用来 研究光场的分布和强度，以及光通量的计算等问题。
05
高斯定理的扩展和深化
磁场中的应用
总结词
高斯定理在磁场中也有广泛的应用，它可以 帮助我们理解和计算磁场的分布和强度。
详细描述
在磁场中，高斯定理可以用来计算球形区域 内磁场的分布和强度，通过球面上的磁场强 度的积分可以得到球内的磁场。此外，高斯 定理还可以用来研究磁场线的闭合性质，以 及磁通量的计算等问题。
其他领域的应用
引力场中的应用
总结词
高斯定理在引力场中也有重要的应用，它可以帮助我们理解和计算引力场的分布和强度。
详细描述
在引力场中，高斯定理可以用来计算球形区域内物质的质量分布，通过球面上的引力场强度的积分可以得到球内 的质量。此外，高斯定理还可以用来研究引力场的空间分布，通过球面上的引力场强度的分布，可以推导出球内 引力场的分布情况。
高斯定理的应用条件
适用范围
高斯定理适用于任何线性、非自相互作用、电荷连续分布的电场。对于非线性、 自相互作用或离散分布的电荷，高斯定理可能不适用。
电场的高斯定理
电场的高斯定理电场是物质之间相互作用的重要表现形式，它在日常生活中随处可见。
为了更好地理解和描述电场的性质，科学家们提出了众多的定理和公式。
其中，以德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯命名的“高斯定理”被广泛应用于电场研究中。
1. 高斯定理的基本概念高斯定理描述了电场的性质与其产生的电荷分布之间的关系。
它表明，通过一个闭合曲面的电场通量与该曲面内所包含的电荷量成正比，与曲面形状和大小无关。
具体而言，高斯定理可表达为以下公式：∮ E·dA = Q/ε0其中，∮ E·dA表示通过闭合曲面的电场通量，Q表示该曲面内所包含的电荷量，ε0为真空介电常数。
2. 电场通量电场通量指的是电场线穿过一个给定曲面的总量。
在高斯定理中，通过曲面的电场通量是一个重要的参数，它可以用来描述电场的分布情况和强度。
通过一个平面曲面的电场通量可以计算为：Φ = E*A*cosθ其中，E表示电场强度，A表示曲面的面积，θ表示电场线和垂直于曲面的单位法向量之间的夹角。
3. 电场与电荷分布的关系根据高斯定理，电场通量与曲面内的电荷量成正比。
这意味着，电场线越密集、电荷量越大的区域，通过给定曲面的电场通量也越大。
通过运用高斯定理，我们可以通过测量电场通量来确定电荷的分布情况。
4. 高斯定理的应用高斯定理在电场研究中有着广泛的应用。
它常用于计算对称分布的电场强度、导体中的电荷分布以及电偶极子等问题。
4.1 计算对称分布的电场强度高斯定理在计算对称分布的电场强度时十分有用。
例如，对于球对称分布的电荷体系，可以选择一个以电荷球中心为原点的球面作为曲面，此时根据高斯定理可以得到球对称电荷体系内的电场强度分布。
4.2 导体中的电荷分布导体中的电荷分布也是高斯定理的重要应用之一。
由于导体内部不存在电场，因此电场线必定从导体表面垂直于表面出射。
通过选取合适的高斯曲面，可以很容易地计算出导体表面上的电荷分布情况。
高斯定理高斯定理高斯定理高斯定理高斯定理高斯定理高...
acb adb
a
即静电场力移动电荷沿任一闭合路径所作的功为零
Q q0 ≠ 0
r r ∴ ∫ E • dl = 0
26
在点电荷系电场中：
r n r E = ∑ Ei
i =1 l
n r r n r r r r ∫ E ⋅ dl = ∫ ∑ Ei ⋅ dl = ∑ ∫ Ei ⋅ dl = 0 l l i =1 i =1
r r 3. 分别求出 Φ E = ∫ E ⋅ d S
从而求得 E
和 ΦE =1Biblioteka εo∑qS内
i
，
17
例5-5 求均匀带电球面的电场。半径为R，带电量q>0 解: 对称性分析
r<R
= E 1 4π r
2
r E 具有球对称 作高斯面——球面
r v Φ e = ∫ E 1 ⋅ d S = E 1 ∫ dS
电荷处在静电场中一定的位置就具有一定的势能， 电荷处在静电场中一定的位置就具有一定的势能， 称为电荷在静电场中的电势能 称为电荷在静电场中的电势能。 电势能。 静电场力对电荷所做的功 = 静电势能增量的负值 试验电荷 q0 处于 a 点和 b 点分 别具有电势能 Wa 和 Wb 则 a → b 电场力的功
∆S
∆S
r E
θ
θ
r n
r E
Φe = E∆S
r r Φe = E∆S cosθ = E • ∆S
8
(2) 非均匀电场 S为任意曲面
dΦe = EdS⊥ = EdS cos θ v v = E ⋅ dS
Φ e = ∫ d Φ e = ∫ E cos θ dS S S v v v v = ∫ E ⋅ dS = ∫ E ⋅ n dS
a
即静电场力移动电荷沿任一闭合路径所作的功为零
Q q0 ≠ 0
r r ∴ ∫ E • dl = 0
26
在点电荷系电场中：
r n r E = ∑ Ei
i =1 l
n r r n r r r r ∫ E ⋅ dl = ∫ ∑ Ei ⋅ dl = ∑ ∫ Ei ⋅ dl = 0 l l i =1 i =1
r r 3. 分别求出 Φ E = ∫ E ⋅ d S
从而求得 E
和 ΦE =1Biblioteka εo∑qS内
i
，
17
例5-5 求均匀带电球面的电场。半径为R，带电量q>0 解: 对称性分析
r<R
= E 1 4π r
2
r E 具有球对称 作高斯面——球面
r v Φ e = ∫ E 1 ⋅ d S = E 1 ∫ dS
电荷处在静电场中一定的位置就具有一定的势能， 电荷处在静电场中一定的位置就具有一定的势能， 称为电荷在静电场中的电势能 称为电荷在静电场中的电势能。 电势能。 静电场力对电荷所做的功 = 静电势能增量的负值 试验电荷 q0 处于 a 点和 b 点分 别具有电势能 Wa 和 Wb 则 a → b 电场力的功
∆S
∆S
r E
θ
θ
r n
r E
Φe = E∆S
r r Φe = E∆S cosθ = E • ∆S
8
(2) 非均匀电场 S为任意曲面
dΦe = EdS⊥ = EdS cos θ v v = E ⋅ dS
Φ e = ∫ d Φ e = ∫ E cos θ dS S S v v v v = ∫ E ⋅ dS = ∫ E ⋅ n dS
高斯定理相关内容ppt
2
问题:Leabharlann 1 Ψ e S E dS q内 0 i
③ 当通过高斯面的电场强度通量为零时,是否意味着 高斯面内没有电荷?
答:当通过高斯面的电场强度通量为零时,意味着高 斯面内没有净电荷。
④当通过高斯面的电场强度通量为零时, 是否 意味着高斯面上各点的场强都为零? 答:高斯面上各点的场强并不一定都为零。
1 Ψ e S E dS q内 0 i
①高斯面上各点的场强与高斯面外的电荷有无关系? 答:通过高斯面的电场强度通量仅与高斯面内电荷有关, 但高斯面上各点的场强却与高斯面内外电荷都有关。 ②当电荷分布已知时,能否用高斯定理求场强分布?如果能, 在什么情况下? 答:当带电体电荷分布具有对称性时,可以用高斯定理求场强。
高斯定理和库仑定律的关系
① 高斯定理和库仑定律二者并不独立。高斯定理可以由 库仑定律和场强叠加原理导出。反过来，把高斯定理作 为基本定律也可以导出库仑定律。
② 两者在物理涵义上并不相同。库仑定律把场强和电荷 直接联系起来,在电荷分布已知的情况下由库仑定律可以 求出场强的分布。而高斯定理将场强的通量和某一区域内 的电荷联系在一起，在电场分布已知的情况下，由高斯定 理能够求出任意区域内的电荷。 ③ 库仑定律只适用于静电场,而高斯定理不但适用于静电 场和静止电荷,也适用于运动电荷和变化的电磁场。 1
3
大学物理高斯定理课件
复分析
在复分析中，高斯定理可以用于研究复函数的积分和全纯函数的空间性质。
THANKS
感谢观看
微分情势和积分公式
高斯定理的推导过程中需要用到微分 情势和积分公式，这些是微分几何的 重要概念和工具。
03
高斯定理的证明
证明的思路
01
引入高斯定理的背 景和意义
阐述高斯定理在电场和磁场中的 重要性，说明证明高斯定理的必 要性。
02
确定证明方法
03
构建证明框架
介绍使用微积分和向量场的方法 来证明高斯定理，说明其公道性 和可行性。
01
多重积分情势
高斯定理可以通过多重积分的情势进行 推广，以处理更复杂的几何形状和场散 布。
02
03
广义高斯定理
广义高斯定理将高斯定理的应用范围 扩大到非保守场，例如电磁场和引力 场。
高斯定理在其他物理领域的应用
01
02
03
电动力学
高斯定理在电动力学中用 于计算电场和电荷散布的 关系，以及电磁波的传播 。
相对论物理
在相对论物理中，高斯定 理可以应用于计算引力场 的能量密度和压力。
粒子物理学
在粒子物理学中，高斯定 理可以用于计算粒子在强 磁场中的运动轨迹和能量 。
高斯定理在其他数学领域的应用
微积分学
高斯定理是微积分学中的重要概念，可以用于 解决一系列积分问题。
实分析
实分析中，高斯定理可用于研究函数的积分性 质和可积性。
04
高斯定理的应用实例
电场中的应用
计算电场散布
高斯定理可以用来计算给定电荷散布 的电场散布，特别是在处理点电荷、 均匀带电球体等简单电荷散布时，高 斯定理提供了简洁的解决方案。
高斯定理解析
0
高斯定理
对称性分析
1、利用Gauss定理为求电场强度，首先要做对称性分析， 寻找合适的高斯面。 2、下面以均匀带电球体为例： 1）球外（一）： 合场强方向沿径向
高斯定理 2、下面以均匀带电球体为例： 1）球外（二）： 合场强方向沿径向
（1） 在球外，空间各点电场强度方向沿径向方向 （2） 在球外，距离球心相等距离处，电场强度大小相等。
b E r0 3 0
高斯定理—练习
讨论：
空腔处的电场强度为
特征：
b E r0 3 0
b O R 恒值
O' P
大小 方向
b E 3 0 r0
匀强电场
同向
（ 或 球 壳 ）
高斯定理 拓展
qi 积分式 E dS
s
0
微分式 E 0
i V
1、若带电体为连续带电体，体密度为，则
2、数学中散度定义
V E ( i j k ) ( Exi E y j Ez k ) x y z
b
O'
O
R
P
高斯定理—练习
解： 利用补偿法 将带空腔的带电球看作： -
+ O' r b O R O' P
O R
r1
P
+
2
P
e
e
E dS 4r
q/
s
0 3 1
2 1
E1
4 r / 3 0
E1 OP 3 0 同理： E2 PO 3 0
高斯定理
应用
qi E dS
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v E
对于电偶极子 S1：Φ e > 0 S3： Φ e < 0 S2、 S4 ：Φ 、
e
S1
+q
− q S3
= 0
S2
S4
v v Φe = ∫ E cosθdS = ∫ E ⋅ dS
S S
v n 对于闭合曲面， 对于闭合曲面， 取外法向为正
讨论
当 当
θ< θ> π π
时 ，cos θ > 0 , dφ > 0 2 时 ，cos θ < 0 , dφ < 0 2
均匀带电无限大平面的电场， 例3. 均匀带电无限大平面的电场，已知σ r 解: E具有面对称 高斯面 : 柱面
r r r v r v r v Φe = ∫ E ⋅ dS = ∫ E ⋅ dS + ∫ E ⋅ dS + ∫ E ⋅ dS
S1 S2 S侧
1 = ES1 + ES2 + 0 = σS ε0
8－2 电通量 高斯定理 －
电场的图示法:电力线 一.电场的图示法 电力线 电场的图示法 想象空间一系列有向曲线，其上任一点： 想象空间一系列有向曲线，其上任一点： 即为该点的电场强度的方向 方向。 切线方向 即为该点的电场强度的方向。 电场线相对疏密程度即为该点的电场强度的大小。 电场线相对疏密程度即为该点的电场强度的大小。 即为该点的电场强度的大小 A B
r r 1 Φe = ∫ E ⋅ dS =
s
ε0
∑q
i
1 . 利用高斯定理求某些电通量 利用高斯定理求某些电通量 v 和半径为R的半球面的轴平行 的半球面的轴平行， 例：设均匀电场 E 和半径为 的半球面的轴平行， 计算通过半球面的电通量。 计算通过半球面的电通量。
v v Q∑qi = 0 ∴Φe = ∫ E ⋅ dS = 0
q'1
q1 q2 qn
S
合场强： 合场强：
v v v v E = (E1 + E2 + ......En ) + v v v (E'1 +E'2 +......E'n )
q'2
q'n
q'1
q1 q2 qn
S
通过S的电通量为： 通过 的电通量为： 的电通量为
q'2
v v φe = ∫s E .dS q'n v v v v v v = ∫ E1 .dS + ∫ E 2 .dS + ......∫ E n .dS + s s s v v v v v v ∫ E '1 .dS + ∫ E '2 .dS + ......∫ E 'n .dS
S
=∫
S
q 4πε0r
dS = 2
∫ dS
S
=
q
ε0
与球面半径无关，即以点电荷q为中心的任一球面， 与球面半径无关，即以点电荷q为中心的任一球面， 不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。 不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。
（2） 点电荷 位于任意闭合 ） 点电荷q 曲面S 曲面 ´内
s′
S
dΦ e E= dS ⊥
S
ds
n θ
E
S为任意闭合曲面 为任意闭合曲面 为任意闭合
v v Φe = ∫ E cosθdS = ∫ E ⋅ dS
S
θ
ds
E
v v 定义： dS = dS n 定义：
S
S
θ
n
n
v n 对于闭合曲面， 对于闭合曲面， 取外法向为正
v n 对于闭合曲面， 对于闭合曲面， 取外法向为正
r r 1 数学表达式： 数学表达式： Φe = ∫ E ⋅ dS =
s
ε0
∑q
S内
i
1、高斯定理的引出
(A) 对于孤立点电荷 q
（1） 点电荷 位于球面 的球心 ） 点电荷q 位于球面S
v v Φe = ∫ E ⋅ dS = ∫S
S
q 4πε0r
q 4πε0r
2
v v r ⋅ dS 2 0
r
⊕
q
{ {
}
s
s
s
}
∑q
S内 i
1 q1 q2 qn = + + ...... + (0 + 0 + ...... + 0) = ε ε0 ε0 ε0 0
也即： 也即： e = ∫ E ⋅ d S = Φ
s
∑q
i
i
ε0
3、高斯定理的理解 、
r r 1 Φe = ∫ E ⋅ dS =
v 垂直平面 均匀电场 ，E 垂直平面
Φ e = ES
S
r E
v 均匀电场 ， 与平面夹角 θ E
Φ e = ES cos θ
S
θ
r n
r E
v v = E⋅S
电场不均匀， 为任意曲 电场不均匀，S为任意曲 面 dΦe = EdS⊥ = EdScosθ
v v = E ⋅ dS Φe = ∫ dΦe = ∫ E cosθdS S S v v = ∫ E ⋅ dS
r r 1 对连续带电体： C. 对连续带电体： ∫ E ⋅ dS =
s
ε0
∫ dq
S
D.
高斯定理比库仑定律更普遍,不仅实用于电磁波, 高斯定理比库仑定律更普遍 不仅实用于电磁波 不仅实用于电磁波 而且实用于引力场等 而且实用于引力场等. 引力场
例题：.已知一高斯面所包围的体积内电荷代数 例题： 已知一高斯面所包围的体积内电荷代数 和∑q＝0，则可肯定： ＝ ，则可肯定： (A) 高斯面上各点场强均为零． 高斯面上各点场强均为零． (B) 穿过高斯面上每一面元的电场强度 通量均 为零． 为零． (C) 穿过整个高斯面的电场强度通量为零． 穿过整个高斯面的电场强度通量为零． (D) 以上说法都不对． 以上说法都不对．
电量
v E
R
∑qi = q
r
2
高斯定理
E4πr = q ε0
场强
高斯面
E=
q 4 0r πε
2
讨论: 讨论
1.象点电荷 象点电荷 2.E连续 连续. 连续
均匀带电球体电场强度分布曲线
E连续 连续
E
q 4πε0 R2
E= q 4 0r 2 πε
v E
R
qr E= 4πε0R3
ε
r
O
O
R
导体上的电荷分布在外表面,但等离子体和半导 说明: 导体上的电荷分布在外表面 但等离子体和半导 体内的电荷可以是体状分布的，称为带电球体 带电球体. 体内的电荷可以是体状分布的，称为带电球体
v v q Φe1 = ∫ E ⋅ d S =
S1
ε0
+q
S1 S2
−q
Φe 2 = 0
Φe3 =
−q
ε0
S3
六、高斯定理的应用
前提：求解的静电场必须具有一定的对称性 前提：求解的静电场必须具有一定的对称性
步骤: 步骤
球对称（球体，球面）； 球对称（球体，球面）； A、对称性分析 、 柱对称（无限长柱体，柱面）； 柱对称（无限长柱体，柱面）； 面对称（无限大平板，平面）。 面对称（无限大平板，平面）。 B、根据对称性选择合适的高斯面； 、根据对称性选择合适的高斯面； C、应用高斯定理计算. 、应用高斯定理计算
r
ΦeS′ = ΦeS =
q
⊕
q
ε0
S
（3） 点电荷 位于任意闭合 ） 点电荷q 曲面S''以 曲面 以外
Φes′′ = 0
S′′
q⊕
小结： 小结：
当真空中只有一个点电荷时
r r 1 Φe = ∫ E ⋅ dS =
s
ε0
∑q
S内
i
(B) 对于任意的点电荷系
闭合曲面内包围点电荷： 闭合曲面内包围点电荷：q1,q2,….qn .q 单独存在时产生的对应场强： 单独存在时产生的对应场强：E1,E2,……En E 闭合曲面外包含点电荷： ,q’ ,,….q .q’ 闭合曲面外包含点电荷：q’1,q 2,, .q n, 单独存在时产生的对应场强： ,E’ 单独存在时产生的对应场强：E’1,E 2,……E’n E
穿出为正 穿入为负
课堂练习 求均匀电场中一半球面的电通量。 求均匀电场中一半球面的电通量
r n
r n
O
r E
S1
r n
v v ΦS1 = ∫ E ⋅ dS
S1
R
S2
r n
= E⋅ S2 ⋅ 2 = EπR
五、高斯定理
在真空中， 在真空中，通过任一闭 合曲面S的电通量 合曲面 的电通量Φe ,等于 等于 该闭合曲面所包围的所有 电荷的代数和除以ε0 .
1 E∝ 2 r
1 E∝ 1 r
3.线电荷 4.面电荷
λ E= 2πε a πε 0
E=
1 E∝ 0 r
σ 2 0 ε
例3 无限长均匀带电直线的电场强度
二、 电力线的性质： 电力线的性质：
r Eb
r Ea r Ec
b
a
c
r E
★ 1、不闭合，不中断 、不闭合，不中断; 起于正电荷、止于负电荷； 起于正电荷、止于负电荷； ★ 2、任何两条电力线不相交。 、任何两条电力线不相交。
三、电力线密度与电场强度的数量关系： 电力线密度与电场强度的数量关系： 的数量关系
s
r A. E 是闭合面各面元处的电场强度，是由全部电荷 是闭合面各面元处的电场强度，
对于电偶极子 S1：Φ e > 0 S3： Φ e < 0 S2、 S4 ：Φ 、
e
S1
+q
− q S3
= 0
S2
S4
v v Φe = ∫ E cosθdS = ∫ E ⋅ dS
S S
v n 对于闭合曲面， 对于闭合曲面， 取外法向为正
讨论
当 当
θ< θ> π π
时 ，cos θ > 0 , dφ > 0 2 时 ，cos θ < 0 , dφ < 0 2
均匀带电无限大平面的电场， 例3. 均匀带电无限大平面的电场，已知σ r 解: E具有面对称 高斯面 : 柱面
r r r v r v r v Φe = ∫ E ⋅ dS = ∫ E ⋅ dS + ∫ E ⋅ dS + ∫ E ⋅ dS
S1 S2 S侧
1 = ES1 + ES2 + 0 = σS ε0
8－2 电通量 高斯定理 －
电场的图示法:电力线 一.电场的图示法 电力线 电场的图示法 想象空间一系列有向曲线，其上任一点： 想象空间一系列有向曲线，其上任一点： 即为该点的电场强度的方向 方向。 切线方向 即为该点的电场强度的方向。 电场线相对疏密程度即为该点的电场强度的大小。 电场线相对疏密程度即为该点的电场强度的大小。 即为该点的电场强度的大小 A B
r r 1 Φe = ∫ E ⋅ dS =
s
ε0
∑q
i
1 . 利用高斯定理求某些电通量 利用高斯定理求某些电通量 v 和半径为R的半球面的轴平行 的半球面的轴平行， 例：设均匀电场 E 和半径为 的半球面的轴平行， 计算通过半球面的电通量。 计算通过半球面的电通量。
v v Q∑qi = 0 ∴Φe = ∫ E ⋅ dS = 0
q'1
q1 q2 qn
S
合场强： 合场强：
v v v v E = (E1 + E2 + ......En ) + v v v (E'1 +E'2 +......E'n )
q'2
q'n
q'1
q1 q2 qn
S
通过S的电通量为： 通过 的电通量为： 的电通量为
q'2
v v φe = ∫s E .dS q'n v v v v v v = ∫ E1 .dS + ∫ E 2 .dS + ......∫ E n .dS + s s s v v v v v v ∫ E '1 .dS + ∫ E '2 .dS + ......∫ E 'n .dS
S
=∫
S
q 4πε0r
dS = 2
∫ dS
S
=
q
ε0
与球面半径无关，即以点电荷q为中心的任一球面， 与球面半径无关，即以点电荷q为中心的任一球面， 不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。 不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。
（2） 点电荷 位于任意闭合 ） 点电荷q 曲面S 曲面 ´内
s′
S
dΦ e E= dS ⊥
S
ds
n θ
E
S为任意闭合曲面 为任意闭合曲面 为任意闭合
v v Φe = ∫ E cosθdS = ∫ E ⋅ dS
S
θ
ds
E
v v 定义： dS = dS n 定义：
S
S
θ
n
n
v n 对于闭合曲面， 对于闭合曲面， 取外法向为正
v n 对于闭合曲面， 对于闭合曲面， 取外法向为正
r r 1 数学表达式： 数学表达式： Φe = ∫ E ⋅ dS =
s
ε0
∑q
S内
i
1、高斯定理的引出
(A) 对于孤立点电荷 q
（1） 点电荷 位于球面 的球心 ） 点电荷q 位于球面S
v v Φe = ∫ E ⋅ dS = ∫S
S
q 4πε0r
q 4πε0r
2
v v r ⋅ dS 2 0
r
⊕
q
{ {
}
s
s
s
}
∑q
S内 i
1 q1 q2 qn = + + ...... + (0 + 0 + ...... + 0) = ε ε0 ε0 ε0 0
也即： 也即： e = ∫ E ⋅ d S = Φ
s
∑q
i
i
ε0
3、高斯定理的理解 、
r r 1 Φe = ∫ E ⋅ dS =
v 垂直平面 均匀电场 ，E 垂直平面
Φ e = ES
S
r E
v 均匀电场 ， 与平面夹角 θ E
Φ e = ES cos θ
S
θ
r n
r E
v v = E⋅S
电场不均匀， 为任意曲 电场不均匀，S为任意曲 面 dΦe = EdS⊥ = EdScosθ
v v = E ⋅ dS Φe = ∫ dΦe = ∫ E cosθdS S S v v = ∫ E ⋅ dS
r r 1 对连续带电体： C. 对连续带电体： ∫ E ⋅ dS =
s
ε0
∫ dq
S
D.
高斯定理比库仑定律更普遍,不仅实用于电磁波, 高斯定理比库仑定律更普遍 不仅实用于电磁波 不仅实用于电磁波 而且实用于引力场等 而且实用于引力场等. 引力场
例题：.已知一高斯面所包围的体积内电荷代数 例题： 已知一高斯面所包围的体积内电荷代数 和∑q＝0，则可肯定： ＝ ，则可肯定： (A) 高斯面上各点场强均为零． 高斯面上各点场强均为零． (B) 穿过高斯面上每一面元的电场强度 通量均 为零． 为零． (C) 穿过整个高斯面的电场强度通量为零． 穿过整个高斯面的电场强度通量为零． (D) 以上说法都不对． 以上说法都不对．
电量
v E
R
∑qi = q
r
2
高斯定理
E4πr = q ε0
场强
高斯面
E=
q 4 0r πε
2
讨论: 讨论
1.象点电荷 象点电荷 2.E连续 连续. 连续
均匀带电球体电场强度分布曲线
E连续 连续
E
q 4πε0 R2
E= q 4 0r 2 πε
v E
R
qr E= 4πε0R3
ε
r
O
O
R
导体上的电荷分布在外表面,但等离子体和半导 说明: 导体上的电荷分布在外表面 但等离子体和半导 体内的电荷可以是体状分布的，称为带电球体 带电球体. 体内的电荷可以是体状分布的，称为带电球体
v v q Φe1 = ∫ E ⋅ d S =
S1
ε0
+q
S1 S2
−q
Φe 2 = 0
Φe3 =
−q
ε0
S3
六、高斯定理的应用
前提：求解的静电场必须具有一定的对称性 前提：求解的静电场必须具有一定的对称性
步骤: 步骤
球对称（球体，球面）； 球对称（球体，球面）； A、对称性分析 、 柱对称（无限长柱体，柱面）； 柱对称（无限长柱体，柱面）； 面对称（无限大平板，平面）。 面对称（无限大平板，平面）。 B、根据对称性选择合适的高斯面； 、根据对称性选择合适的高斯面； C、应用高斯定理计算. 、应用高斯定理计算
r
ΦeS′ = ΦeS =
q
⊕
q
ε0
S
（3） 点电荷 位于任意闭合 ） 点电荷q 曲面S''以 曲面 以外
Φes′′ = 0
S′′
q⊕
小结： 小结：
当真空中只有一个点电荷时
r r 1 Φe = ∫ E ⋅ dS =
s
ε0
∑q
S内
i
(B) 对于任意的点电荷系
闭合曲面内包围点电荷： 闭合曲面内包围点电荷：q1,q2,….qn .q 单独存在时产生的对应场强： 单独存在时产生的对应场强：E1,E2,……En E 闭合曲面外包含点电荷： ,q’ ,,….q .q’ 闭合曲面外包含点电荷：q’1,q 2,, .q n, 单独存在时产生的对应场强： ,E’ 单独存在时产生的对应场强：E’1,E 2,……E’n E
穿出为正 穿入为负
课堂练习 求均匀电场中一半球面的电通量。 求均匀电场中一半球面的电通量
r n
r n
O
r E
S1
r n
v v ΦS1 = ∫ E ⋅ dS
S1
R
S2
r n
= E⋅ S2 ⋅ 2 = EπR
五、高斯定理
在真空中， 在真空中，通过任一闭 合曲面S的电通量 合曲面 的电通量Φe ,等于 等于 该闭合曲面所包围的所有 电荷的代数和除以ε0 .
1 E∝ 2 r
1 E∝ 1 r
3.线电荷 4.面电荷
λ E= 2πε a πε 0
E=
1 E∝ 0 r
σ 2 0 ε
例3 无限长均匀带电直线的电场强度
二、 电力线的性质： 电力线的性质：
r Eb
r Ea r Ec
b
a
c
r E
★ 1、不闭合，不中断 、不闭合，不中断; 起于正电荷、止于负电荷； 起于正电荷、止于负电荷； ★ 2、任何两条电力线不相交。 、任何两条电力线不相交。
三、电力线密度与电场强度的数量关系： 电力线密度与电场强度的数量关系： 的数量关系
s
r A. E 是闭合面各面元处的电场强度，是由全部电荷 是闭合面各面元处的电场强度，