2020年中考数学二轮复习题型突破二平移旋转折叠问题

在 Rt△OAM 中,利用含 30°角的直角三角形的性质求出 OM=1，AM= 3 ，从而求得
点 A 的坐标为（1， 3 ），直线 OA 的解析式为 y= 3 x,当 x=3 时，y=3 3 ,所以 点 A′的坐标为（3，3 3 ），所以点 A′是由点 A 向右平移 2 个单位，向上平移 23 个单位后得到的，于是得点 B′的坐标为（4,2 3 ）. 【答案】（4,23）
点．
如图 3，当∠DOP＝45°时， DA 'Q 的长为 1 2 1= ．
8
4
图2
图3
例 12、函数图象：如图，直线 l 与半径为 4 的⊙O 相切于点 A，P 是⊙O
上一个动点（不与点 A 重合），过点 P 作 PB⊥l，垂足为 B，联结 PA．设
PA＝x，PB＝y，则(x－y)的最大值是_____．
与 DE 垂直,因为 DE∥BC，所以 AF 与 BC 垂直,且 AM=MF,可以证明点 D，E 分别是 AB,AC 的中
点,即 DE 是△ABC 的中位线,所以②DE= 1 BC 是正确的；由于折叠是轴对称变换知
2
AD=DF,AE=EF,所以 DA=DB=DF,所以①△BDF 是等腰三角形是正确的；因 DG∥AF∥EH,所以
②如图 3，当 EA＝EM 时， 5 EA 1．解得 x＝1． 6 x ME
③如图 4，当 MA＝ME 时，△MEA∽△ABC．所以 EA 6 5 ．解得 x＝ 11 ．
ME 5 6 x
6
图2
图3
图4
例 10、四边形：如图，矩形 ABCD 中，AB＝ 8， BC＝ 4．点 E 在边 AB 上，点 F 在边 CD
AP PB
xy
8
因此 x y x 1 x2 1 (x 4)2 2 ．
8
8
所以当 x＝4 时，x－y 最大，最大值为 2．
图2
图3
例 13、.如图所示,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠BAC=60°,AB=8.半径为 3 的⊙M 与射线 BA
Q 走过的路径长为__________．
A.
4
【答案】 A．
B.
2
C.
6
D.
3
【解析】思路如下：
拖动点 P 在圆周上运动一周，可以体验到，当点 P 沿着圆周转过 45°时，点 Q 走过的
路径是圆心角为 45°半径为 1 的一段弧．
如图 2，四边形 PMON 是矩形，对角线 MN 与 OP 互相平分且相等，因此点 Q 是 OP 的中
例 4、在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,∠B=30°,线段 AD 是 BC 边上的中线,如图 1,将△ADC 沿 直线 BC 平移,使点 D 与点 C 重合,得到△FCE,如图 2,再将△FCE 绕点 C 顺时针旋转,设旋转 角为 α(0°＜α≤90°),连接 AF,DE．
(1)在旋转过程中,当∠ACE=150°时,求旋转角 α 的度数； (2)探究旋转过程中四边形 ADEF 能形成哪些特殊四边形？请说明理由． 【解析】(1)由题意分析可知此问需分两种情况讨论：①点 E 和点 D 在直线 AC 两侧；②点 E 和点 D 在直线 AC 同侧；(2)在旋转过程中,总是存在 AC=CE,DC=CE.由图形的对称性可知, 将会出现两种对角线相等的特殊四边形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋转的性质,较易证 明． 【答案】：(1)在图 1 中,∵∠BAC=90°,∠B=30°,
∠BDG=∠DAM,又因为 DG 是等腰三角形 BDF 的高,所以∠BDF=2∠DAM,同 理 ∠CEF = 2
∠EAM, 所以 ④∠BDF+∠FEC=2∠A 是正确的；如图显然四边形 ADFE 不是菱形,③是错误
的．
【答案】C
例 2、下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ).
【解析】把一个图形沿着某一条直线折叠,如果直线两旁的部分能互相重合,那么这个图形
由△AMF∽△FNE，得 AM
FN
5
，即
5
5
．解得 m＝ 3 5 ．
MF NE
10 5 5 m
例 8、图形的旋转：如图，已知 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AC＝6，BC＝4，将△ABC 绕直
角顶点 C 顺时针旋转 90°得到△DEC，若点 F 是 DE 的中点，连接 AF，则 AF=
．
【答案】 5． 【解析】思路如下：
如图，作 FH⊥AC 于 H． 由于 F 是 ED 的中点，所以 HF 是△ECD 的中位线，所以 HF＝3． 由于 AE＝AC－EC＝6－4＝2，EH＝2，所以 AH＝4．所以 AF＝5． 例 9、三角形： 如图，△ABC≌△DEF（点 A、B 分别与点 D、E 对应）， AB＝AC＝5，BC＝6．△ABC 固定不动，△DEF 运动，并满足点 E 在 BC 边从 B 向 C 移动（点 E 不与 B、C 重合），DE 始终经过点 A，EF 与 AC 边交于点 M，当△AEM 是等腰三角形时， BE＝_________． 【答案】 11 或 1
【答案】B
例 3、如图，在平面直角坐标系中，正三角形 OAB 的顶点 B 的坐标为（2，0），
点 A 在第一象限内，将△OAB 沿直线 OA 的方向平移至△O′A′B′的位置，
此时点 A′的横坐标为 3，则点 B′的坐标为
.
【解析】作 AM⊥x 轴于点 M.根据等边三角形的性质得 OA=OB=2，∠AOB=60°，
上， 点 G、H 在对角线 AC 上．若四边形 EGFH 是菱形，则 AE 的长是（ ）．
A． 2 5
B． 3 5
C．5
D．6
【答案】C． 【解析】思路如下：
拖动点 E 在 AB 上运动，可以体验到，当 EF 与 AC 垂直时，四边形 EGFH 是菱形（如图 2）．
如图 3，在 Rt△ABC 中，AB＝ 8， BC＝ 4，所以 AC＝ 4 5 ．
3
（2）如果 AM=1，sin∠DMF= ，求 AB 的长.
5
【解析】（1）由矩形的性质得∠A=∠B=∠C=90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得 ∠BPQ=∠AMP=∠DQC，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD；（2）先证明 MD=MQ，然后根据 sin∠DMF= DF 3 DFMD=35，设 DF=3x，MD=5x，再分别表示出 AP，BP，BQ，根据△AMP∽△
是轴对称图形； 把一个平面图形绕某一点旋转 180°,如果旋转后的图形能和原图形互相
重合,那么这个图形叫做中心对称图形.对照定义,可知 A 是轴对称图形,且有 1 条对称轴,但
不是中心对称图形；B 是中心对称图形,不是轴对称图形；C 是轴对称图形,有 1 条对称轴,
但不是中心对称图形；D 既是中心对称图形又是轴对称图形,有 4 条对称轴．
∴∠ACE=∠BAC+∠B=120°． 如图 2,当点 E 和点 D 在直线 AC 两侧时,由于∠ACE=150°, ∴α=150°-120°=30°.当点 E 和点 D 在直线 AC 同侧时, 由于∠ACB=180°-∠BAC-∠B=60°,∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=150°-60°=90°. ∴α=180°-∠DCE=90°.∴旋转角 α 为 30°或 90°; (2)四边形 ADEF 能形成等腰梯形和矩形． ∵∠BAC=90°,∠B=30°,∴AC= 1 BC．
【答案】 2．
【解析】思路如下：
拖动点 P 在圆上运动一周，可以体验到，AF 的长可以表示 x－y，点 F 的轨迹象两叶新
树丫，当 AF 最大时，OF 与 AF 垂直（如图 2）．
如图 3，AC 为⊙O 的直径，联结 PC．
由△ACP∽△PAB，得 AC PA ，即 8 x ．所以 y 1 x2 ．
2
又∵AD 是 BC 边上的中线,∴AD=DC= 1 BC=AC.∴△ADC 为正三角形．
2
①当 α=60°时,如图 3,∠ACE=120°+60°=180°. ∵CA=CE=CD=CF,
∴四边形 ADEF 为矩形． ②当 α≠60°时,∠ACF≠120°,∠DCE=360°-60°-60°-∠ACF≠120°． 显然 DE≠AF．∵AC=CF,CD=CE, ∴2∠FAC+∠ACF=2∠CDE+∠DCE=180°. ∵∠ACF+∠DCE=360°-60°-60°=240°, ∴∠FAC+∠CDE=60°.∴∠DAF+∠ADE=120°+60°=180°.∴AF∥DE． 又∵DE≠AF,AD=EF,∴四边形 ADEF 为等腰梯形． 例 5、如图，矩形纸片 ABCD，将△AMP 和△BPQ 分别沿 PM 和 PQ 折叠（AP＞AM），点 A 和点 B 都与点 E 重合；再将△CQD 沿 DQ 折叠，点 C 落在线段 EQ 上的点 F 处. （1）判断△AMP，△BPQ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？
象限内，将△OAB 沿直线 OA 的方向平移至△O′B′A′的位置，此时点 A′的横坐标为 3，
则点 B′的坐标为（ ）． A．（4， 2 3 ） B．（3， 3 3 ）
C．（4， 3 3 ） D．（3， 2 3 ）
【答案】A 【解析】如图，当点 B 的坐标为（2, 0），点 A 的横坐标为 1．
当点 A'的横坐标为 3 时，等边三角形 A′OC 的边长为 6． 在 Rt△B′CD 中，B′C＝4，所以 DC＝2，B′D＝ 2 3 ．此时 B′ (4, 2 3) ． 例 7、图形的折叠：如图，在矩形 ABCD 中，AD＝15，点 E 在边 DC 上，联结 AE，△ADE 沿 直线 AE 翻折后点 D 落到点 F，过点 F 作 FG⊥AD，垂足为 G．如果 AD＝3GD，那么 DE＝_____．
【答案】 3 5 【解析】思路如下：
如图，过点 F 作 AD 的平行线交 AB 于 M，交 DC 于 N． 因为 AD＝15，当 AD＝3GD 时，MF＝AG＝10，FN＝GD＝5．