2018届高三下学期第四次模拟考试数学(理)试卷
2019年高考真题《不等式(理) 》Word版含解析
2019年高考真题《不等式》1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++．所以222111a b c a b c++≤++． （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24．所以333()()()24a b b c c a +++++≥．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥．所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞． （2）因为()=0f a ，所以1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----．所以，a 的取值范围是[1,)+∞．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=． （1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值； （2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-． 【答案】（1）43；（2）见详解． 【解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥， 当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立． 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立． 因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型． 4．【2019年高考江苏卷数学】设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -．【答案】1{|1}3x x x <->或．【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <13-； 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1． 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或．【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力． 5．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】设函数()333()442f x x x g x x a x =-+-=-++，．（1）解不等式()10f x >；（2）若对于任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得12()()f x g x =成立，试求实数a 的取值范围． 【答案】（1）4x >或1x <-；（2）40a -≤≤【解析】（1）不等式等价于34610x x >⎧⎨->⎩或13210x x ≤≤⎧⎨>⎩或36410x x <⎧⎨->⎩解得4x >或1x <-．（2）对任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得12()=()f x g x 成立，即()g x 的值域包含()f x 的值域．46,3()3332,1364,1x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪-<⎩，由图可得1x =时，min ()2f x =，所以()f x 的值域为[2,)+∞．()442(4)(42)2g x x a x x a x a =-++≥--+=+，当且仅当4x a -与42x +异号时取等号，所以()g x 的值域为[2,)a ++∞，由题[2,)+∞⊆[2,)a ++∞，所以22a +≤，解得40a -≤≤．【点睛】本题考查绝对值函数和用绝对值不等式求绝对值函数中参数的范围，是常见考题．6．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】已知函数()2f x ax =-，不等式()4f x ≤的解集为{}|26x x -≤≤． （1）求实数a 的值；（2）设()()(3)g x f x f x =++，若存在x ∈R ，使()2g x tx -≤成立，求实数t 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）1(,1][,)2t ∈-∞-+∞．【解析】（1）由42ax -≤得－4≤2ax -≤4，即－2≤ax ≤6，当a >0时，26x a a -≤≤，所以2266a a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a ＝1；当a <0时，62x a a ≤≤-，所以6226a a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，无解．所以实数a 的值为1．（2）由已知()()(3)g x f x f x =++＝|x ＋1|＋|x －2|＝()()()211312212x x x x x -+≤-⎧⎪-<<⎨⎪-≥⎩，不等式g （x ）－tx ≤2转化成g （x ）≤tx ＋2，由题意知函数()g x 的图象与直线y ＝tx ＋2相交，作出对应图象，由图得，当t <0时，t ≤k AM ；当t >0时，t ≥k BM ， 又因为k AM ＝－1，12BM k =， 所以t ≤－1或12t ≥， 即t ∈（－∞，－1]∪[12，＋∞）． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及分类思想、方程思想，还考查了思想结合思想及转化能力，考查了作图能力及计算能力，属于中档题．7．【安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学】设函数()|1|f x x =+． （1）若+2>2f x x （），求实数x 的取值范围；（2）设=+>1g x f x f ax a （）（）（）（），若g x （）的最小值为12，求a 的值． 【答案】（1）13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；（2）2a =． 【解析】（1）()22f x x +>，即1>22x x+-⇔101>22x x x +≥⎧⎨+-⎩或10122x x x+<⎧⎨-->-⎩13x ⇔>， ∴实数x 的取值范围是13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． （2）∵1a >，∴11a -<-，∴()()()()()121111112a x x g x a x x a a x x a ⎧⎪-+-∈-∞-⎪⎪⎡⎤=-∈--⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫++∈-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩，，，，，，， 易知函数()g x 在1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递减，在1a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增， ∴()min 111g x g a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭． ∴1112a -=，解得2a =． 【点睛】本道题考查了含绝对值不等式的解法，考查了结合单调性计算函数最值，关键得到函数解析式，难度中等．8．【河南省中原名校（即豫南九校）2018届高三第六次质量考评理科数学】已知函数21f x x a g x x =+=-（），（）．（1）若2f x g x +（）（）的最小值为1，求实数a 的值； （2）若关于x 的不等式1f x g x +<（）（）的解集包含112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，求实数a 的取值范围．【答案】（1）8a =-或4．（2）312⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【解析】（1）当1b =时，()()1|||1||1||1|2222a a af xg x x x x x +=-++≥---=+， 因为()()12f xg x +的最小值为3，所以132a +=，解得8a =-或4．（2）当1b =-时，()()1f x g x +<即211x a x -+-<，当112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，211x a x -+-<2112x a x x a x ⇔-+-<⇔-<，即3ax a <<， 因为不等式()()1f x g x +<的解集包含112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以1a >且132a <， 即312a <<，故实数a 的取值范围是312⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查不等式的解法及不等式的性质，考查转化思想以及计算能力． 9．【河南省顶级名校2019届高三质量测评数学】已知函数()121f x x x =++-． （1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对12x x ∀∈∃∈R R ，，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}|01x x ≤≤；（2）1544⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．【解析】（1）不等式等价于132x x x ≤-⎧⎨-≤+⎩或11222x x x ⎧-<≤⎪⎨⎪-+≤+⎩或1232x x x >≤+⎧⎪⎨⎪⎩， 解得x φ∈或102x ≤≤或112x <≤， 所以不等式2f x x ≤+（）的解集为{}|01x x ≤≤．（2）由311()212132x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩，，，知，当12x =时，min 13()()22f x f ==， 323121g x x m x m ≥---=-（）（）（），当且仅当(32)(31)0x m x --≤时取等号，所以3212m -≤，解得1544m -≤≤．故实数m 的取值范围是1544⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． 【点睛】本题考查方程有解问题，考查不等式的解法，考查转化思想以及计算能力． 10．【吉林省吉大附中2018届高三第四次模拟考试数学（理）试卷】已知函数()f x x a =-．（1）当2a =-时，解不等式()1621f x x ≥--；（2）若关于x 的不等式()1f x ≤的解集为[0,2]，求证：()(2)2f x f x ++≥． 【答案】（1）17{|3x x ≤-或5}x ≥（2）见解析 【解析】（1）当2a =-时，不等式为22116x x ++-≥， 当2x ≤-时，原不等式可化为22116x x ---+≥，解得173x ≤-， 当122x -<≤时，原等式可化为22116x x +-+≥，解得13x ≤-，不满足，舍去； 当12x >时，原不等式可化为22116x x ++-≥，解得5x ≥； 不等式的解集为17{|3x x ≤-或5}x ≥．（2）()1f x ≤即1x a -≤，解得11a x a -≤≤+，而()1f x ≤解集是[]02，，所以1012a a -=⎧⎨+=⎩，解得1a =，从而()1f x x =-． 于是只需证明()(2)2f x f x ++≥， 即证112x x -++≥，因为111x x x -++=-1112x x x ++≥-++= 所以112x x -++≥，证毕．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和证明，主要注意先确定参数的值，进而对定义域进行分类讨论，确定解所在的区间，属于中档题．11．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】设函数()2f x x x a =--+．（1）当1a =时，求不等式()2f x <-的解集；（2）当x y ∈R ，时，2()()2()f y f x f y -+≤≤+，求a 的取值范围． 【答案】（1）3{|}2x x >；（2）[]31--，【解析】（1）当a =1时，31()121232x f x x x x ≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪->⎩，，，， 可得()2f x <-的解集为3{|}2x x >； （2）当x y ∈R ，时，[][]ma min 2()()2()()()2()()2x f y f x f y f x f y f x f x -+≤≤+⇔-≤⇔-≤，因为()()222x x a x x a a --+≤--+=+， 所以()222a a +--+≤． 所以21a +≤，所以31a -≤≤-． 所以a 的取值范围是[–3，–1]．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用． 12．【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试数学】已知函数2f x x =-（）．（1）求不等式1f x x x <++（）的解集；（2）若函数()2log 32f x f x f x a ⎡⎤=++-⎣⎦（）（）的定义域为R ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，；（2）32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，．【解析】（1）由已知不等式()1f x x x <++，得21x x x -<++， 当2x >时，绝对值不等式可化为21x x x -<++，解得3x >-，所以2x >； 当12x -≤≤时，绝对值不等式可化为21x x x -<++，解得13x >，所以123x <≤； 当1x <-时，由21x x x -<--得3x >，此时无解． 综上可得所求不等式的解集为13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，．（2）要使函数()()2log 32y f x f x a ⎡⎤=++-⎣⎦的定义域为R ， 只需()()()32g x f x f x a =++-的最小值大于0即可．又()12212232g x x x a x x a a =++--≥+-+-=-，当且仅当[]12x ∈-，时取等号． 所以只需320a ->，即32a <． 所以实数a 的取值范围是32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，． 【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．13．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学】已知函数()211f x x x =-++．（1）解不等式()3f x ≥；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若,,a b c 均为正实数，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值．【答案】（1）{}11x x x ≤-≥或；（2）914．【解析】（1）由题意，3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，所以()3f x ≥等价于133x x ≤-⎧⎨-≥⎩或11223x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≥⎩或1233x x ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩．解得1x ≤-或1x ≥，所以不等式的解集为{}11x x x ≤-≥或； （2）由（1）可知，当12x =时，()f x 取得最小值32， 所以32m =，即233a b c ++=， 由柯西不等式得2222222()(123)(23)9a b c a b c ++++≥++=， 整理得222914a b c ++≥， 当且仅当123a b c ==时，即369,,141414a b c ===时等号成立． 所以222a b c ++的最小值为914．【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及柯西不等式的应用，熟记不等式解法以及柯西不等式即可，属于常考题型．14．【四川省成都市第七中学2019届高三二诊模拟考试数学】已知000a b c >>>，，设函数f x x b x c a x =-+++∈R （），．（1）若1a b c ===，求不等式5f x <（）的解集； （2）若函数f x （）的最小值为1，证明：14918a b c a b b c c a++≥+++++（）． 【答案】（1）(2,2)-；（2）详见解析．【解析】（1）1a b c ===，不等式()5f x <，即|1||1|4x x -++<， 当1x ≤-时，11421x x x ---<⇒-<≤-， 当11x -<<时，11411x x x -+-<⇒-<<， 当1x ≥时，11412x x x -++<⇒≤<，∴解集为(2,2)-；（2）()f x x b x c a =-+++x c x b a ≥+--+（）（）b c a =++，∵000a b c >>>，，，∴min ()1f x a b c =++=， ∴149a b b c c a ++=+++149a b b c c a ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭a b c ++（） 11492a b b c c a ⎛⎫=++ ⎪+++⎝⎭a b b c a c +++++（）22212⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦222⎡⎤++⎣⎦212≥1818a b c ==++（）． 【点睛】考查了含绝对值不等式的解法，考查了基本不等式，考查了不等式的证明，难度中等偏难．15．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】已知函数()21f x x x =-+，且a b c ∈R ，，． （1）若1a b c ++=，求()()()f a f b f c ++的最小值；（2）若1x a -<，求证：()()()21f x f a a -<+．【答案】（1）73；（2）见解析 【解析】（1）由柯西不等式得，()22221433a b c a b c ++≥++=（当且仅当23a b c ===时取等号），所以()()()()()222473133f a f b f c a b c a b c ++=++-+++≥+=， 即()()()f a f b f c ==的最小值为73； （2）因为1x a -<，所以()()()()22•11f x f a x a x a x a x a x a -=---=-+-<+-()()()()212112121x a a x a a a a =-+-≤-+-<++=+，故结论成立．【点睛】本题考查了利用柯西不等式求最值，考查了利用绝对值三角不等式证明的问题，属于中等题．16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】已知函数()25f x x a x =-+，其中实数0a >．（1）当3a =时，求不等式()51f x x ≥+的解集；（2）若不等式()0f x ≤的解集为{|1}x x ≤-，求a 的值．【答案】（1）不等式()51f x x ≥+的解集为{|12}x x x ≤≥或；（2）3a =【解析】（1）当3a =时，()51f x x ≥+可化为231x -≥，由此可得1x ≤或2x ≥，故不等式()51f x x ≥+的解集为{|12}x x x ≤≥或；（2）法一：（从去绝对值的角度考虑）由()0f x ≤，得25x a x -≤-， 此不等式化等价于2250a x x a x ⎧≥⎪⎨⎪-+≤⎩或()2250a x x a x ⎧<⎪⎨⎪--+≤⎩， 解得27a x a x ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或23a x a x ⎧<⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩， 因为0a >，所以不等式组的解集为{|}3ax x ≤-， 由题设可得13a -=-，故3a =． 法二：（从等价转化角度考虑）由()0f x ≤，得25x a x -≤-，此不等式化等价于525x x a x ≤-≤-，即为不等式组5225x x a x a x ≤-⎧⎨-≤-⎩，解得37a x a x ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩， 因为0a >，所以不等式组的解集为{|}3a x x ≤-， 由题设可得13a -=-，故3a =． 法三：（从不等式与方程的关系角度突破）因为{|1}x x ≤-是不等式()0f x ≤的解集，所以1x =-是方程()0f x =的根，把1x =-代入250x a x -+=得37a a ==-或，因为0a >，所以3a =．【点睛】本题考查解绝对值不等式，不等式问题中求参数范围的问题，难度较小．17．【广东省揭阳市2019届高三高考二模数学】已知正实数x ，y 满足x +y =1．（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211(1)(19x y --≥）． 【答案】（1）1[16，）．（2）见解析． 【解析】（1）∵1x y +=，且0x >，0y >， ∴0152522212x x y x y x x <<⎧⎪++-≤⇔⎨-+-≤⎪⎩， 01011112121222x x x x x x x <<<<⎧⎧⎪⎪⇔⇔⎨⎨-≤+-+≤-≤+⎪⎪⎩⎩（）， 解得116x ≤<，所以不等式的解集为1[16，）． （2）解法1：∵1x y +=，且00x y >>，， ∴2222222211()()(1)(1)x y x x y y x y x y+-+---=⋅ 222222xy y xy x x y ++=⋅222222()()y y x x x x y y =++225x y y x =++59≥=． 当且仅当12x y ==时，等号成立． 解法2：∵1x y +=，且00x y >>，， ∴2222221111(1)(1)x y x y x y----=⋅ 22(1)(1)(1)(1)x x y y x y +-+-=⋅22(1)(1)x y y x x y ++=⋅1x y xy xy+++=21xy =+2219()2x y ≥+=+，当且仅当12x y ==时，等号成立． 【点睛】主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用，属于中档题．对于绝对值不等式的求解，主要运用零点分段法，也可以运用图像法．而不等式的证明，关键是灵活运用不等式的性质以及基本不等式．。
【2018新课标-全国通用】最新高考总复习数学(理)下学期第四次高考模拟试题及答案解析
2018届高三四模考试数学（理科）试卷一、选择题（每小题只有一个答案符合题意，每小题5分，共60分）1、设集合A={}2|4,x x > B={}2|230x x x +-< ，则A ∩B=（）A.RB.(2,3)C.(-3,-2)D.(-3,-2)∪(2,+∞) 2、已知i 为虚数单位，（2+i ）z =1+2i ，则z 的共轭复数z =( )A.4355i + B. 4355i - C. 43i + D. 43i - 3、已知1cos()33πα+= ，则cos(2)3πα-=（ ）A. 79B.79- C.19 D.19-4、下列说法正确的是（ ）A ． 在ABC ∆中，AB <是sin sin A B <的充要条件B ． 0a b ⋅< 是 a 与b夹角为钝角的充要条件 C ． 若直线,a b ，平面,αβ满足,a ααβ⊥⊥，,b b αβ⊄⊄则a b ⊥能推出b β⊥ D. 在相关性检验中，当相关性系数r 满足||0.632r >时，才能求回归直线方程5、设,x y 满足约束条件202400x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则3x+2y 的最大值为（ ）A.-1B.4C.223D.86、若输出的i=5,则k 的最小正整数值为（ ） A.88 B.89 C.8095 D.80967、已知1，2，3，4，5，6， 六个数字，排成2行3列，且要求第一行的最大数比第二行的最大数要大，第一行的最小数要比第二行的最小数也要大，则所有的排列方法种数有（ ）A. 144B.480C.216D.432 8、一个三棱锥的三视图如图所示，主视图和俯视图为全等的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（ ） A.112B.16C.14D.139、已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，过P 作y 轴的垂线，垂足为M ，若||4,PF = 则PFM ∆的面积为（ ） A.33 B. 43 C. 6 D. 810、已知函数(1)f x +为定义在R 上的偶函数，且当()f x 在[)1,+∞上为增函数，若0.10.1,21,12a b -=-=-，则()f a 与()f b 的大小关系为（）A. ()f a >()f bB. ()f a <()f bC. ()f a =()f bD. ()f a 与()f b 的大小不确定11、三棱锥S-ABC 中，平面SBC ⊥平面ABC ，若SB=SC ，AB=AC=1且∠BAC=120︒,SA 与底面ABC 所成角为60︒,则三棱锥S-ABC 的外接球的表面积为（） A. 2π B.3π C. 4π D.5π12、已知函数()ln 1xf x e mx ex x =--+，且定义域为(]0,e ，若函数()f x 在定义域内有两个极值点，则m 的取值范围为（）A.0,2e e e ⎡⎤-⎣⎦B. (0,2e e e ⎤-⎦C.()0,2e e e - D. ()2,ee e -+∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知等边ABC ∆的边长为2，M 为AC 中点，N 为BC 中点，AN BM ⋅=___________14、已知函数()sin cos f x a x b x =+ ，若()()4f x f π≤对x R ∈恒成立，则()f x 的单调递增区间为_________________ ()k Z ∈15、已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的左右焦点分别记为12,F F ,若P 为双曲线的渐近线上一点，若1212||||PF PF PF PF +=-,且2||PF a =（a 为实半轴长），求双曲线的离心率____________ 16、在曲线xy=1上，横坐标为1n n +的点为n A ，纵坐标为1nn +的点为n B ，记坐标为 （1，1）的点为M ，n P (,)n n x y 是n n A B M ∆的外心，n T 是{}n x 的前n 项和，则n T =_______________三、解答题（本大题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17、已知{}n a 的前n 项和为n S ,且1321n n S S n +=++ ，11a =， （1）求n a （2）若(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T18、在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等边三角形，且12AA AB =，D 、M 分别为AB ，1CC 的中点，求证：（1）CD 平面1A BM（2）求二面角1A BM D --的大小的余弦值B 1DMC 1BACA 1第18题图19、2015年2月27日，中央全面深化改革小组审议通过了《中国足球改革总体方案》，中国足球的崛起指日可待！已知有甲、乙、丙三支足球队，每两支球队要进行一场比赛，比赛之间相互独立.（1）若甲、乙、丙三支足球队实力相当，每两支球队比赛时，胜、平、负的概率均为13， 求甲队能保持不败的概率（2）若甲、乙两队实力相当，且优于丙，具体数据如下表若获胜一场积3分，平一场积1分，输一场积0分，记X 表示甲队的积分，求X 的分布列和数学期望20、已知椭圆C:22221(0,0)x y a b a b +=>>的离心率为22，左、右焦点分别为12,F F过1F 作不与x 轴重合的直线1l ，与椭圆C 交于,P Q 两点，若2PQF ∆的周长为42. （1） 求椭圆C 的标准方程（2） 过1F 作与直线1l 垂直的直线2l ，且2l 与椭圆C 交于点,N M 两点，求四边形PMQN 面积的取值范围甲胜乙 甲平乙 甲输乙 概率 1313 13甲胜丙 甲平丙 甲输丙 概率23 16 16乙胜丙 乙平丙 乙输丙概率23 16 16事件 概率事件 概率事件概率21、已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+-- ，a R ∈ （1）若0a =时，求()f x 在1x =处的切线（2）若函数()0f x > 对(1,)x ∀∈+∞恒成立. 求a 的取值范围（3）从编号为1到2015的2015个小球中，有放回地连续取16次小球 （每次取一球），记所取得的小球的号码互不相同的概率为p ，求证：12020111e p>请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 ( 22 ) 选修 4- l ：几何证明选讲己知△ABC 中，AB=AC , D 是△ABC 外接圆劣弧 AC 上的点（不与点A , C 重合），延长BD 至E 。
吉林省吉大附中2018届高三第四次模拟考试数学(理)试卷(精编含解析)
2017- 2018学年下学期高三年級第四次模拟考试数学(理)学科试卷第Ⅰ卷（客观题 60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）.1. 己知全集，集合，，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据补集的定义，可求出；根据交集定义即可求出。
详解：因为所以所以所以选B点睛：本题考查了集合交集、补集的基本运算，属于简单题。
2. 若复数，则( )A. 1B.C.D. 3【答案】C【解析】分析：利用共轭复数，求出，根据复数模的定义即可求出。
详解：所以所以选C点睛：本题考查了复数的综合运算、共轭复数和复数模的定义与应用，属于简单题。
3. 命题“若，则”的逆否命题是( )A. 若，则或B. 若，则C. 若或，则D. 若或，则【答案】D【解析】原命题“若则”的逆否命题为“若则”,所以命题“若，则”的逆否命题是若或，则故选．4. 设，向量，，且，则( )A. 0B. 1C. 2D. -2【答案】A【解析】分析：根据的垂直关系，可求出；根据的平行关系，可求出，进而求出的值。
详解：因为，所以因为，所以所以，所以所以选A点睛：本题考查了向量平行与垂直的坐标运算，主要是熟练正确记忆坐标间的关系，属于简单题。
5. 圆与圆的位置关系为( )A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离【答案】B【解析】试题分析：两圆的圆心距为，半径分别为，，所以两圆相交．故选C．考点：圆与圆的位置关系．视频6. 设为不重合的平面，为不重合的直线，则下列命题正确的是( )A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】对于A，,时，若，则，但题目中无条件，故A也不一定成立；对于B，,.显然不成立；对于C，由面面平行的判定，一个面经过另一个面的垂线，仅有不能得到或，故不正确．对于D，，则，又，则，结论成立；故选D7. 设是一个正整数，已知的展开式中第四项的系数为，函数与的图象所围成的区域如图中阴影部分所示，任取，，则点恰好落在阴影部分内的概率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据题意得解得：k=4或（舍去），解方程组，解得：x=0或4∴阴影部分的面积为，，所以点（x,y)恰好落在阴影区域内的概率为. 考点：1.二项式定理；2.几何概型.8. 为培养学生分组合作能力，现将某班分成三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组.某次数学建模考试中三人成绩情况如下:在组中的那位的成绩与甲不一样，在组中的那位的成绩比丙低，在组中的那位的成绩比乙低.若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是( ) A. 甲、丙、乙 B. 乙、丙、甲 C. 乙、丙、甲 D. 丙、乙、甲【答案】C【解析】因为在组中的那位的成绩与甲不一样，在组中的那位的成绩比乙低．所以甲、乙都不在B 组，所以丙在B组. 假设甲在A组，乙在C组，由题得甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序是乙、丙、甲.假设甲在C组，乙在A组，由题得矛盾，所以排序正确的是乙、丙、甲.故选C.9. 在如下图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是，，，，给出编号①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A. ①和②B. ③和①C. ④和③D. ④和②【答案】D【解析】10. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：从程序框图可以看出，输入的函数是奇函数且有零点，则即可输出该函数．因此答案等价于判断哪个函数是奇函数且有零点．假设输入答案A中的函数，显然A中函数为奇函数，但没有零点，所以不能输出函数；答案B中的函数是奇函数且存在零点0，所以输出函数为．故选B．同理答案C、D不符合题意．故选B．考点：•程序框图的应用；‚函数的奇偶性；ƒ函数的零点问题．【易错点睛】对于程序框图问题，多属于容易题目．问题多出在：没看清判断框中的条件，从而导致出错，特别是题目是填写判断框中的语句，对于变量是否取等号的问题，最易出错，望同学们能细心．11. 抛物线的焦点与双曲线右焦点重合，又为两曲线的一个公共交点，且，则双曲线的实轴长为( )A. 1B. 2C.D. 6【答案】B【解析】分析：根据抛物线定义和线段关系，先求出P点坐标，再代入双曲线方程，得到的关系；根据公共焦点，得出c的值；根据双曲线中；联立方程组，即可求出的值。
河北省武邑中学2018届高三下学期第四次模拟考试数学理试题 含答案 精品
河北省武邑中学2018届高三下学期第四次模拟考试数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}(){}2230,ln 2A x x x B x y x =--<==-，则A B ⋂=（ ） A ．{}13x x -<< B ．{}12x x -<< C.{}3x x -<<2D ．{}12x x <<2.若复数z 满足()211z i i +=-，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列函数中，既是偶函数，又在区间[]0,1上单调递增的是（ ）A ．cos y x =B ．2y x =- C. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．sin y x =4.设等差数列{}n a 的前项和为n S ，若4520,10S a ==，则16a =（ ） A ．32- B ．12 C. 16 D ．325. 已知向量()()1,1,24,2a a b =+=，则向量,a b 的夹角的余弦值为（ ） A．D． 6.在平面区域(),02y x M x y x x y ⎧≥⎧⎫⎪⎪⎪=≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≤⎩⎭⎩内随机取一点P ，则点P 在圆222x y +=内部的概率（ ） A ．8π B ．4π C. 2π D ．34π7.设34:02x x p x -≤，()22:210q x m x m m -+++≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[]2,1-B ．[]3,1- C.[)(]2,00,1-⋃ D ．[)(]2,10,1--⋃ 8.已知曲线()322f x x x x =--在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则α的值为（ ）A ．85B ．45- C.43 D ．23-9.已知偶函数2f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()13s i n f x x x =+，设()()()1,2,3a f b f c f ===，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a << C.c b a << D ．c a b <<10.已知两点()()(),0,,00A a B a a ->，若曲线22230x y y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(]0,3B ．[]1,3 C.[]2,3 D ．[]1,2 11.已知函数()()()sin 0,0,xx f x a R a ωϕωϕππ+=><<∈，在[]3,3-的大致图象如图所示，则aω可取（ ）A ．2πB ．π C.2π D ．4π 12.已知()()22l o g 1,131235,322x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则()3412m m x x x x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的取值范围为（ ）A ．()0,10B ．[]0,10 C. ()0,4 D ．[]0,4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知cos θ=，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2θ= ． 14.已知实数,x y 满足02,04,2,x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤⎩则2x y -的最大值为 ．15.若函数()f x 具备以下两个条件：（1）至少有一条对称轴或一个对称中心；（2）至少有两个零点，则称这样的函数为“多元素”函数，下列函数中为“多元素”函数的是 ． ①223y x x =--；②210x x y e e -=+-；③3232y x x =-+；④121x y =+.16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，6b =，且22cos ac B a b =-+，O 为ABC ∆内一点，且满足0,30OA OB OC BAO ++=∠=︒，则OA = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2） 求数列72n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.从某校高三的学生中随机抽取了100名学生，统计了某次数学模考考试成绩如表：（1）请在频率分布表中的①、②位置上填上相应的数据，并在给定的坐标系中作出这些数据的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这100名学生的平均成绩；（2）从这100名学生中，采用分层抽样的方法已抽取了 20名同学参加“希望杯数学竞赛”，现需要选取其中3名同学代表高三年级到外校交流，记这3名学生中“期中考试成绩低于120分”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.19.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，,DA DP BA BP ==.（1）求证：PA BD ⊥；（2）若,60,2DA DP ABP BA BP BD ⊥∠=︒===，求二面角D PC B --的正弦值.20.已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>，F 为左焦点，A 为上顶点，()2,0B 为右顶点，若2AF AB =，抛物线2C 的顶点在坐标原点，焦点为F .（1）求1C 的标准方程；（2）是否存在过F 点的直线，与1C 和2C 交点分别是,P Q 和,M N ，使得12OPQ OMN S S ∆∆=？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由. 21.已知函数()()22ln f x x x mx m R =+-∈.（1）若()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的取值范围； （2）若1752m <<，且()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，求()()12f x f x -的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a ty t =⎧⎨=⎩(t 为参数，0a >).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当a =P 到直线l 的距离的最大值； （2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲设函数()()2210f x x a x a =-++>，()2g x x =+ （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≤的解集； （2）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BCDDC 6-10: BBDAB 11、12：CD 二、填空题 13.4314. 3 15. ①②③ 16. 3 三、解答题17. 解：（1）当2n ≥时，()()221441152n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，当1n =时，113a S ==适合上式， ∴52n a n =-. （2）令17122n n n n a n b --+==， 所以23213451222222n n n n n T --+=++++++， 23112341222222n n nn n T -+=+++++， 两式相减得：211111222222n n nn n T -+=+++++111211212nn n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+-- 332nn +=-故362n nn T +=-. 18.（1）()100535301020-+++=，10.050.20.30.10.35----=. 频率分布表为:频率分布直方图为:平均成绩为1050.051150. 21250. 351350. 31450.1127++++=分.（2）成绩低于120分的人数为()200.050. 25+=人，不低于120分的人数为15人， ∴ξ的所有可能取值为0，1，2, 3，且()315320910228C P C ξ===，()1251532035176C C P C ξ===，()215153205238C C P C ξ===()3532013114C P C ξ===. ∴ξ的分布列为：∴9135513012322876281144E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 19.（1）设AB 中点为O ,连接,DO BO ,因为, DA DP BA BP ==, 所以,PA DO PA BO ⊥⊥,所以PA ⊥面BDO ,所以PA BD ⊥. （2）1,2BO DO BD ==， 222OB OD BD += OB OD ⊥,又由（1）,PA DO PA BO ⊥⊥以O 为原点,,OP OB OD 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系()()()()1,0,0,,0,0,1,1,0,1P B D BC AD ==平面PDC 法向量(),,m x y z =，(3,0n DP n n DC ⎧⋅=⎪⇒=-⎨⋅=⎪⎩平面PBC 法向量(),,n x y z =，(3,1,0n PB n n BC ⎧⋅=⎪⇒=⎨⋅=⎪⎩1cos ,7m nm n m n⋅==-，二面角大小正弦值为α=. 20.解：（12AF AB =，即=，由右顶点为()2,0B得2a =，解得23b =，所以1C 的标准方程为22143x y +=.（2）依题意可知2C 的方程为24y x =-，假设存在符合题意的直线， 设直线方程为1x ky =-，()()()()11223344,,,,,,,P x y Q x y M x y N x y ， 联立方程组221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690k y ky +--=，由韦达定理得12122269,3434k y y y y k k -+==++，则12y y -=， 联立方程组214x ky y x=-⎧⎨=-⎩，得2440y ky +-=，由韦达定理得34344,4y y k y y +=-=-，所以34y y -=若12OPQOMN S S ∆∆=，则123412y y y y -=-=k=， 所以存在符合题意的直线方程为10x y ++=或10x y +=.21.（1）()22ln f x x x mx =+-在()0,+∞增函数， 则()220f x x m x=+-≥在()0,+∞恒成立， 即()0,x ∀∈+∞，22m x x≤+ 因为224x x+≥得4m ≤ （2）()()222220x mx f x x m x x x -+=+-=>在1752m <<时，()f x 有两极值点()1212,x x x x <，则1212,12mx x x x +==，1201x x <<<且1112m x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭解得11142x << 由于211x x =则()()()()22121112222ln 2ln f x f x x mx x x mx x -=-+--+2112114ln x x x =-+令()21112114ln h x x x x =-+，()()221121210x h x x --'=<()()221121210x h x x --'=<，()1h x '在11,42⎛⎫⎪⎝⎭减函数()11115255,4ln 2,8ln 242416h x h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.22.解：（1）由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭)cos sin ρθρθ-=-)x y -=-l 的方程为40x y -+=，依题意，设(),2sin P t t ，则P 到直线l 的距离6d t π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，当26t k ππ+=，即2,6t k k Z ππ=-∈时，m a x d ==故点P 到直线l的距离的最大值为（2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，∴,cos 2sin 40t R a t t ∀∈-+>恒成立，即()4t ϕ+-(其中2tan aϕ=)4，又0a >，解得0a <<a的取值范围为(0,.23.解:（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≤即，21212x x x -++≤+等价于1242x x x ⎧≤-⎪⎨⎪-≤+⎩①或112222x x ⎧-<<⎪⎨⎪≤+⎩ ②，或1242x x x ⎧≥⎪⎨⎪≤+⎩③. 解①求得x 无解，解②求得102x ≤<，解③求得1223x ≤≤ 综上，不等式的解集为203x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. （2）由题意可得2212x a x x -++≥+恒成立,转化为22120x a x x -++--≥恒成立. 令()153,2122121,2231,2x a x a h x x a x x x a x a x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=-++--=-+--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩，()0a >，易得()h x 的最小值为12a -，令102a-≥，求得2a ≥.。
全国高考2018届高三仿真试卷(四)数学(理)试题
全国高考2018届高三仿真试卷（四）数学（理）试题本试题卷共14页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（本大题包括12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只．有一项．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．1. 已知集合，则集合中元素的个数为A. B. C. D.【答案】D本题选择D选项.2. 已知复数的实部和虚部相等，则A. B. C. D.【答案】D【解析】令,解得故．3. 已知是上的奇函数，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵函数f(x)是奇函数，∴若x1+x2=0，则x1=−x2，则f(x1)=f(−x2)=−f(x2)，即f(x1)+f(x2)=0成立，即充分性成立，若f(x)=0,满足f(x)是奇函数,当x1=x2=2时，满足f(x1)=f(x2)=0,此时满足f(x1)+f(x2)=0，但x1+x2=4≠0，即必要性不成立，故“x1+x2=0”是“f(x1)+f(x2)=0”的充分不必要条件，本题选择A选项.4. 在等比数列中，已知，则A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，解得：.本题选择B选项.5. 若,则直线必不经过A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】令x=0，得y=sinα<0，令y=0，得x=cosα>0，直线过(0,sinα)，(cosα,0)两点，因而直线不过第二象限。
(精)河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学(理)试卷(含答案)
河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合},06|{2N x x x x A ∈>++-=，}2,1,0,1{-=B ，则=B A （ ） A ．}2,1{ B ．}2,1,0{ C ．}1,0{ D ．}2,1,0,1{- 2．已知实数n m ,满足53)24)((+=-+i i ni m ，则=+n m （ ） A ．59 B ．511 C ．49 D ．4113．给出下列命题：①已知R b a ∈,，“1>a 且1>b ”是“1>ab ”的充分条件；②已知平面向量,，“1||,1||>>”是“1||>+”的必要不充分条件； ③已知R b a ∈,，“122≥+b a ”是“1||||≥+b a ”的充分不必要条件； ④命题p ：“R x ∈∃0，使100+≥x ex 且1ln 00-≤x x ”的否定为p ⌝：“R x ∈∀，都有1+<x e x 且1ln ->x ”.其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．若定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，且当]1,0[∈x 时，x x f =)(，则函数||log )(3x x f y -=的零点个数是（ ）A ．6个B ．4个C ．3个D ．2个 5．设函数)3cos()(ϕ+=x x f ，其中常数ϕ满足0<<-ϕπ.若函数)(')()(x f x f x g +=（其中)('x f 是函数)(x f 的导数）是偶函数，则ϕ等于（ ） A ．3π-B ．65π-C ．6π-D ．32π- 6．执行如图的程序框图，如果输入的k b a ,,分别为3,2,1，输出的815=M ，那么判断框中应填入的条件为（ ）A ．k n <B ．k n ≥C ．1+<k nD ．1+≥k n 7．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体编号为A ．08B ．07C ．02D ．018．已知R k ∈，点),(b a P 是直线k y x 2=+与圆32222+-=+k k y x 的公共点，则ab 的最大值为（ ） A.15B.9C.1D. 35-9．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-08010502y x y x y x 所表示的平面区域存在点),(00y x ，使0200≤++ay x 成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1-≤aB ．1-<aC ．1>aD ．1≥a10．北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，…，30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ） A ．25 B ．32 C ．60 D ．10011．已知在ABC Rt ∆中，两直角边1=AB ，2=AC ，D 是ABC ∆内一点，且060=∠DAB ，设),(R ∈+=μλμλ，则=μλ（ ） A ．332 B ．33C ．3D ．32 12．已知函数)(x f 的定义域为D ，若对于)(),(),(,,c f b f a f D b a ∈∀分别为某个三角形的边长，则称)(x f 为“三角形函数”.给出下列四个函数：①)(ln )(32e x e x xf ≤≤=；②x x f cos 4)(-=；③)41()(21<<=x x x f ；④1)(+=x xe e xf .其中为“三角形函数”的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥32320y x y x x ，则y x z -=的最小值是 .14．若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 .15．已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为 .16．若函数)(x f 的图象上存在不同的两点),(11y x A ，),(22y x B ，其中2211,,,y x y x 使得222221212121||y x y x y y x x +⋅+-+的最大值为0，则称函数)(x f 是“柯西函数”. 给出下列函数：①)30(ln )(<<=x x x f ；②)0(1)(>+=x xx x f ；③82)(2+=x x f ；④82)(2-=x x f .其中是“柯西函数”的为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*),1(34N n a S n n ∈-=. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）令n n a b 2log =，记数列})1)(1(1{+-n n b b 的前n 项和为n T ，证明：2131<≤n T . 18．高二某班共有20名男生，在一次体检中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm ）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm 的7名男生中随机选出2名男生参加篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于)180,170[（单位：cm ）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于)180,175[（单位：cm ）的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.19．菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，6,2==AC AB ，点F E ,分别在CD AD ,上，45==CF AE ，EF 交BD 于点H ，将D E F ∆沿EF 折到EF D '∆位置，10'=OD .（1）证明：⊥H D '平面ABCD ； （2）求二面角C A D B --'的正弦值.20．设抛物线)0(42>=m mx y 的准线与x 轴交于1F ，抛物线的焦点2F ，以21,F F 为焦点，离心率21=e 的椭圆与抛物线的一个交点为)362,32(E ；自1F 引直线交抛物线于Q P ,两个不同的点，设F F 11λ=. （1）求抛物线的方程椭圆的方程； （2）若)1,21[∈λ，求||PQ 的取值范围. 21．已知函数21)ln(21)(2+--=ax a x x a x f . （1）设xx f x g 1)()(+=，求函数)(x g 的单调区间； （2）若0>a ，设))(,()),(,(2211x f x B x f x A 为函数)(x f 图象上不同的两点，且满足1)()(21=+x f x f ，设线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：10>ax . 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos t y t m x （t 为参数，πα<≤0），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，射线)44(πϕπϕθ<<-=，4πϕθ+=，4πϕθ-=分别与曲线C交于C B A ,,三点（不包括极点O ）. （1）求证：||2||||OA OC OB =+；（2）当12πϕ=时，若C B ,两点在直线l 上，求m 与α的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数|12|||)(-++=x m x x f . （1）当1=m ，解不等式3)(≥x f ； （2）若41<m ，且当]2,[m m x ∈时，不等式|1|)(21+≤x x f 恒成立，求实数m 的取值范围.数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13．3- 14．2 15．23224++ 16．①④三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：(1)当1=n 时，有)1(34111-==a S a ，解得41=a ， 当2≥n 时，有)1(3411-=--n n a S ，则 )1(34)1(3411---=-=--n n n n n a a S S a 整理得41=-n na a ∴数列}{n a 是以4=q 为公比，以41=a 为首项的等比数列∴)(444*1N n a n n n ∈=⨯=-. （2）由（1）有n a b nn n 24log log 22===，则)12(1121(21)12)(12(1)1)(1(1+--=-+=-+n n n n b b n n∴)12)(12(1531311+-++⨯+⨯=n n T n )121121()5131()311[(21+--++-+-=n n )1211(21+-=n 易知数列}{n T 为递增数列，∴211<≤n T T ，即2131<≤n T .18．(1) 第一组学生身高的中位数为1742176172=+， 第二组学生身高的中位数为5.1742175174=+； （2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A ，761)(2723=-=C C A P ，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为76； （3）X 的所有可能取值是0，1，2，3101)0(23252223===C C C C X P ，52)1(23251223221213=+==C C C C C C C X P ，3013)2(23251213122222=+==C C C C C C C X P ，151)3(23251222===C C C C X P X 的分布列为15153302521)(=⨯+⨯+⨯=X E . 19．解：(1)∵45==CF AE ， ∴CDCFAD AE =，∴AC EF //， ∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD AC ⊥，∴BD EF ⊥，∴DH EF ⊥，∴H D EF '⊥ ∵6=AC ，∴3=AO ；又5=AB ，OB AO ⊥，∴4=OB ，∴1=⋅=OD AOAEOH ，∴3'==H D DH ， ∴222|'||||'|H D OH OD +=，∴H D OH '⊥，又∵H EF OH = ， ∴⊥H D '平面ABCD .（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系：)0,3,1(),3,0,0('),0,3,1(),0,0,5(-A D C B ，)0,6,0(),3,3,1('),0,3,4(=-==AC AD AB ，设平面'ABD 的一个法向量为),,(1z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n AB n 得⎩⎨⎧=++-=+033034z y x y x ，取⎪⎩⎪⎨⎧=-==543z y x ， ∴)5,4,3(1-=n ，同理可得平面C AD '的法向量为)1,0,3(2=n ，∴25571025|59||||||cos |2121=⨯+==n n θ，∴25952sin =θ. 20.解：(1)设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by ax ，由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+211924942222a b a a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3422b a∴椭圆的方程为13422=+y x ∴点2F 的坐标为)0,1(，∴1=m ，∴抛物线的方程是x y 42=(2)由题意得直线PQ 的斜率存在，设其方程为)0)(1(≠+=k x k y ，由⎩⎨⎧=+=xy x k y 4)1(2消去x 整理得0442=+-k y ky （） ∵直线PQ 与抛物线交于两点， ∴016162>-∆k ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则421=y y ①，ky y 421=+②， ∵F F 11λ=，)0,1(1-F ∴),1(),1(2211y x y x +=+λ ∴21y y λ=，③由①②③消去21,y y 得22)1(4+=λλk . ∴||PQ 22221221222121616)11(4))[(11())(11(k k ky y y y ky y k-+=-++=-+=441616k k -=，即=2||PQ 441616k k -，将22)1(4+=λλk 代入上式得， =2||PQ 16)21(16)12(16)4(222224-++=-++=-+λλλλλλλ，∵λλλ1)(+=f 在)1,21[∈λ上单调递减，∴)21()()1(f f f ≤<λ，即2512≤+<λλ， ∴<041716)21(2≤-++λλ， ∴217||0≤<PQ ，即||PQ 的取值范围为]217,0(. 21．解：(1) 21)ln(2)(2+-=ax a x a x g ,xax a x a a x g )2(2)('2-=-= ①0>a 时， )(x g 定义域为),0(+∞当)2,0(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)2,0(a上单调递减； 当),2(+∞∈a x 时，0)('>x g ，故)(x g 在),2(+∞a上单调递增； ②0<a 时，)(x g 定义域为)0,(-∞当)2,(a x -∞∈时，0)('>x g ，故)(x g 在)2,(a-∞上单调递增； 当)0,2(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)0,2(a上单调递减. （2）10>ax 2121212x ax a x x ->⇔>+⇔0)1(21)('222≥-=-+=a xx ax a x f ，故)(x f 在定义域),0(+∞上单调递增， 只需证：1)()1(2=+x f x f ，21)1(=af ， 不妨设2110x ax <<< axa x x a ax x ax a a x f x a f x F ln 21)2ln(221)2(1)()2()(22--+-----=-+-=则0)2()1(4222)2(1)('2232222≤---=-+---=ax x ax ax a x a ax a x x F ax 1≥∀， 从而)(x F 在),1[+∞a上单调递减，故0)1()(2=<aF x F ，即（）式. 22.解：(1)证明：依题意，ϕcos 4||=OA ，)4cos(4||πϕ+=OB ，)4cos(4||πϕ-=OC ，则=+||||OC OB ++)4cos(4πϕ||2cos 24)4cos(4OA ==-ϕπϕ（2）当12πϕ=时，C B ,两点的极坐标分别为)6,32(),3,2(ππ-，化为直角坐标)3,1(B ，)3,3(-C ， 经过点C B ,的直线方程为)2(3--=x y ， 又直线l 经过点)0,(m ，倾斜角为α，故2=m ，32πα=. 23.解：(1) 当1=m 时，|12||1|)(-++=x x x f ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤---<-=)21(3)211(2)1(3)(x x x x x x x f由3)(≥x f 解得1-≤x 或1≥x ，即原不等式的解集为),1[]1,(+∞--∞ . （2）|1|)(21+≤x x f ，即|1||12|21||21+≤-++x x m x ，又]2,[m m x ∈且41<m 所以410<<m ，且0>x 所以|12|21|1|221--+≤+x x m x 即|12|2--+≤x x m令|12|2)(--+=x x x t ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<+=)21(3)210(13)(x x x x x t ， 所以]2,[m m x ∈时， 13)()(min +==m m t x t ， 所以13+≤m m ，解得21-≥m ， 所以实数m 的取值范围是)41,0(.欢迎访问“高中试卷网”——。
〖全国卷-2018名师推荐〗高考总复习数学(理)第四次高考模拟试题及答案解析一
2018年高考数学四模试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1．已知集合A={x|x2≤2x}，B={y|y＞1}，则A∩B等于．2．若双曲线x2﹣ay2=1的离心率为，则正数a的值为．3．将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是．4．在下列四个图所表示的正方体中，能够得到AB⊥CD的是．5．若过点P（2，﹣1）的圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的长为10，则直线AB的方程是．6．已知α是第二象限角，且sinα=，则tan（α+）= ．7．已知椭圆+=1（m＞n＞0）的离心率为，且有一个焦点与抛物线y2=16x的焦点重合，则椭圆的短轴长为．8．设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则△AOB的面积S的最小值为．9．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2﹣b2=c，且sin Acos B=2cosAsinB，则c= ．10．已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B，F为C的焦点．若|FA|=2|FB|，则k= ．11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=cos（x）+x，则函数f（x）的零点有个．12．半径为1的球内最大圆柱的体积为．13．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B，渐近线分别为l1、l2，点P在第一象限内且在l1上，若PA⊥l2，PB∥l2，则该双曲线的离心率为．14．正四面体ABCD的棱长为1，其中线段AB∥平面α，E，F分别是线段AD和BC的中点，当正四面体绕以AB为轴旋转时，线段EF在平面α上的射影E1F1长的范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，这是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且AC⊥BC，P为上的动点．（1）证明：PA1⊥平面PBB1；（2）设半圆柱和多面体ABB1A1C的体积分别为V1，V2，且AC=BC，求V1：V2．16．已知点C的坐标为（0，1），A，B是抛物线y=x2上不同于原点O的相异的两个动点，且•=0．（1）求证：∥；（2）若=λ（λ∈R），且•=0，试求点M的轨迹方程．17．如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，DD1⊥平面ABCD，AB=AD，AD=A1B1，∠BAD=45°．（1）证明：BD⊥AA1；（2）证明：AA1∥平面BC1D．18．已知数列{a n}中，a1=5，a2=2，且2（a n+a n+2）=5a n+1．求证：（1）数列{a n+1﹣2a n}和{a n+1﹣a n}都是等比数列；（2）求数列{2n﹣3a n}的前n项和S n．19．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F（﹣2，0），且长轴长与短轴长的比是．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M（m，0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．20．已知函数f（x）=（a∈R）．（1）求f（x）的极值；（2）若函数f（x）的图象与函数g（x）=﹣1的图象在区间（0，e]上有公共点，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在答题卷中的横线上.1．已知集合A={x|x2≤2x}，B={y|y＞1}，则A∩B等于{x|1＜x≤2} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵A={x|x2≤2x}={x|0≤x≤2}，B={y|y＞1}，∴A∩B={x|0≤x≤2}∩{y|y＞1}={x|1＜x≤2}．故答案为：{x|1＜x≤2}．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若双曲线x2﹣ay2=1的离心率为，则正数a的值为 2 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线x2﹣ay2=1的方程化为标准方程，利用双曲线x2﹣ay2=1的离心率为，建立方程，即可求出正数a的值．【解答】解：双曲线x2﹣ay2=1的方程可化为x2﹣=1，得c2=1+，因为双曲线x2﹣ay2=1的离心率为，所以e2=1+=（）2，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，确定双曲线的几何量是关键．3．将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱锥的结构特征．【专题】计算题．【分析】通过圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解答】解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为：2π，底面半径为：1，圆锥的高为：；圆锥的体积为：=【点评】本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型．4．在下列四个图所表示的正方体中，能够得到AB⊥CD的是①②．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用正方体的性质以及三垂线定理对四个正方体中的AB，CD分别分析解答．【解答】解：对于①，通过平移AB到右边的平面，可知AB⊥CD，所以①中AB⊥CD；对于②，通过作右边平面的另一条对角线，可得CD垂直AB所在的平面，由三垂线定理得到②中AB⊥CD；对于③，可知AB与CD所成的角60°；对于④，通过平移CD到下底面，可知AB与CD不垂直．所以能够得到AB⊥CD的是①和②．故答案为：①②【点评】本题考查了空间几何体中，线线关系的判断；考查学生的空间想象能力．5．若过点P（2，﹣1）的圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的长为10，则直线AB的方程是x+y ﹣1=0 ．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】确定弦AB为圆的直径，利用圆心为C（1，0），且直线AB过点P（2，﹣1），即可求出直线AB的方程．【解答】解：因为圆的直径为10，所以弦AB为圆的直径，因为圆心为C（1，0），且直线AB过点P（2，﹣1），属于由直线方程的两点式得=，即x+y﹣1=0．故答案为：x+y﹣1=0．【点评】本题考查直线AB的方程，考查直线与圆的位置关系，确定弦AB为圆的直径是关键．6．已知α是第二象限角，且sinα=，则tan（α+）= ．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由同角三角函数基本关系可得tanα，代入两角和的正切公式可得．【解答】解：∵α是第二象限角sinα=，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==﹣，∴tan（α+）==．故答案为：【点评】本题考查两角和的正切公式，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．7．已知椭圆+=1（m＞n＞0）的离心率为，且有一个焦点与抛物线y2=16x的焦点重合，则椭圆的短轴长为8．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆+=1（m＞n＞0）的离心率为，可得==，所以4n=3m，利用焦点与抛物线y2=16x的焦点重合，求出m，n，即可求出椭圆的短轴长．【解答】解：由已知得==，所以4n=3m，因为抛物线y2=16x的焦点为（4，0），而椭圆的右焦点为（c，0），所以c=4，得m﹣n=42=16，解得m=64，n=48，所以椭圆的短轴长为2=2=8．故答案为：8．【点评】本题考查椭圆、抛物线的性质，考查学生的计算能力，确定几何量是关键．8．设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线l的距离为，则△AOB的面积S的最小值为 3 ．【考点】点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】由距离公式可得m2+n2=，面积为S=•||=，由基本不等式可得答案．【解答】解：由坐标原点O到直线l的距离为，可得==，化简可得m2+n2=，令x=0，可得y=，令y=0，可得x=，故△AOB的面积S=•||=≥=3，当且仅当|m|=|n|=时，取等号，故答案为：3【点评】本题考查点到直线的距离公式，涉及基本不等式的应用和三角形的面积，属基础题．9．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2﹣b2=c，且sin Acos B=2cosAsinB，则c= 3 ．【考点】余弦定理；正弦定理． 【专题】计算题；解三角形．【分析】利用正弦定理、余弦定理，化简sinAcosB=2cosAsinB ，结合a 2﹣b 2=c ，即可求c ．【解答】解：由sinAcosB=2cosAsinB 得•=2••，所以a 2+c 2﹣b 2=2（b 2+c 2﹣a 2），即a 2﹣b 2=，又a 2﹣b 2=c ，解得c=3． 故答案为：3．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理，考查学生的计算能力，正确运用正弦定理、余弦定理是关键．10．已知直线y=k （x+2）（k ＞0）与抛物线C ：y 2=8x 相交于A 、B ，F 为C 的焦点．若|FA|=2|FB|，则k=．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A 、B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B 为AP 的中点，求得点B 的横坐标，则点B 的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率． 【解答】解：设抛物线C ：y 2=8x 的准线为l ：x=﹣2 直线y=k （x+2）（k ＞0）恒过定点P （﹣2，0） 如图过A 、B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ， 由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|， 点B 为AP 的中点、连接OB ，则|OB|=|AF|，∴|OB|=|BF|，点B 的横坐标为1，故点B 的坐标为（1，2）∴k==，故答案为：【点评】本题考查了抛物线的简单性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=cos （x ）+x ，则函数f （x ）的零点有 7 个． 【考点】函数的零点．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】作f （x ）=cos （x ）+x （x ＞0）的图象，由图象解交点的个数，从而求零点的个数．【解答】解：作f （x ）=cos （x ）+x （x ＞0）的图象如下图，其在（0，+∞）上有三个零点，又∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴函数f（x）的零点共有3×2+1=7个，故答案为：7．【点评】本题考查了函数的零点个数的判断，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．12．半径为1的球内最大圆柱的体积为．【考点】球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由题意设圆柱的底面半径为x，高为y，则（2x）2+y2=4，（0＜y＜2）；V=πx2y=πy=（4﹣y2）y，利用导数求最值．【解答】解：设圆柱的底面半径为x，高为y，则（2x）2+y2=4，（0＜y＜2）；V=πx2y=π•y=（4﹣y2）y=（4y﹣y3），则V′=（4﹣3y2），故4﹣3y2=0，即y=时，有最大值，V max=（4﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查了学生的空间想象力与导数的综合运用，属于中档题．13．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B，渐近线分别为l1、l2，点P在第一象限内且在l1上，若PA⊥l2，PB∥l2，则该双曲线的离心率为 2 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的顶点和渐近线方程，设P（x，y），再由两直线垂直和平行的条件，得到a，b的关系式，再由离心率公式计算即可得到．【解答】解：依题意有A（﹣a，0），B（a，0），渐近线方程分别为l1：y=x，l2：y=﹣x，设P（x，y），则由PB∥l2得=﹣，因为点P在直线y=x上，于是解得P点坐标为P（，），因为PA⊥l2，所以•（﹣）=﹣1，即•（﹣）=﹣1，所以b2=3a2，因为a2+b2=c2，所以有c2=4a2，即c=2a，得e=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，运用两直线垂直的条件和平行的条件是解题的关键．14．正四面体ABCD的棱长为1，其中线段AB∥平面α，E，F分别是线段AD和BC的中点，当正四面体绕以AB为轴旋转时，线段EF在平面α上的射影E1F1长的范围是[，] ．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】取AC中点为G，连接EG、FG，根据四面体绕AB旋转时，GF∥平面α，GE与GF的垂直性保持不变，当CD与平面α垂直时射影E1F1的长取得最小，当CD与平面α平行时，E1F1取得最大，分别求出最大、最小值，可得答案．【解答】解：如图，取AC中点为G，连接EG、FG，∵E，F分别是线段AD和BC的中点，∴GF∥AB，GE∥CD，在正四面体中，AB⊥CD，∴GE⊥GF，∴EF2=GE2+GF2=，当四面体绕AB旋转时，∵GF∥平面α，GE与GF的垂直性保持不变，当CD与平面α垂直时，GE在平面上的射影长最短为0，此时EF在平面α上的射影E1F1的长取得最小值；当CD与平面α平行时，GE在平面上的射影长最长为，E1F1取得最大值，∴射影E1F1长的取值范围是[，]，故答案为：[，]．【点评】本题借助考查线段在平面内的射影问题，考查空间直线与直线位置关系的判定，考查了学生的空间想象能力，二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，这是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且AC⊥BC，P为上的动点．（1）证明：PA1⊥平面PBB1；（2）设半圆柱和多面体ABB1A1C的体积分别为V1，V2，且AC=BC，求V1：V2．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即可证明结论；（2）利用体积公式，求出半圆柱和多面体ABB1A1C的体积，即可求V1：V2．【解答】（1）证明：在半圆柱中，BB1⊥平面PA1B1，所以BB1⊥PA1．因为A1B1是底面圆的直径，所以PA1⊥PB1，因为PB1∩BB1=B1，PB1⊂平面PBB1，BB1⊂平面PBB1，所以PA1⊥平面PBB1．（2）解：因为AC⊥BC，AC=BC，所以△ABC是等腰直角三角形，且AB2=BC2+AC2=2AC2．所以半圆柱的体积V1=（AB）2π•AA1=AC2•AA1．多面体ABB1A1C是以矩形ABB1A1为底面，以C为顶点的四棱锥，其高为点C到底面ABB1A1的距离，设这个高为h，在Rt△ABC中，AB•h=AC•BC，所以h=，所以V2=•AA1•AB•=•AA1•AC•BC=AA1•AC2．所以=．【点评】本题考查线面垂直的判定，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．已知点C的坐标为（0，1），A，B是抛物线y=x2上不同于原点O的相异的两个动点，且•=0．（1）求证：∥；（2）若=λ（λ∈R），且•=0，试求点M的轨迹方程．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用•=0，可得x1x2=﹣1，根据=（﹣x1，1﹣），=（﹣x2，1﹣），即可证明∥；（2）由题意知，点M是直角三角形AOB斜边上的垂足，又定点C在直线AB上，∠OMB=90°，即可求点M的轨迹方程．【解答】解：（1）设A（x1，），B（x2，），x1≠0，x2≠0，x1≠x2，因为•=0，所以x1x2+=0，又x1≠0，x2≠0，所以x1x2=﹣1．因为=（﹣x1，1﹣），=（﹣x2，1﹣），且（﹣x1）（1﹣）﹣（﹣x2）（1﹣）=（x2﹣x1）+x1x2（x2﹣x1）=（x2﹣x1）﹣（x2﹣x1）=0，所以∥．（2）由题意知，点M是直角三角形AOB斜边上的垂足，又定点C在直线AB上，∠OMB=90°，所以点M在以OC为直径的圆上运动，其运动轨迹方程为x2+（y﹣）2=（y≠0）．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查向量知识的运用，考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题．17．如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，DD1⊥平面ABCD，AB=AD，AD=A1B1，∠BAD=45°．（1）证明：BD⊥AA1；（2）证明：AA1∥平面BC1D．【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）由已知条件利用余弦定理得BD2=AD2，从而利用勾股定理得AD⊥BD，进而得到BD⊥平面ADD1A1，由此能证明BD⊥AA1．（2）连结AC、A1C1，设AC∩BD=E，连结EC1，由棱台的定义结合已知条件推导出四边形A1C1EA 是平行四边形，由此能证明AA1∥平面BC1D．【解答】证明：（1）∵AB=AD，∠BAD=45°，在△ABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB2﹣2AD•ABcos 45°=AD2，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，∵DD1⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴DD1⊥BD，又AD∩DD1=D，∴BD⊥平面ADD1A1．又AA1⊂平面ADD1A1，∴BD⊥AA1．（2）连结AC、A1C1，设AC∩BD=E，连结EC1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE=AC，由棱台的定义及AB=AD=2A1B1知，A1C1∥AE，且A1C1=AE，∴四边形A1C1EA是平行四边形，∴AA1∥EC1，又∵EC1⊂平面BC1D，AA1⊄平面BC1D，∴AA1∥平面BC1D．【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．已知数列{a n}中，a1=5，a2=2，且2（a n+a n+2）=5a n+1．求证：（1）数列{a n+1﹣2a n}和{a n+1﹣a n}都是等比数列；（2）求数列{2n﹣3a n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）2（a n+a n+2）=5a n+1．求可得2（a n+2﹣2a n+1）=a n+1﹣2a n，a n+2﹣a n+1=2（a n+1﹣a n），根据等比数列的定义判定出数列都是等比数列；（2）由（1）解的a n，再求出2n﹣3a n=（2﹣22n﹣5），再求出前n项和．【解答】解：（1）∵2（a n+a n+2）=5a n+1，∴2a n+2a n+2=5a n+1，∴2（a n+2﹣2a n+1）=a n+1﹣2a n，∴=，∴a2﹣2a1=2﹣2×5=﹣8，∴{a n+1﹣2a n}是以﹣8为首项，为公比的等比数列；∴a n+1﹣2a n=﹣8×①∵2（a n+a n+2）=5a n+1，∴a n+2﹣a n+1=2（a n+1﹣a n）∴=2，∴a2﹣a1=2﹣×5=﹣，∴{a n+1﹣a n}是以﹣为首项，2为公比的等比数列；∴a n+1﹣a n=②，（2）由（1）知a n+1﹣2a n=﹣8×①a n+1﹣a n=②，由①②解得a n=（24﹣n﹣2n﹣2），验证a1=5，a2=2适合上式，∴2n ﹣3a n ═（24﹣n ﹣2n ﹣2）•2n ﹣3=（2﹣22n ﹣5）∴S n =（2﹣2﹣3）+（2﹣2﹣1）+（2﹣2）+…+（（2﹣22n ﹣5）= [2n ﹣（2﹣3+2﹣1+2+…+22n ﹣5）]= [2n ﹣]=【点评】本题主要考查了等比关系的确定，等比数列的求和问题．解题的关键是对等比数列基础知识点的熟练掌握，属于中档题19．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F （﹣2，0），且长轴长与短轴长的比是．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M （m ，0）在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．【考点】椭圆的标准方程；椭圆的应用．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程，根据焦点坐标和长轴长与短轴长的比联立方程求得a 和b ，进而可得椭圆的方程．（Ⅱ）设P （x ，y ）为椭圆上的动点，根据椭圆的性质可判断x 的范围．代入判断因为当最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，进而求得m 的范围．点M 在椭圆的长轴上进而推脱m 的最大和最小值．综合可得m 的范围．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为．由题意解得a 2=16，b 2=12．所以椭圆C 的方程为（Ⅱ）设P （x ，y ）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故﹣4≤x ≤4．因为，所以=．因为当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x=4m时，取得最小值．而x∈[﹣4，4]，故有4m≥4，解得m≥1．又点M在椭圆的长轴上，即﹣4≤m≤4．故实数m的取值范围是m∈[1，4]．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程．求标准方程时常需先设椭圆的标准方程，根据题设中关于长短轴、焦点、准线方程等求得a和b，进而得到答案．20．已知函数f（x）=（a∈R）．（1）求f（x）的极值；（2）若函数f（x）的图象与函数g（x）=﹣1的图象在区间（0，e]上有公共点，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数图象的作法．【专题】导数的综合应用．【分析】本题（1）先求出导函数，利用导函数值的正负研究函数的单调区间，得到本题结论；（2）利用（1）的结论，进行分类讨论，由根据存在性定理，得到相应关系式，解不等式，得到本题结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=（a∈R），∴=．∴当0＜x＜e a+1时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，e a+1）上单调递减；当x＞e a+1时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（e a+1，+∞）上单调递增；∴当x=e a+1时，f′（x）=0，函数f（x）有极值，f（e a+1）==﹣e﹣a﹣1．（2）由（1）知：当x=e a+1时，函数f（x）有极小值，f（e a+1）=﹣e﹣a﹣1＜0．记h（x）=f（x）﹣g（x）=f（x）+1，当e a+1＜e，即a+1＜1，a＜0时，﹣e﹣a﹣1+1≤0，∴a≤﹣1．当e a+1≥e，即a+1≥1，a≥0时，h（e）≤0，∴，∴0≤a≤e，综上，a≤﹣1或0≤a≤e．【点评】本题考查了导函数与函数的单调性和最值，还考查了分类讨论的数学思想，本题有一定的计算量，难度适中，属于中档题．。
高考数学母题题源系列专题07三角函数图像与应用理
考点：三角函数性质
10．【江苏省启东中学高三上学期期中模拟数学试卷】将函数 （ ）的图象，向左平移 个单位，得到 函数的图象，若 在 上为增函数，则 的最大值为_____ _____．
【答案】
考点：三角函数图像及性质
【母题原题4】【2016江苏，理14】在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是▲.
【答案】8
【考点】三角恒等变换，切的性质应用
【名师点睛】消元与降次是高中数学中的主旋律，利用三 角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形 中恒有 ，这类同于正、余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时应多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识．此类问题的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边．
7.求解三角函数对称性的方法：
（1）求函数 的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题：①由 的对称中心是 ， ，所以 的中心，由方程 解出 即可；②因为 的对称轴是 ， ，所以可由 解出 ，即为函数 的对称轴；注意 的对称中心为 ；
（2） 对于函数 ，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函 数的零点，因此在判 断直线 或点 是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 的值进行判断．
【命题规律】1.高考对三角函数的图象与性质的考查往往集中于正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质，主要考查三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶性、最值、对称性、图象平移及变换等)．
2.高考中主要涉及如下题型：(1)考查周期、单调性、极 值等简单性质；(2)考查与三角函数有关的零点问题；(3)考查图象的识别．
【考点】两角和正切公式
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一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）.1. 己知全集，集合，，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据补集的定义，可求出；根据交集定义即可求出。
详解：因为所以所以所以选B点睛：本题考查了集合交集、补集的基本运算，属于简单题。
2. 若复数，则( )A. 1B.C.D. 3【答案】C【解析】分析：利用共轭复数，求出，根据复数模的定义即可求出。
详解：所以所以选C点睛：本题考查了复数的综合运算、共轭复数和复数模的定义与应用，属于简单题。
3. 命题“若，则”的逆否命题是( )A. 若，则或B. 若，则C. 若或，则D. 若或，则【答案】D【解析】原命题“若则”的逆否命题为“若则”,所以命题“若，则”的逆否命题是若或，则故选．4. 设，向量，，且，则( )A. 0B. 1C. 2D. -2【答案】A【解析】分析：根据的垂直关系，可求出；根据的平行关系，可求出，进而求出的值。
详解：因为，所以因为，所以所以，所以所以选A点睛：本题考查了向量平行与垂直的坐标运算，主要是熟练正确记忆坐标间的关系，属于简单题。
5. 圆与圆的位置关系为( )A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离【答案】B【解析】试题分析：两圆的圆心距为，半径分别为，，所以两圆相交．故选C．考点：圆与圆的位置关系．视频6. 设为不重合的平面，为不重合的直线，则下列命题正确的是( )A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】对于A，,时，若，则，但题目中无条件，故A 也不一定成立；对于B，,.显然不成立；对于C，由面面平行的判定，一个面经过另一个面的垂线，仅有不能得到或，故不正确．对于D，，则，又，则，结论成立；故选D7. 设是一个正整数，已知的展开式中第四项的系数为，函数与的图象所围成的区域如图中阴影部分所示，任取，，则点恰好落在阴影部分内的概率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据题意得解得：k=4或（舍去），解方程组，解得：x=0或4∴阴影部分的面积为，，所以点（x,y)恰好落在阴影区域内的概率为.考点：1.二项式定理；2.几何概型.8. 为培养学生分组合作能力，现将某班分成三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组.某次数学建模考试中三人成绩情况如下:在组中的那位的成绩与甲不一样，在组中的那位的成绩比丙低，在组中的那位的成绩比乙低.若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是( )A. 甲、丙、乙B. 乙、丙、甲C. 乙、丙、甲D. 丙、乙、甲【答案】C【解析】因为在组中的那位的成绩与甲不一样，在组中的那位的成绩比乙低．所以甲、乙都不在B组，所以丙在B组. 假设甲在A组，乙在C组，由题得甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序是乙、丙、甲.假设甲在C组，乙在A组，由题得矛盾，所以排序正确的是乙、丙、甲.故选C.9. 在如下图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是，，，，给出编号①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A. ①和②B. ③和①C. ④和③D. ④和②【答案】D【解析】........................视频10. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：从程序框图可以看出，输入的函数是奇函数且有零点，则即可输出该函数．因此答案等价于判断哪个函数是奇函数且有零点．假设输入答案A中的函数，显然A中函数为奇函数，但没有零点，所以不能输出函数；答案B中的函数是奇函数且存在零点0，所以输出函数为．故选B．同理答案C、D不符合题意．故选B．考点： 程序框图的应用； 函数的奇偶性； 函数的零点问题．【易错点睛】对于程序框图问题，多属于容易题目．问题多出在：没看清判断框中的条件，从而导致出错，特别是题目是填写判断框中的语句，对于变量是否取等号的问题，最易出错，望同学们能细心．11. 抛物线的焦点与双曲线右焦点重合，又为两曲线的一个公共交点，且，则双曲线的实轴长为( )A. 1B. 2C.D. 6【答案】B【解析】分析：根据抛物线定义和线段关系，先求出P点坐标，再代入双曲线方程，得到的关系；根据公共焦点，得出c的值；根据双曲线中；联立方程组，即可求出的值。
详解：如图所示， ,MT的方程为，所以，作则在中，所以将P点坐标代入双曲线方程，可得解得，所以实轴所以选B点睛：本题考查了抛物线的定义，双曲线的标准方程等内容。
要注意，长轴是，不是，易错。
12. 已知，函数，若在上是单调减函数，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C详解：因为所以因为在上是单调减函数所以即所以当时，恒成立当时，令，可知双刀函数，在上为增函数，所以即所以选C点睛：本题考查了导函数与单调性的关系，分离参数后利用导数求参数的取值范围；注意最后求得的函数不能用基本不等式解，该函数是双刀函数，根据单调性即可求出的取值范围。
第Ⅱ卷(主观题 90分)二、填空题(本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 在平面直角坐标系中，不等式组，所表示图形的面积等于__________．【答案】【解析】分析：根据线性约束条件，画出可行域。
根据斜率关系，判断出直线互相垂直，求出各边长即可得到面积值。
详解：根据线性不等式，画出可行域如上图所示，因为直线之间，斜率相等或相乘等于-1，因此直线相互平行或垂直求得阴影部分为正方形，边长为，则阴影部分的面积为点睛：本题主要考查了线性规划的综合应用，根据线性约束条件中直线的位置关系特征，求出可行域的面积，属于简单题。
14. 为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩 (如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，，就可以计算出两点的距离为__________．【答案】【解析】分析：根据三角形内角和定理，求得；再正弦定理，可直接求得AB的长度。
详解：根据三角形内角和为180°，所以由正弦定理，代入所以解得 m点睛：本题主要考查了正弦定理的简单应用，属于简单题。
15. 我国著名数学家周密的《鬼谷算》中有一道题目:“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”翻译成现代文为:若一个自然数满足被3除余2被5除余3，被7除余2，则所有满足条件的的取值集合为__________．【答案】【解析】分析：通过题中除以3和除以7的余数相同，可先判断除以3除以7余数为2的值，再分析得到除以5余3的最小值；根据3、5、7的最小公倍数即可求得满足条件的表达式。
详解：以为这个自然数除以3余2，除以7余2，所以这个数除以21也余2；再除以5余3，所以最小的数为23，因为，所以自然数n可以表示为点睛：本题考查了同余问题，主要思路是把相同余数的数先归类，再讨论另外一个数满足的特征，属于中档题。
16. 已知定义域为的函数既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当时，，则函数在区间上的零点个数是__________．【答案】9【解析】分析：根据定义域为R和奇函数的定义可得，利用周期为3和时，可画出函数图像，根据图像判定零点个数。
详解：因为函数定义域为R，周期为3，所以如图所示，画出函数的函数图像，由图像可知在上的零点为所以共有9个零点点睛：本题考查了三角函数图像、周期函数、奇函数和零点的综合应用，关键是画出函数图像，利用图像来判定零点个数，属于难题。
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的各项均为正数的等比数列，且，.(I)求数列的通项公式:(Ⅱ)设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）根据等比数列的概念和通项公式定义，代入表达式，可求出首项和公比，进而得到数列的通项公式表达式。
（2）根据数列的表达式，求出的通项公式；分成等比数列和等差数列两组分别求和，再相加即可得到的前n项和.详解：(I)设等比数列的公比为，则，且，由已知得.化简得，即，又，所以所以(Ⅱ)由(I)知，.点睛：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式的综合应用，熟练掌握等差数列与等比数列的性质、通项公式与求和公式是解决本题的关键，属于基础题。
18. 为备战2020年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下：甲:8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3；乙:9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5.(I)画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图(茎代表个位，叶代表十分位)：(Ⅱ)现要从中选派一人参加奥运会封闭集训，从统计学角度，你认为派哪位选手参加合理?简单说明理由；(Ⅲ)若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于8.5分的次数为，求的分布列及均值、方差.【答案】（1）见解析（2）选派甲合适(3)见解析【解析】试题分析：（1）求平均数，再求，根据平均值相等，稳定性不同可确定派哪位选手参加合理；（2）对于乙射击选手，每次射击不低于分的概率为，从而可得随机变量符合二项分布，根据独立重复试验概率公式可得个随机变量的概率，从而得的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的均值.试题解析：(1)因为甲＝乙＝8.5，又s＝0.27，s＝0.405，得s<s，相对来讲，甲的成绩更加稳定，所以选派甲合适．(2)依题意得，乙不低于8.5分的频率为，ξ的可能取值为0,1,2,3，则ξ～B.所以，P(ξ＝k)＝C3－k k＝C 3，k＝0,1,2,3.所以ξ的分布列为所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.【方法点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意平均数、中位数、众数描述其集中趋势, 方差和标准差描述其波动大小. 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平;方差反映了随机变量稳定于均值的程度, 它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方取舍的重要的理论依据，ᅳ般先比较均值, 若均值相同再用方差来决定.19. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱上移动，且.(I)当时，证明:直线平面；(Ⅱ)是否存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角?若存在，求出的值:若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）证线面平行只需在面内找一线与之平行即可（2）求二面角则可直接根据空间直角坐标系写出两平面的法向量根据向量夹角公式求解即可试题解析：以为原点，射线，，分别为，，轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得，，，，，，，则，，，，.（1）当时，，因为，所以，即，又平面，且平面，故直线平面.（2）设平面的一个法向量为，则由，得，于是可取.设平面的一个法向量为，由，得，于是可取.若存在，使面与面所成的二面角为直二面角，则，即，解得，显然满足.故存在，使面与面所成的二面角为直二面角.点睛：立体几何的有关证明题，首先要熟悉各种证明的判定定理，然后在进行证明，要多总结题型，对于二面角问题一般直接建立空间直角坐标系，求出法向量然后根据向量夹角公式求解二面角，要注意每一个坐标的准确性20. 已知圆经过椭圆的左、右焦点，且与椭圆在第一象限的交点为，且三点共线，直线交椭圆于两点，且.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)当三角形的面积取到最大值时，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，由圆与轴的交点，可求得，利用三点共线，由是圆的直径，从而，利用勾股定理可求得，从而由椭圆的定义可求得，于是得，椭圆方程即得；（2）是确定的，，说明，于是直线斜率已知，设出其方程为，代入椭圆方程，消去得的二次方程，从而有（分别是的横坐标），由直线与圆锥曲线相交的弦长公式可求得弦长，再由点到直线距离公式求出到直线的距离，可计算出的面积，最后利用基本不等式可求得面积的最大值，及此时的值，得直线方程．解析：（1）如图，圆经过椭圆的左、右焦点，，所以，解得,因为，，三点共线，所以为圆的直径，所以,因为，所以.所以,由，得．所以椭圆的方程为.（2）由（1）得，点的坐标为，因为,所以直线的斜率为，设直线的方程为,联立，得,设，由，得．因为所以, 又点到直线的距离为，.当且仅当，即时，等号成立,所以直线的方程为或.点睛：本题考查椭圆中的三角形面积的最值问题，解题时，一般设出直线方程，如直线方程为，设出交点坐标，由直线方程与椭圆方程联立，消元后可得，再由圆锥曲线中的弦长公式表示出弦长，再求点到直线的距离，这样可把三角形的面积用参数表示出来，最后可利用基本不等式求最值，并求出取最大值时参数的值，得直线方程.“设而不求”思想是解决直线与圆锥曲线相交问题的主要方法.21. 已知函数，.(I)若恒成立，求实数的取值范围；(Ⅱ)当取(I)中的最小值时，求证: .【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：（1）根据，构造函数，求出导函数.根据导函数的情况分类讨论在不同范围时满足不等式的解，求出的取值范围。