常州市高级中学学2013届高三数学(理科)期中试卷
数学-新海高级中学2013届高三10月学情调研数学试卷(理科)
江苏省新海高级中学2013届高三10月学情调研数学试卷（理科）2012 10 11时间：120分钟 命题人：杨绪成 审核人：顾淑建一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题．．纸．相应位置上．．．．．． 1．设集合A={}{}21,2,3,2,3B a a -=++，若{}3A B ⋂=,则实数a 的值为2．若幂函数()f x 的图像经过点()4,2A ,则它在A 点处的切线的斜率为3.已知函数()()()2,125,1x ax x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若()()20f f =，则实数a = 4．将函数2sin 33y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像向左平移()0ϕϕ>个单位，所得的图像对应的函数为偶函数，则ϕ的最小值为 .5. 已知直线x a =与曲线2y x =和ln y x =分别交与M,N 两点，则MN 的最小值为_____ 6. 已知集合(){}21,A x x a a x a R =+≤+∈，若A 中的所有的整数元素和为28，则a 的取值范围是7. 已知命题p ：()13xf x a =-⋅在(]0,∞-∈x 上有意义，命题Q ：函数2lg()y ax x a =-+的定义域为R ．如果p 和Q 有且仅有一个正确，则a 的取值范围 ．8. 由曲线123x y x --=-所围成的图形的面积是 . 9. 已知函数()()()[]2222,1,1xxf x aa x -=-++∈-.关于x 的方程()22f x a =有解，则实数a 的取值范围是 _____ 10. 三角形一内角是3π，且它的对边长是1，则此三角形内切圆半径的最大值是 ____ 11. 函数2254()22x x f x x x -+=-+的最小值为 .12. 已知函数323y x x x =++的图象C 上存在一定点P 满足：若过点P 的直线l 与曲线C 交于不同于P 的两点M (x 1, y 1)，N (x 2, y 2)，就恒有21y y +的定值为y 0，则y 0的值为______13. 已知函数()4242211f x x x x x x =+-+--+，则其最大值为14.已知函数()f x 定义在[](),1D m m m =->上且()0f x >，对于任意实数,,x y x y +,D ∈都有()()(),f x y f x f y +=且()11006f =，设函数()()()()()()21100611f x f x f xg x f x f x ++++=-+的最大值和最小值分别为M 和N,则M+N=二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC ∆中，c b a ,,分别是三内角C B A ,,的对边，且()0cos cos 2=--C b B c a . （1）求角B 的值； （2）若3=b ，设角A 的大小为x ，ABC ∆的周长为y ，求()x f y =的最大值.16．已知二次函数()()21,f x x mx m Z =++∈ 且关于x 的方程()=2f x 在⎪⎭⎫⎝⎛-21,3上有两个不相等的实数根.⑴求()f x 的解析式.⑵若[]2,x t ∈总有()52f x x -≤成立，求t 的最大值.17. 即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通。
江苏省常州市2013届高三物理上学期期中试卷(含解析)新人教版
江苏省常州市2013届高三上学期期中考试物理试卷一、单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分．每小题只有一个选项符合题意．2．（3分）（2011•上海模拟）一小球在离地高H处从静止开始竖直下落，运动过程中受到的阻力大小与速率成正比，如图图象反映了小球的机械能E随下落高度h的变化规律（选地面．．．D．3．（3分）（2012•徐州一模）如图所示，在真空中有两个带正电的点电荷，分别置于P、Q 两点，P处正点电荷的电荷量大于Q处点电荷的电荷量，A、B为P、Q连线的中垂线上的两点，现将一负电荷q 由A点沿中垂线移动到B点，在此过程中，下列说法正确的是（）4．（3分）如图所示，闭合电键S后，A灯与B灯均发光，电流表A1、A2的读数分别为I1、I2，当滑动变阻器滑动片向下滑动一段后，电流表A1、A2读数变化的大小分别为△I1、△I2，则下列说法中错误的是（）5．（3分）如图所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t=0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球接触弹簧并将弹簧压缩至最低点（形变在弹性限度内），然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后又下落，如此反复．通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出该过程中弹簧弹力F随时间t变化的图象如图所示，下列说法错误的是（）二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共计16分．每小题有多个选项符合题意．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分．6．（4分）如图所示，“嫦娥二号”探月卫星在月球引力的作用下，沿椭圆轨道向月球靠近，并在P处“刹车制动”后绕月球做匀速圆周运动，已知“嫦娥二号”绕月球做匀速圆周运动的轨道半径为r，周期为T，引力常量为G．下列说法中正确的是（）、根据万有引力提供向心力周期公式，故F=、根据7．（4分）用一直流电池组给电阻为r的直流电动机供电，当电动机正常工作时，电动机两8．（4分）如图所示，一块长木板B放在光滑的水平面上，再在B上放一物体A，现以恒定的外力拉B，A、B发生相对滑动，向前移动了一段距离．在此过程中（）9．（4分）静电场方向平行于x轴，其电势φ随x的分布可简化为如图所示的折线．一质量为m、带电量为+q的粒子（不计重力），以初速度v0从O点进入电场，沿x轴正方向运动．下列叙述正确的是（）至少为，粒子在运动过程中的最大速度为m==]= m m=三、简答题（共计20分）：请将解答填写在答题卡相应的位置．10．（8分）甲乙两个同学共同做“验证牛顿第二定律”的实验，装置如图1所示．①两位同学用砝码盘（连同砝码）的重力作为小车（对象）受到的合外力，需要平衡桌面的摩擦力对小车运动的影响．他们将长木板的一端适当垫高，在不挂砝码盘的情况下，小车能够自由地做匀运速直线运动．另外，还应满足砝码盘（连同砝码）的质量m 远小于小车的质量M．（填“远小于”、“远大于”或“近似等于”）接下来，甲同学研究：在保持小车的质量不变的条件下，其加速度与其受到的牵引力的关系；乙同学研究：在保持受到的牵引力不变的条件下，小车的加速度与其质量的关系．②甲同学通过对小车所牵引纸带的测量，就能得出小车的加速度a．图2是某次实验所打出的一条纸带，在纸带上标出了5个计数点，在相邻的两个计数点之间还有4个点未标出，图中数据的单位是cm．实验中使用的电源是频率f=50Hz的交变电流．根据以上数据，可以算出小车的加速度a=0.343 m/s2．（结果保留三位有效数字）③乙同学通过给小车增加砝码来改变小车的质量M，得到小车的加速度a与质量M的数据，画出a～图线后，发现：当较大时，图线发生弯曲．于是，该同学后来又对实验方案进行了进一步地修正，避免了图线的末端发生弯曲的现象．那么，该同学的修正方案可能是 AA．改画a与的关系图线 B．改画a与（M+m）的关系图线C．改画 a与的关系图线 D．改画a与的关系图线．11．（12分）（1）某同学为研究某电学元件（最大电压不超过2.5V，最大电流不超过0.55A）的伏安特性曲线，在实验室找到了下列实验器材：A．电压表（量程是3V，内阻是6kΩ的伏特表）B．电流表（量程是0.6A，内阻是0.5Ω的安培表）C．滑动变阻器（阻值范围0～5Ω，额定电流为0.6A）D．直流电源（电动势E=3V，内阻不计）E．开关、导线若干．该同学设计电路并进行实验，通过实验得到如下数据（I和U分别表示电学测量仪器上的电①请在图1的方框中画出实验电路图，电学元件用R x表示；②在图（a）中描出该电学元件的伏安特性曲线；（2）某同学利用电压表和电阻箱测定一种特殊电池的电动势，该同学利用如图2所示的电路进行实验，图中R0为已知阻值的定值电阻．①用该电路测电动势与内阻，测量值和真实值的关系：E真＞ E测，r真＞ r测（填“＞”、“＜”或“=”）②改变电阻箱阻值，取得多组数据．为了便于用图象法求解电动势与内阻，需要建立合适的坐标系，纵坐标表示，横坐标表示．R=，=≈1333，=，＞+1+纵轴表示，横轴表示1+）①＞；＞；②；．四、计算题（共计69分）解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤．只写出最后答案的不能得分．有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位．12．（14分）（2011•南京一模）杂技演员在进行“顶杆”表演时，使用了一根质量可忽略不计的长竹竿．一质量为40kg的演员自杆顶由静止开始下滑，指到竹杆底端时速度刚好为零．已知杂技演员在下滑过程中其速度一时间图象如图所示（以向下的方向为速度的正方向）．求：（1）在O～1s时间内杂技演员的加速度大小；（2）长竹竿的长度；（3）在O～1s时间内竹竿底部对下面顶杆人肩部的压力大小．（取g=10m/s2）13．（11分）如图所示，直线A为某电源的U﹣I图线，直线B为电阻R的U﹣I 图线，求：（1）电源的电动势和内阻分别是多大？（2）当用此电阻R和该电源组成的闭合电路时，该电源的输出功率为多少？（3）若接入该电源的外电阻是一个最大阻值是2Ω的滑动变阻器，则滑动变阻器的阻值多大时，其消耗的功率最大．14．（15分）如图所示，将一质量为m=0.1kg的小球自水平平台右端O点以初速度v0水平抛出，小球飞离平台后由A点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC，并沿轨道恰好通过最高点C，圆轨道ABC的形状为半径R=2.5m的圆截去了左上角l27°的圆弧，BC为其竖直直径，（sin53°=0.8 cos53°=0.6，重力加速度g取10m/s2）求：（1）小球经过C点的速度大小；（2）小球运动到轨道最低点B 时小球对轨道的压力大小；（3）v0的数值．mg=mm/scos53°=的数值为15．（14分）（2012•徐州一模）如图所示，在水平方向的匀强电场中有一表面光滑、与水平面成45°角的绝缘直杆AC，其下端（C端）距地面高度h=0.8m．有一质量500g的带电小环套在直杆上，正以某一速度沿杆匀速下滑，小环离杆后正好通过C端的正下方P点处．（g=10m/s2）求：（1）小环带何种电荷？离开直杆后运动的加速度大小和方向．（2）小环从C运动到P过程中的动能增量．（3）小环在直杆上匀速运动速度的大小υ0．垂直于杆方向做匀加速运动：平行于杆方向做匀速运动：16．（15分）如图所示，质量M=1kg的木板静止在粗糙的水平地面上，木板与地面间的动摩擦因数μ1=0.1，在木板的左端放置一个质量m=1kg、大小可以忽略的铁块，铁块与木板间的动摩擦因数μ2=0.4，取g=10m/s2，试求：（1）若木板长L=1m，在铁块上加一个水平向右的恒力F=8N，经过多长时间铁块运动到木板的右端？（2）在铁块上加一个水平向右多大范围的力时，铁块和木板间存在相对运动？（3）若在铁块上的右端施加一个大小从零开始连续增加的水平向右的力F，通过分析和计算，写出铁块受到木板的摩擦力f2与拉力F大小的关系式．（设木板足够长））铁块的加速度大小为：=4m/s：。
2022-2023学年江苏省常州高级中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省常州高级中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{0，1}，集合B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．[1，3]B ．（1，3]C ．{﹣1，2，3}D ．{﹣1，0，2，3}2．已知函数f （x ）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝﹣x （x +1），则f （﹣3）＝（ ） A ．﹣12B ．12C ．9D ．﹣93．若x ，y 为实数，则x ＞y 是x 2＞y 2的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f(x)={3x +1，x ＜2，x 2+ax ，x ≥2，若f(f(23))=−6，则实数a ＝（ ）A ．﹣5B ．5C ．﹣6D ．65．如果函数f （x ）对任意实数a ，b 满足f （a +b ）＝f （a ）f （b ），且f （1）＝2，则f(2)f(1)+f(4)f(3)+f(6)f(5)+⋯+f(2022)f(2021)=（ ）A ．2022B ．2024C ．2020D ．20216．已知函数f （x +1）是偶函数，当1＜x 1＜x 2时，[f （x 1）﹣f （x 2）]（x 1﹣x 2）＞0恒成立，设a =f(−12)，b ＝f （2），c ＝f （3），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c7．已知a ＞0，b ∈R ，若x ＞0时，关于x 的不等式（ax ﹣1）（x 2+bx ﹣4）≥0恒成立，则b +4a的最小值是（ ） A ．4B ．2√3C ．4√2D ．4√38．研究问题：“已知关于x 的不等式ax 2﹣bx +c ＞0的解集为（1，2），解关于x 的不等式cx 2﹣bx +a ＞0”有如下解法：解：ax 2﹣bx +c ＞0⇒a ﹣b （1x）+c （1x）2＞0，令y =1x ，则y ∈(12，1)，所以不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为(12，1)．参考上述解法，已知关于x的不等式kx+a +x+bx+c＜0的解集为（﹣2，﹣1），求关于x的不等式kxax−1+bx−1cx−1＜0的解集是（）A．(12，1)B．(−1，−12)C．(−∞，−1)∪(−12，+∞)D．(−∞，12)∪(1，+∞)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
《数学学科知识与教学能力》(高级中学)
《数学学科知识与教学能力》（高级中学）一、考试目标1．数学学科知识的掌握和运用。
掌握大学本科数学专业基础课程的知识和高中数学知识。
具有在高中数学教学实践中综合而有效地运用这些知识的能力。
2．高中数学课程知识的掌握和运用。
理解高中数学课程的性质、基本理念和目标，熟悉《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课标》）规定的教学内容和要求。
3. 数学教学知识的掌握和应用。
理解有关的数学教学知识，具有教学设计、教学实施和教学评价的能力。
二、考试内容模块与要求1.学科知识数学学科知识包括大学本科数学专业基础课程和高中课程中的数学知识。
大学本科数学专业基础课程的知识是指：数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学课程中与中学数学密切相关的内容，包括数列极限、函数极限、连续函数、一元函数微积分、向量及其运算、矩阵与变换等内容及概率与数理统计的基础知识。
其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学的问题。
高中数学知识是指《课标》中所规定的必修课全部内容、选修课中的系列1、2的内容以及选修3—1（数学史选讲），选修4—1（几何证明选讲）、选修4—2（矩阵与变换）、选修4—4（坐标系与参数方程）、选修4—5（不等式选讲）。
其内容要求是：理解高中数学中的重要概念，掌握高中数学中的重要公式、定理、法则等知识，掌握中学数学中常见的思想方法，具有空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力以及综合运用能力。
2．课程知识了解高中数学课程的性质、基本理念和目标。
熟悉《课标》所规定教学内容的知识体系，掌握《课标》对教学内容的要求。
了解《课标》各模块知识编排的特点。
能运用《课标》指导自己的数学教学实践。
3．教学知识了解包括备课、课堂教学、作业批改与考试、数学课外活动、数学教学评价等基本环节的教学过程。
掌握讲授法、讨论法、自学辅导法、发现法等常见的数学教学方法。
掌握概念教学、命题教学等数学教学知识的基本内容。
江苏省南菁高级中学2013届高三第二学期开学质量检测数学试卷
·2·
x2 y 2 4 2 3 3 18.如图,椭圆 C: 2 2 1 (a b 0) 过点 M (1, ), N ( ,1) ,梯形 ABCD(AB∥CD∥ y 轴,且 a b 3 2 AB CD )内接于椭圆,E 是对角线 AC 与 BD 的交点.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 AB m, CD n, OE d 试求
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参考答案 一填空题: 1. ,1 2 2. x∈R,使 x +1<x; 3. 1006+1007i 4.必要不充分条件 π 1 5.3 6. 7. 3 3 8. 2 9. - 5 3 10.16 11.0 12. 1 3 3 a 1 3 3 13.1 14. [ 3, 3)
x2 π y 2 1的两长轴端点与两焦点,椭圆 C 上的点 P 使得∠F1PF2= , 2 5
2 n ,则其前 2013 项的和为____. 3
11.定义在 R 上的函数 y f ( x) 是增函数,且函数 y f ( x 2) 的图像关于(2,0)成中心对称,若 s,t 满足不等式 f (s 4s) f (4t t ) ,若 2 s 2 时,则 3t s 的最大值为____.
6 a,点 2
ABC . D, E , F , O 分别为边 AB, AC 1 ⊥底面 1 , AA 1 , BC 的中点, AO
(Ⅰ)求证:线段 DE∥平面 BB1C1C ; (Ⅱ)求证:FO⊥平面 BB1C1C .
A1 B1 C1
F
E
A D B O
C
17.某生产旅游纪念品的工厂,拟在 2010 年度将进行系列促销活动.经市场调查和测算,该纪念品的年 销售量 x 万件与年促销费用万元之间满足 3 x 与 t 1 成反比例.若不搞促销活动,纪念品的年销售量 只有 1 万件.已知工厂 2010 年生产纪念品的固定投资为 3 万元,每生产 1 万件纪念品另外需要投资 32 万元.当工厂把每件纪念品的售价定为:“年平均每件生产成本的 150%”与“年平均每件所占促销费 一半”之和时,则当年的产量和销量相等.(利润=收入-生产成本-促销费用) (1)求出 x 与所满足的关系式; (2)请把该工厂 2010 年的年利润 y 万元表示成促销费万元的函数; (3)试问:当 2010 年的促销费投入多少万元时,该工厂的年利润最大?
常州市北郊高级中学2013年高考数学模拟试卷
常州市北郊高级中学2013年高考数学模拟试卷一．填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设复数z 满足()(1)1i i i z ++=-（i 是虚数单位），则复数z 的模z =_______． 2．一支田径队有男运动员48人，女运动员36员中抽取一个容量为213不超过50 kg 按0.53元/kg 收费，超过50 kg 的部分按 0.85元/kg 则①处应填 ． 4．函数3()f x x ax =+在(1,2)处的切线方程为 5．若命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”是假命题， 则实数a 的取值范围是 ．6．设2cos sin 23cos 21)(2++=x x x x f ，]4,6[ππ-∈x ，则)(x f 的值域为7．若对任意x R ∈，不等式4x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是 。
8．已知向量,m n 的夹角为6π，且3,2,22,26,m n AB m n AC m n D ===+=-为边BC 的中点，则AD =9．设(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数，偶函数，当0x <时，()()()F x f x g x =(),0-∞上是增函数，且(2)0g =，则不等式()()0f x g x <的解集是 。
10．已知,n n S T 分别是等差数列{}{},n n a b 的前n 的和，且()2142n n S n n N T n ++=∈-，则1011318615a ab b b b +=++ 。
11．设半径为10cm 的球中有一个棱长为整数()cm 的正方体，则该正方体的棱长的最大值等于 。
12．若点P 在椭圆221169x y +=上，其到直线143x y +=的距离为65，则点P 的个数为 。
13．如果正数,,x y z 可以是一个三角形的三条边，则称(),,x y z 是“三角形数”。
若(),,a b c和111,,a b c ⎛⎫⎪⎝⎭均为“三角形数”，且a b c ≤≤，则a c 的取值范围是 。
江苏省2013届高三最新数学(精选试题26套)分类汇编6：不等式
3 ． （江苏省常州市武进高级中学 2013 年高考数学文科） 冲 刺模拟试卷 doc） 点 P ( x, y ) 在不等式组
x 0, x y 3, y x 1
表示的平面区域内,若点 P ( x, y ) 到直线 y kx 1 的最大距离为 2 2 ,则 k ___ .
2mx m 2 2 , m 0, m R, x R .若 x1 x2 1 ,则
_____.
【答案】 1
f ( x1 ) 的取值范围是 f ( x2 )
2 ,2 2 2
→ →
16． （江苏省西亭高级中学 2013 届高三数学终考卷）设向量OA=(0,1), OB=(1,1)，O 为坐标原点，动点 P(x,y)
1
xy
的最小值是
___________. 【答案】 12
11 ． （ 江 苏 省 常 州 高 级 中 学 2013 年 高 考 数 学 模 拟 试 卷 ） 定义 : min {x,y} 为实数 x,y 中 较小的 数 . 已知
h min a， 2 b 2 ,其中 a,b 均为正实数,则 h 的最大值是_________. a 4b
x ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是 x ＋3x＋1
2
________.
【答案】a≥
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6 ．（ 江 苏 省 常 州 市 华 罗 庚 高 级 中 学 2013 年 高 考 数 学 冲 刺 模 拟 试 卷 ） 定 义 区 间
c, d , c, d , c, d , c, d 的长度均为d c，其中d c. 若
【答案】 1 4 ． （江苏省启东中学 2013 届高三综合训练（1） ）设 a
江苏省常州市武进区2013届高三数学上学期期中考试数学试题 文 苏教版
武进区教育学会2012～2013学年度第一学期期中高三文科数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答 案填写在答题卷相应的位置上）1．已知集合{}24M x x =<，{}ln 0N x x x =>，则集合MN = ▲ ．2．已知向量(cos35,sin 35),(cos 65,sin 65)a b =︒︒=︒︒，则向量a 与b 的夹角为▲ ．3．设直线l 是曲线3()2f x x =-+上的一条切线，则切线l 斜率最小时对应的倾斜角为 ▲ ．4．2sin 2sin cos y x x x =+的周期是 ▲ ．5．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且41016a a =，则10a = ▲ ． 6．若实数x 满足2cos log 2=+θx ，则28++-x x = ▲ ． 7．已知向量,a b 满足||5,||13a b ==，65cos ,65a b <>=.若ka b +与3a b -垂直， 则k = ▲ ．8．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为4cm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长为2cm ，那么该棱柱的表面积为 ▲ 2cm ．9．等差数列{}n a 中，已知27a ≤，69a ≥，则10a 的取值范围是 ▲ ． 10．已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，向量,,OA OB OC 满足()[2'(1)]ln OA f x f x OB x OC =+-⋅，则函数()y f x =的表达式为 ▲ ．11．已知3()log (3)f x x =-，若实数,m n 满足()(3)2,f m f n +=则m n +的最小值为▲ ．12．过点C (2，5)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为21,r r ，则12r r += ▲ ． 13．给出以下命题：A 1（1）在△ABC 中，sin sin A B >是A B >的必要不充分条件；（2）在△ABC 中，若tantan tan 0A BC ++>，则△ABC 一定为锐角三角形； （3）函数y ={}sin ,1y x x π=∈是同一个函数；（4）函数(21)y f x =-的图象可以由函数(2)y f x =的图象按向量(1,0)a =平移得到. 则其中正确命题的序号是 ▲ （把所有正确的命题序号都填上）．14．数列{}n a 满足1(1)nn n a a n ++-=，则{}n a 的前40项和为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）设函数)0π( )2sin()(<<-+=ϕϕx x f .()y f x =图像的一条对称轴是直线8π=x ． （1）求函数()f x 的解 析式； （2）若3(),(0,)25f ααπ=∈，试求5()8f πα+的值.16．（本题满分14分）长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，AB =，P 、Q 分别是1CD 和1A A 的中点，求证：（1）PQ ABCD 面；（2）面DPQ ⊥已知()(]ln ,0,f x ax x x e =-∈，其中e 是自然常数，.a R ∈ (1)当1a =时，求()f x 的单调区间和极值； (2)若()3f x ≥恒成立，求a 的取值范围.18．（本题满分16分）已知曲线C ：2222(-1)120x y ax a y a +---+=.（1）证明：不论a 取何实数，曲线C 必过定点；（2）当1a ≠时，若曲线C 与直线21y x =-相切，求a 的值.；（3）对所有的a R ∈且1a ≠，是否存在直线l 与曲线C 总相切？如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由.各项均为正数的数列{}n a 中，前n 项和212nn a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)求数列{}n a 的通项公式； （2）若12231111n n k a a a a a a ++++<恒成立，求k 的取值范围； (3)对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间2(2,2)mm内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m S .20．（本题满分16分）设函数32()f x ax bx cx d =+++是奇函数，且当x =时，()f x 取得极小值（1）求函数()f x 的解 析式；（2）求使得方程11()4033f x nx n '--++=仅有整数根的所有正实数n 的值； （3）设()|()(31)|g x f x t x =+-，（[1,1]x ∈-），求()g x 的最大值()F t ．武进区2012～2013学年度第一学期期中调研测试高三文科数学试题评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．()1,2 2．30︒ 3．120︒ 4．π 5．32 6．107．19 8．8 9．[)11,+∞ 10．()2ln 13xf x x =-+11．4 12．14 13．（2）、（3） 14．420二、解答题：（本大题共6道题，计90分） 15．（本小题满分14分） 解：（1）∵8π=x 是函数()y f x =的图象的对称轴，∴1)82sin(±=+⨯ϕπ，∴Z k k ∈+=+,24ππϕπ，………………2分∵－0<<ϕπ，∴43πϕ-=， ………………4分 故3()sin(2) 4f x x π=-………………6分 （2）因为3(),(0,)25f ααπ=∈，所以33sin()45πα-=，34cos()45πα-= ………………8分故333333sin sin[()]sin()cos cos()sin444444ππππππαααα=-+=-⋅+-⋅＝43()25510-= ………………11分 而553()sin[2()]sin(2)cos 28842f ππππαααα+=+-=+=＝222412sin 125α-=-=. 所以，524()825f πα+=. ………………14分116．（本题满分14分）证明：⑴ 取CD 中点M ，连接AM 、PM .P 、Q 分别是1CD 和1A A 的中点，112PMD D ∴，112PM D D =，………………2分PMAQ ∴，PM AQ =，∴四边形AMPQ 是平行四边形，PQ AM ∴， (5)分 又AM ABCDPQABCD ⊂⎧⎨⊄⎩面面，PQ ABCD ∴面. ………………………7分⑵1AD =，AB =，2DM =，2AD AB DM ∴=⋅， ADM BAD ∴∆∆～，DAM ABD ∴∠=∠，AM BD ∴⊥，PQ AM ，PQ BD ∴⊥， ………………10分又长方体1111ABCD A B C D -，1B B ABCD ∴⊥面，AM ABCD ⊂面，1B B AM ∴⊥，AM PQ ，1PQ B B ∴⊥，………………12分又111111BD B B B BD BB D D B B BB D D=⎧⎪⊂⎨⎪⊂⎩面面，11PQ BB D D ∴⊥面，PQ DPQ ⊂面∴面11DPQ BB D D ⊥面.………………………14分17．（本题满分14分） 解：(1)()'11ln ()1x f x x xf x x x-=-=-=…………………………2分 ∴当01x <<时，()'0f x <，此时()f x 为单调递减；当1x e <<时，()'0f x >，此时()f x 为单调递增. ………………4分 ∴当()f x 的极小值为()11f =，()f x 无极大值………………………………6分 （2）法一：∵()(]ln ,0,f x ax x x e =-∈， ∴ln 3ax x -≥在(]0,x e ∈上恒成立，即3ln xa x x ≥+在(]0,x e ∈上恒成立，………………8分 令3ln ()xg x x x=+，(]0,x e ∈，∴'22231ln 2ln ()x xg x x x x -+=-+=-………………10分 令'()0g x =，则21x e=，当210x e <<时，()'0f x >，此时()f x 为单调递增，当21x e e<<时，()'0f x <，此时()f x 为单调递减， ………………12分 ∴222max 21()()32g x g e e e e==-=，∴2a e ≥. ………………14分法二：由条件：ln 30ax x --≥在(]0,x e ∈上恒成立 令()ln 3g x ax x =--，(]0,x e ∈，'11()ax g x a x x-=-=， ………………8分 11a e≤时，'()0g x ≤恒成立，∴()g x 在(]0,e 上递减，∴min ()()4g x g e ae ==-； 由条件知40ae -≥∴4a e ≥ 与1a e<矛盾. ………………10分12a e >时，令'()0g x =，∴1x a =当10x a <<时，()'0f x <，此时()f x 为单调递增，当1x e a<<时，()'0f x >，此时()f x 为单调递减， max 1()()ln 2g x g a a==-，∴ln 20,a -≥ ………………12分 即2a e ≥. ………………14分 18．（本题满分16分）解：(1)证明:曲线C 的方程可变形为()()22212220x y y x y a ++-+--+=，由222102220x y y x y ⎧++-=⎨--+=⎩， ………………2分解得10x y =⎧⎨=⎩，点()1,0满足C 的方程，故曲线C 过定点()1,0. ………………4分 (2)原方程配方得()()()222121x a y a a -+-+=-;由于1a ≠，所以()2210a ->， 所以C 的方程表示圆心是(),1a a -1-的圆. ………………6分由题意得圆心到直线距离d =………………8分1-=，解得a =………………10分 （3）法一：由（2）知曲线C 表示圆设圆心坐标为()y x ,，则有1x ay a =⎧⎨=-⎩，消去a 得1y x =-，故圆心必在直线1y x =-上.又曲线C 过定点()1,0，所以存在直线l 与曲线C 总相切， ………………12分 直线l 过点()1,0且与直线1y x =-垂直；∴l 方程为(1)y x =--即1y x =-+. ………………16分 法二：假设存在直线l 满足条件，显然l 不垂直于x 轴，设:l y kx b =+，圆心到直线距离d =1-对所有的a R ∈且1a ≠都成立，………………12分即22222(1)2(21)2(1)(1)0k a k k kb b a k b +-++-+++-+=恒成立∴2222(1)02102(1)(1)0k k k kb b k b ⎧+=⎪++-+=⎨⎪+-+=⎩∴11k b =-⎧⎨=⎩∴存在直线l ：(1)y x =--即1y x =-+与曲线C 总相切. ………………16分 19．（本题满分16分）解：(1)212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，2-1-11,22n n a S n +⎛⎫∴=≥ ⎪⎝⎭，两式相减得22-111,222nn n a a a n ++⎛⎫⎛⎫=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………………2分整理得()()-1-120n n n n a a a a +--=， 数列{}n a 的各项均为正数，-12,2n n a a n ∴-=≥，{}n a ∴是公差为2的等差数列， ………………4分 又21112a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭得11a =，∴21n a n =-. ………………5分 （2）由题意得12231max111n n k a a a a a a +⎛⎫>+++⎪⎝⎭， ()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 12231111111111123352121n n a a a a a a n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭ ………………8分 ∴12k ≥………………10分 (3)对任意m N +∈，22212m m n <-<，则121112222m m n --+<<+，而*N n ∈，由题意可知21122m m m b --=-， ………………12分 于是132101112222(222)m m m m S b b b --=+++=+++-+++()2121212221222232121121233m m m m m m+++----⋅+=-=--=--， 即2123213m m mS +-⋅+=. ………………16分20．（本题满分16分） 解：（1）()f x 为奇函数，0b d ∴==， ………………2分又由(0f '=及(f =，得1,1a c =-=， 3()f x x x ∴=-+； ………………4分当3x <-时，()0f x '<，当33x -<<时()0f x '>，()f x ∴在3x =-时取得极小值，3()f x x x ∴=-+为所求 ………………5分 （2）方程11()4033f x nx n '--++=化简得： 240x nx n -+=，因为方程仅有整数解，故n 为整数，又由2(4)x n x =-及0n >知，40x ->. ………………7分又216(4)84(4)x n x x x ==-++--，故4x -为16的正约数， ………………9分 所以41,2,4,8,16x -=，进而得到16,18,25n =. ………………10分 （3）因为3()|3|,[1,1]g x x tx x =-∈-是偶函数，所以只要求出()g x 在[0,1]上的最大值即可.记3()3h x x tx =-，22()333()h x x t x t '=-=-，（1）0t ≤时，()0h x '≥，()h x 在[0,1]上单调增且()(0)0h x h ≥=.∴()()g x h x =，故()(1)13F t h t ==-； ………………12分（2）0t >时，由()0h x '=得，x =和x =，1≥即1t ≥时，()h x 在〖0，1〗上单调减， ∴()(0)0h x h ≤=，故()()g x h x =-，()(1)31F t h t =-=-； ………………14分1<即01t <<时，()h x在单调减，单调增，1<≤114t ≤<时，|||(1)|h h >，∴()2F t h =-=（Ⅱ）当1<，即104t <<时，(1)2h >，∴()(1)13F t h t ==-，综上可知，113,41()21431,1t t F t t t t ⎧-<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩. ………………16分。
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If x >0 Then
1y x ←+ Else
1y x ←-
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（第5题）
常州市高级中学2013届高三数学（理科）期中试卷2012/11/15
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上．
1.已知复数1m i
z i +=
+，()R m ∈是纯虚数，则m 的值是 ▲ 2
．设集合11
{3{0}3x x A x B x x
-=<<=<，则A B = ▲
3. 函数()sin 2042f x x x ππ⎛
⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭的单调递增区间是 ▲
4．过点()1,0且倾斜角是直线0332=++y x 的倾斜角的两倍的直线方程是 ▲
5．下图是根据所输入的x 值计算y 值的一个算法程序，若x 依次取数
1100n ⎧⎫
-⎨
⎬⎩⎭
()n N +∈ 中的前200项，则所得y 值中的最小值为 ▲ 6．设0ω>，函数()
sin 2y x ωπ=++3的图像向右平移4π3个单位后与原图像重合，则ω的最小值是 ▲ ．
7．设R a ∈，则“1=a ”是“直线012:1=-+y ax l 与04)1(:2=+++y a x l 平行”的 ▲ 条件 (填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 8．设点P 是曲线3
2
33+
-=x x y 上任一点，P 点处切线倾斜角为α，则α的取值 范是
9．若,)23()
1(3
13
1-
-
-<+a a 则实数a 的取值范围是 ▲
10．如图，321,,l l l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1，3l 与2l 间的距离是2，正
∆ABC 的三顶点分别在321,,l l l 上，则△ABC 的边长是 ▲ ．
11．在ABC ∆中，AB 边上的中线2CO =，若动点P 满足221sin cos 2
AP AB AC θθ=⋅+⋅
()R θ∈，则
()PA PB PC +⋅
的最小值是 ▲
12．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S 若322(1)2010(1)1a a -+-=，320092009(1)2010(1)1a a -+-=-，则下列为真命题的序号为 ▲ ．
①20092009S =； ②20102010S =； ③20092a a <； ④20092S S <．
13．若关于x 的一元二次不等式20 ()ax bx c a b ++<≥的解集为R ，则24a b c M b a
++=-的最小值是 ▲
14. 已知二次函数2(),f x x x k k Z =-+∈，若函数2)()(-=x f x g 在31,2⎛
⎫- ⎪⎝⎭上有两个不同的零点，
则)
(2
)]([2x f x f +的最小值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数()()
2ππ()sin cos sin sin 44f x x x x x x x =+++-∈R ，． （1）求()f x 的最小正周期和值域；
（2）若0x x =()
0π02
x ≤≤为()f x 的一个零点，求0sin 2x 的值．
16．设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满(2)0a c BC BA cCA CB +⋅+⋅=
.
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若b =AB CB ⋅
的最小值.
17．已知函数x a
x x f +
=)(的定义域为),0(∞+，且2
22)2(+=f . 设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为N M 、. （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）问：PN PM ⋅是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；
（Ⅲ）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值.
18
．设函数()x f x =111(,)P x y 、222(,)P x y ，若12
1()2OP OP OP =+ ，且P 点的横坐标为1
2 （1）求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个值； （2）若1
()n
n i i
S f n
==
∑
，n N *∈，求n S ；
（3）记n T 为数列⎪⎪⎭⎪
⎪
⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++232311n n S S 的前n
项和，若2(2n n T a S +<⋅+
对一切n N *∈都成立，试求实数a 的取值范围
19．某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克/升) 满足()y m f x =，其中()()()
2
20416
14422
x x f x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨
+⎪>⎪-⎩，当药剂在水中释放的浓度不低于4 (毫克/升) 时称为有效净化；当药剂在水中释放
的浓度不低于4 (毫克/升) 且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．
（1）如果投放的药剂质量为4m =，试问自来水达到有效净化一共可持续几天?
（2）如果投放的药剂质量为m ，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的取值范围．
20.已知函数32
()()f x ax bx b a x =++-（b a ,不同时为零的常数），导函数为()x f '.
（1）当3
1=a 时，若存在[]1,3--∈x 使得()0'
>x f 成立，求实数b 的取值范围；
（2）求证：函数()x f y '
=在()0,1-内至少有一个零点；
（3）若函数()x f 为奇函数，且在1=x 处的切线垂直于直线032=-+y x ，关于x 的方程()t x f 4
1-
=在[]1,,1->-t t 上有且只有一个实数根，求实数t 的取值范围.。