高考数学难点突破(3)

由Sn＞2008得2n－2＋2 ＞2008，n＋ ＞1005，
当n≤1004时，n＋ ＜1005，当n≥1005时，n＋ ＞1005，∴n的最小值为1005．
18. （1）B （2）因为 、 、 成等差数列，所以 ，
所以 ．又 ， ，
．显然 ，即 、 、 成等差数列．若其为等比数列，有 ，所以 ， ，与题设矛盾
（3）设数列 的前n项和为Tn，试比较 与Sn的大小.
17.定义：若数列 满足 ，则称数列 为“平方递推数列”．已知数列 中， ，且 ，其中 为正整数．
(1)设 ，证明：数列 是“平方递推数列”，且数列 为等比数列；
(2)设(1)中“平方递推数列” 的前 项之积为 ，即 ，求数列 的通项及 关于 的表达式；
即 ． 或 ．（舍去）
由 得：
∴
23. （1）由已知，得 解得： ．
（2）∵lg(2a1＋1)＝lg5，∴lg(2an＋1)＝2n－1lg5，∴2an＋1＝5 ，∴an＝ (5 －1)．
∵lgTn＝lg(2a1＋1)＋lg(2a2＋1)＋…＋lg(2an＋1)＝ ＝(2n－1)lg5．
∴Tn＝5 ．
（3）cn＝ ＝ ＝ ＝2－ ，
∴Sn＝2n－[1＋ ＋ ＋…＋ ]＝2n－ ＝2n－2[1－ ]＝2n－2＋2 ．
11. 将等差数列 所有项依次排列，并作如下分组： …第一组1项，第二组2项，第三组4项，…，第n组 项。记 为第n组中各项的和。已知 。
（1）求数列 的通项；
（2）求 的通项公式；
（3）设 的前n项的和为 ，求 。
12. 设各项为正数的等比数列 的首项 ，前n项和为 ，且 。
（Ⅰ）求 的通项；
（Ⅱ）求 的前n项和 。
对于函数 ，在x＞3.5时，y＞0， ，在（3.5， ）上为减函数．
故当n＝4时， 取最大值3
而函数 在x＜3.5时，y＜0， ，在（ ，3.5）上也为减函数．
故当n＝3时，取最小值， ＝-1．
（3） ， ，
∴ ．
5.(Ⅰ)欲使数列{an}是一个常数数列，则an+1= =an
又依a1>0，可得an>0并解出：an= ，即a1=an=
25. 已知等差数列{an}的公差d>0.Sn是它的前n项和，又 与 的等比中项是 ， 与 的等差中项是6，求an。
26. 和 分别是等比数列和等差数列，它们的前四项和分别为120和60，而第二项与第四项的和分别是90和34，令集合 ， ， ，…， ， ， ， ，…， ．求证： ．
27. 已知曲线C： ， ： （ ）。从 上的点 作 轴的垂线，交 于点 ，再从点 作 轴的垂线，交 于点 ，
(Ⅱ)研究an+1－an= － = (n≥2)
注意到 >0
因此，可以得出：an+1－an，an－an－1，an－1－an－2，…，a2－a1有相同的符号7’
要使an+1>an对任意自然数都成立,只须a2－a1>0即可.
由 >0，解得：0<a1<
(Ⅲ)用与(Ⅱ)中相同的方法，可得
当a1> 时，an+1<an对任何自然数n都成立.
当 为奇数时， ，即数列 的奇数项成等差数列，
；
当 为偶数， ，即数列 的偶数项成等比数列，
．
因此，数列 的通项公式为 ．
（Ⅱ） ，
……（1）
…（2）
（1）、（2）两式相减，
得
．
．
11. 设 的公差为d，首项为 ，则
（1）
（2）
解得 ，则 。
（2）当 时，在前n-1组中共有项数为： 。故第n组中的第一项是数列 中的第 项，且第n组中共有 项。
所以
当n=1时， 也适合上式，故 。
（3） 。即数列 前8组元素之和，且这8组总共有项数
。
则
12. （Ⅰ）由 得
即
可得
因为 ，所以 解得 ，因而
（Ⅱ）因为 是首项 、公比 的等比数列，故
则数列 的前n项和
前两式相减，得
即
13. （1）∵ ,当 时, , ,
又∵对任意的 , 总有两个不同的根,∴
∴ ，
令f(t)=t-1-lnt，
∵ 当 时，有 ，∴函数f(t)在 递增
∴f(t)>f(1)即t-1<lnt
另令 ，则有
∴g(t)在 上递增，∴g(t)>g(1)=0
∴
综上得
（2）由（1）令x=1,2,……(n-1)并相加得
即得
7. (1)易求得
（2）
作差比较易得：
（3）当 时，不等式组显然成立.
当
由（2）知
15. （1）由已知得
当 时， ， 1分
同理可得 3分 猜想
下面用数学归纳法证明 成立
①当 时，由上面的计算结果知 成立 6分
②假设 时， 成立，即 ，
那么当 时，
即
当 时， 也成立
综合①②所述，对 ， 成立。
（2）由（1）可得
16. （I）解：由 得
，
（II）由 ，
∴数列{ }是以S1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，
（3）设 ，试问数列 有没有最大项？如果有，求出这个最大项，如果没有，说明理由。
9. 设数列 前项和为 ,且(3 ,其中m为常数,m
求证:是等比数列;
若数列 的公比q=f(m),数列 满足 求证: 为等差数列,求 .
10. 已知数列 满足： 且 ， ．
（Ⅰ）求 ， ， ， 的值及数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 ；
代入式（1）得 ，
即 ，故 是等差数列．
（2）由 及式（1），式（2），易得
因此 的公差 ，从而 ，
得 （3）
又 也适合式（3），得 ，
所以 ，
从而
3. 解：（Ⅰ）
（Ⅱ） ，
，（1） ，
而 ，
∴ ．
∴ { }是首项为 ，公差为1的等差数列．
（2）依题意有 ，而 ，
∴ ．
（1）当从A口分别输入自然数2 ，3 ，4 时，从B口分别得到什么数？试猜想 的关系式，并证明你的结论；
（2）记 为数列 的前 项的和。当从B口得到16112195的倒数时，求此时对应的 的值.
16. 已知数列 ，其前n项和Sn满足 是大于0的常数），且a1=1，a3=4.
（1）求 的值；
（2）求数列 的通项公式an；
6. （1）已知： ，求证 ；
（2）已知： ，求证： 。
7. 已知数列 各项均不为0，其前n项和为 ，且对任意 ，都有 （p为大于1的常数），并记 .
（1）求 ；
（2）比较 与 的大小 ；
（3）求证： ( ).
8. 已知 ，各项为正的等差数列 满足
，又数列 的前 项和是
。
（1）求数列 的通项公式；
（2）求证数列 是等比数列；
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）记 ， ，是否存在正数k，使得 … 对一切 均成立，若存在，求出k的最大值，若不存在，请说明理由．
24. 已知f(x)=log2(x+m),m∈R
（1）如果f(1)，f(2)，f(4)成等差数列，求m的值；
（2）如果a,b,c是两两不等的正数，且a,b,c依次成等比数列，试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论。
(3)记 ，求数列 的前 项之和 ，并求使 的 的最小值．
18. 在不等边△ABC中，设A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知 ， ， 依次成等差数列，给定数列 ， ， ．
（1）试根据下列选项作出判断，并在括号填上你认为是正确选项的代号：
数列 ， ， （ ）．
A．是等比数列而不是等差数列 B．是等差数列而不是等比数列
由(1),
∵对任意的 , 总有两个不同的根, ∴
∵对任意的 , 总有两个不同的根, ∴
由此可得 ，
当 ，
∴
当 ，
∴
14. （1） .
（2） ， ，
当 时，.
（3）所给数列可推广为无穷数列 ，其中 是首项为1，公差为1的等差数列，当 时，数列 是公差为 的等差数列.
研究的问题可以是：试写出 关于 的关系式，并求 的取值围．
当n=1时a1=1满足
（III） ①
，②
①－②得 ，
则 .
当n=1时，
即当n=1或2时，
当n>2时，
17. （1）由条件an＋1＝2an2＋2an， 得2an＋1＋1＝4an2＋4an＋1＝(2an＋1)2．∴{bn}是“平方递推数列”．∴lgbn＋1＝2lgbn．∵lg(2a1＋1)＝lg5≠0，∴ ＝2．∴{lg(2an＋1)}为等比数列．
（Ⅲ）续写已知数列，使得 是公差为 的等差数列，……，依次类推，
把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ (所得的结论不必证明)
15. 一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B ，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到 ，记为 ；②当从A口输入自然数 时，在B口得到的结果 是前一个结果 的 倍.
13. 设数列 是首项为0的递增数列，（ ）， 满足：对于任意的 总有两个不同的根。
（1）试写出 ，并求出 ；
（2）求 ，并求出 的通项公式；
（3）设 ，求 。
14. 已知数列 ，其中 是首项为1，公差为1
的等差数列； 是公差为 的等差数列； 是公差为 的等差数列（ ）.
(Ⅰ)若 ，求 ；（Ⅱ）试写出 关于 的关系式，并求 的取值围；
因此当a1=2时，an+1－an<0
∴Sn=b1+b2+…bn