2013-2014(1)微积分(上)期中试卷A)
微积分试卷2014(1A)参考答案
2014微积分(上) A 卷 参考答案一、填空题（每小题4分，20分）11;2;;1;25---dx二、计算下列各题（每小题5分，共20分）6. 求极限sin 230lim ()ln(1)→-++x xx e e x x xsin sin 230001sin lim lim lim (1)ln(1)-→→→--==++x x xx x x e e x xx x x x (2)201cos lim 3→-=x xx (4)16= (5)7. 求极限1402sin lim 1→⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭x x x e x x e1402sin 20lim 11101-→⎛⎫++ ⎪+=-= ⎪+ ⎪+⎝⎭x x x e x x e (2)1402sin lim 0111+→⎛⎫+ ⎪+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭x x x e x x e (4)1402sin lim 11→⎛⎫+ ⎪+= ⎪ ⎪+⎝⎭x x x e x x e (5)8. 利用泰勒公式求极限30sin (1)lim →-+x x e x x x x2331sin ()3=+++x e x x x x o x (3)3333001()sin (1)3lim lim →→+-+=x x x x o x e x x x x x (4)13= (5)_____________ ________9.设1()1,1≠=⎪-=⎩x f x x 在1=x 处连续，求,a b 的值)1lim 20,4→=+=x a b (2)11,1,→→=-=-x x1,4,8=-=-=a b (5)三、计算下列各题（每小题5分，共15分）10.设1124=+y 'y3344(1)-'==+u u x x ……….2 21111121411⎛⎫'''=+- ⎪++-⎝⎭y u u u u u (4)411''==-y u u (5)11. 设()f x 连续，在0=x 的某邻域内有(1sin )3(1sin )8()+--=+f x f x x o x ，且()f x 在1=x 处可导，求曲线()=y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程(10)3(10)0,(1)0+--==f f f ……….1 0(1sin )3(1sin )lim 8sin →+--=x f x f x x4(1)8,(1)2''==f f (4)22=-y x (5)12. 由参数方程23ln(1)=-+⎧⎨=+⎩x t t y t t确定()=y y x ，求22d y dx2(1)(23)352=++=++dy t t t t dx……….2 22(65)(1)++=d y t t dx t (5)四、计算下列积分（每小题5分，共15分）13. 求积分21arctan1+⎰x dx x21arctan1arctan arctan 1=+⎰⎰x dx d x x x ..........1 211arctan arctan arctan 1=++⎰x x dx x x ..........3 211arctan arctan (arctan )2=++x x c x . (5)14.求积分tan ,=x t (1)cos sin -=⎰t e tdt (3)cos cos -=-⎰t e d t (4)=e.515.求积分(211-⎰x dx121(2-=+⎰x dx1121--=+⎰⎰x dx ……….3 232π=+ (5)五、解答下列各题（每小题5分，共15分）16. 设()f y 是连续函数，且()()=-⎰b a F x f y x y dy ，<<a x b ，求()''F x ()()()()()=-+-⎰⎰⎰⎰x x b b a a x x F x x f y dy f y ydy f y ydy x f y dy (2)()()()'=-⎰⎰x b a x F x f y dy f y dy (4)()2()''=F x f x (5)17. 设1()S t 是曲线2=y x 与直线0=x 及=y t 所围图形的面积，2()S t 是曲线2=y x 与直线1=x 及=y t 所围图形的面积，其中01<<t 。
交通大学微积分第一学期期中考试试卷及答案
交 通 大 学2010-2011学年第一学期《微积分》期中考试试卷学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________一、填空题（每题2分，共20分）1、已知0x →时，()12311ax+-与cos 1x -是等价无穷小，则a =32-2、设()()1x e ef x x x -=-，则1x =是()f x 的第 一 类间断点.3、当1x →-时,2ax x b -+与1x +为等价无穷小，则a =1-，b = 0 . 4、设()()()()12,f x x x x x n =+++则()'0f =!n5、设232x y x e-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则'0x y ==136、设()()31tx f t y f e π=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，其中f 可导，且()'00f ≠，则0t dy dx == 3 . 7、设21cos x t y t ⎧=+⎨=⎩，则22d y dx =3sin cos 4t t t t -8、设tan y x y =+，则dy =2cot ydx9、()2212x x de e --=)222x x e e -+10、极坐标系下对数螺线r e θ=在点()2,,2r e ππθ⎛⎫= ⎪⎝⎭处的切线的直角坐标方程为2x y e π+=二、单项选择题（每题2分，共30分）1、设()()22,0,,0,2,0,,0,x x x x g x f x x x x x -≤⎧<⎧==⎨⎨+>-≥⎩⎩，则()g f x =⎡⎤⎣⎦ D . (A) 22,0,2,0,x x x x ⎧+<⎨-≥⎩（B ）22,0,2,0,x x x x ⎧-<⎨+≥⎩（C ）22,0,2,0,x x x x ⎧-<⎨-≥⎩.（D ）22,0,2,0,x x x x ⎧+<⎨+≥⎩2、202sinlimtan x x x x→= C . (A) 1，（B ）2, (C) 0,（D ）不存在.3、当0x →时，tan sin x x -与kx 是同阶无穷小，则k = C . (A)1.（B ）2（C ）3.（D ）4. 4、设()sin 3sin 5x x xf x e eπ=-，则当x π→时， D . （A ）()f x 是x π-的等价无穷小， （B ）()f x 是x π-的低阶无穷小， （C ）()f x 是x π-的高阶无穷小，（D ）()f x 是x π-的同阶但非等价的无穷小。
2013-2014学年度上学期期中考试(高一数学)附答案
2013-2014学年度上学期期中考试高一数学试卷时间：120分钟 分值：150分一、选择题（每题5分，共50分）1. 集合{}{}2,,(,)2,,A y y x x R B x y y x x R ==∈==+∈⋂则A B=( )A ．{（-1,2），(2，4) } B. {( -1 , 1)} C. {( 2, 4)} D. φ2. 某学生从家里去学校上学，骑自行车一段时间，因自行车爆胎，后来推车步行，下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示该生离学校的距离，则较符合该学生走法的图是（ ）3. 定义集合运算A ◇B =|,,c c a b a A b B =+∈∈，设0,1,2A =，3,4,5B =，则集合A ◇B 的子集个数为（ ）A .32B .31C .30D .144. 已知函数1232(2)()log (1)(2)x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩ ，则))2((f f 的值为 A. 2 B. 1 C. 0 D.35. 已知0.312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20.3b -=，12log 2c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >> 6. 已知21)21(x x f =-，那么12f ⎛⎫⎪⎝⎭= A ．4 B ．41 C ．16 D ．1617. 已知函数()=f x 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是 （ ）A.0<m ≤4B.0≤m ≤1C.m ≥4D.0≤m ≤48. 函数212()log (32)f x x x =-+的递增区间是A ． (,1)-∞B ． (2,)+∞C ． 3(,)2-∞ D ．3(,)2+∞ 9. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(),0-∞上单调递减，且有()3=0f ，则使得()0<f x 的x 的范围为（ ）A.(),3-∞B. ()3,+∞C.()(),33,-∞+∞D.()3,3-10.对实数a 和b 定义运算“⊗”：,1,,1a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩． 设函数22()(2)()f x x x x =-⊗-，x ∈R ，若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）A ．3(,2](1,)2-∞--B ．3(,2](1,)4-∞---C ．11(1,)(,)44-+∞D ．31(1,)[,)44--+∞二、填空题（每题5分，共25分） 11．函数)12(log 741)(2++-=x x x f 的定义域为 .12．幂函数()22211m m y m m x--=--在()0,x ∈+∞时为减函数，则m= ．13. 已知2510m n==，则11m n+= ． 14. 如果函数()f x 满足：对任意实数,a b 都有()()()f a b f a f b +=,且()11f =，则()()()()()()()()()()2342011201212320102011f f f f f f f f f f +++++= _________．15. 给出下列命题：①()f x 既是奇函数，又是偶函数；②()f x x =和2()x f x x=为同一函数；③已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；④函数y =[0,4) 其中正确命题的序号是 .三、解答题（共75分）16.（本小题满分12分）⑴计算：0.25-2-25.0log 10log 2)161(85575.032----⑵已知函数)(x f 是定义域为R 的奇函数，当x ≤0时，)(x f =x(1+x).求函数)(x f 的解析式并画出函数)(x f 的图象.17.（本小题满分12分）已知集合{}|5239A x x =-≤+≤，{}|131B x m x m =+≤≤- （1）求集合A ；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.18．（本小题满分12分）某商品在近30天内每件的销售价格p （元）与时间t （天）的函数关20,025,,100,2530,.t t t N p t t t N +<<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是40+-=t Q ),300(N t t ∈≤<，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？19．（本小题满分12分）定义运算：a bad bc c d=- （1）若已知1k =,求解关于x 的不等式101x x k< -（2）若已知1()1x f x k x=- -，求函数()f x 在[1,1]-上的最大值。
郑州大学2013级微积分(上)试题(a卷)及其参考答案
dy dx
tan y
C1 .
④
④为可分离变量型，由④得到
tan
1 y
C1
dy
dx
即
ln siny C1 x ln C2
化简得
siny C1 C2e x
为①的通解.又注意到当 p 0 时，当 y 0 时，可得①的平凡解 y C .
10.求方程 y 2 y y xe x e x ① 的一个特解. 【解】与①对应的齐次方程的特征方程为 r 2 2r 1 0 ，解之得， r1 r2 1.
将②、③、④代入①有
e x 6ax 2b x 1e x ，即
6ax 2b x 1
⑤
第5页
郑州大学 2013—2014 学年第一学期《微积分》（上）期末考试卷及其参考答案
比较⑤式知
6a 1, 2b 1,
，解之得
a
1 6
,
b
1 2
.
故
y*
x 2e x
1 6
x
1 2
.
二、求解下列各题（每题 10 分，共 20 分） 1．（1）设平面图形 A 由抛物线 y x2 ，直线及 x 轴所围成， 求平面图形 A 绕 x 轴旋转一周所形成的立体体积.
x
2
arctan x x
lim 2
x
arctan x
1 x
lim
x
1
1 x
2
1 x2
lim
x
x2 1 x2
1.
2．设函数 y x ，求它在 x 0 处的导数和微分. x2 1
1. x 2 1 x. x
解： y
x2 1
x2 1 2
1； x2 1 3
微积分I(第一层次)期中试题参考答案
……………………
1 n 1 n 1
1 1 1 把上述不等式相加，得 1 2 3 n ln n 1 2 1 而 an 1 1 2 3 1 n 1
ln n 1 n 0 ，所以 {an } 下方有界. 故 lim an 存在.
n
1 1 e
x x 1
，试确定 f ( x ) 的间断点及其类型.
解： x 0, x 1 为间断点. 因为 f (1 ) 0, f (1 ) 1 ，所以 1 为跳跃间断点.
又因为 f (0 ) , f (0 ) ，所以 0 为无穷型间断点.
1 1 八、 （8 分） （1）对任意正整数 n ，证明： n1 1 ln(1 n ) n ; 1 1 （2）令 an 1 1 2 3 n ln n ，证明： lim an 存在. n
当 0 | x 2 | ，有
n 4
2. 求极限： lim n 4 .
n
解： 4
n
lim 4 =4. 所以由夹逼定理， 得原式= 4 . n 4 4 n 4 n 2 ( n 5). 而 lim 4 n 2 =4 ，
n n 2/ x x 0
3. 求极限： lim(1 2 x) 解：原式= exp(lim
f (0) lim
a (sin x x cos x) sin x a lim ( cos x ) 2a. x 0 x 0 x x
由题意，当 a 2 时， f (0) f (0), 所以 f (0) 4. 七、 （8 分）设 f ( x )
1
x
1
I lim
广东省执信中学1314学年高二上学期期中数学理试题(附答案)
2013-2014学年度第一学期 高二级数学科期中考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共10页，满分为150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题(共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{|1}A x x =>，}02|{2<-=x x x B ，则A B ⋂=（ ） A.{|2}x x > B.{|02}x x << C.{|12}x x << D.{|01}x x << 2．下列函数中既是偶函数又在),0(+∞上是增函数的是（ ） A.1y x =B.1||+=x yC.ln ()x f x x= D.21y x =-+ 3．已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示， 则该三棱锥的体积是（ ） A ．31cmB ．32cm C ．33cmD ．36cm4．已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且//a b ， 则m 的值为 ( )A ．1B ．-1C ．4D ．-45．在等差数列}{n a 中，若前5项和205=S ，则3a 等于（ ） A ．4 B ．-4 C ．2D ．-26．已知直线b a ,与平面γβα,,，下列条件中能推出βα//的是（ ） A ．ββαα//,//,,b a b a ⊂⊂ B ．γβγα⊥⊥且 C ．b a b a //,,βα⊂⊂D ．βα⊥⊥a a 且7.在区域000x y x y y ⎧+≤⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩内任取一点P ，则点P 落在单位圆221x y +=内的概率为（ ） A ．2πB ．3π C ．6π D ．4π 8．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈， 使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“好集合”．给出下列4个集合：①1{(,)|}M x y y x== ②{(,)|e 2}x M x y y ==-③{(,)|cos }M x y y x == ④{(,)|ln }M x y y x == 其中所有“好集合”的序号是( )A ．①②④B ．②③C ．③④D ．①③④第二部分非选择题(共 110分)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．5cos4π的值为 ； 10．已知实数,x y 满足不等式组20y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，那么目标函数3z x y =+的最大值是 ； 11．执行如右图所示的程序框图，若输入n 的值为6， 则输出s 的值为 ；12．若22x y +=，则39xy+的最小值是 ； 13．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E,F 分别为线段AA 1、B 1C 上的点，则三棱锥D 1-EDF的体积为____________；14．在正项等比数列{n a }中，,3,21765=+=a a a 则 满足n n a a a a a a 2121⋅>++的最大正整数n 的值为___________．三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且满足cos2A =，3AB AC ⋅=． （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．16．（本小题满分14分）如图，圆锥SO 中，SO 垂直⊙O 所在的平面．AB 、CD 为底面圆的两条直径，O CD AB = ，且CD AB ⊥，2==OB SO ，P 为SB 的中点．（I ）求证：//SA 平面PCD ； （Ⅱ）求圆锥SO 的表面积；（Ⅲ）求异面直线SA 与PD 所成角的正切值．17．（本小题满分12分）设数列{a n }满足条件：对于n ∈N *，a n >0，且a 1=1并有关 系式：121+=+n n a a ．（Ⅰ）求证数列{a n +1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足b n =)1(log 2+n a ，记nn n b b c 21+=，求数列{c n }的前n 项和T n ．18．（本小题满分14分）已知圆4:22=+y x O 和点()()0,,1>a a M（Ⅰ）若点M 在圆上，求正实数a 的值，并求出切线方程； （Ⅱ）若2=a ，过点M 的圆的两条弦BD AC ,互相垂直，设21,d d 分别为圆心到弦BD AC ,的距离．①求2221d d +的值； ②求两弦长之积||||BD AC ⋅的最大值．19．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱）111C B A ABC -中，a AA AC AB 31===，a BC 2=，D 是BC 的中点，F是1CC 上一点，且a CF 2=． （Ⅰ）求证：ADF F B 平面⊥1； （Ⅱ）求二面角F —AD —C 的正切值；（Ⅲ）试在1AA 上找一点E ，使得ADF BE 平面//,并说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数kx x x x f ++-=221)(，且定义域为（0，2）. （Ⅰ）求关于x 的方程kx x f =)(+3在（0，2）上的解；（Ⅱ）若)(x f 是定义域(0，2)上的单调函数，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若关于x 的方程0)(=x f 在（0，2）上有两个不同的解21,x x ，求k 的取值范围．2013-2014学年度第一学期 高二级数学科期中试题答案一、选择：CBAD ADDB 二、填空：9. 10. 4； 11. 15； 12. 6； 13. 16； 14. 1215.解：（I）因为cos 2A =，,5312cos 2cos 2=-=∴A A ………… 2分π<<A 0 ………… 3分,54cos 1sin 2=-=∴A A ………… 4分 又由3AB AC ⋅=，得cos 3,bc A = ………… 5分5bc ∴=， ………… 6分1sin 22ABC S bc A ∆∴== ………… 7分（II ）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==， ………… 9分由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=， ………… 10分a ∴=12分16. 解：（I ）连结PO ， …………1分P 、O 分别为SB 、AB 的中点，SA PO //∴， …………2分 PCD SA PCD PO 平面平面⊄⊂,，//SA ∴平面PCD .…………4分（Ⅱ）22,2===SB l r 母线， …………5分ππ42==∴r S 底，ππ24==rl S 侧， …………6分π)12(4+=+=∴侧底表S S S . …………7分（Ⅲ）SA PO // ，DPO ∠∴为异面直线SA 与PD 所成角.…………9分O SO AB SO CD AB CD =⊥⊥ ,,,SOB CD 平面⊥∴,……11分 PO OD ⊥∴.在DOP Rt ∆中，2=OD ，221==SB OP ，……12分 222tan ===∠∴OP OD DPO ， ∴异面直线SA 与PD 所成角的正切值为2. …………14分17. 证明：（I ）因为121+=+n n a a ，即得)1(211+=++n n a a ……2分 且211=+a ， ……3分故数列{a n +1}是以2为首项，2为公比的等比数列，得n n n a 22211=⨯=+-，…4分 因此数列{a n }的通项为：12-=n n a ，……5分（Ⅱ）由n a b n n =+=)1(log 2，所以22+=+n b n ， ……6分 故 )211(21212+-=+=n n nn C n ……8分 所以n n n C C C C C C T ++⋅⋅⋅++++=-14321 =)211(21)1111(21)5131(21)4121(21)311(21+-++--+⋅⋅⋅+-+-+-n n n n …10分 =)2111211(21+-+-+n n =812449322++++n n n n ……12分18.解：（Ⅰ）由题意点Ｍ在圆上，0,412>=+∴a a 且得3=a …… 1分33,3-=∴=k k OM ，…… 2分∴切线方程为)1(333--=-x y 即043=-+y x …… 4分 （Ⅱ）①当BD AC ,都不过圆心时，设BD OF AC OE ⊥⊥,于F E ,， …… 6分则OEMF 为矩形，322221==+∴OMd d ，…… 9分当BD AC ,中有一条过圆心时，上式也成立 …… 10分②222142,42d BD d AC -=-=…… 11分∴ )4()4(42221d d BD AC -⋅-=⋅102)4()4(42221=-+-⋅≤d d …… 13分（当且仅当21d d =时等号成立） …… 14分19.（I ）证明：由111C B A ABC -为直三棱柱和a CF 2=，a AA AC AB 31===，a BC 2=，得1B F ==，AF ==，1AB ==，得22211AB AF B F =+所以AF F B ⊥1,…… 2分由1CC ABC ⊥面，AD ABC ⊂面，得1CC AD ⊥, 由AB AC =及D 是BC 的中点得：AD BC ⊥, 而1CC AD ⊥,1BCCC C =,∴11AD BCC B ⊥面,又111BF BCC B ⊂面,∴1AD B F ⊥ …… 2分又AF F B ⊥1, AF AD A =,∴ADF F B 平面⊥1；…… 5分（Ⅱ）由(1)11AD BCC B ⊥面，而1111CD BCC B DF BCC B ⊂⊂面、面,∴AD CD ⊥、AD DF ⊥所以CDF ∠为二面角F —AD —C 的平面角 …… 8分 由直三棱柱可知：DCF ∠为直角，所以tan CDF ∠=22FC aCD a== …… 10分 （Ⅲ）当a AE 2=时， ADF BE 平面//，证明如下： …… 11分 连结EF 、EC 交AF 于点M ，由2AE a CF ==，及//AE CF 可得： 四边形ACFE 为平行四边形。
微积分试卷及答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2. 已知2235lim 2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b= 。
3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点 3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C)2e (D) 3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 105. 假设)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
郑州大学2013级微积分(上)试题(A卷)及其参考答案
＝1
得分 评卷人
【解】
lim
x
2
arctan x x
lim 2
x
arctan x
1 x
lim
x
1
1 x
2
1 x2
lim
x
x2 1 x2
1.
2．设函数 y x ，求它在 x 0 处的导数和微分. x2 1
1. x 2 1 x. x
0
f
sin
xdx .
【证明】
（1）
设
2 2
g u du
I .令 u t
则
I
2
g tdt
2
2
2
g
t
dt
2 2
g
u du
（因为
gu
为奇）
2
2
g u du
I
，
即得到
I I .因此必有
1 1 ex
dx
ex 1 ex
dx
1 1 ex
d
1
ex
ln 1 ex C ；
【解法二】
1 1 ex
dx
1
ex 1
ex
e
x
dx
dx
1
1 e
x
d
1
e
x
x ln 1 e x
C；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京师范大学珠海分校
2013-2014学年第一学期期末考试试卷B
开课单位：___ 应用数学学院_ 课程名称：__微积分（上）_ 任课教师：__周昌隆 __考试类型：_闭卷_ 考试时间：__ 90 分钟
学院_________ 姓名___________ 学号______________ 班级_13物流管理（ ）_
试卷说明：（本试卷共4页，满分100分）
------------------------------------------------------------------------------------------------------
一、填空题：（共5小题，每题 3分，共 15分） (1)数列有界是数列收敛的____________条件。
（2）设函数f(x)的定义域是[0,4],则f(2x )的定义域是______________。
(3)函数3
sin x y e =是由_________________________ 复合而成。
(4)
22011cos (1cos )~
,lim
__________2
x x
x x x
→--∴=。
（5 ）若函数sin ,0();,0x
x f x x k x ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩在x=0处连续，则k=_________。
二、单选题：（共5小题，每题 3分，共 15分）
（1）在下列各对函数中（ ）是相同的函数。
A 2ln 2ln y x y x ==与
, B 1
ln 2
y y x ==
,
C cos y x y ==与21111
x y y x x -==+-与 。
（2）下列函数中为奇函数的是（ ）。
A x x f(x)=sinx+e e -- ,
B f (x)sin x cosx =+ ,
C x f(x)2= ,
D f (x)=cos2x 。
（3）已知22
ax 1
lim 42x 1
x →∞-=+，则常数a=( )。
A 2 , B 4 , C 6 , D 8 。
试卷装订线
（4）若f(x)在点0x 处连续，则（ ）。
A 0f (x )可以不存在 ，
B 0f (x )必存在但可以不是极限值 ，
C 0f (x )必存在且必是极限值
D 0f (x )可以不存在但必是极限值
（5）x=0是函数1
y sim x
=的（ ）间断点。
A 振荡 ，
B 跳跃 ，
C 无穷 ，
D 可去 。
三、计算题：（共6小题，每题5分，共30分）（要求写出计算过程）
（1）设1(),1x
f x x
-=+求：f(0);f(-x);f(x-1)。
（2）求极限22468
lim 54
x x x x x →-+-+
（3）求极限22212lim(
...)n n n n n
→∞
++
（4）求极限33
0()lim h x h x h
→+-
（5）求极限41
1
lim x x x
-→
（6）求极限201
lim ln(61)
x x e x →-+
四、解答题（共2小题，每题10分，共20分）
（1）a 为何值时函数0,()0.
x
e x
f x x a
x ⎧<=⎨
-≥⎩在其定义域内连续？
（2）指出下式运算的错误，并给出正确的解答。
222221414
lim(
)lim lim 024
24x x x x x x x →→→-=-=∞-∞=----
五、用极限的精确定义证明
2
1
1
lim2
1
x
x
x
→-
-
=-
+。
（10分）
六、已知某工厂生产一件产品，需可变成本15元。
每天生产的固定成本2000元，
若每件产品出厂价为20元，求（1）利润函数；（2）若不亏本该厂每天至少要生产多少件产品？（10分）。