高一数学立体几何单元测试题17
高一立体几何试题及答案详解.doc
1若 ， ， ，则 ；②若 , ，则 ；
③若 ， ，则 或 ；④若 ， ， ，则
其中正确命题的个数为A．0B．1C．2D．3( )
８.定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使△ABC的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有（ ）（Ａ）１个（Ｂ）２个（Ｃ）３个（Ｄ）４个
由余弦定理得cosθ= =0，θ=900，
１８．讲解:（1）在平面AD1内，作PP1∥AD与DD1交于点P1，在平面AC内，作
QQ1∥BC交CD于点Q1，连结P1Q1.
∵ ,∴PP1 QQ1.
由四边形PQQ1P1为平行四边形,知PQ∥P1Q1
而P1Q1 平面CDD1C1，所以PQ∥平面CDD1C1
（2） AD⊥平面D1DCC1，∴AD⊥P1Q1，
（2）解：如图，由（Ⅰ）知面AGC⊥面BGC，且交于GC，在平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱBGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角
∴在Rt△CBG中 又BG= ，
∴
２１．（1）画出示意图如右，其中，SA=
（2）∵SC⊥平面AEFG，A又AE 平面AEFG，∴AE⊥SC，∵SA⊥平面BD，又BC 平面BD，∴SA⊥BC.又AB⊥BC，SA∩AB=A,∴BC⊥平面SBＡ，∴ＢＣ┻ＡＥ
１５ １６，AC=9．18
１７．１７，（1）连CE、DE，在等边△ABC中，EC=DE= a，
∴EF是等腰△ECD底边上的高，EF⊥CD，
EF= = a
（2）方法一：
取BC中点G，连AG、DG，易知BC⊥AG、BC⊥DG，
∴BC⊥面AGD，则BC⊥AD，∴BC，AD所成角为900，
高一数学立体几何复习试卷(含答案)
2019-2020高一数学立体几何复习试卷定义定理图形(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．(2)线面角θ的范围：θ∈]2,0[π.6．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：过二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.（二）考点剖析题型一：定理与性质的判断1. 设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α//β；②若m ⊂α，n ⊂α，m//β，n//β，则α//β； ③若α//β，l ⊂α，则l//β；④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，l//γ，则m//n ． 其中真命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列命题错误的是( )A. 不在同一直线上的三点确定一个平面B. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C. 如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面D. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面3.设m、n是两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列四个命题中不正确的是()A. m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nB. m⊥α，n//β且α//β，则m⊥nC. m//α，n⊥β且α⊥β，则m//nD. m⊥α，n⊥β且α//β，则m//n4.设l为直线，α,β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A.若l//α，l//β，则α//βB. 若l⊥α，l⊥β，则α//βC. 若l⊥α，l//β，则α//βD. 若α⊥β，l//α，则l⊥β题型二：异面直线5.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是()A. 平行B. 相交C. 异面且垂直D. 异面不垂直6.如图，三棱柱ABC−A 1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，△A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是()A. CC1与B1E是异面直线B. AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1C. AC⊥平面ABB1A1D. A1C1//平面AB1E7.如图所示，在正方体ABCD—A 1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则异面直线EF与C1D所成的角为()A.30°B. 45°C. 60°D. 90°题型三：表面积与体积8.某简单几何体的三视图(俯视图为等边三角形)如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)为()A. 18B. 6√3C. 3√3D. 2√39.某三棱锥的三视图如图所示(单位：cm)，则该三棱锥的表面积(单位：cm2)是()A.16B. 32C. 44D. 6410.如图，在圆锥SO中，O是底面圆的圆心，AB为一条直径，且AB=4，SA=4，C为SB的中点，则在圆锥SO的侧面上，从点A到点C 的最短路径为()A. 2√2B. 4C. 2√5D. 2√6题型四：线面、面面平行的判定及性质11.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=π，3 AB=2，PC=2√7，E，F分别是棱PC，AB的中点．(1)证明：EF//平面PAD；(2)求三棱锥C−AEF的体积．12.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．求证：(1)PA//平面EDB；(2)DE⊥平面PBC．13.如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中H是A1C1的中点，D1，D分别为B1C1，BC的中点，，求证：(1)求证：HD//平面A1B1BA.(见图1)(2求证：平面A 1BD1//平面AC1D.(图2)14.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF=DE，M为棱AE的中点．(1)求证：平面BDM//平面EFC;(2)若AB=1，BF=2，求三棱锥A−CEF的体积．15.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F,G分别是AD,AB,C1D1的中点，求证：(1)平面D1EF//平面BDG；(2)若AB=BB1=1，BC=2，P为BC的中点，求异面直线BC1与FP所成角的余弦值．题型五：线面、面面垂直的判定与性质16.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，AB=3，点E为线段PD的中点．(1)求证：AE⊥PC；(2)求三棱锥P−ACE的体积．17.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，AD⊥AB，AD//BC，△PDA，△PAB都是边长为1的正三角形．(1)证明：平面PDB⊥平面ABCD；(2)求点C到平面PAD的距离．18.如图，三棱锥P−ABC中，点D，E分别为AB，BC的中点，且平面PDE⊥平面ABC．(1)求证：AC//平面PDE；(2)若PD=AC=2，PE=√3，求证：平面PBC⊥平面ABC．题型六：线面夹角与二面角19.如图，在四棱锥P−ABCD中PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB//CD，AD=CD=2AB=2PA=2，E,F分别为PC,CD的中点．(1)试证：CD⊥平面BEF；(2)求BC与平面BEF所成角的大小；(3)求三棱锥P−DBE的体积．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=2，DC=BC=1，AB=2，AB//DC，∠BCD=90°．(1)求证：AD⊥PB；(2)求平面DAP与平面BPC所成锐二面角的余弦值．21.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC,AB=1,AC=2,AA1=2,D,E分别为BC,A1C1的中点．(1)证明：C 1D//平面ABE;(2)求CC1与平面ABE所成角的正弦值．22.如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE//BC//FD，F为AB的中点，AB=FD=2BC=2AE.现把此五边形ABCDE沿FD折成一个60∘的二面角．(1)求证：直线CE//平面ABF；(2)求二面角E−CD−F的平面角的余弦值．2019-2020高一数学立体几何复习试卷答案1.【答案】B【解答】解：①中α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或α//β，故①不正确； ②不正确，α与β有可能相交； ③正确；④中利用线面平行的性质定理可知其正确．2.解：由公理3可得，不在同一直线上的三点确定一个平面，故A 正确；由公理3和公理1可得，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故B 正确； 由面面垂直的性质定理可得，如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线若与交线垂直，则垂直于另一个平面，故C 错误；由面面平行的性质可得，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面，故D 正确． 故选：C ．3.解：A ，分别垂直于两个垂直的平面的两条直线一定垂直，故该命题正确； B ，由m ⊥α，α//β可得出m ⊥β，再由n//β可得出m ⊥n ，故该命题正确；C ，m//α，n ⊥β且α⊥β成立时，m ，n 两直线的关系可能是相交、平行、异面，故该命题错误；D ，n ⊥β且α//β，可得出n ⊥α，再由m ⊥α，可得出m//n ，故该命题正确． 故选C ．4.解：对于A 项，在长方体中，任何一条棱都有和它相对的两个平面平行，但这两个平面相交，所以A 不对；对于B 项，若l ⊥α，l ⊥β，由线面垂直的性质可得α//β ，故B 正确；对于C 项，l ⊥α，l//β，由线面平行的性质可得β内存在一直线m ，使得l//m ，再由线面垂直的判定定理得m ⊥α，从而由面面垂直的判定定理得α⊥β，所以C 不对； 对于D 项，在长方体中，令下底面为β，左边侧面为α，此时α⊥β，在右边侧面中取一条对角线l ，则l//α，但l 与β不垂直，故D 不对； 故选B ． 5.【答案】C【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，连接BD ， 设正方体的棱长为2，则A(2,0，0)，M(0,0，1)，O(1,1，0)，N(2,1，2)，则NO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，−2)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，1)，NO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 易知直线NO ，AM 不相交，所以直线NO ，AM 的位置关系是异面且垂直， 故选C ．6.【答案】B解：由三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧棱AA 1垂直底面A 1B 1C 1， 底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，知：在A 中，因为CC 1与B 1E 在同一个侧面中，故CC 1与B 1E 不是异面直线，故A 错误；在B 中，因为AE ，B 1C 1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，又底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，故AE ⊥B 1C 1，故B 正确；在C 中，由题意知，上底面ABC 是一个正三角形，故不可能存在AC ⊥平面ABB 1A 1，故C 错误；在D 中，因为A 1C 1所在的平面与平面AB 1E 相交，且A 1C 1与交线有公共点，故A 1C 1//平面AB 1E 不正确，故D 错误．故选B ．7.【答案】C解：如下图：连接A1C1，A1D．取A1B1、B1C1的中点分别为G、H，连接EG、GH、HF，则GH//A1C1．因为E，F分别是AB1，BC1的中点，所以GE=//12A1A，HF=//12B1B，而ABCD−A1B1C1D1是正方体，因此GE=//HF，即四边形GEFH是平行四边形，所以EF//GH，因此EF//A1C1，所以异面直线EF与C1D所成的角就是直线A1C1与C1D所成的角(或补角)，即∠A1C1D．又因为ABCD−A1B1C1D1是正方体，所以ΔA1C1D是正三角形，因此∠A1C1D=60°，即异面直线EF与C1D所成的角为60°．故选C．8.【答案】C解：由题意可知几何体是底面为正三角形的三棱柱，底面边长为2，高为3，所以几何体的体积为：√34×22×3=3√3．故选C．9.【答案】B解：根据三视图知：该几何体是三棱锥，底面是直角三角形，PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，又AC⊥BC，PA，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，∴该几何体的表面积为S=12×(3×4+5×4+3×4+4×5)=32，故选B．10.【答案】C解：由题得圆锥底面圆半径为2，将圆锥的侧面展开得到一个扇形，连接AC，则AC即A到C的最短路径．扇形中弧AB的长为2π，∠ASB=2π4=π2，则AC=√SA2+SC2=√42+22=2√5．故选C．11.【答案】(1)证明：如图，取PD中点为G，连结EG，AG，则EG//CD，EG=12CD，AF//CD，AF=12CD，所以EG与AF平行并且相等，所以四边形AGEF是平行四边形，所以EF//AG，AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD.所以EF//平面PAD．(2)连结AC，BD交于点O，连结EO，因为E为PC的中点，所以EO为△PAC的中位线，又因为PA⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，即EO为三棱锥E−AFC的高．在菱形ABCD中可求得AC=2√3，在Rt△PAC中，PC=2√7，所以PA=√PC2−AC2=4，EO=2，所以S▵ACF=12S▵ABC=12×12×AB×BCsin∠ABC=√32，所以V C−AEF=V E−ACF=13S▵ACF×EO=13×√32×2=√33．12.【答案】证明：(1)连接AC交BD于O，连接OE.∵E是PC的中点，O是AC的中点，∴PA//EO，又PA⊄平面BED，EO⊂平面BED，∴PA//平面BED.(2)∵侧棱PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PD⊥BC，∵底面ABCD是矩形，∴DC⊥BC，∵PD∩DC=D，PD⊂平面PDC，DC⊂平面PDC，∴BC⊥平面PDC，又DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE，∵PD=DC，E是PC的中点．∴DE⊥PC，∵BC∩PC=C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，∴DE⊥平面PBC．13.【答案】证明：(1)如图所示，连接HD，A1B，∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD//A1B.又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，∴HD//平面A1B1BA．(2)如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B//DM．∵A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，∴DM//平面A1BD1，又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1//BD1．又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1//平面A1BD1．又∵DC1∩DM=D，DC1，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1//平面AC1D.14.【答案】(1)证明：如图，设AC与BD交于点N，则N为AC的中点，连结MN，又M为棱AE的中点，∴MN//EC．∵MN⊄平面EFC，EC⊂平面EFC，∴MN//平面EFC．∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF=DE，∴BF//DE且BF=DE，∴四边形BDEF为平行四边形，∴BD//EF．∵BD⊄平面EFC，EF⊂平面EFC，∴BD//平面EFC．又MN∩BD=N，MN，BD⊂平面BDM，∴平面BDM//平面EFC．(2)连结EN，FN．在正方形ABCD中，AC⊥BD，又BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AC．又BF∩BD=B，BF，BD⊂平面BDEF，∴AC⊥平面BDEF，又N是AC的中点，∴V三棱锥A−NEF =V三棱锥C−NEF，∴V三棱锥A−CEF =2V三棱锥A−NEF=2×13×AN×S△NEF=2×13×√22×12×√2×2=23，∴三棱锥A−CEF的体积为23．15.【答案】(1)证明：∵E，F分别是DA，AB的中点，∴EF//BD，又EF不在平面BDG内，∴EF//平面BDG，∵D1G//FB，且D1G=FB，∴四边形D1GBF是平行四边形，则D1F//GB，又D1F不在平面BDG内，GB⊂平面BDG，∴D1F//平面BDG，∴EF∩D1F=F，∴平面D1EF//平面BDG;(2)解：连接AC，AD1，∵F，P分别是AB，BC的中点，∴AC//FP，∵D 1C 1//DC ，DC//AB ，∴D 1C 1//AB ，∵D 1C 1=DC ，DC =AB ，∴D 1C 1=AB ，∴AD 1C 1B 是平行四边形，∴AD 1//BC 1，∠D 1AC(或其补角)为所求角， ∴AC =√5， AD =√5，CD 1=√2．16.【答案】解：(1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ，又在矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD ，∵AE ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AE ，又∵PA =AD ，E 为PD 中点，∴AE ⊥PD ，∴AE ⊥平面PCD ，∴AE ⊥PC ；(2)∵点E 为线段PD 的中点．∴V P−ACE =V E−PAC =12V P−ACD =12×13×2×12×2×3=1．17.【答案】解析：(1)证明：∵△PAB ，△PAD 都是正三角形， ∴AD =AB =PD =PB =1．设O 为BD 的中点，连接AO ，PO ，如图，∴PO ⊥BD ，AO ⊥BD ．在Rt △ADB 中，AD =AB =1，∴BD =√2．∵O 为BD 的中点，∴OA =12BD =√22． 在等腰△PDB 中，PD =PB =1，BD =√2，∴PO =√22． 在△POA 中，PO =√22，OA =√22，PA =1， ∴PO 2+OA 2=PA 2，∴PO ⊥OA ．又∵BD ∩OA =O ，BD ，OA ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD ．又∵PO ⊂平面PDB ，∴平面PDB ⊥平面ABCD ．(2)由(1)知PO ⊥平面ABCD ，且PO =√22．设点C到平面PAD的距离为d，则V C−PAD=V P−ACD，即13SΔPAD⋅d=13SΔCAD⋅PO，所以√34⋅d=12×1×1×√22，解得d=√63，∴点C到平面PAD的距离为√63．18.【答案】证明：(1)因为点D，E分别为AB，BC的中点，所以DE为△ABC的中位线，所以DE//AC．因为AC⊄平面PDE，DE⊂平面PDE，所以AC//平面PDE．(2)因为点D，E分别为AB，BC的中点，所以DE=12AC．又因为AC=2，所以DE=1，因为PD=2，PE=√3，所以PD2=PE2+DE2，因此在△PDE中，PE⊥DE．又平面PDE⊥平面ABC，且平面PDE∩平面ABC=DE，PE⊂平面PDE，所以PE⊥平面ABC，又因为PE⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC．19.【答案】(1)证明：∵AB//CD，CD=2AB，F为CD的中点，∴四边形ABFD为平行四边形，又∠DAB为直角，∴四边形ABFD为矩形，∴DC⊥BF，DC⊥AD，又PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴DC⊥PA，∵PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，且PA∩AD=A，∴DC⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴DC⊥PD，在△PCD内，E、F分别是PC、CD的中点，∴EF//PD，∴DC⊥EF，又EF∩BF=F，EF，BF⊂平面BEF由此得CD⊥平面BEF．(2)解：由(1)知，DC⊥平面BEF，则∠CBF 为BC 与平面BEF 所成角，在Rt △BFC 中，BF =AD =2，CF =12CD =1， ∴tan∠CBF =12， 则BC 与平面BEF 所成角的大小为． (3)由(1)知，CD ⊥平面PAD ，则平面PDC ⊥平面PAD ， 在Rt △PAD 中，设A 到PD 的距离为h ，即A 到平面PCD 的距离为h ， 则PA ·AD =PD ·ℎ，得ℎ=PA⋅ADPD =2√5=2√55， ∴A 到平面PDC 的距离为2√55， ∵AB//CD ，，∴AB//平面PCD ，即A 、B 到平面PCD 的距离相等，∴B 到平面PDC 的距离为2√55， ∵E 是PC 的中点，∴S △PDE =12S △PDC =12×√5×22=√52， ∴V P−DBE =V B−PDE =13×√52×2√55=13． 20.【答案】解：(1)在四边形ABCD 中，连接BD ，由DC =BC =1，AB =2，，在△ABD 中，BD =AD =√2，又AB =2，因此AD ⊥BD ，又PD ⊥面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，∴PD ⊥AD ，PD ∩BD =D,PD,BD ⊂面PBD ，从而AD ⊥面PBD ． 而PB ⊂面PBD ∴AD ⊥PB ．(2)延长BC 和AD 交于点E ，连接PE ，又AB 平行于CD ，则CE =BC =1，DE =AD =√2．过C 点作CM ⊥PE 交于PE 上一点M ，过C 作CH ⊥面PDE 于点H ， 则∠CMH 为二面角C −PE −D 的平面角α．在直角三角形PCE 中，CM =1×√5√6． 又V C−PDE =V P−DCE ，12×(12×1×1)=CH ·(12×2×√2)，CH =√22． sinα=CH CM =√155,cosα=√105, 所求二面角的余弦值为√105． 21.【答案】证明：(1)取AB 中点H ，连接EH,HD ，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，EC 1//__12AC ．∵D 为BC 中点，H 为AB 中点，∴HD //̲̲̲12AC, HD //̲̲̲EC 1，∴四边形DHEC 1为平行四边形，∴DC 1//HE.∵EH ⊂平面ABE ，C 1D ⊈平面ABE ，∴C 1D//平面ABE ．(2)直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，∴AA 1⊥AB ． 又∵AB ⊥AC ，且AC ∩AA 1=A ，∴AB ⊥平面ACC 1A 1．过A 1作A 1F ⊥AE 于F.∵A 1F ⊂平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1F ．又AB ∩AE =A, ∴A 1F ⊥平面ABE ．又CC 1//AA 1, ∴∠A 1AE 即为CC 1与平面ABE 所成的角．∵AA 1=2, A 1E =1, ∴AE =√5, ∴sin∠A 1AE =1√5=√55． 22.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵AE//DF ，BC//FD ，∴AE//BC ， 又∵BC =AE ，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴CE//AB ．又因为CE ⊄平面ABF ，AB ⊂平面ABF ，所以直线CE//平面ABF ；(Ⅱ)解：如图，取FD 得中点G ，连接EG 、CG ，在△CEG 中，作EH ⊥CG ，垂足为H ，在平面BCDF 中，作HI ⊥CD ，垂足为I ，连接EI ．∵AE =FG =BC ，AE//FG//BC ，∴AF//EG ，BF//CG ．又因为DF ⊥AF ，DF ⊥BF ，故DF ⊥平面ABF ，所以DF ⊥平面ECG ， ∵EH ⊥CG ，DF ⊥EH ，∴EH ⊥平面CGD ，∴EH ⊥CD ，又∵HI ⊥CD ，∴CD ⊥平面EHI ，所以CD ⊥EI ，从而∠EIH 为二面角E −CD −F 的平面角．设BC =AE =1，则FG =GD =CG =GE =1，由于∠EGC 为二面角C −FD −E 的平面角，即∠EGC =60°，所以在△CEG 中，HG =CH =12，EH =√32，HI =CHsin45°=√24， 所以EI =√144，所以cos∠EIH =√77．。
高一数学立体几何练习题
高一数学立体几何练习题一、选择题（下列各题中只有一个选项正确，每题4分，共40分）1、下列说法正确是[ D ]。
A．圆台是直角梯形绕其一边旋转而成B．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成C．圆柱的母线和它的底面不垂直。
D．圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的。
2、下列说法错误的是[ B ]。
A、用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画得的空间图形B、几何体直观图中的长、宽、高与几何体的长、宽高的比例相同。
C、水平放置的矩形的直观图一定是平行四边形。
D、水平放置的圆的直观图一定是椭圆。
3、底面放置在同一平面的一个圆柱和一个圆锥,底面积相同且体积相等, 用通过圆柱中截面的平面截圆锥和圆柱所得两个截面的面积之比是 [ A ] 。
A. 25∶36B. 9∶16C. 4∶9D. 5∶64、下列命题中，真命题的是 [ B ] 。
A．两两相交的三条直线共面B．对角线交于一点的四边形一定是平面图形C．不共面的四点中可以有三点共线D．边长相等的四边形一定是菱形5、下列条件能得到直线l1，l2互相平行的是 [ D ] 。
A．l1，l2都平行于同一个平面B．l1，l2与同一个平面所成的角相等C．l1平行于l2所在的平面D．l1，l2都垂直于同一个平面6、下列四个命题中正确的是[ B ] 。
①两个平面没有公共点，则这两个平面平行②一个平面内有三个点到另一个平面的距离(距离不为零)相等，则这两个平面平行③一个平面内任一点到另一个平面的距离(距离不为零)都相等，则这两个平面平行④一个平面内有无数个点到另一个平面的距离(距离不为零)相等，则这两个平面平行．A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④7、如果直线a平行于平面β，则 [ D ] 。
A．平面β内不存在与a垂直的直线B．平面β内有且只有一条直线与a垂直C．平面β内有且只有一条直线与a平行D．平面β内有无数多条直线与a不平行8、已知直线l⊥平面α，直线mβ，有如下四个命题：①α∥βl⊥m，②α⊥βl∥m，③l∥mα⊥β，l⊥mα∥β，其中正确命题是 [ C ]A．③④ B．①② C．①③ D．②④9、平面α内有三条相交于一点的直线, 另有一条直线与它们所成的角都相等, 则此直线与平面α的关系是 [ B ]。
高中数学立体几何初步单元测
第八章 立体几何初步 （单元测）第八章 立体几何初步（单元测试）_一、单选题1．已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为（ ）A．B．C．D．42．若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形中的长度为（ ）A．B．C．2D．3．如图，古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．记图中圆柱的体积为，表面积为，球的体积为，表面积为，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．D．4．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果，，，，那么；②如果，，那么；③如果，，，那么；④如果，，，那么.其中正确命题的个数有（ ）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个5．梯形ABCD中，，∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝2，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB以l所在直线为轴旋转一周，则该旋转体的表面积为（ ）A．B．C．D．6．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为所在棱的中点，则下列结论中正确的序号是（ ）①三棱锥D1﹣EFG的体积为；②BD1∥平面EFG；③BD1∥EG；④AB1⊥EG. A．③④B．①②④C．②③④D．①③7．直三棱柱中，，，则与平面所成的角为（ ）A．B．C．D．8．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动．若平面AMN，则P A1的最小值是（ ）A．1B．C．D．二、多选题9．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（ ）A ．直线与直线共面B．直线与直线异面C ．直线与直线共面D．直线与直线异面10．高空走钢丝是杂技的一种，渊源于古代百戏的走索，演员手拿一根平衡杆，在一根两头拴住的钢丝上来回走动，并表演各种动作．在表演时，假定演员手中的平衡杆是笔直的，水平地面内一定存在直线与演员手中的平衡杆所在直线（ ）A．垂直B．相交C．异面D．平行11．在长方体中，O为与的交点，若，则（ ）A．B．C．三棱锥的体积为D．二面角的大小为12．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则该正四棱锥的（ ）A．底面边长为6米B．侧棱与底面所成角的余弦值为C．侧面积为平方米D．体积为立方米三、填空题13．如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为______．14．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的体积为___________15．在正四面体ABCD中，E为BC的中点，则异面直线AE与CD所成角的余弦值为_ __________.16．如图，在正方体中，E为的中点，F为正方体棱的中点，则满足条件直线平面的点F的个数是___________.四、解答题17．如图，四棱锥中，底面为边长为2的菱形且对角线与交于点O，底面，点E是的中点．(1)求证：∥平面；(2)若三棱锥的体积为，求的长．18．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，.(1)若为侧棱的中点，求证：平面；(2)求三棱锥的体积.19．如图，在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点．(1)证明：平面平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值．20．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．(1)求到平面的距离；(2)设D为的中点，，平面平面，求线段BC的长度．21．在等腰梯形（图1）中，，是底边上的两个点，且.将和分别沿折起，使点重合于点，得到四棱锥（图2）.已知分别是的中点.(1)证明：平面.(2)证明：平面.(3)求二面角的正切值.22．如图，垂直于⊙所在的平面，为⊙的直径，，，，，点为线段上一动点．(1)证明：平面AEF⊥平面PBC；(2)当点F与C点重合，求 PB与平面AEF所成角的正弦值．一、单选题23．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）A．B．C．D．24．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A．B．C．D．25．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）A．B．C．D．26．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）A．B．C．D．二、多选题27．如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（ ）A．B．C．D．28．已知正方体，则（ ）A．直线与所成的角为B．直线与所成的角为C．直线与平面所成的角为D．直线与平面ABCD所成的角为三、填空题29．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________. 30．已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．31．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm3.四、解答题32．如图，四面体中，，E为AC的中点．(1)证明：平面平面ACD；(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．参考答案：1．C【分析】由扇形弧长公式求圆锥的母线长，再根据圆锥的母线、高和底面半径的关系求高.【详解】因为底面半径，所以母线长，所以圆锥的高.故选：C2．B【分析】过点作,垂足为，求出直观图中的长度即得解.【详解】解：过点作,垂足为.因为，，，；，所以原四边形中的长度为2.故选：B3．B【分析】根据已知条件得出球的直径恰好与圆柱的高相等，设球的半径为r，进而分别表示出圆柱的体积为，表面积为，球的体积为，表面积为，进而求出.【详解】由已知条件，设球的半径为r，可知圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2r，则圆柱的表面积，体积，球表面积，答案第1页，共2页体积，．故选：B.4．D【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】解：对于①如果，，，，那么或与相交，故①错误；对于②如果，，由线面垂直的性质可知，故②正确；对于③如果，，，那么或或与相交（不垂直）或与异面（不垂直），故③错误；对于④如果，，，那么或与相交（不垂直），当且仅当，，，，那么，故④错误.故选：D5．B【分析】旋转体为圆柱去去掉一个圆锥，计算圆柱的高和圆锥的底面半径和母线长，分别计算各面的面积，得出表面积．【详解】解：旋转体为圆柱去去掉一个圆锥，过作于，则，，，，圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，圆柱和圆锥的高均为，圆锥的母线为，几何体的表面积为．故选：B.6．B【分析】利用等积法处理①，用面面平行得到线面平行处理②，用平行的传递性处理③，利用线面垂直得到线线垂直处理④.【详解】对于①，由等体积法可得：，故正确；对于②，连接，由面面平行的判定易得平面平面，由平面与平面平行的性质可得平面，故正确；对于③，如下图，连接，取的中点，连接，则，若，则，矛盾，故错误；对于④，由题意，，，可得平面，又平面，可得，故正确．故选：B．7．A【分析】将直三棱柱补全为正方体，根据正方体性质、线面垂直的判定可得面，由线面角的定义找到与平面所成角的平面角，进而求其大小.【详解】由题意，将直三棱柱补全为如下图示的正方体，为上底面对角线交点，所以，而面，面，故，又，面，故面，则与平面所成角为，若，所以，，则，故.故选：A8．C【分析】由平面，可以找到点在右侧面的运动轨迹，从而求出的最小值【详解】如图所示，取的中点,的中点，连接，因为分别是棱 的中点，所以，，又因为,,，所以平面平面，平面，且点在右侧面，所以点的轨迹是，且，，所以当点位于中点处时，最小，此时，.故选：C9．ACD【分析】作出正方体的直观图，逐项判断可得出合适的选项.【详解】如图，点与点重合，则与相交，故A正确；在正方体中，且，故四边形为平行四边形，，则、共面，故B错误；因为，故、共面，故C正确；由图可知，、不在同一个平面，且、既不平行也不相交，、为异面直线，故D正确.故选：ACD.10．AC【分析】对直线l与平面的任何位置关系，平面内均存在直线与直线l垂直；平衡杆所在直线与水平地面的位置关系：平行或相交，根据线面关系可知：若直线与平面平行，则该直线与平面内的直线的位置关系：平行或异面若直线与平面相交，则该直线与平面内的直线的位置关系：相交或异面；理解判断．【详解】根据题意可得：对直线l与平面的任何位置关系，平面内均存在直线与直线l垂直，A正确；平衡杆所在直线与水平地面的位置关系：平行或相交根据线面关系可知：若直线与平面平行，则该直线与平面内的直线的位置关系：平行或异面若直线与平面相交，则该直线与平面内的直线的位置关系：相交或异面C正确；B、D错误；故选：AC．11．BCD【分析】由题意，根据长方体的结合性质，结合线面垂直判定定理以及二面角的平面角定义和三棱锥的体积公式，可得答案.【详解】连接．因为，所以，又易证平面，所以，所以，所以为二面角的一个平面角．在中，，因为在中，，，所以，所以二面角的大小为．．故选：BCD．12．AD【分析】画出几何体的直观图，结合已知条件求得棱锥的底面边长，逐项求解，即可得到答案.【详解】对A，如图所示，在正四棱锥中，为正方形的中心，且，设底面边长为，正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为，所以，则，在直角中，可得，即，解得，所以正四棱锥的底面边长为，所以A正确；对B，因为平面，所以为侧棱与底面所成的角，在直角中，可得，所以B错误；对C，正四棱锥的侧面积为平方米，所以C错误；对D，正四棱锥的体积为立方米，所以D正确.故选：AD.13．【分析】根据题意画出该几何体的轴截面，如图，设是球心，是圆锥的顶点，是圆锥的母线，求出球的半径，从而可求出，进而可求得圆锥的侧面积.【详解】其中，是球心，是圆锥的顶点，是圆锥的母线，由题意可知，解得，由于圆柱的高为2，，，，母线，∴圆锥的侧面积为．故答案为：14．【分析】根据题意，得到为球的直径，求得的长，得到球的半径，进而求得球的体积，得到答案.【详解】如图所示，取的中点，根据直角三角形的性质，可得，所以为球的直径，且，可得球的半径为，所以球的体积为.故答案为：.15．##【分析】取BD的中点F，作出异面直线AE与CD所成的角，再利用三角形计算作答.【详解】在正四面体ABCD中，取BD的中点F，连接，如图，设，因E为BC的中点，则，，即有是异面直线AE与CD所成的角或其补角，而，在等腰中，，所以异面直线AE与CD所成角的余弦值为.故答案为：16．【分析】为了得到直线平面，只需求得平面平面，即平面内的任意一条直线都与平面平行，进而求得点的个数.【详解】分别取的中点，连接，，在正方体中，，，四边形是平行四边形，，，又平面，平面，平面，同理平面，又，平面，平面，平面平面，平面内的任意一条直线都与平面平行，则满足条件直线平面的点可以是的任何一个，点F的个数是个.故答案为：.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由中位线证得，即可证得∥平面；（2）取中点F，证得平面，再由结合棱锥的体积公式即可求解.【详解】（1）证明：连接．∵点O，E分别为的中点，∴，∵平面平面，∴∥平面；（2）取中点F，连接．∵E为中点，∴为的中位线，∴，且．由菱形的性质知，为边长为2的等边三角形．又平面，∴平面，，点E是的中点，∴，∴．18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点，通过，即可证明平面；（2）利用等积法，即求解即可【详解】（1）取的中点，连接，，在中，，在梯形中，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，而平面，平面，∴平面；（2）∵，，而∴平面，即为三棱锥的高，因为，，所以，又，所以19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明出平面，平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论成立；（2）分析可知异面直线与所成角为或其补角，计算出的三边边长，利用余弦定理可求得结果.【详解】（1）证明：连接，因为四边形为平行四边形，则且，、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，则且，因为且，且，故四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，平面，同理可证且，所以，四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，平面，，所以，平面平面.（2）解：，所以，异面直线与所成角为或其补角，在中，，，由余弦定理可得，所以，异面直线与所成角的余弦值为.20．(1)到平面的距离为(2)线段BC的长为2【分析】（1）利用体积法可求点到平面的距离；（2）利用面面垂直，线面垂直得线线垂直，最后利用的面积为即可求得线段BC的长．【详解】（1）解：由直三棱柱的体积为4，可得，设到平面的距离为，由，，，解得．即到平面的距离为；（2）解：连接交于点由直三棱柱，故四边形为正方形，，又平面平面，平面平面，平面，，由直三棱柱知平面，，又，平面，，，，又，解得，则线段BC的长为2.21．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）由题可得四边形是平行四边形，然后利用线面平行的判定定理即得；（2）利用线面垂直的判定定理可得平面，进而即得；（3）过点作，由题可得是二面角的平面角，结合条件即得.【详解】（1）由题意可得，在等腰梯形中，，在中，因为，所以，四边形为正方形.在四棱锥中，连接，因为分别是的中点，所以，且，在正方形中，因为是的中点，所以，且，所以，且，∴四边形是平行四边形，，因为平面，平面，所以平面；（2）由（1）知，在中，，因为为的中点，所以，在等腰梯形中，，所以在四棱锥中，，因为， 平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，，平面，平面，所以平面；（3）在中，过点作，垂足为，连接，由（2）知平面，平面，所以，因为，平面，平面，所以平面，平面，∴，故是二面角的平面角，由（1）知，在四棱锥中，，设，则，在中，，所以，在中，，故二面角的正切值为.22．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由垂直于⊙所在的平面，可得，再由圆的性质可得，则由线面垂直的判定可得平面，则，从而平面，进而由面面垂直的判定可证得结论，（2）过点作∥交于点，则，设点到平面的距离为，利用可求出，然后由可求得结果.【详解】（1）证明：因为垂直于⊙所在的平面，即平面，平面，所以，又为⊙的直径，所以，因为，所以平面，又平面，所以，因为，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）因为，，所以，又，所以，由，得,如图，过点作∥交于点，则，可得，又，所以，所以，设点到平面的距离为，由，可得，所以解得，所以当点移动到点时，与平面所成角的正弦值为．23．C【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．棱台上底面积，下底面积，∴．故选：C．24．A【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A．25．C【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.故选：C.26．C【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为，所以球的半径,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以当且仅当取到，当时，得，则当时，球心在正四棱锥高线上，此时，，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是27．CD【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可.【详解】设，因为平面，，则，，连接交于点，连接，易得，又平面，平面，则，又，平面，则平面，又，过作于，易得四边形为矩形，则，则，，，则，，，则，则，，，故A、B错误；C、D正确.故选：CD.28．ABD【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，又平面，所以，故B正确；连接，设，连接，因为平面，平面，则，因为，，所以平面，所以为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，则，，，所以，直线与平面所成的角为，故C错误；因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.故选：ABD29．【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】∵∴∴∴.故答案为：.30．.【分析】根据已知条件易得，侧面，可得侧面与球面的交线上的点到的距离为，可得侧面与球面的交线是扇形的弧，再根据弧长公式可求得结果.【详解】如图：取的中点为，的中点为，的中点为，因为60°，直四棱柱的棱长均为2，所以△为等边三角形，所以，，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因为，所以，所以根据弧长公式可得.故答案为：.【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.31．【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.【详解】正六棱柱体积为圆柱体积为所求几何体体积为故答案为：【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题. 32．(1)证明详见解析(2)【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.（2）首先判断出三角形的面积最小时点的位置，然后求得到平面的距离，从而求得三棱锥的体积.【详解】（1）由于，是的中点，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）[方法一]：判别几何关系依题意，，三角形是等边三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以当最短时，三角形的面积最小过作，垂足为，在中，，解得，所以，所以过作，垂足为，则，所以平面，且，所以，所以.[方法二]：等体积转换，，是边长为2的等边三角形，连接。
高一数学(必修二)立体几何初步单元测试卷及答案
高一数学（必修二）立体几何初步单元测试卷及答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图所示，己知正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的周长为( )A.8B.22C.4D.223+2.下列说法正确的是( ) A.三点确定一个平面B.圆心和圆上两个点确定一个平面C.如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个公共点D.如果两条直线没有交点，则这两条直线平行3.正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，那么正方体中过P ，Q ，R 的截面图形是( ) A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形4.某圆柱的高为2，其正视图如图所示，圆柱上下底面圆周及侧面上的点A ，B ，D ，F ，C 在正视图中分别对应点A ，B ，E ，F ，C ，且3AE EF =，2BF BC =，异面直线AB ，CD 所成角的正弦值为45，则该圆柱的外接球的表面积为( )A.20πB.16πC.12πD.10π5.在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.在方亭1111ABCD A B C D -中，1124AB A B ==，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为122( ) 282B.283142D.1436.异面直线是指( ) A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D ，11B C 的中点，则与直线CF 互为异面直线的是( )A.1CCB.11B CC.DED.AE8.下列说法中正确的是( ) A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形 C.梯形一定是平面图形D.两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
高一北师大版数学必修2第一章 立体几何初步单元测试题试卷含答案解析
第二章测试时间120分钟 满分150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在下列四个选项中，只有一项是符合题意的)1．已知点P (－3，1)，点Q 在y 轴上，且直线PQ 的倾斜角为120° ，则Q 点的坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(2,0)D ．(－2,0)解析 设Q (0，y )，由k ＝y －13＝－3，得y ＝－2.答案 B2．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析 由题意，得a (a ＋2)＝－1，得a ＝－1. 答案 D3．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为( )A ．0B ．－8C ．2D ．10解析 由4－mm ＋2＝－2，得m ＝－8.答案 B4．若点A 是点B (1,2,3)关于x 轴对称的点，点C 是点D (2，－2,5)关于y 轴对称的点，则|AC |＝( )A ．5 B.13 C ．10D.10解析 A (1，－2，－3)，C (－2，－2，－5)代两点间距离公式即可．答案 B5．直线y ＋4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0的位置关系是( ) A ．相切B ．相交，但直线不经过圆心C ．相离D ．相交且直线经过圆心 答案 A6．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)D ．x 2＋y 2＝2解析 由题可知，点P 的轨迹是以MN 为直径的圆(除去M 、N 两点)，∴点P 的轨迹方程是x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．答案 A7．若直线3x ＋2y －2m －1＝0与直线2x ＋4y －m ＝0的交点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23D.⎝⎛⎭⎪⎫－23，＋∞解析 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －2m －1＝0，2x ＋4y －m ＝0，得⎩⎨⎧x ＝3m ＋24，y ＝－m －28.由题意，得⎩⎨⎧3m ＋24＞0，－m ＋28＜0，得m ＞－23.答案 D8．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0，若圆C 被直线l ：x ＋y ＋a ＝0截得的弦长为23，则a ＝( )A ．2＋ 2 B.2 C ．2± 2D ．－2±2解析 由弦长公式，得3＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋a 12＋122， 得a ＝－2± 2. 答案 D9．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( )A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或11解析 将直线平移后得到y ＝2(x ＋1)＋λ＝2x ＋2＋λ， 由题可知，|－2－2＋2＋λ|22＋(－1)2＝5， 得λ＝－3，或λ＝7，故选A. 答案 A10．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( )A ．－2或2 B.12或32 C ．2或0D ．－2或0解析 圆的圆心(1,2)，∴d ＝|1－2＋a |2＝22，得a ＝0，或a ＝2.答案 C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．当a 为任意实数时，直线ax －y ＋1－3a ＝0恒过定点________． 解析 原方程可化为a (x －3)－(y －1)＝0，∴直线l 过(3,1)． 答案 (3,1)12．直线x －2y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析 圆心到该直线的距离d ＝55＝5，∴弦长＝2(22)2－(5)2＝2 3. 答案 2313．两圆相交于两点(1,3)和(m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，且m 、c 均为实数，则m ＋c ＝________.解析 根据两圆相交的性质可知，两点(1,3)和(m ，－1)的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，1在直线x －y ＋c ＝0上，并且过两点的直线与x －y ＋c ＝0垂直，故有⎩⎨⎧1＋m2－1＋c ＝0，3－(－1)1－m ×1＝－1，∴m ＝5，c ＝－2，∴m ＋c ＝3. 答案 314．若不同两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b,3－a )，则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为________；圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l 对称的圆的方程为________．解析 ∵k PQ ＝3－a －b3－b －a ＝1，又k l ·k PQ ＝－1∴k l ＝－1，又(2,3)关于l 的对称点为(0,1)， 故所求的圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1. 答案 －1 x 2＋(y －1)2＝115．过圆x 2＋y 2－x ＋y －2＝0与x 2＋y 2＝5的交点，且圆心在直线3x －4y －1＝0上的圆的方程为________．解析 设所求的圆的方程为x 2＋y 2－x ＋y －2＋ λ(x 2＋y 2－5)＝0，即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2－x ＋y －2－5λ＝0.∴圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12(1＋λ)，－12(1＋λ). 由32(1＋λ)－42(1＋λ)－1＝0，得λ＝－32 故所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝13. 答案 (x ＋1)2＋(y －1)2＝13三、解答题(本大题共有6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)16．(12分)已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m ，n 的值，使(1)l 1和l 2相交于点(m ，－1)；(2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1. 解 (1)∵m 2－8＋n ＝0，且2m －m －1＝0， ∴m ＝1，n ＝7.(2)由m ·m －8×2＝0，得m ＝±4， 由8×(－1)－n ·m ≠0，得n ≠±2，即m ＝4，n ≠－2时，或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当m ·2＋8·m ＝0，即m ＝0时，l 1⊥l 2，又－n8＝－1，∴n ＝8. 即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.17．(12分)△ABC 中，顶点A 的坐标为(1,2)，高BE ，CF 所在直线的方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，求这个三角形三条边所在直线的方程．解 由已知，直线AC 的斜率为－32， 直线AB 的斜率为1.∴直线AC 的方程为3x ＋2y －7＝0， 直线AB 的方程为x －y ＋1＝0.再由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，3x ＋2y －7＝0，可解得C 点坐标为(7，－7)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，x －y ＋1＝0，可解得B 点坐标为(－2，－1) . 于是直线BC 的方程为2x ＋3y ＋7＝0.18．(12分)已知圆x 2＋y 2－12x ＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同两点A ，B ，求实数k 的取值范围．解 x 2＋y 2－12x ＝0可化为(x －6)2＋y 2＝36，又直线过点P (0,2)，斜率为k ，故l 的方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0，由题意，得|6k ＋2|k 2＋1＜6，得k ＜43.∴k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43.19．(13分)已知P (1,2)为圆x 2＋y 2＝9内一定点，过P 点任作直线，与圆相交，求弦的中点的轨迹方程．解 设过P 点的直线与圆相交于A ，B 两点，C 为AB 的中点，设C (x ，y )，由题意，得当P 与C 不重合时，△OPC 为直角三角形，∴C 点在以OP 为直径的圆上，又OP 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，|OP |＝12＋22＝5，∴点C 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝54(除去P 点)．又当x ＝1，y ＝2时上式仍成立，∴点C 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝54.20．(13分)已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)若此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m ；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程． 解 (1)原方程化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m . ∵此方程表示圆， ∴5－m >0. ∴m <5.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＝4－2y 1，x 2＝4－2y 2， 得x 1x 2＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2. ∵OM ⊥ON ， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2y ，x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，得 5y 2－16y ＋m ＋8＝0. ∴y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5. 代入①得m ＝85.(3)以MN 为直径的圆的方程为 (x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0， 即x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－85x －165y ＝0.21．(13分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆外，过点P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程； (2)求满足|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程．解 (1)把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∴圆心为(－1,2)，半径为2.①当l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝1满足条件．②当l 的斜率存在时，设斜率为k ，则l ：y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0.由题意，得|－k －2＋3－k |1＋k 2＝2，得k ＝－34. ∴l 的方程为3x ＋4y －15＝0.综上得，满足条件的切线l 的方程为x ＝1，或3x ＋4y －15＝0. (2)设P (x ，y )，∵|PM |＝|PO |， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2. 整理得2x －4y ＋1＝0.即点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0.。
高中数学立体几何测试题(10套)
∴ BD ∥平面 PMN ，
位置关系为
平行
。
∴ O 到平面 PMN 的距离即为 BD 到平面 PMN 的距离。
11 、a,b 为异面直线，且 a,b 所成角为 40 °，直线 c 与 a,b 均异面，且所成角均为
∵ BD ⊥ AC ， MN ∥ BD
∵ PA⊥面 ABCD
θ，若这样的 c 共有四条，则 θ的范围为 (70 °， 90° ) 。
D
C
A
B
D1 A1
C1 B1
17 、 已知异面直线 a， b 的公垂线段 AB 的中点为 O，平面 满足 a∥ ， b∥ ， 且 O ， M 、 N 是 a， b 上的任意两点， MN ∩ ＝ P，求证： P 是 MN 的中
点
A aM
O
P
BN b
.
立几面测试 001
参考答 案
一、 1- 8 ACDDBDBA
2、已知 m， n 为异面直线， m∥平面 ， n∥平面 ， ∩ =l ，则 l（ ） （ A）与 m， n 都相交 （ B）与 m，n 中至少一条相交 （ C）与 m， n 都不相交 （ D ）与 m， n 中一条相交
3、已知 a， b 是两条相交直线， a∥ ，则 b 与 的位置关系是 （ ）
A 、 b∥
PAM
∵ AB=2 ， BM=1 ， CM=1
∴ AM= 5 ，
P
A H
O
.
B
F M
B
D N C
立几面测试 003
一、选择题
1．异面直线是指
(A) 在空间内不能相交的两条直线
(B) 分别位于两个不同平面的两条直线
(C) 某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
高一数学立体几何练习题及部分答案大全.docx
立体几何试题一．选择题（每题 4 分，共 40 分）1. 已知 AB3003001500空间，下列命题正确的个数为（）（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形, （2）四边相等的四边形是菱形（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角（3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;形全等A 1B 2C 3D 43.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（）A平行B相交C在平面内D平行或在平面内4. 已知直线 m过平面外一点，作与平行的平面，则这样的平面可作（）A 1 个或 2 个B 0个或1个C1个 D 0个6.如图 , 如果 MC 菱形 ABCD 所在平面 , 那么 MA与 BD的位置关系是 ( )A平行B垂直相交C异面D相交但不垂直7. 经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有（）A 0 个B 1个C无数个 D 1个或无数个8.下列条件中 , 能判断两个平面平行的是 ( )B一个平面内的两条直线平行于另一个平面C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面9. 对于直线m ,n 和平面,, 使成立的一个条件是 ( )A m // n, n, mB m // n, n,mC m n,I m, nD m n, m //, n //)10 . 已知四棱锥 , 则中 , 直角三角形最多可以有 (A 1个B2个 C 3个D4个二．填空题（每题 4 分，共16 分）11. 已知ABC的两边 AC,BC分别交平面于点M,N，设直线AB与平面交于点O，则点 O与直线 MN的位置关系为 _________12.过直线外一点与该直线平行的平面有 ___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有_____________条13. 一块西瓜切 3 刀最多能切 _________块14.将边长是 a 的正方形 ABCD沿对角线 AC 折起 , 使得折起后 BD得长为 a, 则三棱锥D-ABC的体积为 ___________三、解答题15（10 分）如图，已知 E,F 分别是正方形ABCD A1B1C1 D1的棱 AA1和棱 CC1上的点，且 AE C1 F 。
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立几测试017
一、 选择题
1、已知A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，它们到平面α的距离相等，则满足条件的平面α的个数是
( )
（A ）3 （B ）4 （C ）7 （D ）8
2、“直线L 垂直平面α内的无数条直线”是“α⊥l ”的……………………（ ）
A 、充分条件
B 、必要条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
3、如果平面的一条斜线长是它在这平面上的射影长的3倍，那么这条
斜
线
与
平
面
所
成
角
的
余
弦
值
为……………………………………… …（ ） A 、
3
1
B 、3
22
C 、
2
2 D 、3
2
4、ＡＢＣＤ是边长为１的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＢＣ、ＣＤ的中点，
沿ＡＥ、ＥＦ、ＡＦ折起，使Ｂ、Ｃ、Ｄ重合于Ｐ，则直线ＡＰ与ＥＦ间的距离为 （ ）
（Ａ）
2
3 （Ｂ）
4
3 （Ｃ）
2
2 （Ｄ）
4
2
二、填空题
5、一条直线与两平行平面中的一个成３０0角，且被两平面截得的线段长为２，那么这两个平行平面间的距离是_________________.
6、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，Ｏ是上底面ＡＢＣＤ中心，若正方体的棱长为a ，则三棱锥Ｏ－DC 1D 1的顶点0到底面DC 1D 1的距离为_____________.
7、 点P 为矩形ABCD 所在平面外一点，且直线PA ⊥平面ABCD ，Q 为线段AP 的中点，AB ＝4，BC ＝4，PA ＝6 , 点Q 到直线BD 的距离__________；
8、a 与b 是异面直线，a//直线c ，若a 与b 的距离为m ，a 与c 的距离为n(n<m)，则b 与c 的距离的取值范围是_____________。
三、解答题
9、已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=CB, A 1B 与截面A 1B 1CD 所成角为３０0，求A 1B 与ＡＣ所成
的角。
10、点P 为矩形ABCD 所在平面外一点，且
直线PA ⊥平面ABCD ，E 为线段AP 的中点，AB ＝4 ，BC ＝3，PA ＝12, 求点P 到
平面BED 的距离 ；
B
A E
D
P A
D
A 1
B 1
D 1
C 1
B
C
11、已知斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC＝90°，BC ＝2，AC ＝2 3 ，
且AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C 。
（1）求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小； （2）求侧棱B 1B 和侧面A 1ACC 1的距离。
1、C ；
2、B ；
3、A ；
4、D ；
5、1；
6、1/2a ；
7、
2
261
5
;8、[m-n ，m ＋n] 9、60度；10、30/13;11、(1) 450 ; (2)2
63
;
A 1
C 1
B 1
A
C
B。