函数易错点

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
函 数
一．求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：
1．根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数log a x 中0,0x a >>且1a ≠，三角形中
0A π<<, 最大角3
π
≥
，最小角3
π
≤
等。

如
（1）函数
lg 3y x =
-的定义域是____
(答：(0,2)(2,3)(3,4) )；
（2）若函数2
7
43
kx y kx kx +=
++的定义域为R ，则k ∈_______ (答：30,
4⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
)； （3）函数()f x 的定义域是[,]a b ，0b a >->，则函数()()()F x f x f x =+-的定义域是__________
(答：[,]a a -)；
（4）设函数2()lg(21)f x ax x =++，①若()f x 的定义域是R ，求实数a 的取值范围；②若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围
（答：①1a >；②01a ≤≤）
2．根据实际问题的要求确定自变量的范围。

3．复合函数的定义域：若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤解出即可；若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时，求()g x 的值域（即()f x 的定义域）。

如
（1）若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2,2
1，则)(l o g
2
x f 的定义域为__________
（答：{}
42|≤≤x x ）； （2）若函数2
(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________ （答：[1,5]）．
二．求函数值域（最值）的方法：
1．配方法——二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如 （1）求函数2
25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域
（答：[4,8]）；
（2）当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是___
（答：2
1
-
≥a ）； （3）已知()3(24)x b f x x -=≤≤的图象过点（2,1），则1212()[()]()F x f x f x --=-的值域为______
（答：[2, 5]）
2．换元法——通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如
（1）22sin 3cos 1y x x =--的值域为_____
（答：17
[4,
]8
-）；
（2）21y x =+的值域为_____
（答：(3,)+∞）
（3）sin cos sin cos y x x x x =++
的值域为____
（答：1
[1,
2
-+）；
（4）4y x =++____
（答：[14]）；
3．函数有界性法——直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如
求函数2sin 11sin y θθ-=+，313
x
x
y =+，2sin 11cos y θθ-=+的值域 （答： 1
(,]2-∞、（0,1）、3(,]2
-∞
）； 4．单调性法——利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如
求1(19)y x x x =-
<<，229sin 1sin y x x
=++，52log x y -=+ （答：80(0,)9、11
[,9]2
、[2,10]）；
5．数形结合法——函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如
（1）已知点(,)P x y 在圆2
2
1x y +=上，求
2
y
x +及2y x -的取值范围
（答：[,]33
-
、[）；
（2）求函数y =
（答：[10,)+∞）；
（3）求函数y =
y =的值域
（答：)+∞、(）
注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在x 轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在x 轴的同侧。

6．判别式法——对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：
①2
b
y k x =
+型，可直接用不等式性质，如 求2
3
2y x
=+的值域 （答：3(0,]2
）
②2bx
y x mx n
=
++型，先化简，再用均值不等式，如
（1）求2
1x
y x
=+的值域 （答：1
(,]2
-∞）；
（2）求函数y =
的值域 （答：1[0,]2
）
③22x m x n y x mx n
''++=++型，通常用判别式法；如
已知函数2328log 1
mx x n
y x ++=+的定义域为R ，值域为[0，2]，求常数,m n 的值
（答：5m n ==）
④2x m x n y mx n
''++=+型，可用判别式法或均值不等式法，如
求211
x x y x ++=+的值域
（答：(,3][1,)-∞-+∞ ）
7．不等式法——利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为
定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

如
设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则2
12
21)(b b a a +的取值范围是__.
（答：(,0][4,)-∞+∞ ）。

8．导数法——一般适用于高次多项式函数，如
求函数32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。

（答：－48）
提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？ （2）函数的最值与值域之间有何关系？ 三．求函数解析式的常用方法：
1．待定系数法——已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：2()f x ax bx c =++；顶点式：
2()()f x a x m n =-+；零点式：12()()()f x a x x x x =--，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数
的表达形式）。

如
已知()f x 为二次函数，且)2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式。

（答：2
1()212
f x x x =
++） 2．代换（配凑）法——已知形如(())f g x 的表达式，求()f x 的表达式。

如
（1）已知,sin )cos 1(2
x x f =-求()2
x
f 的解析式
（答：242()2,[f x x x x =-+∈）；
（2）若221
)1(x
x x x f +=-
，则函数)1(-x f =_____ （答：223x x -+）； （3）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，那么当)0,(-∞∈x 时，
)(x f =________
（答：(1x ）.
3．方程的思想——已知条件是含有()f x 及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。

如
（1）已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式 （答：2
()33
f x x =--）； （2）已知()f x 是奇函数，)(x
g 是偶函数，且()f x +)(x g = 11
-x ,则()f x = _ （答：21
x x -）。