三角函数的易错点以及典型例题与高考真题
高考数学压轴专题最新备战高考《三角函数与解三角形》易错题汇编及解析
新数学复习题《三角函数与解三角形》专题解析一、选择题1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=++<< ⎪+++-⎝⎭的最小值为（ ） ABCD【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】22222sin 2sin cos 2cos 2sin cos1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +++-+++=++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x xx x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， 32222221sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '''--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()cos 0,1t x =∈，()3261g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以当03x π<<时，()11,02t g t <<<，从而()'0f x <； 当32x ππ<<时，()10,02t g t <<>，从而()'0f x >. 故()min 33f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.2．若函数()sin 2f x x =向右平移6π个单位后，得到()y g x =，则关于()y g x =的说法正确的是（ ） A ．图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称 B ．图象关于6x π=-轴对称C ．在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增 D ．在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】利用左加右减的平移原则，求得()g x 的函数解析式，再根据选项，对函数性质进行逐一判断即可. 【详解】函数()sin 2f x x =向右平移6π个单位，得()sin 2()sin(2)63g x x x ππ=-=-． 由23x π-＝k π，得26k x ππ=+()k ∈Z ，所以,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()g x 的对称中心，故A 错； 由23x π-＝2k ππ+， 得212k x π5π=+()k ∈Z ，所以()g x 的图象不关于6x π=-轴对称，故B 错；由222232k x k πππππ-≤-≤+，得1212k x k π5ππ-≤≤π+()k ∈Z ， 所以在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上()g x 不单调递增，在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 故C 错，D 对； 故选：D ． 【点睛】解答三角函数问题时一般需将解析式化简为sin()y A x B ωϕ=++或cos()y A x B ωϕ=++，从而可利用正（余）弦型周期计算公式2||T πω=周期，对正弦型函数，其函数图象的对称中心为,k B πϕω-⎛⎫⎪⎝⎭，且对称中心在函数图象上，而对称轴必经过图象的最高点或最低点，此时函数取得最大值或最小值．3．如图所示，已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线C 的离心率是( )A ．27B ．52C ．7 D ．7【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过求解三角形转化求解离心率即可． 【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，可得||||2BF AF a -=，||AF a =，||3BF a =，60F BF ∠'=︒，所以2222cos60F F AF BF AF BF '=+-︒g ，可得222214962c a a a =+-⨯，2247c a =，所以双曲线的离心率为：72e =． 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．4．在△ABC 中，7b =，5c =，3B π∠=，则a 的值为 A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】D 【解析】 【分析】根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入计算即可得到所求的值.【详解】因为7,5,3b c B π==∠=，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即214925252a a =+-⨯⨯，整理得25240a a --=， 解得8a =或5a =-（舍去），故选D. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果.5．△ABC 中，已知tanA =13，tanB =12，则∠C 等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】 在△ABC 中，11tan tan 32tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132A BC A B A B A B π++=--=-=-=---⋅，所以135C ?o .故选：D. 【点睛】本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.6．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，0AB BC ⋅>u ur u u r u u，2a =，则bc +的取值范围是( ) A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．32⎫⎪⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，可得3A π=，由|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r，可得B为钝角，由正弦定理可得sin sin(120)30)o o b c B B B ∴+=+-=+，结合B 的范围，可得解【详解】由余弦定理有：222cos 2b c a A bc+-=，又222b c a bc +-=故2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又A 为三角形的内角，故3A π=又a=sin sin sin(120)ob c c B C B ==- 又|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r故cos 0B B <∴为钝角3sin sin(120)sin 30)22o o b c B B B B B ∴+=+-=+=+(90,120)o o B ∈Q ，可得130(120150)sin(30)(2o o o o B B +∈∴+∈，330))22o b c B ∴+=+∈ 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和向量的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题7．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用正弦定理，推出a ，b ，c 的关系，然后利用余弦定理求出cosC 的值，即可得解． 【详解】∵sinA ：sinB ：sinC=2：3：4∴由正弦定理可得：a ：b ：c=2：3：4， ∴不妨令a=2x ，b=3x ，c=4x ，∴由余弦定理：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，所以cosC=2222a b cab+-=2224916223x x x x x +-⨯⨯=﹣14， ∵0＜C ＜π， ∴C 为钝角． 故选B ． 【点睛】本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．8．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（ ） A ．13B ．23C ．43D ．83【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据题意得出()832k k Z πππωπ+=+∈，可得出关于ω的表达式，即可求出正数ω的最小值.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭Q ，由于该函数的图象关于直线8x π=对称，则()832k k Z πππωπ+=+∈，得()483k k Z ω=+∈， 0ω>Q ，当0k =时，ω取得最小值43.故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题.9．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos a B b A +=，1a =，b =c =（ ）A B ．1CD 【答案】B 【解析】 【分析】先由正弦定理将cos cos a B b A +=中的边转化为角，可得sin()A B +=可求出角6C π=，再利用余弦定理可求得结果.【详解】解：因为cos cos a B b A +=，所以正弦定理得，sin cos sin cos A B B A +=所以sin()A B +=sin C =因为sin 0C ≠，所以cos C =， 又因为(0,)C π∈，所以6C π=，因为1a =，b =所以由余弦定理得，2222cos 13211c a b ab C =+-=+-⨯=， 所以1c = 故选：B 【点睛】此题考查的是利用正、余弦定理解三角形，属于中档题.10．在OAB ∆中，已知OB =u u u v 1AB u u u v=，45AOB ∠=︒，点P 满足(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v的最小值为（ ）A B C ．3D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r.再由23λμ+=,将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP u u u r的最小值.【详解】在OAB ∆中,已知2OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒由正弦定理可得sin sin AB OBAOB OAB=∠∠u u u r u u u r 代入2sin 22OAB =∠,解得sin 1OAB ∠=即2OAB π∠=所以OAB ∆为等腰直角三角形以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:则点A 坐标为22,22⎛⎝⎭所以2222OA ⎛= ⎝⎭u u u r ,)2,0OB =u u u r因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r则)222,022OP λμ⎛ =+ ⎝⎭u u u r 222,22λμλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭= 则2222222OP λμλ⎛⎫=++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r2222λλμμ=++因为23λμ+=,则32μλ=- 代入上式可得()()22322232λλλλ+-+-==所以当95λ=时, min OP ==u u u r 故选:A 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ∆的面积S C =，且1,a b ==c =（ ）A BC D 【答案】B 【解析】由题意得，三角形的面积1sin 2S ab C C ==，所以tan 2C =，所以cos 5C =，由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以c =，故选B.12．ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且tanC cos cos c B A =，若c =4a =，则b 的值为（ ）A ．6B ．2C ．5D【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得sin tan C C C =，结合sin 0C ≠，可求得tan C =()0,C π∈，可求C ，从而根据余弦定理24120b b --=，解方程可求b 的值． 【详解】解：∵tan cos cos c C B A =， ∴由正弦定理可得：)()sin tan sin cos sin cos C C A B B A A B C =+=+=，∵sin 0C ≠，∴可得tan C = ∵()0,C π∈， ∴3C π=，∵c =4a =，∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得212816242b b =+-⨯⨯⨯，可得24120b b --=，∴解得6b =，（负值舍去）． 故选：A ． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，其中着重考查了正弦定理的边角互化、余弦定理的解三角形，难度一般.利用边角互化求解角度值时，注意三角形内角对应的角度范围.13．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：①实数a 的值为1；②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为23π． 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②③ B ．①③④C ．①④D ．③④【答案】B 【解析】 【分析】 根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为2Tπ=，然后由()()12f x f x =-，得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证.【详解】 ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即-1a =，①正确； ∴()sin 2sin 3π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭f x x x x ．又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-， ∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π，k Z ∈， ∴12223x x k ππ+=+，k Z ∈，当0k =时，12x x +取最小值23π，所以①③④正确，②错误． 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.14．已知1tan 4,tan θθ+=则2sin ()4πθ+=（ ）A ．15 B ．14C ．12D ．34【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系化简1tan 4tan θθ+=成关于正余弦的关系式,再利用降幂公式与诱导公式化简2sin ()4πθ+求解即可.【详解】由题, 1tan 4,tan θθ+=则22sin cos sin cos 444sin cos 1cos sin sin cos θθθθθθθθθθ++=⇒=⇒=, 故1sin 22θ=. 所以2sin ()4πθ+=1cos 222πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1sin 2324θ+==.【点睛】本题主要考查了三角函数的公式运用,在有正切函数时可考虑转化为正余弦的关系进行化简,属于基础题.15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,,3,sin a b c a c b A ===cos ,6a B b π⎛⎫+= ⎪⎝⎭则( )A ．1 BC D 【答案】C 【解析】 【分析】将sin b A = cos 6a B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭结合正弦定理化简，求得B ，再由余弦定理即可求得b ． 【详解】因为sin b A = cos 6a B π⎛⎫+⎪⎝⎭，展开得sin b A =1?cos sin 2B a B -，由正弦定理化简得sin sinB A =1?cos sin 2B sinA B -= cos B即3tanB =，而三角形中0<B<π，所以π 6B =由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ，代入(2223236b π=+-⨯⨯解得b =所以选C 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．16．在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于D ，BD =，1cos 4BAC ∠=，则AD =（ ）A ．2 BC D ．2【答案】A【分析】先求出sin 4BAD ∠=，再利用正弦定理求AD. 【详解】∵21cos 12sin 4BAC BAD ∠=-∠=，∴sin BAD ∠=.在ABD ∆中，sin sin AD BD B BAD =∠，∴sin 2sin BAD BD BAD =⋅==∠. 【点睛】本题主要考查二倍角的余弦和正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17．已知函数()()sin x f x x R ωφ+=∈，，其中0ωπφπ>-<，≤.若函数()f x 的最小正周期为4π，且当23x π=时，()f x 取最大值，是（ ） A ．()f x 在区间[]2ππ--，上是减函数 B ．()f x 在区间[]0π-，上是增函数 C ．()f x 在区间[]0π，上是减函数 D ．()f x 在区间[]02π，上是增函数 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题目所给已知条件求得()f x 的解析式，然后求函数的单调区间，由此得出正确选项. 【详解】由于函数()f x 的最小正周期为4π，故2π14π2ω==，即()1sin 2f x x φ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2ππsin 1,33π6f φφ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭=⎭⎝.所以()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由π1ππ2π2π2262k x k -≤+≤+，解得4π2π4π4π33k x k -≤≤+，故函数的递增区间是4π2π4π,4π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，令0k =，则递增区间为4π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故B 选项正确.所以本小题选B.本小题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.18．已知函数())(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<，1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是()A ．2(23k -，42)3k +，k Z ∈ B ．2(23k ππ-，42)3k ππ+，k Z ∈C ．2(43k -，44)3k +，k Z ∈ D ．2(43k ππ-，44)3k ππ+，k Z ∈【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数图像的性质可求得：2πω=，6πϕ=-，即()sin()26f x x ππ=-，再令222262k x k ππππππ--+剟，求出函数的单调增区间即可.【详解】解：函数())(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<， 因为1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，又4BC =，∴222()42T +=，即221216πω+=，求得2πω=．再根据123k πϕπ+=g ，k Z ∈，可得6πϕ=-，()3sin()26f x x ππ∴=-，令222262k x k ππππππ--+剟，求得244433k x k -+剟， 故()f x 的单调递增区间为2(43k -，44)3k +，k Z ∈， 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角函数图像的性质及单调性，属中档题.19．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2π,43BAC AP ∠==，AB AC ==P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．48πC ．64πD ．72π【答案】C【分析】先求出ABC V 的外接圆的半径，然后取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122GO AP ==，由于PA ⊥平面ABC ，故点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，OA 为外接球半径，求解即可. 【详解】在ABC V 中，23AB AC ==，23BAC π∠=，可得6ACB π∠=， 则ABC V 的外接圆的半径2323π2sin 2sin 6AB r ACB ===，取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122GO AP ==， 因为PA ⊥平面ABC ，所以点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心， 则222OA OG AG =+，即外接球半径()222234R =+=，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为24π4π1664πR =⨯=. 故选C.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.20．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③【答案】A 【解析】逐一考查所给的函数：cos 2cos2y x x == ，该函数为偶函数，周期22T ππ== ； 将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象，该函数的周期为122ππ⨯= ； 函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ== ； 函数tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ==；综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③. 本题选择A 选项.点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．。
第五章 三角函数典型易错题集(解析版)
第五章 三角函数典型易错题集易错点1．忽略顺时针旋转为负角，逆时针旋转为正角。
【典型例题1】（2022·全国·高一专题练习）将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是（ ） A ．6πB ．3π C ．6π-D ．3π-【错解】B将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是102603ππ⨯=. 点评：学生对角的理解还是局限在0360之间，把角都当成正数，容易忽视角的定义，顺时针旋转为负，逆时针旋转为正。
【正解】D 【详解】将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是102603ππ-⨯=-. 故选：D.易错点2．在三角函数定义中，忽略点坐标值的正负。
【典型例题2】（2022·湖北襄阳·高一期中）设α是第三象限角，(),4P x -为其终边上的一点，且1cos 5x α=，则tan α=（ ） A ．43-或43B ．34C ．43D ．34-【错解】A解：(,4)P x -为其终边上的一点，且1cos 5x α=， ∴15x，解得：3x =±，所以(3,4)P ∴--或者(3,4)P ∴-，所以44tan 33α-∴==-或者44tan 33α-∴==-点评：学生在解此类问题时往往忽略了角α15x=方程时容易造成两种错误:①293a a =⇒=,这类错误往往学生只能看到正根，没有负根。
②第二类错误，本题也解出了3x =±，但是忽视了本题α是第三象限角，此时x 是负数，要舍去其中的正根。
【答案】C 【详解】解：(,4)P x -为其终边上的一点，且1cos 5x α=， ∴15x，解得：0x =或3x =±， 又α是第三象限角，0x ∴<，3x ∴=-，(3,4)P ∴--， 44tan 33α-∴==-． 故选：C ．易错点3．分数的分子分母同乘或者同除一个数，分数的值不变（分数基本性质）【典型例题3】（2022·安徽省五河第一中学高二月考）已知tan 2θ=则22sin sin cos 2cos θθθθ+-的值为________． 【错解】4222222sin sin cos 2cos (sin sin cos 2cos )cos tan tan 24θθθθθθθθθθθ+-=+-÷=+-=点评：学生在此类问题时多数出现分式问题，习惯了分子分母同除以cos θ（或者2cos θ），但本题是一个整式，要先化成分式，才能进一步同时除以cos θ（或者2cos θ）。
高中数学基本题型系列与三角函数定义有关的易错题赏析
高中数学基本题型系列与三角函数定义有关的易错题赏析例1 判断函数f（x）=1+sinx-cosx1+sinx+cosx的奇偶性.错解：∵f（x）=2sinx2（sinx2+cosx2）2cosx2（sinx2+cosx2）=tanx2，∴f（-x）=tan（-x2）=-tanx2=-f（x），∴f（x）是奇函数.错因剖析：研究函数，首先考虑函数的“定义域”，即要使该函数有意义，则分母必须不为0，从而1+sinx+cosx=1+2sin（x+π4）≠0，即sin（x+π4）≠-22，得：π4+x≠2kπ+54π且π4+x≠2kπ+74π（k∈Z），故x≠2kπ+π且x≠2kπ+32π（k∈Z），而函数f（x）=tanx2的定义域却是{x|x≠2kπ+π，k∈Z}，显然这两个函数不是同一个函数.究其原因，当约去因式sinx2+cosx2时，使原函数不关于原点对称的定义域扩大为关于原点对称的定义域.因此，原函数应是非奇非偶函数.易错点二：忽视三角函数的有界性而致错例2 若cosαcosβ=12，求sinαsinβ的取值范围.错解：设sinαsinβ=t，则cosαcosβ+sinαsinβ=t+12，即cos（α-β）=t+12，又因为cos（α-β）∈[-1，1]，所以有-1≤t+12≤1，解得：-32≤t≤12，所以sinαsinβ的取值范围为[-32，12].错因剖析：若cosαcosβ+sinαsinβ=t+12，则也有cosαcosβ-sinαsinβ=12-t，所以应该得到cos（α-β）=t+12，cos（α+β）=12-t都成立.由cos（α-β）∈[-1，1]，cos（α+β）∈[-1，1]，可以得到-12≤t≤12，即sinαsinβ的取值范围为[-12，12].易错点三：忽视三角函数的单调性而致错例3 已知α，β∈（0，π2），且cosα=55，cosβ=1010，求α+β的值.错解：∵α，β∈（0，π2），且cosα=55，cosβ=1010，故sinα=255，sinβ=31010，又∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=255×1010+55×31010=22.由α，β∈（0，π2）知α+β∈（0，π），所以α+β=π4或α+β=3π4.错因剖析：由于正弦值为22的角在（0，π）上不唯一，才造成两解.正确的解法是取余弦，因为余弦函数在（0，π）上是单调递减的，这样才不会扩大解集.∵cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=55×1010-255×31010=-22.由α+β∈（0，π），且余弦函数在（0，π）上是单调递减，所以α+β=3π4.易错点四：忽视条件等式对三角函数的角或值的制约而致错例4 设θ是第二象限角，且cosθ2-sinθ2=13，求cosθ2+sinθ2的值.错解：∵θ是第二象限角，∴2kπ+π2<θ<2kπ+π（k∈Z）∴kπ+π4<θ2<kπ+π2（k∈z），∴θ2位于第一或第三象限，即2kπ+π4<θ2<2kπ+π2或2kπ+54π<θ2<="" p=""></kπ+π2（k∈z），∴θ2位于第一或第三象限，即2kπ+π4<θ2<2kπ+π2或2kπ+54π<θ2错因剖析1：有些同学认为θ是第二象限角，则θ2必为第一象限角，从而未讨论θ2在第三象限时的情况.又cosθ2-sinθ2=13>0，∴cosθ2>sinθ2，∴2kπ+54π<θ2<2kπ+32π（k∈Z），∴cosθ2<0，sinθ2<0，将cosθ2-sinθ2=13平方得：1-2sinθ2cosθ2=19，∴2sinθ2cosθ2=89，∴（cosθ2+sinθ2）2=1+2sinθ2cosθ2=179，∴cosθ2+sinθ2=-173.错因剖析2：如果在前面误认为θ2只能为第一象限角，则就会得出cosθ2+sinθ2=173的错误，如果得2kπ+π4<θ2<2kπ+π2或2kπ+54π<θ2<2kπ+32π（k∈Z），而不从三角函数等式中推出隐含条件cosθ2<0，sinθ2<0，则会导致产生cosθ2+sinθ2=±173的错误.易错点五：忽视三角形中边角的关系而致错例5 在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，且sinC=513，求cosA 的值.错解：由A，B，C成等差数列及三角形内角和定理知：2B=A+C，A+B+C=π，∴B=π3，A=23π-C，又∵sinC=513，∴cosC=±1-sin2C=±1213，∵cosA=cos（23π-C）=cos23πcosC+sin23πsinC=-12cosC+32sinC，∴当cosC=1213时，cosA=53-1226；当cosC=-1213时，cosA=53+1226.错因剖析：cosC能否正负都取呢？因为A，B，C是三角形中的三个内角，故A+B+C=π.因此，这三个角之间有着相互制约的关系，应对给出的固定的正弦值的角C的范围加以挖掘，从而决定cosC的正、负号的取舍.∵0<12，∴0<c<π6或56π<c<c。
三角函数典型超级易错题
三角函数典型超级易错题三角函数是高中数学中的一个重要章节，涉及到许多概念和性质。
虽然三角函数的基本理论并不难以理解，但由于其具有一些易错点，所以在做题过程中可能会遇到一些挑战。
本文将就三角函数中的一些典型易错题进行详细分析和解答，以帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
1. 题目：已知$\tan x=\frac{3}{4}$，求$\sin x$和$\cos x$的值。
解答：首先，根据定义，$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$，所以我们可以得到一个等式：$$\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{3}{4}$$接下来，我们可以利用三角函数的定义和性质，将$\sin x$和$\cosx$之间的关系进行转化。
通过三角函数的定义，我们知道$\sin x$和$\cos x$是有关的：$$\sin^2x+\cos^2x=1$$将其变形得到：$$\sin^2x=1-\cos^2x$$将上式代入第一个等式中，得到：$$\frac{1-\cos^2x}{\cos x}=\frac{3}{4}$$进一步整理，得到二次方程：$$4-4\cos^2x=3\cos x$$将其变形，得到：$$4\cos^2x+3\cos x-4=0$$这是一个关于$\cos x$的一元二次方程，我们可以使用求根公式求解。
令$a=4$，$b=3$，$c=-4$，带入求根公式：$$\cos x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$代入数值，我们可以解得：$$\cos x=\frac{-3\pm\sqrt{9+64}}{8}$$将其化简得到：$$\cos x=\frac{-3\pm\sqrt{73}}{8}$$但是我们需要注意的是，对于给定的条件$\tan x=\frac{3}{4}$，角$x$的值是有限制的。
在单位圆上，正切函数$\tan x$的定义域是$(-\infty, \infty)$，而我们已知$\tan x=\frac{3}{4}$，所以根据正切函数在单位圆上的性质，我们可以得到一个范围限制：$$0<x<\frac{\pi}{2}$$在这个范围内，$\cos x>0$，所以我们可以舍弃$\cos x<0$的解，只考虑$\cos x>0$的解。
高三复习三角函数经典错题集
高中数学三角函数部分错题精选一、选择题：1．（如中）为了得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin πx y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ） A 向右平移6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3π 错误分析:审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误.答案: B2．（如中）函数⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2tan tan 1sin x x x y 的最小正周期为 ( )Aπ B π2 C2π D 23π错误分析:将函数解析式化为x y tan =后得到周期π=T ,而忽视了定义域的限制,导致出错.答案: B3．(石庄中学) 曲线y=2sin(x+)4πcos(x-4π)和直线y=21在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1、P 2、P 3……，则|P 2P 4|等于 （ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 正确答案：A 错因：学生对该解析式不能变形，化简为Asin(ωx+ϑ)的形式，从而借助函数图象和函数的周期性求出|P 2P 4|。
4．(石庄中学)下列四个函数y=tan2x ，y=cos2x ，y=sin4x ，y=cot(x+4π),其中以点(4π,0)为中心对称的三角函数有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4正确答案：D 错因：学生对三角函数图象的对称性和平移变换未能熟练掌握。
5．(石庄中学)函数y=Asin(ωx+ϕ)(ω>0,A ≠0)的图象与函数y=Acos(ωx+ϕ)(ω>0, A ≠0)的图象在区间(x 0,x 0+ωπ)上（ ）A ．至少有两个交点B ．至多有两个交点C ．至多有一个交点D ．至少有一个交点正确答案：C 错因：学生不能采用取特殊值和数形结合的思想方法来解题。
6．(石庄中学) 在∆ABC 中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=3，则∠C 的大小应为( )A ．6πB ．3πC ．6π或π65D ．3π或32π正确答案：A 错因：学生求∠C 有两解后不代入检验。
易错点05 三角函数与解三角形 (解析版) -备战2021年新高考数学一轮复习易错题
易错点05 三角函数与解三角形—备战2021年高考数学一轮复习易错题【典例分析】例1 （2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A. πsin(3x +）B. πsin(2)3x - C. πcos(26x +）D.5πcos(2)6x -【答案】BC 【解析】 【分析】首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ， 即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ 故选：BC.【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 例2 （2020年普通高等学校招生全国统一考试数学） 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，BH DG ∥，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．【答案】542π+ 【解析】【分析】利用3tan 5ODC ∠=求出圆弧AB 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB 的面积，求出直角OAH △的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.【详解】设==OB OA r ，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =， 因为5AP =,所以45AGP ︒∠=，因为//BH DG ，所以45AHO ︒∠=，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥， 即OAH △为等腰直角三角形；在直角OQD △中，52OQ =-，72DQ r =-，因为3tan 5OQ ODC DQ ∠==，所以212522r r -=-，解得r =等腰直角OAH △的面积为1142S =⨯=；扇形AOB 的面积(2213324S ππ=⨯⨯=，所以阴影部分的面积为1215422S S ππ+-=+. 故答案为：542π+.【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.例3 （2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）在①ac =②sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解. 解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tanA 的值，得到角,,A B C 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解. 【详解】解法一：由sin 3sin A B 可得：ab=不妨设(),0a b m m =>，则：2222222cos 32c a b ab C m m m m =+-=+-⨯=，即c m =. 选择条件①的解析：据此可得：2ac m =⨯==，1m ∴=，此时1c m ==. 选择条件②的解析：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-，则：sin A ==，此时：sin 3c A m ==，则：c m ==选择条件③的解析：可得1c mb m==，c b =，与条件=c 矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵(),,6sinA C B A C ππ===-+,∴()6sinA A C A π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭,()1?2sinA A C =+= ，∴sinA =,∴tanA =23A π=,∴6B C π==,若选①，ac =,∵a ==2=若选②，3csinA =,3=,c =;若选③,与条件=c 矛盾.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．【易错警示】易错点1 角的概念不清例1 若α、β为第三象限角，且βα>，则（ ）A ．βαcos cos >B ．βαcos cos <C ．βαcos cos =D ．以上都不对 【错解】A【错因】角的概念不清，误将象限角看成类似)23,(ππ区间角． 【正解】如取34,672πβππα=+=，可知A 不对．用排除法，可知应选D ． 易错点2 忽视对角终边位置的讨论致误 例2 若α的终边所在直线经过点33(cos,sin )44P ππ，则sin α= ．【错解】∵33(cos,sin )(4422P ππ=-，所以sin 2α==． 【错因】忽略了对角终边的位置进行讨论【正解】∵直线经过二、四象限，又点P 在单位圆上，若α的终边在第二象限，则3sin sin42πα==，若α的终边在第四象限，∴sin 2α=-，综上可知sin 2α=±．易错点3 忽视函数的定义域对角范围的制约致错 例3 求函数xxy 2tan 1tan 2-=的最小正周期． 【错解】x x x y 2tan tan 1tan 22=-=，2π=∴T ，即函数的最小正周期为2π． 【错因】忽视其定义域导致错误，2π不是x x y 2tan 1tan 2-=的周期，因为当0=x 时，x x y 2tan 1tan 2-=有意义，所以由周期函数定义知应有)0()20(f f =+π成立，然而)20(π+f 根本无意义，故2π不是其周期． 【正解】由于函数x x y 2tan 1tan 2-=的定义域为)(4,2Z k k x k x ∈+≠+≠ππππ，故作出函数x y 2tan =的图象，可以看出，所求函数周期应为π．易错点4 对“诱导公式中的奇变偶不变，符号看象限理解不对”致误例4 若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos =（ ） A ．97-B ．31-C ．31D ．97 【错解一】⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos cos[(2)]3ππα=--sin(2)2sin()cos()366πππααα=-=--12(3=⨯⨯=，无答案．【错解二】227cos 2cos[(2)]cos(2)12sin ()33369ππππαπααα⎛⎫+=--=-=--=⎪⎝⎭，故选D ．【错因】三角函数的诱导公式可简记为：“奇变偶不变，符号看象限”．这里的“奇、偶”指的是π2的倍数的奇偶；“变与不变”指的是三角函数的名称变化；“符号看象限”的含义是：在该题中把整个角(2)3πα-看作锐角时，(2)3ππα--所在象限的相应余弦三角函数值的符号．【正解】227cos 2cos[(2)]cos(2)12sin ()33369ππππαπααα⎛⎫+=--=--=-+-=- ⎪⎝⎭，故选A ．易错点5 忽略隐含条件例5 若01cos sin >-+x x ，求的取值范围．【错解】 移项得1cos sin >+x x ，两边平方得)(222,02sin Z k k x k x ∈+<<>πππ那么即)(2Z k k x k ∈+<<πππ【错因】忽略了满足不等式的在第一象限，上述解法引进了1cos sin -<+x x ．【正解】1cos sin >+x x 即1)4sin(2>+πx ，由22)4sin(>+πx 得 )(432442Z k k x k ∈+<+<+πππππ ∴)(222Z k k x k ∈+<<πππ易错点6 因“忽视三角函数中内层函数的单调性”致错例6 )23sin(2x y -=π单调增区间为（ ）A ．5[,]1212k k ππππ-+,()k Z ∈ B ．]1211,125[ππππ++k k ,()k Z ∈C ．]6,3[ππππ+-k k ,()k Z ∈D ．2[,]63k k ππππ++,()k Z ∈【错解】由题意，222232k x k πππππ-+≤-≤+()k Z ∈，解得521212k x k ππππ--≤≤-，所以)23sin(2x y -=π单调增区间为5[,]1212k k ππππ-+,()k Z ∈，故选A ． 【错因】内层函数为减函数，因此不能直接套用sin y x =的单调性来求．【正解】∵sin(2)sin(2)33y x x ππ=-=--，即求函数sin(2)3y x π=-的减区间． 故函数)23sin(2x y -=π的增区间为]1211,125[ππππ++k k ,()k Z ∈，故选B ．易错点7 图象变换知识混乱例7 要得到函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数1sin2y x =的图象（ ） A ．先将每个值扩大到原来的4倍，y 值不变，再向右平移3π个单位． B ．先将每个值缩小到原来的14倍，y 值不变，再向左平移3π个单位． C ．先把每个值扩大到原来的4倍，y 值不变，再向左平移个6π单位． D ．先把每个值缩小到原来的14倍，y 值不变，再向右平移6π个单位． 【错解】A 、C 、B 【错因】1sin2y x =变换成sin 2y x =误认为是扩大到原来的倍，这样就误选A 或C ；把sin 2y x =平移到sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移方向错了，平移的单位误认为是3π，误选B ．【正解】由1sin2y x =变形为sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭常见有两种变换方式，一种先进行周期变换，即将1sin2y x =的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的14倍得到函数sin 2y x =的图象，再将函数sin 2y x =的图象纵坐标不变，横坐标向右平移6π单位．即得函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，故选D ． 易错点8 已知条件弱用例8 在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果a b c 222<+，求A 的取值范围．【错解】∵a b c b c a 2222220<++->，∴，则cos A b c a bc=+->22220， 由于cosA 在（0°，180°）上为减函数且cos900=°，90A <∴°，又∵A 为△ABC 的内角， ∴0°＜A ＜90°．【错因】审题不细，已知条件弱用，题设是为最大边，而错解中只把看做是三角形的普通一条边，造成解题错误．【正解】由上面的解法，可得A ＜90°，又∵a 为最大边，∴A ＞60°， 因此得A 的取值范围是（60°，90°）． 易错点9 三角变换不熟练例9 在△ABC 中，若a b A B 22=tan tan ，试判断△ABC 的形状．【错解】由正弦定理，得sin sin tan tan 22A B A B=， 即sin sin sin cos cos sin sin sin 2200A B A ABB A B =>>·，∵， ∴，即sin cos sin cos sin sin A A B B A B ==22．∴2A ＝2B ，即A ＝B ．故△ABC 是等腰三角形．【错因】由sin sin 22A B =，得2A ＝2B ．这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏．【正解】同上得sin sin 22A B =，∴2A ＝22k B π+，或222A k B k Z =+-∈ππ()．∵000<<<<==A b k A B ππ，，∴，则或A B =-π2．故△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 易错点10 解三角形时漏解例10 已知在△ABC 中，a ＝3，b ＝045,2=B ,求A ∠、C ∠和边c ．【错解】由正弦定理BbA a sin sin =,得sinA ＝.23所以，︒=60A ，︒=︒︒︒=7560-45-180C ，所以，c ＝sin sin b C B =．【错因】上述解法中，用正弦定理求C 时，丢了一个解，实际上，由sinA ＝.23可得︒=60A 或︒=120A ，故︒=75A 或︒=15A ．【正解】由正弦定理BbA a sin sin =,得sinA ＝.23因为，b a >，所以︒=60A 或︒=120A ，当︒=60A 时，︒=︒︒︒=7560-45-180C ，c ＝sin sin b C B =．当︒=120A 时，︒=︒︒︒=15120-45-180C ，c ＝sin sin b C B = 易错点11 不会应用正弦定理的变形公式例11 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S ABC △=3，求a b cA B C++++sin sin sin 的值．【错解】∵A ＝60°，b ＝1，S ABC △=3，又S ABC △=12bc A sin ，∴312=c sin 60°，解得c ＝4．由余弦定理，得a b c bc A =+-=+-222116860cos cos °=13又由正弦定理，得sin sin C B ==6393239，． ∴a b cA B C++++=++++sin sin sin 1314323239639．【错因】公式不熟、方法不当，没有正确应用正弦定理．【正解】由已知可得c a ==413，．由正弦定理，得213602393R a A ===sin sin °． ∴a b c A B C R ++++==sin sin sin 22393．【变式练习】1.已知α为第三象限角，则2α是第 象限角，α2是第 象限角．【解析】α 是第三象限角，即Z k k k ∈+<<+,2322ππαππ Z k k k ∈+<<+∴,4322ππαππ，Z k k k ∈+<<+,34224ππαππ 当为偶数时，2α为第二象限角；当为奇数时，2α为第四象限角； 而α2的终边落在第一、二象限或y 轴的非负半轴上. 2.函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域是( )A ．{－1，1}B ．{1，3}C ．{1，－3}D ．{－1，3}【解析】由条件知终边不能落在坐标轴上，故要分四种情况讨论：当的终边分别落在第一、二、三、四象限时，上述函数的值域为{－1，3}．故选D. 3.记cos(80)k -︒=，那么tan100︒=( )AB ．CD ．【解析】∵sin80°=，∴tan100°=－tan80°=－sin 80cos80︒︒=－sin 80cos(80)︒︒-=B ． 4.已知()0,απ∈，7sin cos 13αα+=，求tan α的值． 【解析】据已知7sin cos 13αα+=（1），有1202sin cos 0169αα=-<，又由于()0,απ∈，故有sin 0,cos 0αα><，从而sin cos 0αα->即17sin cos 13αα-==（2），联立（1）、（2）可得125sin ,cos 1313αα==，可得12tan 5α=．5.若0x π≤≤，则函数sin cos 32y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调递增区间为 .【解析】x x x x x y sin sin 3cos cos 3sin 2cos 3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+=ππππ2162sin 21-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=πx ，所以由πππππk x k 2236222+≤-≤+，可得函数的的单调增区间z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,65,3ππππ，又因为π≤≤x 0，所以函数sin cos 32y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ. 6.要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数πcos(2)3y x =-的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π12个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度 【解析】试题分析：函数⎪⎭⎫⎝⎛-==22cos 2sin πx x y ，将函数πcos(2)3y x =-的图象向右平移π12个单位长度得到⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3122cos ππx y x x 2sin 22cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π，故答案为C ．7.在ABC ∆中，30,2B AB ︒===．求ABC ∆的面积．【解析】根据正弦定理知：sin sin AB ACC B=2sin 30︒=，得sin C =，由于sin30AB AC AB ︒<<即满足条件的三角形有两个故60C ︒=或120︒.则30A ︒=或90︒故相应的三角形面积为12sin 302s ︒=⨯⨯=122⨯=． 8.在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则角C = ．【解析】由正弦定理可得::7:8:13a b c =，所以可设7,8,9a k b k c k ===，由余弦定理()()()2222227891cos 22782k k k a b c C ab k k +-+-===-⨯⨯，所以23C π=．9．（2020·北京高考真题）在△ABC 中，a +b =11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sinC 和△ABC 的面积．条件①：c =7,cosA =−17； 条件②：cosA =18,cosB =916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sinC =√32, S =6√3；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sinC =√74, S =15√74. 【解析】选择条件①（Ⅰ）∵c =7,cosA =−17， a +b =11∵a 2=b 2+c 2−2bccosA ∴a 2=(11−a)2+72−2(11−a)⋅7⋅(−17)∴a =8（Ⅱ）∵cosA =−17，A ∈(0,π)∴sinA =√1−cos 2A =4√37由正弦定理得：asinA =csinC ∴4√37=7sinC ∴sinC =√32S =12basinC =12(11−8)×8×√32=6√3选择条件②（Ⅰ）∵cosA =18,cosB =916，A,B ∈(0,π)∴sinA =√1−cos 2A =3√78,sinB =√1−cos 2B =5√716由正弦定理得：asinA =bsinB ∴3√78=5√716∴a =6（Ⅱ）sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA =3√78×916+5√716×18=√74S =12basinC =12(11−6)×6×√74=15√7410.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B ，及CD 的中点P 处，已知20AB =km,10km BC =,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A ，B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为y km ．（I ）按下列要求写出函数关系式：①设(rad)BAO θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式；②设(km)OP x =，将y 表示成x 的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（I ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短．【答案】（I ）①2010sin 10(0)cos 4y θπθθ-=+<<②10)y x x =+<<（Ⅱ）选择函数模型①，P 位于线段AB 的中垂线上且距离AB 处． 【解析】（I ）①由条件可知PQ 垂直平分AB ，(rad)BAO θ∠=，则10cos cos AQ OA BAO θ==∠故10cos OB θ=，又1010tan OP θ=-，所以 10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++- 2010sin 10(0)cos 4θπθθ-=+<<．②(km)OP x =，则10OQ x =-，所以OA OB ==所以所求的函数关系式为10)y x x =+<<． （Ⅱ）选择函数模型①．22210cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)cos cos y θθθθθθ-----=='． 令0y '=得1sin 2θ=，又04πθ<<，所以6πθ=． 当06πθ<<时，0y '<，y 是θ的减函数；64ππθ<<时，0y '>，y 是θ的增函数．所以当6πθ=时min 10y =．当P 位于线段AB 的中垂线上且距离AB 边km 3处． 【典例分析】1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ωππ⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962ωπππ-⋅+=-，解得32ω=.所以函数()f x 最小正周期为224332T ωπππ=== 故选C ．【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= AB ．23C ．13D 【答案】A【解析】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=， 即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin αα∈π∴==. 故选：A ．【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，的考查计算求解能力，属于基础题.3．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若α为第四象限角，则 A ．cos2α>0 B ．cos2α<0 C ．sin2α>0D ．sin2α<0【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k απ+π<<π+π∈Z ， 所以34244,k k k απ+π<<π+π∈Z此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α<， 故选：D ．方法二：当6απ=-时，cos 2cos 03απ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误； 当3απ=-时，2cos 2cos 03απ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误； 由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.【2020年高考全国III 卷理数】在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．23【答案】A【解析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =， 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅，2224322433AB =+-⨯⨯⨯，可得29AB = ，即3AB =，由22299161cos22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯，故1cos 9B =. 故选：A ．5．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ= A ．–2 B ．–1C ．1D ．2【答案】D【解析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-， 令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D ．【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.6．【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是A ． 30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ． 30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ． 60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ． 60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n︒︒=⨯，每条边长为302sinn︒， 所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sinn n︒， 单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ︒，其周长为3012tan n n︒， 303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，则30303sintan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A ．【点睛】本题考查圆周率π的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x - C ．πcos(26x +） D ．5πcos(2)6x -【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ， 即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ 故选：BC ．【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.8.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD ==AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14-【解析】AB AC ⊥，AB =1AC =，由勾股定理得2BC ==，同理得BD =，BF BD ∴==在ACE △中，1AC =，AE AD ==30CAE ∠=，由余弦定理得2222cos30132112CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF 中，2BC =，BF =1CF =，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为：14-. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题. 9．【2020年高考全国III 卷理数】16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10．【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是 ▲ ．【答案】13【解析】221sin ()(cos )(1sin 2)4222παααα+=+=+121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴= 故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.11．【2020年高考北京】若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【解析】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=. 故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.12．【2020年高考浙江】已知tan 2θ=，则cos2θ=_______，πtan()4θ-=_______．【答案】35；13【解析】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++， tan 1211tan()41tan 123πθθθ---===++，故答案为：31,53- 【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.13．【2020年高考江苏】将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ▲ ． 【答案】524x π=-【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈ 当1k =-时524x π=-. 故答案为：524x π=-【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.14．【2020年新高考全国Ⅰ卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，BH DG ∥，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．【答案】542π+【解析】设==OB OA r ，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =， 因为5AP =,所以45AGP ︒∠=，因为//BH DG ，所以45AHO ︒∠=，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥， 即OAH △为等腰直角三角形；在直角OQD △中，5OQ =，7DQ =，因为3tan 5OQ ODC DQ ∠==，所以212522r r -=-，解得r =等腰直角OAH △的面积为1142S =⨯=；扇形AOB 的面积(2213324S ππ=⨯⨯=，所以阴影部分的面积为1215422S S ππ+-=+. 故答案为：542π+.【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.15．【2020年高考全国II 卷理数】ABC △中，sin 2A －sin 2B －sin 2C = sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC △周长的最大值．【解析】（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅，①由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅，②由①，②得1cos 2A =-. 因为0πA <<，所以2π3A =.（2）由正弦定理及（1）得sin sin sin AC AB BCB C A===从而AC B =，π)3cos AB A B B B =--=-.故π33cos 3)3BC AC AB B B B ++=++=++.又π03B <<，所以当π6B =时，ABC △周长取得最大值3+16．【2020年高考江苏】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【解析】（1）在ABC △中，因为3,45a c B ===︒，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得292235b =+-⨯︒=，所以b =在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，，所以sin C =（2）在ADC △中，因为4cos 5ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角，而180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒,所以C ∠为锐角.故cos C =则sin 1tan cos 2C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=-，所以3sin 5ADC ∠==，sin 3tan cos 4ADC ADC ADC ∠∠==-∠.从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠---∠⨯∠--⨯.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.17．【2020年高考天津】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．已知5,a b c ===（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求πsin(2)4A +的值．【解析】（Ⅰ）在ABC △中，由余弦定理及5,a b c ===，有222cos 2a b c C ab +-==．又因为(0,π)C ∈，所以π4C =．（Ⅱ）在ABC △中，由正弦定理及π,4C a c ===，可得sin sin 13a C A c ==．（Ⅲ）由a c <及sin 13A =，可得cos A == 进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=．所以，πππ125sin(2)sin 2cos cos 2sin 44413213226A A A +=+=⨯+⨯=． 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.18．【2020年高考北京】在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积． 条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【解析】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==-，11a b += 22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅- 8a ∴=（Ⅱ）1cos (0,)sin 7A A A π=-∈∴==，由正弦定理得：7sin sin sin sin 7a c C A C C ==∴=11sin (118)8222S ba C ==-⨯⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，sin A B ∴====由正弦定理得：6sin sin 816a b a A B === （Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos 8161684C A B A B B A =+=+=+=11sin (116)622S ba C ==-⨯=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.19．【2020年高考浙江】在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知2sin 0b A =．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【解析】（Ⅰ）由正弦定理得2sin sin B A A =，故sin B =由题意得π3B =. （Ⅱ）由πA B C ++=得2π3C A =-， 由ABC △是锐角三角形得ππ(,)62A ∈.由2π1cos cos()cos 32C A A A =-=-得11π13cos cos cos cos sin()]22622A B C A A A ++++=++∈.故cos cos cos A B C ++的取值范围是3]2. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.20．【2020年新高考全国Ⅰ卷】在①ac =sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】方案一：选条件①．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =．由①ac =1a b c ==．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =．方案二：选条件②．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =，6B C π==，23A π=．由②sin 3c A =，所以6c b a ===．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c =方案三：选条件③．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a =．222=b c =．由③c =，与b c =矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．。
三角函数题型常见的八个易错点
三角函数模块常见的八个易错点易错点1：不能正确理解三角函数的定义例题1： 角α的终边落在直线y ＝2x 上，则sin α的值为错解：在角的终边上取点P (1,2)，∴r ＝|OP |＝12＋22＝5，∴sin α＝y r ＝25＝255错因：当角的终边在一条直线上时，应注意到角的终边为两条射线，所以应分两种情况处理而错解中没有对两种情况进行讨论导致错误解析：当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P (1,2) 由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)∴r OQ ===sin α＝－25＝－255变式1： 已知角的终边过点P ,,则角的正弦值、余弦值分别为 解析：当0m <时，||,OP = 所以sin αα====当0m >时，||,OP =所以sin ,cos 55αα====总结：本题主要考查了三角函数的定义以及分类讨论思想方法，这也是高考考查的一个重点，在做题时容易遗忘0m <的情况α(,2)m m 0m ≠α易错点2 利用同角三角函数基本关系式时忽略参数取值例题2： 已知cos θ＝t ，求sin θ、tan θ的值． 错解：①当0<t <1时，θ为第一或第四象限角.θ为第一象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝1－t 2t ；θ为第四象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝－1－t 2t. ②当－1<t <0时，θ为第二或第三象限角. θ为第二象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝1－t 2t； θ为第三象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝－1－t 2t.综上，sin θθθ=⎪⎩为第一、二象限角为第三、四象限角tan t θθθ=⎨⎪⎪⎩为第一、二象限角为第三、四象限角 错因：上述解法注意到了θ的余弦值含有参数t ，根据余弦函数的取值范围对t 进行分类讨论，但上述讨论不全面，漏掉了很多情况，如t ＝－1，t ＝0，t ＝1 解析：①当t ＝－1时，sin θ＝0，tan θ＝0 ②当－1<t <0时，θ为第二或第三象限角 若θ为第二象限角，则sin θ＝1－t 2，tan θ＝1－t 2t若θ为第三象限角，则sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t2t③当t ＝0时，sin θ＝1，tan θ不存在或sin θ＝－1，tan θ不存在 ④当0<t <1时，θ为第一或第四象限角若θ为第一象限角，则sin θ＝1－t 2，tan θ＝1－t 2t若θ为第四象限角，则sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t 2t⑤当t ＝1时，sin θ＝0，tan θ＝0综上得：变式2： 如果,那么解析：()222sin801cos 801cos 801k =-=--=-sin80tan100tan80cos80k∴=-=-=-总结：要作出正确选择，需认真选择诱导公式，不能错用公式．对于nπ＋α，若n 是偶数，则角nπ＋α的三角函数值等于角α的同名三角函数值；若n 为奇数，则角nπ＋α的三角函数值等于角π＋α的同名三角函数值．cos(80)k -︒=tan100︒=易错点3 不能准确运用诱导公式进行化简求值例题3： 若sin θ＝33，求cos(π)cos(2π)3ππ3πcos [sin()1]cos(π)sin()sin()222θθθθθθθ--+--++-+的值错解：原式＝cos cos (sin 1)θθθ--＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝－cos θcos θsin θ＋cos θ＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝0. 错因：错解中混淆了诱导公式sin(3π2－θ)＝－cos θ，sin(3π2＋θ)＝－cos θ，cos(π－θ)＝－cos θ，cos(π＋θ)＝－cos θ. 解析：原式＝cos cos (cos 1)θθθ---＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝2sin 2θ，因为sin θ＝33，所以所求三角函数式的值为6=.变式3： 若n ∈Z ，在①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋π3；②sin ⎝⎛⎭⎫2n π±π3；③πsin[π(1)]3n n +-；④πcos[2π(1)]6n n +-中，与sin π3相等的是A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③解析：①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋π3＝⎩⎨⎧sin π3，n 为偶数sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3，n 为奇数＝⎩⎨⎧sin π3，n 为偶数－sin π3，n 为奇数.②sin ⎝⎛⎭⎫2n π±π3＝sin(±π3)＝±sin π3. ③ππsin[(1)],sin ,π33sin[π(1)]=πππ3sin[π(1)],sin(π)sin ,333n nn n n n n n ⎧⎧-⎪⎪⎪⎪+-=⎨⎨⎪⎪+--=⎪⎪⎩⎩为偶数为偶数为奇数为奇数 . ④ππππcos[2π(1)]cos[(1)]cos sin 6663nn n +-=-⋅==. 故③④与sin π3相等，应选B ．易错点4 不能正确理解三角函数图象变换规律例题4： 为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象 A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位错解：y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin2(x ＋5π12)，因此向右平移5π12个长度单位，故选B ． 错因：没有注意到变换方向导致了错解，目标是y ＝cos(2x ＋π3)的图象．解析：y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin(2x ＋5π6)＝sin2(x ＋5π12)，因此将函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π12个长度单位即可．故选A ．变式4： 将函数()()ππsin 2()22f x x θθ=+-<<的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象,若()f x ,()g x的图象都经过点P ,则ϕ的值可以是 A ．53π B ．56π C ．2πD ．6π 解析：依题意()()()sin 2sin 22g x x x ϕθθϕ=-+=+-⎡⎤⎣⎦,因为()f x ,()g x的图象都经过点P ,所以()sin sin 22θθϕ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 又因为22θππ-<<,所以3θπ=,所以2233k ϕππ-=π+或22233k ϕππ-=π+,k ∈Z , 解得k ϕ=-π或ππ6k ϕ=--,k ∈Z , 在6k ϕπ=-π-,k ∈Z 中,取1k =-,即得56ϕ=π,故选B.易错点5 注意符号对三角函数性质的影响例题5： 已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2.（1）求f (x )的单调递增区间；（2）若x ∈[－π，π]，求f (x )的最大值和最小值．错解：（1）由－π≤π3－x 2≤0得，2π3≤x ≤8π3，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2π3，8π3. （2）∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2≤1，∴[f (x )]ma x ＝2，[f (x )]min ＝－2.错因：（1）忽略了函数f (x )的周期性；（2）忽略了x ∈[－π，π]对函数f (x )的最值的影响 解析：（1）∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.由2k π－π≤x 2－π3≤2k π得，4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3(k ∈Z )．故f (x )的单调增区间为[4k π－4π3，4k π＋2π3](k ∈Z )．（2）由－π≤x ≤π⇒－5π6≤x 2－π3≤π6.当x 2－π3＝0，即x ＝2π3时，f (x )ma x ＝2，当x 2－π3＝－5π6，即x ＝－π时，f (x )min ＝－3变式5： （1）函数tan(2)3y x π=-的单调递减区间是______（2）已知函数y ＝a sin x ＋2，x ∈R 的最大值为3，则实数a 的值是______（3）若函数y ＝tan(2x ＋θ)的图象的一个对称中心为(π3，0)，且－π2<θ<π2，则θ的值是_____解析：（1）把函数tan(2)3y x π=-变为tan(2)3y x π=--由2,232k x k k ππππ-<-<π+∈Z ，得2,66k x k k π5ππ-<<π+∈Z 即5,212212k k x k ππππ-<<+∈Z,tan(2)3y x π=-减区间为5(,)()212212k k k ππππ-+∈Z （2）若a >0时，当sin x ＝1时，函数y ＝a sin x ＋2取最大值a ＋2，∴a ＋2＝3，∴a ＝1 若a <0，当sin x ＝－1时，函数y ＝a sin x ＋2(x ∈R )取得最大值－a ＋2＝3，∴a ＝－1 综上可知，a 的值为±1（3）易知函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π2，0)，其中k ∈Z所以2x ＋θ＝k π2，其中x ＝π3，即θ＝k π2－2π3，k ∈Z因为－π2<θ<π2，所以当k ＝1时，θ＝－π6；当k ＝2时，θ＝π3.即θ＝－π6或π3易错点6 三角恒等变换中忽略角的范围致误例题6： 已知α、β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin （α＋β，则β＝错解：∵0<α<π，cos α＝17，∴sin α7=.又∵sin （α＋β）＝14，∴cos （α＋β11.14-∴sin β＝sin[（α+β）－α]＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin α 又∵0<β<π，∴β＝233ππ或. 错因：（1）不能根据题设条件缩小α、β及α＋β取值范围，在由同角基本关系式求sin （α＋β）时不能正确判断符号，产生两角（2）结论处应由cos β的值确定β的取值，由sin β确定结论时易出现两解而造成失误解析：因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α=，故32αππ<<又因为0<α＋β<π，sin （α＋β）＝142<，所以0<α＋β<3π或32π<α＋β<π由3π<α<2π知32π<α＋β<π，所以cos （α＋β1114∴cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos （α＋β）cos α＋sin （α＋β）sin α＝12.又0<β<π，∴β＝3π变式6： （1）已知△ABC 中，sin(A ＋B )＝45，cos B ＝－23，则cos A 的值为（2）已知sin α－sin β＝－23，cos α－cos β＝23，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan(α－β)的值为 解析：（1）在△ABC 中，∵cos B ＝－23<0，∴B 为钝角，且sin B ＝53，∴A ＋B 为钝角由sin(A ＋B )＝45，得cos(A ＋B )＝－35∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ＝－35×⎝⎛⎭⎫－23＋45×53＝6＋4515（2）由题知sin α－sin β＝－23①， cos α－cos β＝23②由于sin α－sin β＝－23<0，所以－π2<α－β<0由①2＋②2，得cos(α－β)＝59，所以sin(α－β)＝－2149.所以tan(α－β)＝－2145易错点7 求函数y=Asin(ωx+φ)的性质时出错例题7： 函数y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)的最大值为 错解：函数的最大值为52＋42＝41.错因：形如y ＝asin x ＋bcos x 的函数的最大值为a 2＋b 2，而函数y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)不符合上述形式．解析：y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)＝5sin(x ＋20°)＋4cos[(x ＋20°)＋30°] ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋20°)cos30°－4sin(x ＋20°)sin30°＝5sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)－2sin(x ＋20°)＝3sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)，∴max y ==变式7： 已知函数2()sin 22sin f x x x =-（1）求函数()f x 的最小正周期（2）求函数()f x解析：（1）因为2()sin 22sin f x x x =-sin 2(1cos2x x =--所以函数()f x（2所以()f x [1]-易错点8 解三角形时忽略角的取值范围致误例题8： 在ABC △中，若3C B =，则c b的取值范围为 错解：由正弦定理，可得2222sin sin 3sin 2cos cos2sin =2cos cos24cos 1sin sin sin 0cos 1,14cos 13,0,0,03c C B B B B B B B B b B B BcB B b c b+===+=-≤<∴-≤-<>><<由可得错因：错解中没有考虑角B 的取值范围，误认为角B 的取值范围为()0,180︒︒ 解析：由正弦定理可得222sin sin 3sin 2cos cos2sin =2cos cos24cos 1sin sin sin 180,3,045,cos 1214cos 13,13c C B B B B B B B B b B B BA B C C B B B cB b+===+=-++=︒=∴︒<<︒<<∴<-<<<即变式8： 已知,21,21a a a -+是钝角三角形的三边，则实数a 的取值范围为解析：因为,21,21a a a -+是三角形的三边，所以01210,2210a a a a >⎧⎪->>⎨⎪+>⎩即①所以21a +是三角形的最大边，设其所对的角为θ（钝角）则222(21)(21)cos 02(21)a a a a a θ+--+=<-，化简得280a a -<，解得08②a <<要使,21,21a a a -+构成三角形，需满足21212121,2121a a a a a a a a a ++>-⎧⎪+->+⎨⎪-++>⎩即2③a >结合①②③，可得28.a <<。
三角函数易错点
由ｉ ＋＝Ａ ｃ ｓ一 ＿ ＝ ｓ 日ｓ ｃ＋ ｉ ２ 佃孚 ｎ ）ｎ。 。 ｉ 得
Ａ＝ ． ＋孕 Ｂ
剖 析 ：本 题 错误 解 法 是 扩 大 了角 度 范 围 ，由
ｓ ＝ ｉ ＜ １ ＜ 霄
，
的原则，这样在 解决函数问题时才会减 少失误 ．
例 ２． 已知 ３ｉａ ２ｉ ３２ｉ ，求 ｓ ２＋ｉ８ ｓ ２＋ｓ ￣ ｓ ａ ｎ ｎ＝ ｎ ｉａ ｓ ］ ｎ ｎ
错 解 ：因 为 Ａ、Ｂ均 为钝 角 且 ｓ ＝ ｉ ，所 丁Ｖ３－ ｃｓ ｖＴ － ２ ｏ肛 ３ ｏ
—
，
，
、 】 故 Ｙ 卜２ ／ 一 ，一 ） ｕ（４ 、 一】 ／ ， ∈ 、 ２ ４ － ，２ ／ ２ 为
所求．
评 析 ：研 究 函数 问题 必 须 要 遵 循 “ 义 域 优 先 ” 定
很 多数 学题 目都有 隐含条件 ， 需要做题 时非常细心．
追踪练习 ：
判断函数 ）— ｃｓ ：１ｓ ｘ —ｘ的奇偶性 ＋ｉ 。ｏ ｎ－ Ｚ
．
ｃ仪） 。 ｓ ｓ ｉ （
１ ２ ，
’
，以 或＝ 出 错 所卢 卢 ｝ 孥． 误 现
原 因是 当卢∈（ ， ） ， 不是单调 函数 ， ０７ 时 ｓ ｒ ｉ 还要进 一
ｓ ａ Ｏ时，ｉ２＋ｉ￣取最小值 ０ ｉ＝ ｎ ｓ ａｓ ｎ ｎ ．
评析： 本题错 解忽略 了 ｓ ｊ＝ （ｓ ｃ ３ｉ２） ｉ Ｂ ２ｉ ￣ ｓ ａ Ｅ ｎ ｎ一 ｎ
【，】 含 隐含 条 件 ， 得 ｓ ａ的取 值 范 围扩 大 而致 错 ． ０ 】这 使 ｉ ｎ
追踪练 ＞ ： － － ｊ
角 函 数 易 锚 点
■ 田彦 武
误做一分类 剖析 ，供大家参考．
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三角函数的易错点以及典型例题与真题1.三角公式记住了吗？两角和与差的公式________________；二倍角公式:_________________ 万能公式______________正切半角公式____________________；解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次。
万能公式：(1) (sinα)2+(cosα)2=1 (2)1+(tanα)2=(secα)2(3)1+(cotα)2=(cscα)2(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC（证明：利用A+B=π-C ）同理可得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论：(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）2+(cosB）2+(cosC）2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）2+（sinB）2+（sinC）2=2+2cosAcosBcosC(9)设tan(A/2)=tsinA=2t/(1+t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z）tanA=2t/(1-t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z）cosA=(1-t^2)/(1+t^2) （A≠2kπ+π，且A≠kπ+(π/2) k∈Z）2.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定义域是否为单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？ 3.在三角中，你知道1等于什么吗？（x x x x 2222tan sec cos sin 1-=+= ΛΛ====⋅=0cos 2sin4tancot tan ππx x 这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用．（还有同角关系公式：商的关系，倒数关系，平方关系；诱导公试：奇变偶不变，符号看象限）4.在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．（如,)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβα222等）5.你还记得三角化简题的要什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值的式子，一定要算出值来）6.你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公式吗？cos 2x=(1+cos2x)/2;sin 2x=(1-cos2x)/2 7.你还记得某些特殊角的三角函数值吗？ （41518sin ,42615cos 75sin ,42675cos 15sin -=︒+=︒=︒-=︒=︒） 8.你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(lr S r l 21,==扇形α) 9. 辅助角公式：()θ++=+x b a x b x a sin cos sin 22(其中θ角所在的象限由a, b 的符号确定，θ角的值由ab=θtan 确定)在求最值、化简时起着重要作用. 10.三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、对称轴、对称中心，取最值时的x 值的集合吗？（别忘了k ∈Z ） 三角函数性质要记牢。
函数y=++⋅)sin(ϕωx A k 的图象及性质： 振幅|A|，周期T=ωπ2, 若x=x 0为此函数的对称轴，则x 0是使y 取到最值的点，反之亦然，使y 取到最值的x 的集合为——————————， 当0,0>>A ω时函数的增区间为————— ，减区间为—————；当0<ω时要利用诱导公式将ω变为大于零后再用上面的结论。
五点作图法：令ϕω+x 依次为ππππ2,23,,2求出x 与y ，依点()y x ,作图 注意（1）ϕω+x 的整体化法思维求单调性、对称轴、对称中心、值域等。
（2）用换元法时，注意新的定义域围。
11.三角函数图像变换还记得吗？平移公式（1）如果点 P （x ，y ）按向量()k h a ,=→平移至P ′（x ′，y ′），则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=.,''k y y h x x （2） 曲线f （x ，y ）=0沿向量()k h a ,=→平移后的方程为f （x-h ，y-k ）=0 12.解三角形的几个结论：(1) 正弦定理: (2)余弦定理: (3)面积公式13.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值围及意义？①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值围依次是],0[],2,0[,2,0πππ⎥⎦⎤⎝⎛。
②直线的倾斜角、1l 到2l 的角、1l 与2l 的夹角的取值围依次是]2,0(),,0[),,0[πππ。
③反正弦、反余弦、反正切函数的取值围分别是)2,2(],,0[],2,2[πππππ--。
14.三角函数易错点的典型例题（1）隐含条件例1．设πα<<0，21cos sin =+αα，则α2cos 的值为 。
错解：432sin -=α，∵πα220<<，∴472cos ±=α。
正解：∵0cos ,0sin <>αα且021cos sin >=+αα， ∴432παπ<<，∴232παπ<<，∴472cos -=α。
例1－1．已知π<≤=+x x x 0,137cos sin ，则=x tan 。
错解：512-或125-。
正解：512-。
例1-2.一组似是而非的问题①在ΔABC 中，53cos =A ，135sin =B ，求C sin 的值。
②在ΔABC 中，53cos =A ，135sin =B ，求C cos 的值。
③在ΔABC 中，54sin =A ，1312cos =B ，求C sin 的值。
①解∵ππ<<<<B A 0,0，∴54)53(1cos 1sin 22=-=-=A A ，1312)135(1sin 1cos 22±=-±=-±=B B ， ∴B A B A B A B A C sin cos cos sin )sin()](sin[sin +=+=+-=π，∴656313553131254sin =⨯+⨯=C ，或6533135********sin -=⨯+⨯-=C ， 又∵C 为三角形的角，∴0sin >C ，∴6563sin =C 。
②解：∵ππ<<<<B A 0,0，∴54)53(1cos 1sin 22=-=-=A A ，1312)135(1sin 1cos 22±=-±=-±=B B ，∴B A B A B A B A C sin sin cos cos )cos()](cos[cos +-=+-=+-=π，∴当1312cos =B 时，651613554131253cos -=⨯+⨯-=C ； 当1312cos -=B 时，6556135********cos =⨯+⨯=C ， ∵)cos(cos 13126556cos B B C -=-=<=π∴B C ->π，即π>+C B ， ∴6516cos -=C 。
注：舍去增解是难点，可利用单位圆中的余弦线段先作直观判断。
③解：∵ππ<<<<B A 0,0，∴53)54(1sin 1cos 22±=-±=-±=A A ，135)1312(1cos 1sin 22=-=-=B B ， ∴B A B A B A B A C sin cos cos sin )sin()](sin[sin +=+=+-=π， ∴656313553131254sin =⨯+⨯=C ，或6533135********sin =⨯-⨯=C 。
注：此题两解均成立。
若求C sin ，必为两情形之一：两解均成立或一解为负值；例2．已知方程01342=+++a ax x （a 为大于1的常数）的两根为αtan ，βtan ，且α、β)2,2(ππ-∈，则2tanβα+的值是 。
错解：21或－2。
正解：由0tan ,0tan <<βα知：022<+<-βαπ，∴2tanβα+的值是－2。
例2－1.已知θtan 和)4tan(θπ-是方程02=++q px x 的两根，则p 、q 间的关系是（ ） （A ）01=+-q p （B ）01=++q p （C ）01=-+q p （D ）01=--q p 答案：C 。
例2－2.已知30cot cot ,25tan tan =+=+y x y x ，则=+)tan(y x （ ） （A ）120（B ）150（C ）180（D ）200 答案：B 。
（2）综合应用题型时，注意考虑全例3.关于x 的方程0cot sin 2sin 2=-+θθθx x 的两根为α、β，且πθ20<<。
若数列1，)11(βα+，2)11(βα+，……，的前100项和为0，求θ的值。
错解：由韦达定理知：θαβθβαcos ,2sin -=-=+，∴θβαsin 2)11(=+，由0sin 21)sin 2(1100100=--=θθS 得21sin ±=θ，∵πθ20<<，∴6πθ=或65πθ=或67πθ=或611πθ=。
正解：（1）当1=q 与1≠q 时，等比数列的求和公式不同； （2）方程有解还应考虑△≥0。
∴611πθ=。
（3）去绝对值要注意分类讨论例4．若m =αcot ，)2,(ππα∈，则=αcos 。
错解：由αα22csc cot1=+解得2211sin m+=α， ∴2221cos m m +=α，∴22211cos m mm m +±=+±=α。
正解：22211cos mmm m +-=+±=α。
∵当0>m 时，α为第三象限角，0cos <α，当0<m 时，α为第四象限角，0cos >α，当0=m 时，0cos =α。
例4-1若x y A -=（定值），则sin sin x y -的最大值为 。
错解：sin sin 2cossin 2cos sin 222x y x y x yx y A +-+-==， ∴sin sin x y -的最大值为2sin A 。