推荐-反三角函数的概念和运算·典型例题 精品
反三角函数的概念和性质
反三角函数的概念和性质-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1反三角函数的概念和性质．一．基础知识自测题：1．函数y＝arcsin x的定义域是 [－1, 1]，值域是.2．函数y＝arccos x的定义域是 [－1, 1] ，值域是[0, π] .3．函数y＝arctg x的定义域是R，值域是.4．函数y＝arcctg x的定义域是R，值域是(0, π) .5．arcsin(－)＝; arccos(－)＝; arctg(－1)＝; arcctg(－)＝. 6．sin(arccos)＝; ctg[arcsin(－)]＝; tg(arctg)＝; cos(arcctg)＝.7．若cos x＝－, x∈(, π)，则x＝.8．若sin x＝－, x∈(－, 0)，则x＝.9．若3ctg x＋1＝0, x∈(0, π)，则x＝.二．基本要求：1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsin x, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccos x, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；3．符号arcsin x可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccos x可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；4．y＝arcsin x等价于sin y＝x, y∈[－，], y＝arccos x等价于cos y＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；5．注意恒等式sin(arcsin x)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈[－1, 1],arcsin(sin x)＝x, x∈[－，], arccos(cos x)＝x, x∈[0, π]的运用的条件；6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用；7．注意恒等式arcsin x＋arccos x＝, arctg x＋arcctg x＝的应用。
推荐-(一)反三角函数的概念·例题 精品
(一)反三角函数的概念·例题注 (i)求反三角函数值，先用一个字母表示这个反三角函数，再写出它的原三角函数，并确定所在角的象限。
然后利用已知三角函数值查表求出角来，或者利用特殊角的三角函数值求出角来。
(ii)如果一个式子中有多个反三角函数值，一般分别用一个字母表示，按上述步骤分别进行。
那么D= ______，M=______。
由对数函数的性质知，D由下面不等式组解确定从而所以M=(-∞，log2π-1)。
注求复合函数的定义域，可由里向外(或由外向里)，一层一层得出有关不等式组。
求出这不等式组的解，即为所求的定义域。
(1)求它的定义域D；(2)求它的反函数，并求反函数的值域与定义域。
注 (i)反三角函数都是单调函数。
故已知值域求定义域时，只须求出值域两端点的反三角函数值即可。
(ii)原函数的定义域为反函数的值域，原函数的值域为反函数的定义域。
所以 y=sinx=sin(x-2π) x-2π=arcsinyy=arcsinx+2π注求三角函数的反函数时，必须先利用诱导公式，把自变量的取值范围变到此三角函数的主值区间上，再利用反三角函数表出。
例4-1-5求y=arctg(9-8cosx-2sin2x)的定义域与值域。
解由于z=arctgu的定义域为(-∞，+∞)，又因为y=cosx与y=sinx的定义域也都是(-∞，+∞)，从而所求函数定义域也是(-∞，+∞)。
再求值域。
令u=9-8cosx-2sin2x，则u=2(cosx-2)2-1当cosx=-1时，u max=17，从而y max=arctg17；注当复合函数的“外”函数是反三角函数时，求此复合函数的值域的步骤是：先求出“内”函数的最大值a与最小值b；令此复合函数为y=f(x)；再求出f(a)，f(b)。
那么值域为[f(a)，f(b)](当“外”函数为增函数时)或[f(b)，f(a)](当“外”函数为减函数时)。
反三角函数及最简三角方程.docx
标准实用反三角函数及最简三角方程一、知识回顾：1、反三角函数：概念：把正弦函数y sin x ， x,时的反函数，成为反正弦函数，记作22y arcsin x .y sin x( x R) ，不存在反函数.含义： arcsin x 表示一个角；角,；sin x .22反余弦、反正切函数同理，性质如下表.名称函数式定义域值域奇偶性单调性反正弦函数y arcsin x1,1 增,2奇函数增函数2y arccosx arccos( x)arccosx反余弦函数1,1 减0,减函数非奇非偶反正切函数y arctanx R增,2奇函数增函数2y arc cot x arc cot( x)arc cot x反余切函数R减0,减函数非奇非偶其中：（）．符号arcsin x 可以理解为－，]上的一个角弧度，也可以理解为1[2() 2区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx 可以理解为[0，π 上的一个角2]2(弧度 )，也可以理解为区间 [0 ，π]上的一个实数；（2）． y ＝arcsin x 等价于 sin y＝x, y∈ [－，], y＝ arccos x 等价于 cos y22＝x, x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）．恒等式 sin(arcsin x)＝x, x∈ [－ 1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈ [－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈ Rarcsin(sin x) ＝ x, x ∈ [ －，], arccos(cos x) ＝ x, x ∈ [0,22π],arctan(tanx)=x, x∈（－，）的运用的条件；22（4）．恒等式 arcsin x＋arccos x＝, arctan x＋arccot x＝的应用。
222、最简单的三角方程方程方程的解集a1x | x2k arcsin a, k Zsin x aa1x | x k 1 k arcsin a, k Za1x | x2k arccos a, k Zcos x aa1x | x2k arccos a, k Ztan x a x | x k arctana, k Zcot x a x | x k arc cot a, k Z其中：（1 ）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
反函数和反三角函数(最新)
没有,因为他不是一一对应函数
(4)正弦函数y=sinx在
上有[反函数, 吗？]
22
余弦函数y=cosx在[0，π] 上有反函数吗？
正切函数y=tanx在
上(有反函,数吗)？
22
正弦函数
y 有si反n函x数(吗x？ R)
没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应 许多角。
y
·-2
1
·2
-
②这个角的范围是
( , )
22
即arctan a ( , ).
22
（2）反正切函数y=arctanx,x∈R的图象与性质
①定义域R
②值域:
③单调性: 是增函数
④奇函数 ⑤有界函数
( , )
22
y tan x, x ( , )
22 yR
3
2.5
2
2
1.5
1
0.5
-4
-3
-2
-1
y 的ta反n函x数(x ( , ) 22
x(本义反a函rc数ta) n y
y arctan x 习惯记作
(矫正反函数)
x R, y ( , )
22
若x a R,有y arctan a,
这里的“ arctana ”是一个角的符号.
理解和掌握
arcta符n号a(a R)
① arcta表n示一a个角
y [0，π]。
正切函数
y tan x(x k 有反函, 数k 吗？z)
2
没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应 许多角。
2
2
正切函数
y tan x, x有反函(数吗？, )
有,因为它是一一对应函数，
反三角函数与简单三角方程
1、反三角函数:概念：把正弦函数y =sinx , X _一，一时的反函数，成为反正弦函数，记作y = arcsinx.IL 2 2y = Sin X（X二R）,不存在反函数含义：arcsinx表示一个角：•；角• _一，一；sin〉=x.1 2 2J反余弦、反正切函数同理，性质如下表.其中：（1 ）•符号arcsi nx可以理解为［—二，丄］上的一个角（弧度），也可以理解为区间［—丄，丄］上的一个实2 2 2 2数；同样符号arccosx可以理解为［0, ∏］上的一个角（弧度），也可以理解为区间［0, ∏］上的一个实数；(2) •y= arcsinx 等价于Siny= x, y∈[ —, — ], y= arccosx 等价于cosy = x, x∈[0, ∏],这两个等价关2 2系是解反三角函数问题的主要依据；(3) •恒等式sin(arcsinX)= x, X∈[ —1, 1] , cos(arccosx) = x, x∈[—1, 1],arcsin(sinx) = x, x∈[ —— , — ], arccos(cosx) = x, X∈[0, ∏]的运用的条件; 2 2(4) • 恒等式arcsinx + arccosx= — , arctanx+ arccotx= —的应用。
2 2方程方程的解集Sin X = aa ∣ = 1 {χ I x = 2k 兀 + arcs in a, k 壬 Z }a <1{χ ∣x = k 兀 +(_1 arcsina, k Z> COSX= aa ∣ = 1{χ | x = 2k 兀 + arccosa, k z }a <1{χ I x = 2k 兀 ± arccosa, k z } tan x = a {x| x = k 兀 + arcta na ,k 乏 Z } cot x = a{χ∣x = k 兀 +arccota,k 乏 Z}(1).含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。
三角函数反函数的推导和应用
三角函数反函数的推导和应用一、三角函数反函数的概念三角函数反函数是指将三角函数的输出值映射回其输入值的反函数。
对于正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的反函数分别为反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
二、三角函数反函数的推导1.反正弦函数的推导：反正弦函数是指将正弦函数的输出值映射回其输入值的反函数。
根据反正弦函数的定义，有：sin(arcsin(x)) = x （|x|≤1）由正弦函数的性质可知，对于一个角度α，其正弦值为x时，可以表示为：α = arcsin(x) + kπ （k为整数）因此，反正弦函数可以表示为：arcsin(x) = α - kπ （|x|≤1）2.反余弦函数的推导：反余弦函数是指将余弦函数的输出值映射回其输入值的反函数。
根据反余弦函数的定义，有：cos(arccos(x)) = x （|x|≤1）由余弦函数的性质可知，对于一个角度β，其余弦值为x时，可以表示为：β = arccos(x) + kπ （k为整数）因此，反余弦函数可以表示为：arccos(x) = β - kπ （|x|≤1）3.反正切函数的推导：反正切函数是指将正切函数的输出值映射回其输入值的反函数。
根据反正切函数的定义，有：tan(arctan(x)) = x由正切函数的性质可知，对于一个角度γ，其正切值为x时，可以表示为：γ = arctan(x) + kπ （k为整数）因此，反正切函数可以表示为：arctan(x) = γ - kπ三、三角函数反函数的应用1.角度与弧度的互换：在数学和物理中，角度和弧度是常用的两种表示方式。
利用三角函数反函数，可以方便地进行角度与弧度的互换。
例如，将一个给定的弧度值转换为角度值，可以使用反正弦函数：角度 = arcsin(弧度)2.计算三角形的边长和角度：在三角形中，已知一个角的度数和其对边的长度，可以利用反余弦函数求解邻边的长度：邻边 = arccos(已知角的余弦值)已知一个角的度数和其邻边的长度，可以利用反正弦函数求解对边的长度：对边 = arcsin(已知角的正弦值)3.求解三角方程：利用三角函数反函数，可以求解包含三角函数的方程。
高三数学 反三角函数概念、图像和性质,反三角函数的运算,简单的三角方程 知识精讲
高三数学 反三角函数概念、图像和性质，反三角函数的运算，简单的三角方程 知识精讲一. 反三角函数的概念，图像和性质 1. 反三角函数的定义 函数y x x =∈-sin ([])ππ22， y x x y x x y x x =∈=∈-=∈c o s ([])tan (())cot (())，，，，，，，，0220ππππ的反三角函数分别为：y x x y x x y x x R y a r c x x R =∈-=∈-=∈=∈a r c s i n ([])arccos ([])arctan ()cot ()，，，，，，11112. 反三角函数的性质（1）奇偶性y x y x y x y arc x ====arcsin arccos arctan cot 在定义域内为奇函数；在定义域内为非奇非偶函数；在定义域内为奇函数；在定义域内为非奇非偶函数。
（2）反三角函数的单调性y x y x y x y a r c x ====a r c s i n a r c c o s a r c t a n cot 在定义域内单调递增；在定义域内单调递减；在定义域内单调递增；在定义域内单调递减。
3. 三角函数的图像二. 反三角函数的运算：1. 掌握三角函数的反三角运算，反三角函数的三角运算，熟悉常见的一些恒等式。
三角函数的反三角运算a r c s i n (s i n )[]a r c c o s (c o s )[]a r c t a n (t a n )()o t (c o t )()x x x x x x x x x a r c x x x =∈-=∈=∈-=∈，，，，，，，，ππππππ220220 反三角函数的三角运算 s i n (a r c s i n )[]x x x =∈-，，11c o s (a r c c o s )[]t a n (a r c t an )c o t (o t )x x x x x x R a r c x x x R=∈-=∈=∈，，，，11反三角函数间的互余关系 a r c s i n a r c c o s a r c t a n o t x x x a r c x +=+=ππ22，反三角函数的性质a r c s i n ()a r c s i n a r c t a n ()a r c t a n a r c c o s ()a r c c o s c o t ()cot -=--=--=--=-x x x x x x arc x arc x，，ππ在使用上面的概念和公式要特别注意的是，必须在变量的指定范围内，否则结果就是错误的。
推荐-(三)反三角函数的运算·例题 精品
(三)反三角函数的运算·例题
例4-3-1求值：
于是，
于是，
注此例是先作反三角函数的四则运算，再进行三角运算。
解这类问题的步骤是：
(i)令α，β表示式中反三角函数，再写成三角函数值形式；
(ii)运用三角公式求出α，β的与本题有关的其他三角函数值；
(iii)再运用三角公式求出反三角函数式的三角函数值。
arc tgx1+arc tgx2的值。
根大于负根的绝对值。
又y=arc tgx是增函数，所以
从而由(i)式可得
注这里综合利用了反三角函数的性质，半角公式及韦达定理等。
例4-3-3 求下列各式的值：
(3)因为
例4-3-4设a，b，c为△ABC的三边，其中c2=a2+b2，求
的值．
解由c2=a2+b2知△ABC为直角三角形，c为斜边．
点的轨迹图形．
解由反余弦函数的定义知-1≤x≤1，-1≤y≤1，先证y∈[0，1]．若y ＜0，那么
这与arc cosx∈[0，π]予盾．
由y∈[0，1]易知x∈[-1，0]．
因此P点轨迹如右上图所示，它是单位圆在第二象限的部分．注必须注意反三角函数的定义域与值域．
例4-3-6证明。
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反三角函数的概念和运算·典型例题
【例1】回答下列问题：
(3)π-arcsinx是什么范围内的角？
(2)∵0≤arccosx≤π，3∈〔0，π〕∴arccosx=3有解x=cos3而
(4)∵cos(arccosx)=xx∈〔-1，1〕
[ ]
由选择题的唯一性知应选C．
【说明】本题考查对反正弦函数的概念的理解．题目给的θ∈
要灵活运用诱导公式加以变形，使得角进入主值区间且函数值可用已知表示，不能顾此失彼．解法二用的是排除法．
【分析】由于已知函数的定义域不在反正弦函数的主值区间内，因此不能直接用反正弦函数表示，要先用诱导公式解决角．
由y=2sinx=2sin(π-x)
[ ]
(1994年全国高考试题，难度0.50)
故已知函数的值域应选B．
【说明】本题采用由函数的内层到外层逐步解决的方法．最易出错的地方是sinx的取值范围，观察正弦函数的图象，采用数形结合进行
【例5】求函数y=arccos(x2-x)的单调减区间．
【分析】注意到已知函数是由函数u=x2-x和函数y=arccosu复合而成的，因此要先求定义域，再根据求复合函数单调区间的规律来解决．
[ ]
A．y=arcsin(sin2x)
B．y=2arcsin(sinx)
C．y=sin(arcsin2x)
D．y=2sin(arcsinx)
【分析】此题要从选项入手，主要考察反三角函数基本关系式成立的条件，可采用逐项验证的方法．
解：由基本关系式sin(arcsinx)=xx∈〔-1，1〕C．和D．的定义域
∴y=2arcsin(sinx)=2x选B．．否定A．
数，它可以是角的弧度数，也可以是三角函数的值，要正确理解．【例7】求下列各式的值
原式=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
【说明】第(1)题考查特殊值的反三角函数值及特殊角的三角函数值，按照由内及外的顺序运算即可．后三个小题采用设辅助角的方法，要注意角的范围，4个小题都是反三角函数的三角运算．
【例8】求下列各式的值
(2)arcsin(cos5)
【分析】该题型是三角函数的反三角运算，为合理的使用反三角函数基本关系式创造条件，需要灵活运用诱导公式．
【说明】把已知角的三角函数转化为反三角函数主值区间上的角的三角函数，要注意两方面，一是函数名称的变化，二是角的范围的变化，而这正是诱导公式具有的功能．
【分析】此题是关于角相等的证明题．一般采用转化的思想方法，即证明它们的同名三角函数值相等且角的范围是在同一单值对应区间．
【说明】此类题目也可改为求值题，在确定角的范围时有可能遇到困难，不足以保证角的唯一性，这时要根据各种条件将范围缩小，要掌握这种技能，保证推理的严谨性和计算的准确性．
【例10】求满足下列条件的x的取值集合
(1)arccos(1-x)≥arccosx
(2)arccos(-x)＜2arccosx
【分析】要注意两点：定义域和单调性
(2)∵arccos(-x)=π-arccosx ∴π-arccosx＜2arccosx。