(推荐)上海高一反三角函数典型例题
推荐-(一)反三角函数的概念·例题 精品
(一)反三角函数的概念·例题注 (i)求反三角函数值，先用一个字母表示这个反三角函数，再写出它的原三角函数，并确定所在角的象限。
然后利用已知三角函数值查表求出角来，或者利用特殊角的三角函数值求出角来。
(ii)如果一个式子中有多个反三角函数值，一般分别用一个字母表示，按上述步骤分别进行。
那么D= ______，M=______。
由对数函数的性质知，D由下面不等式组解确定从而所以M=(-∞，log2π-1)。
注求复合函数的定义域，可由里向外(或由外向里)，一层一层得出有关不等式组。
求出这不等式组的解，即为所求的定义域。
(1)求它的定义域D；(2)求它的反函数，并求反函数的值域与定义域。
注 (i)反三角函数都是单调函数。
故已知值域求定义域时，只须求出值域两端点的反三角函数值即可。
(ii)原函数的定义域为反函数的值域，原函数的值域为反函数的定义域。
所以 y=sinx=sin(x-2π) x-2π=arcsinyy=arcsinx+2π注求三角函数的反函数时，必须先利用诱导公式，把自变量的取值范围变到此三角函数的主值区间上，再利用反三角函数表出。
例4-1-5求y=arctg(9-8cosx-2sin2x)的定义域与值域。
解由于z=arctgu的定义域为(-∞，+∞)，又因为y=cosx与y=sinx的定义域也都是(-∞，+∞)，从而所求函数定义域也是(-∞，+∞)。
再求值域。
令u=9-8cosx-2sin2x，则u=2(cosx-2)2-1当cosx=-1时，u max=17，从而y max=arctg17；注当复合函数的“外”函数是反三角函数时，求此复合函数的值域的步骤是：先求出“内”函数的最大值a与最小值b；令此复合函数为y=f(x)；再求出f(a)，f(b)。
那么值域为[f(a)，f(b)](当“外”函数为增函数时)或[f(b)，f(a)](当“外”函数为减函数时)。
反三角函数的综合应用题
反三角函数的综合应用题反三角函数是高中数学中的一个非常重要的概念，它可以解决很多复杂的问题。
在本文中，我将介绍一些反三角函数的综合应用题，希望能对广大学生有所帮助。
1. 求解三角方程三角方程是基于三角函数和角度的方程。
求解三角方程需要利用反三角函数。
下面是一个例子：cos(x) = 1/2我们可以用反余弦函数来求解这个方程。
x = arccos(1/2) = π/3 或5π/3因为余弦函数的周期是2π，所以我们可以将答案写成：x = π/3 + 2πk 或5π/3 + 2πk其中k是任意整数。
2. 求解三角形的边长和角度有时候我们需要求解一个三角形的边长和角度，但是我们只知道其中一些角度和边长的关系。
下面是一个例子：已知一个直角三角形，其中一条腰的长度是3，斜边与另一条腰的夹角是60度，求斜边和另一条腰的长度。
我们可以用反正弦函数和反余弦函数来求解这个问题。
从图中可以看出sin(60) = 1/2，因此另一条腰的长度是3/2。
对于斜边的长度，我们可以用反正弦函数来求解：sin(θ) = 3/2 / cθ = arcsin(3/2 / c)c = 2 / sin(arcsin(3/2 / c))c = 2 / sin(θ)由于这是一个直角三角形，因此我们可以用勾股定理来求解：c^2 = a^2 + b^2c^2 = 9/4 + b^2b^2 = c^2 - 9/4b = √(c^2 - 9/4)因此，斜边的长度是√(4 - 9/4) = √7/2。
3. 求解三角函数的反函数三角函数的反函数是反三角函数。
它可以用来求解一些特殊的三角函数值。
下面是一个例子：求x，在0到π/2的范围内，使得cos(arcsec(x)) = 1/2我们可以用反正割函数来求解这个问题。
cos(arcsec(x)) = 1/2sec(arcsec(x)) = 2x = sec(arccos(2))x = 1/2因此，当x = 1/2时，cos(arcsec(x))等于1/2。
上海高一数学下册--09—反三角函数与最简三角方程
反三角函数与最简三角方程知识梳理2、最简单三角方程的解集：例题解析一、反三角函数的定义【例1】求下列反三角函数的值：（1）arcsin(2-；（2）arcsin1；（3）1arcsin 2（4）arccos2；（5）1arccos()2-； （6）arctan(1)-；（7）arctan 3【难度】★ 【答案】（1）3π-；（2）2π；（3）6π；（4）6π；（5）23π；（6）4π-；（7）6π【例2】已知中，，分别用反正弦函数值、反余弦函数值、反正切函数值表示． 【难度】★ 【答案】415arcsin-π；⎪⎭⎫⎝⎛-41arccos ；15arctan -π；【例3】用反三角函数的形式表示下列角： （1）已知13sin 42x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜＜，用反正弦的形式表示x ； （2）已知1cos 042x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜＜，用反余弦的形式表示x ； （3）已知13tan 42x x ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭＜＜，用反正切的形式表示x ； 【难度】★★【答案】（1）1sin4x arc π=+；（2）1cos 4x arc =-；（3）1tan 4x arc π=+ 【解析】此类题目可用两种方法处理：①利用诱导公式转化为反三角函数的运算性质解决；②利用三角函数图像解决，此时应注意原函数与反函数的联系与区别；具体过程略【例4】关于t 的方程()2253172230848t x t x x +++++=有两个不同的实数根，求函数sin y x =的反函数． 【难度】★★【答案】x arcsin y -=π，()sin 4,sin 2x ∈ΔABC 234AB BC CA ===，，B ∠【解析】由()22531723420848x x x ⎛⎫∆=+-⨯++>⎪⎝⎭，得2680x x -+<，解得24x <<函数sin y x =，()2,4x ∈的值域为()sin 4,sin 2 由()sin sin y x x π==-，且,22x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，有arcsin x y π-=， 即arcsin x y π=-将x 与y 互换得到原函数的反函数为：()1arcsin y f x x π-==-，()sin 4,sin 2x ∈【巩固训练】1．求下列反三角函数的值：1）1arcsin 2⎛⎫-⎪⎝⎭2）arcsin 23 3）arccos 21 4）arccos （-23） 5）1arctan 6）arctan （-33）【难度】★ 【答案】（1）6π- ；（2）3π；（3）3π；（4）56π；（5）4π；（6）6π-2．用反正弦函数值表示下列式子中的x ： （1）1sin 5x=，(0,)2x π∈； （2）1sin 5x =，(,)2x ππ∈（3）1sin 5x=， x 是第一象限角； （4）1sin 5x =， x R ∈ 【难度】★★ 【答案】（1）1arcsin 5x=；（2）1arcsin 5x π=-；（3）12arcsin 5x k π=+，k Z ∈； （4）12arcsin5x k π=+或12arcsin 5x k ππ=+-，k Z ∈．3．函数3sin 22y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，的反函数为 （ ）[]A y x x .arcsin =∈-，，11 []B y x x .arcsin =-∈-，，11 []C y x x .arcsin =+∈-π，，11 []D y x x .arcsin =-∈-π，，11【难度】★★ 【答案】D【解析】同上方法，两种皆可．选一种方法作以解释如下：ππ232≤≤x ∴-≤-≤-==ππππ22x x x y ，又sin()sin 由反正先函数的定义，得：arcsin x y π-=，又11y -≤≤，故反函数为：[]arcsin 11y x x π=-∈-，，4．已知1cos 3x=，根据所给范围用反余弦函数值表示x ： 1︒x 为锐角 2︒ x 为某三角形内角 3︒ x 为第二象限角 4︒ x R ∈【难度】★★【答案】（1）1arccos 3x =；（2）1arccos 3x =；（3）不存在；（4）12arccos 3x k π=±()k Z ∈5． 1）已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈=2,231tan ππx x 且，求x ． 2）已知31tan =x 且[]π2,0∈x ，求x 的取值集合． 3）已知1tan 3x =且x R ∈，求x 的取值集合． 【难度】★★【答案】（1）1arctan 3x =；（2）1arctan 3x =或1arctan 3π+； （3）12arctan 3x k π=+或12arctan 3k ππ++()k Z ∈．6．下列命题中，正确命题的个数是（ ）（1）arcsin y x =的反函数是sin y x = （2）cos ,[,0]y x x π=∈-的反函数是arccos ,[1,1]y x x =-∈-（3）tan ,,23y x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭的反函数是arctan ,(y x x =∈-∞A .0个B .1个C .2个D . 3个 【难度】★★ 【答案】C二、反三角函数的图像与性质1、反三角函数的图像应用【例5】下列命题中正确的是①函数x y sin =与x y arcsin =互为反函数；②函数x y sin =与x y arcsin =都是增函数； ③函数x y sin =与x y arcsin =都是奇函数；④函数x y sin =与x y arcsin =都是周期函数． 【难度】★ 【答案】③【例6】根据反三角函数的图像比较下列各组数的大小：（1）2arcsin 5与；（2）2arccos 3与2arccos()3-；（3）2arcsin 3与2arccos 3【难度】★【答案】（1）2arcsin5<；（2）2arccos 3<2arccos(3-；（3）2arccos3=Q ，23<，2arcsin 3∴<，22arcsin arccos 33∴<【例7】求解下列不等式中x 的范围： （1）arcsin 1x ＜；（2）2arccos(21)arccos x x -＜； （3）arcsin arccos x x >；（4）()2arccos arccos 0x x --＞． 【难度】★★【答案】（1）1sin1x -≤＜；（2）112x -≤-＜（3）12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦；（4）112x -≤＜【例8】求下列函数的反函数： （1）arcsin 2y x π=-，[1,1]x ∈-； （2）sin y x =（32x ππ≤≤） （3）2arccos(21)y x =+-； （4）1arctan 32x y = 【难度】★★★【答案】（1）反函数为cos y x =，[0,]x π∈；（2）反函数为arcsin y x π=-，[1,1]x ∈-； （3）反函数为11cos(2)22y x =-+，[2,2]x π∈+；（4）反函数为2tan(3)y x =，(,)66x ππ∈-．【巩固训练】1．若⎥⎦⎤⎝⎛∈653ππ,x arccos ，则x 的取值范围是 ． 【难度】★【答案】⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-2123，2．解不等式：5arccos(2)6x π->． 【难度】★【答案】22⎛⎤+⎥ ⎝⎦【解析】原式即为：arccos(2)arccos(2x ->由arccos y x =为减函数，知12122x x -≤-≤⎧⎪⎨-<⎪⎩解得原不等式的解为：1,22⎡-⎢⎣⎭3．求下列不等式的解集：（1）2arcsin arcsin(1)x x <-；（2）arccos2arccos(1)x x <-；（3）2arctan 2arctan(3)0x x +->．【难度】★★ 【答案】（1）1[1,)2--；（2）11(,]32；（3）(1,3)-2、反三角函数的定义域、值域与最值【例9】写出下列函数的定义域： （1）y = （2）2arcsin()y x x =+ （3）2log arccos 23x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【难度】★★【答案】（1）[0,1] （2）⎣⎦ （3）[2,1)-【例10】求下列函数的定义域和值域：（1）2arcsin 33x y π=+；（2）y =；（3）arc tan(21)y x =-． 【难度】★★【答案】（1）定义域为[3,3]-，值域为24[,33ππ-；（2）定义域为[1,1)-，值域为)+∞； （3）定义域为R ，值域为(,22ππ-；【例11】函数()21arcsin 2y x x =-的值域是 ．【难度】★★ 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41214arcsin ，π【解析】由22211124411x x x x x ⎧⎛⎫-=--+≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-≤-≤⎩⇒2114x x -≤-≤ ⇒()()21111arcsin 1arcsin arcsin 42224x x π-=-≤-≤【例12】求函数xarcsin y 1=的定义域与值域． 【难度】★★【答案】[)+∞,1，⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0π 【解析】由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤-≠01arcsin 1110x x x 得1≥x ，故函数的定义域为[)+∞,1由20,21arcsin 01101ππ≤<∴≤<∴≤<⇒≥y x x x ∴函数的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0π【例13】求函数()21arccos 5arccos ,,12y x x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值，以及相应的x 的值． 【难度】★★【答案】最大值为0，此时1x =；最小值为241093ππ-，此时12x =-．【例14】函数1arctan arcsin 2y x x =+的值域是 ． 【难度】★★【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22ππ， 【解析】函数()1arctan arcsin 2y f x x x ==+在定义域[]1,1-上单调递增， 所以值域为()()1,1,22f f ππ⎡⎤-=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦【例15】求函数x x y 2arccos )1arcsin(+-=的值域． 【难度】★★★ 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,6 【解析】先求函数的定义域∴≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤⇒⎩⎨⎧≤≤-≤-≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-,2102121201211111211x x x x x x x 函数的定义域是}⎩⎨⎧≤≤210x x2)1arcsin(6,1121,210ππ≤-≤∴≤-≤∴≤≤x x x 同理：22arccos 0120π≤≤∴≤≤x x∴函数x x y 2arccos )1arcsin(+-=的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,6．【巩固训练】1．函数()()arccos arcsin y x a x a =+--（0a >）的定义域D =___________． 【难度】★★【答案】由11110x a x a a -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪>⎩⇔11110a x a a x a a --≤≤-⎧⎪-+≤≤+⎨⎪>⎩。
高中数学反三角函数练习题及讲解
高中数学反三角函数练习题及讲解### 高中数学反三角函数练习题及讲解#### 练习题1. 求值题：计算 \(\sin^{-1}(\frac{1}{2})\) 和 \(\cos^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})\) 的值。
2. 化简题：将 \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) +\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) 化简为一个角度。
3. 应用题：在直角三角形ABC中，已知角A的正弦值为\(\frac{3}{5}\)，求角A的余弦值。
4. 方程题：解方程 \(\cos^{-1}(x) + \sin^{-1}(x) =\frac{\pi}{4}\)，其中 \(x \in [-1,1]\)。
5. 证明题：证明恒等式 \(\tan^{-1}(x) + \cot^{-1}(x) =\frac{\pi}{2}\) 对所有 \(x > 0\) 成立。
6. 综合题：如果 \(\sin(\theta) = \frac{4}{5}\) 且 \(\theta\) 在第一象限，求 \(\cos(\theta)\) 和 \(\tan(\theta)\)。
7. 探索题：探索并证明当 \(x\) 从 0 增加到 1 时，\(\sin^{-1}(x)\) 和 \(x\) 之间的关系。
8. 图形题：在单位圆上，找出 \(\cos^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{2})\) 对应的点，并描述该点在坐标系中的位置。
#### 讲解1. 求值题：根据特殊角的三角函数值，我们知道 \(\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = 30^\circ\) 或 \(\frac{\pi}{6}\) 弧度，\(\cos^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^\circ\) 或\(\frac{\pi}{6}\) 弧度。
利用反三角函数解决问题练习题
利用反三角函数解决问题练习题在高中数学课程中，我们经常会遇到需要用到反三角函数来解决问题的练习题。
利用反三角函数解决问题不仅可以帮助我们更深入地理解三角函数的性质，还有助于提高我们在解决实际问题时的思维能力。
在本文中，我将为大家介绍一些常见的利用反三角函数解决问题的练习题，并逐步讲解解题方法。
练习题一：已知直角三角形一条直角边的长度为3cm，另一条直角边的长度为4cm，求斜边的长度。
解析：我们可以利用正弦函数来解决这个问题。
根据正弦函数的定义，正弦值等于对边与斜边的比值。
设斜边的长度为x，则有sinθ = 3 / x，其中θ为直角边与斜边的夹角。
根据三角函数的定义，我们可以通过反正弦函数得到夹角的大小，即θ = arcsin(3 / x)。
由题意可知，夹角θ为直角，所以有θ = 90°。
代入公式得到arcsin(3 / x) = 90°，解得x ≈5cm。
练习题二：已知平面直角坐标系中一点P的坐标为(4, 3)，求点P与x轴正方向之间的夹角。
解析：我们可以利用反正切函数来解决这个问题。
根据反正切函数的定义，tanθ等于直角边y与直角边x的比值。
设点P与x轴正方向之间的夹角为θ，则有tanθ = 3 / 4。
通过求反函数，我们可以得到夹角的大小，即θ = arctan(3 / 4)。
代入公式计算得到θ ≈ 36.87°。
练习题三：已知平面直角坐标系中一点Q的坐标为(-2, -2)，求点Q与原点之间的距离。
解析：我们可以利用反余弦函数来解决这个问题。
根据反余弦函数的定义，cosθ等于直角边x与斜边的比值。
设点Q与原点之间的距离为d，则有cosθ = -2 / d，其中θ为点Q与x轴正方向的夹角。
通过求反函数，我们可以得到夹角的大小，即θ = arccos(-2 / d)。
由题意可知，夹角θ为直角，所以有θ = 90°。
代入公式得到arccos(-2 / d) = 90°。
上海市高三数学复习三角函数与反三角函数专题练习(new)
三角函数与反三角函数一、 填空题1. 函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是 .2. 函数2sin cos y x x =-的最大值为 。
3. 函数()sin 3cos f x x x =+的对称中心的坐标为4. 。
函数2sin(2)34y x π=--的单调递增区间是 . 5. 函数sin cos ()sin cos x x f x x x-=+的奇偶性为 6. 已知函数()cos()f x A wx ϕ=+的部分图像如图所示， 若2()23f π=-,则(0)f = 。
7。
函数()sin(2)4f x x π=-在区间[0,]2π的最小值为 。
8.方程22sin 3sin cos 4cos 0x x x x +-=的解集为 .9.函数3cos ([,))2y x x ππ=∈的反函数是 .10.已知0w >，函数()sin()4f x wx π=+在(,)2ππ单调递增,则w 的取值范围是 。
11。
设()cos(sin )f x x =与()sin(cos )g x x =，以下结论：（1）()f x 与()g x 都是偶函数； （2)()f x 与()g x 都是周期函数；（3）()f x 与()g x 的定义域都是[1,1]-; (4）()f x 的值域是[cos1,1],()g x 的值域是[sin1,sin1]-;其中不正确的是 .12。
函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 。
二、 选择题13。
下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是（ ）.A cos(2)2y x π=+ .B sin(2)2y x π=+ .C sin 2cos 2y x x =+ .D sin cos y x x =+14.要得到函数sin(4)3y x π=-的图像,只需要将函数sin 4y x =的图像（ ) .A 向左平移12π个单位 .B 向右平移12π个单位 .C 向左平移3π个单位 .D 向右平移3π个单位 15。
反三角函数举例
反三角函数举例例1 下列各式子中，有意义的是________(1)arcsin (2)arcsin;2π(3)sin(arcsin 2); (4)arcsin(sin 2).解 注意到arcsin y x = 的定义域是[1,1],- 因此有意义的式子是（4） 例2 求下列反正弦函数的值.(1)arcsin____;=(2)arcsin 0_____;=(3)1arcsin()______;2- (4)arcsin1_______.要熟记10;;,122±±± 的反正弦值. 例 求1sin(arcsin)24I π=+ 的值；()f x 解 由于1a r c s i n ,26π= 于是16s i n ().64224I ππ=+=⨯+=例3设sin x =用反正弦的形式表示下列各式中的.x （1）[,];22x ππ∈- （2）[,];2x ππ∈ （3）[0,].x π∈解 （1）由于[,],22x ππ∈-则x = （2）由于[,],2x ππ∈则 [0,],2x ππ-∈且sin()sin 5x x π-==因此a r c s i ,5x π-=于是arcsin5x π=- （3）当[0,]x π∈时，arcsin,5x =或者arcsin 5x π=- 练习用反正弦的形式表示下列各式中的.x 设1sin ,4x =- （1）[,];22x ππ∈-（2）3[,2];2x ππ∈ 解 （1）由于[,],22x ππ∈-则 11arcsin()arcsin().44x =-=-（2）当3[,2]2x ππ∈时，2[0,],2x ππ-∈ 且1sin(2)sin .4x x π-=-=因此12a r c s i n (),4x π-= 于是12arcsin .4x π=- 注意 若sin ,x a = 当[,]22x ππ∈-时，则arcsin ;x a = 当[,]22x ππ∉-时，可以将角转化到[,]22ππ-上，再利用诱导公式处理对应角三角函数值即可.练习写出式中的.x （1）sin ,[,];222x x ππ=∈-（2）sin [0,];3x x π=∈ （3）33sin ,[,].522x x ππ=-∈解 （1）.3x π= （2）arcsin ,3x =或者arcsin 3x π=- （3）当3[,]22x ππ∈时，[,].22x πππ-∈-而3sin()sin ,5x x π-=-= 3arcsin ,5x π-= 于是3arcsin .5x π=+例4 求2arcsin(52)y x =- 的定义域和值域.解 由1521x -≤-≤ 可得2 3.x ≤≤ 因此函数的定义域为[2,3].x ∈ 由于arcsin(52)[,],22x ππ-∈-因此函数的值域为[0,].π练习 （1）求sin arcsin y x x =+ 定义域和值域； （2）当3[,]44x ππ∈-时，求arcsin(cos )y x = 的值域. 解 （1）函数的定义域是 [1,1],x ∈- 值域为 [sin1,sin1].22ππ--+（2）令3cos ,[,],44t x x ππ=∈- 于是[,1].2t ∈- 而arcsin y t = 是单调增加的函数，于是函数的值域为[,].42ππ-例5 求下列函数的反函数（1）sin ,[,];2y x x ππ=∈ （2）arcsin ,[0,1].y x x =∈解 （1）函数的值域[0,1],y ∈ 由于[,],2x ππ∈ 则[,0],2x ππ-∈-且sin()sin .x x y π-=-=- 于是arcsin()arcsin ,x y y π-=-=- 因此arcsin ,x y π=-于是原函数的反函数1()arcsin ,[0,1].fx x x π-=-∈（2）当[0,1]x ∈ 时，值域[0,].2y π∈ 于是 sin ,x y = 因此原函数的反函数为1()s i n ,[0,].2f x x x π-=∈ 例6 求下列反三角函数的值 （1）____;= .6π （2）arccos(_____;2-= 两种方法求 3.4π （3）arccos0arctan1_____;+= 3.4π （4）arctan(_____;= .3π- （5）11arcsin()arccos()____;22-+-= .2π（6）5arctan(tan )____;6π= .6π-例7 用反三角函数的形式表示下列各式中的.x（1）1cos ,[0,];3x x π=∈ 1arccos .3x =（2）1cos ,[,2];3x x ππ=-∈1arccos .3x π=+（3）tan 2,(,).22x x ππ=-∈-arctan(2)arctan 2.x =-=-（4）3tan 2,(,).22x x ππ=-∈arctan 2.x π=-例8 （1）已知 arcsin arcsin(1),x x ≥- 求x 的取值范围. 解 由111x x -≤-≤≤ 可得11.2x ≤≤ （2）已知 arccos arccos(1),x x >- 求x 的取值范围. 解 由111x x -≤<-≤ 可得10.2x ≤< （3）已知arctan ,3x π>求x 的取值范围.解x >（4）已知arccos .3x π>求x 的取值范围.11.2x -≤<解 9 求arcsin arctan y x x =+ 的值域.解 因为函数的定义域为[1,1].- 它的值域为33[,].44ππ- 10 求下列各式的值 （1）sin(arccos());3-解 设arccos(x =则 cos [0,],x x π=∈于是sin(arccos(sin 33x -==（2）tan(arccos());26π--解 3tan(arccos())tan()2646πππ--=-2== （3）213cos (arccos );25解 设 3arccos ,5x =则 3cos ,[0,].52x x π=∈ 2213114cos (arccos )cos ()(1cos ).25225x x ==+=（4）123sin(arctan arcsin );55-解 设123arctan ,arcsin ,55αβ== 则12125tan ,sin ,cos .51313ααα===34sin ,cos .55ββ==于是123sin(arctan arcsin )sin()55αβ-=-1245333.13513565=⨯-⨯=（5）求11arctan arctan 23+ 的值.解 设11arctan ,arctan ,23αβ==则11tan ,tan ,,[0,].232παβαβ==∈ tan()1,αβ+=于是.4παβ+=。
反三角函数
2010上海高一反三角函数典型习题【学习导航】1、通过前面两节课的学习，你认为：（简洁明了）arcsin(||1)x x≤是：。
arccos(||1)x x≤是：。
arctan()x x R∈是：。
2．把你所学的反三角函数的图像、定义域、值域、性质、恒等式，分别列举出来。
地方吗？【课堂焦点】问题1、求下列函数的反函数：（1）siny x=，3,2xππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦。
（2）cosy x=，[],0xπ∈-。
问题2、利用反三角函数的性质解决一些基本问题。
1．求函数2arcsin 33x y π=+的定义域与值域：2．不求值，比较下列各组反三角函数值的大小： ①1arccos 4⎛⎫-⎪⎝⎭1arccos 3。
②()arctan 4- ()arctan π-3．函数1arcsin 3tan3y x arc =+的值域为 。
4．判断下列函数的奇偶性：（1）()()sin arctan f x x =。
（2）()arccos 2f x x π=-。
（3）()()cot arcsin f x x =。
问题3、反三角函数运算的问题：（1）11arcsinarccos33+= 。
（2）||1x ≤时，arcsin arccos()x x --= 。
（3）求1arcsin arcsin77+的值；（4）若02x π<<，则arcsin[cos()]arccos[sin()]2x x ππ+++= 。
（5）11tan(2arctan arctan)23+= 。
（6）45cos arccosarccos 513⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦。
（7）设方程26510x x -+=的两根为12,x x ，求12arctan arctan x x +的值。
【反馈练习】1．求下列函数的反函数 （1）arccos22x y π=+。
（2）()3arctan 21y x π=--2.已知1|sin |3x =，且(,)2x ππ∈--，则x 可以表示为 （ ） A 1arcsin3π+； B 1arcsin 3π-； C 1arcsin 3π-+； D 1arcsin 3π--3. 函数()()arccos cos f x x =的奇偶性为 。
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反三角函数典型例题
例1：在下列四个式子中，有意义的为__________： 解：（4）有意义。
（1）（2）arcsin 4
π
；（3）sin(arcsin 2)；（4）arcsin(sin 2)。
点评：arcsin x ——x [1,1]∈-。
例2：求下列反正弦函数值
（1）= 解：3
π
（2）arcsin0= 解：0 （3）1arcsin()2
-= 解：6π- （4）arcsin1= 解：2π
点评：熟练记忆：0，1
2
±、，，1±的反正弦值。
思考：1sin(arcsin
)24
π
+该如何求？
例3：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x
(1)sin x =
x [,]22ππ
∈- 解：x ＝变式：x [,]2
π
∈π?
解：x [,]2π
∈π时，π－x [0,]2
π∈，sin(π－x)＝sinx
∴π－x ＝，则x ＝π－
变式：x [0,]∈π? 解：x ＝或x ＝π－(2)1sin x 4=-，x [,]22ππ∈- 解：1
x arcsin 4
=-
变式：1
sin x 4=-，3x [,2]2
π∈π
解：3x [,2]2π∈π时，2π－x [0,]2
π
∈，sin(2π－x)＝－sinx ＝14
∴2π－x ＝arcsin 14，则x ＝2π－arcsin 1
4
点评：当x [,]22ππ
∈-时，x arcsina =；而当x [,]22ππ∉-，可以将角转化到区间[,]22
ππ-上，
再用诱导公式处理对应角之三角比值即可。
练习：
(1)sin x =
x [,]22ππ
∈- 解：x 3π=
(2)sin x 3=，x [0,]∈π 解：x =x =π-
(3)3sin x 5=-，3x [,]22ππ∈ 解：3
x arcsin 5
=π+
例4：求函数y 2arcsin(52x)=-的定义域和值域。
解：由152x 1-≤-≤，则x [2,3]∈，arcsin(52x)[,]22ππ-∈-，则y [,]∈-ππ。
变式：y sin x arcsin x =+ 解：x [1,1]∈-，y [sin1,sin1]22
ππ
∈--+
思考：当3x [,]44
ππ
∈-时，求函数y arcsin(cosx)=的值域。
解：当3x [,
]44
ππ∈-时t cos x [2=∈，而y arcsin t =为增函数，则y [,]42ππ∈-。
例5：求下列函数的反函数 (1) y sin x =，x [,]2
π∈π
解：y [0,1]∈，x [,0]2
π-π∈-且sin(x )sin x y -π=-=-，则x arcsin(y)-π=-，
则x arcsin y =π-，则反函数是1f (x)arcsin x -=π-，x [0,1]∈。
(2) y arcsin x =，x [0,1]∈
解：y [0,]2π∈，x sin y =，则反函数是1f (x)sin x -=，x [0,]2
π∈。
[例6] 求下列反三角函数的值：
(1) ＝6
π
(2) arccos(2-
＝
34
π
（两种方法）
(3) arccos0＋arctan1＝34π
(4) arctan(＝3
π-
(5) arcsin (－12)＋arccos (－12
)＝2π (6) 5arctan(tan )6π
＝6π-
[例7] 用反三角函数值的形式表示下列各式中的x ：
(1) 1cos x 3
=，x [0,]∈π
解：1x arccos 3= 变式：1cos x 3
=-，x [,2]∈ππ
解：1
x 2arccos 3
=π-
(2) tan x 2,x (,)22
ππ=-∈-
解：x arctan(2)=-
变式：3x (,)22
ππ
∈ 解：x arctan2=π+
[例8] (1) 已知arcsin x arcsin(1x)≥-，求x 的取值范围。
解：由11x x 1-≤-≤≤，得
1
x 12
≤≤。
(2) arccosx arccos(1x)>-
解：由1x 1x 1-≤<-≤，得10x 2
≤<。
(3) arctan x 3π
>
解：x > (4) arccos x 3π> 解：1
1x 2
-≤<
[例9 求y ＝arcsinx ＋arctanx 的值域。
解：∵－1≤x ≤1 ∴－
34π≤x ≤34
π ——涉及和函数概念，反正弦、反正切函数单调性
[例10] 求下列各式的值：
(1) sin(arccos(
解：设x arccos(3=，则cos x 3=-
且x [,]2
π
∈π，则sin x =
(2) tan[arccos(]6
π
-
解：2
31)tan()2
432ππ-=
==+ (3) 213
cos (arccos )2
5
解：设3x arccos 5=，则3cos x 5=且x [0,]2π∈，则2x 1cos x 4
cos 225+==
(4) 123
sin[arctan arcsin ]55-
解：设12arctan 5α=，3arcsin 5β=，则12tan 5α=，4sin 5
β=且,(0,)2π
αβ∈，
则1231245333
sin[arctan arcsin ]sin()5513513565-=α-β=⨯-⨯=。
思考：若求11
arctan arctan 23
+的值呢？
解：1arc tan 2α=，1arctan 2β=，则1tan 2α=，1
tan 3
β=且,(0,)2παβ∈，
∵tan()1α+β=，且(0,)α+β∈π，∴4
π
α+β=。
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