反三角函数典型例题
反三角函数练习
)=
5 )]=4
3
5 4
(D)arctg(-2)=arcctg(4
)=cos(arccos
)
4
)
1 2
例10．函数f(x)=arcsin(tgx)的定义域 （ ） （A）- 4 ≤x≤ 4 (B)kπ- 4 ≤X≤kπ+ 4 (K∈Z) (C)kπ+ 4 ≤x≤(k+1)π- 4（K∈Z） (D)2kπ- 4 ≤x≤2kπ+ 4 (k∈Z) 例11．在[-1, 数是 ( )
3 2
]上和函数y=x相同的函
(B)y=arcsin(sinx) (D)y=cos(arccosx)
(A)y=arccos(cosx) (C) y=sin(arcsinx)
例12. 计算cos[arccos(- )+arcsin(1 1 例13．求值：arctg 2 +arctg 3
3 5
5 13
5
例6．研究函数y= arccos (x-x2)的定义域、 值域及单调性。 例7．作函数y=arcsin(sinx)，x∈[-π，π] 的图象，并判断它的奇偶性及单调区间。 例8．计算： cos[arccos -arccos ()]
4 5
5 13
二.反三角形函数的运算
例9.下列关系式中正确的是 (A)arcos[cos((B)sin(arcsin (C)arccos(cos
)]
例14．求值：tg (arcsin ) 例15．证明arctg1+arctg2+arctg3=π1 23 563 -arccos 65
例16．函数y=arccos
(A)[0, ] (B)(0, 2
反三角函数的综合应用题
反三角函数的综合应用题反三角函数是高中数学中的一个非常重要的概念，它可以解决很多复杂的问题。
在本文中，我将介绍一些反三角函数的综合应用题，希望能对广大学生有所帮助。
1. 求解三角方程三角方程是基于三角函数和角度的方程。
求解三角方程需要利用反三角函数。
下面是一个例子：cos(x) = 1/2我们可以用反余弦函数来求解这个方程。
x = arccos(1/2) = π/3 或5π/3因为余弦函数的周期是2π，所以我们可以将答案写成：x = π/3 + 2πk 或5π/3 + 2πk其中k是任意整数。
2. 求解三角形的边长和角度有时候我们需要求解一个三角形的边长和角度，但是我们只知道其中一些角度和边长的关系。
下面是一个例子：已知一个直角三角形，其中一条腰的长度是3，斜边与另一条腰的夹角是60度，求斜边和另一条腰的长度。
我们可以用反正弦函数和反余弦函数来求解这个问题。
从图中可以看出sin(60) = 1/2，因此另一条腰的长度是3/2。
对于斜边的长度，我们可以用反正弦函数来求解：sin(θ) = 3/2 / cθ = arcsin(3/2 / c)c = 2 / sin(arcsin(3/2 / c))c = 2 / sin(θ)由于这是一个直角三角形，因此我们可以用勾股定理来求解：c^2 = a^2 + b^2c^2 = 9/4 + b^2b^2 = c^2 - 9/4b = √(c^2 - 9/4)因此，斜边的长度是√(4 - 9/4) = √7/2。
3. 求解三角函数的反函数三角函数的反函数是反三角函数。
它可以用来求解一些特殊的三角函数值。
下面是一个例子：求x，在0到π/2的范围内，使得cos(arcsec(x)) = 1/2我们可以用反正割函数来求解这个问题。
cos(arcsec(x)) = 1/2sec(arcsec(x)) = 2x = sec(arccos(2))x = 1/2因此，当x = 1/2时，cos(arcsec(x))等于1/2。
推荐-反三角函数的概念和运算·典型例题 精品
反三角函数的概念和运算·典型例题【例1】回答下列问题：(3)π-arcsinx是什么范围内的角？(2)∵0≤arccosx≤π，3∈〔0，π〕∴arccosx=3有解x=cos3而(4)∵cos(arccosx)=xx∈〔-1，1〕[ ]由选择题的唯一性知应选C．【说明】本题考查对反正弦函数的概念的理解．题目给的θ∈要灵活运用诱导公式加以变形，使得角进入主值区间且函数值可用已知表示，不能顾此失彼．解法二用的是排除法．【分析】由于已知函数的定义域不在反正弦函数的主值区间内，因此不能直接用反正弦函数表示，要先用诱导公式解决角．由y=2sinx=2sin(π-x)[ ](1994年全国高考试题，难度0.50)故已知函数的值域应选B．【说明】本题采用由函数的内层到外层逐步解决的方法．最易出错的地方是sinx的取值范围，观察正弦函数的图象，采用数形结合进行【例5】求函数y=arccos(x2-x)的单调减区间．【分析】注意到已知函数是由函数u=x2-x和函数y=arccosu复合而成的，因此要先求定义域，再根据求复合函数单调区间的规律来解决．[ ]A．y=arcsin(sin2x)B．y=2arcsin(sinx)C．y=sin(arcsin2x)D．y=2sin(arcsinx)【分析】此题要从选项入手，主要考察反三角函数基本关系式成立的条件，可采用逐项验证的方法．解：由基本关系式sin(arcsinx)=xx∈〔-1，1〕C．和D．的定义域∴y=2arcsin(sinx)=2x选B．．否定A．数，它可以是角的弧度数，也可以是三角函数的值，要正确理解．【例7】求下列各式的值原式=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ【说明】第(1)题考查特殊值的反三角函数值及特殊角的三角函数值，按照由内及外的顺序运算即可．后三个小题采用设辅助角的方法，要注意角的范围，4个小题都是反三角函数的三角运算．【例8】求下列各式的值(2)arcsin(cos5)【分析】该题型是三角函数的反三角运算，为合理的使用反三角函数基本关系式创造条件，需要灵活运用诱导公式．【说明】把已知角的三角函数转化为反三角函数主值区间上的角的三角函数，要注意两方面，一是函数名称的变化，二是角的范围的变化，而这正是诱导公式具有的功能．【分析】此题是关于角相等的证明题．一般采用转化的思想方法，即证明它们的同名三角函数值相等且角的范围是在同一单值对应区间．【说明】此类题目也可改为求值题，在确定角的范围时有可能遇到困难，不足以保证角的唯一性，这时要根据各种条件将范围缩小，要掌握这种技能，保证推理的严谨性和计算的准确性．【例10】求满足下列条件的x的取值集合(1)arccos(1-x)≥arccosx(2)arccos(-x)＜2arccosx【分析】要注意两点：定义域和单调性(2)∵arccos(-x)=π-arccosx ∴π-arccosx＜2arccosx。
高中数学反三角函数练习题及讲解
高中数学反三角函数练习题及讲解### 高中数学反三角函数练习题及讲解#### 练习题1. 求值题：计算 \(\sin^{-1}(\frac{1}{2})\) 和 \(\cos^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})\) 的值。
2. 化简题：将 \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) +\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) 化简为一个角度。
3. 应用题：在直角三角形ABC中，已知角A的正弦值为\(\frac{3}{5}\)，求角A的余弦值。
4. 方程题：解方程 \(\cos^{-1}(x) + \sin^{-1}(x) =\frac{\pi}{4}\)，其中 \(x \in [-1,1]\)。
5. 证明题：证明恒等式 \(\tan^{-1}(x) + \cot^{-1}(x) =\frac{\pi}{2}\) 对所有 \(x > 0\) 成立。
6. 综合题：如果 \(\sin(\theta) = \frac{4}{5}\) 且 \(\theta\) 在第一象限，求 \(\cos(\theta)\) 和 \(\tan(\theta)\)。
7. 探索题：探索并证明当 \(x\) 从 0 增加到 1 时，\(\sin^{-1}(x)\) 和 \(x\) 之间的关系。
8. 图形题：在单位圆上，找出 \(\cos^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{2})\) 对应的点，并描述该点在坐标系中的位置。
#### 讲解1. 求值题：根据特殊角的三角函数值，我们知道 \(\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = 30^\circ\) 或 \(\frac{\pi}{6}\) 弧度，\(\cos^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^\circ\) 或\(\frac{\pi}{6}\) 弧度。
反三角函数的求法练习题
反三角函数的求法练习题一、选择题1. 已知sinθ = 0.5，求θ的值，下列哪个选项正确？A. θ = 30°B. θ = 150°C. θ = 210°D. θ = 330°2. 已知cosθ = 0.8，求θ的值，下列哪个选项正确？A. θ = 143.13°B. θ = 216.87°C. θ = 323.13°D. θ = 336.87°3. 已知tanθ = 1，求θ的值，下列哪个选项正确？A. θ = 45°B. θ = 135°C. θ = 225°D. θ = 315°二、填空题4. 已知sinθ = 0.6，求θ的值，θ = _______°。
5. 已知cosθ = 0.4，求θ的值，θ = _______°。
6. 已知tanθ = 3，求θ的值，θ = _______°。
三、解答题7. 已知sinθ = 0.8，求θ在第二象限的值。
8. 已知cosθ = 0.7，求θ在第三象限的值。
9. 已知tanθ = 2，求θ在第一象限的值。
10. 已知sinθ = 0.3，求θ在第四象限的值。
11. 已知cosθ = 0.9，求θ在第一象限的值。
12. 已知tanθ = 0.5，求θ在第二象限的值。
四、综合题13. 已知sinθ = 0.75，求θ在第一象限和第二象限的值。
14. 已知cosθ = 0.4，求θ在第三象限和第四象限的值。
15. 已知tanθ = 1.5，求θ在第一象限和第三象限的值。
五、应用题16. 一个直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比值为0.6，求该锐角的度数。
17. 在一个直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比值为0.8，求该锐角的度数。
18. 一个物体从地面向上抛出，其运动轨迹与水平面的夹角的正切值为1.2，求该夹角的度数。
6.4.1 反三角函数(含答案)
【课堂例题】例1.写出下列角的弧度数：(1)1 arcsin2=(2)arcsin1=(3)arcsin(2=(4)arcsin0=例2.求下列各式中的角(用反正弦表示)：(1)2sin,[,]522 x xππ=∈-(2)1sin,[0,]3x xπ=∈课堂练习1.求值：(1)arcsin(1)-=(2)arcsin(=(3)arcsin0.457=(利用计算器，精确到0.01)(4)sin(arcsin0.6)=2.求下列各式中的角x(1)3sin,[0,]42x xπ=∈(2)1sin,[0,2]7x xπ=-∈3.不使用计算器计算：(1)1cos(2arcsin)3(2)11sin[arcsin arcsin()]34+-(3)1tan(arcsin0.8)24.已知[1,1]x∈-，求证：arcsin()arcsinx x-=-【知识再现】1.一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值([1,1])y y ∈-，那么在 上有唯一的x 值和它对应，记为arcsin x y =，称x 为y 的 .2.arcsin ([1,1])y y ∈-表示一个 的角.【基础训练】1.填空：arcsin2= ；1arcsin()2-= ;arcsin1= ；arcsin(2-= . 2.填空：1sin(arcsin )4= ； cos(arcsin1)= . 3.计算下列各角的弧度数(精确到0.0001)(1)arcsin 0.2672≈ ；(2)arcsin(0.3322)-≈ .4.ABC ∆中， 如果3cos 5A =-，那么A 用反正弦函数可以表示为 . 5.用反正弦函数表示下列角x ：(1)sin [,]22x x ππ=∈-； (2)1sin ,[,]42x x ππ=∈;(3)13sin ,[,]32x x ππ=-∈6.不使用计算器计算：(1)1sin(2arcsin )3; (2)5cos(arcsinarcsin )213-；(3)11tan[arcsin()]24-； (4)3cot(arcsin )7.7.计算并回答问题：arcsin(sin )3π= ；arcsin(sin1)= ； 5arcsin(sin )6π= ；arcsin[sin()]5π-= . 请问arcsin(sin )x x =成立的充要条件是什么？(无需证明)【巩固提高】8.在ABC ∆中，已知1arcsin 5A =，5arcsin 13B =，求C 的精确值和近似值(精确值用反正弦来表示，近似值保留3位小数).9.求证：34arcsin arcsin 552π+=(选做)10.(1)求证：当[,]22x ππ∈-时，arcsin(sin )x x =.(2)已知sin ,[1,1],[2,2],22x a a x k k k Z ππππ=∈-∈-+∈，求x .【温故知新】11.已知函数()lg(31),[0,3]f x x x =+∈，求1()f x -.【课堂例题答案】例1.(1)6π；(2)2π；(3)4π-；(4)0. 例2.(1)2arcsin 5x =;(2)1arcsin 3x =或1arcsin 3x π=- 【课堂练习答案】 1.(1)2π-;(2)3π-;(3)0.47;(4)0.6 2.(1)3arcsin 4x =;(2)1arcsin 7x π=+或12arcsin 7π-3.(1)79;(2)12;(3)12 4.证：sin[arcsin()]x x -=-，sin(arcsin )sin(arcsin )x x x -=-=- 又arcsin()[,],arcsin [,]2222x x ππππ-∈--∈-且sin y x =在[,]22ππ-上是单调增函数， 因此arcsin()arcsin x x -=- 证毕【知识再现答案】 1.[,]22ππ-，反正弦函数 2.[,]22ππ-上且正弦值为y 【习题答案】 1.,,,3624ππππ-- 2.1,043.(1)0.2705;(2)0.3386-4.4arcsin 5π-5.(1)arcsin 5x =;(2)1arcsin 4x π=-;(3)1arcsin 3x π=+6.(1)9;(2)2647.,1,,365πππ-,[,]22x ππ∈-8. 2.545145.843C rad π=-≈≈ 9.证：33sin(arcsin )55=，443sin(arcsin )cos(arcsin )2555π-== 又34arcsin [,],arcsin [,]5222522πππππ∈--∈-，因此34arcsin arcsin 525π=- 证毕 10.(1)证：arcsin(sin )[,],[,]2222x x ππππ∈-∈-，又sin[arcsin(sin )]sin x x = 因此arcsin(sin )x x = 证毕(2)2[,]22x k πππ-∈-又sin(2)sin x k x a π-==，因此2arcsin x k a π-=， 即2arcsin ,x k a k Z π=+∈ 11.11()(101),[0,1]3x f x x -=-∈。
28.反三角函数【学生版】(正式版)(含答案)
反三角函数【课前预习】1．求值：(1)arcsinarccos1arctan 23++= ． (2)1arcsin(arccos()arctan(1)22-+-+-= ． (3)arcsin(0.3)arccos(0.82)arctan(+-+≈ ．（弧度制表示，精确到0.0001）2．用反三角函数值的形式表示下列各式中的角： (1)1sin ,[,],322x x x ππ=-∈-= ；1sin ,[0,],4x x x π=∈= .(2)1cos ,[0,],4x x x π=-∈= ； 1cos ,[,0],5x x x π=∈-= ． (3)在ABC ∆中，1sin ,tan 2,4A B ==-A = ；B = ．3．化简下列各式：(1)1sin(arcsin )2= ．(2)cos[arcsin(2-= ．(3)= ．4．函数sin ,[,]24y x x ππ=∈-的反函数是 .5.(1)函数arcsin(35)y x =-的定义域是 ．(2)函数()f x =的定义域是 .6.若1[22x ∈-，则arccos y x =的值域是 . 7.设||1a ≤，那么arccos arccos()a a +-= .8.(1)满足不等式arccos(1)arccos x x -≥的x 的取值范围是 . (2)函数2(arctan )arctan 1y x x =+-的最小值是 .【例题解析】例1 求下列函数的反函数： (1)3sin ,[,]22y x x ππ=∈ (2)cos ,[,2]y x x ππ=∈例2 求下列函数的定义域和值域: (1)131arccos 22x y -=(2)y =例3．求函数2arcsin(2)y x x =-的定义域和值域，并指出单调区间．例4.求函数arcsin(1)arccos 2y x x =-+的值域.反三角函数姓名 班级【巩固练习】1.下列等式成立的是 ． ①arccos 01=；②cos(arccos )02π=；③sin(arcsin )33ππ=；④arctan3π=tan(arctan )22ππ=．2.函数arccos (10)y x x =-≤≤的反函数是 ．3.已知33cos ,(,)42πααπ=-∈，那么α= ． 4.设5sin ,(,]66x ππαα=∈-，则arccos x 的取值范围是 . 5.已知()arcsin(21)(10)f x x x =+-≤≤，则1()6f π-= . 6.若2x ππ-<<-，则arcsin(sin )x 的值是（ ）．(A) x (B) x π- (C) x π- (D) ()x π-+ 7.若tan ,(,)2x a x ππ=∈，则有（ ）．(A) arctan 2x a π=+ (B) arctan 2x a π=-(C) arctan x a π=+ (D) arctan x a π=-8.函数2arcsin()y x x =-的单调递减区间为( )．(A) [1,1]- (B) 11[,(122+(C) (,)4π-+∞ (D) 11[(1]229.求满足不等式2arccos2arccos(1)x x <-的x 的取值范围.10.已知()arccos(32),,f x x x D =+∈值域是[,]42ππ． (1)求定义域D ；(2)求反函数1()f x -．【提高练习】11.求函数1[,22y x =∈-的反函数．12.画出函数arcsin(sin ),[,]y x x ππ=∈-的图像，并指出它的奇偶性和单增区间.反三角函数课前预习答案【课前预习】一、知识梳理二、基础练习1．求值：(1)arcsin arccos1arctan23++=．(2)1arcsin(arccos()arctan(1)22-+-+-=．(3)arcsin(0.3)arccos(0.82)arctan(+-+≈1.8816．（弧度制表示，精确到0.0001）2．用反三角函数值的形式表示下列各式中的角：(1)1sin,[,],322x x xππ=-∈-=1arcsin()3-；1sin,[0,],4x x xπ=∈=1arcsin4或512π12π1arcsin 4π-(2)1cos ,[0,],4x x x π=-∈=1arccos()4-； 1cos ,[,0],5x x x π=∈-=1arccos 5-． (3)在ABC ∆中，1sin ,tan 2,4A B ==-A =1arcsin 4；B =arctan 2π-．3．化简下列各式：(1)1sin(arcsin )2= ．(2)cos[arcsin(=．(3)=． 4．函数sin ,[,]24y x x ππ=∈-的反函数是 .5.(1)函数arcsin(35)y x =-的定义域是 ． (2)函数()f x =的定义域是 .[1,1)-6.若1[22x ∈-，则arccos y x =的值域是 .2[,]63ππ7.设||1a ≤，那么arccos arccos()a a +-= .π8.(1)满足不等式arccos(1)arccos x x -≥的x 的取值范围是 .1[,1]2(2)函数2(arctan )arctan 1y x x =+-的最小值是 .54-1223arcsin ,[1,2y x x =∈-4[,2]3反三角函数例题解析答案【例题解析】例1 求下列函数的反函数： (1)3sin ,[,]22y x x ππ=∈ (2)cos ,[,2]y x x ππ=∈解 (1)arcsin ,[1,1]y x x π=-∈-. (2)2arccos ,[1,1]y x x π=-∈-.例2(1)y =(2)y =例3解：21[arcsin ,]82y π∴∈- 单增区间：1[,1]4，单减区间11[,]24-例4.求函数arcsin(1)arccos 2y x x =-+的值域. 解 1[0,],[,]26x y ππ∈∈.反三角函数巩固和提高练习答案【巩固练习】1．下列等式成立的是 ⑤ ． ①arccos 01=；②cos(arccos )02π=；③sin(arcsin )33ππ=；④arctan3π=tan(arctan )22ππ=． 2．函数arccos (10)y x x =-≤≤的反函数是 ． 3．已知33cos ,(,)42πααπ=-∈，那么α= ． 4.设5sin ,(,]66x ππαα=∈-，则arccos x 的取值范围是 .2[0,)3π5.已知()arcsin(21)(10)f x x x =+-≤≤，则1()6f π-= .14-6．若2x ππ-<<-，则arcsin(sin )x 的值是（ D ）．(A) x (B) x π- (C) x π- (D) ()x π-+ 7．若tan ,(,)2x a x ππ=∈，则有（ C ）．(A) arctan 2x a π=+ (B) arctan 2x a π=-(C) arctan x a π=+ (D) arctan x a π=-8．函数2arcsin()y x x =-的单调递减区间为( D )．(A) [1,1]-(B) 11[,(122+(C) (,)4π-+∞(D) 11[(1]229.求满足不等式2arccos2arccos(1)x x <-的x 的取值范围.2111211,]2x x x -≤-<≤⇔∈10.已知()arccos(32),,f x x x D =+∈值域是[,]42ππ． (1)求定义域D ；(2)求反函数1()f x -．解：(1)根据题意：32[0,2x +∈24[]36D ∴=-(2)32cos x y +=∴反函数为：112()cos ,[,]3342f x x x ππ-=-∈3arccos4π+cos ,[,]2y x x ππ=∈【提高练习】11.求函数1[2y x =∈-的反函数．解：2arccos [,]43x ππ∈y ∴∈22arccos cos()y x x y =∴=∴反函数为：2cos(),y x x =∈12．画出函数arcsin(sin ),[,]y x x =∈-的图像，并指出它的奇偶性和单增区间． 解：根据单位圆来确定角x 与arcsin(sin )x 的大小关系，它们具有相同的正弦值,2,22,2x x y x x x x ππππππππ⎧---≤<-⎪⎪⎪∴=-≤≤⎨⎪⎪-<≤⎪⎩奇函数，单增区间：[,]22ππ-。
推荐-反三角函数的概念和运算·典型例题 精品
反三角函数的概念和运算·典型例题【例1】回答下列问题：(3)π-arcsinx是什么范围内的角？(2)∵0≤arccosx≤π，3∈〔0，π〕∴arccosx=3有解x=cos3而(4)∵cos(arccosx)=xx∈〔-1，1〕[ ]由选择题的唯一性知应选C．【说明】本题考查对反正弦函数的概念的理解．题目给的θ∈要灵活运用诱导公式加以变形，使得角进入主值区间且函数值可用已知表示，不能顾此失彼．解法二用的是排除法．【分析】由于已知函数的定义域不在反正弦函数的主值区间内，因此不能直接用反正弦函数表示，要先用诱导公式解决角．由y=2sinx=2sin(π-x)[ ](1994年全国高考试题，难度0.50)故已知函数的值域应选B．【说明】本题采用由函数的内层到外层逐步解决的方法．最易出错的地方是sinx的取值范围，观察正弦函数的图象，采用数形结合进行【例5】求函数y=arccos(x2-x)的单调减区间．【分析】注意到已知函数是由函数u=x2-x和函数y=arccosu复合而成的，因此要先求定义域，再根据求复合函数单调区间的规律来解决．[ ]A．y=arcsin(sin2x)B．y=2arcsin(sinx)C．y=sin(arcsin2x)D．y=2sin(arcsinx)【分析】此题要从选项入手，主要考察反三角函数基本关系式成立的条件，可采用逐项验证的方法．解：由基本关系式sin(arcsinx)=xx∈〔-1，1〕C．和D．的定义域∴y=2arcsin(sinx)=2x选B．．否定A．数，它可以是角的弧度数，也可以是三角函数的值，要正确理解．【例7】求下列各式的值原式=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ【说明】第(1)题考查特殊值的反三角函数值及特殊角的三角函数值，按照由内及外的顺序运算即可．后三个小题采用设辅助角的方法，要注意角的范围，4个小题都是反三角函数的三角运算．【例8】求下列各式的值(2)arcsin(cos5)【分析】该题型是三角函数的反三角运算，为合理的使用反三角函数基本关系式创造条件，需要灵活运用诱导公式．【说明】把已知角的三角函数转化为反三角函数主值区间上的角的三角函数，要注意两方面，一是函数名称的变化，二是角的范围的变化，而这正是诱导公式具有的功能．【分析】此题是关于角相等的证明题．一般采用转化的思想方法，即证明它们的同名三角函数值相等且角的范围是在同一单值对应区间．【说明】此类题目也可改为求值题，在确定角的范围时有可能遇到困难，不足以保证角的唯一性，这时要根据各种条件将范围缩小，要掌握这种技能，保证推理的严谨性和计算的准确性．【例10】求满足下列条件的x的取值集合(1)arccos(1-x)≥arccosx(2)arccos(-x)＜2arccosx【分析】要注意两点：定义域和单调性(2)∵arccos(-x)=π-arccosx ∴π-arccosx＜2arccosx。
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(1) sin x 解:
(2) sin x [0,]
解: (3) sin x
处］
解:
3
•胚或 arcs in 或 x
3 .3 arcsin
.3 arcsin
- 3
反三角函数典型例题
例2:求下列反正弦函数值
1 sin( arcs in
)该如何求? 2
4
用反正弦函数值的形式表示下列各式中的
变式：x ［一，］?
2
解:
x [2,]
时，n —x
【°,2]，
sin( n — x) =sinx
= £ • n — x = arcsin —3
，贝U x = n — arcsin —
3
5
5
解: x = arcsin —
3
或 x = n — arcsin —3
5
例1:在下列四个式子中，有意义的为
解：（4）有意
义。
(1) arcs in . 2 ； (2) arcsin _ ； (3) 点评：arcsinx 4 1,1]。
sin( arcs in 2) ； ( 4)
arcsin(sin2)。
(1) arcsin -
2 (2) arcsin0 解：0
(3) arcsin(-)
2
点评:
1
熟练记忆：0,-
2
解：-
6
2，
(4) arcs ini
1的反正弦值。
思考:
(1)sinx £，x [ -,^]
解: .43 x = arcs in
5
变式：x ［0,
]?
⑵ sin x -
4
变式：si nx
2 2 x [—,2 ]
2
解:
.1 arcs in 4
3
解：x [
,2 2
]时，2
-
x [0,2]，
1 sin(
2 n — x) = — sinx
=— 4
2 n — x =
1 山
arcs in ，贝U x = 2 n — arcs in — 点评：当
x ［ 2,
2
］
时，
x arcsina
；而当
处理对应角之三角比值即可。
［舊］，可以将角转化到区间［
形］上，再用诱导公式
练习:
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3
x ［-,］时，求函数y arcsin(cosx)的值域。
例5:求下列函数的反函数 y arcsinx ， x [0,1]
［例6］求下列反三角函数的值： (1) arccos —
⑵ arccos(
2
)= 3
—(两种方法)
2 6
2
4 3 (3) arccos0 + arcta n1 =
⑷
arctan( . 3)=
4
3 1
1 (5) arcs in ( — )+ arccos (— )=-
2
2
2
⑹ arcta n(ta nJ
=
6
6
［例7］用反三角函数值的形式表示下列各式中的
x :
1
1
(1) cosx , x
[0,]
解: x arccos-
3
3
变式：cosx
- ,x [ ,2 ] 解: x
1
2
arccos- 3
3
(2) tanx 2,x
(,)
2 2
解: x arctan( 2) 变式：x (一，一)
解: x
arcta n2
2 2
［例8］ (1)已知arcsinx arcsin(1 x)，求x 的取值范围。
解：当x [4引时t cosx [子 ,1]
，
y arcs in t 为增函数,
4,2]。
解: 变式:
求函数y 2arcs in(5 2x 1，则
sin x arcs in x
2x)的定义域和值域。
x [2,3] , arcsin(5 2x)
解: x [1,1], y [
sin1 - ,sin1
2
2
]
思考：当 (1) y sinx ，x [-^,]
解: y [0,1], x [
,0]且 sin(x
2
arcsiny ，则反函数是f
sin x y ，贝y x
arcs in( y)，
1
(x)
arcsinx ， x [0,1]。
解: y [0,—], x siny ，则反函数是
2
f 1(x)
sin x , x [0,—]。
2
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2
2 2
4
解：由 1 1 x x 1，得—
2 x 1。
(2) arccosx arccos(1 x) 解: (3) arctanx - 解: 3
(4) arccosx - 解：1 由 x x
[例 9 求 y = arcsinx + arctanx 的值域。
3 3 解：T — 1 < x < 1 /•—
< y w
4 4
1x1x1，得 Ox 」。
2
.3
涉及和函数概念，反正弦、反正切函数单调性
［例10］求下列各式的值: sin( arccos ( 解: 设 x arccos( )，贝U cosx 3 tan[ arccos( ) ]
2 6
2 且 x [—,]，贝U sin x
3 2
解: tan &
3) 1 .3 1
(3 1)2
2 1
3 cos (—arccos ) 2 5
解: 设 x arccos 3
, 5 .r . 12 贝U cosx 2
x cos — 2
1 cosx 解: sin [arcta n 12
arcsi n 3] 5
5
设 arctan1f
, .3 arcs in , 5 tan 12
5
sin (
0,
-)
，
12 贝U sin[arctan 5 1 思考：若求arctan- 2 3 arcs in ] sin(
5 1
arctan-的值呢?
3 12 13
5 13
33 65
解: 1
arcta n
1 nt arctan ，贝y tan
tan (0，2)，
■/ tan( )
(0,)，二。