函数零点易错点分析
函数零点问题解答分析与思考
函数零点问题解答分析与思考函数的零点，即函数在坐标系中与x轴交点的横坐标值。
在数学中，求解函数的零点是一个常见的问题，也是解决方程、求解实际问题的重要一环。
在这篇文章中，我们将对函数零点问题进行一些分析与思考，探讨不同类型函数的零点求解方法，以及如何利用零点求解问题。
一、基本概念我们来回顾一下函数的零点的基本概念。
对于一个函数f(x)，其零点即为使得f(x)=0的x值。
通常来说，我们可以通过以下几种方法求解函数的零点：1. 图像法：通过绘制函数的图像，找到函数与x轴的交点；2. 方程法：将函数f(x)化为方程f(x)=0，然后通过解方程求解得到零点；3. 迭代法：利用数值计算方法逼近函数的零点。
这些方法都是常见的零点求解方法，在实际问题中也常常会用到。
下面，我们将结合不同类型的函数，来分析如何利用这些方法求解函数的零点。
二、线性函数的零点求解举个例子来说，我们考虑函数f(x)=2x-3，我们需要求解函数f(x)的零点。
我们可以将函数化为方程2x-3=0，然后通过解方程的方法来求解得到x=3/2。
这样，我们就得到了函数f(x)的零点为x=3/2。
接下来，我们来看一下多项式函数的零点求解。
对于一个n次多项式函数f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0，其中an≠0，我们可以通过多种方法来求解其零点。
我们也可以利用迭代法来逼近多项式函数的零点。
通过不断迭代计算，我们可以逼近多项式函数的零点。
这在计算机科学和数值计算中经常会用到。
四、三角函数和指数函数的零点求解除了线性函数和多项式函数，我们还可以考虑三角函数和指数函数的零点求解。
对于这两类函数，我们通常会采用迭代法来逼近函数的零点。
对于函数f(x)=sin(x)，我们可以通过不断迭代计算，利用泰勒级数展开式来逼近函数的零点。
对于指数函数f(x)=e^x，我们也可以利用迭代法来逼近函数的零点。
五、零点求解在实际问题中的应用我们来思考一下零点求解在实际问题中的应用。
函数零点问题题型与思路分析.doc
“函数零点问题”题型与思路分析浙江张振继一、判断函数/(兀)的零点的个数(或求出函数/(兀)的零点)思路：(1)解方程/(X)= 0 ,求出该方稈的解即可；(2)通过作出幣数y = f(x)的图象，数形结合求解.例1填空：(1)函数/(x) = 2?-3x+l零点的个数为 ______________ ；(2)函数f(x) = x3-2x2-x + 2零点为_____________ ・(3)方程2V = x2根的个数为______ .解：(1)解方程/(X)=2X3-3X+1=0,即(2X3-2)-(3X-3)=0于是，有2(x —1)(无2+兀 + 1)_3(兀一1) = 0,即(X-1)[(2X2+2X-1)=0,由于△ = 22—4x2x(—l)>0,・・・方程(X —1)[(2F+2X —1)=0有三个不同的实数根,故函数f(x) = 2?-3x + l有3个零点.(2)解方程/(兀)=疋一2/—兀+2 = 0,即f(x) = (x3 - 2x2) - (x - 2) = 0,于是,有(兀一2)(兀一1)(兀+1) = 0,解得X, =2, x2 =l,x3 =-1.故函数f(x) = / — 2甘—兀+ 2零点为—1,1, 2.(3)在同一坐标系中分别作出两个函数y = 2\y = x2的图彖，观察两函数图彖有3个交点，经过检验，得方程有3个不同的实根西=2,® =4,禺€(-1,0)・应填3.例2 (1)试探究方程lg(x-1) + lg(3-x) = lg(a- x)(a G R)的实数解的个数.(2)当。
为何值时，方稈\nx + 2x-a = 0在(1,2)内实数解？x — \ > 0,13 解：(1)由] 3-x>0, ^.6Z=-X2+5X-3(1<X<3),由图象可知当亍a —兀=(3 — x)(x — 1).或a<\时无解;当a =—或1VG W3时，方程仅有一个实数解；当3VQV —时，方程有两个实数解. 44(2)原方程可化为lnx + 2x = a，所谓当当。
二次函数常见易错题解析_二次函数易错题
二次函数常见易错题解析_二次函数易错题常见易错题解析二次函数是数学中的重要知识点，也是高中数学课程中常见的考点。
在解题过程中，往往容易出现一些易错的情况。
下面是二次函数常见易错题解析，希望帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
易错点一：求解二次函数的零点时，难以正确计算平方根。
解析：在求解二次函数的零点时，往往需要计算平方根。
但是，由于平方根涉及到较为复杂的计算过程，容易出现计算错误的情况。
为了避免此类错误，我们可以注意以下几个方面：首先，注意根号内部的计算是否正确，特别是针对负数进行开平方根计算时，要注意虚数的概念；其次，在计算过程中可以采用分步骤进行计算，减少出错的可能性；最后，可以借助计算器等工具来进行计算，以提高准确性。
易错点二：对二次函数的图像特征理解不准确。
解析：二次函数的图像特征是学习和掌握二次函数的关键。
在解决二次函数相关问题时，往往需要根据图像特征进行分析和判断，但是很多同学对于图像的凹凸性、顶点位置等特征理解不准确，从而导致答案出错。
因此，在学习和掌握二次函数图像特征时，要注意以下几个方面：首先，要理解凹凸性的概念，搞清楚何时是凹、何时是凸；其次，要能够正确理解和计算顶点的坐标，特别是对于带有负号的情况，要仔细计算；最后，可以利用绘图工具进行练习，加深对图像特征的理解。
易错点三：对二次函数的平移、缩放等变换理解不准确。
解析：二次函数的平移、缩放等变换是解决二次函数相关题目的常见方法。
但是，很多同学对于变换的理解不准确，从而导致计算错误。
为了避免此类错误，我们可以注意以下几个方面：首先，要熟悉常见的变换规律，如平移、缩放等；其次，在计算过程中要仔细区分横坐标和纵坐标的变化情况；最后，可以通过绘图工具进行辅助，帮助理解变换的效果。
易错点四：对应用题中二次函数的建立和求解不准确。
解析：二次函数的应用是数学中的重要内容，也是考试中常见的题型。
但是，在应用题中，往往需要建立二次函数模型，并进行求解。
函数零点的题型归纳与解题技巧
函数零点的题型归纳与解题技巧函数零点是指函数取值为零的点，即f(x)=0的解。
在高中数学、大学数学以及各类数学竞赛中，函数零点常见的题型有很多种，这里我们将从题型归纳与解题技巧两方面进行探讨。
一、题型归纳1. 求解一元函数零点：例如求解f(x) = x^3-2x^2-x+2=0的零点。
2. 求解二元函数零点：例如求解f(x,y) = x^2+y^2-1=0的零点。
3. 求解多项式方程零点：例如求解f(x) = x^3-x^2+2x-2=0的零点。
4. 求解参数方程零点：例如求解x(t) = t^2-t+2，y(t) =t^3-t^2+2t-2，求解当f(x,y)=0时对应的参数t。
5. 利用零点求解函数的性质：例如已知f(x)的零点及其性质，求解f'(x)或f''(x)的零点。
6. 证明存在或不存在零点：例如证明函数f(x)在区间(a,b)上存在唯一零点。
二、解题技巧1. 分类讨论：对于不同的函数类型，采用不同的方法求解零点。
例如线性函数、二次函数、三次函数、对数函数等，都有相应的求解方法。
2. 利用代数方法：通过代数运算，将原方程转化为容易求解的方程。
例如将原方程化为因式分解的形式，利用韦达定理等。
3. 利用几何方法：将方程与几何图形进行关联，求解图形的相交点即为零点。
例如将方程与直线、圆、椭圆、抛物线等几何图形关联起来。
4. 利用数学分析方法：利用微积分知识，如导数、二分法、牛顿法等，求解零点。
例如，求解f'(x)=0的零点，可以找到函数的拐点；二分法则多用于求解逼近零点。
5. 利用数值方法：通过计算机进行数值逼近求解零点。
例如求解非线性方程组零点时，可以采用牛顿法、拟牛顿法等。
6. 利用泰勒展开：对于非常复杂的函数，可以考虑将其在某一点附近进行泰勒展开，将高次函数近似为低次函数（如线性、二次），再求解零点。
7. 利用解析几何方法：通过解析几何知识，求解平面或空间上的几何问题。
函数零点问题解答分析与思考
函数零点问题解答分析与思考函数零点问题是数学中一个常见且重要的问题，它涉及到了函数图像的特征、方程的解、数值计算等多个方面。
在数学学习中，零点问题往往是一个绕不过去的坎，因此对于零点问题的解答分析与思考具有重要的意义。
本文将围绕函数零点问题展开讨论，分析其解答方法和思考路径，帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
一、函数零点的定义我们来看一下函数零点的定义。
在数学中，函数的零点指的是函数取零值的自变量的值。
也就是说，对于函数f(x)，如果存在一个值x0，使得f(x0)=0，那么我们就说x0是函数f(x)的一个零点。
函数的零点在函数图像上对应的便是函数与x轴的交点，它是函数的一个重要特征。
二、零点问题的解答方法1. 代数法：对于一些简单的函数，我们可以通过代数方法求解其零点。
比如一元一次函数f(x)=ax+b，其零点就可以通过求解方程ax+b=0来得到，结果为x=-b/a。
对于一元二次函数f(x)=ax^2+bx+c，我们可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0来得到其零点，当然这需要使用一些二次方程的求解方法。
2. 图像法：对于一些复杂的函数，我们可以通过画出函数的图像来寻找其零点。
通过观察函数的图像，我们可以大致找到函数的零点所在的区间，并进一步使用数值计算方法来精确求解。
3. 数值计算法：对于一些难以用代数法或图像法求解的函数，我们可以借助数值计算方法来获取函数的零点。
比如二分法、牛顿迭代法等都可以用来求解函数的零点，这些方法在计算机程序中也得到了广泛的应用。
以上提到的几种方法是我们在解答零点问题时常用到的方法，每种方法都有其适用的范围和局限性，需要根据具体的函数和问题来选择合适的方法。
三、零点问题的思考路径除了使用合适的方法来解答零点问题，我们在面对零点问题时还需要进行一些思考和分析。
下面就是一些解答零点问题时的思考路径：1. 函数的特征：首先我们需要了解函数的特征，比如函数的单调性、凹凸性、导数的符号等。
函数零点问题解答分析与思考
函数零点问题解答分析与思考函数零点问题是数学中的一个重要课题，它涉及到函数的根和解的问题。
在数学分析中，函数的零点是指函数在某一点上取得零值的地方，也就是函数图象与x轴相交的点。
这个问题在实际应用中有着广泛的应用，比如用来求解方程、优化问题、以及计算函数的性质等等。
我们来看一下什么是函数的零点。
对于函数f(x)，如果存在一个数a，使得f(a)=0，那么a就是函数f(x)的一个零点。
在函数的图象上，这个零点就是图象与x轴相交的点，也就是函数在这个点上取得零值。
函数的零点是函数图象的一个重要特征，它反映了函数在哪些点上取得零值，从而可以帮助我们了解函数的性质和行为。
接下来，我们来看一下函数零点问题的解答方法。
对于一般的函数，求解函数的零点通常可以通过化简、代数运算、图象分析等方法来进行。
比如对于一元一次函数，可以直接通过方程f(x)=0来求解；对于一元二次函数，可以通过配方法、求根公式等方法来求解；对于高阶函数，则需要借助图象、导数、积分等工具来进行分析。
对于复杂的函数，还可以借助数值计算的方法来求解函数的零点，比如二分法、牛顿法、割线法等等。
在实际应用中，函数的零点问题常常会涉及到方程、不等式、优化、以及其他数学问题。
比如在物理中，对于一些力学和运动问题，常常需要求解一些关于时间和位移的方程，而这些方程往往会涉及到函数的零点；在经济学中，对于一些生产和消费问题，也会涉及到利润最大化和成本最小化等优化问题，而这些问题也往往需要求解函数的零点。
函数零点问题在实际应用中有着广泛的应用。
我们来分析一下函数零点问题在数学研究中的意义。
函数的零点不仅仅是一个简单的数学概念，它还具有深刻的数学内涵和丰富的数学含义。
在数学分析中，函数的零点反映了函数的根和解的性质，它是函数的重要特征之一。
通过研究函数的零点，我们可以了解函数的性质、行为和变化规律，从而可以更深入地理解函数的各种特性。
函数的零点还可以帮助我们求解方程、不等式、优化问题等数学问题，从而为数学研究和实际应用提供了重要的工具和方法。
函数零点问题解答分析与思考
函数零点问题解答分析与思考1. 引言1.1 引言概述函数零点问题是数学中一个经典且重要的课题，它在各个领域都有着广泛的应用。
简而言之，函数零点问题指的是找出函数在何处取零值的问题。
当一个函数取零值时，我们称这个点为函数的零点。
在实际应用中，函数零点常常对应着一些关键的信息或者特殊的情况，因此对函数零点的求解和分析至关重要。
本文将从数学的角度对函数零点问题进行深入探讨，探讨什么是函数零点问题，如何求解函数的零点，以及常见的求解方法和技巧。
我们将介绍包括数值逼近法和图形法在内的多种解题方法，并对这些方法进行详细的解析和比较。
我们还将总结一些思考和未来的展望，展望函数零点问题在未来的发展方向和应用领域。
通过本文的阐述，读者将能够全面了解函数零点问题的本质和重要性，同时掌握多种解题方法和技巧，从而更好地应对和解决实际问题中的函数零点求解挑战。
让我们一起深入研究函数零点问题，挖掘其中的数学奥秘和实用价值。
2. 正文2.1 什么是函数零点问题函数零点问题是指在代数学中，求解函数在横轴上的交点，也就是函数取零值的点。
在实际问题中，函数的零点往往对应着方程的根，解决函数零点问题可以帮助我们求解方程的根，并进一步解决实际问题。
函数的零点可以是一个或多个，也可以是实数或复数。
为了找到函数的零点，我们需要先确定函数的表达式，然后找到函数的解析解或数值解。
解决函数零点问题的关键在于找到使得函数取零值的自变量的取值。
在实际问题中，函数零点问题广泛应用于数学、物理、工程等领域。
比如在物理学中，求解物体的运动方程中的零点可以帮助我们找到物体的位置和速度。
在工程中，求解方程的根可以帮助我们设计合适的控制系统。
函数零点问题是一个重要且有意义的问题，我们可以通过不同方法和技巧来解决这一问题，为实际问题的求解提供帮助。
2.2 如何求解函数零点如何求解函数零点是一个关键问题，通常通过数学方法来解决。
下面我们将介绍一些常见的方法和技巧：1. 方程法：通过将函数转化为等式，然后解方程来求解函数的零点。
易错点5误认为函数的极值点就是导数的零点
易错点5 误认为函数的极值点就是导数的零点1.“极值”:若在点x a =附近的左侧()0f x ¢<，右侧()0 f x ¢>，则a 称为函数()y f x =的极小值点，()f a 称为函数()y f x =的极小值；若在点x b =附近的左侧()0f x ¢>，右侧()0f x ¢<，则b 称为函数()y f x =的极大值点，()f b 称为函数()y f x =的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2.“导数为0”：若()f x 可导，且()00x y f x x =是的极值，则是()0f x ¢=的解；若0x 是()0f x ¢=的解，()0x y f x =不一定是的极值点； 两侧一定要异号.3.易错点：解题时求得导数为0，就认为是极值点，从而造成错误.典例1 已知函数()3223f x x ax bx a =+++在=1x -处有极值0，则()1f ¢=（ ）A ．6B ．12C ．24D ．12或24审题：根据函数()3223f x x ax bx a =+++在=1x -处有极值0，结合极值的定义可得两个关系，解出方程组即可求出a 、b ，但一定要检验，这是易错点.解析：由()3223f x x ax bx a =+++，得()236f x x ax b ¢=++．因为()f x 在=1x -处有极值0，所以()()10,10,f f ì-=-=¢ïíïî即2130,360,a b a a b ì-+-+=í-+=î解得1,3a b =ìí=î或2,9.a b =ìí=î【避陷阱】导数值为零的点不一定是极值点，例如，函数()()3,00f x x f ¢==，但是0不是函数()f x 的极值点，对于可导函数来说，()00f x ¢=是0x 为函数极值点的必要不充分条件，因此要进行检验当1,3a b =ìí=î时，()223633(1)0f x x x x ¢=++=+³，则()f x 在R 上单调递增，函数无极值，舍去．当2,9a b =ìí=î时，()23129f x x x ¢=++，令()0f x ¢=，得=1x -或3x =-，经检验=1x -和3x =-都为函数的极值点．综上，2,9,a b =ìí=î所以()13624f a b =++=¢．故选C ．典例2 （2024江苏镇江9月诊断性考试）若函数()221()ln 02x f x a x a x x-=+-¹既有极大值也有极小值，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,3C ．()()0,19,È+¥D ．()()0,39,+¥U 审题：函数问题首先要考虑定义域，这是前提，题中要求函数()221()ln 02x f x a x a x x-=+-¹既有极大值也有极小值，说明其导数要经历由正到负、由负到正的过程，讲问题转化为二次函数根的分布形式.解析 由题意知函数()f x 的定义域为()0,¥+，()22332121-+¢=-+=a ax x f x x x x x 【补漏洞】解函数问题要有定义域优先意识，尤其是解析式含分式、根号、对数等形式时由题意知函数()f x ¢有2个大于0的变号零点，即关于x 的二次方程2210ax x -+=有两个不相等的正根，设为12,x x ，【补盲点】将函数既有极大值也有极小值转化为导函数对应的方程有两个不等正根即可解决问题则1212Δ440,20,10,a x x a x x a ìï=->ïï+=>íïï×=>ïî解得01a <<，即a 的取值范围为()0,1．故选A ．典例3 （2024安徽滁州10月检测）已知()e ln xa f x x x x=+-有2个极小值点，则（ ）A ．1e a ³ B ．10e a << C ．e a £ D ．ea ³审题：别忘了函数首先要考虑定义域，根据题中()e ln xa f x x x x =+-有2个极小值点，转化为导数有三个零点，对a 的讨论是本题的重点和难点.解析：由题意知函数()f x 的定义域为()0,¥+，()()()()2222e 1e 1e e 1e 11e e x x x x x x x a x x x x x f x a x a x x x x x ---æö=×+-=-=--çè¢÷ø．由连续函数()f x 有2个极小值点知()f x ¢有3个大于0的变号零点，从而e xxy a =-有2个大于0的变号零点，且零点不为1，从而0a >且1ea ¹．【避陷阱】切勿将函数存在2个极小值点简单转化为导函数有2个零点，结合函数图象的变化趋势，将函数的极值点转化为导函数的变号零点，进而转化为函数e xxy a =-在()0,¥+上的变号零点，注意其零点不能为1x =当0a >且1e a ¹时，令()(),0,e x x g x x =Î+¥，则()()2e e 1e e x x x x x x g x --==¢，令()0g x ¢=，得1x =，所以当()0,1x Î时，()()0,g x g x ¢>单调递增，当()1,x Î+¥时，()()0,g x g x ¢<单调递减，则()max 1()1eg x g ==，易知()0g x >，且当x ®+¥时，()0g x ®．作出函数()g x 的大致图象，如图所示，结合图象可知，当10e a <<时，函数()g x 的图象与直线y a =有2个交点，满足函数ex x y a =-有2个大于0的零点，且零点不为1．若10ea <<，则存在()()0,1,1,m n ÎÎ+¥，使得()()g m g n a ==，即()()0f m f n ¢¢==，所以当()0,x m Î时，()()10,0,0,e xxx a f x f x -<-><¢单调递减，当(),1x m Î时，10x -<，()()0,0,e xxa f x f x ¢-<>单调递增，当()1,x n Î时，()()10,0,0,e xxx a f x f x ->-<<¢单调递减，当(),x n Î+¥时，()()10,0,0,ex xx a f x f x ->->>¢单调递增，所以当10ea <<时，()f x 有2个极小值点，符合题意．【补盲点】由函数e xxy a =-有2个大于0的零点，且零点不为1只能得到函数()f x 存在3个极值点，但并不能保证其存在2个极小值点，故需检验综上所述，当10ea <<时，()f x 有2个极小值点．故选B ．（23-24高三上·天津滨海新·期中）1．函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极小值3-，则b a -的值等于（ ）A ．0B ．2-C ．4-D ．6（2024·辽宁葫芦岛·一模）2．已知函数2()e x f x ax =-在R 上无极值，则a 的取值范围是（ ）A ．e ,2æù-¥çúèûB ．e ,2æö-¥ç÷èøC ．[0,e)D ．e 0,2éùêúëû（2024·河北承德·二模）3．设a 为实数，若函数()32133f x x ax =-+在1x =处取得极小值，则=a （ ）A ．1B ．12C ．0D ．1-（23-24高三下·江苏连云港·期中）4．若函数()e x f x ax =-有大于零的极值点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．ea <B ．1ea <<C ．1a >D ．01a <<（23-24高三下·广东潮州·期中）5．已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为()f x ¢，如图是函数()y xf x =¢的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的增区间是()()2,0,2,¥-+B ．函数()f x 的减区间是()(),2,2,¥¥--+C ．2x =-是函数的极小值点D ．2x =是函数的极小值点（23-24高三下·安徽芜湖·期中）6．如图所示为函数()f x 的图象，()f x ¢是()f x 的导函数，12x =和2x =分别为极大值点和极小值点，则不等式()023f x x <-¢的解集为 ．（2024·陕西铜川·三模）7．若函数()2ln xf x ax x=+有两个极值点，则实数a 的取值范围为 .（2024高三·全国·专题练习）8．已知函数2()e x f x ax x =--，()f x ¢为()f x 的导数.(1)讨论()f x ¢的单调性；(2)若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围．参考答案：1．A【分析】对函数求导，利用()13f =-以及()10f ¢=解出,a b ，进而得出答案．【详解】由题意得()21222f x x ax b ¢=--，因为在1x =处有极小值3-，所以()()11222014223f a b f a b ì=--=ïí=--+=-¢ïî，解得3,3a b ==，所以()()()212666211f x x x x x ¢=--=+-，令()()()02110f x x x ¢>Þ+->，解得1x >或12x <-，故函数()f x 在()1,+¥和1,2æö-¥-ç÷èø上为增函数，令()()()02110f x x x ¢<Þ+-<，解得112x -<<，故函数()f x 在1,12æö-ç÷èø上为减函数，所以()f x 在1x =处有极小值，符合题意，所以0b a -=，故选：A.2．D【分析】求导数确定单调性，讨论x 的取值范围可得结果.【详解】由题意得，()e 2x f x ax ¢=-，故()010f ¢=＞，因为函数2()e x f x ax =-在R 上无极值，所以()0f x ¢³在R 上恒成立，当x ＞0时，e 2xa x£，设()e 2x g x x =，则()()221e2e 2e 42xx x x x g x x x --=¢=，当01x ＜＜时，得()0g x ¢＜，当1x ＞时，得()0g x ¢＞，则()g x 在()0,1上单调递减，在()1,¥+上单调递增，从而()()e12g x g ¢=¢³，故2e a £，当0x ＜时，e 02xx＜，则0a ³.综上，e 02a ££.故选：D.3．B【分析】求出函数的导数，根据极值点求出a 的值，然后根据极值的概念检验即得．【详解】由题可得2()2(2)f x x ax x x a ¢=-=-，令()0f x ¢=，解得；0x =或2x a =，因为函数()32133f x x ax =-+在1x =处取得极小值，所以21a =，即12a =，当12a =时，()()1f x x x ¢=-，()00¢>Þ<f x x 或1x >，()001f x x <Þ<<¢所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在(,0),(1,)-¥+¥上单调递增，满足题意.故选：B.4．C【分析】求导0a £和0a >讨论，当0a >时求出极值点，根据极值点大于零求解可得.【详解】()e ¢=-x f x a（1）0a £时，()e 0x f x a ¢=->，()f x 在定义域上单调递增，不满足题意；（2）0a >时，令()e 0x f x a ¢=-=得ln x a =，当ln x a <时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；当ln x a >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增.所以，当ln x a =时，()f x 取得极小值，由题知ln 0a >，解得1a >.综上，实数a 的取值范围为1a >.故选：C 5．D【分析】由已知易得()f x 的单调区间，进而可判断()f x 在2x =时取得极小值，在2x =-时取得极大值，可得结论.【详解】由图及题设，当02x <<时，()0f x ¢<；当()2,0x f x ¢>>；当20x -<<时，()0f x ¢<；当<2x -时，()0f x ¢>；即函数()f x 在(),2¥--和()2,¥+上单调递增，在()2,2-上单调递减，因此函数()f x 在2x =时取得极小值，在2x =-时取得极大值；故A ，B ，C 错，D 正确.故选：D.6．13,,222æöæö-¥ç÷ç÷èøèøU 【分析】根据函数的图象和题设条件，得到()0f x ¢<和()0f x ¢>的解，结合所求不等式，分类求解即得.【详解】由题意，结合函数()f x 的图象，可知由()0f x ¢>可得12x <或2x >，由()0f x ¢<可得122x <<.而()023f x x ¢<-(23)()0x f x ¢Û-<，由230()0x f x -><¢ìíî可得230122x x ->ìïí<<ïî，解得322x <<；由230()0x f x -<>¢ìíî可得230122x x x -<ìïíïî或，解得12x <.综上可得，不等式()023f x x ¢<-的解集为13,,222æöæö-¥ç÷ç÷èøèøU .故答案为：13,,222æöæö-¥ç÷ç÷èøèøU .7．410,6e æöç÷èø【分析】将导数方程参变分离，转化为()3ln 12x g x x -=与y a=由两个交点的问题，利用导数讨论()g x 的单调性，观察变化趋势，作出草图，由图象即可得解.【详解】()f x 的定义域为()0,¥+，()21ln 2xf x ax x -=+¢，令()0f x ¢=，得3ln 12x a x -=.令()3ln 12x g x x -=，则()443ln 2x g x x -¢=.令()00g x ¢=，则03ln 4x =，即04ln 3x =，即340e x =.当00x x <<时，()()0,g x g x ¢>单调递增；当0x x >时，()()0,g x g x ¢<单调递减.()0max0344041ln 113()22e 6e x g x g x x --\====，又当x 趋近于0时，()g x 趋近于-¥；当x 趋近于+¥时，()g x 趋近于0，作出()g x 的草图如图，由图可知，当4106e a <<时，方程3ln 12x a x -=有两个正根，从而函数()f x 有两个极值点.【点睛】思路点睛：关于函数零点个数求参数问题，通常参变分离，转化为两个函数图象相交问题，借助导数研究函数单调性，作出草图即可得解，其中需要注意观察函数的变化趋势.8．(1)答案见解析(2)12a >【分析】（1）令()()g x f x ¢=，求出导函数，再分0a £和0a >两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）结合（1）分0a £、102a <<、12a =、12a >四种情况讨论，判断()f x 的单调性，即可确定极值点，从而得解；【详解】（1）由题知()e 21x f x ax =--¢，令()()21x g x f x ax =-¢=-e ，则()e 2xg x a ¢=-，答案第5页，共5页当0a £时，()0,()g x f x ¢¢>在区间(),-¥+¥单调递增，当0a >时，令()0g x ¢=，解得ln2=x a ，当(),ln2x a ¥Î-时，()0g x ¢<，当()ln2,x a Î+¥时，()0g x ¢>，∴()f x ¢在区间(),ln2a -¥上单调递减，在区间()ln2,a +¥上单调递增，综上所述，当0a £时，()f x ¢在区间(),-¥+¥上单调递增；当0a >时，()f x ¢在区间(),ln2a -¥上单调递减，在区间()ln2,a +¥上单调递增．（2）当0a £时，()00f ¢=，由（1）知，当(),0x Î-¥时，()()0,f x f x ¢<在(),0¥-上单调递减；当()0,x Î+¥时，()()0,f x f x ¢>在()0,¥+上单调递增；∴0x =是函数()f x 的极小值点，不符合题意；当102a <<时，ln20a <，且()00f ¢=，由（1）知，当()ln2,0x a Î时，()()0,f x f x ¢<在()ln2,0a 上单调递减；当()0,x Î+¥时，()()0,f x f x ¢>在()0,¥+上单调递增；∴0x =是函数()f x 的极小值点，不符合题意；当12a =时，ln20a =，则当(),x Î-¥+¥时，()()0,f x f x ¢³在(),-¥+¥上单调递增，∴()f x 无极值点，不合题意；当12a >时，ln20a >，且()00f ¢=；当(),0x Î-¥时，()()0,f x f x ¢>在(),0¥-上单调递增；当()0,ln2Îx a 时，()()0,f x f x ¢<在()0,ln2a 上单调递减；∴0x =是函数()f x 的极大值点，符合题意；综上所述，a 的取值范围是12a >．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数零点易错点分析
【摘要】函数的零点是函数图象的一个重要的特征，同时也沟通了函数、方程、不等式以及算法等内容，在分析解题思路、探求解题方法中起着重要的作用，因此要重视对函数零点的学习文章就函数的零点判定中的几个误区进行剖析，希望对大家有所帮助。
【关键词】函数零点函数图象零点判定剖析
函数的零点是函数图象的一个重要的特征，同时也沟通了函数、方程、不等式以及算法等内容，在分析解题思路、探求解题方法中起着重要的作用，因此要重视对函数零点的学习。
下面就函数的零点判定中的几个误区进行剖析，希望对大家有所帮助。
1．因“望文生义”而致误
错解剖析：错误的原因是没有理解零点的概念，“望文生义”，认为零点就是一个点。
而函数的零点是一个实数，即使f(x)=0成立的实数x，也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。
正解：由f(x)=x2-3x+2=0得，x＝１和２，所以选Ｄ．
点拨：求函数的零点有两个方法：⑴代数法：求方程f(x)=0的实数根；⑵几何法：由公式不能直接求得，可以将它与函数的图象联系起来，函数的图象与轴交点的横坐标，
即是所求。
2．因函数的图象不连续而致误
错解剖析：分析函数的有关问题首先考虑定义域，其次考虑函数f(x)=x+ 1 x 的图象是不是连续的，这里的函数图像是不连续的，所以不能用零点判定定理。
正解：函数的定义域为：(+∞,0)∪（0，+∞），当x＞0时，f(x)＞0，当x ＜0时，f(x)＜0所以函数没有零点。
也可由x+ 1 x得x2+1=0方程无实数解。
点拨：对函数零点个数的判定，可以利用零点存在性定理来判定，涉及多个零点的往往借助于函数的单调性。
若函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)＜0 ,则在区间(a,b) 内，函数f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间(a,b) 至少有一个实数解。
然而对于函数的f(x)，若满足f(a)f(b)＜0 ，则f(x) 在区间［a,b］内不一定有零
点；反之，f(x)在区间［a,b］内有零点也不一定有f(a)f(b)＜0．前者是因为图象不连续，后者是因为方程有重根。
如下图所示：
3．因函数值同号而致误
例３．判定函数f(x)=|2x|-3在区间［-1,1］内是否有零点。
错解：因为f(-1)=f(1)=-1，所以f(-1)f(1)＞0 ，函数f(x)=|2x|-3在区间［-1,1］内没有零点。
错解剖析：上述做法错误地用了函数零点判定定理，因为函数f(x)在区间［a,b］上的函数图像是连续曲线，且f(a)f(b)＞0 ，也可能在［a,b］内有零点。
如函数g(x)=|2x|-1在区间［-1,1］上有g(-1)g(1)＞0 ，但在［-1，1］内有零点x=± 1 2．
正解：当x∈［-1，1］时，f(x)=|2x|-3≤-1，函数y=f(x) 在［-1,1］上的图象与x轴没有交点，即函数f(x)=|2x| -3在区间［-1,1］内没有零点。
法二：由|2x|-3=0 得x=± 3 2
点拨：对有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号。
如函数y=(x-1) 2 有零点１，（如上图）但函数值没变号。
对函
数零点的判定一定要抓住两点：①函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续曲线；②在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)＜0．
4．因忽略区间端点而致误
例４．已知二次函数f(x)=x2-(m-1)x+2m 在［0,1］上有且只有一个零点，求实数m的取值范围。
错解：由函数的零点的性质得f(0)f(1)＜0，即2m(m+2)＜0 ，解得-2＜m＜0 ．
所以实数m的取值范围为(-2,0) ．
错解剖析：错解的原因是只注意到函数零点的应用，而忽略问题的其它形式：①在［0,1］上有二重根；②终点的函数值可能为０．
正解：⑴当方程x2-(m-1)x+2m=0在［0,1］上有两个相等实根时，△
=(m-1)2-8m=0且0＜m-1 2 ＜1 ，此时无解。
⑵当方程x2-(m-1)x+2m=0有两个不相等的实根时，
①有且只有一根在［0,1］上时，有f(0)f(1)＜0 ，即2m(m+2)＜0 ，解得-2＜m＜0
②当f(0)=0时，m＝０，f(x)=x2+x=0 ，解得x1=0 ，x2=-1,合题意。
③当f(1)=0时，m=-2 ，方程可化为x2+3x-4=0，解得x1=1,x2=-4 合题意。
综上所述，实数的取值范围为［-2,0］．
点拨：在求参数时，要注意将函数零点的特殊性质与函数的有关性质相结合，进行分类讨论使复杂的问题简单化。