二次函数易错点剖析

二次函数常见错解示例
一、忽略二次项系数不等于0
例1已知二次函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围 是（ ）
（A ）k ＜3 (B) k ＜3 且k ≠0 (C) k ≤3 (D) k ≤3 且k ≠0 错解:选C.由题意,得△=()2
6-－4 k ×3≥0,解得k ≤3,故选C.
错解分析:当k =0时,二次项系数为0,此时原函数不是二次函数.欲求k 的取值范围,须同时满足:①函数是二次函数;②图象与x 轴有交点,上面的解法只注重了△≥0而忽略了二次项系数不等于0的条件.
正解: 选D.由题意,得△=()26-－4 k ×3≥0且k ≠0,即k ≤3 且k ≠0,故应选D.
二、忽略隐含条件
例2如图,已知二次函数2y x bx c =++的图象与y 轴交于点A, 与x 轴正半轴交于B,C 两点,且BC ＝2,ABC S ∆ ＝3,则b 的值为( )
（A ）-5 (B)4或-4 (C) 4 (D)-4
错解: 选B.依题意BC ＝2,ABC S ∆ ＝3,得点A(0,3),即c ＝3.又BC ＝2,得方程
2
0x bx c ++=的两根之差为2,221212
2b b b b -+-----=,解得b =±4.故选B. 错解分析:上面的解法忽略了“抛物线的对称轴x ＝-2
b
在y 轴的右侧”这一隐含条件,正确的解法应是同时考虑-2
b ＞0,得b ＜0,∴b =4应舍去,故应选D.
正解: 选D.
例3 若y关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值是多少？
错解：因为函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个交点，而其中与y轴有一个交点(0,a)，则与x轴就只有一个交点，所以关于x的一元二次方程y=(a-2)x2-(2a-1)x+a有两个相等的实数根，所以判别式
[-(2a-1)]2-4×(a-2)a=0，解得a=-1
4
.
错解分析：本题关于函数的描述是“y关于x的函数”，并没有指明是二次函数，所以需要分“y关于x的一次函数”和“y关于x的二次函数”两种情况进行讨论.
正解：当函数y是关于x的一次函数时，a=2,函数的解析式为y=-3x+2，函
数图象与y轴的交点坐标为(0,2)，与x轴的交点坐标为(2
3
,0).所以a=2符合题意.
当函数y是关于x的二次函数时，函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与y轴有一个交点(0,a)，与坐标轴共有两个交点，所以与x轴只有一个交点，则关于x的一元二次方程y=(a-2)x2-(2a-1)x+a有两个相等的实数根，所以判别式
△=[-(2a-1)]2-4×(a-2)a=0，解得a=-1
4
.
而当a=0时，与y轴的交点为原点，此时，y=-2x2+x与x轴还有一个交点
(1
2
,0).
综上可得a=2或a=0或a=-1
4
.
三、忽略数形结合思想方法的应用
例4 求二次函数y=2x+4x+5(-3≤x≤0)的最大值和最小值.
错解:当x=-3时,y=2; 当x=0时,y=5;所以，-3≤x≤0时,y
最小=2,y
最大
=5.
错解分析:上面的解法错在忽略了数形结合思想方法的应用,误以为端点的值就是这段函数的最值.解决此类问题,画出函数图象,借助图象的直观性求解
即可.
正解:∵y =2x +4x +5=()2
+2x +1,∴对称轴是直线x =-2,顶点坐标是(-2,1),画出大致的图象,如图是抛物线位于-3≤x ≤0的一段,显然图象上最高点是C,最低点是顶点B 而不是端点A,所以当-3≤x ≤0时, y 最大值为5, y 最小值为1.
图2
四、求顶点坐标时混淆符号
例5 求二次函数y =-x 2+2x -2的顶点坐标. 错解1 用配方法
y =-x 2+2x -2=-(x 2-2x )-2
=-(x 2-2x +1-1)-2
=-(x 2-2x +1) -1=-(x -1) 2 -1
所以二次函数y =-x 2+2x -2的顶点坐标为(-1,-1).
错解2 用公式法 在二次函数y =-x 2+2x -2中，a =-1，b =2，c =-2，
则2
122(1)
b a =
=-⨯-，22424(1)(2)142(1)b ac a --⨯-⨯-==⨯- 所以二次函数y =-x 2+2x -2的顶点坐标为(-1,1).
错解分析：二次函数y =a (x -h )2+k 的顶点坐标为(h ,k ),即横坐标与配方后完全平方式中的常数项互为相反数，而非相等，也就是说不是(-h ,k ).二次函数
y =ax 2
+bx +c (a ≠0)的顶点坐标为(-2b a
,244b ac
a -)，横坐标前面带“-”，纵坐标的
分子为4ac -b 2,不要与一元二次方程根的判别式b 2-4ac 混淆.另外，把一般式转化为顶点式，常用配方法，如果二次项系数是1，则常数项为一次项系数一半的
平方；如果二次项系数不是1，则先提出二次项系数（注意：不能像解方程一样把二次项系数消去），使括号中的二次项系数变为1，再对括号中进行配方.
正解：（1）用配方法
y =-x 2+2x -2=-(x -1) 2 -1
所以二次函数y =-x 2+2x -2的顶点坐标为(1,-1).
（2）用公式法 -2
122(1)
b a =-
=⨯-，2244(1)(2)2142(1)ac b a -⨯-⨯--==-⨯- 所以二次函数y =-x 2+2x -2的顶点坐标为(1,-1). 五、忽视根的判别式的作用
例6 已知抛物线y =-12
x 2
)x +m -3与x 轴有两个交点A ，B ，且A ，B 关于y 轴对称，求此抛物线解析式.
错解：因为A 与B 关于y 轴对称，所以抛物线对称轴为y 轴，即直线
x
=-60122()2
b a -=-
=⨯-. 解得m =6或m =-6.
当m =6时，方程抛物线解析式为y =-12
x 2+3.
错解分析：抛物线与x 轴有两个交点为A ，B ，等价于：相应的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以b 2-4ac >0.如果忽视根的判别式在解题中的作用，就不能排除不符合题意的解，扩大了解的范围，导致错误.
正解：因为A 与B 关于y 轴对称，所以抛物线对称轴为y 轴，即直线
x=-2b
a
02()2
=⨯- ，解得m =6,或者m =-6. 当m =6时，抛物线解析式为y =-12
x 2+3.
此时，b 2-4ac =02-4×(-12)×3=6>0，方程-12
x 2+3=0有两个不相等的实数根，
抛物线y=-1
2
x2+3与x轴有两个交点，符合题意.
当m=-6时，方程抛物线解析式为y=-1
2
x2-9.此时，b2-4ac=02-4×
(-1
2)×(-9)=-18<0，方程-1
2
x2-9=0没有实数根，抛物线y=-1
2
x2-9与x轴有两
个交点，不符合题意，舍去.
因此所求抛物线解析式为y=-1
2
x2+3.。