函数的易错点分析
中考数学易错题系列解决二次函数与一元二次方程中的常见错误
中考数学易错题系列解决二次函数与一元二次方程中的常见错误在中考数学考试中，二次函数与一元二次方程是一个重要的知识点，也是学生易犯错误的地方。
为了帮助同学们更好地掌握这部分内容并避免错误，本文将针对二次函数与一元二次方程的常见错误进行解析和解决方案，希望能为同学们在中考数学中的备考提供帮助。
一、二次函数中的常见错误及解决方法1.错误：对二次函数的顶点和轴线的理解不准确。
二次函数的一般形式为f(x)=ax²+bx+c，其中二次项的系数a不为零。
顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)），轴线方程为x=-b/2a。
很多同学在计算顶点时，容易弄错符号或漏掉除以2a的步骤，导致计算结果出现错误。
解决方法：在计算顶点坐标时，要注意对符号和运算的准确性。
如此题f(x)=2x²+4x+3，则计算顶点坐标的步骤为：x=-4/(2×2)=-1，代入函数得f(-1)=2×(-1)²+4×(-1)+3=1-4+3=0，所以顶点坐标为（-1，0）。
2.错误：对二次函数的图像特征理解不准确，如开口朝上还是朝下、图像与x轴的交点等。
二次函数的开口方向由二次项的系数a的正负确定，开口朝上（a>0）或朝下（a<0）；图像与x轴的交点对应于方程f(x)=0的解，即求解一元二次方程的根。
解决方法：首先要理解二次函数图像的开口方向是由二次项的系数决定的。
例如f(x)=3x²-2x+1，由于a=3>0，所以图像开口朝上。
其次，在求解交点时，要将二次函数转化为一元二次方程，并应用求根公式或配方法求解。
典型案例：已知二次函数f(x)=x²-4x+3，求解方程f(x)=0的解。
解：将f(x)=0代入二次函数得x²-4x+3=0，该方程为一元二次方程，可以使用因式分解或求根公式求解。
方法一：因式分解法根据观察，可以将方程对应的二次函数写成(x-3)(x-1)=0的形式，再分别令两个因式为零，即得到方程的解为x=3和x=1。
二次函数常见易错题解析_二次函数易错题
二次函数常见易错题解析_二次函数易错题常见易错题解析二次函数是数学中的重要知识点，也是高中数学课程中常见的考点。
在解题过程中，往往容易出现一些易错的情况。
下面是二次函数常见易错题解析，希望帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
易错点一：求解二次函数的零点时，难以正确计算平方根。
解析：在求解二次函数的零点时，往往需要计算平方根。
但是，由于平方根涉及到较为复杂的计算过程，容易出现计算错误的情况。
为了避免此类错误，我们可以注意以下几个方面：首先，注意根号内部的计算是否正确，特别是针对负数进行开平方根计算时，要注意虚数的概念；其次，在计算过程中可以采用分步骤进行计算，减少出错的可能性；最后，可以借助计算器等工具来进行计算，以提高准确性。
易错点二：对二次函数的图像特征理解不准确。
解析：二次函数的图像特征是学习和掌握二次函数的关键。
在解决二次函数相关问题时，往往需要根据图像特征进行分析和判断，但是很多同学对于图像的凹凸性、顶点位置等特征理解不准确，从而导致答案出错。
因此，在学习和掌握二次函数图像特征时，要注意以下几个方面：首先，要理解凹凸性的概念，搞清楚何时是凹、何时是凸；其次，要能够正确理解和计算顶点的坐标，特别是对于带有负号的情况，要仔细计算；最后，可以利用绘图工具进行练习，加深对图像特征的理解。
易错点三：对二次函数的平移、缩放等变换理解不准确。
解析：二次函数的平移、缩放等变换是解决二次函数相关题目的常见方法。
但是，很多同学对于变换的理解不准确，从而导致计算错误。
为了避免此类错误，我们可以注意以下几个方面：首先，要熟悉常见的变换规律，如平移、缩放等；其次，在计算过程中要仔细区分横坐标和纵坐标的变化情况；最后，可以通过绘图工具进行辅助，帮助理解变换的效果。
易错点四：对应用题中二次函数的建立和求解不准确。
解析：二次函数的应用是数学中的重要内容，也是考试中常见的题型。
但是，在应用题中，往往需要建立二次函数模型，并进行求解。
高二数学学习中常见的易错点分析
高二数学学习中常见的易错点分析数学作为一门理科学科，对于高中生来说，是一门既重要又难以掌握的学科。
在高二阶段，学生们将进一步深入学习数学，掌握更为复杂的概念和技巧。
然而，由于抽象性、逻辑性以及复杂性等特点，高二数学中常常出现一些难以理解和易错的知识点。
本文将对高二数学学习中常见的易错点进行分析，并提供相应的解决方法。
1. 函数的概念和性质函数作为高中数学的基础，是整个数学学习的重点之一。
其中，函数的定义、定义域、值域和图像是学生们容易混淆的概念。
常常出现的错误有：没有准确给出函数的定义，混淆定义域和值域，错误地绘制函数的图像等。
解决这些问题的方法是要求学生弄清楚函数的定义，理解定义域和值域的概念，并通过大量的练习加深对函数图像的认识。
2. 三角函数及其应用高二数学中的另一个重要内容是三角函数及其应用。
学生们常常在求解三角函数的正弦、余弦和正切值时出现错误，特别是在角度的弧度制和度数制之间转换时容易混淆。
此外，在解三角方程时，学生们也容易忽略基本解和一般解之间的联系，从而导致错误的答案。
为避免这些错误，学生们需要理解三角函数的定义和性质，熟练掌握角度的弧度制和度数制的转换规则，并通过反复练习提高解三角方程的能力。
3. 导数与极值问题微积分在高二数学中是一个重要的部分，涉及到导数与极值问题。
学生们常常在求导时出现规则运用错误、计算失误或符号混淆等问题。
同时，在极值问题中，学生们容易忽略关键条件或未进行全面的讨论。
为了避免这些错误，学生们需要熟练掌握导数的计算方法，清楚掌握求导规则，并通过多种题型的练习提高解极值问题的能力。
4. 组合与排列组合与排列是高二数学中的重要内容，也是学生们容易出错的地方。
常见的错误有：计算错位问题、计算排列组合数时顺序颠倒、未正确应用公式等。
为了解决这些问题，学生们需要深入理解组合与排列的概念和性质，掌握计算方法和公式，并通过大量的例题来提高应用能力。
5. 平面向量与立体几何平面向量和立体几何是高二数学中的重点难点内容，涉及到向量的基本运算、点与直线的位置关系、平面和空间几何等。
判别式法求函数值域易错原因分析
判别式法求函数值域易错原因分析
随着数学知识的普及，越来越多的学生正在探索函数和它们的性质。
判别式法是其中一种重要的方法，能够给出函数的值域。
然而，当涉及运算是，学生通常会出现不熟悉判别式法的情况，因而易出现各种错误。
首先，学生可能不清楚判别式法的总体概念，对于函数的性质缺乏理解，完全不知道如何使用判别式法进行求解。
其次，学生可能在应用判别式法中出现概念混淆，比如把判别式与函数值域互换，出现结论错误的情况。
再次，学生可能存在计算错误，包括算术错误、代数错误等。
最后，学生可能存在理解错误，比如混淆概念、不了解函数值域的定义等。
因此，在学习和应用判别式法时，有必要了解其概念，清楚判别式法的使用方法，并且加以运用。
在做判别式法题时，要仔细检查自己的运算步骤，正确使用数学符号和概念，仔细理解函数值域的定义。
另外，仔细阅读答案，并进行与自己的计算结果进行对比，以确保正确性。
如果发现自己已经错误，请不要马上放弃，应该把注意力重定向，利用错误的部分来纠正原有的理解和计算的方法，藉此来及时修正错误。
总之，通过多加练习，用正确的方法对判别式法进行学习和应用，就可以更好地掌握函数的值域求解方法，更准确、更有效地求出函数的值域。
由此可见，学习和运用判别式法求得函数值域还是需要充分的理
解与努力，通过坚持不懈的努力，把基本的概念学会，熟练掌握求解方法，才能避免因缺乏认识和技巧而导致的错误。
此外，在使用判别式法时，还要注意各种误区，努力规避可能出现的错误，以便获得更准确的结果。
剖析函数中定义域的易错点
剖析函数中定义域的易错点作者：赵清华来源：《理科考试研究·高中》2016年第06期函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学学习的始终.函数的定义域是构成函数的三要素之一，是函数的灵魂.函数的定义域看似非常简单，然而在解决问题中若不加以注意，常常会误入歧途，导致失误.下面就学生在解题时所出现的几个易错点加以探讨.易错点1求函数解析式时不能忽视定义域.在求函数的解析式时必须要考虑所求函数解析式的定义域否则所求函数解析式可能是错误的.例1某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为50米，求矩形的面积S关于矩形长x的函数解析式.解析设矩形的长为x米，则宽为（25-x）米.由题意得S=x（25-x），故函数解析式S=x（25-x）.如果解题到此为止，则本题的函数解析式还欠完整，缺少自变量x的范围，也就是说解题思路不够严密.因为从实际出发，矩形的长和宽均为正值，所以还应补上自变量x的范围：0评析这个例子说明，在求解函数的解析式时（尤其是在实际问题中），必须要注意到函数定义域的取值范围.易错点2求反函数时错解定义域.在求解一个函数的反函数时，忽略了求反函数的定义域就是求原函数的值域这一知识点，而是根据反函数解析式的本身求出其定义域导致出现错误.例2f（x）=a·2x+11+2x是R上的奇函数：（1）求a的值；（2）求f（x）的反函数f-1（x）.解析（1）利用f（x）+f（-x）=0 （或f（0）=0），求得a=1.（2）由a=1即f（x）=2x-12x+1.设y=f（x），则2x（1-y）=1+y，由于y≠1，故2x=1+y1-y，x=log21+y1-y，而f（x）=2x-12x+1=1-22x+1∈（-1，1），所以f-1（x）=log21+x1-x （-1评析在求解一个函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域来求解，而不能根据反函数解析式本身求解，最后要在反函数的解析式后标明（若反函数的定义域为R可省略）.易错点3判断奇偶性时易忽略定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以，在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域.例3判断函数f（x）=（x-1）x+1x-1的奇偶性.解析因为x+1x-1≥0 （x+1）（x-1）≥0，x-1≠0，x≤-1或x>1.所以函数f（x）的定义域为（-∞，-1]∪（1，+∞）.由于函数f（x）的定义域在数轴上不关于原点对称，所以函数f（x）是非奇非偶函数.评析判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，再用奇偶性定义加以判断.如果定义域区间不关于坐标原点成中心对称，则函数就无奇偶性可谈.易错点4判断单调性或求单调区间时忘记定义域.在判断函数的单调性或求函数的单调区间时必须是在定义域范围内，即必须保证函数有意义.例4求函数f（x）=log2（x2+2x）的单调区间.解析先求定义域，因为x2+2x>0，所以x>0或x令u=x2+2x，当x∈（-∞，-2）时，u为减函数，当x∈（0，+∞）时，u为增函数；又f（x）=log2u在（0，+∞）是增函数，所以函数f（x）=log2（x2+2x）在（-∞，-2）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，即函数f（x）=log2（x2+2x）的单调递增区间是（0，+∞），单调递减区间是（-∞，-2）.评析如果在做此题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就会导致失误，得到错误的结论.易错点5求函数的值域时易忽视定义域.在求函数值域的相关问题中易忽视解析式本身对变量的约束关系，造成定义域范围的扩大，从而导致求解结果不准确.例5已知（x+2）2+y24=1，求x2+y2的取值范围.解析由于（x+2）2+y24=1，得（x+2）2=1-y24≤1，所以-3≤x≤-1，从而x2+y2=-3x2-16x-12=-3（x+83）2+283.因此当x=-1时x2+y2有最小值1，当x=-83时，x2+y2有最大值283.故x2+y2的取值范围是[1，283].评析在解决函数范围问题时，要注意几个参数之间的相互制约，要挖掘题目中内在的隐含条件，否则易出错.。
反比例函数易错点
反比例函数易错点一、反比例函数的定义反比例函数是指形如y=k/x（k≠0）的函数，其中x≠0。
二、易错点1：定义域和值域1. 定义域：反比例函数的定义域是所有不为0的实数，即D={x|x≠0}。
2. 值域：当x趋近于正无穷大或负无穷大时，y趋近于0。
因此，值域为所有不等于0的实数集合R*。
三、易错点2：图像特征1. 对称轴：反比例函数的对称轴为y=x。
2. 渐近线：当x趋近于正无穷大或负无穷大时，y趋近于0。
因此，反比例函数有两条渐近线，分别为x轴和y轴。
四、易错点3：变形公式1. y=k/x+b（k≠0）：在原来的反比例函数上平移b个单位。
2. y=k/(x-h)（k≠0）：在原来的反比例函数上左右平移h个单位。
3. y=-k/x（k≠0）：将原来的反比例函数关于y轴翻转。
五、易错点4：应用题1. 求解问题时需要注意题目中给出的条件，并根据条件列出方程式。
2. 在解方程式时需要注意分母不能为0，若分母为0则无解。
3. 在求解过程中需要注意单位的转换，例如长度、面积、体积等。
六、完整函数：/*** 反比例函数易错点* @param {number} k - 比例系数* @param {number} x - 自变量* @returns {number} y - 函数值*/function inverseProportion(k, x) {if (x === 0) {throw new Error(''定义域为所有不为0的实数'');}const y = k / x;return y;}/*** 变形公式：y=k/x+b（k≠0）* @param {number} k - 比例系数* @param {number} x - 自变量* @param {number} b - 平移量* @returns {number} y - 函数值*/function inverseProportionWithB(k, x, b) {if (x === 0) {throw new Error(''定义域为所有不为0的实数''); }const y = k / x + b;return y;}/*** 变形公式：y=k/(x-h)（k≠0）* @param {number} k - 比例系数* @param {number} x - 自变量* @param {number} h - 平移量* @returns {number} y - 函数值*/function inverseProportionWithH(k, x, h) {if (x === h || x === 0) {throw new Error(''定义域为所有不为0的实数，且x≠h''); }const y = k / (x - h);return y;}/*** 变形公式：y=-k/x（k≠0）* @param {number} k - 比例系数* @param {number} x - 自变量* @returns {number} y - 函数值*/function inverseProportionNegative(k, x) {if (x === 0) {throw new Error(''定义域为所有不为0的实数'');}const y = -k / x;return y;}/*** 应用题：已知反比例函数y=k/x，当x=2时，y=3，求k。
指数函数与对数函数易错点剖析
ʏ郑欣易错点1:利用分段函数的单调性时,忽略分段点例1已知函数f(x)= (a-2)x+1,xɤ1,l o g a x,x>1,若f(x)在(-ɕ,+ɕ)上单调递增,则实数a的取值范围为()㊂A.(0,1)B.(2,3]C.(1,2)D.(2,+ɕ)错解:由题意可知,函数y=(a-2)x+1在(-ɕ,1]上为增函数,则a-2>0,解得a>2;函数y=l o g a x在(1,+ɕ)上为增函数,则a>1㊂综上所述,a>2㊂应选D㊂剖析:分段函数在R上单调递增,在每一段都是递增的,在分段点处也是递增的㊂正解:由题意可知,函数y=(a-2)x+1在(-ɕ,1]上为增函数,则a-2>0,解得a>2;函数y=l o g a x在(1,+ɕ)上为增函数,则a>1㊂在分段点x=1处,由a-3ɤl o g a1=0,解得aɤ3㊂综上所述,实数a的取值范围是(2,3]㊂应选B㊂易错点2:求单调区间时,忽略函数的定义域例2函数f(x)=l g(x2-2x-8)的单调递增区间是()㊂A.(-ɕ,-2)B.(-ɕ,1)C.(1,+ɕ)D.(4,+ɕ)错解:因为内层函数u=x2-2x-8在区间(-ɕ,1)上单调递减,在区间(1,+ɕ)上单调递增,外层函数y=l g u为增函数,所以复合函数f(x)=l g(x2-2x-8)的单调递增区间为(1,+ɕ)㊂应选C㊂剖析:求函数的单调性往往容易忽略定义域㊂要使函数f(x)=l g(x2-2x-8)有意义,需要x2-2x-8>0,在优先考虑定义域的前提下,才能讨论函数f(x)=l g(x2-2x-8)单调性㊂正解:对于函数f(x)=l g(x2-2x-8),由x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4,所以函数f(x)=l g(x2-2x-8)的定义域为(-ɕ,-2)ɣ(4,+ɕ)㊂内层函数u=x2-2x-8在区间(-ɕ, -2)上单调递减,在区间(4,+ɕ)上单调递增,外层函数y=l g u为增函数,结合复合函数的单调性,可得函数f(x)=l g(x2-2x-8)的单调递增区间为(4,+ɕ)㊂应选D ㊂1.函数y=-x2+4x+12的单调递减区间为()㊂A.(-ɕ,2]B.[2,+ɕ)C.[2,6]D.[-2,2]提示:对于函数y=-x2+4x+12,由-x2+4x+12ȡ0,可得x2-4x-12ɤ0,解得-2ɤxɤ6,所以此函数的定义域为[-2, 6]㊂内层函数u=-x2+4x+12在区间[-2,2]上单调递增,在区间[2,6]上单调递减,外层函数y=u为定义域上的增函数,故此函数的单调递减区间为[2,6]㊂应选C㊂2.已知函数f(x)= (1-3a)x+10a(xɤ7),a x-7(x>7),且对定义域内的x1,x2(x1ʂx2)都满足f(x1)-f(x2)x1-x2<0,则实数a的取值范围是㊂提示:由题意可得函数f(x)在定义域内是减函数,结合分段点处函数值的大小关系可得1-3a<0,0<a<1,(1-3a)ˑ7+10aȡa7-7=1,解得13< aɤ611,所以实数a的取值范围是13,611㊂作者单位:陕西省洋县中学(责任编辑郭正华)73易错题归类剖析高一数学2023年11月。
三角函数题型常见的八个易错点
三角函数模块常见的八个易错点易错点1：不能正确理解三角函数的定义例题1： 角α的终边落在直线y ＝2x 上，则sin α的值为错解：在角的终边上取点P (1,2)，∴r ＝|OP |＝12＋22＝5，∴sin α＝y r ＝25＝255错因：当角的终边在一条直线上时，应注意到角的终边为两条射线，所以应分两种情况处理而错解中没有对两种情况进行讨论导致错误解析：当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P (1,2) 由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)∴r OQ ===sin α＝－25＝－255变式1： 已知角的终边过点P ,,则角的正弦值、余弦值分别为 解析：当0m <时，||,OP = 所以sin αα====当0m >时，||,OP =所以sin ,cos 55αα====总结：本题主要考查了三角函数的定义以及分类讨论思想方法，这也是高考考查的一个重点，在做题时容易遗忘0m <的情况α(,2)m m 0m ≠α易错点2 利用同角三角函数基本关系式时忽略参数取值例题2： 已知cos θ＝t ，求sin θ、tan θ的值． 错解：①当0<t <1时，θ为第一或第四象限角.θ为第一象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝1－t 2t ；θ为第四象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝－1－t 2t. ②当－1<t <0时，θ为第二或第三象限角. θ为第二象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝1－t 2t； θ为第三象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝－1－t 2t.综上，sin θθθ=⎪⎩为第一、二象限角为第三、四象限角tan t θθθ=⎨⎪⎪⎩为第一、二象限角为第三、四象限角 错因：上述解法注意到了θ的余弦值含有参数t ，根据余弦函数的取值范围对t 进行分类讨论，但上述讨论不全面，漏掉了很多情况，如t ＝－1，t ＝0，t ＝1 解析：①当t ＝－1时，sin θ＝0，tan θ＝0 ②当－1<t <0时，θ为第二或第三象限角 若θ为第二象限角，则sin θ＝1－t 2，tan θ＝1－t 2t若θ为第三象限角，则sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t2t③当t ＝0时，sin θ＝1，tan θ不存在或sin θ＝－1，tan θ不存在 ④当0<t <1时，θ为第一或第四象限角若θ为第一象限角，则sin θ＝1－t 2，tan θ＝1－t 2t若θ为第四象限角，则sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t 2t⑤当t ＝1时，sin θ＝0，tan θ＝0综上得：变式2： 如果,那么解析：()222sin801cos 801cos 801k =-=--=-sin80tan100tan80cos80k∴=-=-=-总结：要作出正确选择，需认真选择诱导公式，不能错用公式．对于nπ＋α，若n 是偶数，则角nπ＋α的三角函数值等于角α的同名三角函数值；若n 为奇数，则角nπ＋α的三角函数值等于角π＋α的同名三角函数值．cos(80)k -︒=tan100︒=易错点3 不能准确运用诱导公式进行化简求值例题3： 若sin θ＝33，求cos(π)cos(2π)3ππ3πcos [sin()1]cos(π)sin()sin()222θθθθθθθ--+--++-+的值错解：原式＝cos cos (sin 1)θθθ--＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝－cos θcos θsin θ＋cos θ＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝0. 错因：错解中混淆了诱导公式sin(3π2－θ)＝－cos θ，sin(3π2＋θ)＝－cos θ，cos(π－θ)＝－cos θ，cos(π＋θ)＝－cos θ. 解析：原式＝cos cos (cos 1)θθθ---＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝2sin 2θ，因为sin θ＝33，所以所求三角函数式的值为6=.变式3： 若n ∈Z ，在①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋π3；②sin ⎝⎛⎭⎫2n π±π3；③πsin[π(1)]3n n +-；④πcos[2π(1)]6n n +-中，与sin π3相等的是A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③解析：①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋π3＝⎩⎨⎧sin π3，n 为偶数sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3，n 为奇数＝⎩⎨⎧sin π3，n 为偶数－sin π3，n 为奇数.②sin ⎝⎛⎭⎫2n π±π3＝sin(±π3)＝±sin π3. ③ππsin[(1)],sin ,π33sin[π(1)]=πππ3sin[π(1)],sin(π)sin ,333n nn n n n n n ⎧⎧-⎪⎪⎪⎪+-=⎨⎨⎪⎪+--=⎪⎪⎩⎩为偶数为偶数为奇数为奇数 . ④ππππcos[2π(1)]cos[(1)]cos sin 6663nn n +-=-⋅==. 故③④与sin π3相等，应选B ．易错点4 不能正确理解三角函数图象变换规律例题4： 为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象 A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位错解：y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin2(x ＋5π12)，因此向右平移5π12个长度单位，故选B ． 错因：没有注意到变换方向导致了错解，目标是y ＝cos(2x ＋π3)的图象．解析：y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin(2x ＋5π6)＝sin2(x ＋5π12)，因此将函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π12个长度单位即可．故选A ．变式4： 将函数()()ππsin 2()22f x x θθ=+-<<的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象,若()f x ,()g x的图象都经过点P ,则ϕ的值可以是 A ．53π B ．56π C ．2πD ．6π 解析：依题意()()()sin 2sin 22g x x x ϕθθϕ=-+=+-⎡⎤⎣⎦,因为()f x ,()g x的图象都经过点P ,所以()sin sin 22θθϕ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 又因为22θππ-<<,所以3θπ=,所以2233k ϕππ-=π+或22233k ϕππ-=π+,k ∈Z , 解得k ϕ=-π或ππ6k ϕ=--,k ∈Z , 在6k ϕπ=-π-,k ∈Z 中,取1k =-,即得56ϕ=π,故选B.易错点5 注意符号对三角函数性质的影响例题5： 已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2.（1）求f (x )的单调递增区间；（2）若x ∈[－π，π]，求f (x )的最大值和最小值．错解：（1）由－π≤π3－x 2≤0得，2π3≤x ≤8π3，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2π3，8π3. （2）∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2≤1，∴[f (x )]ma x ＝2，[f (x )]min ＝－2.错因：（1）忽略了函数f (x )的周期性；（2）忽略了x ∈[－π，π]对函数f (x )的最值的影响 解析：（1）∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.由2k π－π≤x 2－π3≤2k π得，4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3(k ∈Z )．故f (x )的单调增区间为[4k π－4π3，4k π＋2π3](k ∈Z )．（2）由－π≤x ≤π⇒－5π6≤x 2－π3≤π6.当x 2－π3＝0，即x ＝2π3时，f (x )ma x ＝2，当x 2－π3＝－5π6，即x ＝－π时，f (x )min ＝－3变式5： （1）函数tan(2)3y x π=-的单调递减区间是______（2）已知函数y ＝a sin x ＋2，x ∈R 的最大值为3，则实数a 的值是______（3）若函数y ＝tan(2x ＋θ)的图象的一个对称中心为(π3，0)，且－π2<θ<π2，则θ的值是_____解析：（1）把函数tan(2)3y x π=-变为tan(2)3y x π=--由2,232k x k k ππππ-<-<π+∈Z ，得2,66k x k k π5ππ-<<π+∈Z 即5,212212k k x k ππππ-<<+∈Z,tan(2)3y x π=-减区间为5(,)()212212k k k ππππ-+∈Z （2）若a >0时，当sin x ＝1时，函数y ＝a sin x ＋2取最大值a ＋2，∴a ＋2＝3，∴a ＝1 若a <0，当sin x ＝－1时，函数y ＝a sin x ＋2(x ∈R )取得最大值－a ＋2＝3，∴a ＝－1 综上可知，a 的值为±1（3）易知函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π2，0)，其中k ∈Z所以2x ＋θ＝k π2，其中x ＝π3，即θ＝k π2－2π3，k ∈Z因为－π2<θ<π2，所以当k ＝1时，θ＝－π6；当k ＝2时，θ＝π3.即θ＝－π6或π3易错点6 三角恒等变换中忽略角的范围致误例题6： 已知α、β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin （α＋β，则β＝错解：∵0<α<π，cos α＝17，∴sin α7=.又∵sin （α＋β）＝14，∴cos （α＋β11.14-∴sin β＝sin[（α+β）－α]＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin α 又∵0<β<π，∴β＝233ππ或. 错因：（1）不能根据题设条件缩小α、β及α＋β取值范围，在由同角基本关系式求sin （α＋β）时不能正确判断符号，产生两角（2）结论处应由cos β的值确定β的取值，由sin β确定结论时易出现两解而造成失误解析：因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α=，故32αππ<<又因为0<α＋β<π，sin （α＋β）＝142<，所以0<α＋β<3π或32π<α＋β<π由3π<α<2π知32π<α＋β<π，所以cos （α＋β1114∴cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos （α＋β）cos α＋sin （α＋β）sin α＝12.又0<β<π，∴β＝3π变式6： （1）已知△ABC 中，sin(A ＋B )＝45，cos B ＝－23，则cos A 的值为（2）已知sin α－sin β＝－23，cos α－cos β＝23，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan(α－β)的值为 解析：（1）在△ABC 中，∵cos B ＝－23<0，∴B 为钝角，且sin B ＝53，∴A ＋B 为钝角由sin(A ＋B )＝45，得cos(A ＋B )＝－35∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ＝－35×⎝⎛⎭⎫－23＋45×53＝6＋4515（2）由题知sin α－sin β＝－23①， cos α－cos β＝23②由于sin α－sin β＝－23<0，所以－π2<α－β<0由①2＋②2，得cos(α－β)＝59，所以sin(α－β)＝－2149.所以tan(α－β)＝－2145易错点7 求函数y=Asin(ωx+φ)的性质时出错例题7： 函数y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)的最大值为 错解：函数的最大值为52＋42＝41.错因：形如y ＝asin x ＋bcos x 的函数的最大值为a 2＋b 2，而函数y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)不符合上述形式．解析：y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)＝5sin(x ＋20°)＋4cos[(x ＋20°)＋30°] ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋20°)cos30°－4sin(x ＋20°)sin30°＝5sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)－2sin(x ＋20°)＝3sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)，∴max y ==变式7： 已知函数2()sin 22sin f x x x =-（1）求函数()f x 的最小正周期（2）求函数()f x解析：（1）因为2()sin 22sin f x x x =-sin 2(1cos2x x =--所以函数()f x（2所以()f x [1]-易错点8 解三角形时忽略角的取值范围致误例题8： 在ABC △中，若3C B =，则c b的取值范围为 错解：由正弦定理，可得2222sin sin 3sin 2cos cos2sin =2cos cos24cos 1sin sin sin 0cos 1,14cos 13,0,0,03c C B B B B B B B B b B B BcB B b c b+===+=-≤<∴-≤-<>><<由可得错因：错解中没有考虑角B 的取值范围，误认为角B 的取值范围为()0,180︒︒ 解析：由正弦定理可得222sin sin 3sin 2cos cos2sin =2cos cos24cos 1sin sin sin 180,3,045,cos 1214cos 13,13c C B B B B B B B B b B B BA B C C B B B cB b+===+=-++=︒=∴︒<<︒<<∴<-<<<即变式8： 已知,21,21a a a -+是钝角三角形的三边，则实数a 的取值范围为解析：因为,21,21a a a -+是三角形的三边，所以01210,2210a a a a >⎧⎪->>⎨⎪+>⎩即①所以21a +是三角形的最大边，设其所对的角为θ（钝角）则222(21)(21)cos 02(21)a a a a a θ+--+=<-，化简得280a a -<，解得08②a <<要使,21,21a a a -+构成三角形，需满足21212121,2121a a a a a a a a a ++>-⎧⎪+->+⎨⎪-++>⎩即2③a >结合①②③，可得28.a <<。
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函数的纠错笔记易错点一：求定义域忽视细节致误。
例题1：（1）求函数0()f x =的定义域。
（2）求函数y =错因分析：（1）忘了分析0的0次无意义，导致在定义域中多了解；（2）把看成是真数减2，即由得真数且，所以，另外出现忽略真数大于零的错误：如由，得。
正解分析：（1）由函数解析式有意义知256010||0x x x x x ⎧-+≥⎪-≠⎨⎪+>⎩得3210x x x x ≥≤⎧⎪≠⎨⎪>⎩或即0132x x x <<≥≤或或故函数的定义域是()(][)0,11,23,+∞U U（2）由12log 200x x -≥⎧⎪⎨⎪>⎩，解得104x <≤所以函数定义域是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦。
误区分析：求函数定义域，关键是依据含变量的代数式有意义来列出相应的不等式求解，如开偶次方根，被开方数一定非负；对数式中的真数是正数；涉及到对数或指数不等式的求解，应依据单调性来处理。
变式练习：已知函数()f x 的定义域为(),a b ，求函数(31)(31)f x f x -++的定义域。
错因分析：理解错()f x 的定义域与(31)(31)f x f x -++的定义域之间的关系，致使(31)f x -函数的定义域由31a x b <-<得，函数(31)f x +的定义域由31a x b <-<得，这样得到的定义域就是()31,31a b +-。
正解分析：由3131a x b a x b <-<⎧⎨<+<⎩，解得11331133a b x a b x ++⎧<<⎪⎪⎨--⎪<<⎪⎩，又函数的定义域不可能为空集，所以必有1133a b x +-<<，即2b a ->此时，函数的定义域为11,33a b +-⎛⎫ ⎪⎝⎭。
误区分析：复合函数中定义域的求法：在复合函数中，外层函数的定义域是由内层函数决定的，即已知[]()f g x 的定义域为(),a b ，求()f x 的定义域方法是利用a x b <<，求得()g x 的范围即为函数()f x 的定义域。
而已知()f x 的定义域(),a b ，求函数[]()f g x 的定义域，即由()a g x b <<求出x.易错点二：函数单调性判断错误求下列函数的单调区间：（1）22||1y x x =-++；（2）2|23|y x x =++错因分析：这两个函数可以通过去掉绝对值化为分段函数，但是易错点有：去绝对值出错；单调区间出错或求错易把第一个函数的单调递增区间写成。
正解分析：（1）2221(0)21(0)x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨--+<⎪⎩，即22(1)2(0)(1)2(0)x x y x x ⎧--+≥⎪=⎨-++<⎪⎩画出函数图像得单调增区间为(][],1,0,1-∞-，单调递减区间为[][)1,0,1,-+∞。
（2）若2230x x -++≥，得13x -≤≤，此时函数2223(1)4y x x x =-++=--+，若2230x x -++<，得13x x <->或，此时函数2223(1)4y x x x =--=--。
即22(1)4(13)(1)4(13)x x y x x x ⎧--+-≤≤⎪=⎨--<->⎪⎩或画函数图像得函数单调增区间为[]1,1-和[)3,+∞，单调减区间为(],1-∞-和[]1,3误区分析：带绝对值的函数实质就是分段函数，对于分段函数的的单调性，有两种判断方法之一：一是在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，最后对各个段上的单调区间进行整合；二是画分段函数的图像，结合函数的图像和性质进行直观判断，在研究函数问题离不开函数图像，函数图像反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”。
学会从函数图像上去分析问题，寻找解决问题的方法，对于函数的几个不同的单调递增（减）区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增（减）区间即可。
易错点三：求函数奇偶性的几种常见错误判断函数的奇偶性：（1）()(f x x =-2）()f x （3）22lg(1)()22x f x x -=--（4）22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩ 错因分析：解本题出现的几种错误是：求错定义域或是忽视定义域，函数奇偶性概念的前提条件不清，对分段函数的奇偶性判断方法不对等。
正确解析：（1）由11x x+-0≥，的定义域为[)1,1-，关于原点不对称，所以函数()f x 为非奇非偶函数。
得， ∴函数()f x 既是奇函数又是偶函数。
（2）2221011()010x x x f x x ⎧-≥⎪∴=∴=±∴=∴⎨-≥⎪⎩Q ()f x 既是奇函数又是偶函数。
（3）由2210220x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩，得到函数得定义域为()()1,00,1-U ，∴2222lg(1)lg(1)()(2)2x x f x x x --=-=---2222lg 1()lg(1)()()x x f x f x x x⎡⎤---⎣⎦-=-==-Q 所以函数()f x 为偶函数。
（4）当0x <，则0x ->，()22()()()f x x x x x f x -=---=-+=-当0x >，则0x -<，()22()()()f x x x x x f x -=--=--+=-。
综上所述对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()f x -()f x =-。
所以函数()f x 为奇函数。
误区分析：函数奇偶性的判断方法：首先看函数定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件定义域关于原点对称，如果不具备函数为非奇非偶函数，若关于原点对称的前提下，再由函数奇偶性定义进行判断，在用定义判断时注意自变量在定义域中的任意性，再由函数定义分四类：函数为非奇非偶函数，函数既是奇函数又是偶函数，函数为偶函数，函数为奇函数。
易错点四：抽象函数的推理不严谨致误设函数()f x 是定义R 在上的函数，对任意m,n (,)∈-∞+∞恒有()()()f m n f m f n +=g ，且当0x >时0()1f x <<。
（1）求证：(0)1f =（2）求证：x (,)∈-∞+∞时，()f x >0（3）求证：()f x 在R 上是减函数。
错因分析：忽视条件导致论证不严谨或推理论证错误，这样在（1）中就会出现1()02f =的可能，此时无法确定(0)f 的值，（2）(3)中就缺少了推理论证的依据，导致不严谨和错误。
正确解析：（1）取10,2m n ==，则11(0)()(0)22f f f +=g ，因为1()02f >，所以(0)1f =。
（2）设0x <，则0x ->，由条件可知()0f x ->，又因为1(0)()()()0f f x x f x f x ==-=->g ，所以()0f x >。
所以当(,)∈-∞+∞时，恒有()f x >0。
（3）设12x x <，则[]121211121121()()()()()()()(1)1()f x f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=--+=--=--g 因为12x x <，所以210x x ->，所以210()1f x x <-<即211()0f x x -->。
又因为1()0f x >，所以[]121()1()0f x f x x -->g 。
所以12()()0f x f x ->，即该函数()f x 在R 上是减函数。
误区分析;解答抽象函数问题注意用赋值法找到函数的不变性质，而这个不变性质往往使问题解决的突破口，注意推理的严谨性，每一步的推理都要有充分的条件，不可漏条件，更不能臆造条件。
变式练习：若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且对于0x >满足()()()x f f x f y y =-。
（1）求(1)f 的值，（2）(6)1f =试求不等式1(3)()2f x f x +-<的解集。
易错点五：基本初等函数性质不清致误 已知函数2221()log log (1)log ()1x f x x p x x +=+-+--， （1）求函数()f x 的定义域。
（2）求函数()f x 的值域。
错因分析：（1）求函数定义域时先化简函数的解析式再求定义域。
（2）求值域时易用错对数函数、二次函数的性质，分类讨论不准确致误。
正确解析：（1）由题意得101100x x x p x +⎧>⎪-⎪->⎨⎪->⎪⎩，即111x x x x p ><-⎧⎪>⎨⎪<⎩或，即1x x p >⎧⎨<⎩。
函数定义域为()1,p (2) 22221()log (1)()log (1)()log (1)1x f x x p x x p x x p x p x +⎡⎤⎡⎤=--=--=-+-+⎣⎦⎢⎥-⎣⎦g 令2(1)t x p x p =-+-+221(1)()()24p p x g x -+=--+= 当1121p p -⎧<⎪⎨⎪>⎩即13p <<， t 在()1,p 上为单调减函数，()(1)g p t g <<即022t p <<- 所以2()1log (1)f x p <+-，函数的值域为2(,1log (1))p -∞+-。
当111221p p p -+⎧≤≤⎪⎨⎪>⎩，即3p ≥，1()()2p g p t g -<≤，即2(1)04p t +<≤ 2()2log (1)2f x p ∴≤+-，函数的值域为2(,2log (1)2)p -∞+-由上分析得:当13p <<时，函数的值域为2(,1log (1))p -∞+-，当3p ≥时，函数的值域为2(,2log (1)2)p -∞+-。
误区分析：函数定义域是只是函数有意义的自变量的取值范围，当函数解析式可以化为另一个解析式时，定义域也会随之发生变化，所以变形时注意等价性。
注意函数定义域不是空集求函数的值域时注意正确使用基本初等函数的性质是关键环节。
易错点六：函数的零点定理使用不当致误函数()f x =221mx x -+有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是A (],1-∞B (]{},01-∞UC (){},01-∞UD (),1-∞错因分析：解本题易出现的错误是分类讨论应用不当，零点定理应用不当。