备战2018年高考数学 解答题高分宝典 专题03 概率与统计(核心考点)文

专题03概率与统计核心考点一古典概型古典概型是高考考查热点，但一般不单独出现在解答题中，常与统计及其他知识结合在一起考查，难度中等或中等以下.【经典示例】（2017山东卷文16）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家1A ,2A ,3A 和3个欧洲国家1B ,2B ,3B 中选择2个国家去旅游.（1）若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括1A 但不包括1B 的概率.答题模板第二步，利用列举法或排列组合知识求出总的基本事件总数【满分答案】(1)由题意知,从6个国家中任选2个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有：()()1213,,,,A A A A ()23,,A A ()11,,A B ()()1213,,,,A B A B ()()()212223,,,,,,A B A B A B ()()()313233,,,,,,A B A B A B ()()()121323,,,,,,B B B B B B 共15个,所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：()()()121323,,,,,A A A A A A ,共3个, 则所求事件的概率为31155P ==. (2) 从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,其一切可能的结果组成的基本事件有：()11,,A B ()()1213,,,,A B A B ()()()212223,,,,,,A B A B A B ()()()313233,,,,,A B A B A B ,共9个,包括1A 但不包括1B 的事件所包含的基本事件有：()()1213,,,,A B A B 共2个.则所求事件的概率为29P =. 【解题技巧】1.利用古典概型求事件A 的概率,关键是要分清基本事件总数n 与事件A 包含的基本事件数m.2如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A 中的基本事件数,利用公式P (A )＝求出事件A 的概率。

对于古典概型的概率计算问题,常见错误是基本事件数列举重复或遗漏,导致计数错误,避免此类错误发生的最有效方法是按照某种标准进行列举,如果基本事件个数比较多,可借助于列表法或树形图.2.对于复杂概率的计算一般要先设出事件,准确地确定事件的性质,常见的处理方法有： ①转化为几个互斥事件的和,利用互斥事件的加法公式求解；②采用间接法,先求事件A 的对立事件A 的概率,再由P (A )＝1－P (A )求事件A 的概率.模拟训练1．某园林基地培育了一种新观赏植物，经过一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位：厘米)作为样本(样本容量为n )进行统计，按照[50,60)，[60,70，)[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在[50,60)，[90,100]的数据)．(1)求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；(2)在选取的样本中，从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取2株，求所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率．【解析】(1)由题意可知，样本容量n ＝80.016×10＝50，y ＝250×10＝0.004，x ＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030.其中2株的高度都不在[90,100]内的情况有10种，分别为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，a 5)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，a 5)，(a 3，a 4)，(a 3，a 5)，(a 4，a 5)．所以所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率P ＝1－1021＝1121.3核心考点二频率分布直方图与茎叶图频率分布直方图及茎叶图一直是高考考查的热点，这类问题大多紧密结合社会实际,以现实生活为背景设置试题,注重知识的综合应用与实际应用,作为考查实践能力的重要载体,命题者要求考生会收集、整理、分析数据,能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息,建立数学模型,再应用数学原理和数学工具解决实际问题.该类问题阅读量一般比较大,但难度多为中等或中等偏易.【经典示例】我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费,超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）,将数据按照[)0,0.5,[)0.5,1,⋅⋅⋅,[)4,4.5分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中a 的值；（2）设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,请说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨）,估计x 的值,并说明理由.答题模板第一步，读懂题意，确定各组频率；. 第二步，利用概率之和为1，求a 的值； 第三步，用频率分别直方图估计平均数. 第四步，用样本数据对总体进行估计代换.【满分答案】（1）由频率分布直方图知,月均用水量在[)00.5，中的频率为0.080.50.04⨯=,同理,在[)0.5,1,[)1.5,2,[)22.5，,[)33.5，,[)3.54，,[)44.5，中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.4由0.04+0.08+0.50.200.260.50.060.040.021a a ⨯+++⨯+++=,解得0.30a =. （2）由（1）,100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布,可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为3000000.1236000⨯=.（3）因为前6组的频率之和为0.040.080.150.200.260.15=0.880.85----->, 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.150.200.26=0.730.85--<, 所以2.5 3.x <…由()0.3 2.50.850.73x ⨯-=-,解得 2.9x =. 【解题技巧】1.解决频率分布直方图问题时要抓住：(1)直方图中各小长方形的面积之和为1.(2)直方图中纵轴表示频率组距,故每组样本的频率为组距×频率组距,即矩形的面积．(3)直方图中每组样本的频数为频率×总体数． 2.频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数等于频率分布直方图中每个小长方形的面积i S 乘以小长方形底边中点的横坐标i x 之和，即平均数=1ni i i S x =∑．模拟训练2．某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； (2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．【解析】(1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故5样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为66＋682＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.核心考点三平均数与方差的应用平均数和方差是重要的数字特征，是对总体的一种简明的阐述．平均数描述总体的平均水平,方差反映了数据偏离于平均数的程度,它们从整体和全局上刻画了总体特征,是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据,【经典示例】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图.频数记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数． （1）若19n ，求y 与x 的函数解析式；（2）若要求 “需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算6这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？答题模板第一步，用分段函数表示y 与x 的函数解析式；.第二步，由柱状图确定更换易损零件数的频率；第三步，根据购买易损零件上所需费用的平均数的大小进行选择. 【满分答案】（1）当19x …时，192003800y =⨯=（元）； 当19x >时，()19200195005005700y x x =⨯+-⨯=-（元），所以3800,,195005700,,19x x y x x x ∈⎧=⎨-∈>⎩N N …．（2）由柱状图可知更换易损零件数的频率如表所示.所以更换易损零件数不大于18的频率为：0.060.160.240.460.5++=<，更换易损零件数不大于19的频率为：0.060.160.240.240.700.5+++=>，故n 最小值为19． （3）若每台都购买19个易损零件，则这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为：10019200205002105004000100⨯⨯+⨯+⨯⨯=（元）； 若每台都够买20个易损零件，则这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为：10020200105004050100⨯⨯+⨯=（元）.因为40004050<，所以购买1台机器的同时应购买19个易损零件． 【解题技巧】1.利用平均数与方差进行决策，一般先比较平均数,若平均数相同,再用方差来决定．2.平均数、方差公式的推广：若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，方差为s 2，则数据mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数为m x －＋a ，方差为m 2s 2.7模拟训练3.某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得出A 地区用户满意评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频数分布表(1)在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）.B 地区用户满意度评分的频率分布直方图(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级： 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.8【解析】(1)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值；B 地区用户满意度评分比较集中，而A 地区用户满意度评分比较分散.核心考点四回归分析高考对回归分析的考查方向比较固定，即先根据数据确定回归方程，再根据散点图或相关系数判断相关性的强弱，最后根据回归方程进行预测，此类问题运算量一般较大，要注意运算的准确性. 【经典示例】下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图y年生活垃圾无害化处理量年份代码t（1）由折线图看出,可用线性回归模型拟合y 与t 的关系,请用相关系数加以说明（2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01）,预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.参考数据：719.32ii y==∑,7140.17i i i t y ==∑0.55= 2.646≈.参考公式：相关系数()()niit t y y r --=∑9回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，=.a y bt -答题模板第一步，利用散点图或相关系数r ,确定两个变量的相关程度的高低；第二步，用最小二乘法求回归直线方程yˆ＝b ˆx ＋a ˆ； 第三步，利用回归直线方程进行预报；第四步，对于非线性(可线性化)的回归分析,一般是利用条件及我们熟识的函数模型,将题目中的非线性关系转化为线性关系进行分析,最后还原．【满分答案】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得4t =,()27128ii tt=-=∑0.55=,()()77711140.1749.32 2.89iii iii i i t t y y t y t y===--=-=-⨯=∑∑∑, 2.890.990.552 2.646r ≈≈⨯⨯.因为y 与t 的相关系数近似为0.99,说明y 与t 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t 的关系.（1）变量y 与t 的相关系数7777()()7iii i i it t y y t y t y r ---⋅==∑∑∑∑,又7128ii t==∑,719.32i i y ==∑,7140.17i i i t y ==∑5.292==0.55=,所以740.17289.320.997 5.2920.55r ⨯-⨯=≈⨯⨯,故可用线性回归模型拟合变量y 与t 的关系.（2）4t =,y =7117i i y =∑,所以7172211740.17749.327ˆ0.10287i ii ii t yt y b tt ==-⋅-⨯⨯⨯===-∑∑, 1ˆˆ9.320.1040.937ay bx =-=⨯-⨯≈,所以线性回归方程为ˆ0.10.93y t =+.10当9t =时,ˆ0.190.93 1.83y=⨯+=.因此,我们可以预测2016年我国生活垃圾无害化处理1.83亿吨. 【解题技巧】线性回归分析问题的类型(1)利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值．(2)利用回归直线判断正、负相关；决定正相关还是负相关的是系数b ^.(3)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r |越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．模拟训练4．某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间 (x 个月)和市场占有率(y %)的几组相关对应数据：(1)(2)根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%(精确到月)．附：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －·y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －.所以线性回归方程为y ^＝0.042x －0.026.(2)由(1)中的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关，即上市时间每增加1个月，市场占有率约增加0.042个百分点．由y ^＝0.042x －0.026>0.5，解得x ≥13， 故预计上市13个月时，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%.核心考点五独立性检验11在高考中独立性检验常与抽样方法、样本对总体的估计等知识结合在一起考查，难度多为中等或中等以下，属于得分题.【经典示例】某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 附：K 2＝答题模板第一步，假设两个分类变量x 与y 没有关系； 第二步，计算出K 2的观测值,其中K 2＝；第三步，把K 2的值与临界值比较,作出合理的判断．【满分答案】(1)由已知得,样本中有25周岁以上组工人60名,25周岁以下组工人40名,所以,样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人),25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人),从5名工人中随机抽取2人有C 25＝10种情形,每种情形都是等可能出现的,其中至少抽到一名“25周岁以下组”工人有C 13C12＋C 22＝7种,故所求概率P ＝.(2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人),“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人),据此可得2×2列联表如图所示：12所以K 2＝＝＝≈1.79.因为1.79<2.706,所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关” . 【解题技巧】(1)在列联表中注意事件的对应及相关值的确定,不可混淆．(2)在实际问题中,独立性检验的结论仅是一种数学关系表述,得到的结论有一定的概率出错．(3)对判断结果进行描述时,注意对象的选取要准确无误,应是对假设结论进行的含概率的判断,而非其他．模拟训练5.某公司为评估两套促销活动方案（方案1运作费用为5元/件；方案2的运作费用为2元/件）,在某地区部分营销网点进行试点（每个试点网点只采用一种促销活动方案）,运作一年后,对比该地区上一年度的销售情况,制作相应的等高条形图如图所示．（1）请根据等高条形图提供的信息,为该公司今年选择一套较为有利的促销活动方案（不必说明理由）； （2）已知该公司产品的成本为10元/件（未包括促销活动运作费用）,为制定本年度该地区的产品销售价格,统计上一年度的8组售价i x （单位：元/件,整数）和销量i y （单位：件）（1,2,,8i ）如下表所示：① 请根据下列数据计算相应的相关指数2R ,并根据计算结果,选择合适的回归模型进行拟合；13② 根据所选回归模型,分析售价x 定为多少时？利润z 可以达到最大.（附：相关指数()()22121ˆ1ni i i n ii y y R y y ==-=--∑∑）因为222321R R R >>,所以采用回归模型211003ˆ2yx =-+进行拟合最为合适. ②由（1）可知,采用方案1的运作效果较方案2好, 故年利润()211200153z x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭, ()()3040z x x '=-+-, 当()0,40x ∈时, ()211200153z x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭单调递增； 当()40,x ∈+∞时, ()211200153z x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭单调递减,故当售价40x =时,利润达到最大.。