备战2018年高考数学 解答题高分宝典 专题03 概率与统计(核心考点)文
专题03概率与统计核心考点一古典概型古典概型是高考考查热点，但一般不单独出现在解答题中，常与统计及其他知识结合在一起考查，难度中等或中等以下.【经典示例】（2017山东卷文16）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家1A ,2A ,3A 和3个欧洲国家1B ,2B ,3B 中选择2个国家去旅游.（1）若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括1A 但不包括1B 的概率.答题模板第二步，利用列举法或排列组合知识求出总的基本事件总数【满分答案】(1)由题意知,从6个国家中任选2个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有：()()1213,,,,A A A A ()23,,A A ()11,,A B ()()1213,,,,A B A B ()()()212223,,,,,,A B A B A B ()()()313233,,,,,,A B A B A B ()()()121323,,,,,,B B B B B B 共15个,所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：()()()121323,,,,,A A A A A A ,共3个, 则所求事件的概率为31155P ==. (2) 从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,其一切可能的结果组成的基本事件有：()11,,A B ()()1213,,,,A B A B ()()()212223,,,,,,A B A B A B ()()()313233,,,,,A B A B A B ,共9个,包括1A 但不包括1B 的事件所包含的基本事件有：()()1213,,,,A B A B 共2个.则所求事件的概率为29P =. 【解题技巧】1.利用古典概型求事件A 的概率,关键是要分清基本事件总数n 与事件A 包含的基本事件数m.2如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A 中的基本事件数,利用公式P (A )＝求出事件A 的概率。
对于古典概型的概率计算问题,常见错误是基本事件数列举重复或遗漏,导致计数错误,避免此类错误发生的最有效方法是按照某种标准进行列举,如果基本事件个数比较多,可借助于列表法或树形图.2.对于复杂概率的计算一般要先设出事件,准确地确定事件的性质,常见的处理方法有： ①转化为几个互斥事件的和,利用互斥事件的加法公式求解；②采用间接法,先求事件A 的对立事件A 的概率,再由P (A )＝1－P (A )求事件A 的概率.模拟训练1．某园林基地培育了一种新观赏植物，经过一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位：厘米)作为样本(样本容量为n )进行统计，按照[50,60)，[60,70，)[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在[50,60)，[90,100]的数据)．(1)求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；(2)在选取的样本中，从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取2株，求所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率．【解析】(1)由题意可知，样本容量n ＝80.016×10＝50，y ＝250×10＝0.004，x ＝0.100－0.004－0.010－0.016－0.040＝0.030.其中2株的高度都不在[90,100]内的情况有10种，分别为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，a 5)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，a 5)，(a 3，a 4)，(a 3，a 5)，(a 4，a 5)．所以所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率P ＝1－1021＝1121.3核心考点二频率分布直方图与茎叶图频率分布直方图及茎叶图一直是高考考查的热点，这类问题大多紧密结合社会实际,以现实生活为背景设置试题,注重知识的综合应用与实际应用,作为考查实践能力的重要载体,命题者要求考生会收集、整理、分析数据,能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息,建立数学模型,再应用数学原理和数学工具解决实际问题.该类问题阅读量一般比较大,但难度多为中等或中等偏易.【经典示例】我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费,超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）,将数据按照[)0,0.5,[)0.5,1,⋅⋅⋅,[)4,4.5分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中a 的值；（2）设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,请说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨）,估计x 的值,并说明理由.答题模板第一步，读懂题意，确定各组频率；. 第二步，利用概率之和为1，求a 的值； 第三步，用频率分别直方图估计平均数. 第四步，用样本数据对总体进行估计代换.【满分答案】（1）由频率分布直方图知,月均用水量在[)00.5，中的频率为0.080.50.04⨯=,同理,在[)0.5,1,[)1.5,2,[)22.5，,[)33.5，,[)3.54，,[)44.5，中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.4由0.04+0.08+0.50.200.260.50.060.040.021a a ⨯+++⨯+++=,解得0.30a =. （2）由（1）,100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布,可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为3000000.1236000⨯=.（3）因为前6组的频率之和为0.040.080.150.200.260.15=0.880.85----->, 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.150.200.26=0.730.85--<, 所以2.5 3.x <…由()0.3 2.50.850.73x ⨯-=-,解得 2.9x =. 【解题技巧】1.解决频率分布直方图问题时要抓住：(1)直方图中各小长方形的面积之和为1.(2)直方图中纵轴表示频率组距,故每组样本的频率为组距×频率组距,即矩形的面积．(3)直方图中每组样本的频数为频率×总体数． 2.频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数等于频率分布直方图中每个小长方形的面积i S 乘以小长方形底边中点的横坐标i x 之和，即平均数=1ni i i S x =∑．模拟训练2．某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； (2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．【解析】(1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故5样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为66＋682＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.核心考点三平均数与方差的应用平均数和方差是重要的数字特征，是对总体的一种简明的阐述．平均数描述总体的平均水平,方差反映了数据偏离于平均数的程度,它们从整体和全局上刻画了总体特征,是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据,【经典示例】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图.频数记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数． （1）若19n ，求y 与x 的函数解析式；（2）若要求 “需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算6这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？答题模板第一步，用分段函数表示y 与x 的函数解析式；.第二步，由柱状图确定更换易损零件数的频率；第三步，根据购买易损零件上所需费用的平均数的大小进行选择. 【满分答案】（1）当19x …时，192003800y =⨯=（元）； 当19x >时，()19200195005005700y x x =⨯+-⨯=-（元），所以3800,,195005700,,19x x y x x x ∈⎧=⎨-∈>⎩N N …．（2）由柱状图可知更换易损零件数的频率如表所示.所以更换易损零件数不大于18的频率为：0.060.160.240.460.5++=<，更换易损零件数不大于19的频率为：0.060.160.240.240.700.5+++=>，故n 最小值为19． （3）若每台都购买19个易损零件，则这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为：10019200205002105004000100⨯⨯+⨯+⨯⨯=（元）； 若每台都够买20个易损零件，则这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为：10020200105004050100⨯⨯+⨯=（元）.因为40004050<，所以购买1台机器的同时应购买19个易损零件． 【解题技巧】1.利用平均数与方差进行决策，一般先比较平均数,若平均数相同,再用方差来决定．2.平均数、方差公式的推广：若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，方差为s 2，则数据mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数为m x －＋a ，方差为m 2s 2.7模拟训练3.某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得出A 地区用户满意评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频数分布表(1)在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）.B 地区用户满意度评分的频率分布直方图(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级： 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.8【解析】(1)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值；B 地区用户满意度评分比较集中，而A 地区用户满意度评分比较分散.核心考点四回归分析高考对回归分析的考查方向比较固定，即先根据数据确定回归方程，再根据散点图或相关系数判断相关性的强弱，最后根据回归方程进行预测，此类问题运算量一般较大，要注意运算的准确性. 【经典示例】下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图y年生活垃圾无害化处理量年份代码t（1）由折线图看出,可用线性回归模型拟合y 与t 的关系,请用相关系数加以说明（2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01）,预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.参考数据：719.32ii y==∑,7140.17i i i t y ==∑0.55= 2.646≈.参考公式：相关系数()()niit t y y r --=∑9回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，=.a y bt -答题模板第一步，利用散点图或相关系数r ,确定两个变量的相关程度的高低；第二步，用最小二乘法求回归直线方程yˆ＝b ˆx ＋a ˆ； 第三步，利用回归直线方程进行预报；第四步，对于非线性(可线性化)的回归分析,一般是利用条件及我们熟识的函数模型,将题目中的非线性关系转化为线性关系进行分析,最后还原．【满分答案】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得4t =,()27128ii tt=-=∑0.55=,()()77711140.1749.32 2.89iii iii i i t t y y t y t y===--=-=-⨯=∑∑∑, 2.890.990.552 2.646r ≈≈⨯⨯.因为y 与t 的相关系数近似为0.99,说明y 与t 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t 的关系.（1）变量y 与t 的相关系数7777()()7iii i i it t y y t y t y r ---⋅==∑∑∑∑,又7128ii t==∑,719.32i i y ==∑,7140.17i i i t y ==∑5.292==0.55=,所以740.17289.320.997 5.2920.55r ⨯-⨯=≈⨯⨯,故可用线性回归模型拟合变量y 与t 的关系.（2）4t =,y =7117i i y =∑,所以7172211740.17749.327ˆ0.10287i ii ii t yt y b tt ==-⋅-⨯⨯⨯===-∑∑, 1ˆˆ9.320.1040.937ay bx =-=⨯-⨯≈,所以线性回归方程为ˆ0.10.93y t =+.10当9t =时,ˆ0.190.93 1.83y=⨯+=.因此,我们可以预测2016年我国生活垃圾无害化处理1.83亿吨. 【解题技巧】线性回归分析问题的类型(1)利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值．(2)利用回归直线判断正、负相关；决定正相关还是负相关的是系数b ^.(3)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r |越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．模拟训练4．某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间 (x 个月)和市场占有率(y %)的几组相关对应数据：(1)(2)根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%(精确到月)．附：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －·y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －.所以线性回归方程为y ^＝0.042x －0.026.(2)由(1)中的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关，即上市时间每增加1个月，市场占有率约增加0.042个百分点．由y ^＝0.042x －0.026>0.5，解得x ≥13， 故预计上市13个月时，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%.核心考点五独立性检验11在高考中独立性检验常与抽样方法、样本对总体的估计等知识结合在一起考查，难度多为中等或中等以下，属于得分题.【经典示例】某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 附：K 2＝答题模板第一步，假设两个分类变量x 与y 没有关系； 第二步，计算出K 2的观测值,其中K 2＝；第三步，把K 2的值与临界值比较,作出合理的判断．【满分答案】(1)由已知得,样本中有25周岁以上组工人60名,25周岁以下组工人40名,所以,样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人),25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人),从5名工人中随机抽取2人有C 25＝10种情形,每种情形都是等可能出现的,其中至少抽到一名“25周岁以下组”工人有C 13C12＋C 22＝7种,故所求概率P ＝.(2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人),“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人),据此可得2×2列联表如图所示：12所以K 2＝＝＝≈1.79.因为1.79<2.706,所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关” . 【解题技巧】(1)在列联表中注意事件的对应及相关值的确定,不可混淆．(2)在实际问题中,独立性检验的结论仅是一种数学关系表述,得到的结论有一定的概率出错．(3)对判断结果进行描述时,注意对象的选取要准确无误,应是对假设结论进行的含概率的判断,而非其他．模拟训练5.某公司为评估两套促销活动方案（方案1运作费用为5元/件；方案2的运作费用为2元/件）,在某地区部分营销网点进行试点（每个试点网点只采用一种促销活动方案）,运作一年后,对比该地区上一年度的销售情况,制作相应的等高条形图如图所示．（1）请根据等高条形图提供的信息,为该公司今年选择一套较为有利的促销活动方案（不必说明理由）； （2）已知该公司产品的成本为10元/件（未包括促销活动运作费用）,为制定本年度该地区的产品销售价格,统计上一年度的8组售价i x （单位：元/件,整数）和销量i y （单位：件）（1,2,,8i ）如下表所示：① 请根据下列数据计算相应的相关指数2R ,并根据计算结果,选择合适的回归模型进行拟合；13② 根据所选回归模型,分析售价x 定为多少时？利润z 可以达到最大.（附：相关指数()()22121ˆ1ni i i n ii y y R y y ==-=--∑∑）因为222321R R R >>,所以采用回归模型211003ˆ2yx =-+进行拟合最为合适. ②由（1）可知,采用方案1的运作效果较方案2好, 故年利润()211200153z x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭, ()()3040z x x '=-+-, 当()0,40x ∈时, ()211200153z x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭单调递增； 当()40,x ∈+∞时, ()211200153z x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭单调递减,故当售价40x =时,利润达到最大.。
备战2018年高考数学 解答题高分宝典 专题03 概率与统计(核心考点)理
专题03概率与统计核心考点一概率与随机变量的分布列随机变量的分布列及期望是高考考查的热点,在考查时经常与统计知识结合在一起考查,求离散型随机变量的分布列一般要涉及到随机变量概率的求法,求概率时一定要弄清相应的概率类型（古典概型、相互独立事件的概率、独立重复实验、条件概率）.【经典示例】从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234. （1）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.答题模板第一步,理解ξ的意义,写出ξ可能取的全部值； 第二步,求ξ取每个值的概率； 第三步,写出ξ的分布列； 第四步,由均值的定义求E (ξ)．.【满分答案】（1）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.()111101112344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()11111111111111111123423423424P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()111111111121112342342344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()1111323424P X ==⨯⨯=. 所以随机变量X 的分布列为随机变量X的数学期望1111113()012342442412E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)P Y Z P Y Z P Y Z+====+===(0)(1)(1)(0) P Y P Z P Y P Z==+==11111111 42424448=⨯+⨯=.所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为11 48.【解题技巧】1.利用古典概型求事件A的概率,关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A中的基本事件数,利用公式P(A)＝求出事件A的概率,注意列举时必须按照某一顺序做到不重不漏；如果基本事件个数比较多,列举有一定困难时,也可借助两个计数原理及排列组合知识直接计算m,n,再运用公式P(A)＝求概率.2.几个事件不能同时发生的应用问题,可转化为互斥事件来解决,关键是分清事件是否互斥；相互不影响的事件是否发生的实际应用问题,可转化为独立事件的概率问题,解决此类问题要注意相互独立事件同时发生与二项分布的区别与联系.3.对于复杂概率的计算一般要先设出事件,准确地确定事件的性质,把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次判断事件是A＋B还是AB事件,确定事件至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件公式；最后选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．4.超几何分布的特点是：①整体一般由两部分组成,比如“正,反”、“黑,白”、“男生、女生”“正品、次品”等,②总体一般是有限个,超几何分布主要应用于抽查产品,摸不同类型的小球等模型注意特殊背景下的“超几何分布”被转化为“二项分布”,如从两类对象中不放回地抽取n个元素,当两类对象的总数量很大时,超几何分布近似于二项分布.5.列出分布列后,可用所有概率之和为1进行检验.模拟训练1．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分；如果只有一个人猜对,则“星队”得1分；如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34,乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结23果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求： （1）“星队”至少猜对3个成语的概率；（2）“星队”两轮得分之和为X 的分布列和数学期望EX.()()()()()()P E P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD =++++=()()()()()()()()()()()()P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P C P D +++()()()()()()()()P P A A P P B B P C P D D P C P +=323212323132224343434343433⎛⎫⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭, 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23. （2）由题意,随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性, 得()1111104343144P X==⨯⨯⨯=,()31111211105124343434314472P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯== ⎪⎝⎭,()31313112123112122524343434343434343144P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=, ()32111132134343434312P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=,()3231321260542=4343434314412P X ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⎛⎫ ⎪⎝⎭,()32321643434P X ==⨯⨯⨯=.可得随机变量X 的分布列为所以数学期望01234614472144121246EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.4核心考点二正态分布正态分布是概率统计中相对较独立的一个考点,且已经从冷点转化为热点,求解此类问题,一般从,μσ入手,对于应用问题,要注意从较大的阅读量中提取有用的信息.【经典示例】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布()2,N μσ．（1）假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在()–3,3μσμσ+之外的零件数,求()1P X …及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在()–3,3μσμσ+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.969.96 10.01 9.929.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑,0.212s ===,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸,1216i =⋯，，，． 用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ,用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除()ˆˆˆˆ3,3μσμσ-+之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ,则()–330.9974P Z μσμσ<<+=,160.99740.9592≈0.09≈．答题模板第一步,读懂题意,从题中提取有用信息；. 第二步,通过计算确定,μδ的值；.5第三步,利用正态分布的性质或3δ解题. 第四步,检验、作答.【满分答案】（1）由题可知尺寸落在()33μσμσ-+，之内的概率为0.9974,落在()33μσμσ-+，之外的概率为0.0026．()()016160C 10.99740.99740.9592P X ==-≈,()()11010.95920.0408P X P X =-=≈-=…,由题可知()~160.0026X B ，,所以()160.00260.0416E X =⨯=. （2）（i ）尺寸落在()33μσμσ-+，之外的概率为0.0026,由正态分布知尺寸落()33μσμσ-+，之外为小概率事件,因此上述监控生产过程的方法合理．（ii ）39.9730.2129.334μσ-=-⨯=,39.9730.21210.606μσ+=+⨯=,()()339.33410.606μσμσ-+=，，,因为()9.229.33410.606∉，, 所以需对当天的生产过程检查． 因此剔除9.22,剔除数据之后：9.97169.2210.0215μ⨯-==．()()()()()222222[9.9510.0210.1210.029.9610.029.9610.0210.0110.02σ=-+-+-+-+-+()()()()()222229.9210.029.9810.0210.0410.0210.2610.029.9110.02-+-+-+-+-+()()()()()22222110.1310.0210.0210.0210.0410.0210.0510.029.9510.02]0.00815-+-+-+-+-⨯≈. 所以0.09σ=≈. 【解题技巧】(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称,及曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于(μ－σ,μ＋σ),(μ－2σ,μ＋2σ),(μ－3σ,μ＋3σ)中的哪一个.模拟训练2．从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图：6(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x ,σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布,求P (187.8<Z <212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用①的结果,求E (X ).附：150≈12.2.若Z ～N (μ,σ2),则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 6,P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 4.核心考点三统计图表的应用频率分布直方图及茎叶图一直是高考考查的热点,近两年折线图、条形图、饼形图等也多有考查,这类问题大多紧密结合社会实际,以现实生活为背景设置试题,注重知识的综合应用与实际应用,作为考查实践能力的重要载体,命题者要求考生会收集、整理、分析数据,能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息,建立数学模型,再应用数学原理和数学工具解决实际问题.该类问题阅读量一般比较大,但难度多为中等或中等偏易.【经典示例】我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费,超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）,将数据按照[)0,0.5,[)0.5,1,⋅⋅⋅,[)4,4.5分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.7（1）求直方图中a 的值；（2）设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,请说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨）,估计x 的值,并说明理由.答题模板第一步,读懂题意,确定各组频率；. 第二步,利用概率之和为1,求a 的值； 第三步,用频率分别直方图估计平均数. 第四步,用样本数据对总体进行估计代换.【满分答案】（1）由频率分布直方图知,月均用水量在[)00.5，中的频率为0.080.50.04⨯=,同理,在[)0.5,1,[)1.5,2,[)22.5，,[)33.5，,[)3.54，,[)44.5，中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02. 由0.04+0.08+0.50.200.260.50.060.040.021a a ⨯+++⨯+++=,解得0.30a =. （2）由（1）,100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率分布,可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为3000000.1236000⨯=.（3）因为前6组的频率之和为0.040.080.150.200.260.15=0.880.85----->, 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.150.200.26=0.730.85--<, 所以2.5 3.x <…由()0.3 2.50.850.73x ⨯-=-,解得 2.9x =. 【解题技巧】1.解决频率分布直方图问题时要抓住：8(1)直方图中各小长方形的面积之和为1.(2)直方图中纵轴表示频率组距,故每组样本的频率为组距×频率组距,即矩形的面积．(3)直方图中每组样本的频数为频率×总体数． 2.频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数等于频率分布直方图中每个小长方形的面积i S 乘以小长方形底边中点的横坐标i x 之和,即平均数=1ni i i S x =∑．模拟训练3．,,A B C 三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表（单位：小时）；（1）试估计C 班的学生人数；（2）从A 班和C 班抽出的学生中,各随机选取一人,A 班选出的人记为甲,C 班选出的人记为乙,假设所有学生的锻炼时间相对独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）再从,,A B C 三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25（单位：小时）,这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1μ,表格中数据的平均数记为0μ,试判断0μ和1μ的大小,（结论不要求证明）.从A 班抽出的学生中选取一人甲有5种选法,从C 班抽出的学生中选取一人乙有8种选法.由分步计数原理知,选出甲、乙两人共有5840⨯=种选法.其中甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的选法有()()6,3,6,4.5()()()6.5,3,6.5,4.5,6.5,6()()()7,3,7,4.5,7,6()()()7.5,3,7.5,4.5,7.5,6()()()()8,3,8,4.5,8,6,8,7.5(其中()6,3表示该周甲、乙的锻炼时间分别是6小时,3小时,其余类推).9共有2333415++++=种. 所以153()408P A ==,即该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率是38. （3）10μμ<.因为表格中三组数据的平均数分别为7,9,8.25,所以总的的平均值,08.2μ=. 新加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08,比0μ小,所以拉低了平均值,即10μμ<.核心考点四回归分析高考对回归分析的考查方向比较固定,即先根据数据确定回归方程,再根据散点图或相关系数判断相关性的强弱,最后根据回归方程进行预测,此类问题运算量一般较大,要注意运算的准确性.【经典示例】下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图y年生活垃圾无害化处理量年份代码t（1）由折线图看出,可用线性回归模型拟合y 与t 的关系,请用相关系数加以说明（2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01）,预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.参考数据：719.32ii y==∑,7140.17i i i t y ==∑0.55= 2.646≈.参考公式：相关系数()()niit t y y r --=∑回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，=.a y bt -1答题模板第一步,利用散点图或相关系数r ,确定两个变量的相关程度的高低；第二步,用最小二乘法求回归直线方程yˆ＝b ˆx ＋a ˆ； 第三步,利用回归直线方程进行预报；第四步,对于非线性(可线性化)的回归分析,一般是利用条件及我们熟识的函数模型,将题目中的非线性关系转化为线性关系进行分析,最后还原．【满分答案】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得4t =,()27128ii tt=-=∑0.55=,()()77711140.1749.32 2.89iii iii i i t t y y t y t y===--=-=-⨯=∑∑∑, 2.890.990.552 2.646r ≈≈⨯⨯.因为y 与t 的相关系数近似为0.99,说明y 与t 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t 的关系.（1）变量y 与t 的相关系数7777()()7iii i i it t y y t y t y r ---⋅==∑∑∑∑,又7128ii t==∑,719.32i i y ==∑,7140.17i i i t y ==∑ 5.292==0.55=,所以740.17289.320.997 5.2920.55r ⨯-⨯=≈⨯⨯,故可用线性回归模型拟合变量y 与t 的关系.（2）4t =,y =7117i i y =∑,所以7172211740.17749.327ˆ0.10287i ii ii t yt y b tt ==-⋅-⨯⨯⨯===-∑∑, 1ˆˆ9.320.1040.937ay bx =-=⨯-⨯≈,所以线性回归方程为ˆ0.10.93y t =+. 当9t =时,ˆ0.190.93 1.83y=⨯+=.因此,我们可以预测2016年我国生活垃圾无害化处理1.83亿吨. 【解题技巧】线性回归分析问题的类型(1)利用回归方程进行预测,把线性回归方程看作一次函数,求函数值．(2)利用回归直线判断正、负相关；决定正相关还是负相关的是系数b ^.(3)回归方程的拟合效果,可以利用相关系数判断,当|r |越趋近于1时,两变量的线性相关性越强．模拟训练4．某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型,并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间(x 个月)和市场占有率(y %)的几组相关对应数据：(1)根据上表中的数据,(2)根据上述回归方程,分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势,并预测自上市起经过多少个月,该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%(精确到月)．附：b ^＝∑i ＝1nx i y i－n x －·y－∑i ＝1nx 2i －n x －2,a ^＝y －－b ^x －.所以线性回归方程为y ^＝0.042x －0.026.(2)由(1)中的回归方程可知,上市时间与市场占有率正相关, 即上市时间每增加1个月,市场占有率约增加0.042个百分点． 由y ^＝0.042x －0.026>0.5,解得x ≥13,故预计上市13个月时,该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%.核心考点五独立性检验在高考中独立性检验常与抽样方法、样本对总体的估计等知识结合在一起考查,难度多为中等或中等以下,属于得分题.【经典示例】某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：K2＝答题模板没有关系；均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人),25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人),从5名工人中随机抽取2人有C25＝10种情形,每种情形都是等可能出现的,其中至少抽到一名“25周岁以下组”工人有C13C12＋C22＝7种,故所求概率P＝.(2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人),“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人),据此可得2×2列联表如图所示：所以K 2＝＝＝≈1.79.因为1.79<2.706,所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关” . 【解题技巧】(1)在列联表中注意事件的对应及相关值的确定,不可混淆．(2)在实际问题中,独立性检验的结论仅是一种数学关系表述,得到的结论有一定的概率出错．(3)对判断结果进行描述时,注意对象的选取要准确无误,应是对假设结论进行的含概率的判断,而非其他．模拟训练5.某公司为评估两套促销活动方案（方案1运作费用为5元/件；方案2的运作费用为2元/件）,在某地区部分营销网点进行试点（每个试点网点只采用一种促销活动方案）,运作一年后,对比该地区上一年度的销售情况,制作相应的等高条形图如图所示．（1）请根据等高条形图提供的信息,为该公司今年选择一套较为有利的促销活动方案（不必说明理由）； （2）已知该公司产品的成本为10元/件（未包括促销活动运作费用）,为制定本年度该地区的产品销售价格,统计上一年度的8组售价i x （单位：元/件,整数）和销量i y （单位：件）（1,2,,8i =）如下表所示：①请根据下列数据计算相应的相关指数2R ,并根据计算结果,选择合适的回归模型进行拟合； ②根据所选回归模型,分析售价x 定为多少时？利润z 可以达到最大.（附：相关指数()()22121ˆ1ni i i n ii y yR y y ==-=--∑∑）回归模型211003ˆ2yx =-+对应的相关指数230.9986R =. 因为222321R R R >>,所以采用回归模型211003ˆ2yx =-+进行拟合最为合适. ②由（1）可知,采用方案1的运作效果较方案2好, 故年利润()211200153z x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭, ()()3040z x x '=-+-, 当()0,40x ∈时, ()211200153z x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭单调递增； 当()40,x ∈+∞时, ()211200153z x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭单调递减, 故当售价40x =时,利润达到最大.本文档仅供文库使用。
【大师特稿】2018届高考数学(理)热点题型：概率与统计(含答案)
概率与统计热点一 常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式.【例1】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列.解 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4). 则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i . (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥，∴P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19. (3)依题设，ξ的所有可能取值为0，2，4.且A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥.则P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 3)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝4081， P (ξ＝4)＝P (A 0＋A 4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝1781.所以ξ的分布列是【类题通法】(1)本题4个人中参加甲游戏的人数服从二项分布，由独立重复试验，4人中恰有i 人参加甲游戏的概率P ＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i ，这是本题求解的关键. (2)解题中常见的错误是不能分清事件间的关系，选错概率模型，特别是在第(3)问中，不能把ξ＝0，2，4的事件转化为相应的互斥事件A i 的概率和.【对点训练】甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分.(1)求ξ＝2的概率；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率.解 (1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，故P (ξ＝2)＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×12＝1124； (2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A ，甲队比乙队得分高为事件B .设乙队得分为η，则η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23.。
(完整word版)2018年高考数学总复习概率及其计算
第十三章概率与统计本章知识结构图第一节 概率及其计算考纲解读1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。
2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。
3.掌握古典概型及其概率计算公式。
4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。
5.了解几何概型的意义。
命题趋势探究1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。
2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。
知识点精讲一、必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下：①必然要发生的事件叫必然事件； ②一定不发生的事件叫不可能事件；③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。
二、概率在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。
对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0.三、基本事件和基本事件空间在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。
四、两个基本概型的概率公式1、古典概型条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同()(A)=()A card P A card =Ω包含基本事件数基本事件总数2、几何概型条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为Aμ.()P A =AμμΩ。
五、互斥事件的概率1、互斥事件在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。
事件A 与事件B 互斥，则()()()P A B P A P B =+ 。
2、对立事件事件A,B 互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B 对立，记作B A =或A B =。
()()1P A p A =- 。
3、互斥事件与对立事件的联系对立事件必是互斥事件，即“事件A ，B 对立”是”事件A ，B 互斥“的充分不必要条件。
专题03 统计与概率-高考数学备考关键问题指导高端精品(2018版)(原卷版)
专题三统计与概率【高考考场实情】统计与概率在高考考查中一般有一道选择题或填空题、一道解答题，共2道题，分值为17分．高考对这一部分的考查难度相对稳定，选择、填空题为容易题, 解答题为中等难度题．选择题在前六题的位置，填空题在前二题的位置，解答题在前三题的位置．选择、填空题常考古典概型、几何概型（理科时而考查对立事件、相互独立事件概率及独立重复试验的概率）。
【考查重点难点】解答题以频率分布表、频率分布直方图、柱形图、折线图、茎叶图等五个样本频率分布图表为载体，理科侧重考查随机变量的分布列及期望，文科侧重考查样本数字特征的应用，突出了对应用意识、数据处理能力及创新能力的考查．下面对学生存在的主要问题进行剖析，并提出相应的教学对策．【存在问题分析】1．概念理解不透【指点迷津】本专题中，概念理解不到位的有事件、模型的判断等；容易混淆的概念有互斥事件与对立事件、超几何分布与二项分布、二项展开式的通项公式与次独立重复试验中事件发生次的概率等．【例1】已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性，则在另外2只中任取l只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．2．审题析题不到位【指点迷津】审题析题不清是本专题解答错误的主要原因，主要包括题意不清，茫然作答；阅读肤浅，丢失信息；条件欠缺，鲁莽下笔；图形不准，缺乏严密；方向不明，目标模糊等情况．审题不清的最主要原因在于学生的阅读理解能力欠缺．【例2】（2017年全国卷Ⅰ理19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．（Ⅰ）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（Ⅱ）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.12 9.96 9.9610.019.92 9.9810.0410.26 9.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．附：若随机变量服从正态分布，则，，．3．读图识图能力弱【指点迷津】学生面对一堆数据无从下手，主要原因是对数据、图表的直观印象和积累储备的知识经验不够；没有形成“用数据说话”的统计观念；对抽象数据的数字特征理解不到位．【例3】（2016年全国卷Ⅲ理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中点表示十月的平均最高气温约为，点表示四月的平均最低气温约为．下面叙述不正确的是（）(A)各月的平均最低气温都在以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均最高气温高于的月份有5个4．解题规X性较差【指点迷津】涉及本专题内容的考查，学生失误和失分最多的是会而不对、对而不全和全而不准，如不能用字母表示事件，导致在利用简单事件表示复杂事件书写混乱；解答过程缺失关键步骤，丢三落四，导致丢分等．【例4】端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．5. 运算能力弱【指点迷津】运算求解能力主要是指会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似计算.本专题中，学生运算能力弱主要体现在不能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，不能根据要求对数据进行估计和近似计算.【例5】（2017年全国卷Ⅰ文19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16零件尺寸9.95 10.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得，，，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．（Ⅰ）求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（Ⅱ）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本的相关系数．．【解决问题对策】1．关注统计图表的教学【指点迷津】高考试卷的解答题往往以频率分布表、频率分布直方图、柱形图、折线图、茎叶图五个样本频率分布图表为载体，理科侧重考查随机变量的分布列及期望，文科侧重考查样本数字特征的应用，突出了对应用意识、数据处理能力及创新能力的考查．复习过程中，应充分利用五个样本频率分布图表，让学生会从图表中读取有用数据，或根据问题需要选择合适图表，依据统计学中的方法对数据进行分析，作出合理的决策．【例6】【2015年全国卷Ⅱ文、理3】根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图．以下结论不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关2．关注样本数字特征的含义【指点迷津】在复习中，应关注众数、中位数、平均数（期望）、方差与标准差有的含义，并能根据解决问题的需要选择合理的数字特征说明问题．【例7】【2014年课标卷Ⅱ文19】某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．3. 厘清事件及其概率【指点迷津】复习过程中，应厘清事件间的关系，准确计算相关事件的概率．特别要求学生能将复杂事件进行分解，先分解为互斥事件，每个互斥事件又分解为两个相互独立事件的积事件．【例8】（2013年全国卷Ⅰ理19）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为．如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．(Ⅰ)求这批产品通过检验的概率；(Ⅱ)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．4．关注概率模型的识别与应用【指点迷津】复习过程中，应关注概率模型的识别与应用，一定要注意弄清题意，找出题中的关键字词，厘清各种概率模型及适用X围．如超几何分布和二项分布是教材中两个重要概率分布，二项分布与超几何分布的区别为，二项分布是有放回的抽样，每做一次事件，事件A发生的概率是相同的；超几何分布是不放回的抽样，每做一次事件，事件A发生的概率是不相同的．【例9】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品作为样本，测得它们的重量（单位：克），将重量按如下区间分组：，，，，，得到样本的频率分布直方图（如图所示）．若规定重量超过495克但不超过510克的产品为合格产品，且视频率为概率，回答下列问题：(Ⅰ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设为合格产品的数量，求的分布列和数学期望；(Ⅱ）若从流水线上任取3件产品，求恰有2件合格产品的概率．5．关注用样本估计总体的思想分析解决问题【指点迷津】复习过程中，应让学生掌握，为了考察一个总体的情况，在统计中通常是从总体中抽取一个样本，用样本的有关情况去估计总体的相应情况．这种估计大体分为两类：用样本的频率分布估计总体的分布、用样本的数字特征估计总体的数字特征．其次，“预测与决策”与人们的生活休戚相关．随着社会的不断进步，人们对许多实际问题会有多种解决方案，但哪种方案最有利于解决问题，需要进行科学的决策．而通过期望、方差等的计算，并进行大小比较，就是其中的一种科学预测与决策的手段．【例10】【2016年课标Ⅰ理19】某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（Ⅰ）求的分布列；（Ⅱ）若要求,确定的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个？6．关注“冷门”知识的复习【指点迷津】高考是对高中阶段学习结果的大检阅，统计与概率的考查，在突出核心知识考查的同时，也关注知识点的覆盖面．因此，在复习教学中，要全面检索高中阶段的所有知识，特别是不能忽视对所谓的“冷门知识”的复习，如正态分布、条件概率、相关系数、残差图、拟合效果等．【例11】【2015年课标Ⅰ理18】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费(单位：千元)对年销售量(单位：)和年利润(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费和年销售量()数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中，(Ⅰ)根据散点图判断，y与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；(Ⅲ)以知这种产品的年利率与、的关系为．根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：（i）年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？(ii)年宣传费为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．7．加强阅读理解能力培养与训练【指点迷津】统计与概率进一步强化应用意识的考查，已成高考命题改革的必然趋势，试卷试题文字阅读量的逐年增加，或成高考试卷的发展趋势．复习中，应规X教学的阅读指导．应该呈现读题提取关键信息、析题形成解题思路、解题示X规X表达、反思积淀解题经验的“四步曲”完整过程，才能充分发挥解题教学的效益．其次，加强平时的阅读训练．需要适当增加平时作业习题的阅读量，尤其是应用性试题的读题训练，提高学生的阅读理解能力及应试心态．【例12】【2014年课标Ⅰ理18】从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．(i)利用该正态分布，求；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求．附：≈12.2．若～，则=0.6826，=0.9544．8．规X答题表达形式【指点迷津】规X答题，一方面，思考问题要规X．也就是从知识的源头出发，弄清知识的来龙去脉．知识是怎么要求的，就怎么想、怎么用、怎么写，不能模棱两可，要会运用知识进行思考；另一方面，书写要规X．书写规X是一个重要的高考增分点，这一点应引起足够重视．如解题中应注意用字母表示事件，注意作答等．【例13】（2015年全国卷Ⅱ理18）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．【新题好题训练】1．某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概率为，两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为，则在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为（）A. B. C. D.2．某科研机构为了研究中年人秃头是否与患有心脏病有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表所示：根据表中数据得，断定秃发与患有心脏病有关，那么这种判断出错的可能性为A. 0.1B. 0.05C. 0.01D. 0.0013．从某工厂的一个车间抽取某种产品件，产品尺寸（单位：）落在各个小组的频数分布如下表：数据分组频数（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在的概率；（2）求这件产品尺寸的样本平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（3）根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸服从正态分布，其中近似为样本平均值，近似为样本方差，经过计算得，利用该正态分布，求.附：①若随机变量服从正态分布，则，；②.4．为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“整治散落污染企业”等．下表是该市2016年11月份和2017年11月份的空气质量指数（）（指数越小，空气质量越好）统计表．根据表中数据回答下列问题：（1）将2017年11月的空气质量指数数据用该天的对应日期作为样本编号，再用系统抽样方法从中抽取6个数据，若在2017年11月16日到11月20日这五天中用简单随机抽样抽取到的样本的编号是19号，写出抽出的样本数据；（2）从（1）中抽出的6个样本数据中随机抽取2个，求这2个数据之差的绝对值小于30的概率；（3）根据《环境空气质量指数（）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为（含50）时，空气质量级别为一级，求出这两年11月空气质量指数为一级的概率，你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效？5．近年来,随着科学技术迅猛发展,国内有实力的企业纷纷进行海外布局,如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头,某品牌手机公司一直默默拓展海外市场,在海外设多个分支机构需要国内公司外派大量80后、90后中青年员工.该企业为了解这两个年龄层员工对是否愿意接受外派工作的态度随机调查了100位员工,得到数据如下表:愿意接受外派人数不愿意接受外派人数合计80后20 20 4090后40 20 60合计60 40 100(Ⅰ)根据调查的数据,判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄层有关”,并说明理由;(Ⅱ)该公司选派12人参观驻海外分支机构的交流体验活动，在参与调查的80后员工中用分层抽样方法抽出6名,组成80后组,在参与调查的90后员工中，也用分层抽样方法抽出6名，组成90后组①求这12 人中,80后组90后组愿意接受外派的人数各有多少?②为方便交流,在80后组、90后组中各选出3人进行交流,记在80后组中选到愿意接受外派的人数为,在90 后组中选到愿意接受外派的人数为,求的概率.参考数据:参考公式:，其中6．某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况，从本市全体高一学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析。
最新-2018高考数学点 概率与统计 选择题专项 精品
【命中考心】2018高考数学必考点之概率与统计 选择题专项一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．要从已编号（1·50）的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是（ ）A ．5,10,15,20,25B ．3,13,23,33,43C ．1,2,3,4,5D ．2,4,8,16,32【解析】B 根据系统抽样的规则,1到10一段，11到20一段，如此类推，那么每一段上都应该有号码．2． ①教育局督学组到学校检查工作，需在高三年级的学号为001·800的学生中抽调20人参加关于学校管理的综合座谈；②该校高三年级这800名学生期中考试的数学成绩有160在120分以上（包括120分），480人在120以下90分以上（包括90分），其余的在90分以下，现欲从中抽出20人研讨进一步改进数学教和学的座谈；③该校高三年级这800名学生参加2018年元旦聚会，要产生20名“幸运之星”． 以上三件事，合适的抽样方法依次为 （ ）A ．系统抽样，分层抽样，系统抽样B ．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样C ．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样D ．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样【解析】D 参加学校管理的综合座谈采用系统抽样较好，具有代表性；研究数学教与学的问题采用分层抽样较为合适，这样可以使研究更能反映不同层次的学生；“幸运之星”就不能在用系统抽样，那样就不具有“幸运”之意了，合适的抽样方法就是用简单随机抽样，以体现“幸运”之意．3．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本，有以下三种抽样方法：①采用随机抽样法，将零件编号为00,01,,99，抽签取出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组随机抽取1个；③采用分层抽样法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．则下述判断中正确的是 （ ）A ．不论采用何种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的可能性均为51B ．①、②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的可能性均为51；③并非如此C ．①、③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的可能性均为51；②并非如此D ．采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的可能性是各不相同的【解析】A 三种抽样方法的特点就是保证了每个个体从总体中抽到的可能性都相同，保证了公平性。
(完整版)2018年高考统计与概率专题
2018年高考统计与概率专题（全国卷1文）2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位:kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A ．x 1，x 2,…,x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…,x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数【答案】B【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差,故选B（全国卷1理）2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图。
正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π4【考点】:几何概型【思路】：几何概型的面积问题，=P 基本事件所包含的面积总面积.【解析】：()21212=82r S P S r ππ==，故而选B 。
(全国卷2理）6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种（全国卷2文）6。
如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A.90πB 。
63πC 。
42π D.36π【答案】B【解析】由题意,该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱,故其体积为2213634632V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B 。
（天津卷)文（3）有5支彩笔（除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫。
从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(A）45(B)35(C）25（D）15（全国卷2文）11.从分别写有1，2，3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.110B.15C。
(完整word版)2018年高考数学总复习概率及其计算
第十三章概率与统计本章知识结构图统计概率第一节概率及其计算考纲解读1. 了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。
2. 了解两个互斥事件的概率的加法公式。
3. 掌握古典概型及其概率计算公式。
4. 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。
5. 了解几何概型的意义。
命题趋势探究1. 本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。
2. 命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、 对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。
知识点精讲一、 必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下：① 必然要发生的事件叫必然事件； ② 一定不发生的事件叫不可能事件； ③ 可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。
二、 概率在相同条件下，做次重复实验，事件 A 发生次，测得 A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动， 随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫 做A 的概率，记作。
对于必然事件A,;对于不可能事件 A, =0.三、 基本事件和基本事件空间在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件， 所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。
四、 两个基本概型的概率公式1、古典概型条件：1、基本事件空间含有限个基本事件2、每个基本事件发生的可能性相同P AA 包含基本事件数 =card (A) 基本事件总数=card ()2、几何概型条件：每个事件都可以看作某几何区域的子集A ，A 的几何度量(长度、面积、体积或时间)记为五、互斥事件的概率1互斥事件在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。
事件A与事件B互斥，则P AUB P A P B2、对立事件事件A,B互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B对立，记作B A或A B。
P A 1 p A。
3、互斥事件与对立事件的联系对立事件必是互斥事件，即“事件A, B对立”是”事件 A B互斥“的充分不必要条件。
2018年高三数学高考考前综合提升训练：概率与统计(解析版附后)
2018年高三数学高考考前综合提升训练：概率与统计(用时40分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1,2，…，60.选取的这6名学生的编号可能是( ) A ．1,2,3,4,5,6 B ．6,16,26,36,46,56 C ．1,2,4,8,16,32D ．3,9,13,27,36,542．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x A.y ^＝x －1 B.y ^＝x ＋1 C.y ^＝12x ＋88D.y ^＝176 3．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A ．r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1B ．r 4＜r 2＜0＜r 1＜r 3C ．r 4＜r 2＜0＜r 3＜r 1D ．r 2＜r 4＜0＜r 1＜r 34．一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻着一点至六点．甲、乙两人各掷骰子一次，则甲掷骰子向上的点数大于乙掷骰子向上的点数的概率为( ) A.29 B.14 C.512D.125．在一次学业水平测试中，小明成绩在60～80分的概率为0.5，成绩在60分以下的概率为0.3，若规定考试成绩在80分以上为优秀，则小明成绩为优秀的概率为( ) A ．0.2B ．0.3C ．0.5D ．0.86．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝13x ＋a ，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a 的值是( )A.116B.18C.14D.127．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是( ) A.16 B.13 C.12D.388．在区间(－5,5)内随机地取出一个实数a ，使得不等式2＋a －a 2＞0成立的概率是( ) A.110 B.310 C.510D.7109．从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( ) A.13 B.512 C.12D.71210．已知函数f (x )＝log 2x ，若在[1,4]上随机取一个实数x 0，则使得f (x 0)≥1成立的概率为( ) A.13 B.12 C.23D.3411．从等腰直角△ABC 的斜边AB 上任取一点P ，则△APC 为锐角三角形的概率是( ) A ．1 B.12 C.13D.1612．20名志愿者中女生8人，男生12人，按性别用分层抽样方法从中抽取5人，再从5人中抽取2人，则至少抽到一名女生的概率是( ) A.12 B.14 C.25D.710二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．甲、乙两名同学在5次数学测验中的成绩统计如茎叶图所示，则甲、乙两人5次数学测验的平均成绩依次为________．14．某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中a 的值为________．15．在长为16 cm 的线段AB 上任意取一点C ，以CA ，CB 为邻边长做一个矩形，则该矩形面积大于60 cm 2的概率为________．16．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心．在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．2018年高三数学高考考前综合提升训练：概率与统计（解析版）(用时40分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1,2，…，60.选取的这6名学生的编号可能是( ) A ．1,2,3,4,5,6 B ．6,16,26,36,46,56 C ．1,2,4,8,16,32D ．3,9,13,27,36,54解析：选B.系统抽样是等间隔抽样，故选B.2．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x A.y ^＝x －1 B.y ^＝x ＋1 C.y ^＝12x ＋88D.y ^＝176 解析：选 C.由已知得x ＝176，y ＝176，因为点(x ，y )必在回归直线上，代入选项验证可知C 正确．3．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A ．r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1B ．r 4＜r 2＜0＜r 1＜r 3C ．r 4＜r 2＜0＜r 3＜r 1D ．r 2＜r 4＜0＜r 1＜r 3解析：选A.由相关系数的定义，以及散点图所表达的含义可知r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1，故选A. 4．一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻着一点至六点．甲、乙两人各掷骰子一次，则甲掷骰子向上的点数大于乙掷骰子向上的点数的概率为( ) A.29B.14C.512D.12解析：选C.依题意，所求的概率等于5＋4＋3＋2＋136＝512，故选C.5．在一次学业水平测试中，小明成绩在60～80分的概率为0.5，成绩在60分以下的概率为0.3，若规定考试成绩在80分以上为优秀，则小明成绩为优秀的概率为( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.5D ．0.8解析：选A.小明成绩为优秀的概率P ＝1－0.5－0.3＝0.2，故选A.6．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝13x ＋a ，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a 的值是( )A.116B.18C.14D.12解析：选B.依题意可知样本点的中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，38， 则38＝13×34＋a ，解得a ＝18. 7．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是( ) A.16 B.13 C.12D.38解析：选C.依题意，将题中的两张卡片排在一起组成两位数共有6种情况，其中奇数有3种情况，因此所求的概率等于36＝12，故选C.8．在区间(－5,5)内随机地取出一个实数a ，使得不等式2＋a －a 2＞0成立的概率是( ) A.110 B.310 C.510D.710解析：选B.2＋a －a 2＞0, 得－1＜a ＜2. 所以由几何概型知其概率为2－－5－－＝310，故选B.9．从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( ) A.13 B.512 C.12D.712解析：选A.从2名男生和2名女生中任选两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，共有12种选法，其中星期六安排一名男生，星期日安排一名女生的结果有4种，所求概率为412＝13，故选A.10．已知函数f (x )＝log 2x ，若在[1,4]上随机取一个实数x 0，则使得f (x 0)≥1成立的概率为( ) A.13 B.12 C.23D.34解析：选C.由f (x 0)＝log 2x 0≥1，解得x 0≥2，故所求概率是4－24－1＝23，故选C.11．从等腰直角△ABC 的斜边AB 上任取一点P ，则△APC 为锐角三角形的概率是( ) A ．1 B.12 C.13D.16解析：选B.依题意，取AB 的中点M ，连接CM ，则CM ⊥AB ，结合图形分析可知，当点P 介于点B ，M (不含点B ，M )之间时，△APC 为锐角三角形，因此所求的概率等于12，故选B.12．20名志愿者中女生8人，男生12人，按性别用分层抽样方法从中抽取5人，再从5人中抽取2人，则至少抽到一名女生的概率是( ) A.12 B.14 C.25D.710解析：选D.每个人被抽到的概率为520＝14，由分层抽样知，女生要抽8×14＝2人，男生要抽3人，记女生为n 1，n 2，记男生为m 1，m 2，m 3，现从中抽取2人，则总的基本事件为(n 1，n 2)，(n 1，m 1)，(n 1，m 2)，(n 1，m 3)，(n 2，m 1)，(n 2，m 2)，(n 2，m 3)，(m 1，m 2)，(m 1，m 3)，(m 2，m 3)，共10个，至少有一个女生的基本事件数为7个，故概率P ＝710，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．甲、乙两名同学在5次数学测验中的成绩统计如茎叶图所示，则甲、乙两人5次数学测验的平均成绩依次为________．解析：由茎叶图可得x 甲＝72＋74＋88＋85＋965＝83，x 乙＝77＋79＋81＋93＋905＝84.答案：83,8414．某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中a 的值为________．解析：由题知组距为10，根据频率分布直方图得(0.04＋0.03＋0.02＋2a )×10＝1，解得a ＝0.005. 答案：0.00515．在长为16 cm 的线段AB 上任意取一点C ，以CA ，CB 为邻边长做一个矩形，则该矩形面积大于60 cm 2的概率为________．解析：设CA ＝x (x ∈(0,16))，则CB ＝16－x ，故矩形的面积S ＝x (16－x )，令x (16－x )＞60，解得6＜x ＜10，故所求概率P ＝10－616＝14.答案：1416．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心．在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 解析：依题意得知，所求的概率等于⎝ ⎛⎭⎪⎫π×12×2－12×43π×13π×12×2＝23.2答案：3。
2018届高考数学(理)热点题型：概率与统计((有答案))
2018届高考数学(理)热点题型：概率与统计((有答案))D23456＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为X 2 3 4 5 P59291081881E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能值； 第二步：求每一个可能值所对应的概率； 第三步：列出离散型随机变量的分布列； 第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【对点训练】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和507元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 解 (1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X 的所有可能取值为20，60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为X 20 60 P1212所以顾客所获的奖励额的数学期望为E (X )＝20×12＋60×12＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2. 以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1 20 60 100 P162316X 1的数学期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60(元)，X1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X240 60 80P162316X2的数学期望为E(X2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60(元)，X2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.热点三概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.89解 (1)由频率分布直方图知： 第3组的人数为5×0.06×40＝12. 第4组的人数为5×0.04×40＝8. 第5组的人数为5×0.02×40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组，第4组，第5组中分别抽取3人，2人，1人. ①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A ，则 P (A )＝1－C 310C 312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为511.②X 的所有可能取值为0，1，2，P (X ＝0)＝C 24C 26＝25，P (X ＝1)＝C 12C 14C 26＝815，P (X ＝2)＝C 22C 26＝115.所以X 的分布列为X 0 1 2 P25815115E (X )＝0×25＋1×815＋2×115＝1015＝23.【类题通法】本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X 服从超几何分布.【对点训练】某公司为了解用户对某产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；C B1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；C B2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，C＝C B1C A1∪C B2C A2.P(C)＝P(C B1C A1∪C B2C A2)10＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2) ＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2).由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，即P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，故P (C )＝1020×1620＋820×420＝0.48.热点四 统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查.【例4】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄. 附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝，a ^＝y －b ^ x ，其中x ，y 为样本平均值.解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑n i ＝1x i ＝8010＝8， y ＝1n ∑n i ＝1y i＝2010＝2， 又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24， 由此得b ^＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关.(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).【类题通法】(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r来确定，r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用b^，a^的公式进行准确的计算.【对点训练】4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？非读书迷读书迷总计男15女45总计(2)将频率视为概率.1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、期望E(X)和方差D(X).解(1)完成2×2列联表如下：非读书迷读书迷总计男401555女202545总计60 40 100K 2＝100×（40×2560×40×55×45≈8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.(2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P ＝25.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，P (X ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353－i (i ＝0，1，2，3). X 的分布列为X 0 1 2 3 P2712554125361258125均值E (X )＝np ＝3×25＝65，方差D (X )＝np (1－p )＝3×25×⎝⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.。
解密26+统计与概率的综合-备战2018年高考数学(理)之高频考点解密+Word版含解析
考点1 古典概型与统计交汇考查题组一古典概型与用样本估计总体交汇考查调研1 某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产495,510内的产品为合格品，否则为不合格品，品作为样本，并称出它们的重量（单位：克），重量值落在[)统计结果如表：（1）求甲流水线样本中合格品的频率；（2）从乙流水线上重量值落在[]505,515内的产品中任取2件产品，求这2件产品中恰好只有一件合格的概率．【解析】（1）由频数分布表可知，甲流水线样本中合格品数为814830++=， 故甲流水线样本中合格品的频率为300.7540=． （2）乙流水线上重量值落在[]505,515内的合格产品件数为0.025404⨯⨯=， 不合格产品件数为0.015402⨯⨯=．设合格产品的编号为a ，b ，c ，d ，不合格产品的编号为e ，f ．抽取2件产品的基本事件空间为(){,a b =Ω，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a f ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b f ，(),c d ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),}e f ，共15个．用A 表示“2件产品中恰好只有一件合格”这一基本事件，则(){,A a e =，(),a f ，(),b e ，(),b f ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),}d f ，共8个，故所求的概率为815P =．☆技巧点拨☆求解古典概型与用样本估计总体交汇问题的模型(1)识图：即能读懂已知频率分布直方图或茎叶图所隐含的信息并进行信息提取．(2)转化：即对文字语言较多的题，需要根据题目信息耐心阅读，步步实现文字语言与符号语言间的转化． (3)计算：即对频率分布直方图或茎叶图所反馈的信息进行提取，并结合古典概型的概率公式进行运算．题组二古典概型与独立性检验的交汇考查调研2 随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”的赞成人数如下表：（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；（2）若从年龄在[25,35）和[55,65）的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求3人中至少有1人年龄在[55,65）的概率.参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.参考数据：【解析】（1）根据条件得22⨯列联表：根据列联表所给的数据，计算得到2K 所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关. （2）由分层抽样可知： [55,65）（岁）抽取562105⨯=+（人）；[25,35）（岁）抽取1064105⨯=+（人）.年龄在[55,65）（岁）记为,A B ，年龄在[25,35）（岁）记为,,,a b c d ，则从6人中任取3人的所有情况为：(),,A B a 、(),,A B b 、(),,A B c 、(),,A B d 、(),,A a b 、(),,A a c 、(),,A a d 、(),,A b c 、(),,A b d 、(),,A c d 、(),,B a b 、(),,B a c 、(),,B a d 、(),,B b c 、(),,B b d 、(),,B c d 、()()()(),,,,,,,,a b c a b d a c d b c d 、、、，共20种情况，其中至少有一人年龄在[55,65）岁的情况有： (),,A B a 、(),,A B b 、(),,A B c 、(),,A B d 、(),,A a b 、(),,A a c 、(),,A a d 、(),,A b c 、(),,A b d 、(),,A c d 、(),,B a b 、(),,B a c 、(),,B a d 、(),,B b c 、(),,B b d 、(),,B c d ，共16种情况.记至少有一人年龄在[55,65）岁为事件A ，则()164205P A ==. 故至少有一人年龄在[55,65）岁的概率为45.☆技巧点拨☆古典概型与独立性检验的交汇问题的解题策略(1)古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助表格，树状图列举；同时注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都有等可能性．(2)独立性检验是用来考察两个分类变量是否有关系，计算随机变量的观测值K 2，K 2越大，说明两个分类变量有关系的可能性越大．考点2 随机变量及其分布与统计交汇考查题组一随机变量及其分布与用样本估计总体交汇考查调研1 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．(1)求这200人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)；(2)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求这2组恰好抽到2人的概率；(3)若从所有参与调查的人(人数很多)中任意选出3人，设其中关注环境治理和保护问题的人数为随机变量，求的分布列与数学期望．【解析】(1)由，得，则平均数为岁.设中位数为，则，故．(2)第1,2组抽取的人数分别为2，3．设第2组中恰好抽取2人的事件为，则．(3)从所有参与调查的人中任意选出1人，关注环境治理和保护问题的概率为，的所有可能取值为0，1,2,3，∴，，，，所以的分布列为：∵，∴．题组二随机变量及其分布与独立性检验的交汇考查调研2 心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某高中数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（1）能否据此判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）将以上列联表中女生选做几何题的频率作为概率，从该校1500名女生中随机选6名女生，记6名女生选做几何题的人数为，求的数学期望和方差.附表：参考公式：，其中.【解析】（1）由表中数据计算得的观测值为，可以判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关.（2）以列联表中女生选做几何题的频率作为概率，从该校名女生中随机选名女生，记名女生选做几何题的人数为，则服从二项分布，根据二项分布的期望公式可得数学期望为，根据二项分布的方差公式可得方差为.1．（福建省南平市2018届高三第二次（5月）综合质量检查）五四青年节活动中，高三(1)、(2)班都进行了3场知识辩论赛，比赛得分情况的茎叶图如图所示（单位：分），其中高三(2)班得分有一个数字被污损，无法确认，假设这个数字具有随机性()，那么高三(2)班的平均得分大于高三(1)班的平均得分的概率为A．B．C．D．【答案】D【解析】由茎叶图可得高三（1）班的平均分为，高三（2）的平均分为，由，得10>x>5,又，所以x可取6，7，8，9，故所求的概率为，选D．2．（百校联盟2018届高三TOP20四月联考）某高中在今年的期末考试历史成绩中随机抽取名考生的笔试成绩，作出其频率分布直方图如图所示，已知成绩在中的学生有1名，若从成绩在和两组的所有学生中任取2名进行问卷调查，则2名学生的成绩都在中的概率为A．B．C．D．【答案】C3．（山东省名校联盟2018年第一次适应性模拟试题）某市一中毕业生有3000名，二中毕业生有2000名．为了研究语文高考成绩是否与学校有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取100名学生，先统计了他们的成绩（折合成百分制），然后按“一中”、“二中”分为两组，再将成绩分为5组，，，，，，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图：（1）从成绩在90分（含90分）以上的学生中随机抽取2人，问至少抽到一名学生是“一中”的概率；（2）规定成绩在70分以下为“成绩不理想”，请根据已知条件构造列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“成绩理想不理想与所在学校有关”？附：【答案】(1);(2)见解析.（2）列联表如下：将列联表中的数据代入公式，可得：，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“成绩理想不理想与所在学校有关”.4．（2018届陕西省高三教学质量检测）某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需的时间(单位:分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为(1)求直方图中的值；(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；(3)从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于 40分钟的人数记为，求的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)【答案】( 1 )；(2)；(3)见解析.(3)的可能取值为0，1，2，3，4.5．（河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试） 2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣．（1）完成下面的列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？（2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望和方差．附表：参考公式：【答案】（1）见解析；（2）见解析.（2）由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是，将频率视为概率，即从大一学生中抽取一名学生，对冰球有兴趣的概率是，由题意知，从而X的分布列为：，.6．（安徽省“皖南八校”2018届高三第三次（4月）联考数学试题）自2016年底，共享单车日渐火爆起来，逐渐融入大家的日常生活中，某市针对18岁到80岁之间的不同年龄段的城市市民使用共享单车情况进行了抽样调查，结果如下表所示：（1）采用分层抽样的方式从年龄在内的人中抽取人，求其中男性、女性的使用人数各为多少？（2）在（1）中选出人中随机抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率；（3）用样本估计总体，在全市18岁到80岁的市民中抽取4人，其中男性使用的人数记为，求的分布列.【答案】（1）男性、女性人数分别为6,4；（2）；（3）见解析.,所以分布列为：1．（2017新课标全国II理科）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）0.4092；（2）见解析；（3）52.35kg .【解析】（1）记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg ”，由题意知()()()()P A P BC P B P C ==，旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为()0.0120.0140.0240.0340.04050.62++++⨯=， 故()P B 的估计值为0.62．新养殖法的箱产量不低于50kg 的频率为()0.0680.0460.0100.00850.66+++⨯=， 故()P C 的估计值为0.66．因此，事件A 的概率估计值为0.620.660.4092⨯=．2． (2016新课标全国I理科)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？ 【答案】（I ）见解析；（II ）19；（III ）19=n .（III ）记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当19=n 时，08.0)500220019(2.0)50020019(68.020019⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=EY。