2012届高考数学(文)二轮复习方案课件(课标版)第7讲 平面向量

第7讲 │ 主干知识整合
对于任意向量 a，若以不共线的向量 e1，e2 作为基底，则存在唯一的 一组实数对 λ，μ，使 a＝λe1＋μe2.
5．向量的坐标运算 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－ x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，a·b＝x1x2＋y1y2. 6．数量积 (1)已知 a，b 的夹角为〈a，b〉＝θ(θ∈[0，π])，则它们的数量积为 a·b＝a·bcosθ，其中bcosθ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影．向量的数量 积满足交换律、数乘结合律和分配律，但不满足结合律，即 a·(b·c)＝(a·b)·c 不一定成立； (2)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2； (3)两非零向量 a，b 的夹角公式为 cosθ＝aa··bb＝ x21x＋1xy221＋·yx1y22＋2 y22； (4)a2＝a·a； (5)两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零．
第7讲 │ 要点热点探究
► 探究点二 平面向量的数量积
例 2 （1)[2011·江西卷] 已知两个单位向量 e1，e2 的夹角 为π3，若向量 b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则 b1·b2＝________.
(2)若向量 a＝(1,1)，b＝(－1,2)，则 a·b 等于________．
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已知 A、B、C 三点不共线，且点 O 满足O→A＋O→B ＋O→C＝0，则下列结论正确的是( )
A.O→A＝13A→B＋23B→C B.O→A＝23A→B＋13B→C C.O→A＝－13A→B－23B→C D.O→A＝－23A→B－13B→C
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D 【解析】 依题意，由O→A＋O→B＋O→C＝0， 得 3O→A＝－A→B－A→C，所以O→A＝－23A→B－13B→C，选择 D.
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► 探究点一 平面向量的概念及线性运算
例 1 如图 7－1，正六边形 ABCDEF 中，B→A＋C→D＋E→F＝ ()
A．0
B.B→E
图 7－1 C.A→D D.C→F
第7讲 │ 要点热点探究
【分析】 首先结合正六边形特征，借助向量相等和向量的 三角形法则，应用向量的加、减法得出结论．
【分析】 (1)首先借助数量积的运算性质把 b1·b2 用已 知的单位向量 e1，e2 表示出来，然后借助数量积的定义求 出结果．(2)直接运用向量数量积的坐标运算．
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(1)－6 (2)1 【解析】(1)由题设知|e1|＝|e2|＝1 且 e1·e2 ＝12，所以 b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e21－2e1·e2－8e22＝3 －2×12－8＝－6.
第7讲 平面向量
第7讲 平面向量
第7讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1．平面向量的基本概念 向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量． 2．平面向量的线性运算 (1)加减运算；(2)数乘运算． 3．共线向量定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ， 使 b＝λ·a.如果向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件 是 x1y2＝x2y1 或者 x1y2－x2y1＝0，即用坐标表示的两个向量平行的 充要条件是它们坐标的交叉之积相等．当其中一个向量的坐标都 不是零时，这个充要条件也可以写为xx21＝yy21，即对应坐标的比值相 等．
【分析】 (1)从向量共线入手，借助向量共线的坐标表 示，不难得出最后结论．(2)利用两个向量垂直，数量积为 0， 从而得出 k 的值．
第7讲 │ 要点热点探究
(1)1 (2)1 【解析】 (1)因为 a－2b＝( 3，3)，由 a－2b
cosθ
＝
1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
因
为
0≤θ≤π，故 θ＝π3.
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► 探究点三 平面向量的共线与垂直的综合运用
例 3 (1)已知向量 a＝( 3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k， 3)．若 a－2b 与 c 共线，则 k＝_________________.
(2)[2011·课标全国卷] 已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量， k 为实数，若向量 a＋b 与向量 ka－b 垂直，则 k＝________.
(2)由已知 a＝(1,1)，b＝(－1,2)，得 a·b＝1×(－1)＋1×2 ＝1.
第7讲 │ 要点热点探究
【点评】 第(1)题考查了数量积的运算性质和数 量积的概念，易错在审题不清，把 e1，e2 理解成互相 垂直的两个向量；第(2)题考查数量积的坐标运算，要 求记牢坐标运算，并且能够熟练的利用坐标运算．
D 【解析】 B→A＋C→D＋E→F＝B→A＋A→F－B→C＝B→F －B→C＝C→F，所以选 D.
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【点评】 本题考查了向量相等和向量的加、减法运 算，属于对向量概念和线性运算的考查．向量线性运算 的常见规律：(1)在△ABC 中，①若 D 为边 AB 的中点， 则有C→A＋C→B＝2C→D；②若M→A＋M→B＋M→C＝0，则点 M 为△ABC 的重心；③若H→A·C→B＝H→B·A→C＝H→C·B→A＝0，则 点 H 为△ABC 的垂心；④向量 λ|AA→→BB|＋|AA→→CC|(λ≠0)所在直 线过△ABC 的内心(∠BAC 的平分线所在的直线)．(2)运 用向量的加减法解决几何问题时，需要发现或构造三角 形或平行四边形，使用三角形法则时要特别注意“首尾 相接”．
第7讲 │ 要点热点探究
[2011·安徽卷] 已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b) ＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________．
π 3
【解析】 设 a 与 b 的夹角为 θ，依题意有(a＋2b)·(a－
b)＝ a2 ＋ a·b－ 2b2 ＝ － 7＋ 2cosθ＝ － 6， 所 以