2012届高考数学(文)二轮复习方案课件(课标版)第7讲 平面向量
第7讲 │ 主干知识整合
对于任意向量 a，若以不共线的向量 e1，e2 作为基底，则存在唯一的 一组实数对 λ，μ，使 a＝λe1＋μe2.
5．向量的坐标运算 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－ x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，a·b＝x1x2＋y1y2. 6．数量积 (1)已知 a，b 的夹角为〈a，b〉＝θ(θ∈[0，π])，则它们的数量积为 a·b＝a·bcosθ，其中bcosθ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影．向量的数量 积满足交换律、数乘结合律和分配律，但不满足结合律，即 a·(b·c)＝(a·b)·c 不一定成立； (2)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2； (3)两非零向量 a，b 的夹角公式为 cosθ＝aa··bb＝ x21x＋1xy221＋·yx1y22＋2 y22； (4)a2＝a·a； (5)两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零．
第7讲 │ 要点热点探究
► 探究点二 平面向量的数量积
例 2 （1)[2011·江西卷] 已知两个单位向量 e1，e2 的夹角 为π3，若向量 b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则 b1·b2＝________.
(2)若向量 a＝(1,1)，b＝(－1,2)，则 a·b 等于________．
第7讲 │ 要点热点探究
已知 A、B、C 三点不共线，且点 O 满足O→A＋O→B ＋O→C＝0，则下列结论正确的是( )
A.O→A＝13A→B＋23B→C B.O→A＝23A→B＋13B→C C.O→A＝－13A→B－23B→C D.O→A＝－23A→B－13B→C
第7讲 │ 要点热点探究
D 【解析】 依题意，由O→A＋O→B＋O→C＝0， 得 3O→A＝－A→B－A→C，所以O→A＝－23A→B－13B→C，选择 D.
第7讲 │ 要点热点探究
► 探究点一 平面向量的概念及线性运算
例 1 如图 7－1，正六边形 ABCDEF 中，B→A＋C→D＋E→F＝ ()
A．0
B.B→E
图 7－1 C.A→D D.C→F
第7讲 │ 要点热点探究
【分析】 首先结合正六边形特征，借助向量相等和向量的 三角形法则，应用向量的加、减法得出结论．
【分析】 (1)首先借助数量积的运算性质把 b1·b2 用已 知的单位向量 e1，e2 表示出来，然后借助数量积的定义求 出结果．(2)直接运用向量数量积的坐标运算．
第7讲 │ 要点热点探究
(1)－6 (2)1 【解析】(1)由题设知|e1|＝|e2|＝1 且 e1·e2 ＝12，所以 b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e21－2e1·e2－8e22＝3 －2×12－8＝－6.
第7讲 平面向量
第7讲 平面向量
第7讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1．平面向量的基本概念 向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量． 2．平面向量的线性运算 (1)加减运算；(2)数乘运算． 3．共线向量定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ， 使 b＝λ·a.如果向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件 是 x1y2＝x2y1 或者 x1y2－x2y1＝0，即用坐标表示的两个向量平行的 充要条件是它们坐标的交叉之积相等．当其中一个向量的坐标都 不是零时，这个充要条件也可以写为xx21＝yy21，即对应坐标的比值相 等．
【分析】 (1)从向量共线入手，借助向量共线的坐标表 示，不难得出最后结论．(2)利用两个向量垂直，数量积为 0， 从而得出 k 的值．
第7讲 │ 要点热点探究
(1)1 (2)1 【解析】 (1)因为 a－2b＝( 3，3)，由 a－2b
cosθ
＝
1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
.
因
为
0≤θ≤π，故 θ＝π3.
第7讲 │ 要点热点探究
► 探究点三 平面向量的共线与垂直的综合运用
例 3 (1)已知向量 a＝( 3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k， 3)．若 a－2b 与 c 共线，则 k＝_________________.
(2)[2011·课标全国卷] 已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量， k 为实数，若向量 a＋b 与向量 ka－b 垂直，则 k＝________.
(2)由已知 a＝(1,1)，b＝(－1,2)，得 a·b＝1×(－1)＋1×2 ＝1.
第7讲 │ 要点热点探究
【点评】 第(1)题考查了数量积的运算性质和数 量积的概念，易错在审题不清，把 e1，e2 理解成互相 垂直的两个向量；第(2)题考查数量积的坐标运算，要 求记牢坐标运算，并且能够熟练的利用坐标运算．
D 【解析】 B→A＋C→D＋E→F＝B→A＋A→F－B→C＝B→F －B→C＝C→F，所以选 D.
第7讲 │ 要点热点探究
【点评】 本题考查了向量相等和向量的加、减法运 算，属于对向量概念和线性运算的考查．向量线性运算 的常见规律：(1)在△ABC 中，①若 D 为边 AB 的中点， 则有C→A＋C→B＝2C→D；②若M→A＋M→B＋M→C＝0，则点 M 为△ABC 的重心；③若H→A·C→B＝H→B·A→C＝H→C·B→A＝0，则 点 H 为△ABC 的垂心；④向量 λ|AA→→BB|＋|AA→→CC|(λ≠0)所在直 线过△ABC 的内心(∠BAC 的平分线所在的直线)．(2)运 用向量的加减法解决几何问题时，需要发现或构造三角 形或平行四边形，使用三角形法则时要特别注意“首尾 相接”．
第7讲 │ 要点热点探究
[2011·安徽卷] 已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b) ＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________．
π 3
【解析】 设 a 与 b 的夹角为 θ，依题意有(a＋2b)·(a－
b)＝ a2 ＋ a·b－ 2b2 ＝ － 7＋ 2cosθ＝ － 6， 所 以
人教A版高考总复习一轮数学精品课件 第七章 平面向量、复数 第一节 平面向量的概念及线性运算 (2)
第一节 平面向量的概念及线性运算
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.通过力和力的分析等实例,了解向量的实
际背景,理解平面向量和相等向量的含义,
1.平面向量
理解向量的几何表示.
的有关概念
2.通过实例,掌握向量的加、减运算,并理解 2.平面向量
其几何意义.
+
4
2
4
4
A.
=
1
1
+ 2
2
=
1
1
+ 4
2
3
1
+
,所以
4
4
=
3
4
=
1
+
2
1
− 4 ,故选
方法总结平面向量的线性运算的求解策略
对点训练 2(2021 广东梅州二模)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, +
=2,则(
)
A. + =0
B. + =0
C. + =0
D. + + =0
答案 B
解析 + =2移项得 + -2=0, − + − = +
=0.故选 B.
考向2.向量加、减运算的几何意义
典例突破
例3.设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则(
满足=3 ,CD 与 AE 交于点 M.若=x +y ,则 x+y=(
5
A.2
2012届高考数学二轮复习精品课件(大纲版)专题2 第8讲 平面向量及其应用
第8讲 │ 要点热点探究
► 探究点三FM|＝2，P 为该 例 3 如图 8－1，平面上定点 F 到定直线 l 的距离 － ， ＝ ， 平面上的动点， 过 的垂线， 平面上的动点， P 作直线 l 的垂线， 垂足为 Q， (PF＋PQ)·(PF－PQ) ， → → → → 且 ＝0. (1)试建立适当的平面直角坐标系，求动点 P 的轨迹 C 的方程； 试建立适当的平面直角坐标系， 的方程； 试建立适当的平面直角坐标系 (2)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A、B 两点，交直线 l 于点 N，已知 → 过点 、 两点， ，已知NA → → → 求证： 为定值． ＝λ1AF，NB＝λ2BF，求证：λ1＋λ2 为定值．
1 3 1 2 1 4 1 2
则称 A3，A4 调和分割 A1，A2，已知平面上的点 C，D 调和分割点 A， ， ， B，则下面说法正确的是 ) ，则下面说法正确的是( A．C 可能是线段 AB 的中点 ． B．D 可能是线段 AB 的中点 ． C．C、D 可能同时在线段 AB 上 ． 、 D．C、D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 ． 、
第8讲 │ 要点热点探究
分析】 首先理解题设给出的新定义信息， 【分析】 首先理解题设给出的新定义信息，将问题转化 成向量的共线问题讨论． 成向量的共线问题讨论．
→ ∈ ，→ D 【解析】 若 C、D 调和分割点 A，B，则AC＝λAB(λ∈R)，AD 解析】 、 ， ， → → (µ∈R)，且1＋1 ＝2. ＝µAB ∈ ， λ µ 1→ 1 1 的中点， → 对于 A：若 C 是线段 AB 的中点，则AC＝2AB⇒λ＝2⇒µ＝0，故 ： ＝ ， A 选项错误；同理 B 选项错误； 选项错误； 选项错误；
【点评】 本题是一道新定义信息题，考查学生对新定义的理解以 点评】 本题是一道新定义信息题， 及处理问题的能力 解答这类问题，首先需要分析新定义的特点， 问题的能力． 及处理问题的能力．解答这类问题，首先需要分析新定义的特点，把新 定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中， 定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这 是破解新定义信息题难点的关键所在． 是破解新定义信息题难点的关键所在．
福建省2012届高考数学文二轮专题总复习课件：专题6 第3课时 圆锥曲线
因此F1M
F2 N
9
12
(
3 4
)
0，即F2
M
F2 N。
所以以MN为直径的圆恒经过右焦点F2.
【点评】求解圆锥曲线的标准方程常结合圆锥曲
线的定义、基本量方法以及函数与方程的思想方
法．本题解答中有一个有用的椭圆的等价变形形
式，即 x2 y2 1可化为 y2 3 .
43
x2 4 4
一般地，x2 a2
3设M (x，y)，则
MN x2 y a2 2 2 y2 y2 2ay a2 y2 2ay a2 2 y a2 2a2 2，其中 1 y 1.
记g y y a2 2a2 2 (1 y 1，a 0)． 当 a 1，即a 1时，g ymax g 1 a 12 2a2 2 a 12 ；
2设M (x，y)，则d 2 x .因为 2 x 2，
所以d 2 x.
又 MF2 x 12 y2
x2 2x 1 1 x2 x2 2x 2 2 x 22
2
2
2
2
所以| MF 2 |
2 x
2
2 (定值)．
d
2x
2
第二十六页，编辑于星期日：十八点 五十六分。
y2 b2
1可化为
x
2
y2 a
2
b2 a2
.
第十九页，编辑于星期日：十八点 五十六分。
【例2】已知抛物线C的顶点在原点，焦点F 在x轴 的正半轴上，点A(2，3 )在抛物线内．若抛物线上
2 一动点P到点A和F的距离之和的最小值为4.
1 求抛物线C的方程； 2 若l0 是过点A且垂直于x轴的直线，是否存在直
2
C. 2
D. 4
广东省2012届高三数学 第7章第2节 平面向量的数量积课件 理
由PA和PB不共线，得1 a (3 2a) (1 2a) 3 a，
解得a 1.即PA与PB的夹角为钝角的充要条件是 "0 a 1或1 a 2"．
向量的平行与垂直
例3：如图,在矩形ABCD中, a AB, b AD, M、N分 别是AB、CD的中点，| AB | 2，| AD | 1.
3.向量的数量积的性质：
1 e a a e | a | cos (为a与e的夹角)； 2若a与b同向，则a b a b ；
若a与b反向，则a b a b .
特别地，a a a 2 或 a a a.
3 若 为a与b的夹角，则
cos a b
|a| |b|
b (x2，y2 ))．
4 | a b | a b .
拓展练习3：已知a、b、c是同一个平面内的三个向量，其
中a 1, 2． 1若 c 2 5，且c//a，求c的坐标； 2若 b 5 ，且a 2b与2a b垂直，求a与b的夹角.
2
解析：1设c (x，y)．因为 c 2 5，
所以 x2 y2 2 5，所以x2 y2 20.
因为c//a，a 1, 2，所以2x y 0，即y 2x.
列向量的数量积中最大的是 A
A.AB AC B.AB AD C.AB AE D.AB AF
解析：AB AC 1 3 cos30 3 , 2
AB AD 1 2 cos60 1， AB AE 0，AB AF 0.
向量的夹角
例2：已知ABC的三个内角分别为A,B, C,向量
m sinB,1 cosB与向量n 2,0的夹角的余弦值为 1 .
是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标,再 利用向量垂直的充要条件；方法2是直接利用向量垂直 的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公 式，达到同样的求解目的(但运算过程大大简化，值得
高考数学平面向量与复数复习课件
5
＝
13
+
12
5
i，所以＝
ҧ
13
13
所以其在复平面内对应的点位于第四象限．
故选D.
−
12
i
13
3．[2021·湖南永州三模] 已知i为虚数单位，复数z＝(2＋i)(1＋ai)，
a∈R，若z∈R，则a＝(
)
1
1
A．
B. －
2
2
C. 2
D. －2
答案：B
解析：z＝(2＋i)(1＋ai)＝2－a＋ 1 + 2a i，
·
2．求解向量数量积最值问题的两种思路
(1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．
(2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数
的最值．
第2讲 平面向量与复数
微专题 1 复数
微专题 2 平面向量
微专题 1 复数
『常考常用结论』
1．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则
点到原点距离的最大值是(
)
A．1
B. 3
C. 5
D. 3
答案：D
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则|x＋(y－2)i|＝1，所以 x 2 + y − 2 2 ＝1，即x2＋(y－2)2＝1，
所以复数z对应的点的轨迹是以(0，2)为圆心，1为半径的圆，
所以|z|max＝2＋1＝3.
所以复平面内z对应的点到原点距离的最大值是3.
解题时要注意把i的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简
分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”．
微专题 2 平面向量
『常考常用结论』
1．向量平行(共线)：
2012年高考数学试题解析 分项版之专题07 平面向量 学生版 文.pdf
第1讲 实数 命题点年份(2013～2015)题序题型分值考查方向实数的有关概念20131选择题4近5年考查两次考查方式简单.实数的大小比较20151、5选择题4、4近5年考查3次主要考查有理数的大小比较及无理数估值.20146选择题4科学记数法20153选择题4近5年考查5次考查的全为大数的表示方法分带单位和不带单位两种情况.201411填空题520132选择题4实数的运算201511填空题5近5年考查5次以简单题为主包含的知识点一般有：平方、0次幂、绝对值、算术平方根、特殊角的三角函数.20141、15选择题解答题4、8201315解答题8二次根式的概念及性质20152选择题5近5年考查两次以简单题为主.201311填空题5 实数的概念及分类 实数的概念有理数和无理数统称为实数.实数分类(1)实数可分为正实数、零和负实数其中正实数包括正整数与正分数负实数包括负整数与负分数；(2)实数可分为有理数和无理数而有理数可分为整数和分数无理数可以分为正无理数和负无理数；(3)实数可分为有限小数(或无限循环小数)和无限不循环小数.无理数几种形式(1)字母型：如圆周率(2)构造型：如(每两个1之间多个0)就是一个无限不循环的小数；(3)根式型：如，，…都是一些开方开不尽的数；(4)三角函数型：如等. 实数的相关概念 数轴(1)数轴三要素：①______________________；(2)数轴上的点与实数一一对应.相反数(1)a的相反数为－a；(2)a、b互为相反数＋b＝0；(3)零的相反数是②____.绝对值(1)概念：在数轴上表示数a的点到③______叫做数a的绝对值；(2)代数意义：当a≥0时＝a；当a≤0时＝－a；(3)性质：若＋＝0则a＝④__；b＝⑤__.倒数(1)求法：非零实数a的倒数为⑥__；(2)性质：a、b互为倒数＝⑦__. 实数的大小比较 数轴比较法在数轴上表示的两个数右边的数总是比左边的数大.性质比较法正数大于0；负0；正数大于一切负数.绝对值比较法两个负数比较绝对值大的反而小.作差比较法设实数a、b若a－b＞0则a＞b；若a－b＝0则a＝b；若a－b＜0则a＜b. 科学记数法与近似数 科学记数法把一个绝对值大于10的数记成⑧__的形式其中a是整数数位只有一位的数这种记数法叫做科学记数法其中1≤a＜10的值等于整数部分的位数____.近似数近似数与准确数的接近程度通常用精确度表示；近似数一般由四舍五入得到________到哪一位就说这个近似数精确到哪一位. 平方根、算术平方根与立方根 平方根如果x＝a那么x叫做a的平方根记作“±(a称为被开方数).算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根记作“平方根的性质正数的平方根有两个它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.立方根如果x＝a那么x叫做a的立方根记作“(a称为被开方数).正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根. 二次根式 二次根式的概念一般地我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.二次根式的性质(1)()＝a(a≥0)；(2)＝＝(3)＝(a≥0，b≥0)；(4)＝(a≥0＞0). 实数运算 二次根式的乘法＝(a≥0)二次根式的除法＝(a≥0＞0)二次根式的加减运算先将二次根式进行化简再把被开方数相同的进行合并在合并被开方数相同的二次根式时只需要把二次根式的系数相加减根指数和被开.运算顺序先算____、____再算____最后算____；如果有括号先算__________同一级运算按照从____到____的顺序依次进行.运算法则加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则、乘方与开方等.注意点a＝____(其中a____0)－p＝(其中p为正整数). 1．理解正负数、相反数、绝对值、实数的大小比较概念时可结合数轴进行同时体会数形结合思想的应用．将较大的正数NN＞1)写成a×10的形式其中1≤a＜10指数n比原数的整数数位少1.实数混合运算时根据每个算式的结构特征选择适当的方法灵活应用运算律就会收到事半功倍的奇效． 命题点1 实数的有关概念 (1)(2013·安徽)－2的倒数是( )－ C．2 D．－2(2)下面的数中与－3的和为0的是( )－3 D．－ (1)求一个非零实数的倒数时直接将分子分母交换位置即可；(2)求一个数的相反数可直接在原数前面加负 1．(2015·福州)a的相反数是( ) C．－a 2．(2015·重庆卷)－3的绝对值是( )－3 D．－(2015·合肥第38中等六校模拟)是3的( )相反数 B．绝对值倒数 D．平方根命题点2 实数的大小比较 (2015在－4－1这四个数中比－2小的数是( )－4 B．2－1 D． 比较实数的一般方法是：负数＜0＜正数两个正数相比较绝对值大的数大；两个负数相比较绝对值大的数反而小． 1．(2015·安庆二模)在－，－1这四个( )－ C．0 D．－1(2015·丽水)在数－3－2中大小在－1和2之间的数是( )－3 B．－2(2014·安徽)设n为正整数且n＜＜n＋1则n的值为( )A．5 B．6命题点3 科学记数法 移动互联网已经全面进入人们的日常生活．截至2015年3月全国4用户总数达到1.62亿其中亿用科学记数法表示为( ) (1)对于较大的数N(N>1)写成a×的形式其中1≤a<10指数n等于原数的整数位数减1；对于较小的数N(N<1)写成a×－n的形式其中1≤a<10指数n等于原数中左起至第一个非零数的零的个数(含小数点前面的一个)．(2)对于含有计数单位并需转换单位的数应先把计数单位转换为数字然后用大数或小数的科学记数法来表示． 1．(2015·安庆二模)南京青奥会的成功举办赢得了国际奥委会的高度赞扬也促使了中国与世界各国青年的交流与沟通据不完全统计在青奥会举办期间共有来自世界各地的约33.8万青年人相聚南京万用科学记数法表示为( )(2015·青岛)某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000 000 001 把0.000 000 001 用科学记数法可表示为( )－8－9－8－9命题点4 二次根式的概念及性质 (1)(2013·安徽)若在实数范围内有意义则x的取值范围是________；(2)计算的结果是( ) A. B．4 C. D．2 (1)对于形如的二次根式有意义的条件是被开方数a满足a≥0即被开方数为非负数二次根式才有意义；(2)解决第2小题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 1．(2015·绵阳)要使代数式有意义则x的( )最大值是最小值是最大值是最小值是(2015·潜江、天门)下列各式计算正确的是( )＋＝－3＝1×3＝6÷＝3(2014·安徽预测)二次根式中的取值范围是________．命题点5 实数运算 (2014·安徽)计算：－－(0＋2 013.【解答】 解答这类题目的关键是熟记有关性质依据正确运算顺序解答． 1．(2015·安庆二模)计算：－3＋＋4－(2015·淮北五校联考)计算：＋|－4|＋(－1)－()－1(2015·巴中)计算：－(2 015－)0＋2＋(－)－1 1．(2015·淮北五校联考)－(－3)的倒数是( )－3 C．－ 2．(2015·包河区第二次质量检测)比3大－1的数是( )－3 D．－2(2015·长沙)下列实数中为无理数的是( ) C. D．－5(2014·东营)的( )(2015·呼和浩特)以下四个选项表示某天四个城市的平均气温其中平均气温最低的是( )－3 ℃ B．15 ℃－10 ℃ D．－1 ℃(2015·无锡)函数y＝中自变量x的取值( )＞4 ．(2014·安徽预测)安徽板鸭闻名全国在检测4袋板鸭中超过标准质量的千克数记为正数不足标准质量的千克数记为负数下列检测结果中最接近标准质量的是( )＋0.01 ．＋0.05－0.02 ．－0.04型禽流感是一种新型流感病毒病毒颗粒呈多形性其中球形直径80～120 请你将80 换算成单位(1 m＝1 000 000 000 )，并用科学记数表示正确的是( )－9－9－9－8(2015·宁波)实数8的________． 10．(2015·南京)计算的结果是________．(2015·烟台)如图数轴上点A所表示的两个数的和的绝对值是________． 12．(2015·合肥38中等六校联考)2014年我省农业生产形势较好粮食产量创历史新高达683.2亿斤居全国位次由上年的第8位升到第6位增长4.2增幅居全国第2位．其中683.2亿用科学记数法表示为__________．(2015·重庆卷)计算：(3.14－)＋(－3)＝________.(2014·娄底)按照如图所示的操作步骤若输入的值为3则输出的值为________． 15．(2015·金华)计算：＋2－1－4＋16．(2015·庐阳模拟)计算：＋＋(－)－217．(2015·绵阳)计算：＋(－)－2－＋ 18．(2015·南京)某市2013年底机动车的数量是2×辆年新增3×辆用科学记数法表示该市2014年底机动车的数量是( )5 C．2.3×106 D．3.2×106 19．(2015·成都)实数a在数轴上对应的点的位置如图所示计算|a－b|的结果为( ) A．a＋b ．－b－a ．－a－b(2014·枞阳模拟)已a、b为两个连续的整数且a＜－1＜b则a＋b＝________考点解读原点、正方向、单位长度 ②零 ③原点的距离 ④0 ⑤0 ⑥ ⑦1 ⑨减1 ⑩四舍五入 乘方 开方 乘除 加减 括号里面的 左 右 各个击破例1 (1) (2)题组训练 1. 2. 3.例2 题组训练 1. 2. 3.例3 题组训练 1. 2.例4 (1)x≤ (2)题组训练 1. 2. 3.x≥例5 原式＝5－3－1＋2 013＝2 014.题组训练 1.原式＝－9＋4×－3＝－9＋＋2－3＝－9. 2.原式＝3＋4＋1－2×＝7.3.原式＝2－－1＋2×－3＝－2.整合集训 2. 3.4.5.6.7.8.9.2 10.5 11.1 13.10 14.55 15.原式＝2＋－4×＋ ＝2＋－2＋ ＝1. 16.原式＝＋－1＋1－2× ＝＋－ ＝ 17.原式＝－1＋4－2) ＝4－3 ＝1. 18. 19. 20.9 初中学习网，资料共分享！我们负责传递知识！。
2012优化方案高考数学(理)总复习(人教B版)课件第8章第7课时
1 3 3 1 → → → ∴PQ＝ OQ－OP＝ ( － λ， λ，－ )． 2 2 2 2 1 3 1 → → ∵ PQ⊥ OA，∴PQ· OA＝ 0，即 － λ＝ 0，λ＝ . 2 2 3 1 3 AB ∴存在点 Q( ， ， 0)使得 PQ⊥ OA 且 ＝ 3. 2 6 AQ (2)记平面 ABC 的法向量 n＝(n1，n2，n3)，则由 n 3 → → → → ⊥CA， n⊥AB，且CA＝ (1,0，－1)，AB＝ (－ ， 2 3 ， 0)， 2
课前热身
1 ．若直线 l1 ， l2 的方向向量分别为 a ＝ (2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则( ) A．l1∥l2 B．l1⊥l2 C．l1与l2相交但不垂直 D．以上均不正确 答案：B
2 ．已知两平面的法向量分别为 m ＝ (0,1,0) ， n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小 为( ) A．45° B．135° C．45°或135° D．90° 答案：C
(3)平面和平面所成的角 ①过二面角 α－ l－ β棱上任一点 O作垂直于棱 l的 平面角，与面α、β的交线分别为OA、OB，那么 ________ ∠AOB 叫做二面角α－l－β的平面角． ②平面与平面所成角的向量公式 平面α与平面β的法向量分别为m和n，则二面角 相等或互补，所以二面角的余弦 与m、n的夹角θ__________ m· n |m||n| 等于_________.
例3 (2010 年高考湖北卷 )
如图，在四面体 ABOC 中，OC⊥ OA，OC⊥ OB， ∠ AOB＝ 120° ，且 OA＝ OB＝ OC＝ 1. (1)设 P 为 AC 的中点，证明：在 AB 上存在一点 AB Q，使 PQ⊥ OA，并计算 的值； AQ (2)求二面角 O－ AC－ B 的平面角的余弦值．
2012届高考数学平面向量知识导航复习教案
2012届高考数学平面向量知识导航复习教案第四平面向量高考导航考试要求重难点击命题展望1平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景；(2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；(3)理解向量的几何表示2向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义3平面向量的基本定理及其坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义；(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条4平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义；(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系；(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；(2)会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题本重点：1向量的各种运算；2向量的坐标运算及数形结合的思想；3向量的数量积在证明有关向量相等、两向量垂直、投影、夹角等问题中的应用本难点：1向量的直角坐标运算在证明向量垂直和平行问题中的应用；2向量的夹角公式和距离公式在求解平面上两条直线的夹角和两点间距离中的应用向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，同时又是数形结合思想运用的典范，正是由于向量既具有几何形式又具有代数形式的“双重身份”，所以它成为中学数学知识的一个交汇点在高考中，不仅注重考查向量本身的基础知识和方法，而且常与解析几何、三角函数、数列等一起进行综合考查在考试要求的层次上更加突出向量的实际背景、几何意义、运算功能和应用价值知识网络41平面向量的概念及线性运算典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题：①向量的长度与的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量与向量是共线向量，则A、B、、D必在同一直线上其中真命题的序号是【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；与是共线向量，则A、B、、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错故是真命题的只有①【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可【变式训练1】下列各式：①|a|＝；②(a b) ＝a (b )；③－＝；④在任意四边形ABD中，为AD的中点，N为B的中点，则＋＝2 ；⑤a＝(s α，sin α)，b＝(s β，sin β)，且a与b不共线，则(a＋b)⊥(a－b)其中正确的个数为()A1B23D4【解析】选D| a|＝正确；(a b) ≠a (b )；－＝正确；如下图所示，= + + 且= + + ，两式相加可得2 ＝＋，即命题④正确；因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线，即得(a＋b)⊥(a－b)所以命题①③④⑤正确题型二与向量线性运算有关的问题【例2】如图，ABD是平行四边形，A、BD交于点，点在线段D上，且= ，点N在线段上,且= ,设=a, =b,试用a、b表示，，【解析】在▱ABD中，A，BD交于点，所以＝12 ＝12( －)＝12(a－b)，＝＝12 ＝12( ＋)＝12(a＋b)又＝13 ，＝13 ，所以＝＋＝b＋13＝b＋13×12(a－b)＝16a＋6b，＝＋＝＋13＝43 ＝43×12(a＋b)＝23(a＋b)所以＝－＝23(a＋b)－(16a＋6b)＝12a－16b【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形【变式训练2】是平面α上一点，A、B、是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足＝＋λ( ＋)，若λ＝12时，则( ＋)的值为【解析】由已知得－＝λ( ＋)，即＝λ( ＋)，当λ＝12时，得＝12( ＋)，所以2 ＝＋，即－＝－，所以＝，所以＋＝＋＝0，所以( ＋)＝0＝0，故填0题型三向量共线问题【例3】设两个非零向量a与b不共线(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数，使a＋b和a＋b共线【解析】(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝(a＋b)＝，所以，共线又因为它们有公共点B，所以A，B，D三点共线(2)因为a＋b和a＋b共线，所以存在实数λ，使a＋b＝λ(a＋b)，所以(－λ)a＝(λ－1)b因为a与b是不共线的两个非零向量，所以－λ＝λ－1＝0，所以2－1＝0，所以＝±1【点拨】(1)向量共线的充要条中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想(2)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线【变式训练3】已知是正三角形BA内部一点，+2 +3 =0，则△A的面积与△AB的面积之比是（）A32B232D13【解析】如图，在三角形AB中，＋2 ＋3 ＝0，整理可得＋＋2( ＋)＝0令三角形AB中A边的中点为E，B边的中点为F，则点在点F 与点E连线的13处，即E＝2F设三角形AB中AB边上的高为h，则S△A＝S△AE＋S△E＝12 E (h2＋h2)＝12E•h，S△AB＝12AB 12h＝14AB•h，由于AB＝2EF，E＝23EF，所以AB＝3E，所以S△AS△AB＝＝23故选B总结提高1向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形2判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出3当向量a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||；当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|42平面向量的基本定理及其坐标表示典例精析题型一平面向量基本定理的应用【例1】如图▱ABD中,,N分别是D，B中点已知=a, =b,试用a，b表示，与【解析】易知＝＋＝＋12 ，＝＋＝＋12 ，即所以＝23(2b－a)，＝23(2a－b)所以＝＋＝23(a＋b)【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底表示此处方程思想的运用值得仔细领悟【变式训练1】已知D为△AB的边B上的中点，△AB所在平面内有一点P，满足＋＋＝0，则等于()A13B121D2【解析】由于D为B边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知＋＝2 ，因此结合＋＋＝0即得＝2 ，因此易得P，A，D三点共线且D是PA的中点，所以＝1，即选题型二向量的坐标运算【例2】已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x【解析】因为a＝(1，1)，b＝(x，1)，所以u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)，v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1)(1)u＝3v⇔(2x＋1，3)＝3(2－x，1)⇔(2x＋1，3)＝(6－3x，3)，所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1(2)u∥v ⇔(2x＋1，3)＝λ(2－x，1)⇔⇔(2x＋1)－3(2－x)＝0⇔x＝1【点拨】对用坐标表示的向量说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视【变式训练2】已知向量an＝(snπ7，sinnπ7)(n∈N*)，|b|＝1则函数＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2的最大值为【解析】设b＝(s θ，sin θ)，所以＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2＝(a1)2＋b2＋2(sπ7，sinπ7)(s θ，sin θ)＋…＋(a141)2＋b2＋2(s141π7，sin141π7)(s θ，sin θ)＝282＋2s(π7－θ)，所以的最大值为284题型三平行(共线)向量的坐标运算【例3】已知△AB的角A，B，所对的边分别是a，b，，设向量＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)(1)若∥n，求证：△AB为等腰三角形；(2)若⊥p，边长＝2，角＝π3，求△AB的面积【解析】(1)证明：因为∥n，所以asin A＝bsin B由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b所以△AB为等腰三角形(2)因为⊥p，所以•p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，所以(ab)2－3ab－4＝0所以ab＝4或ab＝－1(舍去)所以S△AB＝12absin ＝12×4×32＝3【点拨】设＝(x1，1)，n＝(x2，2)，则①∥n⇔x12＝x21；②⊥n⇔x1x2＋12＝0【变式训练3】已知a，b，分别为△AB的三个内角A，B，的对边，向量＝(2s－1，－2)，n＝(s ，s ＋1)若⊥n，且a＋b＝10，则△AB周长的最小值为()A10－3B10＋310－23D10＋23【解析】由⊥n得2s2－3s －2＝0，解得s ＝－12或s ＝2(舍去)，所以2＝a2＋b2－2abs ＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝100－ab，由10＝a＋b≥2abͤab≤2，所以2≥7，即≥3，所以a＋b＋≥10＋3，当且仅当a＝b＝时，等号成立故选B总结提高1向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起向量方法是几何方法与代数方法的结合体，很多几何问题可转化为熟知的向量运算2向量的运算中要特别注意方程思想的运用3向量的运算分为向量形式与坐标形式向量形式即平行四边形法则与三角形法则，坐标形式即代入向量的直角坐标43平面向量的数量积及向量的应用典例精析题型一利用平面向量数量积解决模、夹角问题【例1】已知a，b夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a＋b|；(2)(a＋2b) •(a＋b)；(3)a与(a＋b)的夹角θ【解析】(1)(a＋b)2＝a2＋b2＋2a•b＝16＋4－2×4×2×12＝12，所以|a＋b|＝23(2)(a＋2b) •(a＋b)＝a2＋3a•b＋2b2＝16－3×4×2×12＋2×4＝12(3)a•(a＋b)＝a2＋a•b＝16－4×2×12＝12所以s θ＝＝124×23＝32，所以θ＝π6【点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题【变式训练1】已知向量a，b，满足：|a|＝1，|b|＝2，＝a＋b，且⊥a，则a与b的夹角大小是【解析】由⊥aͤ•a＝0ͤa2＋a•b＝0，所以s θ＝－12，所以θ＝120°题型二利用数量积解决垂直与平行的问题【例2】在△AB中，＝(2，3)，＝(1，)，且△AB的一个内角为直角，求的值【解析】①当∠A＝90°时，有• ＝0，所以2×1＋3•＝0，所以＝－23；②当∠B＝90°时，有• ＝0，又＝－＝(1－2，－3)＝(－1，－3)，所以2×(－1)＋3×(－3)＝0ͤ＝113；③当∠＝90°时，有• ＝0，所以－1＋•(－3)＝0，所以2－3－1＝0ͤ＝3±132所以的取值为－23，113或3±132【点拨】因为哪个角是直角尚未确定，故必须分类讨论在三角形中计算两向量的数量积，应注意方向及两向量的夹角【变式训练2】△AB中，AB＝4，B＝，A＝6，求• ＋• ＋•【解析】因为2 • ＋2 • ＋2 •＝( • ＋• )＋( • ＋• )＋( • ＋• )＝•( ＋)＋•( ＋)＋•( ＋)＝• ＋• ＋•＝－42－62－2＝－77所以• ＋• ＋• ＝－772题型三平面向量的数量积的综合问题【例3】数轴x，交于点，且∠x＝π3，构成一个平面斜坐标系，e1，e2分别是与x，同向的单位向量，设P为坐标平面内一点，且＝xe1＋e2，则点P的坐标为(x，)，已知Q(－1，2)(1)求| |的值及与x的夹角；(2)过点Q的直线l⊥Q，求l的直线方程(在斜坐标系中)【解析】(1)依题意知，e1•e2＝12，且＝－e1＋2e2，所以2＝(－e1＋2e2)2＝1＋4－4e1•e2＝3所以| |＝3又•e1＝(－e1＋2e2) •e1＝－e21＋2e1 e2＝0所以⊥e1，即与x成90°角(2)设l上动点P(x，)，即＝xe1＋e2，又⊥l，故⊥，即[(x＋1)e1＋(－2)e2] •(－e1＋2e2)＝0所以－(x＋1)＋(x＋1)－(－2) •12＋2(－2)＝0，所以＝2，即为所求直线l的方程【点拨】综合利用向量线性运算与数量积的运算，并且与不等式、函数、方程、三角函数、数列、解析几何等相交汇，体现以能力立意的命题原则是近年高考的命题趋势【变式训练3】在平面直角坐标系x中，点A(，0)对于某个正实数，存在函数f(x)＝ax2(a＞0)，使得＝λ ( ＋)(λ为常数)，其中点P，Q 的坐标分别为(1，f(1))，(，f())，则的取值范围为()A(2，＋∞)B(3，＋∞)(4，＋∞)D(8，＋∞)【解析】如图所示，设＝，＝，＋＝，则＝λ 因为P(1，a)，Q(，a2)，＝(1，0)，＝(2＋a24，a22＋a24)，＝(2＋a24＋1，a22＋a24)，则直线G的方程为＝a2＋2＋a24x，又＝λ ，所以P(1，a)在直线G上，所以a＝a2＋2＋a24，所以a2＝1－2因为| |＝1＋a2＞1，所以1－2＞0，所以＞2 故选A总结提高1本节是平面向量这一的重要内容，要准确理解两个向量数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的性质及运算律；数量积不满足结合律，即(a•b) •≠a•(b•)；数量积不满足消去律，即a•b＝a•推不出b＝2通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断两直线是否垂直3向量的线性运算、数量积运算是平面向量的最基本知识，在解决向量与不等式、函数、方程、数列、三角函数、解析几何等综合性问题时，往往要找到其内在的联系以获得正确的解题途径。
北师版高考总复习一轮数学精品课件 第七章 平面向量、复数 素能培优(七)平面向量与三角形的“四心”
2 =3+4=3 +3+4 +4,得 =
3
5
+
4
.因
5
C 与外心 P 位于 AB 的两侧,所以角 C 为钝角,即 cos
1
C=- .
4
三、垂心
1.垂心的定义:三角形三条高线的交点.
2.常见垂心的向量表示:
(1) · = · = ·;
移项并整理可得 a( − )+b( − )+c( − )=0,则
a+b+c =0,
所以点 O 是△ABC 的内心.
本 课 结 束
)
A.重心
B.垂心
C.外心
D.内心
答案 B
解析
由已知得=λ(| |cos
| || |cos (π-)
=λ(
| |cos
+
| || |cos
| |cos
+
| |cos
),所以
·
· =λ(| |cos
+
·
第七章
素能培优(七)平面向量与三角形的“四心”
三角形的重心、外心、垂心与内心问题与平面向量相结合后,学生感觉比
较棘手,错误率较高,甚至无从下手,以下对与三角形“四心”有关的知识进
行总结归纳,借助典型例题说明解题要领.
一、重心
1.重心的定义:三角形三边中线的交点(重心是中线上的一个三等分点).
2.常见重心的向量表示:设G是△ABC的重心,P为平面内任意一点,则
(1) + + =0;
(2) =
=
1
(
3
1
高考数学(文)二轮复习专题一 三角函数和平面向量 第2讲 平面向量、解三角形 Word版含答案
第2讲 平面向量、解三角形【课前热身】第2讲 平面向量、解三角形(本讲对应学生用书第4~6页)1.(必修4 P76习题7改编)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC u u u r =e 1，DC u u u r =e 2，则OC u u u r= .【答案】12(e 1+e 2)【解析】因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BCu u u r =e 1，DCu u u r =e 2，所以OCu u u r =12(BC u u u r +DC u u u r)=12(e 1+e 2).2.(必修4 P90习题19改编)已知向量a =(6，-3)，b =(2，x+1)，若a ⊥b ，则实数x= . 【答案】3【解析】因为a ⊥b ，所以a ·b =0，所以12-3x-3=0，解得x=3.3.(必修5 P10练习2改编)在锐角三角形ABC 中，设角A ，B 所对的边分别为a ，b.若2a sin B=3b ，则角A= .【答案】π3【解析】在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B=3sin B ，因为B 为△ABC的内角，所以sin B ≠0，所以sinA=32.又因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以A=π3.4.(必修4 P80例5改编)已知向量a =(1，0)，b =(2，1)，则当k= 时，向量k a -b 与a +3b 平行.【答案】-13【解析】由题设知向量a 与b 不平行，因为向量k a -b 与a +3b 平行，所以1k =-13，即k=-13.5.(必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=7，b=43，c=13，则△ABC 最小的内角为 .【答案】π6【解析】因为13<43<7，所以C<B<A ，又因为cosC=222-2a b c ab +=2743⨯⨯=32，所以C=π6.【课堂导学】平面向量与三角函数综合例1 (2016·淮安5月信息卷)已知向量m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，α∈(0，π).(1)若m ⊥n ，求角α的大小； (2)求|m +n |的最小值.【解答】(1)因为m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，且m ⊥n ，所以3cos α-sin α=0，即tan α=3.又因为α∈(0，π)，所以α=π3.(2)因为m +n =(cos α+3，sin α-1)，所以|m +n |=22(cos 3)(sin -1)αα++=523cos -2sin αα+=π54cos 6α⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 因为α∈(0，π)，所以α+ππ7π666⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故当α+π6=π，即α=5π6时，|m +n |取得最小值1.正弦定理、余弦定理的应用例2 (2016·苏州暑假测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin2-2A B+sin A sin B=22+.(1)求角C 的大小；(2)若b=4，△ABC 的面积为6，求c 的值.【解答】(1)sin2-2A B+sin A sin B=1-cos(-)2A B+2sin sin2A B=1-cos cos-sin sin2A B A B+2sin sin2A B=1-cos cos sin sin2A B A B+=1-(cos cos-sin sin)2A B A B=1-cos()2A B+=1-cos(π-)2C=1cos2C+=22+，所以cos C=22.又0<C<π，所以C=π4.(2)因为S=12ab sin C=12a×4×sinπ4=2a=6，所以a=32.因为c2=a2+b2-2ab cos C=(32)2+42-2×32×4×22=10，所以c=10.变式1(2016·南通一调)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角C的大小；(2)若c=2a cos B，b=2，求△ABC的面积.【解答】(1)在△ABC中，由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得222-2a b cab+=-12，即cosC=-12.因为0<C<π，所以C=2π3.(2)方法一：因为c=2a cos B，由正弦定理，得sin C=2sin A cos B.因为A+B+C=π，所以sin C=sin(A+B )，所以sin(A+B )=2sin A cos B ，即sin A cos B-cos A sin B=0， 所以sin(A-B )=0.又-π3<A-B<π3，所以A-B=0，即A=B ，所以a=b=2. 所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.方法二：由c=2a cos B 及余弦定理，得c=2a×222-2a c b ac +，化简得a=b ，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.变式2 (2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在斜三角形ABC 中，tan A+tan B+tan A tan B=1.(1)求角C 的大小； (2)若A=15°，2，求△ABC 的周长.【解答】(1)因为tan A+tan B+tan A tan B=1， 即tan A+tan B=1-tan A tan B.因为在斜三角形ABC 中，1-tan A tan B ≠0，所以tan(A+B )=tan tan 1-tan tan A BA B +=1，即tan(180°-C )=1，tan C=-1. 因为0°<C<180°，所以C=135°.(2)在△ABC 中，A=15°，C=135°，则B=180°-A-C=30°.由正弦定理sin BC A =sin CAB =sin ABC ，得sin15BC o =°sin30CA=2=2，故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=6-2 2，CA=2sin 30°=1.所以△ABC的周长为AB+BC+CA=2+1+6-22=2622++.平面向量与解三角形综合例3(2016·无锡期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量a=(sin B-sin C，sin C-sin A)，b=(sin B+sin C，sin A)，且a⊥b.(1)求角B的大小；(2)若b=c·cos A，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积.【解答】(1)因为a⊥b，所以a·b=0，即sin2B-sin2C+sin A(sin C-sin A)=0，即sin A sin C=sin2A+sin2C-sin2B，由正弦定理得ac=a2+c2-b2，所以cos B=222-2a c bac+=12.因为B∈(0，π)，所以B=π3.(2)因为c·cos A=b，所以bc=222-2b c abc+，即b2=c2-a2，又ac=a2+c2-b2，b=2R sin3，解得a=1，c=2.所以S△ABC =12ac sin B=3.变式(2016·苏锡常镇二调)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m=(cos B，cos C)，n=(4a-b，c)，且m∥n.(1)求cos C的值；(2)若c=3，△ABC的面积S=15，求a，b的值.【解答】(1)因为m∥n，所以c cos B=(4a-b)cos C，由正弦定理，得sin C cos B=(4sin A-sin B)cos C，化简得sin(B+C)=4sin A cos C.因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=sin A.又因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C=14.(2)因为C∈(0，π)，cos C=14，所以sin C=21-cos C=11-16=15.因为S=12ab sin C=15，所以ab=2.①因为c=3，由余弦定理得3=a2+b2-12ab，所以a2+b2=4，②由①②，得a4-4a2+4=0，从而a2=2，a=2(a=-2舍去)，所以a=b=2.【课堂评价】1.(2016·镇江期末)已知向量a=(-2，1)，b=(1，0)，则|2a+b|=. 【答案】13【解析】因为2a+b=(-3，2)，所以|2a+b|=22(-3)2+=13.2.(2016·南京学情调研)已知向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，则实数m=.【答案】2【解析】方法一：由题意得a=(1，2)，2a+b=(2+m，8)，因为a∥(2a+b)，所以1×8-(2+m)×2=0，故m=2.方法二：因为a∥(2a+b)，所以存在实数λ，使得λa=2a+b，即(λ-2)a=b，所以(λ-2，2λ-4)=(m，4)，所以λ-2=m且2λ-4=4，解得λ=4，m=2.3.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=5，A=π4，cos B=35，则c=.【答案】7【解析】因为cos B=35，所以B∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，从而sin B=45，所以sin C=sin(A+B)=sinA cos B+cos A sin B=2×35+2×45=72，又由正弦定理得sinaA=sincC，即52 =72c，解得c=7.4.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos A=.(第4题)【答案】-10【解析】如图，作AD ⊥BC交BC 于点D ，设BC=3，则AD=BD=1，AB=2，AC=5.由余弦定理得32=(2)2+(5)2-2×2×5×cos A ，解得cos A=-10.5.(2016·南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC 中，BD u u u r =12BC u u u r ，AE u u u r=13AC u u u r ，AD 与BE 交于点P ，则PB u u u r ·PD u u ur 的值为 .(第5题)【答案】274【解析】如图，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，不妨设B (-3，0)，C (3，0)，则D (0，0)，A (0，33)，E (1，23)，P 330⎛ ⎝⎭，，所以PB u u u r ·PD u u ur =|PD u u u r |2=233⎝⎭=274.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第3～4页.【检测与评估】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1.(2016·苏州暑假测试)设x ，y ∈R ，向量a =(x ，1)，b =(2，y )，且a +2b =(5，-3)，则x+y= .2.(2016·盐城三模)已知向量a ，b 满足a =(4，-3)，|b |=1，|a -b |=21，则向量a ，b 的夹角为 .3.(2016·全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b= .4.(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB=13，BC=3，∠C=120°，则AC= .5.(2016·南京三模)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，AD=3，CD=2，AM u u u u r =2MD u u u u r .若AC u u u r ·BM u u u u r =-3，则AB u u u r ·AD u u u r = .(第5题)6.(2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的模的取值范围为 .7.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b a +ab =6cos C ，则tan tan C A +tan tan CB = .8.(2016·苏北四市摸底)在△ABC 中，AB=2，AC=3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO u u u r =x AB u u u r+y AC u u u r (x ，y ∈R )，则x+y 的值为 .二、 解答题9.(2016·苏北四市期末)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A=35，tan(A-B )=-12.(1)求tan B 的值； (2)若b=5，求c 的值.10.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD=1，BD=210，∠CAD=π4，tan ∠ADC=-2.(1)求CD 的长； (2)求△BCD 的面积.(第10题)11.(2016·南京三模)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若向量m =(a ，cos A )，向量n =(cos C ，c )，且m ·n =3b cos B.(1)求cos B 的值；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A +1tan C 的值.【检测与评估答案】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1. -1 【解析】由题意得a +2b =(x+4，1+2y )=(5，-3)，所以4512-3x y +=⎧⎨+=⎩，，解得1-2x y =⎧⎨=⎩，，所以x+y=-1.2. π3【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，由|a -b|=，得21=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =25+1-2·5·cos θ，即cos θ=12，所以向量a ，b 的夹角为π3.3. 2113 【解析】因为cos A=45，cos C=513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A=35，sin C=1213，所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=6365.由正弦定理得sin b B =sin aA ，解得b=2113.4. 1【解析】设AC=x，由余弦定理得cos 120°=29-13 23xx+⋅⋅=-12，即x2+3x-4=0，解得x=1或x=-4(舍去)，所以AC=1.5.32【解析】方法一：设ABu u u r=4a，ADu u u r=3b，其中|a|=|b|=1，则DCu u u r=2a，AMu u u u r=2b.由ACu u u r·BMu u u u r=(ADu u u r+DCu u u r)·(BAu u u r+AMu u u u r)=-3，得(3b+2a)·(2b-4a)=-3，化简得a·b=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12a·b=32.方法二：建立平面直角坐标系，使得A(0，0)，B(4，0)，设D(3cos α，3sin α)，则C(3cos α+2，3sin α)，M(2cos α，2sin α).由ACu u u r·BMu u u u r=-3，得(3cos α+2，3sin α)·(2cos α-4，2sin α)=-3，化简得cos α=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12cos α=32.6.23⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】如图，设α=ABu u u r，β=ACu u u r，则β-α=BCu u u r，∠ABC=60°，设α与β的夹角为θ，则0°<θ<120°，由正弦定理可得°||sin(120-)θα=°||sin60β，所以|α|=233sin(120°-θ).因为0°<θ<120°，所以0°<120°-θ<120°，所以0<sin(120°-θ)≤1，所以0<|α|≤23.(第6题)7. 4 【解析】b a +ab =6cos C ⇒6ab cos C=a 2+b 2⇒3(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2⇒a 2+b 2=232c ，所以tan tan C A +tan tan CB =sin cosC C ·cos sin sin cos sin sin B A B A A B +=sin cos C C ·sin()sin sin A B A B +=1cos C ·2sin sin sin C A B =2222-aba b c +·2c ab =22223-2c c c=2222c c =4.8. 58 【解析】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边上的中线，且AD ∩CE=O.在△AEO 中，由正弦定理得sin AE AOE ∠=sin EOEAO ∠.在△ACO 中，由正弦定理得sin AC AOC ∠=sin COCAO ∠，两式相除得AE AC =EO OC .因为AE=12AB=1，AC=3，所以EO OC =13，所以CO u u u r =3OE u u u r ，即AO u u u r -AC u u u r =3(AE u u u r -AO u u ur )，即4AO u u u r =3AE u u u r+AC u u u r ，所以4AO u u u r =32AB u u ur +AC u u u r ，从而AO u u u r =38AB u u u r +14AC u u u r .因为AO u u u r =x AB u u u r+y ACu u u r ，所以x=38，y=14，所以x+y=58.(第8题)二、 解答题9. (1) 方法一：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tan A=sin cos A A =34.由tan(A-B )=tan -tan 1tan ?tan A B A B +=-12，得tan B=2.方法二：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tanA=sin cos A A =34.又因为tan(A-B )=-12，所以tan B=tan[A-(A-B )]=tan -tan(-)1tan tan(-)A A B A A B +=31--42311-42⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=2. (2) 由(1)知tan B=2，得sin B=255，cos B=55， 所以sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=11525，由正弦定理sin bB =sin cC ，得c=sin sin b C B =112.10. (1) 因为tan ∠ADC=-2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC=255，cos ∠ADC=-55. 所以sin ∠ACD=sinππ--4ADC ∠⎛⎫ ⎪⎝⎭ =sin ∠ADC+π4=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π4=，在△ADC 中，由正弦定理得CD=·sin sin AD DACACD ∠∠=.(2) 因为AD ∥BC ，所以cos ∠BCD=-cos ∠ADC=，sin ∠BCD=sin ∠ADC=.在△BDC 中，由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD ， 即BC 2-2BC-35=0，解得BC=7，所以S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=12×7=7.11. (1) 因为m ·n =3b cos B ，所以a cos C+c cos A=3b cos B. 由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A=3sin B cos B ， 所以sin(A+C )=3sin B cos B ， 所以sin B=3sin B cos B.因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B=13.(2) 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2=ac. 由正弦定理得sin 2B=sin A ·sin C.因为cos B=13，B 是△ABC 的内角，所以sinB=，又1tan A +1tan C =cos sin A A +cos sin C C =cos ?sin sin ?cos sin sin A C A CA C +⋅ =sin()sin sin A C A C +⋅=sin sin sin B A C=2sin sin B B =1sin B=.。