安徽省滁州市定远育才学校2018届九年级下学期期中考试数学试题(附答案)

定远育才学校2017-2018学年下学期九年级期中考试数学试题注意事项：1.本次考试满分150分，考试时间为120分钟。

2.答卷前，考生务必在答题卡上用0.5mm黑色字迹的签字笔填写自己的班级、姓名及考生号，并用2B铅笔把对应考生号的标号涂黑。

3.答题必须用0.5mm黑色字迹签字笔作答；答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；不准使用涂改液。

4.考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠答题卡。

一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分。

）1.如图是由4个相同的小正方形搭成的一个几何体，则它的俯视图是（）A. B. C. D.2.由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线x=﹣3C．其最小值为1D．当x＜3时，y随x的增大而增大3.反比例函数3kyx+=的图象在二，四象限，则k的取值范围是（）A. k≤3B. k≥﹣3C. k＞3D. k＜﹣34.如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A． B． C． D．5.如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP+BP 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．无法计算6.如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）A. 200米B. 200米C. 220米D. 100（）米7.投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解（ ）①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率；②只要连掷6次，一定会“出现一点”；③投掷前默念几次“出现6点”，投掷结果“出现6点”的可能性就会加大；④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19；其中正确的见解有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8.二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）9.已知点A 的坐标为（2，3），O 为坐标原点，连接OA ，将线段OA 绕点A 按顺时针方向旋转90°得AB ，则点B 的坐标为（ ）NA. （5，1）B. （-3，2）C. （3， -2）D. （-1，5）10.如图，C 、D 是以线段AB 为直径的⊙O 上两点，若CA CD =，且40ACD ∠= ，则CAB ∠=( ).A ．10B ．20C ．30D ．40二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分。

）11.已知函数，当m=______时，它是二次函数． 12.如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，且AB 是⊙O 的直径，半径OD ⊥AC ，垂足为F ，若∠A=30°，OF=3，则BC= ．13.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°．如果将该三角形绕点A 按顺时针方向旋转到 △AB 1C 1的位置，点B 1恰好落在边BC 的中点处．那么旋转的角度是______度．14.2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标(13.2)--，及部分图象（如图所示），由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是1 1.3x =和2x = ．三、简答题（第15、16、17题每题8分；第18、20、21题每题12分；第19题14分；；第22题16分；共90分）15.计算（1）cos60°sin30°－tan60°tan45°+(cos30°)2（2） )20142-⎛⎫ ⎪⎝⎭ . 16.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC 的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A 的坐标为（-4,1），点B 的坐标为（-2,1）。

（1）画出△ABC 绕C 点顺时针旋转90°后得到的△A 1B 1C 1并写出A 1点的坐标。

（2）以原点O 为位似中心，位似比为2，在第二象限内作△ABC 的位似图形△A 2B 2C 2,并写出C 2的坐标。

17.如图，已知正方形ABCD 中，BE 平分∠DBC 且交CD 边于点E ，将△BCE 绕点C 顺时针旋转到△DCF 的位置，并延长BE 交DF 于点G ．（1）求证：△BDG ∽△DEG ；（2）若EG •BG=4，求BE 的长．18.AH 是⊙O 的直径，AE 平分∠FAH ，交⊙O 于点E ，过点E 的直线FG ⊥AF ，垂足为F ，B 为直径OH 上一点，点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上．（1）求证：直线FG 是⊙O 的切线；（5分）（2）若CD=10，EB=5，求⊙O 的直径．（5分）19.如图，抛物线21y ax bx =+-（a ≠0）经过A （-1，0），B （2，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点P 在抛物线的对称轴上，当△ACP 的周长最小时，求出点P 的坐标；（3） 点N 在抛物线上，点M 在抛物线的对称轴上，是否存在以点N 为直角顶点的Rt △DNM 与Rt △BOC 相似，若存在，请求出所有符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．20.如图，某校教学楼AB 后方有一斜坡，已知斜坡CD 的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD 进行改造，在保持坡脚C 不动的情况下，学校至少要把坡顶D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）21.为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传球三次．（1）请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况；（2）求三次传球后，球回到甲脚下的概率；（3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？22.的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知△ABC中，AB=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．AB=AA1•A C；（1）2（2）探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1）（3）应用：已知AC=a，作A1B1∥AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2∥AB交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3∥AB交BC于B3，…，依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示A n﹣1A n．（n为大于1的整数，直接回答，不必说明理由）数学试题参考答案1.A【解析】由图示可知这个几何体的俯视图是，故选A.2.C【解析】根据二次函数的性质，直接根据a的值得出开口方向，再利用顶点坐标的对称轴和增减性，分别分析即可．解：由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知：A：∵a＞0，其图象的开口向上，故此选项错误；B．∵其图象的对称轴为直线x=3，故此选项错误；C．其最小值为1，故此选项正确；D．当x＜3时，y随x的增大而减小，故此选项错误．故选：C．3.D【解析】∵3kyx+=的图象在二，四象限，∴k+3<0，即k<−3.故选D.4.C【解析】利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案．解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD，∴∠α=∠ACD，∴cosα=cos∠ACD===，只有选项C错误，符合题意．故选：C．5.B．【解析】作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则PA+PB最小，连接OA′，AA′，OB，∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN^的中点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=1，∴A′B=2．∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2．故选B．6.D【解析】图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．解：由已知，得∠A=30°，∠B=45°，CD=100，∵CD⊥AB于点D．∴在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，∴AD===100在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=45°∴DB=CD=100米，∴AB=AD+DB=100+100=100（+1）米．故选D．7.B【解析】必然发生的事件发生就是一定发生的事件．不可能发生的事件就是一定不会发生的事件．不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件．解：①必然事件，正确；②随机事件，错误；③随机事件，错误；④必然事件，正确．正确的有2个，故选B ．8.D ．【解析】∵二次函数的图象开口向下，∴反比例函数y=的图象必在二、四象限，故A 、C 错误；∵二次函数的图象经过原点，∴c=0，∴一次函数y=bx+c 的图象必经过原点，故B 错误．故选D ．9.D【解析】如图，过A 作y 轴的平行线，过B 作x 轴的平行线，交点为C ，由∠C =∠ADO ,∠BAC =∠AOD ,AB =OA ,可得ABC OAD ≌，∴AC =OD =2，BC =AD =3，∴CD =5，点B 离y 轴的距离为：3−2=1，∴点B 的坐标为(−1,5)，故选A.10.B.【解析】因为∠ACD=40°,CA=CD,所以∠CAD=∠D=（180°-40°）÷2=70°，所以∠B=∠D=70°，又因为AB 为直径，所以∠ACB=90°,所以∠CAB=90°-∠B=90°-70°=20°,故选B.11.-1【解析】∵函数是二次函数，∴m-1≠0,m 2+1=2,∴m=-1;故答案是－1。

12.6 【解析】根据垂径定理和30°的角易得圆的半径为2OF ，即可求得直径；易得∠C 为90°，那么BC 等于直径AB 的一半．解：∵OD ⊥AC ，垂足为F∴△AFO 是直角三角形，∠A=30°∴OA=2OF=2×3=6∴AB=2×6=12又∵AB 是圆的直径，∠ACB 为圆周角∴∠ACB=90°在Rt △ABC 中，A=30°∴BC=AB=×12=6．13.60【解析】由旋转和直角三角形的性质可证出三角形ABC 为等边三角形，即可求出旋转角. 解：在Rt △ABC 中，∵B 1是BC 的中点，∴11BB AB =又∵1AB AB =∴11BB AB AB ==即三角形ABC 是等边三角形，∴160BAB ︒∠=∴旋转的角度是60︒故答案为：60.14. 3.3-【解析】利用顶点坐标公式与两根之和公式可以求出方程的另一根．∵二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点坐标（-1，-3.2）∴12-=-a b 则2-=-ab∵x 1x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根 ∴x 1+x 2=ab- 又∵x 1=1.3 ∴x 1+x 2=1.3+x 2=-2 解得x 2=-3.3． 15. （1）1－【解析】cos60°sin30°－tan60°tan45°+(cos30°)2==1－（2）1【解析】)2142-⎛⎫⎪⎝⎭431=-+=1.16.（1）画图见解析，(-2,5)；(2) 画图见解析，(-2,4)【解析】（1）根据△ABC 绕C 点顺时针旋转90°的△A 1B 1C 1，得出各对应点的坐标即可得出答案；（2）根据位似图形的性质得出对应点位置即可得出答案． 试题解析：（1）如图所示：A 1（-2，5）；（2）如图所示：C 2（-2，4）．17.（1）见解析；（2）4（1）证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，∴△BCE≌△DCF，∴∠FDC=∠EBC，∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC，∴∠FDC=∠EBD，∵∠DGE=∠DGE，∴△BDG∽△DEG．（2）解：∵△BCE≌△DCF，∴∠F=∠BEC，∠EBC=∠FDC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=90°，∠DBC=∠BDC=45°，∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC=22.5°=∠FDC，∴∠BEC=67.5°=∠DEG，∴∠DGE=180°﹣22.5°﹣67.5°=90°，即BG⊥DF，∵∠BDF=45°+22.5°=67.5°，∠F=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠BDF=∠F，∴BD=BF，∴DF=2DG，∵△BDG∽△DEG，BG×EG=4，∴=，∴BG×EG=DG×DG=4，∴DG2=4，∴DG=2，∴BE=DF=2DG=4．18.（1）见解析证明；（2）252． 【解析】 （1）连接OE ，∵OA=OE ，∴∠EAO=∠AEO ，∵AE 平分∠FAH ，∴∠EAO=∠FAE ，∴∠FAE=∠AEO ，∴AF ∥OE ，∴∠AFE+∠OEF=180°，∵AF ⊥GF ，∴∠AFE=∠OEF=90°，∴OE ⊥GF ，∵点E 在圆上，OE 是半径，∴GF 是⊙O 的切线．（2）∵四边形ABCD 是矩形，CD=10，∴AB=CD=10，∠ABE=90°，设OA=OE=x ，则OB=10-x ，在Rt △OBE 中，∠OBE=90°，BE=5，由勾股定理得：222OB BE OE +=，∴222105x x -+=（），∴x ＝254，AH ＝2×254＝252，∴⊙O 的直径为252．19.（1）211122y x x =--，D （12，98-）；（2）P （12，34-）；（3）存在．N （92，558）或（72-，558）或（32，58-）或（12-，58-）．【解析】（1）由于抛物线21y ax bx =+- （a ≠0）经过A （-1，0），B （2，0）两点，因此把A 、B 两点的坐标代入21y ax bx =+- （a ≠0），可得：104210a b a b --=⎧⎨+-=⎩；解方程组可得：1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故抛物线的解析式为：211122y x x =--，∵211122y x x =--=2119()228x --，所以D 的坐标为（12，98-）． （2）如图1，设P （12，k ），∵211122y x x =--，∴C （0，－1），∵A （-1，0），B （2，0），∴A 、B 两点关于对称轴对称，连接CB 交对称轴于点P ，则△ACP 的周长最小．设直线BC 为y=kx+b ，则：201k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：121k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BC 为：112y x =-．当x=12时，11122y =⨯-=34-，∴P （12，34-）； （3）存在．如图2，过点作NF ⊥DM ，∵B （2，0），C （0，﹣1），∴OB=2，OC=1，∴tan ∠OBC=12OC OB =，tan ∠OCB=OB OA =2，设点N （m ，211122m m --），∴FN=|m ﹣12|，FD=|21191228m m --+|=|2111228m m -+|，∵Rt △DNM 与Rt △BOC 相似，∴∠MDN=∠OBC ，或∠MDN=∠OCB ；①当∠MDN=∠OBC 时，∴tan ∠MDN=FN FD =12，∴21121112228m m m -=-+，∴m=12（舍）或m=92或m=72-，∴N （92，558）或（72-，558）； ②当∠MDN=∠OCB 时，∴tan ∠MDN=FN FD =2，∴2122111228m m m -=-+，∴m=12（舍）或m=32或m=12-，∴N （32，58-）或（12-，58-）； ∴符合条件的点N 的坐标（92，558）或（72-，558）或（32，58-）或（12-，58-）．20.学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．【解析】假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，∵CD=12米，∠DCE=60°，∴DE=CD•sin60°=12×=6米，CE=CD•cos60°=12×=6米．∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，∴四边形DEE′D′是矩形，∴DE=D′E′=6米．∵∠D′CE′=39°，∴CE′=≈≈12.8，∴EE′=CE′﹣CE=12.8﹣6=6.8≈7（米）．答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．21.（1）答案见解析；（2）14；（3）传到乙脚下的概率大．试题解析：(1)三次传球所有可能的情况如图：(2)由图知：三次传球后，球回到甲的概率为P(甲)= 2184= (3)由图知：三次传球后，球回到乙的概率为P(乙)= 38∵P(乙)＞P(甲) ∴是传到乙脚下的概率大.22.（1）证明见试题解析；（2）△ABC 是黄金等腰三角形；（3）1n a +．【解析】（1）∵AC=BC ，∠C=36°，∴∠A=∠ABC=72°，∵BA 1平分∠ABC ，∴∠ABA 1=12∠ABC=36°，∴∠C=∠ABA 1，又∵∠A=∠A ，∴△ABC ∽△AA 1B ，∴1AB AC AA AB=，即2AB =AA 1•A C ； （2）△ABC 是黄金等腰三角形，理由：由（1）知，2AB =AA 1•A C ，设AC=1，∴2AB =AA 1，又由（1）可得：AB=A 1B ，∵∠A 1BC=∠C=36°，∴A 1B=A 1C ，∴AB=A 1C ，∴AA 1=AC ﹣A 1C=AC ﹣AB=1﹣AB ，∴2AB =1﹣AB ，设AB=x ，即21x x =-，∴210x x +-=，解得：1x =，2x =（不合题意舍去），∴AB=，又∵AC=1，∴AB AC=，∴△ABC 是黄金等腰三角形； （3）由（2）得；当AC=a ，则AA 1=AC ﹣A 1C=AC ﹣AB=a ﹣AB=a=2a ， 同理可得：A 1A 2=A 1C ﹣A 1B 1=AC ﹣AA 1﹣A 1B 1=2111()22a a AC --=22111()[()]222a a a a ---=31()2a ； 故A n ﹣1A n=11()2n a +．。