安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高一下学期开学考试数学试题 含答案
安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高一下学期期中理科数学试题
安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高一下学期期中理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{|32,},6,8,10,12,14A x x n n N B ==+∈=，则集合A B ⋂中的元素个数为 A ．5B ．4C ．3D ．22．在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-.若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11a -<<B ．02a <<C ．3122a -<<D ．1322a -<<3．已知幂函数12()f x x -=，若f(a ＋1)<f(10－2a)，则a 的取值范围是( ) A ．(3,5) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，5)D ．(－1,5)4．设函数3()48f x x x =+-，用二分法求方程3480x x +-=近似解的过程中，计算得到()10f <，()30f >，则方程的近似解落在区间（ ）A ．()1,1.5B ．()1.5,2C ．()2,2.5D ．()2.5,35．某人的血压满足函数关系式()24sin1?60π110f t t =+，其中，()f t 为血压，t 为时间（单位：分钟），则此人每分钟心跳的次数是 A ．60B ．70C ．80D ．906．为使方程2cos sin 0x x a -+=在02x π<≤内有解，则a 的取值范围是（ ） A ．11a -≤≤ B ．11a -<≤ C ．10a -≤<D ．54a ≤-7．函数lg sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．,()86k k k Z ππππ⎡⎫-+∈⎪⎢⎣⎭B ．3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．5,()88k k k Z ππππ⎡⎫--∈⎪⎢⎣⎭ D ．3,()88k k k Z ππππ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦ 8．已知如图示是函数2sin()()2y x πωϕϕ=+<的图象，那么（ ）A ．10,116πωϕ== B ．10,116πωϕ==- C ．2,6πωϕ==-D ．2,6πωϕ==9．函数sin3y x =的图象可以由函数cos3y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位得到 B ．向左平移6π个单位得到 C ．向右平移3π个单位得到 D ．向左平移3π个单位得到 10．在△ABC 中，若tan B ＝()()cos sin sin C B A C B -+-，则这个三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形11．函数2()sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是A ．1BC ．32D ．12．已知－2π<θ<2π，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是 A ．－3 B ．3或13C ．－13D ．－3或－13二、填空题13．函数tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间是______.14．函数y ＝sin ωx (ω＞0)的部分图象如图所示，点A ，B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则ω的值为____.15．已知sin()cos cos()sin m αβααβα---=，且β为第三象限角，则cos β的值为______.16．将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线4x π=对称，则ϕ的最小正值为__________.三、解答题17．已知3cos()(,)424x x πππ-=∈.（1）求sin x 的值； （2）求sin(2)3x π+的值.18．已知函数()πtan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）求该函数的定义域，最小正周期及单调区间；（2）若()17f θ=，求22cos sin 12π4θθθ--⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．19．已知函数()cos ,46x f x A x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，且3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求A 的值；（2）设43028,0,,4,4231735f f πππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∈+=--= ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭，求cos(α+β)的值.20．已知函数211()sin 2sin cos cos sin (0)222f x x x πϕϕϕϕπ⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭，其图象过点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求ϕ的值；（2）将函数()y f x =图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()g x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.21．如图，在扇形OPQ 中，半径OP =1，圆心角3POQ π∠=，C 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形.记POC α∠=，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积.22．已知定义在区间2,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的函数()y f x =的图象关于直线6x π=-对称，当2,63⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ππ时，函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中(0A >，0>ω，22ππϕ-<<)图象如图所示.（1）求函数()y f x =在2,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的表达式；（2）求方程()f x =的解.参考答案1．D 【详解】由已知得A B ⋂中的元素均为偶数，n ∴ 应为取偶数，故{}8,14A B ⋂= ，故选D. 2．D 【分析】根据已知定义化简不等式，然后常变量分离，结合配方法进行求解即可. 【详解】22()()1()[1()]11x a x a x a x a x x a a -⊗+<⇒--+<⇒->--，因为22111()244x x x -=--≥-，所以要想不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 恒成立，只需2213131310()()0442222a a a a a a a --<-⇒--<⇒+-<⇒-<<.故选：D 【点睛】本题考查了已知不等式恒成立求参数取值范围问题，考查了数学阅读能力和数学运算能力. 3．A 【分析】根据幂函数的单调性和取值范围，解不等式即可． 【详解】∵幂函数f （x ）=12x －{x|x ＞0}，在（0，+∞）上单调递减． ∴若f （a+1）＜f （10﹣2a ），则1010201102a a a a +⎧⎪-⎨⎪+-⎩＞＞＞， 即153a a a -⎧⎪⎨⎪⎩＞＜＞， 解得3＜a ＜5，即a 的取值范围是（3，5）． 故答案为：A本题主要考查幂函数的性质，根据幂函数的单调性解不等式是解决本题的关键，比较基础． 4．A 【分析】根据二分法求方程的近似解的过程，由条件先求得()20f >，再求32f ⎛⎫⎪⎝⎭的符号，只须找到满足()()0f a f b <即可 【详解】取12x =，因为()24828260f =⨯+-=>，所以方程近似解()01,2x ∈， 取232x =，因为3273f 4870282⎛⎫=⨯+-=> ⎪⎝⎭，所以方程近似解031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：A. 5．C 【分析】由题意，根据函数的关系式，求得函数的最小正周期为T ，进而可求解此人每分钟的心跳次数，得到答案． 【详解】由题意，根据函数的关系式()24sin1?60π110f t t =+， 可得函数的最小正周期为2π1160π80T ==，所以此类每分钟的心跳次数为180f T==， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，合理利用三角函数的图象与性质进行作答是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 6．B 【分析】根据题意转化为方程2sin sin 1a x x =+-在02x π<≤内有解，结合二次函数的图象与性质，求得1()1f x -<≤，即可求解.由题意，方程2cos sin 0x x a -+=在02x π<≤内有解，即方程22cos sin sin sin 1a x x x x =-+=+-在02x π<≤内有解，设2215()sin sin 1(sin )24f x x x x =+-=+-因为(0,]2x π∈，可得sin (0,1]x ∈，可得1()1f x -<≤，所以a 的取值范围是(]1,1-. 故选：B. 7．D 【分析】结合对数函数的性质和正弦型函数的性质，令3222()42k x k k Z πππππ+<-≤+∈，即可求解. 【详解】由函数lgsin(2)lg[sin(2)]44y x x ππ=-=--，根据对数函数的性质以及正弦型函数的性质， 令3222()42k x k k Z πππππ+<-≤+∈，解得57()88k x k k Z ππππ+<≤+∈， 故函数的单调递增区间是3,,()88k k k Z ππππ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦. 故选：D. 8．D 【分析】先由题意得到2sin 1=ϕ，根据ϕ的范围，可求出ϕ，再由函数图像确定最小正周期，可求出ω，进而可求出结果.【详解】因为图像过点(0,1)，所以2sin 1=ϕ，结合图像可得2,6k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以6π=ϕ；又由图像可得： 111101212T π=-，所以T π=， 因此22Tπω==. 故选D 【点睛】本题主要考查由函数部分图像求参数的问题，熟记三角函数的图像和性质即可，属于常考题型. 9．A 【分析】化简函数sin 3cos[3()]6y x x π==-，结合三角函数的图象变换，即可求解.【详解】由于函数3sin 3cos(3)cos(3)cos[3()]226y x x x x πππ==+=-=-， 故把函数cos3y x =的图象向右平移6π个单位，即可得到cos3sin 36y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭的图象.故选：A. 10．B 【详解】因为△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 所以tan B ＝()()cos sin sin C B A C B -+-＝()()cos cos sin sin sin sin C B C B B C C B +++-＝cos cos sin sin 2cos sin C B C BB C+，即sin cos B B＝cos cos sin sin 2cos sin C B C BB C ⋅+，∴cos(B ＋C )＝0，∴cos(π－A )＝0，∴cos A ＝0，∵0<A <π，∴A ＝2π， ∴这个三角形为直角三角形，故选B. 11．C 【详解】由1cos 21()2sin(2)226x f x x x π-==+-, 52,42366x x πππππ≤≤⇒≤-≤max 13()1.22f x ∴=+=故选C.12．C 【详解】 由22ππθ-<<，得到cosθ>0，所以把sinθ+cosθ=a 两边平方得： (sinθ+cosθ)2=a 2，即1+2sinθcosθ=a 2,又a ∈(0,1)， 所以2sinθcosθ=a 2−1<0，所以sinθ<0， 又sinθ+cosθ=a >0， 所以cosθ>−sinθ>0， 则-1<tanθ<0.据此可得：tan θ的值可能为1tan 3θ=-选C.13．3,,2828k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 【分析】 令2,242k x k k πππππ-<+<+∈Z ，然后解不等式即可求解．【详解】 令2,242k x k k πππππ-<+<+∈Z ，解得328k x ππ-< ,28k k ππ<+∈Z . 【点睛】本题主要考查类正切函数的单调区间的求解问题，属基础题． 14．π2【分析】可得△ABC 为等腰直角三角形，进而可得AB ＝2CD ＝4，还可得AB πω=，解方程可得ω的值． 【详解】解：由题意结合三角函数的对称性可知△ABC 为等腰直角三角形，且∠ACB 为直角， 取AB 的中点为D ，由三角函数的最大值和最小值为1和﹣1，可得CD ＝1﹣（﹣1）＝2故AB 的长度为2CD ＝4，又AB 为函数的一个周期的长度， 故可得2πω=，解之可得ω2π= 故答案为π2．【点睛】本题考查三角函数的参数的意义，得出AB 的两种表示方法是解决问题的关键，属中档题．15．【分析】由已知得sin 0m β=-<且cos 0β<，结合同角三角函数的平方关系即可求cos β. 【详解】sin()cos cos()sin sin[()]sin m αβααβααβαβ---=--=-=，又β为第三象限角，∴sin 0m β=-<，即0m >，且cos 0β<，∴由22sin cos 1ββ+=知：cos β=故答案为：【点睛】关键点点睛：应用三角恒等变换求sin β，结合象限角对应函数值的符号及同角三角函数的平方关系求cos β. 16．38π【分析】先求得函数()f x 变换后的解析式，根据所得解析式对应的图像关于直线4x π=对称，求得ϕ的最小正值. 【详解】由题意得，()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位，变为()()2sin 22sin 2244f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的12倍，所得解析式为()2sin 424f x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为所得图象关于直线4x π=对称， 所以42442k πππϕπ⨯-+=+，3()82k k Z ππϕ=-∈， 当0k =时，ϕ取得最小正值为38π. 故答案为：38π 17．(1)45；(2). 【详解】试题分析：（1）先判断4x π-的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出sin()4x π-，将所求进行变形sin sin[()]44x x ππ=-+，最后由两角和的正弦公式进行计算即可；（2）结合（1）的结果与x 的取值范围，确定cos x 的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出sin 2x 、cos2x ，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可.试题解析：（1）因为3(,)24x ππ∈，所以(,)442x πππ-∈，于是sin()4x π-==sin sin[()]sin()cos cos()sin 444444x x x x ππππππ=-+=-+-45==（2）因为3(,)24x ππ∈，故3cos 5x =- 2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525x x x x x ==-=-=-所以中sin(2)sin 2cos cos 2sin 333x x x πππ+=+=考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换.18．（1）函数最小正周期是π2，定义域是ππ|,28k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，单调增区间是()π3πππ,2828k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ；（2）12-或2. 【分析】（1）由题意结合正切函数的性质由πT ω=即可得函数最小正周期；令()ππ2π42x k k +≠+∈Z ，化简即可得函数定义域；令()ππππ2π242k x k k -+<+<+∈Z ，化简即可得函数的单调增区间；（2）由题意结合三角恒等变换、同角三角函数商数关系可得原式1tan tan 1θθ-=+，由π1tan 247θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭结合两角差的正切公式可得tan2θ，再由正切的二倍角公式可得tan θ，代入即可得解.【详解】（1）由题意得函数最小正周期π2T =， 由()ππ2π42x k k +≠+∈Z 得()ππ28k k x ≠+∈Z ， 由()ππππ2π242k x k k -+<+<+∈Z 得()π3πππ2828k k x k -<<+∈Z ， 综上，函数的最小正周期是π2，定义域是ππ|,28k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ， 单调增区间是()π3πππ,2828k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ； （2）由题意22cos sin 1cos sin 1tan 2πsin cos tan 14θθθθθθθθθ----==++⎛⎫+ ⎪⎝⎭①，()17f θ=，∴π1tan 247θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 则ππ1tan 2tan 1ππ3447tan2tan 21ππ44411tan 2tan 744θθθθ⎛⎫+-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+-===- ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦+++⋅ ⎪⎝⎭， 由22tan 3tan21tan 4θθθ==--得tan 3θ=或13-， 把tan 3θ=代入①得22cos sin 11tan 12πtan 124θθθθθ---==-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 把1tan 3θ=-代入①得22cos sin 11tan 22πtan 14θθθθθ---==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 【点睛】 本题考查了正切函数图象与性质、三角恒等变换、同角三角函数关系的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.19．（1）2；（2）1385-. 【分析】（1）将3x π=代入函数解析式，得到cos 4A A π==A 的值； （2）由4304317f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭可求得15sin 17α=，结合角的范围，利用平方关系可得8cos 17α=，由28435f πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得4cos 5β=，结合角的范围，利用平方关系可得3sin 5β=，利用和角余弦公式求得结果.【详解】（1）因为()cos()cos 31264f A A A ππππ=+===A =2. （2）由430(4)2cos()2cos()2sin 336217f ππππαααα+=++=+==-， 得15sin 17α=，又[0,]2πα∈， 所以8cos 17α=. 由28(4)2cos()2cos 3665f πππβββ-=-+==， 得4cos 5β=，又[0,]2πβ∈，所以3sin 5β=， 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β841531317517585=⨯-⨯=-. 【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有已知函数值求参数值，诱导公式，同角三角函数关系式，和角余弦公式，属于简单题目.20．（1）3πϕ=；（2）最大值和最小值分别为12和14-. 【分析】(1)根据三角恒等变换得()1cos(2)2f x x ϕ=-,再待定系数法得3πϕ=； （2）根据三角函数平移变换得1()cos 423g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据整体代换思想求解函数的最值即可.【详解】（1）因为211()sin 2sin cos cos sin (0)222f x x x πϕϕϕϕπ⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭， 所以11cos 21()sin 2sin cos cos 222x f x x ϕϕϕ+=+-11sin 2sin cos2cos 22x x ϕϕ=+11(sin 2sin cos 2cos )cos(2)22x x x ϕϕϕ=+=-. 又函数图像过点1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以11cos 2226πϕ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，即cos 13πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 又0ϕπ<<，所以3πϕ=.（2）由（1）知，1()cos 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，可知1()cos 423g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]40,x π∈， 因此24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故1cos 4123x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭. 所以111cos 24432x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭ 所以()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为12和14-.21．6πα=时，矩形ABCD 【分析】 由题意可得cosCD αα=，sin BC α=，从而可得矩形ABCD 的面积为S CD BC =⋅(cos )sinααα=⋅2)6πα+03πα<<可得52666πππα<+<，由此可得262ππα+=时，S 取得最大值【详解】 在Rt OBC 中，sin BC α=，cos OC α=，在Rt ADO 中，tan 3AD OD π= 所以OD AD α===， 所以cosCD OC OD αα=-=， 设矩形ABCD 的面积为S ，则S CD BC =⋅(cos )sin ααα=⋅2sin cos ααα=1sin 222αα=1sin(312)623πα=+-， 由03πα<<，得52666πππα<+<，所以当262ππα+=，即6πα=时， max S = 因此，当6πα=时，矩形ABCD 【点睛】 关键点点睛：此题考查三角函数的应用，解题的关键是将四边形ABCD 的面积表示为S CD BC =⋅(cos )sin ααα=⋅2)6πα=+再利用三角函数的性质可求得其最大值，属于中档题22．（1）2sin(),,363()sin ,[,]6x x f x x x πππππ⎧⎡⎤+∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎪-∈--⎪⎩； （2）35,,,441212ππππ⎧⎫---⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）结合()f x 在区间2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，分别求得,,A w ϕ的值，求得函数解析式，再根据函数的图象的对称性，即可求得函数()f x 在2,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的表达式； （2）由（1）中函数()f x 的解析式，结合分段函数的分段条件，列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意，当2,63⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ππ时，函数()sin()f x A x ωφ=+， 结合图象可得1A =，124362T πππ=-=， 可得2T π=，所以1w =，所以()sin()f x x ϕ=+，又由()16f π=，可得sin()16πϕ+=且22ππϕ-<<，所以3πϕ=，所以()sin()3f x x π=+， 当[,]6x ππ∈--，则2[,]363x πππ--∈-，又由函数()y f x =的图象关于直线6x π=-对称， 可得()()sin[()]sin 333f x f x x x πππ=--=--+=-， 所以函数的解析式为2sin(),,363()sin ,[,]6x x f x x x πππππ⎧⎡⎤+∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎪-∈--⎪⎩. （2）当2,63⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ππ时，令sin()32x π+=，可得34x ππ+=或334x ππ+=， 可得12x π=-或512x π=； 当[,]6x ππ∈--时，令sin x -=34x π=-或4πx =-，所以方程()f x =35,,,441212ππππ⎧⎫---⎨⎬⎩⎭.。
安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高一数学下学期第三次月考试题(实验班)
安徽省滁州市定远县育才学校20212021学年高一数学下学期第三次月考试题（实验班）高一数学全卷满分150分，考试用时120分钟第I 卷（选择题 60分）一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.在中，已知，则的形状是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形2.在ABC ∆中，三个内角A,B,C 的对边分别()12,,,2,sin ,sin 33a b c a A A C ==+=则b 等于( ) A. 4 B. 83 C. 6 D. 2783.已知数列 的前前 项和 ,那么它的通项公式是（ ）A.B.C.D.4.在公差为3的等差数列{}n a 中， 567a a +=，则68a a +的值为（ ） A. 13 B. 16 C. 19 D. 225.在等比数列{}n a 中， 48•2a a =， 2103a a +=，则124a a =（ ） A. 2 B. 12 C. 2或12 D. -2或12- 6.若110a b<<，则下列结论不正确的是（ ） A.22a b < B.2ab b < C.2b aa b+> D.||||||a b a b +>+7.已知递增数列{n a }满足*111,,.nn n a a a p n N +=-=∈且123,2,3a a a 成等差数列，则实数p 的值为（ ）A. 0B.13 C. 13或0 D. 38.已知等差数列{}n a 的公差为2，若123,,a a a 成等比数列，则1a = （ ） A. 10- B. 8- C. 6- D. 4-9.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和， 332a =， 392S =，则公比q = ( ) A. 12 B. 12- C. 1或12 D. 1或12-10.△ABC 中, 三内角A B C 、、所对的边分别是,,a b c ,若()221a b c bc--= ，则角A=（ ）A. 060B. 0120C. 030D. 015011.若变量 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）A.-7B.-1C.1D.212.已知在ΔABC 中, sin :sin :sin 3:2:4A B C =,那么cos C 的值为（ ） A. 14-B. 14C. 23-D. 23第II 卷（非选择题 90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3c =， 3C π=， sin 2sin B A =，则a =__________．14.在等差数列{}n a 中, 3172,16a a ==， 68101214a a a a a ++++=___________。
安徽省滁州市定远育才学校2021学年下学期高一年级第一次月考数学试卷(文科)
安徽省滁州市定远育才学校2020-2021学年下学期高一年级第一次月考数学试卷（文科）一、选择题每小题5分，共60分1下列说法正确的是A ．小于90°的角是锐角B ．钝角必是第二象限角，第二象限角必是钝角C ．第三象限的角大于第二象限的角D ．角α与角β的终边相同，角α与角β可能不相等 2．已知α为第三象限角，则a 2所在的象限是A ． 第一或第二象限B ． 第二或第三象限C ． 第一或第三象限D ． 第二或第四象限sin 1 893°，cos 1 893°在直角坐标平面上位于A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限4．角θ的终边与单位圆的交点的横坐标为－12，则tan θ的值为A ． －√3B ． ±1C ． ±√3D ． ±√33 5．已知tan α＝错误!，α∈错误!，则cos α的值是A ．±错误! C ．－错误!6．α∈－π2，0，sin α＝－35，则cosπ－α的值为A ． －45B ．45C ．35D ． －35 7．下列函数中，同时满足：①在(0，π2)上是增函数；②为奇函数；③以π为最小正周期的函数是 A ．y ＝tan B ．y ＝cos C ．y ＝tan x 2 D ．y ＝|sin|8．已知sin2π－α＝错误!，α∈错误!，2π，则错误!等于B ．－错误!C ．－7D ．79．已知函数f ＝sin2＋φ的图象关于直线＝错误!对称，则φ可能取值是B ．－错误!10给出下列说法：①作正弦函数的图象时，单位圆的半径与轴的单位长度要一致；②y ＝sin ，∈[0，2π]的图象关于点[π2，5π2]3π2，则扇形的周长为________．14．在△ABC 中，已知cosA+B 2＝15，则cos C 2＝________ ＝sin (32π+x)的奇偶性是________16．函数y ＝√2cosx ＋1的定义域是____________三、解答题（1012*5=70分）17（10分）（1）计算：cos 300°－sin －330°＋tan 675°（2）化简：sin(π+α)sin(2π－α)cos(−π−α)sin(3π+α)cos(π−α)cos(3π2+α)18（12分）已知－π2＜＜0，sin ＋cos ＝151求sin 2－cos 2的值；2求tanx 2sinx ＋cosx 的值19．12分已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大最大面积是多少20．12分求函数y ＝3－4sin －4cos 2的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的的值．21．12分已知函数y ＝a cos 错误!＋3，∈错误!的最大值为4，求实数a 的值．22（12分）已知函数y ＝sin －π6－2求：1函数y ＝sin －π6－2的单调递减区间，对称轴，对称中心；2当∈π2时，函数的值域安徽省滁州市定远育才学校2020-2021学年下学期高一年级第一次月考数学试卷（文科）参考答案10 D136π＋40 cm 14 562 15偶函数 16．[2kπ−23π，2kπ+23π]，∈Z 17（1）原式＝cos360°－60°＋sin360°－30°＋tan720°－45°＝cos 60°－sin 30°－tan 45°＝12－12－1＝－1（2）原式＝−sinα(−sinα)(−cosα)−sinα(−cosα)sinα＝－1 18．1∵－π2＜＜0，∴sin ＜0且cos ＞0，又sin ＋cos ＝15，sin 2＋cos 2＝1∴sin ＝－35，cos ＝45∴sin 2－cos 2＝－7252由1知tan ＝sinx cosx ＝－34∴tanx 2sinx ＋cosx ＝−34−65+45＝158 19．解：设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r∴S ＝错误!lr ＝错误!×40－2rr ＝20r －r 2＝－r －102＋100∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝错误!＝错误!＝2 rad20．解：y ＝3－4sin －4cos 2＝4sin 2－4sin －1＝4错误!2－2，令t ＝sin ，则－1≤t ≤1，∴y ＝4错误!2－2 －1≤t ≤1∴当t ＝错误!，即＝错误!＋2π或＝错误!＋2π∈Z 时，y min ＝－2；当t ＝－1，即＝错误!＋2π ∈Z 时，y ma ＝721．解：∵∈错误!∴2＋错误!∈错误!∴－1≤cos 错误!≤错误!当a >0，cos 错误!＝错误!时，y 取得最大值错误!a ＋3∴错误!a ＋3＝4∴a ＝<0，cos 错误!＝－1时，y 取得最大值－a ＋3，∴－a ＋3＝4∴a ＝－1，综上可知，实数a 的值为2或－122解：1化简可得y ＝sin －π6－2＝－sin2＋π6，由2π－π2≤2＋π6≤2π＋π2，∈Z ，可得π－π3≤≤π＋π6，∈Z ∴函数y ＝sin －π6－2的单调递减区间为π3π6∈Z ，令2＋π6＝π＋π2，可得＝k 2π＋π6，故函数的对称轴为＝k 2π＋π6，∈Z ；令2＋π6＝π，得＝k 2π－π12，故函数的对称中心为k 2π－π12，0，∈Z2当∈π2π6π67π6π612∴－sin2＋π6∈1212。
2020-2021学年安徽省滁州市定远县育才学校高一数学下学期期末考试数学试题
y'安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题一、选择题（每题5分，共60分） 1、若312i i z=++，则||=z （ ）A. 0B. 1 C 2 D. 22、下列命题正确的是（ ）A 、以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；B 、以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；C 、圆柱、圆锥、圆台都有两个底面；D 、圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆半径。
3、随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．154、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B．45° C．135° D．以上答案都不对5、下列命题正确的是（ ）A 单位向量都相等B 若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，则a 与c 是共线向量C ||||b a b a -=+，则0a b⋅=D 若0a 与0b 是单位向量，则001a b ⋅=6、在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．2 6B ．6C ．3 6D ．4 67、.我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 ( )A.45,75,15B. 45,45,45C.30,90,15D. 45,60,30 8、已知向量b a b a b a b a 与则满足,37|2|,3||,2||,=+==的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9、在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )A 、320 B 、15 C 、25D 、 920 10、一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为︒45，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）A 、2221+ B 、221+C 、21+D 、22+11、设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥B ．若,,m n n ββα⊥⊥⊥则m α⊥C ．若//m β，βα⊥则m α⊥D ．若m n ⊥，nβ⊥，βα⊥，则m α⊥12、.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A. 64πB. 48πC. 36πD.32π二、填空题（每题5分，共20分）13、数据2、2、3、4、4的方差= _________14、设向量a ，b 满足的值为则b a b a a b a +-⊥==2),2(,2,1_________。
安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高一数学下学期期中试题(普通班)
安徽省滁州市定远县育才学校20212021学年高一数学下学期期中试题（普通班）考生注意：1.本卷分第I卷和第II卷，满分150分，考试时刻120分钟。
答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷上。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标题涂黑。
3.非选择题的作答:用签字笔直截了当答在答题卷上对应的答题区内。
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.下列叙述正确的是( )A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B．数列0,1,2,3，…能够表示为{n}C．数列0,1,0,1，…是常数列D．数列{}是递增数列2.数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )A．an＝n2－n＋1 B．an＝ C．an＝ D．an＝n2＋13.已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )A．75° B．60° C．45° D．30°4.在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝30°，则c等于( )A． 2 B． C． 2或 D．以上都不对5.设公差为－2的等差数列{an}，假如a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于( )A．－182 B．－78C．－148 D．－826.记等差数列前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于( )A． 2 B． 3 C． 6 D． 77.在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为( )A． 16 B． 27 C． 36 D． 818.数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数为 ( )A． 11 B． 99 C． 120 D． 1219.在△ABC中，已知AB＝3，BC＝，AC＝4，则AC边上的高为( )A． B． C． D． 310.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C等于( )A． B． C． D．11.设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于( )A．＋ B．＋ C．＋ D．n2＋n12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，则的值为( )A． 2 B．C． 2 D． 3二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，则B＝________.14.已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，那么是那个数列的第______项．15.已知等差数列{an}中，a1＜a2＜…＜an，且a3，a6为x2－10x＋16＝0的两个实根，则此数列的通项公式是__________．16.已知6，a，b,48成等差数列，6，c，d,48成等比数列，则a＋b＋c＋d＝_______.三、解答题(共6小题 ,共72分)17.已知数列{an}的首项a1＝1，以后各项由公式an＝(n＞1，n∈N*)给出，写出那个数列的前5项，并求该数列的通项公式．18.在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶5∶6.(1)求cos B；(2)若△ABC的面积为，求△ABC的周长.19.已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n≥2)，令bn＝.(1) 求证数列{bn}是等差数列；(2) 求数列{an}的通项公式．20.已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1) 求数列{an}的通项公式；(2) 当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？21.已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．(1)求通项公式an及Sn；(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式．22.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＝.(1)求角C的大小；(2)若c＝2，求使△ABC面积最大时，a，b的值．答案解析1.【答案】D【解析】由数列的通项an＝知，an＋1－an＝－＝>0，即数列{}是递增数列，故选D.2.【答案】C【解析】令n＝1,2,3,4，代入A、B、C、D检验即可．排除A、B、D，从而选C.3.【答案】B【解析】由S△ABC＝3＝×3×4sin C，得sin C＝，又角C为锐角，故C＝60°.4.【答案】C【解析】∵a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴ 5＝15＋c2－2×c×.化简得c2－3c＋10＝0，即(c－2)(c－)＝0，∴c＝2或c＝.5.【答案】D【解析】a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33＝50＋2×(－2)×33＝－82.6.【答案】B【解析】方法一由解得d＝3.方法二由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，因此20－4＝4＋4d，解得d＝3.7.【答案】B【解析】由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍去)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.8.【答案】C【解析】∵an＝＝－，∴Sn＝－1＝10，∴n＝120.9.【答案】B【解析】如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，且AB＝3，BC＝，AC＝4.∵cos A＝＝，∴sin A＝.∴BD＝AB·sin A＝3×＝.10.【答案】A【解析】因为3sin A＝5sin B，因此由正弦定理可得3a＝5b.因为b＋c＝2a，因此c＝2a－a＝a.令a＝5，b＝3，c＝7，则由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得49＝25＋9－2×3×5cos C，解得cos C＝－，因此C＝.11.【答案】A【解析】由题意设等差数列公差为d，则a1＝2，a3＝2＋2d，a6＝2＋5d.又∵a1，a3，a6成等比数列，∴a＝a1a6，即(2＋2d)2＝2(2＋5d)，整理得2d2－d＝0.∵d≠0，∴d＝，∴Sn＝na1＋d＝＋.12.【答案】D【解析】由正弦定理＝＝，得＝＝，即(cos A－3cos C)sin B＝(3sin C－sin A)cos B，化简可得，sin(A＋B)＝3sin(B＋C)，又知A＋B＋C＝π，因此sin C＝3sin A，因此＝3.13.【答案】【解析】由余弦定理，得cos B＝＝－，∴B＝.14.【答案】10【解析】∵＝，∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10.15.【答案】an＝2n－4【解析】由题意得且a1＜a2＜…＜an，因此a3＝2，a6＝8，因此a1＝－2，d＝2，从而an＝－2＋2(n－1)，即an＝2n－4.16.【答案】90【解析】∵ 6，a，b,48成等差数列，∴a＋b＝6＋48＝54；又6，c，d,48成等比数列，∴q3＝＝8，解得q＝2，∴ 故c＝12，d＝24，∴a＋b＋c＋d＝90.17.【答案】由a1＝1，an＝可得：a2＝＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝，a5＝＝＝.由an＝两边取倒数得＝，即＝＋1，∴－＝1.则＝＋＋…＋＋＋1.∴＝1＋1＋…＋1＋1＋1(等号的右边有n个1相加)，即＝n，∴an＝(n≥2)，又a1＝1＝也成立，∴an＝(n∈N*)．【解析】18.【答案】解(1) 依照正弦定理及sin A∶sin B∶sin C＝2∶5∶6可得a∶b∶c＝2∶5∶6，因此可设a＝2k，b＝5k，c＝6k(k>0)，由余弦定理可得cos B＝＝＝，即cos B＝.(2)由(1)可知sin B＝＝，由面积公式S△ABC＝ac sin B可得S△ABC＝·(2k)·(6k)·＝，∴k＝1. ∴△ABC的周长为2k＋5k＋6k＝13k＝13.【解析】19.【答案】(1)证明：∵an＝4－(n≥2)，∴an＋1－2＝2－＝(n≥1)．∴＝＝＋(n≥1)，即bn＋1－bn＝(n≥1)．∴{bn}为等差数列．(2)∵{}为等差数列，∴＝＋(n－1)·＝. ∴an＝2＋.∴{an}的通项公式为an＝2＋.【解析】20.【答案】(1)an＝11－2n；(2) 当n＝5时，Sn取得最大值．【解析】(1) 由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.(2) 方法1）∵Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，∴ 当n＝5时，Sn取得最大值．方法2）由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴ {an}是递减数列令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.∵n∈N*，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.∴ 当n＝5时，Sn取得最大值．21.【答案】(1)因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，因此an＝19－2(n－1)＝－2n ＋21，即an＝－2n＋21；＝19n＋×(－2)＝－n2＋20n，Sn即Sn＝－n2＋20n.(2)因为{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，因此bn－an＝3n－1，即bn＝3n－1＋an＝3n－1－2n＋21.【解析】22.【答案】解(1)∵cos(A＋C)＝cos(π－B)＝－cos B，∴由题意及正弦定理，得＝，即2sin A cos C＝－(sin B cos C＋cos B sin C)＝－sin(B＋C)＝－sin A.∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，从而cos C＝－，又∵C∈(0，π)，∴C＝.(2)由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，∴4＝a2＋b2－2ab·(－)，即4＝a2＋b2＋ab，∴4＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab＝3ab，即ab≤(当且仅当a＝b时成立)，∵S△ABC＝ab sin C＝ab，∴当a＝b时△ABC面积最大为，现在a＝b＝，故当a＝b＝时，△ABC的面积最大为. 【解析】。
2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高一下学期开学摸底考试数学试题(解析版)
2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高一下学期开学摸底考试数学试题一、单选题1．已知实数集R ， 集合{}{}2435A x x B x x =≤≤=≤≤∣，∣， 则 ()RA B =（ ）A ．{45}xx <≤∣ B ．{2xx <∣ 或 3}x ≥ C ．{}45xx ≤≤∣ D ．{2xx ≤∣ 或 3}x ≥ 【答案】B【分析】根据补集的定义，结合并集的定义进行求解即可.【详解】因为集合{}24A xx =≤≤∣， 所以(,2)(4,)R A =-∞+∞，而{}35B xx =≤≤∣， 所以()R A B ={2x x <∣ 或 3}x ≥， 故选：B2．22021x >是22022x >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系. 【详解】若22022x >，因为20222021>，故22021x >， 故“22022x >”可以推出“22021x >”，取22021.5x =，则满足22021x >，但22022x >不成立， 所以 “22021x >”不能推出“22022x >”，所以“22021x >”是“22022x >”的必要不充分条件， 故选：B ．3．,x R ∀∈不等式2410ax x +-<恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．4aB ．4a 或0a =C ．4a ≤-D ．40a【答案】A【分析】先讨论系数为0 的情况，再结合二次函数的图像特征列不等式即可.【详解】,x R ∀∈不等式2410ax x +-<恒成立， 当0a =时，显然不恒成立，所以0Δ1640a a <⎧⎨=+<⎩，解得：4a.故选：A.4．已知0a b >>，则（ ） A ．22ac bc > B ．22a ab b >> C ．11a b> D ．a bab+的取值范围是[)2,+∞ 【答案】B【分析】取0c 判断A ；由不等式的性质判断BC ；由基本不等式判断D.【详解】当0c 时，22ac bc >不成立，A 错误．因为0a b >>，所以22a ab b >>，11b a>，B 正确，C 错误．当0a >，0b >时，2a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立，而a b >，D 错误． 故选：B5．函数()2,23,2x x f x x x-<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()3f f 等于（ ）A ．1B ．3C ．1-D ．3-【答案】D【分析】利用函数()f x 的解析式由内到外逐层计算可得()()3f f 的值.【详解】因为()2,23,2x x f x x x -<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，则()3313f =-=-，故()()()31123f f f =-=--=-.故选：D.6．函数()31x f x x =+的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】判断函数()f x 的奇偶性及其在0x >时的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意的x ∈R ，110x +≥>，故函数()31x f x x =+的定义域为R ，因为()()3311x x f x f x x x --==-=--++，则()f x 是奇函数，排除BD. 当0x >时，()0f x >，排除A. 故选：C.7．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且对任意x R ∈都有()()()222f x f x f +=-+，若()11f =，则()2021f =（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】A【分析】令0x =，求得(2)0f =，从而得()()22f x f x +=-，再结合奇函数的性质可得()f x 的周期为8，从而可求得答案【详解】令0x =，则()()()222f f f =+，得(2)0f =， 所以()()22f x f x +=-，因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以()()22(2)f x f x f x +=-=--， 所以(4)()f x f x +=-，所以(8)()f x f x +=， 所以()f x 的周期为8，所以()2021(25383)(3)(1)1f f f f =⨯-=-=-=-， 故选：A8．设ω为实数，函数()3sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，则ω的值为（ ）A ．2B ．4±C ．4πD ．4π±【答案】B【分析】根据正弦函数的周期公式计算即可得到答案. 【详解】由题意可得2||2ππω=，则4ω=±， 故选:B .二、多选题9．下列命题是真命题的是（ ）A ．命题“0x ∃∈R ，使得2010x x +-<”的否定是“x ∀∈R ，均有210x x +->” B ．2,10x x x ∀∈++>RC ．“20x x -=”是“1x =”的必要不充分条件D ．如果0a b <<，那么2211a b < 【答案】BCD【分析】利用存在命题的否定变换形式即可得出答案；根据全称量词命题的真假即可得出答案；利用充分性和必要性的定义，逐个选项判断求解即可；利用不等式的性质即可得出答案. 【详解】对于A ，命题“x ∃∈R ，使得210x x +-<”的否定是“x ∀∈R ， 均有210x x +-≥”，所以，A 错误；对于B ，x ∀∈R ，22131()024y x x x =++=++>，所以，B 正确；对于C ，2(1)0x x x x -=-=，所以，“20x x -=”不一定能得到“1x =”，充分性不成立，而“1x =”成立，则“20x x -=”成立，所以，必要性成立，C 正确； 对于D ，如果0a b <<，则22a b >，所以，2211a b <，所以，D 正确； 故选：BCD10．已知定义域为R 的函数()f x 在(),1-∞-上为增函数，且()1f x -为偶函数，则（ ） A ．()f x 的图象关于直线1x =对称 B ．()f x 在()1,-+∞上为减函数 C ．()1f -为()f x 的最大值 D ．()()1302f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】根据函数的奇偶性结合对称轴，可判断函数()f x 的性质，从而可判断A,B 的对错；因为定义域内x =-1时的值不确定，故可判断C;根据函数的对称轴以及单调性，可判断D 的对错. 【详解】因为()1f x -为偶函数，且函数()f x 在(),1-∞-上为增函数, 所以()f x 的图象关于直线=1x -对称，且()f x 在()1,-+∞上为减函数, 所以A 不正确，B 正确；因为()f x 在(),1-∞-上为增函数，在()1,-+∞上为减函数,但没有明确函数是否连续，不能确定()1f -的值，所以C 不正确；因为()()02f f =-，1322f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()f x 在(,1)-∞-上为增函数，所以()()3322f f f ⎛⎫-<-<- ⎪⎝⎭，即()()1302f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭，所以D 正确．故选：BD ．11．已知函数()()ln ln 2f x x x =+-，则下列四个命题中正确命题的个数是（ ） A ．在()0,1上单调递减B ．()1,2上单调递减C ．()y f x =的图象关于直线1x =对称D ．()y f x =的值域为[)0,∞+【答案】BC【分析】利用复合函数的单调性可判断AB 选项；利用函数的对称性可判断C 选项；利用对数函数的单调性可判断D 选项.【详解】对于函数()()ln ln 2f x x x =+-，有020x x >⎧⎨->⎩，解得02x <<，所以，函数()f x 的定义域为()0,2，且()()2ln 2f x x x =-.对于AB 选项，内层函数22u x x =-在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，由于外层函数ln y u =为增函数，故函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，A 错B 对； 对于C 选项，()()()()()2ln 2ln 22ln 2ln f x x x x x f x -=-+--=-+=⎡⎤⎣⎦， 所以，函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，C 对；对于D 选项，当02x <<时，()(]222110,1x x x -=--+∈，故()()(]2ln 2,0f x x x =-∈-∞，D 错.故选：BC.12．已知函数()2πcos 25f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论中正确的有（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．函数()f x 的图象关于直线6π5x =-对称． C ．函数()f x 的图象关于点11π,020⎛⎫-⎪⎝⎭对称 D ．把函数sin 2y x =的图象上所有点向左平移9π20个单位长度，可得到函数()y f x =的图象 【答案】ABD【分析】根据余弦函数的周期，对称轴，对称中心和图像变换的相关知识，对每一选项逐一判断即可.【详解】对于A ，2ππ2T ==，A 正确； 对于B ，()6πcos 2π15f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，B 正确；对于C ，11π7πcos 02010f ⎛⎫⎛⎫-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误；对于D ，9π9ππ9π9ππ2πsin 2sin 2cos 2cos 2cos 220102101025x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ D 正确． 故选:ABD ．三、填空题13．已知函数()12xf x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过原点，且无限接近直线1y =，但又不与该直线相交，则()2f -=______．【答案】34##0.75【分析】根据条件求出1b =，1a =-，再代入即可求解.【详解】因为()f x 的图象过原点，所以()01002f a b ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即0a b +=．又因为()f x 的图象无限接近直线1y =，但又不与该直线相交，所以1b =，1a =-，所以()112xf x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以()2321412f ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭．故答案为：3414．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，将()y f x =的图象上所有点向右平移6π个单位后，所得函数图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值为___________.【答案】56π##150 【分析】由相邻两条对称轴之间的距离为2π得到T 及ω，由()y f x =的图象上所有点向右平移6π个单位得到()g x 的图象关于y 轴对称，可得ϕ. 【详解】由题意()f x 的最小正周期222T ππω=⨯=，∴2ω=，()()sin 2f x x ϕ=+，()y f x =的图象上所有点向右平移6π个单位后，得到 ()sin 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，∴32k ππϕπ-+=+，56k πϕπ=+，k ∈Z ， 0ω>，∴ϕ的最小正值为56π. 故答案为：56π. 15．2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空.约582秒后，载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比.已知某火箭的箭体质量为m kg ，当燃料质量为m kg 时，该火箭的最大速度为2ln2km/s ，当燃料质量为()e 1kg m -时，该火箭最大速度为2km/s.若该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s ，则燃料质量是箭体质量的_______________倍.52≈） 【答案】51【分析】设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比例系数为k ，根据条件列方程求出k 值，再设当该火箭最大速度达到第- -宇宙速度7.9km/s 时，燃料质量是箭体质量的a 倍，根据题中数据再列方程可得a 值.【详解】设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数之差成正比的比例系数为k ，则[]{}22ln 2ln ((e 1)ln()k m m m m -=+--+， 解得2k =，设当该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9km/s 时，燃料质量是箭体质量的a 倍， 则[]{}7.922ln()ln (e 1)am m m m -=+-+-[]1e7.922ln2ln(1)1a a +∴-==+- 2ln(1)7.9a ∴+=，得27.9(1)e a +=152a ∴+≈， 51a ∴≈则燃料质量是箭体质量的51倍 故答案为：51.16．一物体相对于某一固定位置的位移y （cm ）和时间t （s ）之间的一组对应值如下表所示，其中最小位移为 4.0-cm ，则可近似地描述该物体的位移y 和时间t 之间的关系的一个三角函数式为______【答案】()54cos,02y t t π=-≥ 【分析】由已知数据，设所求函数关系式sin()y A x ωϕ=+，利用y 的最大值与最小值确定振幅，由周期确定ω，代入点坐标（0.4,4）求ϕ，确定函数式. 【详解】设()sin y A t ωϕ=+， 则从题表中可得到4A =，2250.82T πππω===． 又由4sin 4.0ϕ=-，可得sin 1ϕ=-， 所以2,2k k Z πϕπ=-+∈可取2πϕ=-，则54sin 22y t ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即()54cos ,02y t t π=-≥． 故答案为：()54cos,02y t t π=-≥四、解答题17．已知全集为R ，集合{}12A x x =≤≤，{B x x m =<或}21,0x m m >+>. (1)当2m =时，求A B ⋂； (2)若RA B ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】(1){}12x x ≤<(2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据2m =，求出集合B ，再根据集合的交集运算，即可求出结果； （2）先求出R B ，再根据R A B ⊆，可得1221m m ≤⎧⎨≤+⎩，求解不等式即可. 【详解】（1）解：当2m =时，{2B x x =<或}5x >， 又{}12A x x =≤≤，所以{}12A B x x ⋂=≤<；（2）因为{B x x m =<或}21,0x m m >+>，所以{}R 21B x m x m =≤≤+， 又R A B ⊆，所以1221m m ≤⎧⎨≤+⎩，解得112m ≤≤，即1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 所以实数m 的取值范围1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18．已知函数2()4f x x bx =++，且关于x 的不等式()0f x <的解集为(1,)m ． (1)求实数b ，m 的值；(2)当,()0x ∈+∞时，()0f x kx ->恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】(1)4m =，=5b -； (2)(),1-∞-.【分析】（1）根据韦达定理求解即可；（2）转化为254x x k x -+<在,()0x ∈+∞上恒成立，利用均值不等式求254()x x g x x-+=的最小值即可.【详解】（1）由题意得：m ，1是方程240x bx ++=的根，由韦达定理得14m ⨯=，所以4m =，又1m b +=-，解得=5b -． 所以4m =，=5b -．（2）由题意得，254x x k x -+<在,()0x ∈+∞上恒成立，令254()x x g x x-+=，只需min ()k g x <即可，由均值不等式得4()551g x x x=+-≥=-，当且仅当4x x =，即2x =时等号成立．所以1k <-，则k 的取值范围是(),1-∞-． 19．已知函数23()f x mx x=+. (1)若2m =，求证：函数()f x 在(3,5)上单调递增；(2)若关于x 的不等式2()83f x m ≥+在[4,3]--上恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用单调性的定义证明即可， （2）由于[4,3]x ∈--，所以将问题转化为32(2)m x x ≥+恒成立，然后求出3(2)x x +的最大值即可【详解】（1）依题意，23()2f x x x=+，设1235x x <<<， 则()()221212123322f x f x x x x x -=+-- ()()()()()121212121212123322x x x x x x x x x x x x x x -⎡⎤=+--=-+-⎢⎥⎣⎦ 因为1235x x <<<，故()1212320x x x x +->， 故()()120f x f x -<，故函数()f x 在(3,5)上单调递增；（2）依题意，22662()832832830f x m mx m mx m x x≥+⇔+≥+⇔-+-≥ 32(2)(2)(2)0m x x x x⇔-+--≥，因为[4,3]x ∈--，故320,20;2(2)0x x m x x-<+<+-≤，则32(2)m x x ≥+，若[4,3]x ∈--，则2(2)(1)1[3,8]y x x x =+=+-∈，则33,1(2)8x x ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，故21m ≥，解得12m ≥， 故实数m 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.20．某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理，据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y =161,04815,4102x x x x ⎧-≤≤⎪⎪-⎨⎪-<≤⎪⎩，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的㳖度之和，由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用.(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒(14)a a ≤≤个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a 的最小值.(精确到0.1取1.4)【答案】(1)8天(2)1.6【分析】（1）根据题意分04x ≤≤和410x <≤两种情况解不等式，从而可求出去污所持续的时间；（2）设从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤天，则浓度()()116251286g x x a x ⎥=-+---⎡⎤⎛⎫⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，化简后利用基本不等式可求得结果.【详解】（1）∵一次喷洒4个单位的净化剂，∴浓度()644,0448202,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-≤⎩＜，则当04x ≤≤时，由64448x-≥-，解得0x ≥， ∴此时04x ≤≤．当410x <≤时，由2024x -≥，解得8x ≤，∴此时48x <≤．综合得08x ≤≤，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天．（2）设从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤天，浓度()()()1161625114428614a g x x a x a x x =-+-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=-+-----⎝⎭⎣⎦， ∵[]1448x -∈，，而14a ≤≤，∴8[]4,，故当且仅当14x -=y 有最小值为4a -．令44a -≥，解得244a -≤≤，∴a 的最小值为24 1.6-≈．21．设定义在R 上的函数()f x ､奇函数()g x 和偶函数()h x ，满足()()()f x g x h x =+，若函数()(0,1)x f x a a a =>≠.(1)求()g x 的解析式；(2)求()h x 在R 上的最小值.【答案】(1)()2x xa a g x --= (2)1【分析】（1）求出()f x -，利用函数奇偶性可得()()()2f x f x g x --=，进而可得答案； （2）利用()()()2f x f x h x +-=求出()h x ，再利用基本不等式求最值. 【详解】（1）由()()()f xg xh x =+，可知()()()f x g x h x -=-+-，由()g x 为奇函数，()h x 为偶函数，可知()()()(),g x g x h x h x -=--=，则()()()f x g x h x -=-+，则()()()22x x f x f x a a g x ----==； （2）由（1）得()()()22x x f x f x a a h x -+-+== 当0,1a a >≠时，0x a >，则12x x x x a a a a -+=+≥， 当且仅当1x a =，即0x =时取等号，则()2x xa a h x -+=在R 上的最小值为1. 22．函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图像的相邻对称轴与对称中心之间的距离为4π. (1)求函数()f x 在[]0,π上的单调增区间；(2)当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域.【答案】(1)20,,,63πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(2)[1,2]-【分析】（1）先根据周期可求出ω，从而可求出函数()f x 的单调增区间，然后与[]0,π取交集即得解；（2）根据整体代换法即可求出值域．【详解】（1）因为()f x 图象的相邻对称轴与对称中心之间的距离为4π，所以()f x 的最小正周期T π=，所以22T πω==，故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令222()262k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z ，则()36k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，即()f x 的单调递增区间为,()36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .而[]0,x π∈，所以 函数()f x 在[]0,π上的单调增区间是20,,,63πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． （2）当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,663t x πππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，则1sin ,12t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以()[1,2]f x ∈-，即()f x 的值域为[1,2]-．。
安徽省定远重点中学2020-2021学年高一数学下学期教学段考试题(含解析)
安徽省定远重点中学 20212021 学年高一数学下学期教 学段考试题（含解析）高一数学试题一．选择题（本题有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
）1.三边 满足，则为（ ）A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】由题意可得：a2+b2+c2−ab−bc−ac=0， ∴2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac=0， ∴a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+a2−2ac+c2=0， 即(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0， ∴a−b=0，b−c=0，c−a=0， ∴a=b=c， ∴△ABC 为等边三角形。
本题选择 A 选项. 点睛：解决判定三角形的形状问题，一样将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用 三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化 简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意 A，B，C 的范畴对三角函数值的阻碍． 2. △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c，已知 sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c= ， 则 C=（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】试题分析：依照诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理运算即可 详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC， ∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0， ∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC≠0，- 1 - / 13∴cosA=﹣sinA， ∴tanA=﹣1， ∵ ＜A＜π，∴A= ，由正弦定理可得，∵a=2，c= ，∴sinC= =，∵a＞c，∴C= ，故选：B． 点睛：本题要紧考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角 形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个要紧依据. 解三角形时，有时可用正弦定理， 有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一样来说 ,当条件中同时显现 及、 时，往往用余弦定理，而题设中假如边和正弦、余弦函数交叉显现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.3.中，若，则的面积为（）A.B.C. 1 D.【答案】B【解析】由三角形面积公式可得：，故选 B.4. 数列的一个通项公式为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】试题分析：依照已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们能够用（﹣1）n+1 来操- 2 - / 13纵各项的符号，再由各项的分母为一等比数列，分子 2n+1，由此可得数列的通项公式．详解：由已知中数列…可得数列各项的分母为一等比数列{2n}，分子 2n+1， 又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负 故可用（﹣1）n+1 来操纵各项的符号，故数列的一个通项公式为 an=（﹣1）n+1故选：D． 点睛：本题考查等差数列的通项公式，是基础的运算题，关于等比等差数列的 小题，常用到 的方法，其一是化为差不多量即首项和公比或者公差，其二是观看各项间的脚码关系，即利 用数列的差不多性质，或者通过发觉规律直截了当找到通项.5. 已知锐角的外接圆半径为 ，且，则()A.B.【答案】BC. 2 D. 5【解析】因为，因为 A 为锐角，因此，因此本题选择 B 选项.6. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，，则 （ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=2,S4=9，∴，解得，∴.本题选择 B 选项.7. 在等差数列{an}中，3(a2＋a6)＋2(a5＋a10＋a15)＝24，则此数列前 13 项之和为()A. 26 B. 13 C. 52 D. 156【答案】A- 3 - / 13【解析】∵在等差数 中， ∴ 和为：， ，解得 ，故选 A.，∴此数列前 13 项之8. 已知数列 是公比为 2 的等比数列，且满足A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：由题知：因为，则 的值为 （ ）考点：等比数列9. 等比数列 的前 项和为 ，若，，则 （ ）A. 9 B. 16 C. 18 【答案】C 【解析】由题意可得：D. 21，解得：，则：.本题选择 C 选项. 10. 若，则一定有（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：因,故考点：不等式的性质及运用.,故应选 C.- 4 - / 1311. 区域构成的几何图形的面积是（ ）A. 2 B. 1 C.D.【答案】D【解析】试题分析：画出约束条件对应的可行域，代入三角形面积公式，可得答案．详解：约束条件对应的可行域，如下图所示：这是一个腰长为 1 的等腰直角三角形，故面积 S= ×1×1= ，故选：D． 点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域． (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（ 型）和距离型（型）．(3)确定最优解：依照目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高一下学期第一次月考数学试题(解析版)
2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．(34)(12)i i ++-= （ ）A ．42i +B ．42i -C ．14i +D ．15i + 【答案】A【分析】利用复数的加法法则直接计算即可.【详解】()()(34)(12)314242i i i i ++-=++-=+.故选：A.【点睛】本题考查复数的加法运算，属于基础题.2．下列说法错误的是（ ）A ．若非零向量a b c ，，有//a b ，//b c ，则//a cB ．零向量与任意向量平行C ．已知向量a b ，不共线，且//a c ，//b c ，则0c =D ．平行四边形ABCD 中，AB CD = 【答案】D【解析】根据共线向量的定义和性质逐一判断即可选出正确答案.【详解】选项A ：因为a b c ，，都不是零向量，所以由//a b ，可知向量a 与向量b 具有相同或相反方向.又由//b c ，可得向量c 与向量b 具有相同或相反方向，所以向量a 与向量c 具有相同或相反方向，故//a c ，故本说法是正确的；选项B ：零向量与任意向量平行这是数学规定，故本说法是正确的；选项C ：由//a c ，//b c ，可知：c 与向量a 具有相同或相反方向，c 与向量b 具有相同或相反方向，但是向量a b ，不共线，所以0c ，故本说法是正确的；选项D ：平行四边形ABCD 中，应该有AB DC =，故本说法是错误的.故选：D【点睛】本题考查了共线向量的定义和性质，考查了相等向量的定义，考查了零向量的性质，属于基础题.3．已知正方形ABCD 的边长为6，M 在边BC 上且3BC BM =，N 为DC 的中点，则AM BN ⋅=A ．-6B ．12C ．6D ．-12【答案】A【分析】以向量,BA BC 为基底，将,AM BN 用基底表示，结合向量数量积的运算律，即可求解.【详解】由M 在边BC 上且3BC BM =，N 为DC 的中点， 13AM BM BA BC BA =-=-， 1122BN BC CN BC CD BC BA =+=+=+， 11()()32AM BN BC BA BC BA ⋅=-⋅+ 2215112186362BC BC BA BA =-⋅-=-=-. 故选：A.【点睛】本题考查向量基本定理以及向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题. 4．若向量a ，b 满足1==a b ，且()12a a b ⋅-=，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【分析】由已知条件结合数量积公式化简即可求解.【详解】因为1==a b ，()12a a b ⋅-=，即212a a b -⋅=，21cos ,2a a b a b -⋅⋅=，求得1cos ,2a b =，所以向量a 与b 的夹角为3π. 故选：B5．在ABC 中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．2133b c + B ．5233c b - C ．2133b c - D ．1233b c + 【答案】A 【详解】试题分析：，故选A ．6．已知i 是虚数单位，复数1232,14z i z i =-+=-，则复数12z z z =+在复平面内表示的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】根据复数的加法运算，表示出复数z ，进而得到其在复平面内表示的点坐标，即可得到所在象限．【详解】由复数加法运算可知12321422z z z i i i =+=-++-=-- 在复平面内表示的点坐标为()2,2--，所以所在象限为第三象限所以选C【点睛】本题考查了复数的简单加法运算，复平面内对应的点坐标及其象限，属于基础题．7．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A ，B ，但不能到达，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为km.A 85B 415C 215D ．5【答案】B【分析】由已知可求30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理可求AD 的值，在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理可求BD 的值，进而由余弦定理可求AB 的值．【详解】由已知，ACD ∆中，30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒， 由正弦定理，sin sin CD AD CAD ACD =∠∠， 所以·sin 4?sin12043sin sin30CD ACD AD CAD ∠︒===∠︒在BCD ∆中，60CBD ∠=︒， 由正弦定理，sin sin CD BD CBD BCD =∠∠， 所以·sin 4sin4546sin sin603CD BCD BD CBD ∠︒===∠︒ 在ABD ∆中，由余弦定理，222802?·3AB AD BD AD BD ADB =+-∠=，解得：415AB =所以A 与B 的距离AB =故选B 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．8．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，他将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论中占有非常重要的地位，特别是当x π=时，10i e π+=被称为数学上的优美公式.根据欧拉公式，263i i e e ππ+表示复数z ，则z =（ ）A ．2+BC ．2D ．2 【答案】B【分析】根据欧拉公式将263i i e e ππ+化简为z =，再利用复数模的计算公式计算即可.【详解】根据欧拉公式有26322cos sin cos sin 6633i i e e i i ππππππ+=+++=，所以z =，||z 故选：B 【点睛】本题主要考查复数模的计算，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.9．三棱柱111ABC A B C 中，90BAC ∠=，AB AC a ==，111160∠=∠=AA B AA C ，1190∠=BB C ，侧棱长为b ，则其侧面积为（ ）A B C ．ab D 【答案】C【分析】先由题中条件，得到侧面11AA B B 和侧面11AAC C 为一般的平行四边形，侧面11BB C C 为矩形，根据题中数据，分别计算三个侧面的面积，即可求出结果.【详解】如图，由已知条件可知，侧面11AA B B 和侧面11AAC C 为一般的平行四边形，侧面11BB C C 为矩形.在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC a ==，∴BC =，∴11BCC B S b ⋅=矩形.∵111160AA B AAC ∠=∠=︒，AB AC a ==，∴点B 到直线1AA 的距离为3sin 602a a ︒=. ∴111132AA C C AA B B S S ab ==四边形四边形. ∴()322322S ab ab ab =⨯+=+侧.故选C【点睛】本题主要考查棱柱的侧面积，熟记棱柱结构特征以及侧面积公式即可，属于常考题型.10．下列说法中正确的个数是（ ）①空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；②平行四边形可以确定一个平面；③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；④若,A A αβ，且l αβ=，则A 在l 上. A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B 【解析】根据空间点、直线、平面之间的位置关系的公理及定理，对每项逐一判断，即可得到本题答案.【详解】对于①，两两相交的三条直线，若相交于同一点，则不一定共面，故①不正确； 对于②，平行四边形两组对边分别平行，则平行四边形是平面图形，故②正确；对于③，若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故③不正确； 对于④，由公理可得，若,,A A l αβαβ∈∈⋂=，则∈A l ，故④正确.故选：B【点睛】本题主要考查空间点、直线、平面之间的位置关系的公理及定理的应用.11．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（ ） A ．142ππ+ B ．122ππ+ C ．12ππ+ D ．142ππ+ 【答案】B【分析】根据圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到圆柱的高和底面半径之间的关系，然后求出圆柱的表面积和侧面积即可得到结论．【详解】设圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为h ，圆柱的侧面展开图是一个正方形，2r h π∴=，∴圆柱的侧面积为2224rh r ππ=，圆柱的两个底面积为22r π，∴圆柱的表面积为22222224r rh r r ππππ+=+，∴圆柱的表面积与侧面积的比为：22222241242r r r πππππ++=， 故选：B ．12．PA 垂直于正方形ABCD 所在平面，连接PB ，PC ，PD ，AC ，BD ，则下列垂直关系正确的个数是（ ）①面PAB ⊥面PBC ②面PAB ⊥面PAD③面PAB ⊥面PCD ④面PAB ⊥面PACA ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据题意,底面为正方形且PA ⊥平面ABCD ,则BC ⊥平面PAB ;即可判断【详解】证明：对于①,因为底面为正方形所以BC AB ⊥由题意可知PA ⊥平面ABCD所以BC PA ⊥,而PA AB A =所以BC ⊥平面PAB又因为BC ⊂平面PBC所以平面PAB ⊥平面PBC ,所以①正确;对于②,因为AD BC ∥故由①可得AD ⊥平面PAB ,而AD ⊂平面PAD所以平面PAD ⊥平面PAB ,所以②正确③④错误,不垂直.综上可知,正确的为①②故选：B【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定,属于基础题.二、填空题13．在平行四边形ABCD 中1AB e =，2AC e =，14NC AC =，12BM MC =，则MN =________.（用12,e e 表示）【答案】1225312e e -+ 【分析】根据向量的线性运算性质及几何意义，由12BM MC =得23MC BC =，利用向量的三角形法则得BC ＝AC －AB ，又14NC AC =，MN ＝CN －CM ，最后将AC 和AB 两个向量都用1e 和2e 表示即可求得结果.【详解】如图：MN ＝CN －CM＝CN ＋2BM ＝CN ＋23BC ＝－14AC ＋23(AC －AB ) ＝－214e ＋212()3e e - ＝1225312e e -+. 故本题答案为1225312e e -+. 【点睛】本题是一道关于向量运算的题目，考查平面向量的基本定理，解答本题的关键是熟练掌握向量的加法与减法的运算法则，属基础题.14．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A 、B 两点的距离为______【答案】502m 【分析】由ACB ∠与BAC ∠，求出ABC ∠的度数，根据sin ACB ∠，sin ABC ∠，以及AC 的长，利用正弦定理即可求出AB 的长．【详解】解：在ABC ∆中，50AC m =，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒，即30ABC ∠=︒，则由正弦定理sin sin AB AC ACB ABC=∠∠， 得：250sin 25021sin 2AC ACB AB m ABC ⨯∠===∠．故答案为：502m .【点睛】本题考查正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 15．如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边11A B 作一个平行于棱1C C 的平面11A B EF ，记平面分三棱台两部分的体积为1V （三棱柱111A B C FEC -），2V 两部分，那么12:V V =______.【答案】3：4【解析】设三棱台的高为h ，上底面的面积是S ，则下底面的面积是4S ，计算体积得到答案.【详解】设三棱台的高为h ，上底面的面积是S ，则下底面的面积是4S ，()174233V h S S S Sh ∴=++=台，1123,743V Sh V Sh V Sh Sh ∴=∴==-. 故答案为：3:4.【点睛】本题考查了三棱台的体积问题，意在考查学生的计算能力.16．如图，S 为等边三角形ABC 所在平面外一点，且SA SB SC AB ===，,E F 分别为,SC AB 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角为______.【答案】45°【分析】由GE AC //，得GEF ∠等于异面直线EF 与AC 所成角，通过求GEF ∠的大小，即可得到本题答案.【详解】如图，取AS 的中点G ，连接,GE GF ，则,GE AC GF SB ////GEF ∴∠等于异面直线EF 与AC 所成角.设2AB =，则1,1GE GF ==.取AC 的中点M ，连接,MS MB .SA SB SC AB ===，,SAC ABC ∴∆∆为等边三角形，,,SM AC BM AC SM BM M ∴⊥⊥⋂=，AC ∴⊥平面BMS ，,AC SB EG GF ∴⊥∴⊥，45GEF ∴∠=︒.所以，异面直线EF 与AC 所成的角为45︒.故答案为：45︒【点睛】本题主要考查异面直线所成角，把异面直线平移到一个面上，然后通过解三角形求角，是解决此类题目的常用方法.三、解答题17．如图所示，在ABO ∆中，14OC OA =，12OD OB =，AD 与BC 相交于点M .设OA a =，OB b =. （1）试用向量a 、b 表示OM ；（2）在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过点M ，设OE OA λ=，OF OB μ=，求证：137λμ+=.【答案】（1）1377OM a b =+；（2）证明见解析. 【解析】（1）设OM ma nb =+，由A 、D 、M 三点共线以及B 、C 、M 三点共线可得出关于m 与n 的方程组，解出这两个未知数，即可得出OM 关于a 、b 的表达式； （2）设EM MF η=，利用向量的减法运算可得出11OM a b λμηηη=+++，结合1377OM a b =+可建立等式，通过化简计算可得出137λμ+=，即可得出结论. 【详解】（1）不妨设OM ma nb =+.由于A 、D 、M 三点共线，则存在()1αα≠-使得AM MD α=，即()OM OA OD OM α-=-，于是1OA OD OM αα+=+. 又12OD OB =，所以()121121OA OB OM a b ααααα+==++++， 则()1121m n ααα⎧=⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩，即21m n +=.① 由于B 、C 、M 三点共线，则存在()1ββ≠-使得CM MB β=， 即()OM OC OB OM β-=-，于是1OC OB OM ββ+=+. 又14OC OA =，所以()1141411OA OB OM a b βββββ+==++++，所以()1411m n βββ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，即41m n +=.②由①②可得17m =，37n =，所以1377OM a b =+；（2）由于E 、M 、F 三点共线，所以存在实数()1ηη≠-使得EM MF η=， 即()OM OE OF OM η-=-，于是1OE OFOM ηη+=+.又OE OA λ=，OF OB μ=，所以111OA OB OM a b λημλμηηηη+==++++，所以137711a b a b λμηηη+=+++，则117317λημηη⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，可得171371ληημη⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，两式相加得137λμ+=.【点睛】本题考查了平面向量的数乘，向量的线性运算及向量表示三点共线，属中档题． 18．如图，一艘船从港口O 出发往南偏东75°方向航行了100km 到达港口A ，然后往北偏东60°方向航行了160km 到达港口B ．试用向量分解知识求从出发点O 到港口B 的直线距离（2 1.414,145.5612.065≈≈，结果精确到0.1km ）．（提示：将OA ，AB 分解为垂直的两个向量．）【答案】241.3km【分析】建立直角坐标系，利用平面向量的坐标表示公式，结合平面向量加法的几何意义和坐标表示公式进行求解即可.【详解】建立如图所示的坐标系：显然907515,906030,100,160AOC BAE OA AB ︒︒︒︒︒︒∠=-=∠=-===，于是有：sin15100sin15AC AC OA ︒︒=⇒=，cos15100cos15OCOC OA︒︒=⇒=， sin 30160sin 3080BE BE BA ︒︒=⇒==，cos30160cos30803AE AE BA︒︒=⇒== 所以(100cos15,100sin15),(803,80)OA AB ︒︒=-=，因为(100cos15803,100sin1580)OB OA AB ︒︒=+=+-+，所以有： 222222(100cos15803)(100sin1580)(100cos15)(803)(100sin15)80160003cos1516000sin153560032000cos 452089402208940 1.41420145.562012.065241.3OB︒︒︒︒︒︒︒=++-+=++-++-=+=+≈+⨯=≈⨯=19．如图所示，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ，点D ，E ，F 为圆O 上的点，,,DBC ECA FAB 分别是以BC,CA,AB 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC,CA,AB 为折痕折起,,DBC ECA FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥，则当ABC 的边长变化时，求三棱锥的表面积的取值范围.【答案】(0,543【分析】根据题意，设三棱锥的底面边长为a ，则03a <<连接OD ，交BC 与点G ，则OD BC ⊥，从而可知36,OD OG ==，则36DG =，根据三角形的面积分别求出三棱锥的底面积和侧面积，从而得出三棱锥的表面积9S a =，根据a 的取值范围，即可求出当ABC 的边长变化时，三棱锥的表面积的取值范围.【详解】解：由题可知，等边三角形ABC 的中心为O ，圆O 的半径为6， 设三棱锥的底面边长为a ，即等边三角形ABC 的边长为a ， 如图，连接OD ，交BC 与点G ，由题意可知，OD BC ⊥， 则2333OA ==，6OD =，可知OA OD <36<，则063a <<1336,3OD OG ===，则36DG OD OG =-=， ∴三棱锥的底面积为：213sin 6024ABC S a a =⨯⨯⨯=△，由题可知，,,DBC ECA FAB 全等，则面积相等， ∴三棱锥的侧面积为：211333336922DBC S BC DG a a ⎛⎫=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭△， 所以三棱锥的表面积为：2233399ABC DBC S S S a a =+=+=△△， 063a <<09543a ∴<<，即(0,543S ∈，所以当ABC 的边长变化时，求三棱锥的表面积的取值范围是(0,543.20．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12,3AB BC AA ===；(1)求异面直线1A B 和CD 所成角的正切值； (2)求三棱柱11A AB D DC -的体积和表面积. 【答案】(1)32(2)体积6，表面积1613+【分析】（1）因为//AB CD ，所以1A B 与CD 所成的角即为1A B 与AB 所成的角，从而得到结果； （2）根据三棱柱的体积公式和表面积公式即可得到结果. 【详解】（1）在长方体中，因为//AB CD ，所以1A B 与CD 所成的角即为1A B 与AB 所成的角，即1A BA ∠（或补角），113tan 2A A A BA AB ∠==， 所以异面直线1A B 和CD 所成角的正切值为32；（2）易知三棱柱11A AB D DC -是直三棱柱，底面1A AB 是直角三角形， 所以111132322A ABSA A AB =⋅⋅=⨯⨯=． 又11A D 为三棱柱的高，所以111326A ABV SA D =⋅=⨯=，又四边形11A D CB 为矩形，1112,13A D A B ==，所以1111213,224,236A D CB ABCD A D DA S S S ==⨯==⨯=四边形四边形四边形，故所求表面积111112A ABA D CB ABCD A D DA S SS S S =+++四边形四边形四边形232134616213=⨯+++=+.21．如图，四边形ABCD 中，,,642ABAD AD BC AD BC AB ，，，,E F 分别在,BC AD 上，EF AB ∥.现将四边形ABEF 沿EF 折起，使得平面ABEF ⊥平面EFDC .（1）当1BE =时，是否在折叠后的AD 上存在一点P ，使得CP 平面ABEF ？若存在，求出P 点位置；若不存在，说明理由（2）设BE x =，问当x 为何值时，三棱锥A CDF -的体积有最大值？并求出这个最大值. 【答案】（1）见解析；（2）当3x =时，三棱锥A CDF -的体积V 有最大值，最大值为3 【分析】（1）先找到点32APPD，再证明此时CP 平面ABEF .（2）BE x =，(04),6AFx xFDx ，体积的表达式为21333V x 得到答案.【详解】（1）存在点P ，使得CP平面ABEF ，此时32APPD .当32AP PD时，35AP AD， 过点P 作MP FD ，交AF 于点M ，连接EM ，如图，则35MP FD . ∵在四边形ABCD 中，16BE AF AD ，∴5FD，∴3MP =.∵3,//EC EC FD ，∴//MP EC ，且MP EC ，故四边形MPCE 为平行四边形，∴//PC ME . ∵CP 平面,ABEF ME 平面ABEF ，∴CP平面ABEF .（2）∵平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF ⋂平面EFDC EF ，,AF EF AF 平面EFDC .∵BE x =，∴(04),6AFx xFDx ，故三棱锥A CDF -的体积21112633323Vx xx ，当3x =时，三棱锥A CDF -的体积V 有最大值，最大值为3【点睛】本题考查了线面平行，体积的最值，先找后证是一个常规的方法，找到体积的表达式是解题的关键.22．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11C D ，11B C 的中点．（1）求证：B ，D ，E ，F 四点共面； （2）若ACBD P =，11A C EF Q =，1AC 与平面EFBD 交于点R ，求证：,,P Q R 三点共线．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）证明EF ∥BD 即可得出结论；（2）只需说明,,P Q R 三点都是平面BDEF 和平面ACC 1A 1的公共点即可得出结论． 【详解】证明：（1）连接11B D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，∵E ，F 分别为11C D ，11B C 的中点， ∴EF 是111B C D △的中位线，∴11//EF B D ， 又因为11//B D BD ，∴//EF BD∴四边形BDEF 为梯形，即B ，D ，E ，F 四点共面． （2）在正方体1111ABCD A B C D -中，ACBD P =，11A C EF Q =，AAC C与平面BDEF的交线，∴PQ是平面11AC交平面BDEF于点R，又因为1AAC C与平面BDEF的一个公共点．∴R是平面11因为两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上，P Q R三点共线．∴,,。