第13章 非正弦周期电流电路和信号频谱
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大学电路第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱课件
21 7 ) = 3[1+ j(0.143k − )] k k 3 Z(kω1) = cosϕ(k)
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电路 第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱 章 ϕ 7 cos (k) & P =1.5I 2m(k) & ϕ(k) = arctan(0.143k − ) Im(k) = Usm(k)∠−ϕ(k) (k) k 3 us=[280.11cos(ω1t)+93.37cos(3ω1t)+56.02cos(5ω1t)+ 40.03cos(7ω1t)+31.12cos(9ω1t)+…]V
& Im(k) =
& Usm(k) Z (kω1)
=
& Usm(k) R + jkω1L − j 1 kω1C
_
d
Z(kω1) = R + j(kω1L −
1 kω1C
) = 3 + j(0.429k −
则有
7 ϕ(k) = arctan(0.143k − ) k cosϕ(k) & & Im(k) = Usm(k)∠−ϕ(k) 3 1 2 P = I m(k) R =1.5I 2m(k) (k) 2
电路
第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱 章
第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱 本章重点
13.1 13.2 13.3 13.4 非正弦周期信号 周期函数分解为傅里叶级数 有效值、 有效值、平均值和平均功率 非正弦周期电流电路的计算 小结
电路
第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱 章
重点
基波
三次谐波
T
t
第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱(Polat)
2014年12月2日星期二（2./.20）
第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
§1313-1 非正弦周期信号
§13-1
非正弦周期信号
◇生产实际中, 经常会遇到非正弦周期电流电路。 经常会遇到非正弦周期电流电路。 ◇在电子技术、 在电子技术、自动控制、 自动控制、计算机和无线电技术等方面, 电压 和电流往往都是周期性的非正弦波形。 和电流往往都是周期性的非正弦波形。 ◇非正弦周期交流信号的特点： 非正弦周期交流信号的特点： ⑴ 非正弦波, 按周期规律变化; ⑵ 满足狄利赫里条件。 满足狄利赫里条件。
2014年12月2日星期二（10./.20）
第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
§1313-4 非正弦周期交流电路的计算
§13-4
非正弦周期交流电路的计算
【例 13-3】 图示电路中的电压表达式如下, 试求该单口网络 向外传输的最大平均功率。 向外传输的最大平均功率。
u (t ) = 10 2 cos t + 5 2 cos 2t V
2014年12月2日星期二（5./.20）
第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
§1313-2 周期函数分解为付里叶级数
§13-2
【解】
周期函数分解为付里叶级数
【例 13-1】 把图示周期性方波电流分解成傅里叶级数。 把图示周期性方波电流分解成傅里叶级数。
I sm 0 < t ≤ T/2 iS (t ) = − I T/2 < t ≤ T sm
【解】 u1(t ) = 10 2 cos t V u2 (t ) = 5 2 cos 2t V ⑶ 向外传输的最大平均功率为：
Pmax = P1max + P2 max = ( 25 + 6.25) W = 31.25 W
电气学院《电路-非正弦周期电流电路和信号的频谱》课件
k =1
例 周期性方波 的分解
直流分量 t
三次谐波
t
基波 t
五次谐波 七次谐波 t
直流分量+基波 直流分量 基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
频谱图
时域
U
Um
T
t
4U m
=U0
U0
3
w 3w
频域
U0
5w
5w
U = 4Um (coswt + 1 cos 3wt + 1 cos 5wt + )
π
13-4 非正弦周期电流电路的计算
一、一般步骤：
1） 将激励为非正弦周期函数展开为傅立叶级数： f (w t) = A0 + Ak m cos(kw t + k ) k =1 2） 将激励分解为直流分量和无穷多个不同频率的 正弦激励分量； 3） 求各激励分量单独作用时的响应分量：
(1) 直流分量作用：直流分析（C开路，L短路）求Y0;
（2）基波分量作用：角频率为w （正弦稳态分析）求y1; （3）二次谐波分量作用：角频率为2w （正弦稳态分析）求y2;
………………
4) 时域叠加：y(t)= Y0 + y1 + y2 + y3 + y4 + ……
例：图示电路中 us (t) = 40 + 180 coswt + 60 cos(3wt + 45)
二、非正弦周期函数的有效值
若 u(wt) = U0 + Ukm cos(kwt + k ) k =1
则： U =
U
2 0
+ U12
+
第十三章非正弦周期电路
uR
1 1 L1 2 2 0.1H 1 C 10 0.1 1 j3 L1 j3C j3 L2 0 1 j (3 L1 ) 3C
L2 L1 C
32 L1
1 C
1 302 .01 1 0.1
1 0.0125H 80
11
第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
• 非正弦周期信号
• 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
• 非正弦周期信号的有效值、平均值、平均功率的 计算 • 非正弦周期电流电路的分析和计算
1
§13-1 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
1、非正弦周期信号分解为傅里叶级数
f (t ) A0
直流分量
A1m cos(1t 1 ) A2 m cos(21t 2 ) ....
二端网络：
u U 0 U km cos(k1t uk ) i I 0 I km cos(k1t ik )
k 1 k 1
平均功率：
1 P T
T
0
1 pdt T
T
0
u idt
P U 0 I 0 U k I k cos k
k 1
k 1
ห้องสมุดไป่ตู้
则有效值:
I 1 T
1 T
T
0
i 2 d (t )
2
T
0
I 0 I km cosk1t k d (t ) k 1
4
利用三角函数的正交性得：
I
同理有： U
2 I km I 02 k 1 2
1 1 L1 2 2 0.1H 1 C 10 0.1 1 j3 L1 j3C j3 L2 0 1 j (3 L1 ) 3C
L2 L1 C
32 L1
1 C
1 302 .01 1 0.1
1 0.0125H 80
11
第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
• 非正弦周期信号
• 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
• 非正弦周期信号的有效值、平均值、平均功率的 计算 • 非正弦周期电流电路的分析和计算
1
§13-1 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
1、非正弦周期信号分解为傅里叶级数
f (t ) A0
直流分量
A1m cos(1t 1 ) A2 m cos(21t 2 ) ....
二端网络：
u U 0 U km cos(k1t uk ) i I 0 I km cos(k1t ik )
k 1 k 1
平均功率：
1 P T
T
0
1 pdt T
T
0
u idt
P U 0 I 0 U k I k cos k
k 1
k 1
ห้องสมุดไป่ตู้
则有效值:
I 1 T
1 T
T
0
i 2 d (t )
2
T
0
I 0 I km cosk1t k d (t ) k 1
4
利用三角函数的正交性得：
I
同理有： U
2 I km I 02 k 1 2
13第十三章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
OT 2Tt对所有的k，a2k= b2k=0 a0=0
不包含直流分量和偶次谐波分量。
4. 函数的对称性与计时起点的关系 在傅里叶级数中，Akm与计时起点无关，而k与计时起点 有关，由于系数ak和bk与初相k有关，所以它们也随计时 起点变动而变动。 由于系数ak和bk与初相k有关，所以函数的奇偶性质就可
则有： P U 0 I 0 U1 I1 cos 1 U 2 I 2 cos 2 ... U k I k cos k ... U km I km Uk , Ik , k uk ik 式中： 2 2 即平均功率等于恒定分量构成的功率和各次谐波平均功 率的代数和。
f ( t ) a0 a1 cos1t b1 sin1t a2 cos21t b2 sin21t ...... ak cosk1t bk sink1t ......
a0 ak cosk1t bk sink1t
k 1
A0 Akm cosk1t k
( 10-2 )
( 10-1 )和( 10-2 )中系数称为傅里叶系数，各系数关系为： bk 2 2 k arctan Akm ak bk A0 a0 a k bk Akm sin k ak Akm cos k 谐波分析： 式( 10-2 )中第1项A0称为周期函数f(t)的恒定分量(或直流分量)； 上式第2项称为1次谐波(或基波分量)，其周期与f(t)相同； 其它各项称为高次谐波，即2次、3次……。
i
R C
I m 3
47.130V A 10.8346.4 A 3 j 3.15
i3 10.83 cos31t 46.4 A
电路理论课件第13章非正弦周期电流电路和信号的频谱
二次谐波 （2倍频）
高次谐波
f (t) A0 Akm cos(k1t k ) k 1
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也可表示成：
Akm cos(k1t k ) ak cos k1t bk sin k1t
f (t) a0 [ak cosk1t bk sin k1t] k 1
I
周期性方波信号的分解
iS
m
iS (t
)
I
m
t
0
o T/2 T
0tT 2
T tT 2
解 图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：
直流分量：IO
1 T
T 0
iS
(t ) dt
1 T
T /2
0 Imdt
Im 2
谐波分量：
bK
1 π
2
0
π
iS
(t
)
s
in
ktd
2
0
π
sin
2
ktd(t
)
π
2π
0
cos
2ktd(t
)
π
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③三角函数的正交性
2
0
π
co
s
kt
sin
ptd(t)
0
2
0
π
co
s
kt
co
s
ptd
(t
)
0
2π
0 sin
kt
sin
ptd(t)
0
k p
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第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
]
15
因此： 因此：
ak = 0
k=0,1,2,3……, k=1,2,3……, cos(k )=1, cos(kπ)=1, cos(k cos(kπ)= -1, bk=0 bk=4Em/kπ
bk = 2 Em [ − cos( k π )] 1 kπ
当k为偶数时: 为偶数时: 当k为奇数时: 为奇数时: 由此可得: 由此可得:
§13-2 周期函数分解为傅里叶级数
一．傅氏级数
周期电流、电压信号可以用一个周期函数表示； 周期电流、电压信号可以用一个周期函数表示 即： f(t)=f(t+kT) 式中T为周期函数f(t)的周期，k=0,1,2,…。 式中T为周期函数f(t)的周期，k=0,1,2,…。 f(t)的周期 如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，它就能展 如果给定的周期函数满足狄里赫利条件， 开成一个收敛的傅里叶级数， 开成一个收敛的傅里叶级数，即：
∫
T 2 T − 2
f ( t ) cos( k ω 1 t ) dt 1
π
∫0 f ( t ) cos( k ω 1 t )d (ω 1 t ) = π ∫− π f ( t ) cos( k ω 1 t )d (ω 1 t ) π
2π
2 bk = T = 1
∫0
T
2 f ( t ) sin( k ω 1 t )dt = T
π
= =
bk = = =
[ ∫0 π
1 2Em
1
2π
π
E m cos( kω 1 t )d (ω 1 t ) − ∫π E m cos( kω 1 t )d (ω 1 t )
π
2π
]
∫0 cos( kω 1 t )d (ω 1 t ) = 0 π
13非正弦周期电流电路和信号的频谱(龙).ppt
2、更普遍的情形，也是本章重点研究的情形则是线性电路 中，当激励是非正弦周期函数时，各部分的稳态响应也将是非正弦 周期电压和电流。
3、在含有非线性元件的电路中，即使是在一个正弦激励作用下， 电路中也会出现非正弦电流 。
二、非正弦周期交流信号的特点 (1) 不是正弦波 (2) 按周期规律变化
f( t ) f( t nT )
Hale Waihona Puke 周期函数的频谱图： 幅度频谱 Akm
A km ~ k 1 的图形
o 相位频谱
3 5 7
1 1 1 1
kω1
k ~ k1 的图形
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§3 有效值、平均值、平均功率
一、有效值
非正弦周期电流i的有效值定义为：
I
1 T
i I o Ikmcos( k t 1 k)
T 2 T 0
f ( t ) cos( k 1t ) dt
1 0
2
f ( t ) cos( k 1t ) d 1t f ( t ) sin( k 1t ) dt
1 T 0
bk
T 2 T 0
f ( t ) sin( k 1t ) dt
1 0
π : u 30 120 cos 1000 t 60 cos( 2000 t ) V 例1 已知 4 求电路中各表读数(有效值) 。
L1 40mH A1 L2 30 10mH A3 c d C2 25F u _ b V2
C1
25F V11 V a +
A2
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解
L1 40mH L1 C1 i i0 a a ++
3、在含有非线性元件的电路中，即使是在一个正弦激励作用下， 电路中也会出现非正弦电流 。
二、非正弦周期交流信号的特点 (1) 不是正弦波 (2) 按周期规律变化
f( t ) f( t nT )
Hale Waihona Puke 周期函数的频谱图： 幅度频谱 Akm
A km ~ k 1 的图形
o 相位频谱
3 5 7
1 1 1 1
kω1
k ~ k1 的图形
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§3 有效值、平均值、平均功率
一、有效值
非正弦周期电流i的有效值定义为：
I
1 T
i I o Ikmcos( k t 1 k)
T 2 T 0
f ( t ) cos( k 1t ) dt
1 0
2
f ( t ) cos( k 1t ) d 1t f ( t ) sin( k 1t ) dt
1 T 0
bk
T 2 T 0
f ( t ) sin( k 1t ) dt
1 0
π : u 30 120 cos 1000 t 60 cos( 2000 t ) V 例1 已知 4 求电路中各表读数(有效值) 。
L1 40mH A1 L2 30 10mH A3 c d C2 25F u _ b V2
C1
25F V11 V a +
A2
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解
L1 40mH L1 C1 i i0 a a ++
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Circuit Course
13.2 周期函数分解为傅里叶级数
f(t) = A0+
∑A
k=1
∞
kmcos
(kw1t +fk)
傅里叶级数是一个无穷级数，因此把一个非正弦周期
Lectured By 4 Xuebin Jiang / Information School
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13.1 非正弦周期信号
i o
尖顶波
T 2
T
函数分解为傅里叶级数后，从理论上讲，必须取无穷多
项方能准确地代表原有函数。但在实际计算中这是不可
能的，也是没必要的。高次谐波取至哪一项，可以根据
所给信号波形、电路的频率特性等因素来确定。通常只 需计算前几项就可达到工程所要求的精度。
2018年11月9日星期五
Lectured By 10 Xuebin Jiang / Information School
k= 1
2 cos2(kw t+f ) + S Ikm 1 k S 2Ikmcos(kw1t+fk) Iqmcos(qw1t+fq)
2018年11月9日星期五
Lectured By 1 Xuebin Jiang / Information School
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Circuit Course
基本要求
正确理解非正弦周期电流电路中的有效值、平均功率的 概念， 掌握非正弦周期电流电路的分析方法。
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Circuit Course
13.2 周期函数分解为傅里叶级数
直流分量+基波
直流分量
基波
直流分量+基波+三次谐波 三次谐波
2018年11月9日星期五
Lectured By 11 Xuebin Jiang / Information School
1. 有效值 回忆三角函数的性质： ① sin、cos、sin2、cos2 在 T 1 2(t)dt I= 一个周期内的积分为0； i T 0 ② 正交性质 (k≠q) 1 2p 当给出的电流(或电压) coskwt sinqwt d(wt)=0 是波形或不是展开式时， T 0 用定义式直接计算。 1 2p coskwt cosqwt d(wt)=0 为了找出有效值与各次 T 0 谐波的关系，将展开式 2p 1 代入定义式积分。 sinkwt sinqwt d(wt)=0 T 0 Lectured By 14 2018年11月9日星期五
2p f(t) cos(kw1t) d(w1t) 0 1 p f(t)cos(kw1t) d(w1t) 对 a0、bk也作同样的处理。 ak= p -p 1 ak= p
2018年11月9日星期五
Lectured By 7 Xuebin Jiang / Information School
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u t o u
T 2
三角波
t
T
u
正弦电压在铁心线圈 中产生的电流波形 半波
t o
T T 29日星期五 2018年11月
o
PWM调制器的时 间基准信号波形 阶梯波 T t
半波整流
由数字电路或计算 Lectured By 5 Xuebin Jiang / Information School 机产生的正弦信号
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13.2 周期函数分解为傅里叶级数
f(t) = a0+ [a cos(kw t) + b sin(kw t)] ∑ k= 1
k 1 k 1
∞
展开式同时存在正弦项和余弦项，在进行不同信号的 对比时不方便，而且数ak、bk的意义也不明确。 将展开式合并成另一种形式—余弦级数：
与其它章节的联系 本章主要讨论在非正弦周期电流、电压信号的作用下，线 性电路的稳态分析和计算方法。 非正弦周期信号可以分解为直流量和一系列不同频率正弦 量之和，每一信号单独作用下的响应，与直流电路及交流 电路的求解方法相同，再应用叠加定理求解，是前面内容 的综合。
2018年11月9日星期五
Lectured By 2 Xuebin Jiang / Information School
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13.3 有效值、平均值和平均功率
设非正弦周期电流可以分解为傅里叶级数： ∞
2018年11月9日星期五
Lectured By 12 Xuebin Jiang / Information School
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13.2 周期函数分解为傅里叶级数
令 ak= Akmcosfk
则 f(t) = A0+
bk= -Akmsinfk
式中：
k= 1 Akm= ak2+ bk2
∑
∞
Akmcos (kw1t +fk) -bk fk = arctg a k
2018年11月9日星期五
Lectured By 8 Xuebin Jiang / Information School
Lectured By 6 Xuebin Jiang / Information School
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13.2 周期函数分解为傅里叶级数
1 T 根据给定 f(t) 的形式，积分 f(t) dt T 0 区间也可以改为： 2 T f(t) cos(kw1t) dt ak= T 0 T～ T 2 Tf(t) sin(kw t) dt bk= 2 2 1 T 0 积分区间也可以是 [0～2π] 或 [- π ～ π ]，例如： a0=
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13.1 非正弦周期信号
工程中会碰到许多非正弦信号，原因有 1. 激励本身是非正弦信号
交流发电机的电压严格地说是非正弦量，在电子信息、通 信工程、自动控制、计算机等技术领域中经常用到非正 弦信号。 2. 电路中含有非线性元件 (如整流电路等)
i = I0 +
I S k= 1
km cos(kw1t
+ f k)
i2 = I02 +2I0 ∞
k= 1
S Ikm cos(kw1t+fk) + [ S Ikm cos(kw1t +fk)]2
积分结果为零
∞
∞
k= 1
k= 1 积分结果为零 2 2cos a =1+cos2a 2 2 第一项的积分 1 T ∞ I d t = I 0 0 2 该项的积分结 I T 结果为： k S 0 Lectured By 果为： 15 2018年11月9日星期五 k= 1 Xuebin Jiang / Information School
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13.1 非正弦周期信号
u 方波 t o
实践中常见的非正弦周期信号 i
锯齿波
t
o T 2T T 数字电路、计算机的CP等 通过显像管偏转线圈的扫描电流 u i T 尖顶脉冲 全波整流 t t o
o T 桥式或全波整流电路的输出波形
2018年11月9日星期五
晶闸管的触发脉冲等
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13.2 周期函数分解为傅里叶级数
1. 非正弦周期函数的分解 根据高等数学知识：若非正弦周期信号 f(t) 满足“狄里 赫利条件”，就能展开成一个收敛的傅里叶级数。 ∞
f ( t ) = a 0+
∑ [a cos(kw t) + b sin(kw t)]
k=1
k 1 k 1
系数a0、 ak、 bk 分别为：
1 a0= T 2 bk= T
T
f ( t) d t
T
0
ak= 2 T
T 0
f(t) cos(kw1t) dt
f(t) sin(kw1t) 0 dt
2018年11月9日星期五
锯齿波的振幅频谱图 Ikm/2 I/p I/2 p I/3 p I/4 p o
w1 2w1 3w1 4w1 5w1iI-T/2o -IT/2 T
t
w
锯齿波的傅里叶级数展开式为 2I 1 i(t) = cos(w1t-90o) + cos(2w1t+90o) + 今后若无说 p 2 明，均指振幅频 1 1 o cos(4w1t+90o) + cos(3w1t-90 ) + 谱。 4 3