浙江省2019年中考数学复习微专题四反比例函数二次函数图象与性质的综合应用训练(含答案)41
浙江中考数学总结复习专题二次函数知识点归纳
浙江中考复习专题——二次函数知识点归纳二次函数知识点总结：1．二次函数的观点：一般地，形如y ax2 bx c（ a ，b ，c 是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。
这里需要重申：和一元二次方程近似，二次项系数 a 0 ，而b，c能够为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数 y ax2 bx c 的构造特色：⑴等号左边是函数，右边是对于自变量x 的二次式， x 的最高次数是 2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数，b是一次项系数， c 是常数项．二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y ax2的性质：oo结论： a 的绝对值越大，抛物线的张口越小。
总结：a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质a 0 0 ，0 x 0 时， y 随x的增大而增大；x 0 时， y 随向上y 轴x 的增大而减小；x 0 时， y 有最小值 0 ．a 0 0 ，0 x 0 时， y 随x的增大而减小；x 0 时， y 随向下y 轴x 的增大而增大；x 0 时， y 有最大值 0 ．2. y ax2 c 的性质：结论：上加下减。
总结：a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质a 0 0 ，c x 0 时， y 随x的增大而增大；x 0 时， y 随向上y 轴x 的增大而减小；x 0 时， y 有最小值c．a 0 0 ，c x 0 时， y 随x的增大而减小；x 0 时， y 随向下y 轴x 的增大而增大；x 0 时， y 有最大值c．23.y a x h 的性质：结论：左加右减。
总结：a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质a 0 h ，0 x h 时， y 随x的增大而增大；x h 时， y 随向上X=hx 的增大而减小；x h 时， y 有最小值 0 ．a 0 h ，0 x h 时， y 随x的增大而减小；x h 时， y 随向下X=hx 的增大而增大；x h 时， y 有最大值 0 ．24. y a x h k 的性质：总结：a 的符号张口方向极点坐标 对称轴性质a 0h ，kx h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随向上X=hx 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k ．a 0h ，kx h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随向下X=hx 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线分析式转变成极点式y 2h ，k ；a x hk ，确立其极点坐标⑵ 保持抛物线 yax 2 的形状不变，将其极点平移到h ，k 处，详细平移方法以下：y=ax2向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位y=ax 2+k向右 (h>0)【或左 (h<0)】 向右 ( h>0) 【或左 ( h<0) 】 向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】 平移 |k|个单位平移 |k|个单位平移 |k|个单位向上 ( k>0) 【或下 ( k<0) 】平移 |k|个单位y=a( x-h)2向上 (k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a (x-h)2+k2.平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．归纳成八个字“左加右减，上加下减” ．三、二次函数 y 2ax 2 bx c 的比较a x hk 与 y请将 y 2x 24x 5 利用配方的形式配成极点式。
九年级数学正比例、反比例函数、一次函数;二次函数的图象与性质应用浙江版知识精讲
初三数学正比例、反比例函数、一次函数；二次函数的图象与性质应用某某版【同步教育信息】一. 本周教学内容：1. 正比例、反比例函数、一次函数2. 二次函数的图象与性质、应用二. 重点、难点1. 平面直角坐标系的概念，点的坐标系的特征。
2. 函数的表示方法：①解析法②列表法③图像法3. 正比例、反比例、一次函数、二次函数的图象与性质（略）4. 二次函数的三种形式： （1）一般式：y ax bx c =++2（2）顶点式：y a x m k =++()2（3）交点式：y a x x x x =--()()125. ①若()()x x 1200，，，是抛物线上不同的两点，即与x 轴两个不同的交点，则对称轴：直线x x x =+122； ②若()()x a x a 12，，，是抛物线上不同的两点，由于这两点关于对称轴对称，故对称轴：直线x x x =+122。
6. 若y ax bx c a =++20()≠与x 轴有两个交点()()x x 1200，，，（i ）当两个交点在y 轴右侧时⇒>+>>⎧⎨⎪⎩⎪∆0001212x x x x ·（ii ）当两个交点在y 轴左侧时⇒>+<>⎧⎨⎪⎩⎪∆0001212x x x x ·（iii ）当两个交点一正一负时⇒<x x 120·（无需考虑“Δ”是否大于零，因此时，a 、c 异号，故Δ必大于零）7. 当抛物线与x 轴的两交点及顶点围成的三角形为等边三角形时必有Δ=12；等腰直角三角形时Δ=4。
【典型例题】例1. 如图，在平面直角坐标系内，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是O （0，0），A （－3，0），B （0，2），求平行四边形的第四个顶点C 的坐标。
精析：若以AB 、AO 为一组邻边的平行四边形，则第四个顶点C 在第一象限；若以AO 、BO 为一组邻边的平行四边形，则C 在第二象限；或以AB 、BO 为一组邻边，第四个顶点C 在第三象限。
浙教版中考数学二轮专题复习之二次函数综合与应用
绝密★启用前浙教版2019中考数学复习专题之二次函数综合与应用题号一总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分解答题（共40小题）1．如图，已知直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过y＝ax2+bx+c经过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为2时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．2．如图，直线l：y＝﹣2x+m与x轴交于点A（﹣2，0），抛物线C1：y＝x2+4x+3与x轴的一个交点为B（点B在点A的左侧），过点B作BD垂直x轴交直线l于点D．（1）求m的值和点B的坐标；（2）将△ABD绕点A顺时针旋转90°，点B，D的对应点分别为点E，F．①点F的坐标为；②将抛物线C1向右平移使它经过点F，此时得到的抛物线记为C2，直接写出抛物线C2的表达式．3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3a．（1）求抛物线的对称轴；（2）当a＞0时，设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，若△ABC为等边三角形，求a的值；（3）过T（0，t）（其中﹣1≤t≤2）且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意t值，线段MN的长都不小于1，结合函数图象，直接写出a的取值范围．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右侧），点A的坐标为（m，0），且AB＝4．（1）填空：点B的坐标为（用含m的代数式表示）；（2）把射线AB绕点A按顺时针方向旋转135°与抛物线交于点P，△ABP的面积为8：①求抛物线的解析式（用含m的代数式表示）；②当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为时，求m的值．5．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，经过A，D 两点的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与边BC相切于点E，与x轴交于点M，与y轴相交于另一点G，连接AE．（1）求证：AE平分∠BAC；（2）若点A，D的坐标分别为（0，﹣1），（2，0），求⊙F；（3）求经过三点M，F，D的抛物线的解析式．6．如图，抛物线的顶点为C（﹣1，﹣1），且经过点A、点B和坐标原点O，点B的横坐标为﹣3．（1）求抛物线的解析式．（2）求点B的坐标及△BOC的面积．（3）若点D为抛物线上的一点，点E为对称轴上的一点，且以点A、O、D、E为顶点的四边形为平行四边形，请在左边的图上标出D和E的位置，再直接写出点D的坐标．7．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2），点D与点C关于x轴对称，点P是x轴正半轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）若m＝3，试证明△BQM是直角三角形；（3）已知点F（0，），试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？8．点P为拋物线y＝x2﹣2mx+m2（m为常数，m＞0）上任意一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90℃后得到的图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．（1）抛物线y＝x2﹣2mx+m2的对称轴是直线，当m＝2，点P的横坐标为4时，点Q的坐标为；（2）设点Q（a，b），请你用含b的代数式表示a，则a＝；（3）如图，点Q在第一象限，点D在x轴的正半轴上，点C为OD的中点，QO平分∠AQC，当AQ ＝2QC，QD＝m时，求m的值．9．如图，二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范围．（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P使得P A+PC最小，求P点坐标及最小值．10．已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“bingo点”，例如：y＝2x﹣1上存在“bingo点”P（1，1）（1）直线（填写直线解析式）上的每一个点都是“bingo点”；双曲线y＝上的“bingo点”是（2）若抛物线y＝x2+（a+1）x﹣a2﹣a+2上有“bingo点”，且“bingo点”A、B（点A和点B可以重合）的坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），求x12+x22的最小值（3）若函数y＝x2+（n﹣k+1）x+m+k﹣1的图象上存在唯一的一个“bingo点”，且当﹣2≤n≤1时，m的最小值为k，求k的值．11．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B，C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点Q，以Q点为圆心，以长为半径的⊙Q与直线BC相切，直接写出所有满足条件的Q点坐标．12．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点E 在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，点D为直线AE上方抛物线上的一点（1）求抛物线所对应的函数解析式；（2）求△ADE面积的最大值和此时点D的坐标；（3）将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．13．如图所示，将抛物线y＝x2沿x轴向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新的抛物线．（1）直接写出新抛物线的解析式为；（2）设新抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C，顶点为D，作CE⊥CD交抛物线于E，如图所示，探究如下问题：①求点E的坐标；②若一次函数y＝kx+1的图象与抛物线存在唯一交点且交对称轴交于点F，连接DE，猜测直线DE与对称轴的夹角和一次函数y＝kx+1的图象与对称轴的夹角之间的大小关系，并证明．14．如图，已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出P A+PD的最小值；（3）若抛物线上有一动点M，使△ABM的面积等于△ABC的面积，求M点坐标．（4）抛物线的对称轴上是否存在动点Q，使得△BCQ为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴是直线x＝1，与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是第四象限内抛物线上一点，过点F作FD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，当OD＝4FE时，求四边形FOBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”．小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表：（1）如果在三月份出售这种植物，单株获利元；（2）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株获利＝单株售价﹣单株成本）17．某商品现在的售价为每件50元，每天可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，请你帮助分析，当每件商品涨价多少元时，可使每天的销售利润最大，最大利润是多少？设每件商品涨价x元，每天售出商品的利润为y元．（I）根据题意，填写下表：每件售价（元）505152……50+x200190……每天售出商品的数量（件）每天售出商品20002090……的利润（元）（Ⅱ）由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解．18．小李的活鱼批发店以44元/公斤的价格从港口买进一批2000公斤的某品种活鱼，在运输过程中，有部分鱼未能存活，小李对运到的鱼进行随机抽查，结果如表一．由于市场调节，该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律，表二是近一段时间该批发店的销售记录．（1）请估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量；（直接写出答案）（2）按此市场调节的观律，①若该品种活鱼的售价定为52.5元/公斤，请估计日销售量，并说明理由；②考虑到该批发店的储存条件，小李打算8天内卖完这批鱼（只卖活鱼），且售价保持不变，求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润，并说明理由．表一所抽查的鱼的总重量m（公斤）100150200250350450500存活的鱼的重量与m的比值0.8850.8760.8740.8780.8710.8800.880表二该品种活鱼的售价（元/公斤）5051525354该品神活鱼的日销售量（公斤）40036032028024019．一租赁公司拥有某种型号的汽车10辆，公司在经营中发现每辆汽车每天的租赁价为120元时可全部出租，租赁价每涨3元就少出租1辆，公司决定采取涨价措施．（1）填空：每天租出的汽车数y（辆）与每辆汽车的租赁价x（元）之间的关系式为．（2）已知租出的汽车每辆每天需要维护费30元，求租出汽车每天的实际收入w（元）与每辆汽车的租赁价x（元）之间的关系式；（租出汽车每天的实际收入＝租出收入﹣租出汽车维护费）（3）若未租出的汽车每辆每天需要维护费12元，则每辆汽车每天的租赁价x（元）定为多少元时，才能使公司获得日收益z（元）最大？并求出公司的最大日收益．20．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是，求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．21．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？22．某商场销售一种产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，该商场为了促销，规定客户一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；（1）设一次购买这种产品x（x＞10）件，商场所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）在客户购买产品的件数尽可能少的前提下，商场所获的利润为12000元，此时该商场销售了多少件产品？23．某商品进价为每个10元，当售价为每个12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，试解答下列问题：（1）直接写出该商品销售量y（个）与售价x（元）（12≤x≤30）之间的函数关系式；（2）为了让利给顾客，并同时获得840元的利润，售价应定为多少元？（3）当售价定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少元？24．在一次羽毛球比赛中，甲运动员在离地面米的P点处发球，球的运动轨迹P AN可看作是一条抛物线的一部分，当球运动到最高点A处时，其高度为3米，离甲运动员站立地点O的水平距离为5米，球网BC离点O的水平距离为6米，以点O为原点建立平面直角坐标系，回答下列问题．（1）求抛物线的解析式（不要求些出自变量的取值范围）；（2）羽毛球场地底线距离球网BC的水平距离为6米，此次发球是否会出界？（3）乙运动员在球场上M（m，0）处接球，乙原地起跳可接球的最大高度为2.5米，若乙因接球高度不够而失球，求m的取值范围．25．某小区业主委员会决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2（1）直接写出：①用x的式子表示出口的宽度为；②y与x的函数关系式及x的取值范围；（2）求活动区的面积y的最大面积；（3）预计活动区造价为50元/m2，绿化区造价为40元/m2，如果业主委员会投资不得超过72000元来参与建造，当x为整数时，共有几种建造方案？26．A、B两地果园分别有某种水果12吨和8吨，C、D两地分别需要这种水果5吨和15吨；已知从A、B到C、D的运价如表：到C地到D地A果园每吨150元每吨120元B果园每吨100元每吨90元若从A果园运到C地的该水果为x吨，试解答下列各题：（1）填空：①从B果园运到C地的水果为吨，②从A果园将水果运往D地的运输费用为元．（2）用含x的式子表示出总运输费（要求：列式、化简）．（3）直接写出总运输费用的最小值．（4）若这批水果在C地和D地进行再加工，经测算，全部加工完毕后总成本为w元，且w＝﹣（x ﹣3）2+185000，则当x＝时，w有最值（填“大”或“小”）．这个值是．27．某公司计划安排25人生产甲、乙两种产品，已知每人每天生产25件甲或15件乙，甲产品每件利润18元，当参与生产乙产品的工人少于10人时，乙产品每件利润为40元，在4人的基础上每增加1人，每件乙产品的利润下降1元，设每天安排x人生产甲产品，且不少于4人生产乙产品．（1）请根据以上信息完善下表：产品工人数（人）每天产量（件）每件利润（元）甲x18乙（2）请求出销售甲乙两种产品每天的总利润y关于x的表达式；（3）请你设计合理的工人分配方案，使得每天的利润最大化，并求出这个最大利润．28．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长足够长），中间用一道墙隔开（如图1所示）．已知计划中的材料可建墙体总长46米，设两间饲养室合计长x（米），总占地面积为y（米2）．（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．（2）现需要设计这两间饲养室各开一扇门（如图2所示），每扇门宽1米，门不采用计划中的材料．①求总占地面积最大为多少米2②如图3所示，离墙10米外饲养室一侧准备修一条平行于墙的小路，若拟建的饲养室面积尽量大，饲养室的门口与小路的间隔为多少米？29．瓦子街是上杭城关老城区改造的商业文化购物步行街，瓦子街某商场经营的某个品牌童装，购进时的单价是60元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件．（1）求出销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售该品牌童装获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）若童装厂规定该品牌童装的销售单价不低于76元且不高于80元，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？30．为满足市场需求，某超市在八月十五“中秋”来临前夕，购进一种品牌月饼，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）为稳定物价，有关管理部门限定：这种月饼的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？31．如图，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）直线AB上方抛物线上的点D，使得∠DBA＝2∠BAC，求D点的坐标；（3）M是平面内一点，将△BOC绕点M逆时针旋转90°后，得到△B1O1C1，若△B1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，请求点B1的坐标．32．如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx+1的顶点坐标为D（1，0）且经过点（0，1），将抛物线C1向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线C2，直线y＝x+c，经过点D交y轴于点A，交抛物线C2于点B，抛物线C2的顶点为P．（1）求抛物线C1的解析式；（2）如图2，连结AP，过点B作BC⊥AP交AP的延长线于C，设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结BQ并延长交AC于点F，①当点Q运动到什么位置时，S△PBD×S△BCF＝8？②连接PQ并延长交BC于点E，试证明：FC（AC+EC）为定值．33．如图，P（m，n）是抛物线y＝﹣+1上任意一点，l是过点（0，2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H，PH交x轴于Q．（1）【探究】填空：当m＝0时，OP＝，PH＝；当m＝4时，OP＝，PH＝．（2）【证明】对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．（3）【应用】当OP＝OH，且m≠0时，求P点的坐标．34．定义：点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离．例如，如图1，正方形ABCD满足A（1，0），B（2，0），C（2，1），D（1，1），那么点O（0，0）到正方形ABCD的距离为1．（1）如果⊙P是以（3，4）为圆心，2为半径的圆，那么点O（0，0）到⊙P的距离为；（2）①求点M（3，0）到直线了y＝x+4的距离：②如果点N（0，a）到直线y＝x+4的距离为2，求a的值；（3）如果点G（0，b）到抛物线y＝x2的距离为3，请直接写出b的值．35．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）（1）求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标；（2）若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．设点P的横坐标为t①求线段PM的最大值；②S△PBM：S△MHB＝1：2时，求t值；③当△PCM是等腰三角形时，直接写点P的坐标．36．如图，已知抛物线L1：y＝x2﹣x﹣，L1交x轴于A，B（点A在点B左边），交y轴于C，其顶点为D，P是L1上一个动点，过P沿y轴正方向作线段PQ∥y轴，使PQ＝t，当P点在L1上运动时，Q随之运动形成的图形记为L2．（1）若t＝3，求点P运动到D点时点Q的坐标，并直接写出图形L2的函数解析式；（2）过B作直线l∥y轴，若直线l和y轴及L1，L2所围成的图形面积为12，求t的值．37．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过B、C两点，与x轴交于另一点A．设P（x，y）是在第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线k⊥x轴于点M，交直线BC于点N．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）连接PC、ON，若以P、C、O、N四点能围成平行四边形时，求此时点P坐标；（3）是否存在以P、C、N为顶点的三角形与△BNM相似？若存在，求出点N坐标；若不存在，请说明理由．38．如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y＝ax2+bx+c经过O、A、E三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△P AD的周长最小时，求点P的坐标；（3）当t≤x≤t+1时，求y＝ax2+bx+c的最大值．39．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）在AC上方的抛物线上有一动点G，如图，当点G运动到某位置时，以AG，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点G的坐标；（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．40．阅读下列材料：某同学遇到这样一个问题：在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝﹣x，点A（1，t）在抛物线y＝x2﹣4x+5上，求点A到直线l的距离d．如图1，他过点A作AB⊥l于点B，AD∥y轴分别交x轴于点C，交直线l于点D．他发现OC＝CD，∠ADB＝45°，可求出AD的长，再利用Rt△ABD求出AB的长，即为点A到直线l的距离d．请回答：（1）图1中，AD＝，点A到直线l的距离d＝．参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：在平面直角坐标系xOy中，点M是抛物线y＝x2﹣4x+5上的一动点，设点M到直线l的距离为d．（2）如图2，①l：y＝﹣x，d＝，则点M的坐标为；②l：y＝﹣x，在点M运动的过程中，求d的最小值；（3）如图3，l：y＝2x﹣7，在点M运动的过程中，d的最小值是．参考答案与试题解析解答题（共40小题）1．如图，已知直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过y＝ax2+bx+c经过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为2时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①把二次函数表达式化为顶点式表达式，即可求解；②不存在．理由如下：设点P的坐标为（m，﹣m+4），则D（m，﹣m2+m+4），PD＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，当四边形MNPD为平行四边形，则：m2+2m＝，解得：m＝1，则：点P（3，1），由N（1，3），则：PN＝＝2≠MN，即可求解；（2）分∠BDP＝90°或∠PBD＝90°两种情况，求解即可．【解答】解：（1）①y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，∴顶点M的坐标为（1，），当x＝1时，y＝﹣1+4＝3，∴点N的坐标为（1，3）；②不存在．理由如下：MN＝﹣3＝，设点P的坐标为（m，﹣m+4），则D（m，﹣m2+m+4），PD＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，∵PD∥MN．∴当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，即﹣m2+2m＝，解得：m＝1或3（m＝1舍去），∴点P（3，1），由N（1，3），∴PN＝＝2≠MN，∴平行四边形MNPD不是菱形，即：不存在点P，使四边形MNPD为菱形；（2）①当∠BDP＝90°时，点P（2，2），则四边形BOCD为矩形，∴D（2，4），又A（4，0），B（0，4），∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；②当∠PBD＝90°时，△PBD为等腰直角三角形，则PD＝2x P＝4，∴D（2，6），又A（4，0），B（0，4），把A、B、D坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故：二次函数表达式为：y＝﹣x2+3x+4．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2．如图，直线l：y＝﹣2x+m与x轴交于点A（﹣2，0），抛物线C1：y＝x2+4x+3与x轴的一个交点为B（点B在点A的左侧），过点B作BD垂直x轴交直线l于点D．（1）求m的值和点B的坐标；（2）将△ABD绕点A顺时针旋转90°，点B，D的对应点分别为点E，F．①点F的坐标为（0，1）；②将抛物线C1向右平移使它经过点F，此时得到的抛物线记为C2，直接写出抛物线C2的表达式．【分析】（1）由点A的坐标，利用待定系数法即可求出m的值，再利用二次函数图象上点的坐标特征结合点B在点A的左侧，即可求出点B的坐标；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点D的坐标，进而可得出BD，AB的值．①依照题意画出图形，由EF＝BD＝2，OF＝AE＝AB＝1可得出点F在y轴正半轴上，进而可求出点F的坐标；②利用配方程法将抛物线C1的表达式变形为顶点式，根据平移的性质可设抛物线C2的表达式为y＝（x+m）2﹣1，由点F的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线C2的表达式，此题得解．【解答】解：（1）将A（﹣2，0）代入y＝﹣2x+m，得：0＝﹣2×（﹣2）+m，解得：m＝﹣4．当y＝0时，有x2+4x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1，又∵点B在点A的左侧，∴点B的坐标为（﹣3，0）．（2）当x＝﹣3时，y＝﹣2x﹣4＝2，∴点D的坐标为（﹣3，2），∴BD＝2，AB＝1．①依照题意画出图形，则EF＝BD＝2，OF＝AE＝AB＝1，又∵点A的坐标为（﹣2，0），∴点F在y轴正半轴上，∴点F的坐标为（0，1）．②∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，∴设平移后得到的抛物线C2的表达式为y＝（x+m）2﹣1．将F（0，1）代入y＝（x+m）2﹣1，得：1＝（0+m）2﹣1，解得：m1＝，m2＝﹣，∴抛物线C2的表达式为y＝（x﹣）2﹣1或y＝（x+）2﹣1，即y＝x2﹣2x+1或y＝x2+2x+1．【点评】本题考查了待定系数法一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、旋转的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法及二次函数图象上点的坐标特征，求出m的值和点B的坐标；（2）①利用旋转的性质找出点F 的位置；②由点F的坐标，利用待定系数法求出抛物线C2的表达式．3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3a．（1）求抛物线的对称轴；（2）当a＞0时，设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，若△ABC为等边三角形，求a的值；（3）过T（0，t）（其中﹣1≤t≤2）且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意t值，线段MN的长都不小于1，结合函数图象，直接写出a的取值范围．【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式，由此即可得出抛物线的对称轴；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A，B的坐标，由（1）可得出顶点C的坐标，再利用等边三角形的性质可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a值；（3）分a＞0及a＜0两种情况考虑：①当a＞0时，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围；②当a＜0时，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围．综上，此题得解．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a，∴抛物线的对称轴为直线x＝2．（2）依照题意，画出图形，如图1所示．当y＝0时，ax2﹣4ax+3a＝0，即a（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得：x1＝1，x2＝3．由（1）可知，顶点C的坐标为（2，﹣a）．∵a＞0，∴﹣a＜0．∵△ABC为等边三角形，∴点C的坐标为（2，﹣），∴﹣a＝﹣，∴a＝．（3）分两种情况考虑，如图2所示：①当a＞0时，a（﹣1）×（﹣3）≤﹣1，解得：a≥；②当a＜0时，a（﹣1）×（﹣3）≥2，解得：a≤﹣．。
2019年浙教版数学中考复习 二次函数的图象与性质 综合测试 (含答案)
2019年浙教版数学中考复习二次函数的图象与性质综合测试一．选择题1．抛物线y＝x2＋bx＋c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数表达式为y ＝(x－1)2－4，则b，c的值为( )A．b＝2，c＝－6 B．b＝2，c＝0C．b＝－6，c＝8 D．b＝－6，c＝22．将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的方法是( )A．向左平移1个单位B．向右平移3个单位C．向上平移3个单位D．向下平移1个单位3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：y随x的增大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4.其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．(易错题)将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为( )A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝(x－1)2＋4 D．y＝(x－1)2＋25．对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是( )A．对称轴是直线x＝1，最小值是2B．对称轴是直线x＝1，最大值是2C．对称轴是直线x＝－1，最小值是2D．对称轴是直线x＝－1，最大值是26．(2018·湖南益阳中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A．ac＜0 B．b＜0C．b2－4ac＜0 D．a＋b＋c＜07．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列说法正确的是( )A ．abc<0，b 2－4ac>0B ．abc>0，b 2－4ac>0C ．abc<0，b 2－4ac<0D ．abc>0，b 2－4ac<08．已知二次函数y ＝ax 2－bx －2(a≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(－1，0)，当a －b 为整数时，ab 的值为( ) A.34或1B.14或1 C.34或12D.14或349．(2018·山东德州中考)如图，函数y ＝ax 2－2x ＋1和y ＝ax －a(a 是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( )10．如图，反比例函数y ＝k x 的图象经过二次函数y ＝ax 2＋bx 图象的顶点(－12，m)(m>0)，则有( )A ．a ＝b ＋2kB ．a ＝b －2kC ．k<b<0D ．a<k<0 二．填空题11．抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3的顶点坐标是______________．12．如图是一座拱桥，当水面宽AB 为12 m 时，桥洞顶部离水面4 m ，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线表达式是y ＝－19(x －6)2＋4，则选取点B 为坐标原点时的抛物线表达式是_________________________．13. 已知函数y ＝－(x －1)2图象上两点A(2，y 1)，B(a ，y 2)，其中a>2，则y 1与y 2的大小关系是y 1______y 2(填“<”“>”或“＝”)．14．(2019·改编题)矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点A 的坐标为(2，1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A 重合，此时抛物线的函数表达式为y ＝x 2，再次平移透明纸，使这个点与点C 重合，则该抛物线的函数表达式变为________________________．15．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图)．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间满足关系y ＝－29x 2＋89x ＋109，则羽毛球飞出的水平距离为______m.16．如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为B(－1，3)，与x 轴的交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b 2－4ac ＝0；②a ＋b ＋c ＞0；③2a －b ＝0；④c －a ＝3，其中正确的有________．(填序号)17．(2018·四川南充中考)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a≠0)与x 轴交于A ，B 两点，顶点P(m ，n)．给出下列结论： ①2a ＋c ＜0；②若(－32，y 1)，(－12，y 2)，(12，y 3)在抛物线上，则y 1＞y 2＞y 3；③关于x 的方程ax 2＋bx ＋k ＝0有实数解，则k ＞c －n ； ④当n ＝－1a 时，△ABP 为等腰直角三角形．其中正确结论是________(填写序号)．18. (2017泸州)若二次函数y＝2x2－4x－1的图象与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，则1x1＋1x2的值为________．19. 如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)和B(3，2)，不等式x2＋bx＋c＞x＋m 的解集为____________．20. 若二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点(－1，0)，则方程ax2－2ax＋c＝0的解为____________．三．解答题21．(2018·浙江杭州中考)设二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)(a，b是常数，a≠0)．(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由；(2)若该二次函数图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；(3)若a＋b＜0，点P(2，m)(m＞0)在该二次函数图象上，求证：a＞0.22. (2017宁波)如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)．(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标．23. 正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O，P，A三点坐标；②求抛物线L的解析式；(2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值．24. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值；(3)点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．25.已知二次函数y ＝ax 2－2ax ＋c(a>0)的图象与x 轴的负半轴和正半轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，它的顶点为P ，直线CP 与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点D ，且CP ∶PD ＝2∶3. (1)求A 、B 两点的坐标；(2)若tan ∠PDB ＝54，求这个二次函数的关系式．参考答案 1-5 BDBDB 6-10 BBABD 11. (1，4)12. y ＝－19(x ＋6)2＋413. >14. y ＝x 2＋8x ＋14 15. 5 16. ③④ 17. ②④ 18. －4 19. x<1或x>3 20. x 1＝－1，x 2＝321. 解：(1)由题意知Δ＝b 2－4a[－(a ＋b)]＝b 2＋4ab ＋4a 2＝(2a ＋b)2≥0， ∴该二次函数图象与x 轴的交点的个数有2个或1个． (2)当x ＝1时，y ＝a ＋b －(a ＋b)＝0 ∴该二次函数图象不经过点C. 把点A(－1，4)，B(0，－1)分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧4＝a －b －（a ＋b ），－1＝－（a ＋b ），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2. ∴该二次函数的表达式为y ＝3x 2－2x －1. (3)证明：当x ＝2时，m ＝4a ＋2b －(a ＋b)＝3a ＋b ＞0，① ∵a ＋b ＜0，∴－a －b ＞0.② ① ＋②得2a ＞0，∴a ＞0.22. 解：(1)把B(3，0)代入抛物线解析式，得0＝－32＋3m ＋3， 解得m ＝2， ∴y ＝－x 2＋2x ＋3，∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴顶点坐标为(1，4)．(2)如解图，连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，连接AP ，此时PA ＋PC 的值最小． 由抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3得点C 的坐标为(0，3)，设直线 BC 的解析式为 y ＝kx ＋b(k≠0)，把点B(3，0)，C(0，3)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝3k ＋b 3＝b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝3， ∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3. 当x ＝1时，y ＝－1＋3＝2.∴当PA ＋PC 的值最小时，点P 的坐标为(1，2)．23. 解：如解图，以OA 所在的直线为横轴，水平向右为正方向，以OC 所在直线为纵轴，垂直向上为正方向，建立平面直角坐标系．①O(0，0)，P(2，2)，A(4，0)；②设抛物线L 的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ， 将点O ，P ，A 的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝04a ＋2b ＋c ＝216a ＋4b ＋c ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝2c ＝0，∴抛物线L 的解析式为y ＝－12x 2＋2x.(2)【思路分析】用点E 的横坐标表示△OAE 与△OCE 的面积之和，根据二次函数的性质即可确定最大值． 解：设点E 的横坐标为m. ∵点E 在正方形内的抛物线上， ∴点E 的纵坐标为－12m 2＋2m,∴S △OAE ＋S △OCE ＝12×4×(－12m 2＋2m)＋12×4×m ＝－m 2＋6m ＝－(m －3)2＋9.(10分)∴当m ＝3时，△OAE 与△OCE 的面积之和的值最大，最大值是9.24. 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧32＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3，∴抛物线的表达式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)方法1：如图1，过点P 作PG ∥CF 交CB 于点G ，由题意知∠BCO ＝∠CFE ＝45°，F(0，m)，C(0，3)， ∴△CFE 和△GPE 均为等腰直角三角形， ∴EF ＝22CF ＝22(3－m)，PE ＝22PG. 设x P ＝t(1<t<3)， 则PE ＝22PG ＝22(－t ＋3－t －m) ＝22(－m －2t ＋3)，t 2－4t ＋3＝t ＋m ， ∴PE ＋EF ＝22(－m －2t ＋3)＋22(3－m)＝22(－2t －2m ＋6)＝－2(t ＋m －3)＝－2(t 2－4t)＝－2(t －2)2＋42，∴当t ＝2时，PE ＋EF 的最大值为4 2.方法2：(几何法)如图2，由题易知直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3，OC ＝OB ＝3， ∴∠OCB ＝45°. 同理可知∠OFE ＝45°， ∴△CEF 为等腰直角三角形，以BC 为对称轴将△FCE 对称得到△F′CE ，作PH ⊥CF′于点H ，则PE ＋EF ＝PF′＝2PH. 又PH ＝y C －y P ＝3－y P ，∴当y P 最小时，PE ＋EF 取最大值， ∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，∴当y P ＝－1时，(PE ＋EF)max ＝2×(3＋1)＝4 2. (3)①由(1)知对称轴x ＝2，设D(2，n)，如图3.当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，D 在BC 上方D 1位置时，由勾股定理得CD 2＋BC 2＝BD 2， 即(2－0)2＋(n －3)2＋(32)2＝(3－2)2＋(0－n)2，解得n ＝5；当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，D 在BC 下方D 2位置时，由勾股定理得BD 2＋BC 2＝CD 2， 即(2－3)2＋(n －0)2＋(32)2＝(2－0)2＋(n －3)2，解得n ＝－1.∴当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，D 为(2，5)或(2，－1)．②如图4，以BC 的中点T(32，32)，12BC 为半径作⊙T ，与对称轴x ＝2交于D 3和D 4，由直径所对的圆周角是直角，得∠CD 3B ＝∠CD 4B ＝90°. 设D(2，m)，由DT ＝12BC ＝322得(32－2)2＋(32－m)2＝(322)2， 解得m ＝32±172，∴D 3(2，32＋172)，D 4(2，32－172)．又由①得D 1为(2，5)，D 2(2，－1)，∴若△BCD 是锐角三角形，D 点在线段D 1D 3或D 2D 4上时(不与端点重合)，则点D 的纵坐标的取值范围是－1<y D <32－172或32＋172<y D <5.25. 解：(1)y ＝ax 2－2ax ＋c＝a(x 2－2x)＋c ＝a(x －1)2＋c －a ∴P 点坐标为(1，c －a)．如解图，过点C 作CE ⊥PQ ，垂足为E ，延长CE 交BD 于点F ，则CF ⊥BD. ∵P(1，c －a)，∴CE ＝OQ ＝1.∵PQ ∥BD ，∴△CEP ∽△CFD ，∴CP CD ＝CE CF. 又∵CP ∶PD ＝2∶3，∴CE CF ＝CP CD ＝22＋3＝25， ∴CF ＝2.5，∴OB ＝CF ＝2.5，∴BQ ＝OB －OQ ＝1.5，∴AQ ＝BQ ＝1.5，∴OA ＝AQ －OQ ＝1.5－1＝0.5，∴A(－0.5，0)，B(2.5，0)．(2)∵tan ∠PDB ＝54， ∴CF DF ＝54， ∴DF ＝45CF ＝45×2.5＝2， ∵△CFD ∽△CEP ，∴PE DF ＝CE CF， ∴PE ＝DF·CE CF ＝2×12.5＝0.8. ∵P(1，c －a)，C(0，c)，∴PE ＝PQ －OC ＝c －(c －a)＝a ，∴a ＝0.8，∴y ＝0.8x 2－1.6x ＋c.把A(－0.5，0)代入得：0.8×(－0.5)2－1.6×(－0.5)＋c ＝0， 解得c ＝－1.(9分)∴这个二次函数的关系式为：y ＝0.8x 2－1.6x －1.。
浙江杭州2019中考重点试题-数学4
O CB A （第５题）浙江杭州2019中考重点试题-数学4参考公式：二次函数的图象的顶点坐标是：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的顶点坐标为〔—b 2a ，4ac —b 24a 〕、【一】选择题：(此题共有10小题,每题4分,共40分.每题只有一个选项是正确的)1、计算〔-3〕2的结果是〔〕A 、-6B 、6C 、-9D 、92.在一个不透明的口袋中，装有假设干个除顔色不同外其余都相同的球，假如口袋中装有4个红球且摸到红球的概率为31，那么口袋中球的总数为〔〕A 、10个B 、12个C 、15个D 、16个3、下图中所示几何体的俯视图是〔〕4、不等式组⎩⎨⎧<->+42321x x 的解集是〔〕 A 、x ＞1 B 、x ＜2 C 、1＜x ＜2 D 、无解5、如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，且点C 在弦AB 所对的优弧上，假设∠ACB=38°， 那么∠AOB 的度数是〔〕 A 、19° B 、30°C 、76° D 、38°6、某校初二300名学生的某次数学考试成绩，现在要明白90分以上的占多少，80-90分占多少，70-80占多少，60-70占多少，60分以下占多少，需要做的工作是〔〕A 、抽取样本，需样本可能总体B 、求平均成绩C 、计算方差D 、进行频率分布7、方程(4)(2)4x x x -+=-的解是〔〕A 、1x =-B 、4x =C 、4x =或1x =-D 、4x =或2x =-8.假如反比例函数k y x=的图象通过点〔－8，2〕，那么函数的图象应在〔〕 A 、第【一】三象限B 、第【一】二象限C 、第【二】四象限D 、第【三】四象限9.如图，D 、E 分别是△ABC 的AB 、AC 边上的点，且DE ∥BC ，S △ADE ：S 四边形DBCE =1：8，那么AE ：AC 等于〔〕A 、1：9B 、1：3C 、1：8D 、1：210.小明从家骑车上学，先上坡到达A 地后再下坡到达学校，所用的时间与路程如下图。
2019年浙江省中考数学分类汇编专题：二次函数(含答案解析)
2019年浙江省中考数学分类汇编专题:二次函数一、单选题1.二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（）A.(1，3)B.（1，-3)C.（-1，3）D.（-1，-3）【答案】A【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质【解析】【解答】解：∵y=（x-1）2+3，∴二次函数图像顶点坐标为：（1，3）.故答案为：A.【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.2.已知二次函数，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A.有最大值﹣1，有最小值﹣2B.有最大值0，有最小值﹣1C.有最大值7，有最小值﹣1D.有最大值7，有最小值﹣2【答案】D【考点】二次函数的最值【解析】【解答】∵由知当x=2，最小值为-2，又∵x=-1与x=3关于x=2对称故最大值为，故答案为：D。
【分析】先配方，∵对称轴x=2，在给定定义域范围内，故最小值可求。
图像张口向上，故离图像最远的点为最大值。
3.小飞研究二次函数(为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线上；②存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点与点在函数图象上，若，，则；④当时，随的增大而增大，则的取值范围为其中错误结论的序号是（）A.①B.②C.③D.④【答案】C【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数y=a（x-h）^2+k的性质，二次函数的实际应用-几何问题【解析】【解答】解：∵抛物线y=-（x-m）2-m+1∴顶点坐标为：（m，-m+1）∵y=-x+1当x=m时，y=-m+1∴抛物线的顶点坐标始终在直线y=-x+1上，故①正确；设抛物线的顶点坐标C（m，-m+1），与x轴的两交点坐标为B、A过点C作CD⊥x轴，当△ACB是等腰直角三角形时，则AD=DB=CD=-m+1，OD=m∴点B的横坐标为：m+（-m+1）=1∴点B（1,0）∴-（1-m）2-m+1=0解之：m1=1（舍去），m2=0当m=0时，抛物线的顶点与x轴的两交点构成等腰直角三角形，故②正确；∵A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2＞2m∴∵a=-1，对称轴为直线x=m∴当x＞m时，y随x的增大而减小，∴时，，故③错误；∵当-1＜x＜2时，y随x的增大而增大，对称轴为直线x=m∴m≥2，故④正确；故答案为：C【分析】利用抛物线的解析式，可得到顶点坐标，再将顶点坐标代入y=-x+1进行验证，就可对①作出判断；过点C作CD⊥x轴，利用等腰直角三角形的性质，可知AD=DB=CD=-m+1，OD=m，从而求出点B的坐标，再将点B的坐标代入抛物线的解析式，就可求出符合题意的m的值，可对②作出判断；利用二次函数的性质，可对③④作出判断；综上所述，可得出说法错误的结论。
2019-2020年中考数学专题训练二次函数与反比例函数1
2019-2020年中考数学专题训练二次函数与反比例函数1一、选择题1．抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2）D．（1，2）2．对于二次函数y=﹣x2+2x．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x＜2时，y＞0．其中正确的结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）A．只能是x=﹣1B．可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧4．二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为（）A．x=4 B．x=﹣4 C．x=2 D．x=﹣25．已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣16．如图，反比例函数y=的图象经过二次函数y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则有（）A．a=b+2k B．a=b﹣2k C．k＜b＜0 D．a＜k＜07．设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（）A．（1，0） B．（3，0） C．（﹣3，0）D．（0，﹣4）8．已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（）A．正比例函数B．一次函数 C．反比例函数D．二次函数9．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（）A．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）B．顶点坐标是（1，﹣3）C．函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）D．当x＜0时，y随x的增大而减小10．在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是（）A．y=（x+2）2B．y=2x2﹣2 C．y=﹣2x2﹣2 D．y=2（x﹣2）211．若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（）A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜012．若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是（）A．B．C．D．13．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．14．数形结合是数学中常用的思想方法，试运用这一思想方法确定函数y=x 2+1与y=的交点的横坐标x 0的取值范围是（ ）A ．0＜x 0＜1B ．1＜x 0＜2C ．2＜x 0＜3D ．﹣1＜x 0＜015．已知二次函数y=a （x ﹣1）2﹣c 的图象如图所示，则一次函数y=ax+c 的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．16．下列三个函数：①y=x+1；②；③y=x 2﹣x+1．其图象既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 17．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m 和y=﹣mx 2+2x+2（m 是常数，且m ≠0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．18．一次函数y=ax+b（a≠0）、二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=（k≠0）在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为（﹣2，0），则下列结论中，正确的是（）A．b=2a+k B．a=b+k C．a＞b＞0 D．a＞k＞0二、填空题19．抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标是．20．已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x 时，y随x的增大而减小．21．二次函数y=x2+2x的顶点坐标为，对称轴是直线．22．二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是．23．函数y=x2+2x+1，当y=0时，x= ；当1＜x＜2时，y随x的增大而（填写“增大”或“减小”）．24．定义：给定关于x的函数y，对于该函数图象上任意两点（x1，y1），（x2，y2），当x1＜x2时，都有y1＜y2，称该函数为增函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有（填上所有正确答案的序号）①y=2x；②y=﹣x+1；③y=x2（x＞0）；④y=﹣．25．下列函数（其中n为常数，且n＞1）①y=（x＞0）；②y=（n﹣1）x；③y=（x＞0）；④y=（1﹣n）x+1；⑤y=﹣x2+2nx （x＜0）中，y的值随x的值增大而增大的函数有个．26．二次函数y=x2﹣2x+3图象的顶点坐标为．27．二次函数y=x2﹣4x﹣3的顶点坐标是（，）．三、解答题28．已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．29．在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．30．已知点A（﹣2，n）在抛物线y=x2+bx+c上．（1）若b=1，c=3，求n的值；（2）若此抛物线经过点B（4，n），且二次函数y=x2+bx+c的最小值是﹣4，请画出点P（x ﹣1，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由．2019-2020年中考数学专题训练二次函数与反比例函数21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．2．如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B 点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．5．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．6．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M（0，﹣1），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△MAB的形状，并说明理由；（3）过原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于C、D两点，连接MC，MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．（1）求点M、A、B坐标；（2）连接AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标．8．如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P 的关联直线．（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式．9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．11．如图，抛物线y=（x﹣3）2﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，求证：∠AEO=∠ADC；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．12．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C （0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．13．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E （0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．（1）填空：点A坐标为；抛物线的解析式为．（2）在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q 在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？（3）在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P 做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？15．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B在y 轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB 于D．（1）求抛物线的解析式；（2）当m为何值时，S四边形OBDC=2S△BPD；（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．16．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．17．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．18．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式．（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP=S△BCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．19．如图1，抛物线y=ax2+bx﹣1经过A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C．点P 为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，交x轴于点E．（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式．（2）如图1，当点P的横坐标为时，求证：△OBD∽△ABC．（3）如图2，若点P在第四象限内，当OE=2PE时，求△POD的面积．（4）当以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P的坐标．20．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（﹣1，﹣1），与x轴交点M（1，0）．C 为x轴上一点，且∠CAO=90°，线段AC的延长线交抛物线于B点，另有点F（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AC的解析式及B点坐标；（3）过点B做x轴的垂线，交x轴于Q点，交过点D（0，﹣2）且垂直于y轴的直线于E 点，若P是△BEF的边EF上的任意一点，是否存在BP⊥EF？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣4，0），B（﹣1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限的抛物线上有一动点D．①如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由．②如图（2），直线y=x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴于点H，交QC于点F．请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为：2？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x=﹣，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA，OB，OD，BD．（1）求该二次函数的解析式；（2）求点B坐标和坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；（3）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，问PD为何值时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的？。
2019--2020学年浙江省九年级中考复习《二次函数》试题分类——解答题(1)
2019--2020学年浙江省九年级上册数学（浙教版）《二次函数》试题分类——解答题（1）一．解答题1．（2019秋•海曙区期末）如图1，已知抛物线yx2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点Q，点P为OQ 的中点，经过点A，P，B的圆的圆心为点M，点C为圆M优弧AB上的一个动点．（1）直接写出点P，A，B的坐标：P；A；B；（2）求tan∠ACB的值；（3）将抛物线yx2+4沿x轴翻折所得的抛物线交y轴与点D，若BC经过点D时，求线段AC，PC的长；（4）若BC的中点为E，AE交翻折后的抛物线于点F，直接写出AE的最大值和此时点F的坐标．2．（2019秋•海曙区期末）自2019年3月开始，我国生猪、猪肉价格持续上涨，某大型菜场在销售过程中发现，从2019年10月1日起到11月9日的40天内，猪肉的每千克售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示：猪肉的进价与上市时间的关系用图2的一段抛物线y＝a（x﹣30）2+100表示．（1）a＝；（2）求图1表示的售价p与时间x的函数关系式；（3）问从10月1日起到11月9日的40天内第几天每千克猪肉利润最低，最低利润为多少？3．（2020春•拱墅区期末）把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h＝20t ﹣5t2．（1）经过多少秒后足球回到地面？（2）圆圆说足球的高度能达到21米，方方说足球的高度能达到20米．你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？4．（2019秋•海曙区期末）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与直线y＝﹣x+3相交于x轴上的点A，y轴上的点B．顶点为P．（1）求这个二次函数的解析式；（2）现将抛物线向左平移m个单位，当抛物线与△PBA有且只有一个公共点时，求m的值．5．（2019秋•拱墅区校级期末）一个斜抛物体的水平运动距离为x（m），对应的高度记为h（m），且满足h＝ax2+bx﹣2a（其中a≠0）．已知当x＝0时，h＝2；当x＝10时，h＝2．（1）求h关于x的函数表达式；（2）求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平距离．6．（2019秋•拱墅区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，﹣4）和B（2，0）两点．（1）求c的值及a，b满足的关系式；（2）若抛物线在A和B两点间，y随x的增大而增大，求a的取值范围；（3）抛物线同时经过两个不同的点M（p，m），N（﹣2﹣p，n）．①若m＝n，求a的值；②若m＝﹣2p﹣3，n＝2p+1，点M在直线y＝﹣2x﹣3上，请验证点N也在y＝﹣2x﹣3上并求a的值．7．（2019秋•西湖区校级期末）对于二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4，把y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：（1）当t＝2时，抛物线E的顶点坐标是；（2）判断点A是否在抛物线E上；（3）求n的值．（4）通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，这个定点的坐标是．（5）二次函数y＝﹣3x2+5x+2是二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．（6）以AB为一边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，若抛物线E经过点A、B、C、D中的三点，求出所有符合条件的t的值．8．（2019秋•柯桥区期末）我国互联网发展走到了世界的前列，尤其是电子商务，据市场调查，天猫超市在销售一种进价为每件40元的护眼台灯中发现：每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示：（1）当销售单价定为50元时，求每月的销售件数；（2）设每月获得的利润为W（元），求利润的最大值；（3）由于市场竞争激烈，这种护眼灯的销售单价不得高于75元，如果要每月获得的利润不低于8000元，那么每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）9．（2019秋•柯桥区期末）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点E，使△EDC的周长最小，求符合条件的E点坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出PB2的值；若不存在，请说明理由．10．（2019秋•玉环市期末）2019年11月20日，“美丽玉环，文旦飘香”号冠名列车正式发车，为广大旅客带去“中国文旦之乡”的独特味道根据市场调查，在文旦上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间满足函数（其中x为正整数）；销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图所示，如果文旦上市期间每天的其他费用为100元．（1）求销售量n与第x天之间的函数关系式；（2）求在文旦上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额﹣日维护费）（3）求日销售利润y的最大值及相应的x的值．11．（2019秋•江干区期末）已知一个二次函数y1的图象与x轴的交点为（﹣2，0），（4，0），形状与二次函数相同，且y1的图象顶点在函数y＝2x+b的图象上（a，b为常数），则请用含有a的代数式表示b．12．（2019秋•江干区期末）已知，二次函数y＝x2+2mx+n（m，n为常数且m≠0）．（1）若n＝0，请判断该函数的图象与x轴的交点个数，并说明理由；（2）若点A（n+5，n）在该函数图象上，试探索m，n满足的条件；（3）若点（2，p），（3，q），（4，r）均在该函数图象上，且p＜q＜r，求m的取值范围．13．（2019秋•温州期末）总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，甲店一天可售出20件，每件盈利40元；乙店一天可售出32件，每件盈利30元．经调查发现，每件衬杉每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件．设甲店每件衬衫降价a元时，一天可盈利y1元，乙店每件衬衫降价b元时，一天可盈利y2元．（1）当a＝5时，求y1的值．（2）求y2关于b的函数表达式．（3）若总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是多少元？14．（2019秋•诸暨市期末）如图已知直线yx与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点C（0，），交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求△PAB的面积及点P的坐标；（3）若点Q为x轴上一动点，点N在抛物线上且位于其对称轴右侧，当△QMN与△MAD相似时，求N 点的坐标．15．（2019秋•江北区期末）每年十月的第二个周四是世界爱眼日，为预防近视，超市决定对某型号护眼台灯进行降价销售．降价前，进价为30元的护眼台灯以80元售出，平均每月能售出200盏，调查表明：这种护眼台灯每盏售价每降低1元，其月平均销售量将增加10盏．（1）写出月销售利润y（单位：元）与销售价x（单位：元/盏）之间的函数表达式；（2）当销售价定为多少元时，所得月利润最大？最大月利润为多少元？16．（2019秋•黄岩区期末）某商家在购进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第x天的成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，并连续50天均以80元/件的价格出售，第x天该产品的销售量z（件）与x（天）满足关系式z＝x+10．（1）第40天，该商家获得的利润是元；（2）设第x天该商家出售该产品的利润为w元．①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？②在出售该产品的过程中，当天利润不低于1000元的共有多少天？17．（2019秋•黄岩区期末）已知二次函数y＝x2﹣2kx+2．（1）当k＝2时，求函数图象与x轴的交点坐标．（2）若函数图象的对称轴与原点的距离为2，求k的值．18．（2019秋•丽水期末）已知，二次三项式﹣x2+2x+3．（1）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+3＝﹣mx2+mx+2（m为整数）的根为有理数，求m的值；（2）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+n分别交x，y轴于点A，B，若函数y＝﹣x2+2|x|+3的图象与线段AB只有一个交点，求n的取值范围．19．（2019秋•江北区期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3（1）求函数图象的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标，并画出函数的大致图象；（2）根据图象直接回答：当y＜0时，求x的取值范围；当y＞﹣3时，求x的取值范围．20．（2019秋•温州期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+2x+a交x轴于点A，B，交y轴于点C，点A的横坐标为﹣2．（1）求抛物线的对称轴和函数表达式．（2）连结BC线段，BC上有一点D，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，F，若EF＝6，求点D的坐标．2019--2020学年浙江省九年级上册数学（浙教版）《二次函数》试题分类——解答题（1）参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）对于抛物线yx2+4，令x＝0，得到y＝4，令y＝0，得到x＝±4，∴Q（0，4），A（﹣4，0），B（4，0），∴OP＝PQ，∴P（0，2），故答案为（0，2），（﹣4，0），（4，0）．（2）如图1中，连接MA，MB，设⊙M的半径为r．在Rt△OMB中，BM＝r，OB＝4，OM＝r﹣2由勾股定理得到，r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，∵MA＝BM，MO⊥AB，∴∠AMO＝∠BMO∠AMB，∵∠ACB∠AMB，∴∠ACB＝∠OMB，∵tan∠OMB，∴tan∠ACB．（3）如图2中，连接AD，过点C作CH⊥y轴于H．∵OA＝OB＝OD＝4，∴∠ADB＝90°∴AD＝BD＝4，∴CD＝AD•tan∠ACB＝3，∴AC＝5．∵∠CHD＝∠BOD＝90°，∠CDH＝∠ODB，∴△CHD∽△BOD，∴，∴CH＝3，DH＝4，∴PH＝9，∴PC3．（4）如图3中，连接CM，BM，EM，取BM的中点J，连接AJ，JE．∵MC＝MB，CE＝EB，∴ME⊥CB，∵MJ＝JB，∴JEBM，∵B（4，0），M（0，﹣3），A（﹣4，0），∴J（2，），∴AJ，∵AE≤AJ+JE，∴AE，∴AE的最大值为，∵直线AJ的解析式为yx﹣1，翻折后的抛物线的解析式为yx2﹣4，由，解得或，∴F（3，）．2．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）把（10，60）代入y＝a（x﹣30）2+100，得到a，故答案为．（2）当0≤x＜30时，设P＝kx+b，把（0，60），（10，80）代入得到，解得，∴P＝2x+60．当30≤x≤40时，设P＝k′x+b′，把（30，120），（40，100）代入得到，解得，∴P＝﹣2x+180．综上所述，P．（3）设利润为w．当0≤x＜30时，w＝2x+60﹣（x2+6x+10）x2﹣4x+50（x﹣20）2+10，∴当x＝20时，w有最小值，最小值为10（元/千克）．当30≤x≤40时，w＝﹣2x+180﹣（x2+6x+10）x2﹣8x+170（x﹣40）2+10，∴当x＝40时，最小利润w＝10（元/千克），综上所述，当20天或40天，最小利润为10元/千克．3．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当h＝0时，20t﹣5t2＝0，解得：t＝0或t＝4，答：经4秒后足球回到地面；（2）方方的说法对，理由：将h＝21代入公式得：21＝20t﹣5t25t2﹣20t+21＝0，由判别式计算可知：△＝（﹣20）2﹣4×5×21＝﹣20＜0，方程无解，将h＝20代入公式得：20＝20t﹣5t25t2﹣20t+20＝0，解得：t＝2（负值舍去），所以足球确实无法到达21米的高度，能达到20米，故方方的说法对．4．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3交于x轴上的点A，y轴上的点B，∴A（3，0），B（0，3），把A、B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）当抛物线经过点B时，抛物线与△PBA有且只有一个公共点，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴P（1，4），将抛物线向左平移m个单位，P对应点为（1﹣m，4），∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1+m）2+4，把B（0，3）代入得，3═﹣（﹣1+m）2+4，解得m1＝2，m2＝0（舍去），把A（3，0）代入得0＝﹣（2+m）2+4，解得m3＝﹣4，m4＝0（舍去）故m的值为2或﹣4．5．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵当x＝0时，h＝2；当x＝10时，h＝2．∴解得：∴h关于x的函数表达式为：h＝﹣x2+10x+2；（2）∵h＝﹣x2+10x+2＝﹣（x﹣5）2+27，∴斜抛物体的最大高度为27，达到最大高度时的水平距离为5．6．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）令x＝0，则c＝﹣4，将点B（2，0）代入y＝ax2+bx+c可得4a+2b﹣4＝0，∴2a+b＝2；（2）当a＞0时，∵A（0，﹣4）和B（2，0），∴对称轴x10，∴0＜a≤1；当a＜0时，对称轴x＝12，∴﹣1≤a＜0；综上所述：﹣1≤a≤1且a≠0；（3）①当m＝n时，M（p，m），N（﹣2﹣p，n）关于对称轴对称，∴对称轴x＝11，∴a；②将点N（﹣2﹣p，n）代入y＝﹣2x﹣3，∴n＝4+2p﹣3＝1+2p，∴N点在y＝﹣2x﹣3上，联立y＝﹣2x﹣3与y＝ax2+（2﹣2a）x﹣4有两个不同的实数根，∴ax2+（4﹣2a）x﹣1＝0，∵p+（﹣2﹣p），∴a＝1．7．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）将t＝2代入抛物线E中，得：y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2）．故答案为：（1，﹣2）；（2）将x＝2代入y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得y＝0，∴点A（2，0）在抛物线E上．（3）将x＝﹣1代入抛物线E的解析式中，得：n＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）＝6．（4）将抛物线E的解析式展开，得：y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）＝t（x﹣2）（x+1）﹣2x+4∴抛物线E必过定点（2，0）、（﹣1，6）．故答案为：A（2，0）、B（﹣1，6）；（5）将x＝2代入y＝﹣3x2+5x+2，y＝0，即点A在抛物线上．将x＝﹣1代入y＝﹣3x2+5x+2，计算得：y＝﹣6≠6，即可得抛物线y＝﹣3x2+5x+2不经过点B，二次函数y＝﹣3x2+5x+2不是二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4的一个“再生二次函数”．（6）如图，作矩形ABC1D1和矩形ABC2D2，过点B作BK⊥y轴于K，过点D1作D1G⊥x轴于G，过点C2作C2H⊥y轴于H，过点B作BM⊥x轴于M，C2H与BM交于点T．∵∠AMB＝∠BKC1，∠KBC1＝∠ABM，∴△KBC1∽△MBA，∴，∵AM＝3，BM＝6，BN＝1，∴，∴C1K，∴点C1（0，）．∵BC1＝AD1，∠AGD1＝∠BKC1＝90°，∠GAD1＝∠KBC1，∴△KBC1≌△GAD1（AAS），∴AG＝1，GD1，∴点D1（3，）．同理△OAD2∽△GAD1，∴，∵AG＝1，OA＝2，GD1，∴OD2＝1，∴点D2（0，﹣1）．同理△TBC2≌△OD2A，∴TC2＝AO＝2，BT＝OD2＝1，∴点C2（﹣3，5）．∵抛物线E总过定点A（2，0）、B（﹣1，6），∴符合条件的三点可能是A、B、C或A、B、D．当抛物线E经过A、B、C1时，将C1（0，）代入y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），解得t1；当抛物线经过A、B、D1时，将D1（3，）代入y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得到t，当抛物线经过A、B、C2时，将C2（﹣3，5）代入y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得到t，当抛物线经过A、B、D2时，将D2（0，﹣1）代入y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得到t，∴满足条件的所有t的值为：，，，．8．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设y＝kx+b，把（40，600），（75，250）代入可得，解得：，∴y＝﹣10x+1000，当x＝50时，y＝﹣10×50+1000＝500（件）；（2）根据题意得，W＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000．当x＝70时，利润的最大值为9000；（3）由题意，解得60≤x≤75，设成本为S，∴S＝40（﹣10x+1000）＝﹣400x+40000，∵﹣400＜0，∴S随x增大而减小，∴x＝75时，S有最小值＝10000元，答：每月的成本最少需要10000元．9．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，此时EC+ED为最小，则△EDC 的周长最小，抛物线的顶点D坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），将C′、D的坐标代入一次函数表达式并解得：∴直线C′D的表达式为：y＝7x﹣3，当y＝0时，x，故点E（，0），（3）①当点P在x轴上方时，如图2，∵OB＝OC＝3，则∠OCB＝45°＝∠APB，过点B作BH⊥AP于点H，设PH＝BH＝a，则PB＝PAa，由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，16＝a2+（a﹣a）2，解得：a2＝8+4，则PB2＝2a2＝16+8．②当点P在x轴下方时，同理可得．综合以上可得，PB2的值为16+8．10．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当1≤x≤10时，设n＝kx+b，由图知可知，解得，∴n＝20x+100，同理得，当10＜x≤30时，n＝﹣14x+440∴销售量n与第x天之间的函数关系式：n；（2）∵y＝mn﹣100∴y；整理得，y；（3）当1≤x≤10时，∵y＝4x2+60x+100的对称轴x，∴此时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大∴x＝10时，y取最大值，则y10＝1100，当10＜x＜15时∵yx2+60x+780的对称轴是x∴x在x＝11时，y取得最大值，此时y＝1101.2，当15≤x≤30时∵yx2x+2540的对称轴为x，∴此时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小∴x＝15时，y取最大值，y的最大值是y15＝1050，综上，文旦销售第11天时，日销售利润y最大，最大值是1102.2元．11．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得：y1＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x﹣1）2﹣9a，顶点坐标为：（1，﹣9a），将顶点坐标代入函数y＝2x+b表达式得：﹣9a＝2+b，故b＝﹣9a﹣2．12．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）n＝0时，△＝b2﹣4ac＝4m2＞0，故该函数的图象与x轴的交点个数为2；（2）将点A的坐标代入抛物线表达式得：n＝（n+5）2+2m（n+5）+n，解得：n＝﹣5或n＝﹣5﹣2m；（3）a＝1＞0，故抛物线开口向上，而p＜q＜r，即函数y随x的增大而增大，故则点（2，p），（3，q），（4，r）在函数对称轴的右侧，抛物线的对称轴为：x＝﹣m，即x＝﹣m＜2.5，解得：m＞﹣2.5且m≠0．13．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意可得，y1＝（40﹣a）（20+2a），当a＝5时，y1＝（40﹣5）×（20+2×5）＝1050，即当a＝5时，y1的值是1050；（2）由题意可得，y2＝（30﹣b）（32+2b）＝﹣2b2+28b+960，即y2关于b的函数表达式为y2＝﹣2b2+28b+960；（3）设两家下降的价格都为x元，两家的盈利和为w元，w＝（40﹣x）（20+2x）+（﹣2x2+28x+960）＝﹣4x2+88x+1760＝﹣4（x﹣11）2+2244，∴当x＝11时，w取得最大值，此时w＝2244，答：每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是2244元．14．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）将点B（4，m）代入yx，∴m，将点A（﹣1，0），B（4，），C（0，）代入y＝ax2+bx+c，解得a，b＝﹣1，c，∴函数解析式为yx2﹣x；（2）设P（n，n2﹣n），则经过点P且与直线yx垂直的直线解析式为y＝﹣2xn2+n，直线yx与其垂线的交点G（n2n，n2n），∴GP（﹣n2+3n+4），当n时，GP最大，此时△PAB的面积最大，∴P（，），∵AB，PG，∴△PAB的面积；（3）∵M（1，﹣2），A（﹣1，0），D（3，0），∴AM＝2，AD＝4，MD＝2，∴△MAD是等腰直角三角形，∵△QMN与△MAD相似，∴△QMN是等腰直角三角形，设N（t，t2﹣t）①如图1，当MQ⊥QN时，N（3，0）；②如图2，当QN⊥MN时，过点N作NR⊥x轴，过点M作MS⊥RN交于点S，∵QN＝MN，∠QNM＝90°，∴△MNS≌△NMS（AAS）∴t﹣1t2+t，∴t＝±，∴t＞1，∴t，∴N（，1）；③如图3，当QN⊥MQ时，过点Q作x轴的垂线，过点N作NS∥x轴，过点M作MR∥x轴，与过Q点的垂线分别交于点S、R；∵QN＝MQ，∠MQN＝90°，∴△MQR≌△QNS（AAS），∴SQ＝QR＝2，∴t+2＝1t2﹣t，∴t＝5，∴N（5，6）；④如图4，当MN⊥NQ时，过点M作MR⊥x轴，过点Q作QS⊥x轴，过点N作x轴的平行线，与两垂线交于点R、S；∵QN＝MN，∠MNQ＝90°，∴△MNR≌△NQS（AAS），∴SQ＝RN，∴t2﹣tt﹣1，∴t＝2±，∵t＞1，∴t＝2，∴N（2，1）；综上所述：N（3，0）或N（2，1）或N（5，6）或N（，1）．15．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设售价为x元/盏，月销售利润y元，根据题意得：y＝（x﹣30）[200+10（80﹣x）]＝﹣10x2+1300x﹣30000；（2）∵y＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250，∴当销售价定为65元时，所得月利润最大，最大月利润为12250元．16．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由图象可知，此时的产量为z＝40+10＝50，设直线BC的关系为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x+20，则第40天的利润为：（80﹣60）×50＝1000元；故答案为1000；（2）①（Ⅰ）当0≤x≤20时w＝（80﹣40）（x+10）＝40x+400，当x＝20时，w最大＝1200元；（Ⅱ）当20＜x≤50时，w＝[80﹣x﹣20）]（x+10）＝﹣x2+50x+600＝﹣（x﹣25）2+1225∴当x＝25时，w最大值＝1225；综上所述，第25天的利润最大，最大利润为1225元；②（Ⅰ）当0≤x≤20时，若w＝1000，则x＝15，第15天至20天的利润都不低于1000元；（Ⅱ）当20＜x≤50时，令﹣（x﹣25）2+1225＝1000，解得x1＝40，x2＝10（不合题意舍去），∴第21天至40天的利润都不低于1000元，此时，当天利润不低于1000元的天数为：26天．17．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当k＝2时，此函数为y＝x2﹣4x+2．令x2﹣4x+2＝0，解得x1＝2，x2＝2，所以此函数图象与x轴的交点坐标为（2，0），（2，0）；（2）∵函数图象的对称轴与原点的距离为2，∴±2，解得k＝2或﹣2．18．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）方程化为（m﹣1）x2+（2﹣m）x+1＝0，由已知可得m≠1，△＝m2﹣8m+8＝（m﹣4）2﹣8，∵m为整数，方程的根为有理数，∴m﹣4＝±3，∴m＝7或m＝1（舍）；（2）由已知可得A（，0），B（0，n），∵函数y＝﹣x2+2|x|+3的图象与线段AB只有一个交点，当3，n＜3时，∴n≤﹣6；当3，n≥3时，∴n≥3；当3，n≤3时，n不存在；当3，n≥3时，3≤n＜6；当直线与抛物线y＝﹣x2+2x+3相切时，也满足条件，可得n＝7，综上所述：n≤﹣6或3≤n＜6或7．19．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），如图，（2）当﹣1＜x＜3时，y＜0；当x＜0或x＞2时，y＞﹣3．20．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵A点的横坐标为﹣2，∴A（﹣2，0），∵点A在抛物线yx2+2x+a上，∴﹣2﹣4+a＝0，解得：a＝6，∴函数的解析式为：yx2+2x+6，∴对称轴为x2；（2）∵A（﹣2，0），对称轴为x＝2，∴点B的坐标为（6，0），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6，∵点D在BC上，∴设点D的坐标为（m，﹣m+6），∴点E和点F的纵坐标为﹣m+6，∴yx2+2x+6＝﹣m+6，解得：x＝2±，∴EF＝2（2）＝2，∵EF＝6，∴26，解得：m＝2.5，∴点D的坐标为（2.5，3.5）．。
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微专题四反比例函数、二次函数图象与性质的综合应用
姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟
1．如图，若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A，点B(－1，0)，则
①二次函数的最大值为a＋b＋c；
②a－b＋c＜0；
③b2－4ac＜0；
④当y＞0时，－1＜x＜3.其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数y＝k
x
(x＞0)的图象经过
点D，交BC边于点E.若△BDE的面积为1，则k＝______．
3．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y＝－5x2＋20x，请根据要求解答下列问题：
(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是多少？
(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
4．参照学习函数的过程与方法，探究函数y ＝x －2
x 的图象与性质．
因为y ＝x －2x ＝1－2x ，即y ＝－2x ＋1，所以我们对比函数y ＝－2
x 来探究．
列表：
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以y ＝x －2
x 相应的函
数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：
(1)请把y 轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连结起来； (2)观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x ＜0时，y 随x 的增大而________；(填“增大”或“减小”) ②y＝x －2x 的图象是由y ＝－2x 的图象向______平移______个单位而得到；
③图象关于点______________中心对称．(填点的坐标)
(3)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是函数y ＝x －2
x 的图象上的两点，且x 1＋x 2＝0，试求
y 1＋y 2＋3的值．
5.为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其他费用1万元．该产品每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示．
(1)求该网店每月利润w(万元)与销售单价x(元)之间的函数表达式；
(2)小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？
6．如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝m
x
与y＝
n
x
(x＞0，0＜m
＜n)的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4.
(1)当m＝4，n＝20时．
①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式；
②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
(2)四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．
参考答案
1．B 2.4
3．解：(1)当y＝15时，15＝－5x2＋20x，
解得x1＝1，x2＝3，
答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是1 s或3 s. (2)当y＝0时，0＝－5x2＋20x，
解得x1＝0，x2＝4
∵4－0＝4，
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s.
(3)y＝－5x2＋20x＝－5(x－2)2＋20，
∴当x＝2时，y取得最大值，此时，y＝20，
答：在飞行过程中，小球飞行高度在第2 s时最大，最大高度是20 m. 4．解：(1)画出函数图象如图所示．
(2)①增大 ②上 1 ③(0，1) (3)∵x 1＋x 2＝0，∴x 1＝－x 2.
∴A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)关于(0，1)对称， ∴y 1＋y 2＝2， ∴y 1＋y 2＋3＝5.
5．解：(1)设直线AB 的表达式为y ＝kx ＋b ，
代入A(4，4)，B(6，2)得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝4，
6k ＋b ＝2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，
b ＝8，
∴直线AB 的表达式为y ＝－x ＋8.
同理代入B(6，2)，C(8，1)可得直线BC 的表达式为y ＝－1
2x ＋5.
∵工资及其他费用为0.4×5＋1＝3(万元)，
∴当4≤x≤6时，w 1＝(x －4)(－x ＋8)－3＝－x 2＋12x －35， 当6<x≤8时，w 2＝(x －4)(－12x ＋5)－3＝－12x 2
＋7x －23.
(2)当4≤x≤6时，
w 1＝－x 2＋12x －35＝－(x －6)2＋1， ∴当x ＝6时，w 1取最大值是1. 当6<x≤8时，
w 2＝－12x 2＋7x －23＝－12(x －7)2
＋32，
当x ＝7时，w 2取最大值是32.
∴
1032
＝203＝623， 即最快在第7个月可还清10万元的无息贷款． 6．解：(1)①∵m＝4，∴反比例函数为y ＝4
x .
当x ＝4时，y ＝1，∴B(4，1)． 当y ＝2时，2＝4
x ，
∴x＝2，∴A(2，2)．
设直线AB 的表达式为y ＝kx ＋b ，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝2，4k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨
⎪⎧k ＝－1
2，
b ＝3，
∴直线AB 的表达式为y ＝－1
2x ＋3.
②四边形ABCD 是菱形．
理由如下：如图，由①知，B(4，1)．
∵BD∥y 轴，∴D(4，5)．
∵点P 是线段BD 的中点，∴P(4，3)．
当y ＝3时，由y ＝4x 得x ＝4
3，
由y ＝20x 得x ＝20
3
，
∴PA＝4－43＝83，PC ＝203－4＝83，
∴PA＝PC.
∵PB＝PD ，∴四边形ABCD 为平行四边形． ∵BD⊥AC，∴四边形ABCD 是菱形． (2)四边形ABCD 能是正方形．
理由如下：当四边形ABCD 是正方形时， PA ＝PB ＝PC ＝PD ＝t(t≠0)． 当x ＝4时，y ＝m x ＝m
4，
∴B(4，m
4
)，
∴A(4－t ，m 4＋t)，∴(4－t)(m
4
＋t)＝m ，
∴t＝4－m 4，∴点D 的纵坐标为m 4＋2t ＝m 4＋2(4－m 4)＝8－m
4，
∴D(4，8－m 4)，∴4(8－m
4)＝n ，
∴m＋n ＝32.。