高中数学人教B版选修2-1练习：3-2-5距离(选学)a
人教版数学高二B版选修2-1学业测评 3.距离(选学)
学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为( )A ．10B ．3C ．83D ．103【解析】 由题意可知PA →＝(1,2，－4)．设点P 到α的距离为h ，则h ＝|PA →·n ||n |＝103. 【答案】 D2．在△ABC 中，AB ＝15，∠BCA ＝120°，若△ABC 所在平面α外一点P 到A ，B ，C 的距离都是14，则P 到α的距离是( )A ．13B ．11C ．9D ．7【解析】 作PO ⊥α于点O ，连接OA ，OB ，OC ，∴PA ＝PB ＝PC ，∴OA ＝OB ＝OC ，∴O 是△ABC 的外心．∴OA ＝AB 2sin ∠BCA＝152sin 120°＝53，∴PO ＝PA 2－OA 2＝11即为所求．【答案】 B3．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离是( )A.6a 6 B ．3a 6 C ．3a 4D ．6a 3【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，0，a 2，B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，∴DM→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，0，a 2， DB →＝(a ，a,0)，DA 1→＝(a,0，a )．设平面MBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ax ＋a2z ＝0，ax ＋ay ＝0，令x ＝1，则可得n ＝(1，－1，－2)． ∴d ＝|DA 1→·n ||n |＝|a －2a |6＝66a .【答案】 A4．若正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为( )【导学号：15460082】A.33 B ．1 C ． 2D ． 3【解析】 如图，A 1C 1∥平面ABCD ，所以A 1C 1到平面ABCD 的距离等于点A 1到平面ABCD 的距离，由AB 1与平面ABCD 所成的角是60°，AB ＝1，所以BB 1＝3，即点A 1到平面ABCD 的距离为 3.【答案】 D5．已知二面角α-l -β为60°，动点P ，Q 分别在平面α，β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P ，Q 两点之间距离的最小值为( )A ．2B ．2C ．2 3D ．4【解析】 作PM ⊥β，QN ⊥α，垂足分别为M ，N .分别在平面α，β内作PE ⊥l ，QF ⊥l ，垂足分别为E ，F ，如图所示， 连接ME ，NF ，则ME ⊥l ，∴∠PEM 为二面角α-l -β的平面角，∴∠PEM ＝60°. 在Rt △PME 中，|PE →|＝|PM →|sin 60°＝3sin 60°＝2， 同理|QF→|＝4. 又PQ→＝PE →＋EF →＋FQ →， ∴|PQ →|2＝4＋|EF →|2＋16＋2PE →·EF →＋2PE →·FQ →＋2EF →·FQ →＝20＋|EF →|2＋2×2×4cos 120°＝12＋|EF→|2. ∴当|EF →|2取最小值0时，|PQ →|2最小，此时|PQ →|＝2 3. 【答案】 C 二、填空题6．如图3-2-42，已知在60°的二面角α-l-β中，A∈α，B∈β，AC⊥l于C，BD⊥l于D，并且AC＝1，BD＝2，AB＝5，则CD＝________.图3-2-42【解析】∵AC⊥l，BD⊥l，α-l-β为60°的二面角，∴〈CA→，DB→〉＝60°.∵AB→＝AC→＋CD→＋DB→，∴AB→2＝AC→2＋CD→2＋DB→2＋2AC→·CD→＋2AC→·DB→＋2CD→·DB→，∴52＝12＋CD→2＋4＋2·|AC→||DB→|×cos 〈AC→，DB→〉，∴CD→2＝20－2×1×2×cos 120°＝22，∴|CD→|＝22.【答案】227．在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则点D到平面PBC的距离是________．【解析】分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,1,0)，∴PC→＝(2,2，－2)，BC→＝(0,2,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBC 的法向量，则⎩⎨⎧n ·PC →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝0，y ＝0，取x ＝1，则n ＝(1,0,1)． 又BD→＝(－2,1,0)， ∴点D 到平面PBC 的距离为|BD →·n ||n |＝ 2. 【答案】28．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为________．【解析】 建立空间直角坐标系，则A 1(a,0，a )，D 1(0,0，a )，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，B 1(a ，a ，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，0，如图所示．设平面A 1D 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·A 1D 1→＝0，n ·A 1E →＝0， 即⎩⎨⎧(x ，y ，z )·(－a ，0，0)＝0，(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，－a 2＝0，∴－ax ＝0，ay －a2z ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝0，y ＝z 2，令z ＝2，得n ＝(0,1,2)．又FD 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a ，∴所求距离d ＝|FD 1→·n ||n |＝32a 5＝3510a .【答案】 3510a 三、解答题9．在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DA ＝2，E ，F 分别为PC ，AD 的中点．图3-2-43(1)证明：DE ∥平面PFB ； (2)求点E 到平面PFB 的距离．【解】 (1)证明：以D 为原点，建立如图所示的坐标系，则P (0,0,2)，F (1,0,0)，B (2,2,0)，E (0,1,1)． FP→＝(－1,0,2)，FB →＝(1,2,0)， DE→＝(0,1,1)． ∴DE→＝12FP →＋12FB →. ∴DE→∥平面PFB .又∵D ∉平面PFB ，∴DE ∥平面PFB . (2)令平面PFB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·FP →＝0，n ·FB →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2z ＝0，x ＋2y ＝0，令x ＝2， 则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1，z ＝1，∴法向量n ＝(2，－1,1)． 又∵PE→＝(0,1，－1)， ∴d ＝|PE →·n ||n |＝|0×2－1×1－1×1|6＝63.∴点E 到平面PFB 的距离为63.10．已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．(1)求点D 到平面PEF 的距离； (2)求直线AC 到平面PEF 的距离．【解】 (1)建立以D 为坐标原点，DA →，DC →，DP →分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系，如图所示．则P (0,0,1)，A (1,0,0)， C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－1，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，设平面PEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·EF →＝0，n ·PE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12x ＋12y ＝0，x ＋12y －z ＝0.令x ＝2，则y ＝2，z ＝3，所以n ＝(2,2,3)， 所以点D 到平面PEF 的距离为 d ＝|DE →·n ||n |＝|2＋1|4＋4＋9＝31717，因此，点D 到平面PEF 的距离为31717. (2)因为AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， 所以点A 到平面PEF 的距离为d ＝|AE →·n ||n |＝117＝1717，所以AC 到平面PEF 的距离为1717.1．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 分AC 1→的比为12，N 为BB 1的中点，则|MN |为( )A.216a B ．66a C ．156aD ．153a【解析】 以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.又∵M 分AC 1→的比为12，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 3，a 3， ∴|MN →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32 ＝216a . 【答案】 A2．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是C 1C ，D 1A 1，AB 的中点，求点A 到平面EFG 的距离为( )A ．3B ． 3C ．33D ．13【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,0,2)，G (2,1,0)， ∴EF→＝(1，－2,1)，EG →＝(2，－1，－1)，GA→＝(0，－1,0)， 设n ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的一个法向量， 则 ⎩⎨⎧n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋z ＝0，2x －y －z ＝0，∴x ＝y ＝z ，可取n ＝(1,1,1)，∴d ＝|GA →·n ||n |＝13＝33，即点A 到平面EFG 的距离为33.【答案】 C3．如图3-2-44，已知△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，SA ⊥平面ABC ，SA ＝BC ＝2，AB ＝4，M ，N ，D 分别是SC ，AB ，BC 的中点，则点A 到平面SND 的距离为________.【导学号：15460083】图3-2-44【解析】 建立如图的空间直角坐标系，则N (0,2,0)，S (0,0,2)，D (4,1,0)，∴NS →＝(0，－2,2)，SD →＝(4,1，－2)．设平面SND 的法向量为n ＝(x ，y,1)． ∵n ·NS →＝0， n ·SD→＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＋2＝0，4x ＋y －2＝0，∴⎩⎨⎧x ＝14，y ＝1.∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，1.∵AS →＝(0,0,2)．∴A 到平面SND 的距离为 |n ·AS →||n |＝2334＝83333. 【答案】833334．如图3-2-45，在四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA ＝PD ＝2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD ＝2AB ＝2BC ＝2，O 为AD 中点，问：线段AD 上是否存在一点Q ，使得它到平面PCD 的距离为32？若存在，求出AQ QD 的值；若不存在，说明理由．图3-2-45【解】 在△PAD 中，PA ＝PD ，O 为AD 中点，∴PO ⊥AD .又侧面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，∴PO ⊥平面ABCD .建立如图所示空间直角坐标系，易得A (0，－1,0)，B (1，－1,0)，C (1,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)，CP→＝(－1,0,1)，CD →＝(－1,1,0)． 假设存在点Q ，使它到平面PCD 的距离为32，设Q (0，y,0)(－1≤y ≤1)，CQ→＝(－1，y,0)．设平面PCD 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎨⎧ n ·CP →＝0，n ·CD →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x 0＋z 0＝0，－x 0＋y 0＝0， 即x 0＝y 0＝z 0，取x 0＝1，则平面PCD 的一个法向量为n ＝(1,1,1)．∴点Q到平面PCD的距离为d＝|CQ→·n||n|＝|－1＋y|3＝32，∴y＝－12或y＝52(舍去)．此时|AQ→|＝12，|QD→|＝32.∴存在点Q满足题意，此时AQQD ＝1 3.。
【金版优课】高二数学人教B版选修2-1练习：3-2-5距离(选学)a
03课堂效果落实1.已知A (1,3,3)，B (5,0,1)，则AB 的长度为( ) A.3 B.29 C ．7D ．3解析：因为AB →＝(4，－3，－2)， 所以|AB →|＝42＋(－3)2＋(－2)2＝29. 答案：B2．已知点P ∈α，Q ∉α，PQ →＝(－1，3，6)，n ＝(0,1，2)是平面α的一个法向量，则点Q 到平面α的距离为( )A. 3 B ．3 C. 6D ．2 6解析：d ＝|PQ →·n ||n |＝3＋233＝3.答案：B3．[2014·金华高二联考]如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点B 1到平面ACD 1的距离是( )A.23aB.233aC.13aD.33a解法一：如图，连BD ，交AC于O ，连D 1O 、B 1D 交点为H ， 可知DB 1⊥平面ACD 1.所以B 1H 就是点B 1到平面ACD 1的距离． 所以B 1H ＝23B 1D ＝233a .解法二：建立空间直角坐标系[D ；DA →，DC →，DD 1→]， 则A (a,0,0)，C (0，a,0)，D 1(0,0，a )，B 1(a ，a ，a )， 所以AC →＝(－a ，a,0)，AD 1→＝(－a,0，a )． 设平面ACD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧－ax ＋ay ＝0，－ax ＋az ＝0，取x ＝1，得n ＝(1,1,1)．又AB 1→＝(0，a ，a )，所以d ＝|AB 1→·n ||n |＝2a 3＝233a .答案：B4．空间四点A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (3,1,0)，则点D 到平面ABC 的距离是________．解析： 本题主要考查空间向量的坐标运算以及空间点到平面的距离的求法．由已知得AB →＝(2，－2,1)，AC →＝(4,0,6)，设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧AB →·n ＝0，AC →·n ＝0，，即⎩⎨⎧2x －2y ＋z ＝0，4x ＋6z ＝0，，令x ＝3，则y ＝2，z ＝－2，所以n ＝(3,2，－2)，AD →＝(1，－2，－1)，所以点D 到平面ABC 的距离＝|AD →·n ||n |＝1717.答案：17175．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝1，AA 1＝2，点E 为CC 1的中点，求点D 1到平面BDE 的距离．解：如图，建立空间直角坐标系[D ；DA →，DC →，DD 1→]，由已知B (1,1,0)，E (0,1,1)， 所以DB →＝(1,1,0)，DE →＝(0,1,1)． 设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧x ＋y ＝0，y ＋z ＝0，取y ＝1，得n ＝(－1,1，－1)．又DD 1→＝(0,0,2)，所以d ＝|DD 1→·n ||n |＝23＝233，即点D 1到平面BDE 的距离为233.。
2020版高中数学人教B版选修2-1课件：3.2.5 距离(选学) (2).pdf
高中数学选修2-1·精品课件3.2.5 距离（选学）第三章 空间向量与立体几何启动思维在平面几何中，我们曾经学习过距离的求法.在平面直角坐标系中，我们利用坐标和直线的方程研究了点到点、点到直线、直线到直线的距离，在立体几何中，还有那些距离问题？它们的定义是怎样的？如何利用向量进行求解呢？走进教材1.距离的概念：在几何学中，我们经常碰到要计算两个图形之间的距离.一个图形内的任一点与另一个图形内的任一点的距离中的最小距离，叫做图形与图形之间的距离.计算两点之间的距离和线段的长度是几何度量的最基本的课题.计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点之间的距离.2.点到平面的距离过平面α外一点P有惟一的一条直线P A⊥α，设A是垂足，B是α内异于A的任一点，由△P AB是直角三角形可得P A<PB，这就是说，连结平面α外一点P与α内一点的所有线段中，垂线段P A最短.一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做点到这个平面的距离.PA3.直线与平面的距离我们知道，如果一条直线平行于平面α，则直线上各点到平面所作的垂线段相等，即各点到α的距离相等，一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离叫做直线与平面的距离.线面距点面距4.两平行平面的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，叫做平行平面的公垂线段.面面距点面距典例导航题型一：点到平面的距离解：如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设直线AP上有一点M(0,0，z0)符合题意．设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，令z ＝1，得x =1，y =1.则由得x +y -2z =0，2y -2z =0，变式训练1.已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是B1C1、C1D1的中点．(1)求证：E、F、D、B共面；(2)求点A1到平面的DBEF的距离．典例导航题型二：直线到平面的距离例2 四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F、E分别为AD、PC的中点．(1)证明：DE∥平面PFB；(2)求DE到平面PFB的距离．变式训练2.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.(1)求证：直线CD1∥平面A1BC1；(2)求直线CD1与平面A1BC1间的距离．题型三：平面到平面的距离例3 在四棱锥O－ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N，R分别为OA，BC，AD的中点.求：平面MNR与平面OCD的距离．解：因为M，R分别为AO，AD的中点，所以MR∥OD.在正方形ABCD中，N，R分别为BC，AD的中点，所以NR∥CD.又MR∩NR＝R，所以平面MNR∥平面OCD.所以平面MNR与平面OCD的距离等于点N到平面OCD的距离.变式训练3.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，EB1＝1，D、F、G分别为CC1、B1C1、A1C1的中点，EF与B1D相交于点H. (1)求证：B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面EGF∥平面ABD；(3)求平面EGF与平面ABD的距离归纳小结空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离．。
2019-2020学年高中数学人教B版选修2-1课件： 3.2.5 距离
即点B到平面α的距离为5.
答案:5
类型一 求两点间的距离
【典例】1.如图,四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的
菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD= ,M为BC上一点,且
3
BM= 1 ,MP⊥AP,则PO的长为________.
2
2.如图,正方形ABCD,ABEF的边长都是1,而且平面 ABCD,ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动, 若CM=BN=a(0<a< 2 ).
(1)求MN的长. (2)a为何值时,MN的长最小?
【解题探究】1.典例1中如何建立空间直角坐标系?建 系后求PO长的关键是什么?
提示:以O为坐标原点, OA，OB，OP 的方向为x轴,y轴,z 轴的正方向建系,求PO长的关键是求点P的坐标.
2.典例2中,建系后为求点M,N的坐标需要计算哪些线段 的长度? 提示:需要计算点M到AB,BC的距离,点N到AB,BE的距离.
2
CM (2，1 ，3). 2
所以 | CM |
22 ( 1 )2 32 2
53 .
2
3.已知直线l过原点,一个方向向量为n=(1,1,1),则点 A(0,0,3)到直线l的距离为________.
【解析】设点A到直线l的距离为d,则
d= |OA|2 ( OA n )2 32 ( 3 )2 6.
3.直线与它的平行平面的距离 (1)如果一条直线平行于平面α,则直线上的各点到平 面α所作的垂线段_相__等__,即_各__点__到__α__的__距__离__相__等__. (2)一条直线上的任一点,与它平行的平面的距离,叫做 _直__线__与__这__个__平__面__的__距__离__.
高中数学人教B版选修2-1配套课件：：3.2.5距离(选学)
正三棱柱 ABC－A1B1C1 中各棱长为 1，D 是 AB 的中点，求 BC1 到平面 A1CD 的距离．
【解】 如图，以 D 为原点，分别以 DC、DB 所在直线
为 x，y 轴，建立空间直角坐标系，连接 AC1 与 A1C 交于 E， 则 E 为 AC1 中点．又∵D 为 AB 中点， ∴ED∥C1B，又∵ED⊂平面 A1CD，BC1⊄平面 A1CD， ∴BC1∥平面 A1CD， ∴BC1 到面 A1CD 的距离等于 B 到面 A1CD 的距离，
【解】 如图，建立空间直角坐标系 C－xyz，则 G(0,0,2)， → ＝(－2，－4， E(－2，－4,0)，B(0，－4,0)，F(－4，－2,0)，GE → → －2)，GF＝(－4，－2，－2)，BE＝(－2,0,0)． 设平面 EFG 的法向量为 n＝(x，y，z)，
→· →· 由GE n＝0 及GF n＝0
公垂线段的长度
，叫做两个平面 ，叫做两个
，叫做两个平
求点到平面的距离
如图 3－2－30 直三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱 AA1 ＝ 3，底面△ABC 中，∠C＝90° ，AC＝BC＝1，求点 B1 到平面 A1BC 的距离．
图 3－2－30
【思路探究】
【自主解答】 如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱 各顶点坐标如下：A(1,0,0)，B(0，1,0)，C(0,0,0)，A1(1,0， 3)， B1(0,1， 3)，C1(0,0， 3)
直线与它的平行平面的距离
1.如果一条直线平行于平面 α，则直线上的各点到平面 α 所作的垂线段 相等 ，即
各点到面α的距离相等
．
2．一条直线上的 任一点 ，到与它平行的平面的 距离 ， 叫做直线与这个平面的距离.
【步步高】高中数学 3.2.5距离(选学)配套名师课件 新人教B版选修2-1
P→C＝O→C－O→P＝(－2，－12，－3)，
PC＝|P→C|＝
4＋14＋9＝
53 2.
(D )
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3.2.5
4．在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AB＝1.若二面角 C—AB—C1
的大小为 60°，则点 C 到平面 ABC1 的距离为________．
答案
3 4
3.2.5
跟踪训练 3 已知正方形 ABCD 的边长为 1， PD⊥平面 ABCD，且 PD＝1，E、F 分别为 AB、BC 的中 点．求直线 AC 到平面 PEF 的距离．
解 建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0) ， P(0,0,1) ， A(1,0,0) ， C(0,1,0) ， E1，12，0，F12，1，0.
研一研·问题探究、课堂更高效
3.2.5
∵面 ADC⊥面 ABC，DE⊥AC，∴DE⊥面 ABC， ∴DE⊥BF，即D→E⊥F→B， ∴|D→B|2＝D→E2＋E→F2＋F→B2＝12454＋4295＋12454＝32357， ∴|D→B|＝ 3537.故 B、D 间的距离是 3537.
研一研·问题探究、课堂更高效
研一研·问题探究、课堂更高效
由nn11··AE→→EC1＝＝00，
得 0－·x2＋·x＋4·y0＋·y＋1＝2＝0，0，
即－4y＋2x1＋＝2＝0，0，
∴xy＝＝－1，14.
即 n1＝1，－14，1.又C→C1＝(0,0,3)．
3.2.5
研一研·问题探究、
26x＋3y＝0.
取 y＝－1，得 n＝( 6，－1,1)，又P→F＝0，32，－32，
故点 F 到平面 PCE 的距离为
d＝|P→|Fn·|n|＝－232－2 32＝342.
人教新课标版-数学-高二-数学人教B版选修2-1学案 3.2.5 距离(选学)
数学人教B 选修2-1第三章3.2.5 距离(选学)1．理解图形F 1与图形F 2的距离的概念．2．掌握四种距离的概念．3．会解决一些简单的距离问题．1．距离的概念一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的________，叫做图形与图形的距离．此概念中的图形不仅仅是平面图形，也包括空间图形．【做一做1】空间直角坐标系中，已知A (2,3,4)，B (－2,1,0)，C (1,1,1)，则C 到AB 中点的距离为( )A ．1B ． 3C ．2D ． 52．点到平面的距离一点到它在一个平面内________的距离，叫做点到这个平面的距离．求点到平面的距离时，一般是过该点作平面的垂线，也可利用等积法求解．【做一做2】在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点A 1到平面BB 1D 1D 的距离为( )A ．aB ．12a C ．34a D ．22a 3．直线与它的平行平面的距离一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离．求线面距离时，注意在l 上所取一点的位置，通常借助于面面垂直的性质过这一点作平面的垂线，从而转化为点到面的距离求解．【做一做3】正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则BC 到AB 1C 1D 的距离为( )A ．1B ．22C ． 2D ． 34．两个平行平面的距离(1)和两个平行平面________的直线，叫做两个平面的公垂线．(2)公垂线________平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．(3)两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离．两平行平面的公垂线段就是在一个平面内取一点作另一个平面的垂线段，这样公垂线段的长就是点到平面的距离，所以两平行平面的距离，可转化为点到平面的距离，可以用点到平面的距离求解．【做一做4】已知平面α∥平面β，空间一点到α的距离是4，到平面β的距离是2，则平面α与平面β的距离是( )A ．2B ．6C ．2或6D ．以上都错如何求点到平面的距离？剖析：如图，BO ⊥平面α，垂足为O ，则点B 到平面α的距离就是线段BO 的长度． 若AB 是平面α的任一条斜线段，则在Rt △BOA 中，|BO |＝|AB |·cos ∠ABO .如果令平面α的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到点B 到平面α的距离为|BO |＝||||AB n n ⋅.因此要求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：(1)求出该平面的一个法向量；(2)找出从该点出发到平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．由于n |n |＝n 0可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数量积的绝对值，即d ＝|AB ·n 0|.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．题型一 用向量求两点间的距离【例1】已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，求A 与C ′的距离．分析：解答本题可先用基底表示AC ′，然后平方求|AC ′|.反思：空间距离本质上是点与点的距离，求空间两点的距离常常转化为求向量的模；点与直线的距离可以运用三垂线定理作直线的垂线，再运用解三角形求．题型二 求点到平面的距离【例2】直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱AA 1＝3，在底面△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1，求点B 1到平面A 1BC 的距离．分析：直接作平面的垂线较难，故可考虑建立平面直角坐标系求解．反思：点到平面的距离的求法：①定义法即直接求所作公垂线段的长；②等体积转化法；③利用法向量求一个点到平面的距离可用点到平面的距离公式d ＝|PA ·n 0|＝||||PA n n ⋅，其中d为点P到平面的距离，A为平面内的一点，n0为平面的单位法向量，n为平面的法向量．题型三求平行平面的距离【例3】正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，求平面AB1D1与平面BDC1的距离．反思：求两平面之间的距离首先要判定两平面的位置关系即证明它们平行然后再求．面面距离通常转化为点面距离来求．1在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离为()A．63a B．36a C．34a D．66a2已知矩形ABCD的一边CD在平面α内，AC与α所成角为60°，若AB＝2，AD＝4，则AB到α的距离为()A．15 B． 5 C．10 D．33已知正四棱台ABCD－A1B1C1D1的上、下底面边长分别为2和4，侧面与下底面所成的角为45°，则两底面的距离为()A． 2 B．1 C．2 D．2 24把边长为a的正三角形ABC沿高AD折成60°的二面角B－AD－C，则点A到直线BC 的距离等于________．5平面α内的∠MON＝60°，PO是α的斜线段，PO＝3，且∠POM＝∠PON＝45°，则点P到α的距离为________．答案：基础知识·梳理1．最小值【做一做1】B用空间两点间的距离公式可求得距离为 3.2．正射影【做一做2】D设B1D1中点为O，则A1O即为点A1到平面BB1D1D的距离．可求得A1O＝2 2a.【做一做3】C设AB1中点为O，则BO即为BC到AB1C1D的距离．4．(1)同时垂直(2)夹在【做一做4】C这一点可能在两平面之间也可能在两平面的外侧．典型例题·领悟【例1】解：如图，因为AC →′＝AB ＋AD ＋AA →′，所以|AC ′→|2＝(AB ＋AD ＋AA →′)·(AB ＋AD ＋AA →′)＝|AB |2＋|AD |2＋|AA →′|2＋2(AB ·AD ＋AB ·AA →′＋AD ·AA →′)＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85，因此|AC →′|＝85.【例2】解：如图，建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，A 1(1,0，3)，B 1(0,1，3)，C 1(0,0，3)．则BC →＝(0，－1,0)，A 1C →＝(－1,0，－3)．设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即－x －3z ＝0，－y ＝0，令x ＝－3，则y ＝0，z ＝1，所以平面A 1BC 的一个法向量为n ＝(－3，0,1)．所以点B 1到平面A 1BC 的距离d ＝|n ·A 1B 1→||n |＝32. 【例3】解：建立坐标系如图，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，D (0,0,0)，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )，B 1(a ，a ，a )．∴AB 1→＝(0，a ，a )，AD 1→＝(－a ，0，a )，BC 1→＝(－a,0，a )，DC 1→＝(0，a ，a )．设n ＝(x ，y ，z )为平面AB 1D 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB 1→＝a (y ＋z )＝0，n ·AD 1→＝a (－x ＋z )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－z ，x ＝z . 取z ＝1，则n ＝(1，－1,1)．又∵AD 1∥BC 1，AB 1∥DC 1，AD 1∩AB 1＝A ，DC 1∩BC 1＝C 1，∴平面AB 1D 1∥平面BDC 1. ∴两平面间的距离可转化为点C 1到平面AB 1D 1的距离d .∵C 1B 1→＝(a,0,0)，平面AB 1D 1的法向量为n ＝(1，－1,1)，∴d ＝|C 1B 1→·n ||n |＝|a |3＝33a . 随堂练习·巩固1．D 点A 1到平面MBD 的距离等于点A 到平面MBD 的距离，利用V M －ABD ＝V A －MBD 求解．2．A 如图，作AE ⊥α于点E ，由三垂线逆定理可得ED ⊥DC ，AC ＝42＋22＝25，AE ＝AC sin 60°.3．B4．154a 5． 3。
2020年高考数学人教B版典例透析能力提升升选修2-1课件：3.2.5 距离(选学)
到平面
A1BC
的距离
d=
|������·������1������1| |������|
=
23.
-10-
题型一
目标导航 题型二
知识梳理
重难聚焦
典典例例透透析析
随堂演练
反思点到平面的距离的求法:
(1)定义法即直接求所作公垂线段的长;
(2)等体积转化法;
(3)利用法向量求一个点到平面的距离可用点到平面的距离公
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解:如图,建立空间直角坐标系,
由已知得直三棱柱各顶点坐标:
A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0, 3), ������1(0,1, 3), ������1(0,0, 3), 则������1������1 = (−1,1,0), ������������ = (0, −1,0), ������1������ = (−1,0, − 3).
随堂演练
3.直线与它的平行平面的距离
一条直线上的任一点,与它平行的平面的距离,叫做直线与这个
平面的距离.
名师点拨求线面距离时,注意在l上所取一点的位置,通常借助于
面面垂直的性质过这一点作平面的垂线,从而转化为点到面的距离
求解.
【做一做3】 已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2,则BC到
A.
6 3
������B.
3 6
������C.
3 4
������D.
6 6
������
答案:D
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03课堂效果落实
1.已知A (1,3,3)，B (5,0,1)，则AB 的长度为( ) A.3 B.29 C ．7
D ．3
解析：因为AB →
＝(4，－3，－2)， 所以|AB →
|＝42＋(－3)2＋(－2)2 ＝29. 答案：B
2．已知点P ∈α，Q ∉α，PQ →
＝(－1，3，6)，n ＝(0,1，2)是平面α的一个法向量，则点Q 到平面α的距离为( )
A. 3 B ．3 C. 6
D ．2 6
解析：d ＝|PQ →
·n |
|n |＝3＋233＝3.
答案：B
3．[2014·金华高二联考]如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点B 1到平面ACD 1的距离是( )
A.2
3a
B.233a
C.13a
D.33a
解法一：如图，连BD ，交AC
于O ，
连D 1O 、B 1D 交点为H ， 可知DB 1⊥平面ACD 1.
所以B 1H 就是点B 1到平面ACD 1的距离． 所以B 1H ＝23B 1D ＝23
3a .
解法二：建立空间直角坐标系[D ；DA →，DC →，DD 1→
]， 则A (a,0,0)，C (0，a,0)，D 1(0,0，a )，B 1(a ，a ，a )， 所以AC →＝(－a ，a,0)，AD 1→
＝(－a,0，a )． 设平面ACD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
－ax ＋ay ＝0，－ax ＋az ＝0，取x ＝1，得n ＝(1,1,1)． 又AB 1→
＝(0，a ，a )， 所以d ＝|AB 1→·n ||n |＝2a 3＝23
3a .
答案：B
4．空间四点A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (3,1,0)，则点D 到
平面ABC 的距离是________．
解析： 本题主要考查空间向量的坐标运算以及空间点到平面的距离的求法．由已知得AB →＝(2，－2,1)，AC →
＝(4,0,6)，设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧
AB →·n ＝0，
AC →
·n ＝0，
，即⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －2y ＋z ＝0，
4x ＋6z ＝0，，令x
＝3，则y ＝2，z ＝－2，所以n ＝(3,2，－2)，AD →
＝(1，－2，－1)，所以点D 到平面ABC 的距离＝|AD →·n ||n |
＝17
17.
答案：17
17
5．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝1，AA 1＝2，点E 为CC 1的中点，求点D 1到平面BDE 的距离．
解：如图，建立空间直角坐标系[D ；DA →，DC →，DD 1
→
]，
由已知B (1,1,0)，E (0,1,1)， 所以DB →＝(1,1,0)，DE →
＝(0,1,1)． 设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝0，y ＋z ＝0，取y ＝1，得n ＝(－1,1，－1)． 又DD 1→
＝(0,0,2)，
所以d ＝|DD 1→·n ||n |＝23＝23
3，
即点D 1到平面BDE 的距离为23
3.。