高中数学人教B版选修2-1练习：3-2-5距离(选学)a
03课堂效果落实
1.已知A (1,3,3)，B (5,0,1)，则AB 的长度为( ) A.3 B.29 C ．7
D ．3
解析：因为AB →
＝(4，－3，－2)， 所以|AB →
|＝42＋(－3)2＋(－2)2 ＝29. 答案：B
2．已知点P ∈α，Q ∉α，PQ →
＝(－1，3，6)，n ＝(0,1，2)是平面α的一个法向量，则点Q 到平面α的距离为( )
A. 3 B ．3 C. 6
D ．2 6
解析：d ＝|PQ →
·n |
|n |＝3＋233＝3.
答案：B
3．[2014·金华高二联考]如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点B 1到平面ACD 1的距离是( )
A.2
3a
B.233a
C.13a
D.33a
解法一：如图，连BD ，交AC
于O ，
连D 1O 、B 1D 交点为H ， 可知DB 1⊥平面ACD 1.
所以B 1H 就是点B 1到平面ACD 1的距离． 所以B 1H ＝23B 1D ＝23
3a .
解法二：建立空间直角坐标系[D ；DA →，DC →，DD 1→
]， 则A (a,0,0)，C (0，a,0)，D 1(0,0，a )，B 1(a ，a ，a )， 所以AC →＝(－a ，a,0)，AD 1→
＝(－a,0，a )． 设平面ACD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
－ax ＋ay ＝0，－ax ＋az ＝0，取x ＝1，得n ＝(1,1,1)． 又AB 1→
＝(0，a ，a )， 所以d ＝|AB 1→·n ||n |＝2a 3＝23
3a .
答案：B
4．空间四点A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (3,1,0)，则点D 到
平面ABC 的距离是________．
解析： 本题主要考查空间向量的坐标运算以及空间点到平面的距离的求法．由已知得AB →＝(2，－2,1)，AC →
＝(4,0,6)，设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧
AB →·n ＝0，
AC →
·n ＝0，
，即⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －2y ＋z ＝0，
4x ＋6z ＝0，，令x
＝3，则y ＝2，z ＝－2，所以n ＝(3,2，－2)，AD →
＝(1，－2，－1)，所以点D 到平面ABC 的距离＝|AD →·n ||n |
＝17
17.
答案：17
17
5．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝1，AA 1＝2，点E 为CC 1的中点，求点D 1到平面BDE 的距离．
解：如图，建立空间直角坐标系[D ；DA →，DC →，DD 1
→
]，
由已知B (1,1,0)，E (0,1,1)， 所以DB →＝(1,1,0)，DE →
＝(0,1,1)． 设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝0，y ＋z ＝0，取y ＝1，得n ＝(－1,1，－1)． 又DD 1→
＝(0,0,2)，
所以d ＝|DD 1→·n ||n |＝23＝23
3，
即点D 1到平面BDE 的距离为23
3.。
人教版数学高二B版选修2-1学业测评 3.距离(选学)
学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为( )A ．10B ．3C ．83D ．103【解析】 由题意可知PA →＝(1,2，－4)．设点P 到α的距离为h ，则h ＝|PA →·n ||n |＝103. 【答案】 D2．在△ABC 中，AB ＝15，∠BCA ＝120°，若△ABC 所在平面α外一点P 到A ，B ，C 的距离都是14，则P 到α的距离是( )A ．13B ．11C ．9D ．7【解析】 作PO ⊥α于点O ，连接OA ，OB ，OC ，∴PA ＝PB ＝PC ，∴OA ＝OB ＝OC ，∴O 是△ABC 的外心．∴OA ＝AB 2sin ∠BCA＝152sin 120°＝53，∴PO ＝PA 2－OA 2＝11即为所求．【答案】 B3．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离是( )A.6a 6 B ．3a 6 C ．3a 4D ．6a 3【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，0，a 2，B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，∴DM→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，0，a 2， DB →＝(a ，a,0)，DA 1→＝(a,0，a )．设平面MBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ax ＋a2z ＝0，ax ＋ay ＝0，令x ＝1，则可得n ＝(1，－1，－2)． ∴d ＝|DA 1→·n ||n |＝|a －2a |6＝66a .【答案】 A4．若正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为( )【导学号：15460082】A.33 B ．1 C ． 2D ． 3【解析】 如图，A 1C 1∥平面ABCD ，所以A 1C 1到平面ABCD 的距离等于点A 1到平面ABCD 的距离，由AB 1与平面ABCD 所成的角是60°，AB ＝1，所以BB 1＝3，即点A 1到平面ABCD 的距离为 3.【答案】 D5．已知二面角α-l -β为60°，动点P ，Q 分别在平面α，β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P ，Q 两点之间距离的最小值为( )A ．2B ．2C ．2 3D ．4【解析】 作PM ⊥β，QN ⊥α，垂足分别为M ，N .分别在平面α，β内作PE ⊥l ，QF ⊥l ，垂足分别为E ，F ，如图所示， 连接ME ，NF ，则ME ⊥l ，∴∠PEM 为二面角α-l -β的平面角，∴∠PEM ＝60°. 在Rt △PME 中，|PE →|＝|PM →|sin 60°＝3sin 60°＝2， 同理|QF→|＝4. 又PQ→＝PE →＋EF →＋FQ →， ∴|PQ →|2＝4＋|EF →|2＋16＋2PE →·EF →＋2PE →·FQ →＋2EF →·FQ →＝20＋|EF →|2＋2×2×4cos 120°＝12＋|EF→|2. ∴当|EF →|2取最小值0时，|PQ →|2最小，此时|PQ →|＝2 3. 【答案】 C 二、填空题6．如图3-2-42，已知在60°的二面角α-l-β中，A∈α，B∈β，AC⊥l于C，BD⊥l于D，并且AC＝1，BD＝2，AB＝5，则CD＝________.图3-2-42【解析】∵AC⊥l，BD⊥l，α-l-β为60°的二面角，∴〈CA→，DB→〉＝60°.∵AB→＝AC→＋CD→＋DB→，∴AB→2＝AC→2＋CD→2＋DB→2＋2AC→·CD→＋2AC→·DB→＋2CD→·DB→，∴52＝12＋CD→2＋4＋2·|AC→||DB→|×cos 〈AC→，DB→〉，∴CD→2＝20－2×1×2×cos 120°＝22，∴|CD→|＝22.【答案】227．在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则点D到平面PBC的距离是________．【解析】分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,1,0)，∴PC→＝(2,2，－2)，BC→＝(0,2,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBC 的法向量，则⎩⎨⎧n ·PC →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝0，y ＝0，取x ＝1，则n ＝(1,0,1)． 又BD→＝(－2,1,0)， ∴点D 到平面PBC 的距离为|BD →·n ||n |＝ 2. 【答案】28．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为________．【解析】 建立空间直角坐标系，则A 1(a,0，a )，D 1(0,0，a )，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，B 1(a ，a ，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，0，如图所示．设平面A 1D 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·A 1D 1→＝0，n ·A 1E →＝0， 即⎩⎨⎧(x ，y ，z )·(－a ，0，0)＝0，(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，－a 2＝0，∴－ax ＝0，ay －a2z ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝0，y ＝z 2，令z ＝2，得n ＝(0,1,2)．又FD 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a ，∴所求距离d ＝|FD 1→·n ||n |＝32a 5＝3510a .【答案】 3510a 三、解答题9．在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DA ＝2，E ，F 分别为PC ，AD 的中点．图3-2-43(1)证明：DE ∥平面PFB ； (2)求点E 到平面PFB 的距离．【解】 (1)证明：以D 为原点，建立如图所示的坐标系，则P (0,0,2)，F (1,0,0)，B (2,2,0)，E (0,1,1)． FP→＝(－1,0,2)，FB →＝(1,2,0)， DE→＝(0,1,1)． ∴DE→＝12FP →＋12FB →. ∴DE→∥平面PFB .又∵D ∉平面PFB ，∴DE ∥平面PFB . (2)令平面PFB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·FP →＝0，n ·FB →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2z ＝0，x ＋2y ＝0，令x ＝2， 则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1，z ＝1，∴法向量n ＝(2，－1,1)． 又∵PE→＝(0,1，－1)， ∴d ＝|PE →·n ||n |＝|0×2－1×1－1×1|6＝63.∴点E 到平面PFB 的距离为63.10．已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．(1)求点D 到平面PEF 的距离； (2)求直线AC 到平面PEF 的距离．【解】 (1)建立以D 为坐标原点，DA →，DC →，DP →分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系，如图所示．则P (0,0,1)，A (1,0,0)， C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－1，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，设平面PEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·EF →＝0，n ·PE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12x ＋12y ＝0，x ＋12y －z ＝0.令x ＝2，则y ＝2，z ＝3，所以n ＝(2,2,3)， 所以点D 到平面PEF 的距离为 d ＝|DE →·n ||n |＝|2＋1|4＋4＋9＝31717，因此，点D 到平面PEF 的距离为31717. (2)因为AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， 所以点A 到平面PEF 的距离为d ＝|AE →·n ||n |＝117＝1717，所以AC 到平面PEF 的距离为1717.1．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 分AC 1→的比为12，N 为BB 1的中点，则|MN |为( )A.216a B ．66a C ．156aD ．153a【解析】 以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2.又∵M 分AC 1→的比为12，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 3，a 3， ∴|MN →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32 ＝216a . 【答案】 A2．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是C 1C ，D 1A 1，AB 的中点，求点A 到平面EFG 的距离为( )A ．3B ． 3C ．33D ．13【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,0,2)，G (2,1,0)， ∴EF→＝(1，－2,1)，EG →＝(2，－1，－1)，GA→＝(0，－1,0)， 设n ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的一个法向量， 则 ⎩⎨⎧n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋z ＝0，2x －y －z ＝0，∴x ＝y ＝z ，可取n ＝(1,1,1)，∴d ＝|GA →·n ||n |＝13＝33，即点A 到平面EFG 的距离为33.【答案】 C3．如图3-2-44，已知△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，SA ⊥平面ABC ，SA ＝BC ＝2，AB ＝4，M ，N ，D 分别是SC ，AB ，BC 的中点，则点A 到平面SND 的距离为________.【导学号：15460083】图3-2-44【解析】 建立如图的空间直角坐标系，则N (0,2,0)，S (0,0,2)，D (4,1,0)，∴NS →＝(0，－2,2)，SD →＝(4,1，－2)．设平面SND 的法向量为n ＝(x ，y,1)． ∵n ·NS →＝0， n ·SD→＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＋2＝0，4x ＋y －2＝0，∴⎩⎨⎧x ＝14，y ＝1.∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，1.∵AS →＝(0,0,2)．∴A 到平面SND 的距离为 |n ·AS →||n |＝2334＝83333. 【答案】833334．如图3-2-45，在四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA ＝PD ＝2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD ＝2AB ＝2BC ＝2，O 为AD 中点，问：线段AD 上是否存在一点Q ，使得它到平面PCD 的距离为32？若存在，求出AQ QD 的值；若不存在，说明理由．图3-2-45【解】 在△PAD 中，PA ＝PD ，O 为AD 中点，∴PO ⊥AD .又侧面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，∴PO ⊥平面ABCD .建立如图所示空间直角坐标系，易得A (0，－1,0)，B (1，－1,0)，C (1,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)，CP→＝(－1,0,1)，CD →＝(－1,1,0)． 假设存在点Q ，使它到平面PCD 的距离为32，设Q (0，y,0)(－1≤y ≤1)，CQ→＝(－1，y,0)．设平面PCD 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎨⎧ n ·CP →＝0，n ·CD →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x 0＋z 0＝0，－x 0＋y 0＝0， 即x 0＝y 0＝z 0，取x 0＝1，则平面PCD 的一个法向量为n ＝(1,1,1)．∴点Q到平面PCD的距离为d＝|CQ→·n||n|＝|－1＋y|3＝32，∴y＝－12或y＝52(舍去)．此时|AQ→|＝12，|QD→|＝32.∴存在点Q满足题意，此时AQQD ＝1 3.。
【金版优课】高二数学人教B版选修2-1练习：3-2-5距离(选学)a
03课堂效果落实1.已知A (1,3,3)，B (5,0,1)，则AB 的长度为( ) A.3 B.29 C ．7D ．3解析：因为AB →＝(4，－3，－2)， 所以|AB →|＝42＋(－3)2＋(－2)2＝29. 答案：B2．已知点P ∈α，Q ∉α，PQ →＝(－1，3，6)，n ＝(0,1，2)是平面α的一个法向量，则点Q 到平面α的距离为( )A. 3 B ．3 C. 6D ．2 6解析：d ＝|PQ →·n ||n |＝3＋233＝3.答案：B3．[2014·金华高二联考]如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点B 1到平面ACD 1的距离是( )A.23aB.233aC.13aD.33a解法一：如图，连BD ，交AC于O ，连D 1O 、B 1D 交点为H ， 可知DB 1⊥平面ACD 1.所以B 1H 就是点B 1到平面ACD 1的距离． 所以B 1H ＝23B 1D ＝233a .解法二：建立空间直角坐标系[D ；DA →，DC →，DD 1→]， 则A (a,0,0)，C (0，a,0)，D 1(0,0，a )，B 1(a ，a ，a )， 所以AC →＝(－a ，a,0)，AD 1→＝(－a,0，a )． 设平面ACD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧－ax ＋ay ＝0，－ax ＋az ＝0，取x ＝1，得n ＝(1,1,1)．又AB 1→＝(0，a ，a )，所以d ＝|AB 1→·n ||n |＝2a 3＝233a .答案：B4．空间四点A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (3,1,0)，则点D 到平面ABC 的距离是________．解析： 本题主要考查空间向量的坐标运算以及空间点到平面的距离的求法．由已知得AB →＝(2，－2,1)，AC →＝(4,0,6)，设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧AB →·n ＝0，AC →·n ＝0，，即⎩⎨⎧2x －2y ＋z ＝0，4x ＋6z ＝0，，令x ＝3，则y ＝2，z ＝－2，所以n ＝(3,2，－2)，AD →＝(1，－2，－1)，所以点D 到平面ABC 的距离＝|AD →·n ||n |＝1717.答案：17175．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝1，AA 1＝2，点E 为CC 1的中点，求点D 1到平面BDE 的距离．解：如图，建立空间直角坐标系[D ；DA →，DC →，DD 1→]，由已知B (1,1,0)，E (0,1,1)， 所以DB →＝(1,1,0)，DE →＝(0,1,1)． 设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧x ＋y ＝0，y ＋z ＝0，取y ＝1，得n ＝(－1,1，－1)．又DD 1→＝(0,0,2)，所以d ＝|DD 1→·n ||n |＝23＝233，即点D 1到平面BDE 的距离为233.。
2020版高中数学人教B版选修2-1课件：3.2.5 距离(选学) (2).pdf
高中数学选修2-1·精品课件3.2.5 距离（选学）第三章 空间向量与立体几何启动思维在平面几何中，我们曾经学习过距离的求法.在平面直角坐标系中，我们利用坐标和直线的方程研究了点到点、点到直线、直线到直线的距离，在立体几何中，还有那些距离问题？它们的定义是怎样的？如何利用向量进行求解呢？走进教材1.距离的概念：在几何学中，我们经常碰到要计算两个图形之间的距离.一个图形内的任一点与另一个图形内的任一点的距离中的最小距离，叫做图形与图形之间的距离.计算两点之间的距离和线段的长度是几何度量的最基本的课题.计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点之间的距离.2.点到平面的距离过平面α外一点P有惟一的一条直线P A⊥α，设A是垂足，B是α内异于A的任一点，由△P AB是直角三角形可得P A<PB，这就是说，连结平面α外一点P与α内一点的所有线段中，垂线段P A最短.一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做点到这个平面的距离.PA3.直线与平面的距离我们知道，如果一条直线平行于平面α，则直线上各点到平面所作的垂线段相等，即各点到α的距离相等，一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离叫做直线与平面的距离.线面距点面距4.两平行平面的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，叫做平行平面的公垂线段.面面距点面距典例导航题型一：点到平面的距离解：如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设直线AP上有一点M(0,0，z0)符合题意．设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，令z ＝1，得x =1，y =1.则由得x +y -2z =0，2y -2z =0，变式训练1.已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是B1C1、C1D1的中点．(1)求证：E、F、D、B共面；(2)求点A1到平面的DBEF的距离．典例导航题型二：直线到平面的距离例2 四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F、E分别为AD、PC的中点．(1)证明：DE∥平面PFB；(2)求DE到平面PFB的距离．变式训练2.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.(1)求证：直线CD1∥平面A1BC1；(2)求直线CD1与平面A1BC1间的距离．题型三：平面到平面的距离例3 在四棱锥O－ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N，R分别为OA，BC，AD的中点.求：平面MNR与平面OCD的距离．解：因为M，R分别为AO，AD的中点，所以MR∥OD.在正方形ABCD中，N，R分别为BC，AD的中点，所以NR∥CD.又MR∩NR＝R，所以平面MNR∥平面OCD.所以平面MNR与平面OCD的距离等于点N到平面OCD的距离.变式训练3.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，EB1＝1，D、F、G分别为CC1、B1C1、A1C1的中点，EF与B1D相交于点H. (1)求证：B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面EGF∥平面ABD；(3)求平面EGF与平面ABD的距离归纳小结空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离．。
2019-2020学年高中数学人教B版选修2-1课件： 3.2.5 距离
即点B到平面α的距离为5.
答案:5
类型一 求两点间的距离
【典例】1.如图,四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的
菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD= ,M为BC上一点,且
3
BM= 1 ,MP⊥AP,则PO的长为________.
2
2.如图,正方形ABCD,ABEF的边长都是1,而且平面 ABCD,ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动, 若CM=BN=a(0<a< 2 ).
(1)求MN的长. (2)a为何值时,MN的长最小?
【解题探究】1.典例1中如何建立空间直角坐标系?建 系后求PO长的关键是什么?
提示:以O为坐标原点, OA，OB，OP 的方向为x轴,y轴,z 轴的正方向建系,求PO长的关键是求点P的坐标.
2.典例2中,建系后为求点M,N的坐标需要计算哪些线段 的长度? 提示:需要计算点M到AB,BC的距离,点N到AB,BE的距离.
2
CM (2，1 ，3). 2
所以 | CM |
22 ( 1 )2 32 2
53 .
2
3.已知直线l过原点,一个方向向量为n=(1,1,1),则点 A(0,0,3)到直线l的距离为________.
【解析】设点A到直线l的距离为d,则
d= |OA|2 ( OA n )2 32 ( 3 )2 6.
3.直线与它的平行平面的距离 (1)如果一条直线平行于平面α,则直线上的各点到平 面α所作的垂线段_相__等__,即_各__点__到__α__的__距__离__相__等__. (2)一条直线上的任一点,与它平行的平面的距离,叫做 _直__线__与__这__个__平__面__的__距__离__.
高中数学人教B版选修2-1配套课件：：3.2.5距离(选学)
正三棱柱 ABC－A1B1C1 中各棱长为 1，D 是 AB 的中点，求 BC1 到平面 A1CD 的距离．
【解】 如图，以 D 为原点，分别以 DC、DB 所在直线
为 x，y 轴，建立空间直角坐标系，连接 AC1 与 A1C 交于 E， 则 E 为 AC1 中点．又∵D 为 AB 中点， ∴ED∥C1B，又∵ED⊂平面 A1CD，BC1⊄平面 A1CD， ∴BC1∥平面 A1CD， ∴BC1 到面 A1CD 的距离等于 B 到面 A1CD 的距离，
【解】 如图，建立空间直角坐标系 C－xyz，则 G(0,0,2)， → ＝(－2，－4， E(－2，－4,0)，B(0，－4,0)，F(－4，－2,0)，GE → → －2)，GF＝(－4，－2，－2)，BE＝(－2,0,0)． 设平面 EFG 的法向量为 n＝(x，y，z)，
→· →· 由GE n＝0 及GF n＝0
公垂线段的长度
，叫做两个平面 ，叫做两个
，叫做两个平
求点到平面的距离
如图 3－2－30 直三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱 AA1 ＝ 3，底面△ABC 中，∠C＝90° ，AC＝BC＝1，求点 B1 到平面 A1BC 的距离．
图 3－2－30
【思路探究】
【自主解答】 如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱 各顶点坐标如下：A(1,0,0)，B(0，1,0)，C(0,0,0)，A1(1,0， 3)， B1(0,1， 3)，C1(0,0， 3)
直线与它的平行平面的距离
1.如果一条直线平行于平面 α，则直线上的各点到平面 α 所作的垂线段 相等 ，即
各点到面α的距离相等
．
2．一条直线上的 任一点 ，到与它平行的平面的 距离 ， 叫做直线与这个平面的距离.
【步步高】高中数学 3.2.5距离(选学)配套名师课件 新人教B版选修2-1
P→C＝O→C－O→P＝(－2，－12，－3)，
PC＝|P→C|＝
4＋14＋9＝
53 2.
(D )
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3.2.5
4．在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AB＝1.若二面角 C—AB—C1
的大小为 60°，则点 C 到平面 ABC1 的距离为________．
答案
3 4
3.2.5
跟踪训练 3 已知正方形 ABCD 的边长为 1， PD⊥平面 ABCD，且 PD＝1，E、F 分别为 AB、BC 的中 点．求直线 AC 到平面 PEF 的距离．
解 建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0) ， P(0,0,1) ， A(1,0,0) ， C(0,1,0) ， E1，12，0，F12，1，0.
研一研·问题探究、课堂更高效
3.2.5
∵面 ADC⊥面 ABC，DE⊥AC，∴DE⊥面 ABC， ∴DE⊥BF，即D→E⊥F→B， ∴|D→B|2＝D→E2＋E→F2＋F→B2＝12454＋4295＋12454＝32357， ∴|D→B|＝ 3537.故 B、D 间的距离是 3537.
研一研·问题探究、课堂更高效
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由nn11··AE→→EC1＝＝00，
得 0－·x2＋·x＋4·y0＋·y＋1＝2＝0，0，
即－4y＋2x1＋＝2＝0，0，
∴xy＝＝－1，14.
即 n1＝1，－14，1.又C→C1＝(0,0,3)．
3.2.5
研一研·问题探究、
26x＋3y＝0.
取 y＝－1，得 n＝( 6，－1,1)，又P→F＝0，32，－32，
故点 F 到平面 PCE 的距离为
d＝|P→|Fn·|n|＝－232－2 32＝342.
人教新课标版-数学-高二-数学人教B版选修2-1学案 3.2.5 距离(选学)
数学人教B 选修2-1第三章3.2.5 距离(选学)1．理解图形F 1与图形F 2的距离的概念．2．掌握四种距离的概念．3．会解决一些简单的距离问题．1．距离的概念一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的________，叫做图形与图形的距离．此概念中的图形不仅仅是平面图形，也包括空间图形．【做一做1】空间直角坐标系中，已知A (2,3,4)，B (－2,1,0)，C (1,1,1)，则C 到AB 中点的距离为( )A ．1B ． 3C ．2D ． 52．点到平面的距离一点到它在一个平面内________的距离，叫做点到这个平面的距离．求点到平面的距离时，一般是过该点作平面的垂线，也可利用等积法求解．【做一做2】在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点A 1到平面BB 1D 1D 的距离为( )A ．aB ．12a C ．34a D ．22a 3．直线与它的平行平面的距离一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离．求线面距离时，注意在l 上所取一点的位置，通常借助于面面垂直的性质过这一点作平面的垂线，从而转化为点到面的距离求解．【做一做3】正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则BC 到AB 1C 1D 的距离为( )A ．1B ．22C ． 2D ． 34．两个平行平面的距离(1)和两个平行平面________的直线，叫做两个平面的公垂线．(2)公垂线________平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．(3)两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离．两平行平面的公垂线段就是在一个平面内取一点作另一个平面的垂线段，这样公垂线段的长就是点到平面的距离，所以两平行平面的距离，可转化为点到平面的距离，可以用点到平面的距离求解．【做一做4】已知平面α∥平面β，空间一点到α的距离是4，到平面β的距离是2，则平面α与平面β的距离是( )A ．2B ．6C ．2或6D ．以上都错如何求点到平面的距离？剖析：如图，BO ⊥平面α，垂足为O ，则点B 到平面α的距离就是线段BO 的长度． 若AB 是平面α的任一条斜线段，则在Rt △BOA 中，|BO |＝|AB |·cos ∠ABO .如果令平面α的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到点B 到平面α的距离为|BO |＝||||AB n n ⋅.因此要求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：(1)求出该平面的一个法向量；(2)找出从该点出发到平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．由于n |n |＝n 0可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数量积的绝对值，即d ＝|AB ·n 0|.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．题型一 用向量求两点间的距离【例1】已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，求A 与C ′的距离．分析：解答本题可先用基底表示AC ′，然后平方求|AC ′|.反思：空间距离本质上是点与点的距离，求空间两点的距离常常转化为求向量的模；点与直线的距离可以运用三垂线定理作直线的垂线，再运用解三角形求．题型二 求点到平面的距离【例2】直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱AA 1＝3，在底面△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1，求点B 1到平面A 1BC 的距离．分析：直接作平面的垂线较难，故可考虑建立平面直角坐标系求解．反思：点到平面的距离的求法：①定义法即直接求所作公垂线段的长；②等体积转化法；③利用法向量求一个点到平面的距离可用点到平面的距离公式d ＝|PA ·n 0|＝||||PA n n ⋅，其中d为点P到平面的距离，A为平面内的一点，n0为平面的单位法向量，n为平面的法向量．题型三求平行平面的距离【例3】正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，求平面AB1D1与平面BDC1的距离．反思：求两平面之间的距离首先要判定两平面的位置关系即证明它们平行然后再求．面面距离通常转化为点面距离来求．1在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离为()A．63a B．36a C．34a D．66a2已知矩形ABCD的一边CD在平面α内，AC与α所成角为60°，若AB＝2，AD＝4，则AB到α的距离为()A．15 B． 5 C．10 D．33已知正四棱台ABCD－A1B1C1D1的上、下底面边长分别为2和4，侧面与下底面所成的角为45°，则两底面的距离为()A． 2 B．1 C．2 D．2 24把边长为a的正三角形ABC沿高AD折成60°的二面角B－AD－C，则点A到直线BC 的距离等于________．5平面α内的∠MON＝60°，PO是α的斜线段，PO＝3，且∠POM＝∠PON＝45°，则点P到α的距离为________．答案：基础知识·梳理1．最小值【做一做1】B用空间两点间的距离公式可求得距离为 3.2．正射影【做一做2】D设B1D1中点为O，则A1O即为点A1到平面BB1D1D的距离．可求得A1O＝2 2a.【做一做3】C设AB1中点为O，则BO即为BC到AB1C1D的距离．4．(1)同时垂直(2)夹在【做一做4】C这一点可能在两平面之间也可能在两平面的外侧．典型例题·领悟【例1】解：如图，因为AC →′＝AB ＋AD ＋AA →′，所以|AC ′→|2＝(AB ＋AD ＋AA →′)·(AB ＋AD ＋AA →′)＝|AB |2＋|AD |2＋|AA →′|2＋2(AB ·AD ＋AB ·AA →′＋AD ·AA →′)＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85，因此|AC →′|＝85.【例2】解：如图，建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，A 1(1,0，3)，B 1(0,1，3)，C 1(0,0，3)．则BC →＝(0，－1,0)，A 1C →＝(－1,0，－3)．设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即－x －3z ＝0，－y ＝0，令x ＝－3，则y ＝0，z ＝1，所以平面A 1BC 的一个法向量为n ＝(－3，0,1)．所以点B 1到平面A 1BC 的距离d ＝|n ·A 1B 1→||n |＝32. 【例3】解：建立坐标系如图，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，D (0,0,0)，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )，B 1(a ，a ，a )．∴AB 1→＝(0，a ，a )，AD 1→＝(－a ，0，a )，BC 1→＝(－a,0，a )，DC 1→＝(0，a ，a )．设n ＝(x ，y ，z )为平面AB 1D 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB 1→＝a (y ＋z )＝0，n ·AD 1→＝a (－x ＋z )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－z ，x ＝z . 取z ＝1，则n ＝(1，－1,1)．又∵AD 1∥BC 1，AB 1∥DC 1，AD 1∩AB 1＝A ，DC 1∩BC 1＝C 1，∴平面AB 1D 1∥平面BDC 1. ∴两平面间的距离可转化为点C 1到平面AB 1D 1的距离d .∵C 1B 1→＝(a,0,0)，平面AB 1D 1的法向量为n ＝(1，－1,1)，∴d ＝|C 1B 1→·n ||n |＝|a |3＝33a . 随堂练习·巩固1．D 点A 1到平面MBD 的距离等于点A 到平面MBD 的距离，利用V M －ABD ＝V A －MBD 求解．2．A 如图，作AE ⊥α于点E ，由三垂线逆定理可得ED ⊥DC ，AC ＝42＋22＝25，AE ＝AC sin 60°.3．B4．154a 5． 3。
2020年高考数学人教B版典例透析能力提升升选修2-1课件：3.2.5 距离(选学)
到平面
A1BC
的距离
d=
|������·������1������1| |������|
=
23.
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题型一
目标导航 题型二
知识梳理
重难聚焦
典典例例透透析析
随堂演练
反思点到平面的距离的求法:
(1)定义法即直接求所作公垂线段的长;
(2)等体积转化法;
(3)利用法向量求一个点到平面的距离可用点到平面的距离公
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重难聚焦
典典例例透透析析
随堂演练
题型一
题型二
解:如图,建立空间直角坐标系,
由已知得直三棱柱各顶点坐标:
A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0, 3), ������1(0,1, 3), ������1(0,0, 3), 则������1������1 = (−1,1,0), ������������ = (0, −1,0), ������1������ = (−1,0, − 3).
随堂演练
3.直线与它的平行平面的距离
一条直线上的任一点,与它平行的平面的距离,叫做直线与这个
平面的距离.
名师点拨求线面距离时,注意在l上所取一点的位置,通常借助于
面面垂直的性质过这一点作平面的垂线,从而转化为点到面的距离
求解.
【做一做3】 已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2,则BC到
A.
6 3
������B.
3 6
������C.
3 4
������D.
6 6
������
答案:D
-14-
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高中数学人教B版高二数学选修2-1检测 3.2.5距离(选学)
一、选择题1．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是A 1C 1的中点，则点O 到平面ABC 1D 1的距离为( )A.32 B.24 C.12D.33【解析】 由题意知A 1到ABC 1D 1的距离是12A 1D ＝22. 又∵O 是A 1C 1的中点，∴O 到面的距离为A 1到面距离的12.∴距离为24，故选B. 【答案】 B2．已知夹在两平行平面α，β内的两条斜线段AB ＝8 cm ，CD ＝12 cm ，AB 和CD 在α内的射影长的比为3∶5，则α与β的距离为( )A.15 cmB.17 cmC.19 cmD.21 cm【解析】 如图所示，设AB 和CD 在α内的射影长分别为3x 和5x ，则有82－(3x )2＝122－(5x )2，解得x ＝5，则α、β间的距离为19 cm.故选C.【答案】 C3.图3－2－32如图3－2－32所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′的侧面ABB′A′内有一动点P，点P到直线A′B′的距离与到直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为()【解析】在平面ABB′A′内作PM⊥A′B′，连接PB，则PB⊥BC，∵PM＝PB，故点P的轨迹是以A′B′为准线以B为焦点的抛物线(一部分)．故选C.【答案】 C4.图3－2－33如图3－2－33已知ABC－A1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，点C1到平面AB1D的距离为()A.24a B.28aC.324a D.22a【解析】∵ABB1A1为正方形，∴A1B⊥AB1，又平面AB1D⊥平面ABB1A1，∴A1B⊥面AB1D，∴A1B→是平面AB1D的一个法向量，由于C1D＝CD，所以C1到平面AB1D的距离等于C到平面AB1D的距离，设点C到平面AB1D的距离为d，则d＝|AC→·A1B→||A1B→|＝|AC→·(A1A→＋AB→)|2a＝|AC→·A1A→＋AC→·AB→|2a＝|0＋a×a×cos 60°|2a＝24a.【答案】 A5．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A.2aB.3aC.23a D.33a【解析】由正方体的性质易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．明显，A1C⊥平面AB1D1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1,1)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，BA→＝(0，－a,0)，则两平面间的距离d＝|BA→·n|n||＝a 3＝33a .【答案】 D 二、填空题6．已知点M (－1,1,2)，平面α过点P (0,0,2)且垂直于向量n ＝(1，－2,2)，则点M 到平面α的距离为________．【解析】 d ＝|PM →·n ||n |＝39＝1.【答案】 17．若平面α∥平面β，直线l α，且平面α与β之间的距离为d ，下面给出了四个命题：①β内有且仅有一条直线与l 的距离等于d ； ②β内所有直线与l 的距离等于d ； ③β内无数条直线与l 的距离等于d ； ④β内所有的直线与α的距离都等于d . 其中正确的命题的序号为________．【解析】 由面面平行的性质可知③④正确． 【答案】 ③④8．设A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则点D 到平面ABC 的距离为________．【解析】 设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵n ·AB →＝0，n ·AC →＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y ，z )·(2，－2，1)＝0(x ，y ，z )·(4，0，6)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＋z ＝04x ＋6z ＝0⇒⎩⎨⎧x ＝－32zy ＝－z.令z ＝－2，则n ＝(3,2，－2)．又AD →＝(－7，－7,7)，∴点D 到平面ABC 的距离d ＝|AD →·n |n ||＝|3×(－7)＋2×(－7)－2×732＋22＋(－2)2|＝4917＝491717. 【答案】491717三、解答题9．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为BB 1，CD 的中点，试求点F 到平面A 1D 1E 的距离．【解】 取AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．如图，则A 1(0,0,1)，E (1,0，12)， D (0,1,0)，F (12，1,0)， D 1(0,1,1)．∴A 1E →＝(1,0，－12)，A 1D 1→＝(0,1,0)．设平面A 1D 1E 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1E →＝0n ·A 1D 1→＝0，即⎩⎨⎧x －12z ＝0y ＝0.令z ＝2，则x ＝1. ∴n ＝(1,0,2)． 又A 1F →＝(12，1，－1)，∴点F 到平面A 1D 1E 的距离 d ＝|A 1F →·n ||n |＝|12－2|5＝3510.图3－2－3410．如图3－2－34，已知正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 的棱长为a . 求证：(1)平面A 1BD ∥平面CB 1D 1； (2)求平面A 1BD 与平面CB 1D 1的距离．【解】 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(a,0，a )， B (a ，a,0)，D 1(0,0，a )，B 1(a ，a ，a )，C (0，a,0)，C 1(0，a ，a )， ∴A 1B →＝(0，a ，－a )， A 1D →＝(－a,0，－a )．A 1D 1→＝(－a,0,0)，B 1C →＝(－a,0，－a )，B 1D 1→＝(－a ，－a,0)． (1)设平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎨⎧n 1·A 1B →＝0n 1·A 1D →＝0，即⎩⎨⎧y 1－z 1＝0－x 1－z 1＝0.令z 1＝1，则y 1＝1，x 1＝－1.∴n 1＝(－1,1,1)． 设平面CB 1D 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧n 2·B 1C →＝0n 2·B 1D 1→＝0，即⎩⎨⎧－x 2－z 2＝0－x 2－y 2＝0.令x 2＝1，则y 2＝z 2＝－1， ∴n 2＝(1，－1，－1)．∴n 1∥n 2， ∴平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.(2)由(1)可知点D 1到平面A 1BD 的距离为d ＝|A 1D 1→·n 1||n 1|＝a 3＝33a .即平面A 1BD 与平面CB 1D 1的距离为33a .图3－2－3511．如图3－2－35，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，∠BAD ＝π2，CD ＝AD ＝2，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD ，FC ＝3，ED ＝7，求：(1)直线AB 到平面EFCD 的距离； (2)二面角F －AD －E 的平面角的正切值．【解】 (1)如图，以A 点为坐标原点， AB →， AD →， AF →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)．设F (0,0，z 0)(z 0＞0)，可得FC →＝(2,2，－z 0)， 由| FC →|＝3，得22＋22＋z 20＝3，解得z 0＝1，即F (0,0,1)．因为AB ∥DC ，DC ⊂平面EFCD ，AB ⊄平面EFCD ，所以AB ∥平面EFCD ，所以直线AB 到平面EFCD 的距离等于点A 到平面EFCD 的距离．设A 点在平面EFCD 上的射影点为G (x 1，y 1，z 1)，则AG →＝(x 1，y 1，z 1)．因为DF →＝(0，－2,1)， CD →＝(－2,0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧AG →·DF →＝－2y 1＋z 1＝0， AG →·CD →＝－2x 1＝0， ①解得x 1＝0，知G 点在面yOz 上，故G 点在FD 上． 又GF →∥DF →， GF →＝(－x 1，－y 1，－z 1＋1)，DF →＝(0，－2,1)， 故有y 12＝－z 1＋1，②联立①②，解得G (0，25，45)．因为|AG →|为直线AB 到平面EFCD 的距离，而AG →＝(0，25，45)，即|AG →|＝255. 所以直线AB 到平面EFCD 的距离为255. (2)因为四边形ABFE 为平行四边形， 所以可设E (x 0,0,1)(x 0＜0)，则ED →＝(－x 0,2，－1)，由|ED →|＝7， 即x 20＋22＋12＝7，解得x 0＝－2，即E (－2，0,1)， 故AE →＝(－2，0,1)．由AD →＝(0,2,0)， AF →＝(0,0,1)， 有AD →·AF →＝0，又AD →·AE →＝0，故∠FAE 为二面角F －AD －E 的平面角． 又EF →＝(2，0,0)，所以| EF →|＝2，|AF →|＝1， 所以tan ∠FAE ＝|EF →||FA →|＝ 2.。
数学人教B版选修2-1学案：第三章 3.2.5 距离(选学)含解析
3.2.5距离(选学)学习目标掌握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、点线距离、点到平面的距离、线面距和面面距．知识点一点到平面的距离1．图形与图形的距离一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离．2．点到平面的距离一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离．知识点二直线到平面的距离1．直线与它的平行平面的距离一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离．2．两个平行平面的距离(1)和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线．(2)公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段．(3)两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离．知识点三四种距离的关系题型一点线距离例1在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF 的距离．解以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图．设DA ＝2，则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,0,2)，EF →＝(1，－2,1)，F A →＝(1,0，－2)． ∴|EF →|＝12＋(－2)2＋12＝6，F A →·EF →＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1， ∴F A →在EF →上的投影为|F A →·EF →||EF →|＝16 .∴点A 到直线EF 的距离 d ＝|F A |2－⎝⎛⎭⎫162＝296＝1746. 反思感悟 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的方向向量．(3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影． (4)利用勾股定理求点到直线的距离．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．跟踪训练1 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，AB ＝1，BC ＝2，AA ′＝3，求点B 到直线A ′C 的距离．解 ∵AB ＝1，BC ＝2，AA ′＝3，∴A ′(0,0,3)，C (1,2,0)，B (1，0,0)，∴A ′C ——→＝(1,2，－3)． 又∵BC →＝(0,2,0)，∴BC →在A ′C ——→上的投影为|BC →·A ′C ——→||A ′C ——→|＝414 .∴点B 到直线A ′C 的距离d ＝|BC →|2－|BC →·A ′C ——→|2|A ′C ——→|＝4－1614＝2357.题型二 点面距离例2 已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，E ，F 分别是边AB ，AD 的中点，CG 垂直于正方形ABCD 所在的平面，且CG ＝2，求点B 到平面EFG 的距离．解 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，则G (0,0,2)，E (4，－2，0)，F (2，－4,0)，B (4,0,0)，∴GE →＝(4，－2，－2)，GF →＝(2，－4，－2)，BE →＝(0，－2,0)． 设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎪⎨⎪⎧GE →·n ＝0，GF →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －z ＝0，x －2y －z ＝0，∴x ＝－y ，z ＝－3y .取y ＝1，则n ＝(－1,1，－3)． ∴点B 到平面EFG 的距离d ＝|BE →·n ||n |＝211＝21111.反思感悟 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求出该平面的一个法向量．(3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量．(4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离．跟踪训练2 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1＝AB ＝2. (1)求证：A 1C ∥平面AB 1D ； (2)求点C 1到平面AB 1D 的距离．(1)证明 如图，以D 为坐标原点，分别以DC ，DA 所在直线为x 轴，y 轴，过点D 且与AA 1平行的直线为z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，则D (0，0,0)，C (1,0,0)，B 1(－1，0,2)，A 1(0，3，2)，A (0，3，0)，C 1(1,0,2)，A 1C →＝(1，－3，－2)，AB 1→＝(－1，－3，2)，AD →＝(0，－3，0)．设平面AB 1D 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧AB 1→·n ＝0，AD →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x －3y ＋2z ＝0，－3y ＝0.令z ＝1，则y ＝0，x ＝2，∴n ＝(2,0,1)． ∵A 1C →·n ＝1×2＋(－3)×0＋(－2)×1＝0， ∴A 1C →⊥n .∵A 1C ⊄平面AB 1D ，∴A 1C ∥平面AB 1D . (2)解 由(1)知平面AB 1D 的法向量n ＝(2,0,1)， 且C 1A →＝(－1，3，－2)，∴点C 1到平面AB 1D 的距离d ＝|C 1A →·n ||n |＝45＝455.题型三 线面距离与面面距离例3 在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面为直角梯形，AB ∥CD 且∠ADC ＝90°，AD ＝1，CD ＝3，BC ＝2，AA 1＝2，E 是CC 1的中点，求直线A 1B 1与平面ABE 的距离． 解 如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，则A 1(1,0,2)，A (1,0,0)，E (0，3，1)，C (0，3，0)．过点C 作AB 的垂线交AB 于点F ，易得BF ＝3， ∴B (1,23，0)，∴AB →＝(0,23，0)，BE →＝(－1，－3，1)． 设平面ABE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧23y ＝0，－x －3y ＋z ＝0，∴y ＝0，x ＝z ，不妨取n ＝(1,0,1)． ∵AA 1→＝(0,0,2)，∴直线A 1B 1与平面ABE 的距离 d ＝|AA 1→·n ||n |＝22＝ 2.反思感悟 (1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可．(2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可．跟踪训练3 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离．解 以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，A 1(1，0,1)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，A 1B →＝(0,1，－1)，A 1D →＝(－1，0，－1)，A 1D 1—→＝(－1，0,0)． 设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →＝0，n ·A 1D →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，－x －z ＝0.令z ＝1，得y ＝1，x ＝－1，∴n ＝(－1,1,1)． ∴点D 1到平面A 1BD 的距离d ＝|A 1D 1—→·n ||n |＝13＝33.∵平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离等于点D 1到平面A 1BD 的距离， ∴平面A 1BD 与平面B 1CD 1间的距离为33.向量法求解线面距典例 已知边长为4的正三角形ABC ，E ，F 分别为BC 和AC 的中点．P A ＝2，且P A ⊥平面ABC ，设Q 是CE 的中点． (1)求证：AE ∥平面PFQ ； (2)求AE 与平面PFQ 间的距离． 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离(1)证明 如图所示，以A 为坐标原点，平面ABC 内垂直于AC 边的直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．∵AP ＝2，AB ＝BC ＝AC ＝4，又E ，F 分别是BC ，AC 的中点，∴A (0,0,0)，B (23，2,0)，C (0,4,0)，F (0,2,0)，E (3，3,0)，Q ⎝⎛⎭⎫32，72，0，P (0,0,2)．∵FQ →＝⎝⎛⎭⎫32，32，0，AE →＝(3，3,0)，∴AE →＝2FQ →.∵AE →与FQ →无交点，∴AE ∥FQ .又FQ ⊂平面PFQ ，AE ⊄平面PFQ ， ∴AE ∥平面PFQ .(2)解 由(1)知，AE ∥平面PFQ ，∴点A 到平面PFQ 的距离就是AE 与平面PFQ 间的距离． 设平面PFQ 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ⊥PF →，n ⊥FQ →，即n ·PF →＝0，n ·FQ →＝0. 又PF →＝(0,2，－2)，∴n ·PF →＝2y －2z ＝0，即y ＝z . 又FQ →＝⎝⎛⎭⎫32，32，0，∴n ·FQ →＝32x ＋32y ＝0，即x ＝－3y .令y ＝1，则x ＝－3，z ＝1，∴平面PFQ 的一个法向量为n ＝(－3，1,1)．又QA →＝⎝⎛⎭⎫－32，－72，0，∴所求距离d ＝|QA →·n ||n |＝255.[素养评析] 本题(1)通过向量运算证明线面平行，(2)中利用线面距转化为点面距仍选择向量运算来解．合理选择运算方法，设计运算程序，有利于提升学生的数学运算素养.1．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在α内，则P (－2,1,4)到α的距离为( )A ．10B ．3 C.83 D.103答案 D2．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则A 1A 到平面B 1D 1DB 的距离为( ) A. 2 B ．2 C.22 D.322答案 A解析 由题意可知，A 1A ∥平面B 1D 1DB ，A 1A 到平面B 1D 1DB 的距离就是点A 1到平面的距离．连接A 1C 1，交B 1D 1于O 1，A 1O 1即为所求．由题意可得A 1O 1＝12A 1C 1＝ 2.3．若O 为坐标原点，OA →＝(1,1，－2)，OB →＝(3,2,8)，OC →＝(0,1,0)，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为( ) A.1652B ．214 C.53 D.532答案 D解析 由题意得OP →＝12(OA →＋OB →)＝⎝⎛⎭⎫2，32，3， PC →＝OC →－OP →＝⎝⎛⎭⎫－2，－12，－3， PC ＝|PC →|＝4＋14＋9＝532. 4．已知直线l 经过点A (2,3,1)，且向量n ＝(1,0，－1)所在直线与l 垂直，则点P (4,3,2)到l 的距离为________． 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到直线的距离 答案22解析 因为P A →＝(－2,0，－1)，又n 与l 垂直，所以点P 到l 的距离为|P A →·n ||n |＝|－2＋1|2＝22.5．设A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则点D 到平面ABC 的距离为________． 答案491717解析 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∴n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )·(2，－2，1)＝0，(x ，y ，z )·(4，0，6)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＋z ＝0，4x ＋6z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32z ，y ＝－z .令z ＝－2，则n ＝(3,2，－2)． 又∵AD →＝(－7，－7,7)，∴点D 到平面ABC 的距离为d ＝|AD →·n ||n |＝|3×(－7)＋2×(－7)－2×7|32＋22＋(－2)2＝4917＝491717.1．两点间的距离可利用向量的模计算数量积求得．2．点面距可利用向量在平面的法向量上的投影求得，线面距、面面距可转化为点面距计算．一、选择题1．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝a ，AA 1＝2a ，则点D 1到直线AC 的距离为( ) A.3a B.3a 2 C.22a 3 D.32a2答案 D解析 连接BD ，AC 交于点O ， 则D 1O ＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝322a 为所求．2.如图，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂平面M ，AC ⊥平面M ，BD ⊥AB ，BD 与平面M 成30°角，则C ，D 间的距离为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3 答案 C解析 |CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos 120°＝2，∴|CD →|＝ 2.3．已知△ABC 的顶点A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 的长等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析 AC →＝(0,4，－3)，BC →＝(－4,9，－3)，⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →·AC →|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪36＋925＝9，|BC →|＝16＋81＋9＝106， BD ＝|BC →|2－92＝25＝5，故选C.4．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°，且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( ) A ．5 B ．6 C ．4 D ．8 答案 A解析 ∵AC 1→＝AA 1→＋AB →＋AD →，∴AC 1→2＝(AA 1→＋AB →＋AD →)2＝AA 1→2＋AB →2＋AD →2＋2·AA 1→·AB →＋2·AA 1→·AD →＋2·AB →·AD → ＝9＋1＋4＋2×3×1×12＋2×3×2×12＋2×1×2×12＝25，∴|AC 1→|＝5.5．已知三棱锥O －ABC ，OA ⊥OB ，OB ⊥OC ，OC ⊥OA ，且OA ＝1，OB ＝2，OC ＝2，则点A 到直线BC 的距离为( ) A. 2 B. 3 C. 5 D ．3 答案 B解析 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .由题意可知A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,2)， ∴AB →＝(－1,2,0)， BC →＝(0，－2,2)，|AB →|＝1＋4＋0＝5，|AB →·BC →||BC →|＝ 2. ∴点A 到直线BC 的距离d ＝5－2＝ 3.6．(2018·安徽六安高二检测)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2，若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为( )A. 2B. 3 C ．2D.22考点 向量法求空间距离 题点 向量法求两点间的距离 答案 A解析 如图，分别以CA ，CB ，CC 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)，设AD ＝a ，则点D 的坐标为(1,0，a )，∴CD →＝(1,0，a )，CB 1→＝(0,2,2)． 设平面B 1CD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB 1→＝0，n ·CD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，x ＋az ＝0，令z ＝－1，得n ＝(a,1，－1)．又平面C 1DC 的一个法向量为m ＝(0,1,0)，∴cos 60°＝|m ·n ||m ||n |，即1a 2＋2＝12， ∴a ＝2，即AD ＝ 2.7．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( ) A.83 B.38 C.43 D.34 答案 C解析 如图，建立空间直角坐标系Dxyz ，则A (2,0,0)，A 1(2,0,4)，B 1(2,2,4)，D 1(0,0,4)，∴D 1B 1—→＝(2,2,0)，D 1A →＝(2,0，－4)，AA 1→＝(0,0,4)，设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1D 1的法向量，则n ⊥D 1B 1—→，n ⊥D 1A →，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1B 1—→＝0，n ·D 1A →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，2x －4z ＝0，令z ＝1，则平面AB 1D 1的法向量为n ＝(2，－2,1)． 由AA 1→在n 上的投影可得A 1到平面AB 1D 1的距离为 d ＝|AA 1→·n ||n |＝43.二、填空题8．在空间直角坐标系Oxyz 中，平面OAB 的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．已知点P (－1,3,2)，则点P 到平面OAB 的距离d ＝________. 答案 2解析 d ＝|n ·OP →||n |＝|－2－6＋2|4＋4＋1＝2.9．如图所示，在直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△AEB 是等腰直角三角形，其中∠AEB ＝90°，则点D 到平面ACE 的距离为________．答案233解析 取AB 的中点O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，则A (0，－1,0)，E (1,0,0)，D (0，－1,2)，C (0,1,2)，AD →＝(0,0,2)，AE →＝(1,1,0)，AC →＝(0,2,2)． 设平面ACE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AC →＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2y ＋2z ＝0.令y ＝1，∴n ＝(－1,1，－1)． 故点D 到平面ACE 的距离 d ＝|AD →·n ||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝233.10．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是A 1B 1的中点，则点A 到直线BE 的距离是________． 答案455解析 如图所示，BA →＝(2,0,0)，BE →＝(1,0,2)，∴cos θ＝|BA →·BE →||BA →||BE →|＝225＝55， ∴sin θ＝1－cos 2θ＝255， ∴点A 到直线BE 的距离d ＝|AB →|sin θ＝2×255＝455.11．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则BD 到平面EFD 1B 1的距离为________． 答案 13解析 设AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，EF ∩AC ＝G ，平面ACC 1A 1⊥平面EFD 1B 1，交线为O 1G ，过O 作OH ⊥O 1G ，则OH ⊥平面EFD 1B 1，又由题意知BD ∥平面EFD 1B 1，OH 的长即为BD 到平面EFD 1B 1的距离． 如图所示，在Rt △O 1OG 中，OO 1＝1，OG ＝24，则OH ＝13. 三、解答题12．已知在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，BC ＝4，BB 1＝3，求点B 1到平面A 1BC 1的距离．解 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A 1(4,0,3)，B 1(4,6,3)，B (4,6,0)，C 1(0,6,3)，A 1C 1—→＝(－4,6,0)，A 1B →＝(0,6，－3)，BC 1→＝(－4,0,3)，A 1B 1—→＝(0,6,0)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C 1—→＝0，n ·A 1B →＝0，解得n ＝⎝⎛⎭⎫1，23，43. ∴d ＝|A 1B 1—→·n ||n |＝122929.13．在三棱锥B —ACD 中，平面ABD ⊥平面ACD ，若棱长AC ＝CD ＝AD ＝AB ＝1，且∠BAD ＝30°，求点D 到平面ABC 的距离．解 如图所示，以AD 的中点O 为原点，以OD ，OC 所在直线为x 轴，y 轴，过O 作OM ⊥平面ACD 交AB 于M ，以直线OM 为z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫3－12，0，12，C ⎝⎛⎭⎫0，32，0，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0， ∴AC →＝⎝⎛⎭⎫12，32，0，AB →＝⎝⎛⎭⎫32，0，12，DC →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，0，设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 的法向量， 则⎩⎨⎧n ·AB →＝32x ＋12z ＝0，n ·AC →＝12x ＋32y ＝0，∴y ＝－33x ，z ＝－3x ，取n ＝(－3，1,3)， 代入d ＝|DC →·n ||n |，得d ＝32＋3213＝3913，即点D 到平面ABC 的距离是3913.14．在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，底面ABC 为直角三角形，∠BAC ＝π2，AB ＝AC ＝AA 1＝1.已知G 与E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)．若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的最小值为________． 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求两点间的距离 答案55解析 以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，设F (t 1,0,0)(0<t 1<1)，D (0，t 2,0)(0<t 2<1)，E ⎝⎛⎭⎫0，1，12， G ⎝⎛⎭⎫12，0，1. ∴EF →＝⎝⎛⎭⎫t 1，－1，－12，GD →＝⎝⎛⎭⎫－12，t 2，－1. ∵GD ⊥EF ，∴t 1＋2t 2＝1，由此推出0<t 2<12.又DF →＝(t 1，－t 2,0)，|DF →|＝t 21＋t 22＝5t 22－4t 2＋1＝5⎝⎛⎭⎫t 2－252＋15，∴当t 2＝25时，|DF →|min ＝55. 15．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝90°，M 为BB 1的中点，N 为BC 的中点．(1)求点M 到直线AC 1的距离； (2)求点N 到平面MA 1C 1的距离． 考点 向量法求空间距离 题点 向量法求点到平面的距离解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，A 1(0,0,2)，M (2,0,1)，C 1(0,2,2)，直线AC 1的一个单位方向向量为s 0＝⎝⎛⎭⎫0，22，22，AM →＝(2,0,1)，故点M 到直线AC 1的距离d ＝|AM →|2－|AM →·s 0|2＝5－12＝322.(2)设平面MA 1C 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·A 1C 1—→＝0且n ·A 1M →＝0，即(x ，y ，z )·(0,2,0)＝0且(x ，y ，z )·(2,0，－1)＝0，即y ＝0且2x －z ＝0，取x ＝1，得z ＝2，故n ＝(1,0,2)为平面MA 1C 1的一个法向量，与n 同向的单位向量为n 0＝⎝⎛⎭⎫55，0，255.因为N (1,1,0)，所以MN →＝(－1,1，－1)，故点N 到平面MA 1C 1的距离d ＝|MN →·n 0|＝355.。