上海市高中名校2016届高三上学期期中考试数学试题(含解析)

金山中学2015学年度第一学期高三年级数学学科期中考试卷参考答案（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．已知全集{}22,4,1U a a =-+，{}1,2A a =+，且{}7U A =ð，则实数a =________。

32．若01a <<，则关于x 的不等式1()0a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解集是_________________。

1(,)a a3．已知命题p 的否命题是“若AB ，则U UU AB B =痧?”，写出命题p 的逆否命题是 __________________________________。

若U UU A B B =痧?，则AB 。

4．已知幂函数()f x过点，则()f x 的反函数为1()-=f x ____________。

2(0)≥x x5．已知()12arcsin 22)(+-=x x f π，则=⎪⎭⎫⎝⎛--21πf _____________。

0 6．在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作锐角α，它的终边与单位圆相交于点A ，且点A 的横坐标为513，则tan()2απ-的值为____________。

-237．对于集合M ，定义函数1()1M x Mf x x M -∈⎧=⎨∉⎩，，；对于两个集合A 、B ，定义集合{|()()1}A B A B x f x f x ∆=⋅=-。

已知{2,4,6,8,10}A =，{1,2,4,8,12}B =，则用列举法写出集合A B ∆的结果为____________。

{1,6,10,12}8．要得到函数sin cos y x x =+的图像，可以由函数sin cos y x x =-的图像向左平移得到，则平移的最短长度为______________。

2π9．若函数{2(0)()4sin (0)x x f x x x π≤=<≤，则集合lg |(}|)2{|x x f x π-=中的元素个数是_____。

510．已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为____________11．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x =++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________。

87a ≤-12．已知不等式组22153752x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩有唯一解，则实数a =_______。

13．求“方程34()()155xx+=的解”有如下解题思路：设函数34()()()55xxf x =+，则函数()f x 在R 上单调递减，且(2)1f =，所以原方程有唯一解2x =。

类比上述解题思路，方程623(23)23x x x x +=+++的解集为____________。

{1,3}-14．已知函数()cos(sin )sin(cos )=-f x a x b x 没有零点，则22+a b 的取值范围是__。

20,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

15．若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是 （ D ） （A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）等腰三角形16．若a 和b 均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是 （ A ）（A ）222)2(2b a b a +≥+ （B ）2≥+b a a b （C ）4)11)((≥++b a b a （D ）||2||ab b a ≥+17．在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，则b a >是B A cos cos <的 （ C ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充分且必要条件 （D ）不充分也不必要条件 18．给出下列六个命题：（1）若)1()1(x f x f -=-，则函数)(x f 的图像关于直线1=x 对称。

（2）)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图像关于直线0=x 对称。

（3）)3(+=x f y 的反函数与)3(1+=-x fy 是相同的函数。

（4）2015sin 212+-⎪⎭⎫⎝⎛=x y x无最大值也无最小值。

（5）xxy 2tan 1tan 2-=的周期为π。

（6）)20(sin π≤≤=x x y 有对称轴两条，对称中心三个。

则正确命题的个数是 （ A ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。

已知不等式2–30x x t +<的解集为{|1,}x x m m R <<∈。

（1）求,t m 的值；（2）若()2–4f x x ax =++在(1,1)-上递增，求实数a 的取值范围。

解：（1）由条件得：⎩⎨⎧=⋅=+t m m 131，所以⎩⎨⎧==22t m 。

（2）因为()22()+424a a f x x =--+在(1,1)-上递增， 所以2a ≥1，a ≥2。

20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分。

设全集U R =，关于x 的不等式220x a ++->（a R ∈）的解集为A 。

（1）求集合A ；（2）设集合)cos()066B x x ππππ⎧⎫=-+-=⎨⎬⎩⎭，若()U A B ð中有且只有三个元素，求实数a 的取值范围。

解：（1）由220x a ++->可以得到：22x a +>-。

当2a >时，解集是R ；当2a ≤时，解集是{}4x x a x a <->-或。

（2）(i )当2a >时，=∅U A ð，不合题意；(ii )当2a ≤时， =U A ð{}4x a x a -≤≤-。

)cos()66x x ππππ-+-=x πsin 2， 由0sin =x π，得)(Z k k x ∈=ππ，即Z k x ∈=，所以Z B =。

当()U A B ð有3个元素时，a 就满足2443,10a a a <⎧⎪-<-≤-⎨⎪-≤-<⎩可以得到01a <≤。

21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分。

已知函数22π()cos 2sin cos 3f x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）若存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足2[()]()0f t t m -->，求实数m 的取值范围。

[解]（1）221()cos 22sin cos 22f x x x x x =++-1πcos 22cos 2sin 226x x x x ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭()f x 的最小正周期T π=。

由π222262k x k ππππ-≤-≤+（k Z ∈），得63k x k ππππ-≤≤+（k Z ∈）， 单调递增区间为,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）。

（2）当,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，20,62t ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，π()sin 216f t t ⎛⎫⎤=- ⎪⎦⎝⎭6分[]22()[()]()[()22,1F t f t t f t ⇒=-=-∈-- 。

存在,123t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()0F t m ->的实数m 的取值范围为(),1-∞-。

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分。

设函数1)(+=x x g ，函数31)(+=x x h ，],3(a x -∈，其中a 为常数，且0>a 。

令函数)(x f 为函数)(x g 与)(x h 的积。

（1）求函数)(x f 的表达式，并求其定义域；（2）当41=a 时，求函数)(x f 的值域； （3）是否存在自然数a ，使得函数)(x f 的值域恰为]21,31[？若存在，试写出所有满足条件的自然数a 所构成的集合；若不存在，试说明理由。

解：（1）由条件，函数31)(++=x x x f ，因为)(x g 的定义域为),0[∞+，故)(x f 的定义域为)0(],0[>a a 。

（2）令t x =+1，则有]23,1[,)1(2∈-=t t x ，得21)()(-+==tt t F x f 。

当t t 4=时，]23,1[2∉±=t 。

所以]23,1[∈t 时，t t 4+递减，于是函数)(t F 单调递增。

所以，]136,31[)(∈t F 。

（3）假设存在这样的自然数a ，满足条件。

令t x =+1，代换可得241)()(-+==tt t F x f 。

因为)(x f 的定义域为],0[a ，则有]1,1[+∈a t 。

要满足值域为]21,31[，则要满足21)(max =t F 。

由于当且仅当t t 4=等号成立，此时)(t F 恰好取得最大值，则由]1,1[2+∈=a t ， 故112≥⇒+≤a a 。

又)(t F 在区间]2,1[∈t 上是减函数，在区间]1,2[+∈a t 上是增函数， 由于31)1(=F ，31)1(++=+a a a F 。

则有3131≥++a a ，由于0>a ，得91≤≤a 。

故满足条件的所有自然数a 的集合为}9,8,7,6,5,4,3,2,1{。

23．（本题满分18分）第1小题满分为4分，第2小题满分为7分，第3小题满分为7分。

已知函数211()2(,0)f x a R a a a x=+-∈≠。

（1）设0mn >，判断函数()f x 在[],m n 上的单调性，并加以证明；（2）设0m n <<且0a >时，()f x 的定义域和值域都是[],m n ，求n m -的最大值； （3）若不等式2|()|2a f x x ≤对1x ≥恒成立，求实数a 的取值范围。

解：（1）设12≤<≤m x x n ，则1212222121211()()--=-+=x x f x f x a x a x a x x 。