动态规划入门1
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第三章：动态规划3.1 动态规划的基本概念一、动态决策问题：决策过程具有阶段性和时序性(与时间有关)的决策问题。
即决策过程可划分为明显的阶段。
二、什么叫动态规划(D.P.–Dynamic Program)：多阶段决策问题最优化的一种方法。
广泛应用于工业技术、生产管理、企业管理、经济、军事等领域。
三、动态规划(D.P.)的起源：1951年,(美)数学家R.Bellman等提出最优化原理，从而建立动态规划，名著《动态规划》于1957年出版。
四、动态决策问题分类：1、按数据给出的形式分为：•离散型动态决策问题。
•连续型动态决策问题。
2、按决策过程演变的性质分为：•确定型动态决策问题。
•随机型动态决策问题。
五1、阶段(stage)n ：作出决策的若干轮次。
n = 1、2、3、4、5。
2、状态(state)S n ：每一阶段的出发位置。
构成状态集，记为S nS 1={A}，S 2={B 1,B 2,B 3}，S 3={C 1,C 2,C 3}，S 4={D 1,D 2,D 3}，S 5={E 1,E 2}。
阶段的起点。
3、决策(decision)X n ：从一个阶段某状态演变到下一个阶段某状态的选择。
构成决策集，记为D n (S n )。
阶段的终点。
D 1(S 1)={X 1(A)}={B 1,B 2,B 3}= S 2，D 2(S 2)={X 2(B 1),X 2(B 2),X 2(B 3)}={C 1,C 2,C 3}=S 3，D 3(S 3)={X 3(C 1),X 3(C 2),X 3(C 3)}={D 1,D 2,D 3}=S 4，D 4(S 4)={X 4(D 1),X 4(D 2),X 4(D 3)}={E 1,E 2}=S 5D 5(S 5)={X 5(E 1),X 5(E 2)}={F;F}={F}。
4、策略(policy)：全过程中各个阶段的决策Xn 组成的有序总体{Xn }。
如 A àB2àC1àD1àE2àF5、子策略(sub-policy)：剩下的n个阶段构成n子过程，相应的决策系列叫n子策略。
dp入门
dp[j] = max(dp[j], dp[j - c[i]] + v[i]);
}
}
i\j
j=0
i=0
0
j=1 j=2 j=3 j=4 j=5 j=6
0
00000i=10
3
6
9
12 15 18
i=2
0
3
6
10
13 16 20
17
多重背包
有n种物品，每种最多可以取x[i]个，每个物品有大小和价值，问总大小不超过m的情况下能取到最大的 价值是多少 代码如下： for (int i = 1; i <= n; ++i) {
} } 注意此时j一定是倒序产生
16
完全背包
有n种物品，每种最多可以取无数个，每个物品有大小和价值，问总大小不超过m的情况下能取到最大 的价值是多少
01背包中第二维改成正向即可：
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = c[i]; j <= m; ++j) {
}
10
数字三角形
线性DP解法 for(int i=m-1;i>0;i--) {
for(int j=0;j<=i;j++) { a[i-1][j]+=max(a[i][j],a[i][j+1]);
} }
11
数字三角形
暴力递归搜索解法： int dfs(int i, int j) {
if (i == n) return a[i][j]; return max(dfs(i+1,j), dfs(i+1,j+1)) + a[i][j]; }
第6章-动态规划
求解过程
由最后一个阶段的优化开始，按逆向顺序逐步 向前一阶段扩展，并将后一阶段的优化结果带 到扩展后的阶段中去，以此逐步向前推进，直 至得到全过程的优化结果。
f1
(
A)
min
dd11
( (
A, A,
B1) B2 )
ff22((BB12))
min
4 9
9 11
13
d1( A, B3) f2 (B3)
5 13
其最短路线是A→ B1→C2 →D2 →E ，相应的决 策变量是u1(A)=B1
因此，最优策略序列是：
u1(A) =B1, u2(B1)=C2, u3(C2)=D2, u4(D2)=E
5 8 C2 4 6 4
4 C3 2
C3
D1 4 2 6
D2 9 7
D3 5
D4
E1 1 F
E2 2
E5
F
动态规划的逆序解法与顺序解法
逆序（递推）解法：即由最后一段到第一段逐步 求出各点到终点的最短路线,最后求出A点到E点 的最短路线。运用逆序递推方法的好处是可以始 终盯住目标,不致脱离最终目标。 顺序解法：其寻优方向与过程的行进方向相同， 求解时是从第一段开始计算逐段向后推进，计算 后一阶段时要用到前一段求优的结果，最后一段 的计算结果就是全过程的最优结果。
B1
A
4+9=13
d(u1)+f2
B2
B3
f1(s1) u1*
信息学奥赛NOI动态规划入门(C++)培训讲学
思想：从上向下思考，从底向上计算
24
16
23
8
13
21
数字三角形
方法1：递推计算
void solve () {
int i , j; for(j = 1; j <= n; j ++) d[n][j ] = a[n][j];
for(i = n -1; i >= 1; i - -) for( j = 1; j <= i; j ++)
2.递归需要很大的栈空间，而动规的递推法不需要栈 空间；使用记忆化搜索比较容易书写程序。
思考： 还有一种思考方法，从下
向上考虑，观察不同状态如何转 移的。从格子（i，j）出发有两 种决策。
d(i,j)为：取d(i-1,j) 和d(i-1,j-1)中 较大的一个加上a(i,j)的和。
思考：边界情况：？？
设计状态
和
状态转移方程
最长上升子序列（LIS）NOI 1759
最长上升子序列（LIS）NOI 1759
样例输入： 7 1735948
样例输出： 4
上升子序列： 1, 7 3, 4, 8
1234567 a1735948
…
最长上升子序列： 如何划分阶段？
1, 3, 5, 9
以从左向右数的个数为阶源自1, 3, 5, 8给定k个整数的序列{A1,A2,...,Ak }，其任意连续子 序列可表示为{ Ai, Ai+1, ...,Aj }，其中 1 <= i <= j <= k。最大连续子序列是所有连续子序中元 素和最大的一个。
例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其最 大连续子序列为{11,-4,13}，最大连续子序列和即 为20。
动态规划算法教学PPT
03
动态规划算法的实现步骤
明确问题，建立数学模型
1
确定问题的目标和约束条件，将其转化为数学模 型。
2
理解问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问 题。
3
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状 态和决策。
划分阶段，确定状态变量和决策变量
01
根据问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问题。
02
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状态 和决策。
02
将子问题的最优解组合起来，得到原问题的最优解。
对最优解进行验证和性能评估，确保其满足问题的要求。
03
04
动态规划算法的优化技巧
分支定界法
分支定界法是一种求解优化问题的算 法，它通过不断生成问题的分支并确 定每个分支的界限，来寻找最优解。 在动态规划中，分支定界法可以用来 优化状态转移方程，减少计算量。
详细描述
多目标规划问题在实际生活中应用广泛，如资源分配、项目计划、城市规划等领 域都有涉及。常用的求解多目标规划的方法包括权重和法、帕累托最优解等。
多阶段决策问题
总结词
多阶段决策问题是动态规划中的一类，解决的问题需要在多个阶段做出决策，每个阶段的决策都会影响到后续阶 段的决策。
详细描述
多阶段决策问题在实际生活中应用广泛，如生产计划、库存管理、路径规划等领域都有涉及。常用的求解多阶段 决策问题的方法包括递归法、动态规划等。
特点
动态规划算法具有最优子结构、重叠 子问题和最优解性质等特征。
动态规划算法的应用领域
计算机科学
在计算机科学中，动态规划算法广泛应用于字符 串处理、排序、数据压缩和机器学习等领域。
电子工程
在电子工程中，动态规划算法用于信号处理、通 信和控制系统等领域。
动态规划(完整)
(3) 决策、决策变量
所谓决策就是确定系统过程发展的方案，
决策的实质是关于状态的选择，是决策者从
给定阶段状态出发对下一阶段状态作出的选
择。
用以描述决策变化的量称之决策变量， 和状态变量一样，决策变量可以用一个数， 一组数或一向量来描述．也可以是状态变量
的函数，记以 xk xk (sk ) ，表示于 k 阶段状
阶段变量描述当前所处的阶段位置，一 般用下标 k 表示;
(2) 确定状态
每阶段有若干状态(state), 表示某一阶段决策 面临的条件或所处位置及运动特征的量,称为 状态。反映状态变化的量叫作状态变量。 k 阶段的状态特征可用状态变量 sk 描述;
每一阶段的全部状态构成该阶段的状态集合Sk ，并有skSk。每个阶段的状态可分为初始状 态和终止状态，或称输入状态和输出状态， 阶段的初始状态记作sk ，终止状态记为sk+1 ，也是下个阶段的初始状态。
状态转移方程在大多数情况下可以由数学公 式表达, 如: sk+1 = sk + xk；
(6) 指标函数
用来衡量策略或子策略或决策的效果的 某种数量指标，就称为指标函数。它是定义 在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量 函数。对不同问题，指标函数可以是诸如费 用、成本、产值、利润、产量、耗量、距离、 时间、效用，等等。
• 2、在全过程最短路径中，将会出现阶段的最优路
径；-----递推性
• 3、前面的终点确定，后面的路径也就确定了，且 与前面的路径（如何找到的这个终点）无关；----
-无后效性
• 3、逐段地求解最优路径，势必会找到一个全过程
最优路径。-----动态规划
§7.1多阶段决策问题
• 动态规划是解决多阶段最优决策的方法, 由美国数学家贝尔曼(R. Bellman) 于 1951年首先提出;
动态规划-动态规划
过程指标函数是指过程所包含的各阶段的状 态和决策所产生的总效益值，记为
Vkn (sk , Pkn ) Vkn (sk , dk (sk ), sk1, dk1(sk1), , sn , dn (sn ), sn1) k 1, 2, , n
动态规划所要求的过程指标函数应具有可分 离性，即可表达为它所包含的各阶段指标函数的 函数形式。
能用动态规划方法求解的多阶段决策过程是一 类特殊的多阶段决策过程，即状态具有无后效性 的多阶段决策过程。
无后效性(马尔可夫性)：是指如果某阶段状 态给定后，则在这个阶段以后过程的发展不受 这个阶段以前各段状态的影响；构造动态规划 模型时，要充分注意是否满足无后效性的要求； 状态变量要满足无后效性的要求；如果状态变 量不能满足无后效性的要求，应适当改变状态 的定义或规定方法。
3、决策（decision）
决策：在某一阶段，当状态给定后，往往可以 作出不同的决定，从而确定下一阶段的状态，这种 决定称为决策。
决策变量：描述决策的变量。dk(sk) ：第k阶段 的决策变量（状态变量sk的函数）。
允许决策集合：决策变量的取值范围。常用 Dk(sk)表示。显然dk(sk)∈Dk(sk)。
3 3*
3
4
6 决策点为D1
第二阶段，由Bj到Ci分别均有三种选择
f2
B1
min
B1C1 B1C2
B1C3
f3 f3 f3
C1 C2
C3
min
7 6 4 7* 6 6
11决策点为C2
f2
B2
min
BB22CC21
f3 f3
C1 C2
min
3 6* 2 7*
min
4
dp入门讲解
时间复杂度：O(n2) 空间复杂度：O(n)
例题2：最长上升子序列
演示代码
例题3：区间dp（POJ 3280）
给定一个长度为n（n <= 1000）的字符串A，求插入最少多少个字 符使得它变成一个回文串。
例题3：区间dp
演示代码
例题4：状压dp（TSP）
对于一个节点数<=15的图，要求找到一条路径能够遍历每一个节点 一次后返回出发点(Hamiltonian path)，并且路径距离最短。
例题4：状压dp
对于一个节点数n<=15的完全图，要求找到一条路径能够遍历每一个节点后返回出发点 ，并且路径距离最短。d[a][b]表示a到b的距离
状态转移:
8
4 7 3
5 4
dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + val[i][j]
1
2
例题1：数字三角形
自顶而下(记忆化搜索)
dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + val[i][j]
例题1：数字三角形
复杂度？
➔ 时间复杂度：状态数*状态转移数
➔ 空间复杂度：状态数？
例题所有代码仅做演示，肯定是过不 了题的。（虽然专题好像没有例题）
例题1：数字三角形
3 1 2 6 7 1 6
4 7 3
5 4
8 1
2
• 从上往下走，每次可 以向左下或右下走一 个，直到最下行，问 经过数字的和最大是 多少？
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动态规划入门（一）DP 基本思想具体实现经典题目分类：POJ 2011-08-07 17:58 22人阅读评论(0) 收藏举报动态规划( DP )，是一种重要的算法设计思想，是算法设计的一柄利器。
但是，要掌握DP并且运用自如，绝对不是什么容易的事。
DP的基本思想：1. 把一个大问题的解转化为若干个小问题的解。
2. 如果得到了这些小问题的解，然后再经过一定的处理，就可以得到原问题的解。
3. 这些小问题与原问题有着结构相同，即小问题还可以继续分解。
4 这样一直分下去，问题的规模就会不断减小，直到小的不能再小，最终会得到原子问题。
5. 原子问题的解显而易见，这样递推回去，就可以得到原问题的解DP的具体实现：1. 分析问题，得体状态转换方程2. 根据状态转换方程，从原子问题开始，不断向上求解，直到得到原问题的解。
3. 这个过程，一般是一个填表的过程。
哎，好抽象呀！木有办法，如果抛开具体问题，只讲原理，效果就是这样的坑爹。
下面都是一些经典的题目，还是结合这些具体问题，一点一点慢慢体会吧。
POJ 1088 滑雪POJ 1163 The TrianglePOJ 1050 To the MaxPOJ 1159 PalindromePOJ 1458 Common SubsequencePOJ 1141 Brackets SequencePOJ 1160 Post OfficePOJ 1037 A decorative fence动态规划入门（二）DP 基本思想具体实现经典题目POJ1088 POJ1163 POJ1050分类：POJ 2011-08-07 20:59 27人阅读评论(0) 收藏举报(一) POJ1088，动态规划的入门级题目。
嘿嘿，连题目描述都是难得一见的中文。
题目分析：求最长的滑雪路径，关键是确定起点，即从哪开始滑。
不妨设以( i, j )为起点，现在求滑行的最长路径。
首先，( i, j )能滑向的无非就是它四周比它低的点。
到底滑向哪个点？很简单，谁长滑行谁。
假设(i, j )--->( i, j+1 ), 现在就变成了：以( i, j+1 )为起点，求最长滑行路径的问题。
这样一直下去，直到某个局部最低点，就算滑行结束了。
状态转换方程：dp( i,j ) = Max( dp( i-1, j ), dp( i, j+1 ),dp( i+1, j ), dp( i, j-1 ) ) + 1;其中：dp( i,j )表示以( i, j )为起点，所能滑行的最长长度编程实现：枚举起点，找到最长的滑行路径。
因为涉及到上下左右的点，所以注意边界情况的处理。
还是记忆化递归来的简便，直接把Invalid的情况给剪掉。
(二) POJ1163，DP的入门级题目。
和上面的POJ1088有些相似，也可以看成从上往下滑。
不过起点是确定的，只能( 1, 1 )开始。
题目分析：要使和最大，关键是确定终点。
不妨设以( i, j )为起点，现在求滑行的最长路径。
如果( i, j )为终点，则前一个点只可能是( i-1, j-1 )或者( i-1, j )。
选择的标准，还是看哪个点更优。
如果假设( i, j )--->( i-1, j-1 )，则问题又变成了：以( i-1, j-1 )为终点求最大和的问题。
状态转换方程：dp( i,j ) = Max( dp( i-1, j-1 ), dp( i-1, j) ) + data[i][j];其中：dp( i,j )表示以( i, j )为终点，所得到的最大和。
data[i][j]表示三角矩阵中第i行第j列的值编程实现：同样，要注意三角矩阵的边界。
边界的有些点不能用状态方程就去。
如图2所示，(3,1)和(3,3)要单独处理。
(三) POJ1050，动态规划必做题目，经典程度五颗星。
这个题目的前身就是：求最大子序列和。
先来看最大子序列和。
有一串数，有正有负，如2，-1，5，4，-9，7，0，3，-5。
求：这一串数中，和最大的一段。
比如说，从第一个数2开始，发现下一个为-1，加下-1后和显然会变小。
再往后看，第三个数是5，所以上一个-1还是要选的，这样才能加上5。
哎，不看了，这样求最大和还不得累死。
嘿嘿，这时DP就派上用场了。
设这串数为X1 X2 X3 … Xn, 用dp(i,j)表示从Xi…Xj的最大子序列和。
按照DP的思路，想办法减小问题的规模。
有n个数，怎样能减少到n-1数？想办法把最后一个数Xn去掉，问题规模就能减少到n-1。
通过观察可以发现：X1…Xn的最大子序列可以分为两类：以Xn结尾、不以Xn结尾。
不以Xn结尾的最大子序列，其实就是X1…Xn-1的最大子序列，发现这点很重要。
这样就有：dp( i, j ) = Max( dp( i, j-1 ), Last( j ) ).其中Last( j )表示以Xj结尾的最大子序列的和。
功夫不负有心人，终于把问题规模减少了。
但是，一波未平一波又起，新的问题又出现了。
Last( j )如何求？即，求以Xj结尾的最大子序列的和。
再用DP求解。
Last( j )和Last( j-1 )之间的关系比较简单。
Last(j )的值里面必然会包括Xj的值，到底有没有Last( j-1 )也很简单，主要取决于Last( j-1 )是正还是负。
这样就有：Last( j ) = Max( Xj, Last( j-1) + Xj );状态转换方程：dp( i, j ) = Max( dp( i, j-1 ), Last( j ) )其中：dp(i,j)表示从Xi…Xj的最大子序列和Last( j ) = Max( Xj, Last( j-1 ) + Xj ); 其中：Last( j )表示以Xj结尾的最大子序列的和现在，回到POJ1050。
想想能不能利用上面的结果？求最大子矩阵，那么只要确定了子矩阵有几行、几列即可。
这样，可以枚举子矩阵的行数和列数。
比如，当子矩阵只要一行时，那么只关心它的列从哪开始到那结束就行。
哦，这其实就是一个最大子序列和的问题。
这一行就是这一串数，求和最大的一段。
那么当子矩阵有两行时，怎么办？如何把两行变为一行？一个聪明的想法就是：把这两行按照对应的列加起来。
好了问题已经漂亮的解决了：在原矩阵中任意画出一部分，然后按照对应的列加起来，问题就转变为一个最大子序列和的问题POJ1088view plaincopy to clipboardprint?1.#include <iostream>ing namespace std;3.4.//***********************常量定义*****************************5.6.const int MAX = 105;7.8.9.//*********************自定义数据结构*************************10.11.12.13.14. //********************题目描述中的变量************************15.16. int row;17. int col;18. int data[MAX][MAX];19.20.21. //**********************算法中的变量**************************22.23. //dp[i][j]表示从data[i][j]出发所能滑行的最大长度24. int dp[MAX][MAX];25.26.27. //***********************算法实现*****************************28.29.30. int DP( int r, int c )31. {32. //如果已经计算过，则直接返回33. if( dp[r][c] > 0 ) return dp[r][c];34.35. int ans = 0;36. int tmp = 0;37.38. //只对有效的r、c进行计算39. if( r - 1 >= 1 )40. {41. //剪枝：只能滑行更低的点42. if( data[r][c] > data[r-1][c] )43. {44. tmp = DP( r-1, c );45. if( ans < tmp ) ans = tmp;46. }47. }48. if( r + 1 <= row )49. {50. if( data[r][c] > data[r+1][c] )51. {52. tmp = DP( r+1, c );53. if( ans < tmp ) ans = tmp;54. }55. }56. if( c - 1 >= 1 )57. {58. if( data[r][c] > data[r][c-1] )59. {60. tmp = DP( r, c-1 );61. if( ans < tmp ) ans = tmp;62. }63. }64. if( c + 1 <= col )65. {66. if( data[r][c] > data[r][c+1] )67. {68. tmp = DP( r, c+1 );69. if( ans < tmp ) ans = tmp;70. }71. }72.73. //如果是普通点，由状态转换方程74. //DP(i,j) = max( DP(i,j-1), DP(i,j+1), DP(i-1,j), DP(i+1,j) ) + 1;75. //如果是某个局部最低点，则返回 0 + 1 = 176. dp[r][c] = ans + 1;77. return dp[r][c];78.79. }80.81. void Solve()82. {83. int ans = 0;84. for( int i=1; i<=row; i++ )85. {86. for( int j=1; j<=col; j++ )87. {88. int tmp = DP( i, j );89. if( ans < tmp ) ans = tmp;90. }91. }92. cout << ans << endl;93. }94.95.96. //************************main函数****************************97.98. int main()99. {100. //freopen( "in.txt", "r", stdin );101.102. cin >> row >> col;103. for( int i=1; i<=row; i++ )104. {105. for( int j=1; j<=col; j++ )106. {107. cin >> data[i][j];108. }109. }110. Solve();111. return 0;112. }错误！未找到引用源。