初一数学竞赛系列讲座(5)_4
系列讲座之五——简单递推数列的通项公式
实际上 ， 们将 ｎ 一 我
＋ ｄ与 原 式 相 减 知
式相减得 ａ ｎ一
二
二
ａ— ｐ
．
数 列 ｛ 。 。 ｝ 等 比 数 列 ， 而 得 到 ｎ 一 ａ ｎ 一 是 从 一
（ ～ 口）一 ， １ｃ 代人 ａ 一 ∞１ ２ ＋ｄ 口 ＝ ｍ ， ｌ ＋ｄ 便 ，
１ 一 阶 线性 和 非线 性 递推 数 列 的通 项 公 式
由× ６ 寺＜志 ， ≥７ 满 不 式Ｉ 一 得ｎ ・ 足 等 即 ｓ
ｎ ６Ｉ 一 ＜ 的最 小 整 数 ”＝ ７ ．
２ 二 阶线 性 递 推 数 列 的通 项 公 式
对于二阶线性递推数列 口 一 升 ＋ ， 以 可 构 造 两 个 （ 个 ） 助 数 列 加 以 解决 ． Ｐ＝ ａ ， 一 辅 设 ＋ ｑ
解 设 ｍ 一 ２０ ８， １ ２ ０ ａ 的特 ０ ｎ — ａ ＋２０ ７ ￣ｌ
１， ａ ） 且 一 ９ 其 前 ｎ项 之 和 为 Ｓ ， 满 足 不 等 式 ， 求
１
｝ｓ 一 一 ６ Ｉ ＜
』厶 Ｊ
的 最 小 整 数 ． （ ９ ４年 全 国 高 中数 学联 赛 试 题 ） １９
口
ｃ —ｑ
是 将 ｎ 一 ∞井 ＋ 幽 与 原 式 乘 以 ｑ 式 子 相 减 知 的 数 列 ｛ 一ｑ 是 等 比数列 ， 而 得 到 口 。 ｑ ａ ａ） 从 什一 ａ 一 （２ ｑ １ｃ ， 入 ａ 一 ∞１ 由 ， １ ｃ 幽 ｎ 一 ａ ） 代 ２ ＋ 口 一 ａ＋ ， 便 得 数 列 的 通项 公 式 ． Ｃ ｑ ， 一 ｑ 十 幽 当 — 时 ａ ａ ，
｛ ａ ）的 通 项 公 式 ． 例 １ 已 知数 列 ｛ ａ ）满 足 ３ ＋ 口 口 ： ４ ≥ （
人教七年级上学期竞赛入门辅导讲义,共十讲,很实用
又如7007700－14＝686，68－12＝56（能被7整除）
能被11整除的数的特征：
①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除
如1001100－1＝99（能11整除）
又如102851028－5＝1023102－3＝99（能11整除）
二、例题
例1已知两个三位数328和2x9的和仍是三位数5y7且能被9整除．求x，y
第一讲数的整除
一、内容提要：
如果整数A除以整数（B≠0）所得的商A/B是整数，那么叫做A被B整除．
0能被所有非零的整数整除．
一些数的整除特征
除数
2或5
4或25
8或125
3或9
11
能被整除的数的特征
末位数能被2或5整除
末两位数能被4或25整除
末三位数能被8或125整除
各位上的数字和被3或9整除（如771，54324）
数和最犬的公约数．
6．公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）．
7．在有余数的除法中，
被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作：
A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除
例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除．
二、例题
例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：
9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，
能被3整除但不是5的倍数的共______个．
10由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不
能被3整除的数共有几个？为什么？
11己知五位数1234A能被15整除，试求A的值．
不等式及不等式组应用题——数学竞赛系列讲座(5)
（ ）关 于 ｚ的 一 元 一 次 不 等 式 口 ＞ ｂ ａ≠ ０ １ ｚ （ ）的 解 集 ： ① 当 ａ＞ ０时 ， 解 集 为 ｚ＞ ； 其
② 当ａ ０ ， ＜ 时 其解集为 ｚ＜ 詈．
（ ）不 等 式 组 的 解 集 通 常 利 用 数 轴 来 确 定 ． ２ （ ）含 绝 对 值 的 不 等 式 可 以 用 零 点 分 区 间 法 来 讨论 ， 而 求 其 解 集 ． ３ 从
（ ０次 射 击 ） 记 录 ， ８次 射 击 不 能 少 于 ８环 ． １ 的 第 我 们可 以继 续 思考 ：
（ ）如 果 第 ８次 射 击 成 绩 为 １ １ ０环 ， 么 最 后 两 次 射 击 中 是 否 必 须 那 至少 有一 次命 中 １ ０环 才 有 可 能 破 记 录 ？ （ ）如 果 每 发 都 是 命 中 ８， ２ ９或 １ ０环 ， 打 了 多 于 ７发 的 子 弹 ， 得 他 共 ７ ０环 ． 该 运 动 员 共 打 了 几 发 以及 命 中 情 况 如 何 ？ 问 ［ 本知 识］ 基
（ ） 角形 的一个外 角大于 和 它不相 邻 的任 意一 个 内角． ３ 三
４ ．生 活 中的 不 等 式 （ ） 组
我 们 要 善 于 用 数 学 的 目光 去 分 析 实 际 生 活 中 的 问 题 ， 住 其 中 抓 相等 关系 ， 立不 等式模 型 ， 而解 决 实际 问题． 建 从 ［ 型例题 ］ 典
解 因 为 ｏ＜ ｎ＋ ＜ ｎ＋ ＜ … ＜ ｎ＋ ＜ ２， 以 所
［ ］口 ］ 、 ＋９ 于 或１ 题 可 有１ 等 口 、＋ 、 ［ 等 。 ． 设 知 ８ 于 ＋ ［ … 口２ ］ 由 个
维普资讯
Ｌ 。１ ］ 厂 十 ２Ｊ 。 ＿ 一
2020-2021学年初一数学竞赛专题讲座含例题练习及答案⑵
2020-2021学年初一数学竞赛专题讲座（含例题练习及答案）第2讲数论的方法技巧（下）四、反证法反证法即首先对命题的结论作出相反的假设，并从此假设出发，经过正确的推理，导出矛盾的结果，这就否定了作为推理出发点的假设，从而肯定了原结论是正确的。
反证法的过程可简述为以下三个步骤：1．反设：假设所要证明的结论不成立，而其反面成立；2．归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；3．结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。
运用反证法的关键在于导致矛盾。
在数论中，不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。
解：如果存在这样的三位数，那么就有100a+10b+c=（10a+b）+（10b+c）+（10a+c）。
上式可化简为 80a=b+c，而这显然是不可能的，因为a≥1，b≤9，c≤9。
这表明所找的数是不存在的。
说明：在证明不存在性的问题时，常用反证法：先假设存在，即至少有一个元素，它符合命题中所述的一切要求，然后从这个存在的元素出发，进行推理，直到产生矛盾。
例2 将某个17位数的数字的排列顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加。
试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数。
解：假设得到的和中没有一个数字是偶数，即全是奇数。
在如下式所示的加法算式中，末一列数字的和d+a为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b+c≤9。
将已知数的前两位数字a，b与末两位数字c，d去掉，所得的13位数仍具有“将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数”这一性质。
照此进行，每次去掉首末各两位数字，最后得到一位数，它与自身相加是偶数，矛盾。
故和的数字中必有偶数。
说明：显然结论对（4k+1）位数也成立。
但对其他位数的数不一定成立。
如12+21，506+605等。
例3 有一个魔术钱币机，当塞入1枚1分硬币时，退出1枚1角和1枚5分的硬币；当塞入1枚5分硬币时，退出4枚1角硬币；当塞入1枚1角硬币时，退出3枚1分硬币。
最新数学竞赛专题讲座七年级第5讲-计算—工具与算法的变迁(含答案)
第五讲 计算——工具与算法的变迁研究数学、学习数学总离不开计算，随着时代的变迁，计算工具在不断地改变，从中国古老的算盘、纸笔运算发展到利用计算器、计算机运算．初中代数中运算贯穿于始终，运算能力是运算技能与逻辑能力的结合，它体现在对算理算律的理解与使用，综合运算的能力及选择简捷合理的运算路径上，这要求我们要善于观察问题的结构特点，灵活选用算法和技巧，有理数的计算常用的方法与技巧有： 1．巧用运算律； 2．用字母代数； 3．分解相约； 4．裂项相消； 5．利用公式； 6．加强估算等．“当今科学活动可以分成理论、实验和计算三大类，科学计算已经与理论研究、科学实验一起，成为第三种科学方法．——威尔逊注：威尔逊，著名计算物理学家，20世纪80年代诺贝尔奖获得者．【例1】 现有四个有理数3，4，6-，l0，将这4个数(每个数用且只用一次)进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24，其三种本质不同的运算式有：(1) ；(2) ；(3) ． (浙江省杭州市中考题) 思路点拨 从24最简单的不同表达式人手，逆推，拼凑．链接： 今天，计算机泛应用于社会生活各个方面，计算机技术在数学上的应用，不但使许多繁难计算变得简单程序化，而且还日益改变着我们的观念与思维． 著名的计算机专家沃斯说过：“程序=算法十数据结构”． 有理数的计算与算术的计算有很大的不同，主要体现在： (1)有理数的计算每一步要确定符号； （2）有理数计算常常是符号演算；(3)运算的观念得以改变，如两个有理数相加，其和不一定大于任一加数；两个有理数相减，其差不一定小于被减数．程序框图是一种用规定、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形，能清晰地展现算法的逻辑结构，常见的逻辑结构有：顺序结构、条件结构和循环结构．【例2】 如果4个不同的正整数q p n m 、、、满足4)7)(7)(7)(7(=----q p n m ，那么，q p n m +++等于( )．A ．10B ．2lC ．24D ．26E ．28 (新加坡数学竞赛题) 思路点拨 解题的关键是把4表示成4个不同整数的形式． 【例3】 计算： (1)100321132112111+++++++++++ΛΛ； (“祖冲之杯”邀请赛试题) (2)19492—19502+19512—19522+…+19972—19982+19992(北京市竞赛题) (3)5+52+53+…十52002．思路点拨 对于(1)，首先计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形人手；(2)式使人易联想到平方差公式，对于(3)，由于相邻的后一项与前一项的比都是5，可从用字母表示和式着手．链接：裂项常用到以下关系式： （1）ba ab b a 11+=+； （2）111)1(1+-=+a a a a ；（3）ba ab a a b +-=+11)(．运用某些公式，能使计算获得巧解，常用的公式有： （1）))((22b a b a b a -+=-； （2）2)1(321+=++++n n n Λ． 错位相减、倒序相加也是计算中常用的技巧．【例4】(1)若按奇偶分类，则22004+32004+72004+92004是 数；(2)设553=a ，444=b ，335=c ，则c b a 、、的大小关系是 (用“>”号连接)； (3)求证：32002+42002是5的倍数．思路点拨 乘方运算是一种特殊的乘法运算，解与乘方运算相关问题常用到以下知识：①乘方意义；②乘方法则；③02≥na；④n a 与a 的奇偶性相同；⑤在r k n +4中(k ，r 为非负整数，0≠n ，0≤r <4)，当r =0时，rk n +4的个位数字与n 4的个位数字相同；当0≠r 时，?r k n +4的个位数字与r n 的个位数字相同．【例5】有人编了一个程序：从1开始，交替地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法），每次加法，将上次运算结果加2或加3；每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3，例如，30可以这样得到：（1）证明：可以得到22； （2）证明；可以得到22297100-+．思路点拨 （1）试值可以得到22，从计算中观察得数的规律性，为（2）做准备；（2）连续地运用同一种运算以获得高次，在进行适当的变换可以求解．【例6】（1）已知a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，0<e 且1=e ，那么200520042003)()(e d c ab -+--的值为__________． (第19届江苏省竞赛题)（2）已知20062005122006220052)1(164834121-++-++-+-=+ΛΛk k k S ，则小于S 的最大整数是______． （第11届“华杯赛“试题）思路点拨 对于（1）从倒数、相反数的概念入手；（2）通过对数式的分组，估算S 的值的范围．【例7】按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x的不同值最多有（）．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个（义乌市中考题）思路点拨看懂程序图，循环运算是解本题的关键．【例8】如图所示是一33⨯的幻方，当空格填上适当的数后，每行、每列及对角线上的和都是相等的，求k的值．（两岸四地少年数学邀请赛试题）思路点拨为充分利用条件，需增设字母，运用关系式求出k的值．基础训练一、基础夯实1.(1)计算:211×(-455)+365×455-211×545+545×365=_________;(2)若a= -20042003,b=-20032002,c=-20022001,则a、b、c的大小关系是___________(用“〈”号连接〉.2.计算:(1)0.7×149+234×(-15)+0.7×59+14×(-15)=________;(第15届江苏省竞赛题)(2) 191919767676-76761919=________. (第12届“希望杯”邀请赛试题)(3)135⨯+157⨯+…+119971999⨯=________; (天津市竞赛题)(4)(13.672×125+136.72×12.25-1367.2×1.875)÷17.09=________.(第14届“五羊杯”竞赛题)3.在下式的每个方框内各填入一个四则运算符号(不再添加括号),•使得等式成立:6□3□2□12=24. (第17届江苏省竞赛题)4.1999加上它的12得到一个数,再加上所得的数的13又得到一个数,再加上这次得数的14又得到一个数,……,依此类推,一直加到上一次得数的11999,那么最后得到的数是_________.5.根据图所示的程序计算,若输入的x值为32,则输出的结果为( ).A.72B.94C.12D.92(2002年北京市海淀区中考题)输出结果y=-x+21<x ≤2y=x 2-1<x ≤1y=x+2-2≤x ≤-1输出y 值输入x 值6.已知a=-199919991999199819981998⨯-⨯+,b=-200020002000199919991999⨯-⨯+,c=-200120012001200020002000⨯-⨯+,则abc=( ).A.-1B.3C.-3D.1 (第11届“希望杯”邀请赛试题) 7.如果有理数a 、b 、c 满足关系a<b<0<c,那么代数式23bc acab c -的值( ).A.必为正数B.必为负数C.可正可负D.可能为0 8.将322、414、910、810由大到小的排序是( ).A.322、910、810、414B.322、910、414、810C.910、810、414、322D.322、414、910、810 (美国犹他州竞赛题) 9.阅读下列一段话,并解决后面的问题:观察下面一列数:1,2,4,8,…,我们发现,这一列数从第2项起,•每一项与它前一项的比都等于2.一般地,如果一列数从第二项起,每一项与它前一项的比都等于同一个常数,•这一列数就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比. (1)等比数列5,-15,45,…的第4项是________;(2)如果一列数a 1,a 2,a 3,a 4,…是等比数列,且公比为q,那么根据上述的规定,有 •21a a =q, 32a a =q, 43aa =q,…, 所以a 2=a 1q,a 3=a 2q=(a 1q)q=a 1q 2,a 4=a 3q=a 1q 3,…,a n =_______(用a 1与q 的代数式表示). (3)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项. (2003年广西省中考题)10.(1)已知a 、b 、c 都不等于零,且||a a +||b b +||c c +||abc abc 的最大值是m,最小值为n,求mn mn的值.(2)求证:5353-3333是10的倍数.二、能力拓展11.计算:(1) 2200340042003200240082003200422003300520032003200520053005-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯+⨯=_________.(第15届“希望杯”邀请赛试题)(2)2-22-23-24-25-26-27-28-29+210=___________;(3) 123369510157142113539155152572135⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=_______________.(4)98+998+9998+…+5099998⋅⋅⋅14243个=_________.(2003年“信利杯”竞赛题) 12.(1)32001×72002×132003所得积的末位数字是________;(第17届江苏省竞赛题) 13.若a 、b 、c 、d 是互不相等的整数(a<b<c<d),且abcd=121,则a c +b d =________. 14.你能比较20012002与20022001的大小吗?为了解决这个问题,我们先写出它的一般形式,即比较n n+1与(n+1)n 的大小(n 是自然数),然后,我们从分析n=1,n=2,n=3,……中发现规律,经归纳、猜想得出结论. (1)通过计算,比较下列各组中两数的大小(在空格中填写“)”、“＝”、•“〈”号〉. ①12_____21; ②23______32; ③34______43; ④45______54; ⑤56_____65;…… (2)从第(1)题的结果经过归纳,可以猜想出n n+1和(n+1)n 的大小关系是_______.(3)根据上面归纳猜想得到的一般结论,试比较下列两个数的大小20012002___20022001. (江苏省常州市中考题) 15.如果11||t t +22||tt +33||t t =1,则123123||t t t t t t 的值为( ).A.-1B.1C.±1D.不确定 (2003河北省竞赛题) 16.如果ac<0,那么下面的不等式ac<0,a c 2<0,a 2c<0,c 3a<0,ca 3<0中必定成立的有( • ). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个17.设S=213⨯+2235⨯+3257⨯+…4929799⨯,T=13+25+227+…48299,则S-T=( ).A.49299B.1-49299C.49299-1D.49299+1 (第14届“五羊杯”竞赛题)18.10个互不相等的有理数,每9个的和都是“分母为22的既约真分数(分子与分母无公约数的真分数)”，则这10个有理数的和为( ).A.12 B. 1118 C. 76 D. 59(第11届江苏省竞赛题) 19.图中显示的填数“魔方”只填了一部分,将下列9个数: 14,12,1,2,4,8,•16,•32,64填入方格中,使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等,求x 的值. (上海市竞赛题)64x3220.设三个互不相等的有理数,既可分别表示为1,a+b,a的形式,又可分别表示为0, ab,b的形式,求a2002+b2001的值.三、综合创新21.(1)三个2,不用运算符号,写出尽可能大的数;(2)三个4,不用运算符号,写出尽可能大的数.(3)用相同的3个数字(1～9),不用运算符号,写出最大的数.22.如图,是一个计算装置示意图,J1、J2是数据输入口,C是计算输出口,计算过程是由J1、J2分别输入自然数m和n,经计算后得自然数K由C输出,此种计算装置完成的计算满足以下三个性质:(1)若J1、J=2分别输入1，则输出结果为1;(2)若J=1输入任何固定的自然数不变,J2输入自然数增大1,则输出结果比原来增大2;(3)若J2输入1,J1输入自然数增大1,则输出结果为原来的2倍.试问:(1)若J1输入1,J2输入自然数n,输出结果为多少?(2)若J2输入1,J1输入自然数m,输出结果为多少?(3)若J1输入自然数m,J2输入自然数n,输出的结果为多少?(2002年扬州中学招生试题)C nmj2 j1答案：1.(1)154000,(2)a>b>c.2.(1)-43.6;(2)-334;(3) 9985997; (4)•48,•注意13672=•8•×1709. 3.略 4.1999000 提示:原式=1999×(1+12)(1+13)×…×(1+11999) 5.C 6.A 7.B 8.A 9.(1)-135;(2)a n =a 1q n-1;(3)a 1=5,a 4=40. 10.(1)-16 提示:||xx =±1,m=4,n=-4;(2)5353与3333的个位数字相同. 11.(1)667668;(2)6 提示:2n+1-2n =2n ;(3)25; (4) 111000491⋅⋅⋅14243个 12.(1)9;(2)115200 13.-1214.(1)略;(2)当n<3时,n n+1<(n+1)n ;当n ≥3时,n n+1>(n+1)n ;(3)>. 15.A 16.C 17.B 提示:1111()(2)22n n n n =-++ 18.A 19.这9个数的积为14×12×1×2×4×8×16×32×64=643, 所以,每行、每列、每条对角线上三个数字积为64, 得ac=1,ef=1,ax=2,a,c,e,f 分别为14,12, 2,4中的某个数,推得x=8. fed c b a 64x 3220.2 提示:这两个三数组在适当的顺序下对应相等,于是可以断定,a+b 与a•中有一个为0,ba与b 中有一个为1,再讨论得a=-1,b=1. 21.(1)222;(2)444=4256>444;(3)设所用数字为a,可得下面4种写法:①当a=1时,111最大;②当a=2时,222最大;③当a=3时,333最大;④当a ≥4时,a 最大. 22.由题意设输出数,设C(m,n)为k,则C(1,1)=1,C(m,n)=c(m,n-1)+2,C(m,•1)•=2C(m-1,1).(1)C(1,n)=C(1,n-1)+2=C(1,n-2)+2×2=…= C(1,1)+2(n-1)=1+2(n-1)=2n-1 (2)C(m,1)=2C(m-1,1)=22·C(m-2,1)=…=2m-1C(1,1)=2m-1.(3)C(m,n)=C(m,n-1)+2=C(m,n-2)+2×2=…=C(m-1)+2(n-1)=22C(m-2,1)+2(n-1)=…=2m-1C(1,1)+2n-2=2m-1+2n-2.提高训练1．若1+=m m ，则2004)14(+m =______． （“希望杯”邀请赛试题）2．符号“f ”表示一种运算，他对一些数的运算结果是： （1）0)1(=f ，1)2(=f ，2)3(=f ，3)4(=f ，… （2）2)21(=f ，3)31(=f ，4)41(=f ，5)51(=f ，…利用以上规律计算：=-)2008()20081(f f ______． （贵阳市中考题）3．3028864215144321-+-+-+-+-+-+-ΛΛ等于（ ）．A ．41B ．41-C ．21D ．21- （“希望杯”邀请赛试题）4．20032004)2(3)2(-⨯+- 的值为（ ）．A ．20032-B ．20032C ．20042-D ．20042 (江苏省竞赛题)5．自然数d c b a 、、、满足111112222=+++d c b a ，则65431111dc b a +++等于（ ）． A ．81 B ．163 C ．327 D ．6415 （北京市竞赛题）6．d c b a 、、、是互不相等的正整数，且441=abcd ，那么d c b a +++的值是（ ）．A ．30B ．32C ．34D ．36 (“希望杯”邀请赛试题) 7．已知55)(2+=+++b b b a ，且012=--b a ．求ab 的值．（北京市迎春杯竞赛题） 8．已知a 、b 、c 都不等于0，且abcabcc c b b a a +++的最大值为m ，最小值为n ，则=+2005)(n m ______． (重庆市竞赛题)9．从下面每组数中各取一个数，将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是______．第一组：5-，313，4.25，5.75； 第二组：312-，151；第三组：2.25，125，4-． （“华杯赛”试题） 10．计算：20066423100864231006642310046423++++++++++++++++++++ΛΛΛΛΛ的值是（ ）．A ．10033B ．10043C ．3341D ．10001 （第18届五羊杯竞赛题）11．已知有理数x 、y 、z 两两不相等，则z y y x --，x z z y --，yx xz --中负数的个数是（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 （重庆市竞赛题） 12．若有理数x 、y 使得y x +、y x -、xy 、yx这四个数中的三个数相等，则x y -的值是（ ）． A ．21- B ．0 C ．21 D ．23 （天津市竞赛题）13．已知05432<e d c ab ，下列判断正确的是（ ）．A ．0<abcdeB ．042<e cd ab C ．02<cde ab D ．04<e abcd (江苏省竞赛题)14．已知m ，n 都是正整数，并且)11)(11()311)(311)(211)(211(mm A +-+-+-=Λ，)11)(11()311)(311)(211)(211(n n B +-+-+-=Λ．证明：（1）m m A 21+=，nn B 21+=；（2）若261=-B A ,求m 和n 的值． （华杯赛试题）。
初一数学竞赛讲座4
初一数学竞赛讲座(四)有理数的有关知识一、 知识要点1、绝对值x 的绝对值x 的意义如下：x =⎩⎨⎧<-≥00x x x x ，如果，如果x 是一个非负数，当且仅当x=0时，x =0绝对值的几何意义是：一个数的绝对值表示这个数对应的数轴上的点到原点的距离；由此可得：b a -表示数轴上a 点到b 点的距离。
2、倒数1除以一个数(零除外)的商，叫做这个数的倒数。
如果两个数互为倒数，那么这两个数的积等于1。
3、相反数绝对值相同而符号相反的两个数互为相反数。
两个互为相反数的数的和等于0。
二、 例题精讲例1 化简 6312-+--+x x x分析：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0求出零点，然后用零点分段法将绝对值去掉，从而达到化简的目的。
解：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0 分别求得：x= -1/2， x=3， x=6当21-<x 时，原式= -(2x+1)+(x-3) - (x-6)= -2x+2当321<≤-x 时，原式= (2x+1)+(x-3) - (x-6)= 2x+4 当63<≤x 时，原式= (2x+1)-(x-3) - (x-6)= 10当x ≥6时，原式= (2x+1)-(x-3) + (x-6)= 2x-2∴原式=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤-+-<+-时当，时当，时当，时当，6x 2-2x 63 103 42 222121x x x x x评注：用零点分段法，通过零点分段将绝对值去掉，从而化简式子，解决问题是解决含绝对值问题的基本方法。
例2 已知312351312+----≥--x x x x x ，求的最大值和最小值。
(第六届迎春杯决赛试题) 分析：先解不等式，求出x 的范围，然后利用绝对值的几何意义来求最大值和最小值。
解：解不等式2351312x x x --≥--得： 117≤x117 31+--x x 的几何意义是x 到1的距离与x 到-3的距离的差，从上图中可以看出：当x ≤-3时这差取得最大值4，因117≤x ，则当117=x 时这差取得最小值1133-.评注：1、本题是采用数形结合的思想，用绝对值的几何意义来解题。
七年级数学竞赛讲座(共23讲)
目录第一讲有理数的巧算第二讲绝对值第三讲求代数式的值第四讲一元一次方程第五讲方程组的解法第六讲一次不等式(不等式组)的解法第七讲含绝对值的方程及不等式第八讲不等式的应用第九讲“设而不求”的未知数第十讲整式的乘法与除法第十一讲线段与角第十二讲平行线问题第十三讲从三角形内角和谈起第十四讲面积问题第十五讲奇数与偶数第十六讲质数与合数第十七讲二元一次不定方程的解法第十八讲加法原理与乘法原理第十九讲几何图形的计数问题第二十讲应用问题的算术解法与代数解法第二十一讲应用问题解题技巧第二十二讲生活中的数学(一)——储蓄、保险与纳税第二十三讲生活中的数学(二)——地板砖上的数学第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“－”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1－2+3－4+…+(－1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“－1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“－1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解S=(1－2)+(3－4)+…+(－1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(－1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n－1)／2个(－1)的和，再加上最后一项(－1)n+1·n=n，所以有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“－”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3， (1998)前任意添加符号“+”或“－”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“－”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“－”，显然n－(n+1)－(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1－2－3+4)+(5－6－7+8)+…+(1993－1994－1995+1996)－1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100－2)的值：(100+2)×(100－2)=100×100－2×100+2×100－4=1002－22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a－b)=a2－b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算3001×2999的值．解3001×2999=(3000+1)(3000－1)=30002－12=8 999 999．例6计算103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100－3)(10000+9)=(1002－9)(1002+9)=1004－92=99 999 919．例7计算：分析与解直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n－1，12 347=n+1，于是分母变为n2－(n－1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2－(n2－12)=n2－n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．例8计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2－1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a－b)=a2－b2了．解原式=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24－1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232－1)(232+1)=264－1．例9计算：分析在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a－b)=a2－b2．这个公式也可以反着使用，即a2－b2=(a+b)(a－b)．本题就是一个例子．通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10计算：我们用一个字母表示它以简化计算．3．观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(－3)+1+4+(－2)+3+1+(－1)+(－3)+2+(－4)+0+2+(－2)+0+1+(－4)+(－1)+2+5+(－2)=1800－1=1799，平均分为90+(－1)÷20=．例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有S=500 000．说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3－1=5－3=7－5=…=1999－1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13计算1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解设S=1+5+52+…+599+5100，①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101－1，说明如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．例14 计算：分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．练习一1．计算下列各式的值：(1)－1+3－5+7－9+11－…－1997+1999；(2)11+12－13－14+15+16－17－18+…+99+100；(3)1991×1999－1990×2000；(4)4726342+472 6352－472 633×472 635－472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．第二讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1a，b为实数，下列各式对吗若不对，应附加什么条件(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a－b｜=｜b－a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解(1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1－1所示，化简｜b－a｜+｜a+c｜+｜c－b｜．解由图1－1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b－a＜0，a＋c＜0，c－b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b－a｜=a－b，｜a+c｜=－(a+c)，｜c－b｜=b－c．于是有原式=(a－b)－(a+c)+(b－c)=a－b－a－c+b－c=－2c．例3已知x＜－3，化简：｜3+｜2－｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜=｜3－(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜－x｜=－x．解因为abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=－3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=－1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x－y｜=y－x，求x+y的值．解因为｜x－y｜≥0，所以y－x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=－3．(1)当y=2时，x+y=－1；(2)当y=－2时，x+y=－5．所以x+y的值为－1或－5．例6若a，b，c为整数，且｜a－b｜19+｜c－a｜99=1，试计算｜c－a｜+｜a－b｜+｜b－c｜的值．解a，b，c均为整数，则a－b，c－a也应为整数，且｜a－b｜19，｜c－a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是｜a－b｜19=0且｜c－a｜99=1，①或｜a－b｜19=1且｜c－a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b－c｜=｜c－a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b－c｜=｜a －b｜=1．无论①或②都有｜b－c｜=1且｜a－b｜+｜c－a｜=1，所以｜c－a｜+｜a－b｜+｜b－c｜=2．解依相反数的意义有｜x－y+3｜=－｜x+y－1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x－y+3｜=0且｜x+y－1999｜=0．即由①有x－y=－3，由②有x+y=1999．②－①得2y=2002，y=1001，所以例8 化简：｜3x+1｜+｜2x－1｜．分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了．原式=－(3x+1)－(2x－1)=5x；原式=(3x+1)－(2x－1)=x+2；原式=(3x+1)+(2x－1)=5x．即说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．例9已知y=｜2x+6｜+｜x－1｜－4｜x+1｜，求y的最大值．分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．解有三个分界点：－3，1，－1．(1)当x≤－3时，y=－(2x+6)－(x－1)+4(x+1)=x－1，由于x≤－3，所以y=x－1≤－4，y的最大值是－4．(2)当－3≤x≤－1时，y=(2x+6)－(x－1)+4(x+1)=5x+11，由于－3≤x≤－1，所以－4≤5x+11≤6，y的最大值是6．(3)当－1≤x≤1时，y=(2x+6)－(x－1)－4(x+1)=－3x+3，由于－1≤x≤1，所以0≤－3x+3≤6，y的最大值是6．(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x－1)－4(x+1)=－x+1，由于x≥1，所以1－x≤0，y的最大值是0．综上可知，当x=－1时，y取得最大值为6．例10设a＜b＜c＜d，求｜x－a｜+｜x－b｜+｜x－c｜+｜x－d｜的最小值．分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x－a｜，｜x－b｜，｜x －c｜，｜x－d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x－a｜表示线段AX之长，同理，｜x－b｜，｜x－c｜，｜x－d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x－a｜，｜x－b｜，｜x－c｜，｜x－d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d－a)+(c－b)．例11若2x+｜4－5x｜+｜1－3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x－5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4－5x｜=4－5x且｜1－3x｜=3x－1．故x应满足的条件是此时原式=2x+(4－5x)－(1－3x)+4=7．练习二1．x是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x－2)+(x－4)｜=｜x－2｜+｜x－4｜；(2)｜(7x+6)(3x－5)｜=(7x+6)(3x－5)．2．化简下列各式：(2)｜x+5｜+｜x－7｜+｜x+10｜．3．若a＋b＜0，化简｜a+b－1｜－｜3－a－b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x－2｜－｜3x－9｜，求y的最大值．5．设T=｜x－p｜+｜x－15｜+｜x－p－15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，T 的最小值是多少6．已知a＜b，求｜x－a｜+｜x－b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a－b｜+｜b－c｜=｜a －c｜，那么B点应为( )．(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左边；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能．第三讲求代数式的值用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧．例1求下列代数式的值：分析上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．=0－4a3b2－a2b－5=－4×13×(－2)2－12×(－2)－5=－16+2－5=－19．(2)原式=3x2y－xyz+(2xyz－x2z)+4x2[3x2y－(xyz－5x2z)]=3x2y－xyz+2xyz－x2z+4x2z－3x2y+(xyz－5x2z)=(3x2y－3x2y)+(－xyz+2xyz+xyz)+(－x2z+4x2z－5x2z)=2xyz－2x2z=2×(－1)×2×(－3)－2×(－1)2×(－3)=12+6=18．说明本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化．例2已知a－b=－1，求a3+3ab－b3的值．分析由已知条件a－b=－1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．解法1由a－b=－1得a=b－1，代入所求代数式化简a3+3ab－b3=(b－1)3+3(b－1)b－b3=b3－3b2+3b－1+3b2－3b－b3=－1．说明这是用代入消元法消去a化简求值的．解法2因为a－b=－1，所以原式=(a3－b3)+3ab=(a－b)(a2+ab+b2)+3ab=－1×(a2+ab+b2)+3ab=－a2－ab－b2+3ab=－(a2－2ab+b2)=－(a－b)2=－(－1)2=－1．说明这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3 因为a－b=－1，所以原式=a3－3ab(－1)－b3=a3－3ab(a－b)－b3=a3－3a2b+3ab2－b3=(a－b)3=(－1)3=－1．说明这种解法巧妙地利用了－1=a－b，并将3ab化为－3ab(－1)=－3ab(a－b)，从而凑成了(a －b)3．解法4 因为a－b=－1，所以(a－b)3=(－1)3=1，即a3+3ab2－3a2b－b3=－1，a3－b3－3ab(a－b)=－1，所以a3－b3－3ab(－1)=－1，即a3－b3+3ab=－1．说明这种解法是由a－b=－1，演绎推理出所求代数式的值．解法5a3+3ab－b3=a3+3ab2－3a2b－b3－3ab2+3a2b+3ab=(a－b)3+3ab(a－b)+3ab=(－1)3+3ab(－1)+3ab=－1．说明这种解法是添项，凑出(a－b)3，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a－b)2=a2－2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a－b)3=a3－3a2b+3ab2－b3；a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．解由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简．所以解因为a=3b，所以c=5a=5×(3b)=15b．将a，c代入所求代数式，化简得解因为(x－5)2，｜m｜都是非负数，所以由(1)有由(2)得y+1=3，所以y=2．下面先化简所求代数式，然后再代入求值．=x2y+5m2x+10xy2=52×2+0+10×5×22=250例6如果4a－3b=7，并且3a+2b=19，求14a－2b的值．分析此题可以用方程组求出a，b的值，再分别代入14a－2b求值．下面介绍一种不必求出a，b的值的解法．解14a－2b=2(7a－b)=2[(4a+3a)+(－3b+2b)]=2[(4a－3b)+(3a+2b)]=2(7+19)=52．｜x｜+｜x－1｜+｜x－2｜+｜x－3｜+｜x－4｜+｜x－5｜的值．分析所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：0，1，2，据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有3个x和3个－x，这样将抵消掉x，使求值变得容易．原式=x+(x－1)+(x－2)－(x－3)－(x－4)－(x－5)=－1－2+3+4+5=9．说明实际上，本题只要x的值在2与3之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x 具体的取值无关．例8若x:y:z=3:4:7，且2x－y+z=18，那么x+2y－z的值是多少分析x:y:z=3:4:7可以写成的形式，对于等比，我们通常可以设它们的比值为常数k，这样可以给问题的解决带来便利．x=3k，y=4k，z=7k．因为2x－y+z=18，所以2×3k－4k+7k=18，所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以x+2y－z=6+16－14=8．例9已知x=y=11，求(xy－1)2+(x+y－2)(x+y－2xy)的值．分析本题是可直接代入求值的．下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值．解设x+y=m，xy=n．原式=(n－1)2+(m－2)(m－2n)=(n－1)2+m2－2m－2mn+4n=n2－2n+1+4n－2m－2mn+m2=(n+1)2－2m(n+1)+m2=(n+1－m)2=(11×11+1－22)2=(121+1－22)2=1002=10000．说明换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式．练习三1．求下列代数式的值：(1)a4+3ab－6a2b2－3ab2+4ab+6a2b－7a2b2－2a4，其中a=－2，b=1；的值．3．已知a=，b=－，求代数式｜6－5b｜－｜3a－2b｜－｜8b－1｜的值．4．已知(a+1)2－(3a2+4ab+4b2+2)=0，求a，b的值．5．已知第四讲一元一次方程方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．例1解方程解法1从里到外逐级去括号．去小括号得去中括号得去大括号得解法2按照分配律由外及里去括号．去大括号得化简为去中括号得去小括号得例2已知下面两个方程3(x+2)=5x，①4x－3(a－x)=6x－7(a－x) ②有相同的解，试求a的值．分析本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．解由方程①可求得3x－5x=－6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程②时，应有4×3－3(a－3)=6×3－7(a－3)，7(a－3)－3(a－3)=18－12，例3已知方程2(x+1)=3(x－1)的解为a+2，求方程2[2(x+3)－3(x－a)]=3a的解．解由方程2(x+1)=3(x－1)解得x=5．由题设知a+2=5，所以a=3．于是有2[2(x+3)－3(x－3)]=3×3，－2x=－21，例4解关于x的方程(mx－n)(m+n)=0．分析这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况．解把原方程化为m2x+mnx－mn－n2=0，整理得m(m+n)x=n(m+n)．当m+n≠0，且m=0时，方程无解；当m+n=0时，方程的解为一切实数．说明含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围．解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．例5解方程(a+x－b)(a－b－x)=(a2－x)(b2+x)－a2b2．分析本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．解将原方程整理化简得(a－b)2－x2=a2b2+a2x－b2x－x2－a2b2，即(a2－b2)x=(a－b)2．(1)当a2－b2≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解(2)当a2－b2=0时，即a=b或a=－b时，若a－b≠0，即a≠b，即a=－b时，方程无解；若a－b=0，即a=b，方程有无数多个解．例6已知(m2－1)x2－(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x－2m)+m的值．解因为(m2－1)x2－(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，所以m2－1=0，即m=±1．(1)当m=1时，方程变为－2x+8=0，因此x=4，代数式的值为199(1+4)(4－2×1)+1=1991；(2)当m=－1时，原方程无解．所以所求代数式的值为1991．例7 已知关于x的方程a(2x－1)=3x－2无解，试求a的值．解将原方程变形为2ax－a=3x－2，即(2a－3)x=a－2．由已知该方程无解，所以例8k为何正数时，方程k2x－k2=2kx－5k的解是正数来确定：(1)若b=0时，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立．(2)若ab＞0时，则方程的解是正数；反之，若方程ax=b的解是正数，则ab＞0成立．(3)若ab＜0时，则方程的解是负数；反之，若方程ax=b的解是负数，则ab＜0成立．解按未知数x整理方程得(k2－2k)x=k2－5k．要使方程的解为正数，需要(k2－2k)(k2－5k)＞0．看不等式的左端(k2－2k)(k2－5k)=k2(k－2)(k－5)．因为k2≥0，所以只要k＞5或k＜2时上式大于零，所以当k＜2或k＞5时，原方程的解是正数，所以k＞5或0＜k＜2即为所求．例9若abc=1，解方程解因为abc=1，所以原方程可变形为化简整理为化简整理为说明像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．例10若a，b，c是正数，解方程解法1原方程两边乘以abc，得到方程ab(x－a－b)+bc(x－b－c)+ac(x－c－a)=3abc．移项、合并同类项得ab[x－(a+b+c)]+bc[x－(a+b+c)]+ac[x－(a+b+c)]=0，因此有[x－(a+b+c)](ab+bc+ac)=0．因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ab+bc+ac≠0，所以x－(a+b+c)=0，即x=a+b+c为原方程的解．解法2将原方程右边的3移到左边变为－3，再拆为三个“－1”，并注意到其余两项做类似处理．设m=a+b+c，则原方程变形为所以即x－(a+b+c)=0．所以x=a+b+c为原方程的解．说明注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一．例11设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：分析要解此方程，必须先去掉[ ]，由于n是自然数，所以n与(n+1)…，n[x]都是整数，所以x必是整数．解根据分析，x必为整数，即x=[x]，所以原方程化为合并同类项得故有所以x=n(n+1)为原方程的解．例12已知关于x的方程且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．解由原方程可解得a最小，所以x应取x=160．所以所以满足题设的自然数a的最小值为2．练习四1．解下列方程：*2．解下列关于x的方程：(1)a2(x－2)－3a=x+1；4．当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5－kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．第五讲方程组的解法二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍．例1解方程组解将原方程组改写为由方程②得x=6+4y，代入①化简得11y－4z=－19．④由③得2y+3z=4．⑤④×3+⑤×4得33y+8y=－57+16，所以y=－1．将y=－1代入⑤，得z=2．将y=－1代入②，得x=2．所以为原方程组的解．说明本题解法中，由①，②消x时，采用了代入消元法；解④，⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y，还是消z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单．解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快．例2解方程组解法1由①，④消x得由⑥，⑦消元，得解之得将y=2代入①得x=1．将z=3代入③得u=4．所以解法2由原方程组得所以x=5－2y=5－2(8－2z)=－11+4z=－11+4(11－2u)=33－8u=33－8(6－2x)=－15+16x，即x=－15+16x，解之得x=1．将x=1代入⑧得u=4．将u=4代入⑦得z=3．将z=3代入⑥得y=2．所以为原方程组的解．解法3①+②+③+④得x+y+z+u=10，⑤由⑤－(①+③)得y+u=6，⑥由①×2－④得4y－u=4，⑦⑥+⑦得y=2．以下略．说明解法2很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅．例3解方程组分析与解注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：①+②得x+u=3，⑥②+③得y+v=5，⑦③+④得z+x=7，⑧④+⑤得u+y=9．⑨又①+②+③+④+⑤得x+y+z+u+v=15．⑩⑩－⑥－⑦得z=7，把z=7代入⑧得x=0，把x=0代入⑥得u=3，把u=3代入⑨得y=6，把y=6代入⑦得v=－1．所以为原方程组的解．例4解方程组解法1①×2+②得由③得代入④得为原方程组的解．为原方程组的解．说明解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程．例5已知分析与解一般想法是利用方程组求出x，y，z的值之后，代入所求的代数式计算．但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的，因此无法求出x，y，z的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变形．①－②消去x得①×3+②消去y得①×5+②×3消去z得例6已知关于x，y的方程组分别求出当a为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．分析与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论．但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．解由①得2y=(1+a)－ax，③将③代入②得(a－2)(a+1)x=(a－2)(a+2)．④(1)当(a－2)(a+1)≠0，即a≠2且a≠－1时，方程④有因而原方程组有唯一一组解．(2)当(a－2)(a+1)=0且(a－2)(a+2)≠0时，即a=－1时，方程④无解，因此原方程组无解．(3)当(a－2)(a+1)=0且(a－2)(a+2)=0时，即a=2时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解．例7已知关于x，y的二元一次方程(a－1)x+(a+2)y+5－2a=0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．解法1根据题意，可分别令a=1，a=－2代入原方程得到一个方程组将x=3，y=－1代入原方程得(a－1)·3+(a+2)·(－1)+5－2a=0．所以对任何a值都是原方程的解．说明取a=1为的是使方程中(a－1)x=0，方程无x项，可直接求出y值；取a=－2的道理类似．解法2可将原方程变形为a(x+y－2)－(x－2y－5)=0．由于公共解与a无关，故有例8甲、乙两人解方程组原方程的解．分析与解因为甲只看错了方程①中的a，所以甲所得到的解4×(－3)－b×(－1)=－2．③a×5+5×4=13．④解由③，④联立的方程组得所以原方程组应为练习五1．解方程组2．若x1，x2，x3，x4，x5满足方程组试确定3x4+2x5的值．3．将式子3x2+2x－5写成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式，试求4．k为何值时，方程组有唯一一组解；无解；无穷多解5．若方程组的解满足x+y=0，试求m的值．第六讲一次不等式(不等式组)的解法不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型．在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”．本讲是系统学习不等式的基础．下面先介绍有关一次不等式的基本知识，然后进行例题分析．1．不等式的基本性质这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质(5))；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6))．2．区间概念在许多情况下，可以用不等式表示数集和点集．如果设a，b为实数，且a＜b，那么(1)满足不等式a＜x＜b的数x的全体叫作一个开区间，记作(a，b)．如图1－4(a)．(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间，记作[a，b]．如图1－4(b)．(3)满足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全体叫作一个半开半闭区间，记作(a，b](或[a，b))．如图1－4(c)，(d)．3．一次不等式的一般解法一元一次不等式像方程一样，经过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准型：ax＞b，或ax＜b．为确定起见，下面仅讨论前一种形式．一元一次不等式ax＞b．。
福清市宏路中学七年级数学竞赛讲座 (5)
初一数学竞赛讲座第6讲 图形与面积一、直线图形的面积在小学数学中我们学习了几种简单图形的面积计算方法，数学竞赛中的面积问题不但具有直观性，而且变换精巧，妙趣横生，对开发智力、发展能力非常有益。
图形的面积是图形所占平面部分的大小的度量。
它有如下两条性质：1．两个可以完全重合的图形的面积相等；2．图形被分成若干部分时，各部分面积之和等于图形的面积。
对图形面积的计算，一些主要的面积公式应当熟记。
如：正方形面积=边长×边长；矩形面积=长×宽；平行四边形面积=底×高； 三角形面积=底×高÷2；梯形面积=（上底+下底）×高÷2。
此外，以下事实也非常有用，它对提高解题速度非常有益。
1．等腰三角形底边上的高线平分三角形面积； 2．三角形一边上的中线平分这个三角形的面积； 3．平行四边形的对角线平分它的面积； 4．等底等高的两个三角形面积相等。
解决图形面积的主要方法有：1．观察图形，分析图形，找出图形中所包含的基本图形；2．对某些图形，在保持其面积不变的条件下改变其形状或位置（叫做等积变形）； 3．作出适当的辅助线，铺路搭桥，沟通联系； 4．把图形进行割补（叫做割补法）。
例1 你会用几种不同的方法把一个三角形的面积平均分成4等份吗？解：最容易想到的是将△ABC 的底边4等分， 如左下图构成4个小三角形，面积都为原来的三 角形面积的41。
另外，先将三角形△ABC 的面积2等分（如右 上图），即取BC 的中点D ，连接AD ， 则S △ABD =S △ADC ，然后再将这两个小三角 形分别2等分，分得的4个小三角形各自的面积为原来大三角形面积的41。
还 有许多方法，如下面的三种。
请你再想出几种不同的方法。
例2 右图中每个小方格面积都是1cm 2，那么六边形 ABCDEF 的面积是多少平方厘米？分析：解决这类问题常用割补法，把图形分成几个简单 的容易求出面积的图形，分别求出面积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初一数学竞赛系列讲座(5)代数式初步一、一、知识要点 1、代数式定义1 用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。
2、代数式的值定义2 用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。
3、列代数式列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、少、增加、增加到等数学概念和有关知识。
列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”。
4、求代数式的值代数式的值由它所含字母的取值决定，并随字母取值的改变而改变，字母取不同的值，代数式的值可能同也可能不同。
代数式中所含字母取值时，不能使代数式无意义。
求代数式的值的一般步骤是(1)代入，(2)计算。
二、二、例题精讲例1、轮船在静水中的速度是每小时a 千米，水流速度为每小时b 千米(b<a)，甲乙两码头间相距S 千米，则轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度为每小时 千米。
分析：轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度应为往返一趟的总路程除以总时间。
解 因为轮船在静水中的速度是每小时a 千米，水流速度为每小时b 千米(b<a)则轮船的顺流速度为(a+b)千米，逆流速度为(a-b)千米，所以顺流所用时间是b a +S逆流所用时间是b a -S，轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度为往返路程的和除以往返所用时间的和，即ab a ba Sb a S 222S -=-++评注：顺流速度=静水中的速度+水流速度；逆流速度=静水中的速度-水流速度。
例2一支部队排成a 米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t 1分钟追上了团长。
为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t 2分钟。
如果他从最前头跑步回到队尾，那么要( )分钟。
A 、2121t t t t +B 、21212t t t t +C 、21212t t t t +D 、21212t t t t +分析：这是行程问题中的相遇问题。
解 部队的行军速度为2t a 米/分。
t 1分钟内，队尾的战士比部队多走了a 米，则他的速度为112t at t a+⋅米/分=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+12t a t a 米/分。
他从最前头跑步回到队尾的过程中，队尾恰好与他相向而行，故所需时间应为=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷12212121t t t a t a t a a 21212t t t t +(分) 选C例3 若a<b<c ，x<y<z ，则下面四个代数式的值最大的是( )A 、ax+by+czB 、ax+cy+bzC 、bx+ay+czD 、bx+cy+az分析：由于本题涉及的字母比较多，直接比较四个代数式的大小很困难。
因为是选择题，故可采用特值排除法来解。
解：∵a<b<c ，x<y<z ，∴可设a=x=1,b=y=2,c=z=3，然后分别代入四个选择支计算得：A 的值是14；B 、C 的值都为13；C 的值为11，故选A评注：用特值排除法来解选择题，有时能取到事半功倍的效果。
例4 已知()0122101011111212621a x a x a x a x a x a x x++++++=+- ，求0281012a a a a a +++++ 的值。
分析 此题若将左边六次方展开，计算相当繁琐。
注意到求的是偶次幂项的系数和，故可将x=1和x= -1分别代入已知等式的两边，得到1012101112=++++++a a a a a a和2970129101112=+-++-+-a a a a a a a ，相加除以2即可得所求的值。
解 将x=1代入已知等式，得1012101112=++++++a a a a a a 将x= -1代入已知等式，得2970129101112=+-++-+-a a a a a a a 两式相加，得2(0281012a a a a a +++++ )=730 ∴0281012a a a a a +++++ =365 评注：本题采用的是特值法。
例5 已知当x=7时,代数式ax 5+bx-8=8,求x=7时,8225++x bx a 的值.分析 代数式ax 5+bx-8中有三个字母,将x=7代入，仍无法求出a,b 的值，影响直接代入求值，但通过观察，发现将x=7代入,可整体地求出75a+7b 的值，从而问题得到解决。
解 由已知条件知：a ⨯75+b ⨯7-8=8，所以a ⨯75+b ⨯7=16当x=7时，8225++x b x a =21(a ⨯75+b ⨯7)+8=21⨯16+8=16评注：本题采用的是“整体处理思想”，整体处理是一种常用的数学思想。
例6 若ab=1，求11+++b b a a 的值分析 此题的解法很多，关键是如何充分利用好ab=1，如由ab=1得出b a 1=，然后直接代入计算；如利用ab=1巧秒地将式子中的“1”代换成ab ；如在式子的一个分式的分子、分母上乘以a 或b ，然后化成同分母进行计算。
解法1 由ab=1得b a 1=，从而11+++b b a a =1111111111=++=+++=+++b b b b b b b b b解法2 ∵ab=1，∴11+++b b a a =11111=+++=+++b b b b b ab a a 解法3 ∵ab=1，∴11+++b b a a =11111=+++=+++b bb b b b ab ab评注：本题中的解法2与解法3巧秒地应用了 “1”的代换，“1”的代换是恒等变形中的常用技巧之一。
例7 若a 、b 、c 全不为零，且11,11=+=+c b b a 求证：11=+a c (1978丹东市数学竞赛试题)分析 本题是由两个已知等式来证明一个等式，容易发现，所求证等式中没有b ，因而可设法从两已知等式中消去b 。
证明：由a b b a -==+1111得，由c b c b 1111-==+得 两式相乘得()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=c a 1111 整理得c a c a =+1 去分母得ac+1=a ，因为a ≠0，故两边同除以a 得11=+a c评注：本题是证明条件恒等式，条件恒等式的证明关键是充分利用好条件式。
例8 对任意实数x 、y ，定义运算x *y 为x *y=ax+by+cxy 其中a 、b 、c 为常数，等式右端运算是通常的实数的加法和乘法。
现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d ，使得对于任意实数x,都有x *d=x ，求d 的值。
解 由已知条件知 1*2=a+2b+2c=3 ① 2*3=2a+3b+6c=4 ②x *d=ax+bd+cxd=(a+cd)x+bd=x ③由③得 a+cd=1 bd=0因为d ≠0，所以b=0 代入①得a+2c=3，代入②得2a+6c=4 从而解得a=5，c= -1，将a=5，c= -1代入a+cd=1得d=4评注：解决定义新运算的问题，关键是通过新运算的定义，将新运算转化为常规运算。
例9已知代数式d cx b ax ++2，当1,,1o x -=时的值分别为－1，2，2，而且d 不等于0，问当2=x 时该代数式的值是多少？(第11届希望杯数学竞赛培训题)分析：所给代数式中含有4个字母a 、b 、c 、d ，将所给的三个x 取值代入，可得三个方程，要直接求出a 、b 、c 、d 的值不可能，但可将d 视为常数，从而三个方程可组成关于a 、b 、c 方程组，可将a 、b 、c 用d 表示出来，代入将代数式化简后求值。
解：将1,0,1-=x 分别代入该代数式，得到.2;2;1=++=-=++-d c ba db dc b a由此可得 ;d c b a --=+- ).(2;2d c b a d b +=+- 将d b 2=代入第一个和第三个等式中，得,2d c d a --=+- ,222d c d a +=+∴d c a 3-=+-； .02=-c a 进而得到 .3,2,6d c d b d a ===将b a ,和c 代入代数式d cx b ax ++2中，得到d dx ddx d cx b ax ++=+-22326＝d x d x )13()26(2++ 13262++=x x ；再将2=x 代入，得.13141)2(32262=+⨯+⨯即当2=x 时该代数式的值是.1314评注：本题采用的是方程思想，方程思想是常用的数学思想，含有未知数的等式常常可看作一个方程。
三、三、巩固练习选择题1、若代数式2y 2+3y+7的值是2，则代数式4y 2+6y-9的值是( ) A 、1 B 、-19 C 、-9 D 、92、在代数式xy 2中，x 与 y 的值各减少25%，则代数式的值( )A 、减少50%B 、减少75%C 、减少其值的6437D 、减少其值的64273、一个两位数，用它的个位，十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是( )A 、26B 、28C 、36D 、384、在式子4321+++++++x x x x 中，用不同的x 值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是( )A 、1B 、2C 、3D 、45、实数a 、b 、c 满足a+b+c=0，且abc=1则c b a 111++的值( ) A 、是整数 B 、是零 C 、是负数 D 、正、负不定6、如果11111=++=++z y x z y x ，那么下列说法正确的是( )A 、x 、y 、z 中至少有一个为1B 、x 、y 、z 都等于1C 、x 、y 、z 都不等于1D 、以上说法都不对 填空题7、某人上山、下山的路程都是S ，上山速度为v ，下山速度为u ，则此人上、下山的平均速度是8、已知032)-(2=-+y x ，则代数式x x +y y -x y -y x 的值是 9、设a 、b 、c 、d 都是整数，且m=a 2+b 2，n=c 2+d 2，mn 也可以表示成两个整数的平方和，其形式是10、如果用四则运算的加、减、除法定义一种新的运算，对于任意实数x 、y 有y x yx y x -+=* 则()()31*191211**=11、如果2x 2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不同形式，那么=+c ba12、如果(x-a) (x-4)-1能够分解成两个多项式x+b 、x+c 的乘积，且b 、c 均为整数，则a=解答题13、已知()5544332210512x a x a x a x a x a a x +++++=-，求a 1+a 2+a 3+a 4+a 514、a 、b 、c 互不相等，化简()()()()()()b c a c ba c abc b a c b c a b a c b a ----+----+----22215、已知x-2y=2，求8463---+y x y x 的值。