数学人教b版必修4教案：1.2.3 同角三角函数的基本关系式 含答案
高中数学人教B版必修四学案：第一单元 1.2.3 同角三角函数的基本关系式 Word版含答案
1.2.3同角三角函数的基本关系式学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.知识点同角三角函数的基本关系式思考1计算下列式子的值：(1)sin230°＋cos230°；(2)sin245°＋cos245°；(3)sin290°＋cos290°.由此你能得出什么结论？尝试证明它.思考2由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？梳理(1)同角三角函数的基本关系式①平方关系：________________________________.②商数关系：________________________________.(2)同角三角函数基本关系式的变形①sin2α＋cos2α＝1的变形公式sin2α＝________；cos2α＝________.②tan α＝sin αcos α的变形公式sin α＝____________；cos α＝____________.类型一 利用同角三角函数的关系式求值命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值例1 若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值为( ) A.125 B.－125 C.512 D.－512反思与感悟 同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负.跟踪训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值例2 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值.反思与感悟 利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.跟踪训练2 已知cos α＝－513，求13sin α＋5tan α的值.类型二 利用同角三角函数关系化简例3 已知α是第三象限角，化简：1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.反思与感悟 解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.跟踪训练3 化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°； (2)1cos 2α1＋tan 2α－1＋sin α1－sin α(α为第二象限角).类型三 利用同角三角函数关系证明例4 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.反思与感悟 证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：(1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简.(2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一).(3)比较法：即证左边－右边＝0或左边右边＝1(右边≠0). (4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.跟踪训练4 求证：cos x 1－sin x＝1＋sin x cos x .类型四 齐次式求值问题例5 已知tan α＝2，求下列代数式的值.(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.反思与感悟 (1)关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值.(2)注意例5第(2)问的式子中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin 2α＋cos 2α代换后，再同除以cos 2α，构造出关于tan α的代数式.跟踪训练5 已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值. (1)3sin α－cos α2sin α＋3cos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋1.1.若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A.－43 B.34 C.±34 D.±432.已知sin α－cos α＝－54，则sin αcos α等于( ) A.74 B.－916 C.－932 D.9323.化简1－sin 23π5的结果是( ) A.cos 3π5 B.sin 3π5C.－cos 3π5D.－sin 3π5 4.若tan θ＝－2，则sin θcos θ＝________. 5.已知sin α＝15，求cos α，tan α.1.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少.(2)次数尽量低.(3)分母、根式中尽量不含三角函数.(4)能求值的尽可能求值.3.在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换.(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等).(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等).(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系求解.答案精析问题导学知识点思考1 3个式子的值均为1.由此可猜想：对于任意角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，下面用三角函数的定义证明： 设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义， 得sin α＝y ，cos α＝x .由勾股定理得sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2＝|OP |2＝1.思考2 ∵tan α＝y x ，∴tan α＝sin αcos α. 梳理 (1)①sin 2α＋cos 2α＝1②tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π2，k ∈Z ) (2)①1－cos 2α 1－sin 2α②cos αtan αsin αtan α题型探究例1 D跟踪训练1 cos α＝－35， sin α＝43cos α＝－45. 例2 解 ∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角． (1)当α是第二象限角时，则sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. (2)当α是第三象限角时，则sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.跟踪训练2 解 ∵cos α＝－513<0， ∴α是第二或第三象限角．(1)若α是第二象限角，则sin α＝1－cos 2α ＝1－(－513)2＝1213， tan α＝sin αcos α＝1213－513＝－125， 故13sin α＋5tan α＝13×1213＋5×(－125)＝0. (2)若α是第三象限角，则sin α＝－1－cos 2α＝－1－(－513)2＝－1213， tan α＝sin αcos α＝－1213－513＝125， 故13sin α＋5tan α＝13×(－1213)＋5×125＝0. 综上可知，13sin α＋5tan α＝0.例3 解 原式＝(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋sin α)(1－sin α)－(1－sin α)(1－sin α)(1＋sin α)(1－sin α) ＝(1＋sin α)21－sin 2α－(1－sin α)21－sin 2α ＝1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|. ∵α是第三象限角，∴cos α＜0.∴原式＝1＋sin α－cos α－1－sin α－cos α＝－2tan α(注意象限、符号)． 跟踪训练3 (1)1 (2)tan α例4 证明∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， ∴原等式成立．跟踪训练4 证明 (比较法——作差)∵cos x1－sin x －1＋sin x cos x ＝cos 2x －(1－sin 2x )(1－sin x )cos x＝cos 2x －cos 2x (1－sin x )cos x＝0， ∴cos x 1－sin x＝1＋sin x cos x . 例5 解 (1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611. (2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330. 跟踪训练5 (1)89 (2)1310当堂训练1．A 2.C 3.C 4.－255．解 ∵sin α＝15>0， ∴α是第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α ＝ 1－125＝265，tan α＝sin αcos α＝612； 当α为第二象限角时，cos α＝－265， tan α＝－612.。
人教版高中必修4(B版)1.2.3同角三角函数的基本关系教学设计
人教版高中必修4(B版)1.2.3同角三角函数的基本关系教学设计教学目标1.理解同一个角度三角函数之间的相互关系，掌握同角三角函数的基本性质和公式；2.能够通过三角函数的相互关系和性质解决实际问题；3.培养学生对三角函数的逻辑思维能力和应用能力，提高学生的数学素养。
教学内容1.2.3 同角三角函数的基本关系1.三角函数的概念和图像；2.同一个角度的正弦、余弦、正切、余切的相互关系和性质；3.二倍角的公式及其应用；4.定义域、值域及简单的图像变换。
教学重点1.同角三角函数的基本关系和性质；2.二倍角的公式及其应用。
教学难点1.解决实际问题的能力；2.三角函数的逻辑思维能力和应用能力。
教学方法1.通过引导学生进行讨论和实验，激发学生的兴趣和活跃性；2.利用多媒体教具展示图像和动态演示，提高学生的视觉体验；3.设计实际问题，提高学生的思维能力和应用能力；4.在授课过程中，不断引导学生发现问题和解决问题的方法，培养学生的探究精神。
教学过程一、导入（10分钟）1.展示三角函数的图像，帮助学生理解三角函数的概念；2.提出问题：你知道同一个角度的正弦、余弦、正切、余切之间有什么关系吗？二、学习同角三角函数的基本关系（30分钟）1.分组讨论，探讨同角三角函数之间的相互关系；2.利用多媒体教具展示同角三角函数之间的相互关系的公式和图像变换。
三、二倍角公式的应用（40分钟）1.分组讨论，探讨二倍角公式的意义和应用；2.设计实际问题，引导学生运用二倍角公式解决问题。
四、小结（10分钟）1.回顾同角三角函数的基本关系和二倍角公式的应用；2.指导学生如何巩固和拓展知识。
课后作业1.熟练掌握同角三角函数之间的相互关系和二倍角公式的应用；2.完成课后习题，巩固和拓展知识。
教学资源1.人教版高中数学教材；2.多媒体教具。
总结同角三角函数的基本关系和二倍角公式是高中数学重要的知识点，掌握了这一知识点，不仅能够解决实际问题，还能够提高学生的数学素养和应用能力。
新人教B版高中数学(必修4)1.2.3《同角三角函数的基本关系》word教案
2 同角三角函数关系及诱导公式[知识回顾]１．写出同角三角函数的八个关系，并利用三角函数定义加以证明2 诱导公式总口诀；奇变偶不变，符号看象限，其中“奇 偶”是指“()2k k Z α⋅±∈”中k 的奇偶，“符号”是把任意角α看作锐角时，原函数的符号。
[典例分析]例1．已知：54sin =α，且I I α∈，则=αcos _____，=αtan _____ 例2．已知：54sin =α，则=αcos _____，=αtan _____例3用锐角函数值表示下列各角函数值（1）=54sin π________；（2）=54cos π________；（3）=54tan π________；（4）=56sin π________；（5）=56cos π________；（6）=56tan π________； （7）=-)5sin(π________；（8）=-)5cos(π________；（9）=-)5tan(π________； （10）=-)2150sin(______；（11）=-)2150cos(______；（12）=-)2150tan(______； 例4 已知2tan =α，求 ①()2cos sin αα+②ααcos sin③αααcos 3sin 5cos 2sin 4+-④αααα22cos 2cos sin 3sin3-+例5 已知a =+ααcos sin ，求 ①=ααcos sin ②=-ααcos sin ③=+αα33cos sin ④=+ααcot tan ⑤=+αα22cot tan已知三角函数的一个代数式值，求另一个代数式值 例6 已知51cos sin =+αα，且︒<<︒1800α，求αtan 的值例7 已知α是第三象限角，且)sin()cot()23tan()2cos()sin()(αππαπααπαπα----+---=f（１）化简)(αf ; （２）若51)23cos(=-πα，求)(αf 的值； （３）若1860-=α，求)(αf 的值．例8 若锐角α的终边上一点A 的坐标为)3cos 2,3sin 2(-，求角α的弧度数．[课堂练习]１．若角α的终边落在直线0=+y x 上，则=-+-ααααcos cos 1sin 1sin 22（ ）2 (07全国)α是第四象限角， 12cos 13α=，则sin α=（ ） 3．若81cos sin =θθ，且24πθπ<<，则=-θθsin cos （ ） .A 43-.B 43.C 23-.D 23 4．)335cos(π-的值是（ ） .A 23-.B 23.C 21.D 21-5．已知21)sin(-=+απ，则αcos 的值为（ ）.A 21±.B 21.C 23.D 23±6．设)(x f 是定义域为R ，最小正周期为23π的函数，若⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤-=)0(sin )02( cos )(ππx x x x x f 则)415(π-f 的值等于（ ）.A 1.B 22.C 0.D 22-7．已知函数)cos()sin()(βπαπ+++=x b x a x f ，其中βα,,,b a 都是非零实数，又知1)2001(-=f ，则=)2004(f ________.[规范训练]1化简①)261sin()171sin(99sin )1071sin(--+-②)(cos 2)sin()2sin(12ααππα--+-+2．求下列各式值 ①已知2tan =α，求αααα22cos cos sin sin 2+-的值②已知x x cos 3sin =，求x x cos sin 的值③已知32cot =θ，求θθθ22sin 3cos sin 5cos 1+-的值④2cos sin =+αα，求ααcos sin -的值3．求函数()1sin 4cos 2++=x x x f 的最大值和最小值4．求()xx xx x f cos sin 1cos sin ++=的最大值及取最大值时相应的x 值5．已知)4cos(2)3sin(παπα-=-，求)sin()23sin(2)2cos(5)sin(ααπαπαπ----+-的值．。
人教B版数学必修四讲义：第1章 1.2 1.2.3 同角三角函数的基本关系式 Word版含答案
1.2.3 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2 α＋cos 2 α＝1.商数关系：sin αcos α＝tan_α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .(2)语言叙述：同一个角α 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切． 思考：“同角”一词的含义是什么？[提示] 一是“角相同”，如sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin 215°＋cos 215°＝1，sin 2π19＋cos 2π19＝1等．1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( ) A ．－1213 B ．－513 C ．513D ．1213A [利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算．因为α为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1213.]2．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．－35 C ．15D ．35B [∵cos 2α＝1－sin 2α＝1－15＝45，∴sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝15－45＝－35.] 3．若sin α＋3cos α＝0，则cos α＋2sin α2cos α－3sin α的值为________．－511 [因为sin α＋3cos α＝0，所以tan α＝－3，因此 原式＝1＋2tan α2－3tan α＝1＋2×(－3)2－3×(－3)＝－511.]【例1】 (1)若sin α＝－45，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值； (2)若cos α＝817，求tan α的值； (3)若tan α＝－158，求sin α的值．[思路探究] 对(1)中明确α是第三象限角，所以只有一种结果．对(2)，(3)中未指出角α所在象限的情况，需按α所在象限讨论，分类求解，一般有两种结果．[解] (1)∵sin α＝－45，α是第三象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，tan α＝sin αcos α＝－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝43.(2)∵cos α＝817>0， ∴α是第一、四象限角． 当α是第一象限角时， sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫8172＝1517， ∴tan α＝sin αcos α＝158； 当α是第四象限角时，sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫8172＝－1517， ∴tan α＝－158. (3)∵tan α＝－158<0， ∴α是第二、四象限角． 由⎩⎨⎧tan α＝sin αcos α＝－158，sin 2α＋cos 2α＝1，可得sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15172.当α是第二象限角时，sin α＝1517；当α是第四象限角时，sin α＝－1517.利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系；(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果.1．已知sin αcos α＝－1225，且0<α<π，求tan α的值． [解] 法一：∵sin αcos α＝－1225，sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1225＝125，∴(sin α＋cos α)2＝125，∴sin α＋cos α＝±15. 同理(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925. ∵sin αcos α＝－1225<0,0<α<π， ∴π2<α<π，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝75. 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝±15sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45cos α＝－35或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35cos α＝－45，∴tan α＝－43或tan α＝－34. 法二：∵sin αcos α＝－1225， ∴sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－1225，∴tan αtan 2α＋1＝－1225，∴12tan 2α＋25tan α＋12＝0， ∴(3tan α＋4)(4tan α＋3)＝0， ∴tan α＝－43或tan α＝－34.[解] ∵sin α·tan α<0，∴cos α<0.原式＝(1－sin α)(1＋sin α)(1＋sin α)2＋(1＋sin α)(1－sin α)(1－sin α)2＝|cos α||1＋sin α|＋|cos α||1－sin α|＝－cos α1＋sin α＋－cos α1－sin α＝－2cos α1－sin 2α＝－2cos α.解答此类题目常用的方法有：1．化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．2．对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．3．对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．2．化简：(1－tan θ)·cos 2θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan θ·sin 2θ.[解]原式＝cos θ－sin θcos θ·cos2θ＋sin θ＋cos θsin θ·sin2θ＝cos2θ－sin θ·cos θ＋sin2θ＋sin θ·cos θ＝cos2θ＋sin2θ＝1.1．证明三角恒等式常用哪些方法？[提示](1)从右证到左．(2)从左证到右．(3)证明左右归一．(4)变更命题法．如：欲证明MN＝PQ，则可证MQ＝NP，或证QN＝PM等．2．在三角函数的化简和证明问题中，常利用“1”的代换求解，常见的代换形式有哪些？[提示]sin2α＋cos2α＝1，tan π4＝1.【例3】求证：(1)sin α－cos α＋1sin α＋cos α－1＝1＋sin αcos α；(2)2(sin6θ＋cos6θ)－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝0.[思路探究]解答本例题可以从左边推到右边，也可以作差比较．关键是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧．[证明](1)左边＝(sin α－cos α＋1)(sin α＋cos α＋1) (sin α＋cos α－1)(sin α＋cos α＋1)＝(sin α＋1)2－cos2α(sin α＋cos α)2－1＝(sin2α＋2sin α＋1)－(1－sin2α)sin2α＋cos2α＋2sin αcos α－1＝2sin 2α＋2sin α1＋2sin αcos α－1＝2sin α(sin α＋1)2sin αcos α＝1＋sin α cos α＝右边， ∴原等式成立．(2)左边＝2[(sin 2θ)3＋(cos 2θ)3]－3(sin 4θ＋cos 4θ)＋1 ＝2(sin 2θ＋cos 2θ)(sin 4 θ－sin 2θcos 2θ＋cos 4θ) －3(sin 4θ＋cos 4θ)＋1＝(2sin 4θ－2sin 2θcos 2θ＋2cos 4θ)－(3sin 4θ＋3cos 4θ)＋1 ＝－(sin 4θ＋2sin 2θcos 2θ＋cos 4θ)＋1＝－(sin 2θ＋cos 2θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边， ∴原等式成立．1．证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)．2．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．3．解决此类问题要有整体代换思想．3．求证：1＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1＋tan x1－tan x.[证明] 右边＝1＋sin xcos x 1－sin x cos x ＝cos x ＋sin xcos x －sin x＝(cos x ＋sin x )2(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )＝1＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x＝左边，∴原等式成立．(教师用书独具) 1．同角三角函数基本关系式的变形形式(1)平方关系：1－sin2α＝cos2α，1－cos2α＝sin2α.(2)商数关系：sin α＝tan α·cos α，cos α＝sin αtan α.2．已知sin α±cos α，整体代入求值已知sin α±cos α求值的问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α cosα；(sin α－cos α)2＝1－2sin α cosα；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin α cos α.所以知道sin α＋cos α，sin α－cos α，sin α·cos α这三者中任何一个，另两个式子的值均可求出．3．应用平方关系式由sin α求cos α或由cos α求sin α时，注意α的范围，如果出现无法确定的情况一定要对α所在的象限进行分类讨论，以便确定其符号.1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是()A．tan α＝－sin αcos αB．cos α＝－1－sin2αC．sin α＝－1－cos2αD．tan α＝cos αsin αB[由商数关系可知A，D项均不正确，当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B项正确．]2．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于()A.513B．－513C.512D ．－512B [由条件知sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝－513.] 3．已知sin α＋cos α＝12，则sin αcos α＝________. －38 [∵sin α＋cos α＝12， ∴(sin α＋cos α)2＝14.∴sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝14. ∴1＋2sin αcos α＝14. ∴sin αcos α＝－38.]4．已知tan α＝43，且α是第三象限的角，求sin α，cos α的值． [解] 由tan α＝sin αcos α＝43得 sin α＝43cos α. ① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1. ∴cos 2α＝925.又∵α是第三象限的角， ∴cos α＝－35. ∴sin α＝43cos α＝－45.。
高二数学人教B版必修4学案：1.2.3 同角三角函数的基本关系式 Word版含解析
1.2.3同角三角函数的基本关系式明目标、知重点 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α(α≠kπ＋π2，k∈Z).2.同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝cos αtan α；cos α＝sin αtan α.[情境导学]大家都听过一句话：南美洲亚马逊河雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风.这就是著名的“蝴蝶效应”，他本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.两个似乎毫不相干的事物，却有着这样的联系.那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？这就是本节课所研究的问题.探究点一同角三角函数的基本关系式思考1写出下列角的三角函数值，观察他们之间的关系，猜想之间的联系？你能发现什么一般规律？你能否用代数式表示这两个规律？sin 30°cos 30°＝tan 30°，sin 45°cos 45°＝tan 45°，sin 60°cos 60°＝tan 60°，sin 150°cos 150°＝tan 150°. 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切；sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α.这就是同角三角函数的基本关系式.思考2 如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？答 设点P (x ，y )为α终边上任意一点，P 与O 不重合.P 到原点的距离为r ＝x 2＋y 2>0，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x.于是sin 2α＋cos 2α＝(y r )2＋(x r )2＝y 2＋x2r2＝1，sin αcos α＝yr x r ＝yx＝tan α. 即sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α. 同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都有意义.所以sin 2α＋cos 2α＝1对于任意角α∈R 都成立，而sin αcos α＝tan α并不是对任意角α∈R 都成立，这时α≠k π＋π2，k ∈Z . 思考3 对于平方关系sin 2α＋cos 2α＝1可作哪些变形？对于商数关系sin αcos α＝tan α可作哪些变形？答 sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α， (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α， sin α＝cos α·tan α，cos α＝sin αtan α.例1 已知sin α＝－35，求cos α，tan α的值.解 因为sin α<0，sin α≠－1， 所以α是第三或第四象限角.由sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝1625. 如果α是第三象限角，那么cos α<0. 于是cos α＝－1625＝－45， 从而tan α＝sin αcos α＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－54＝34.如果α是第四象限角，那么cos α＝45，tan α＝－34.反思与感悟 同角三角函数的基本关系揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用.跟踪训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.解 由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α.① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.探究点二 三角函数式的化简 例2 已知α是第三象限角，化简：1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.解 原式＝(1＋sin α)2(1－sin α)(1＋sin α)－(1－sin α)2(1＋sin α)(1－sin α)＝(1＋sin α)2cos 2α－(1－sin α)2cos 2α＝1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝2sin α|cos α|. ∵α是第三象限角，∴cos α<0.∴原式＝2sin α－cos α＝－2tan α.即1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α.反思与感悟 解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系.化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解.(4)关于sin α，cos α的齐次式的求值方法：①sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n 次，将分子，分母同除以cos α的n 次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值.②若无分母时，把分母看作1，并将1用sin 2α＋cos 2α来代换，将分子、分母同除以cos 2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值. 跟踪训练2 已知tan α＝3，则 (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝ ； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1＝ . 答案 (1)1 (2)1解析 (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×3－34×3－9＝1；(2)sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1 ＝2×32－3×3＋132＋1＝1.探究点三 三角恒等式的证明 例3 求证：cos α1－sin α＝1＋sin αcos α.证明 方法一 左边＝cos 2αcos α(1－sin α)＝1－sin 2αcos α(1－sin α)＝(1－sin α)(1＋sin α)cos α(1－sin α)＝1＋sin αcos α＝右边，∴原等式成立.方法二 ∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝1－sin 2α. ∴cos 2α＝(1－sin α)·(1＋sin α). ∴cos α1－sin α＝1＋sin αcos α.方法三 右边＝(1＋sin α)(1－sin α)cos α(1－sin α)＝1－sin 2αcos α(1－sin α)＝cos 2αcos α(1－sin α)＝cos α1－sin α＝左边， ∴原等式成立.方法四 左边＝cos 2αcos α(1－sin α)，右边＝(1＋sin α)(1－sin α)cos α(1－sin α)＝1－sin 2αcos α(1－sin α)＝cos 2αcos α(1－sin α)， ∵左边＝右边，∴原等式成立. 方法五 ∵cos α1－sin α－1＋sin αcos α＝cos 2α－(1＋sin α)(1－sin α)cos α(1－sin α)＝cos 2α－(1－sin 2α)cos α(1－sin α)＝cos 2α－cos 2αcos α(1－sin α)＝0，∴cos α1－sin α＝1＋sin αcos α.反思与感悟 证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简.证明三角恒等式的基本原则：由繁到简.常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证.常用技巧：切化弦、整体代换.跟踪训练3 求证：2sin x cos x －1cos 2x －sin 2x ＝tan x －1tan x ＋1.证明 方法一 ∵左边＝2sin x cos x －(sin 2x ＋cos 2x )cos 2x －sin 2x ＝－(sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x )cos 2x －sin 2x ＝(sin x －cos x )2sin 2x －cos 2x＝(sin x －cos x )2(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )＝sin x －cos x sin x ＋cos x ＝tan x －1tan x ＋1＝右边. ∴原式成立.方法二 ∵右边＝sin xcos x－1sin x cos x ＋1＝sin x －cos x sin x ＋cos x ；左边＝1－2sin x cos x sin 2x －cos 2x ＝(sin x －cos x )2sin 2x －cos 2x ＝(sin x －cos x )2(sin x －cos x )·(sin x ＋cos x )＝sin x －cos xsin x ＋cos x . ∴左边＝右边，原等式成立.1.化简：1－2sin 40°cos 40°＝ . 答案 cos 40°－sin 40° 解析 原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°＝(sin 40°－cos 40°)2＝|cos 40°－sin 40°|＝cos 40°－sin 40°.2.已知α是第三象限角，sin α＝－13，则tan α＝ .答案24解析 由α是第三象限的角，得到cos α<0， 又sin α＝－13，所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223， 则tan α＝sin αcos α＝24. 3.若α是第三象限角，化简：1＋cos α1－cos α＋1－cos α1＋cos α.解 ∵α是第三象限角，∴sin α<0， 由三角函数线可知－1<cos α<0.∴1＋cos α1－cos α＋1－cos α1＋cos α＝(1＋cos α)21－cos 2α＋(1－cos α)21－cos 2α＝ (1＋cos α)2sin 2α＋(1－cos α)2sin 2α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋cos αsin α＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－cos αsin α＝－1＋cos αsin α－1－cos αsin α＝－2sin α.4.求证：tan θ·sin θtan θ－sin θ＝1＋cos θsin θ.证明 左边＝sin θcos θ·sin θsin θcos θ－sin θ＝sin 2θsin θ－sin θcos θ＝1－cos 2θsin θ(1－cos θ) ＝(1－cos θ)·(1＋cos θ)sin θ·(1－cos θ)＝1＋cos θsin θ＝右边.∴原等式成立. [呈重点、现规律]1.同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”.2.已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择.一般是先选用平方关系，再用商数关系.在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式.3.在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系式主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：①“1”的代换；②减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；③多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；④对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.一、基础过关1.已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α等于 ( )A.－1213B.－513C.513D.1213答案 A解析 因为α为第二象限角， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－1213.2.已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A.－15 B.－35 C.15 D.35答案 B解析 sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1 ＝2×15－1＝－35.3.已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α等于( )A.－55 B.－15 C.－255 D.－45答案 C解析 ∵α是第二象限角，∴cos α<0. 又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝－12， ∴cos α＝－255.4.若sin α＋sin 2α＝1，则cos 2α＋cos 4α等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B解析 sin α＋sin 2α＝1得sin α＝cos 2α， ∴cos 2α＋cos 4α＝sin α＋sin 2α＝1.5.化简：sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β＝ . 答案 1解析 原式＝sin 2α＋sin 2β(1－sin 2α)＋cos 2αcos 2β ＝sin 2α＋sin 2βcos 2α＋cos 2αcos 2β ＝sin 2α＋cos 2α(sin 2β＋cos 2β) ＝sin 2α＋cos 2α＝1.6.已知直线l 的倾斜角是θ，且sin θ＝513，则直线l 的斜率k ＝ .答案 ±512解析 因为直线l 的倾斜角是θ，所以θ∈[0，π). 又因为sin θ＝513，sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以cos θ＝±1－(513)2＝±1213，于是直线l 的斜率k ＝sin θcos θ＝±512.7.(1)化简1－sin 2100°；(2)用tan α表示sin α＋cos α2sin α－cos α，sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2α.解 (1)1－sin 2100°＝cos 2100°＝|cos 100°|＝－cos 100°.(2)sin α＋cos α2sin α－cos α＝sin α＋cos αcos α2sin α－cos αcos α＝tan α＋12tan α－1， sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2 αcos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α＝tan 2α＋tan α＋3tan 2α＋1. 二、能力提升8.已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A.－43 B.54 C.－34 D.45答案 D解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.9.已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A.－4 B.4 C.－8 D.8 答案 C解析 tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18，∴tan α＋1tan α＝－8. 10.已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是 . 答案 －13解析 原式＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13. 11.已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值. (1)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ.解 由已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611， ∴4tan θ－23tan θ＋5＝611.解得：tan θ＝2. (1)原式＝5tan 2θ＋2tan θ－3＝55＝1. (2)原式＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θ＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ－4tan θ＋31＋tan 2θ＝－15. 12.求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α. 证明 方法一 左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12 ＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边.∴原式成立. 方法二 ∵cos α1＋sin α＝1－sin αcos α＝cos α＋1－sin α1＋sin α＋cos α， sin α1＋cos α＝1－cos αsin α＝sin α＋1－cos α1＋cos α＋sin α， ∴cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋cos α＋sin α. ∴原式成立.三、探究与拓展13.已知sin α＋cos α＝－13，其中0<α<π，求sin α－cos α的值. 解 因为sin α＋cos α＝－13，所以(sin α＋cos α)2＝19， 所以1＋2sin αcos α＝19，所以sin αcos α＝－49. 因为0<α<π且sin αcos α<0，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0.又因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179， 所以sin α－cos α＝173.。
数学人教B版必修4教案：1.2.3同角三角函数的基本关系式
2 ，6α等等都可 以 3注意商数关 系在应用时的 限制条件
课后作业
P25A组练习 1、3、4 思考：1+tan2α、1+cot2α、sec2α、csc2α这四个式子是否存在相等关 系？ 课后填写
课后反思
1.2.3同角三角函数的基本关系式 、、 教学目标 知识目标：
sin cos ，并让学生在推导过程中体会数形结合的思想的应用 2、能让学生学会利用同角三角函数关系式求值、化简、证明 能力目标： 培养学生用数学的思想方法分析和解决数学问题的能力并发展学生的推理能力和运算 能力 3、情感目标： 通过关系式的推导和应用让学生自己发现：世界万物之间内在联系 、、 教学重点难点 重点：同角三角函数基本关系式的推导及其应用 难点：关系式在解题中的灵活运用和对学生进行思维灵活性的培养 、、 教学方法 本节课采用启发探究教学的方法，通过设置问题引导学生导出公式，近而应用，在应用 中注意学生的书写及选择公式是否恰当，通过例题和习题的解决和处理深化对公式的 理解记忆及应用的灵活性 、、 教学过程 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 1让学生自己画单 师：哪两位同学主动到黑板 温故知新，通 位圆给出任意角画 上画出单位圆中的正余弦线 过设疑引导学 复习引入 出正弦线余弦线 和写出三角函数定义式 生思维，为下 2回顾三角函数的 生甲，生乙 面公式的推导 做好铺垫 定义 引导学生自己导出 师：首先观察单位圆正余弦 利用单位圆推 今天的两个重要的 线段和半径所处的三角形形 导关系式让学 三角函数关系式 状？ 生体会什么是 平方关系 生：直角三角形 数形结合的思 想，该思想在 师：那么直角三角形中有什 sin2α+cos2α=1 高中课程中无 么重要的定理？ 商数关系 公式推导 生：勾股定理：导出平方关系 处不在，也让 sin tanα= 学生体会积极 cos sin2α+cos2α=1 的思维劳动给 师：这个公式还有另外的推 他们带来的快 导方法吗？ 生：用定义也可以导出，有学 乐 生自己推导，并板书 sin 师：tanα和 相等吗？ cos 生：相等，由定义直接可以得 到 1注意是否同角 师：sin2α+cos2β =1成立吗？ 1强调公式中 2注意公式的限制 生：不一定成立，因为α和β可 的同角的重要 公式深化理 条件 能相等也可能不等 性否则公式可 2 2 解 3公式可以灵活变 师：sin 4α+cos 4α=1成立吗 能不成立，
高中数学人教B版必修四讲义：第一章 1.2 1.2.3 同角三角函数的基本关系式 Word版含答案
1．2.3同角三角函数的基本关系式(1)同角三角函数的基本关系式有哪两种？(2)已知sin α，cos α和tan α其中的一个值，如何求其余两个值？[新知初探]同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan_α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .[点睛] (1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin 23α＋cos 23α＝1成立，但是sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立．(2)sin 2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin 2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．(3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin 2α＋cos 2α＝1对一切α∈R 恒成立，而tan α＝sin αcos α仅对α≠π2＋k π(k ∈Z)成立． [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意角α，sin 2α3＋cos 2α3＝1都成立．( )(2)对任意角α，sin 2αcos 2α＝tan 2α都成立．( ) (3)若cos α＝0，则sin α＝1.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝35，则cos α＝( ) A.45 B ．－45C ．－17D.35答案：A3．已知α是第二象限角，且cos α＝－817，则tan α的值是( )A.817 B ．－817 C.158 D ．－158 答案：D4．已知sin α＝513，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan α＝________. 答案：－512[典例] (1)已知tan α＝2，则 ①sin α＋cos αsin α－cos α＝________；②2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α＝________； ③4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝________. (2)已知sin α＝15，求cos α，tan α的值．[解析] (1)①注意到分式的分子和分母均是关于sin α，cos α的一次齐次式，可将分子分母同除以cos α(∵cos α≠0)，然后整体代入tan α＝2的值．则sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3. ②注意到分式的分子和分母均是关于sin α，cos α的二次齐次式，分子分母同除以cos 2α(∵cos 2α≠0)，则2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α＝2tan 2α－34tan 2α－9＝2×4－34×4－9＝57. ③似乎跟前两题没什么联系，但若能注意到sin 2α＋cos 2α＝1，则有4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α1＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α， 这样便使得分子分母均为二次齐次式．同②有4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.答案：①3 ②57③1(2)∵sin α＝15>0，∴α是第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－125＝265，tan α＝sin αcos α＝612； 当α为第二象限角时，cos α＝－265，tan α＝－612.1．求三角函数值的方法(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n 次，将分子、分母同除以cos α的n 次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin 2α＋cos 2α来代换，将分子、分母同除以cos 2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．[活学活用](1)已知cos α＝－45，求sin α和tan α.(2)已知tan α＝2，试求2sin α－3cos αcos α＋sin α的值．解：(1)sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝⎝⎛⎭⎫352， 因为cos α＝－45<0，所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－34；当α是第三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝34.(2)由tan α＝2可得sin α＝2cos α，故2sin α－3cos αcos α＋sin α＝4cos α－3cos αcos α＋2cos α＝cos α3cos α＝13.三角函数式的化简[典例](1)化简：1－2sin 130°cos 130°sin 130°＋1－sin2130°.(2)若角α是第二象限角，化简：tan α1sin2α－1.[解](1)原式＝sin2130°－2sin 130°cos 130°＋cos2130°sin 130°＋cos2130°＝|sin 130°－cos 130°| sin 130°＋|cos 130°|＝sin 130°－cos 130°sin 130°－cos 130°＝1.(2)原式＝tan α1－sin2αsin2α＝tan αcos2αsin2α＝sin αcos α×|cos α||sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以原式＝sin αcos α×|cos α||sin α|＝sin αcos α×－cos αsin α＝－1.三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．[活学活用]化简：(1)sin α1－cos α·tan α－sin αtan α＋sin α；(2)(1－tan θ)·cos 2θ＋⎝⎛⎭⎫1＋1tan θ·sin 2θ. 解：(1)原式＝sin α1－cos α·1－cos α1＋cos α＝sin α1－cos α·(1－cos α)21－cos 2α＝sin α1－cos α·1－cos α|sin α|＝±1. (2)原式＝cos θ－sin θcos θ·cos 2θ＋sin θ＋cos θsin θ·sin 2θ＝cos 2θ－sin θcos θ＋sin 2θ＋sin θcos θ ＝cos 2θ＋sin 2θ＝1.证明简单的三角恒等式[典例] 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.[证明] [法一 直接法] 左边＝tan αsin α(tan α＋sin α)tan 2α－sin 2α＝tan αsin α(tan α＋sin α)tan 2α－tan 2αcos 2α＝tan αsin α(tan α＋sin α)tan 2α(1－cos 2α)＝tan αsin α(tan α＋sin α)tan 2αsin 2α＝tan α＋sin αtan αsin α＝右边， ∴原等式成立． [法二 左右归一法]左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α，∴左边＝右边，原等式成立． [法三 比较法]∵tan αsin αtan α－sin α－tan α＋sin αtan αsin α ＝tan 2αsin 2α－(tan 2α－sin 2α)tan αsin α(tan α－sin α)＝tan 2αsin 2α－tan 2α＋sin 2αtan αsin α(tan α－sin α) ＝tan 2α(sin 2α－1)＋sin 2αtan αsin α(tan α－sin α)＝－tan 2αcos 2α＋sin 2αtan αsin α(tan α－sin α)＝－sin 2α＋sin 2αtan αsin α(tan α－sin α)＝0，∴tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α. [法四 综合法]∵(tan α－sin α)(tan α＋sin α) ＝tan 2α－sin 2α＝tan 2α－tan 2α·cos 2α ＝tan 2α(1－cos 2α) ＝tan 2α·sin 2α，∴tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.证明三角恒等式常用的方法(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等．(3)综合法：即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想．(4)比较法：即证左边－右边＝0或证左边右边＝1.[活学活用]求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2. 证明：法一：左边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α ＝1＋sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＋2(cos α－sin α) ＝1＋2(cos α－sin α)＋(cos α－sin α)2 ＝(1－sin α＋cos α)2＝右边．法二：∵左边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α，右边＝1＋sin 2α＋cos 2α－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α， ∴左边＝右边.sin α±cos α与sin αcos α关系的应用[典例] 已知sin θ＋cos θ＝12(0<θ<π)，求sin θcos θ和sin θ－cos θ的值．[解] 因为sin θ＋cos θ＝12(0<θ<π)，所以(sin θ＋cos θ)2＝14，即sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝14，所以sin θcos θ＝－38.由上知，θ为第二象限的角， 所以sin θ－cos θ>0， 所以sin θ－cos θ ＝ (sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ＝⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－38＝72.已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有：①(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α； ②(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α； ③(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； ④(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α.上述三角恒等式告诉我们，已知sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α中的任何一个，则另两个式子的值均可求出．[活学活用]1．已知0<θ<π，且sin θ－cos θ＝15，求sin θ＋cos θ，tan θ的值．解：∵sin θ－cos θ＝15，∴(sin θ－cos θ)2＝125.解得sin θcos θ＝1225. ∵0<θ<π，且sin θ·cos θ＝1225>0，∴sin θ>0，cos θ>0. ∴sin θ＋cos θ＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝1＋2425＝75. 由⎩⎨⎧sin θ－cos θ＝15，sin θ＋cos θ＝75，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝sin θcos θ＝43.2．若0<θ<π，sin θcos θ＝－60169，求sin θ－cos θ. 解：∵0<θ<π，sin θcos θ＝－60169<0，∴sin θ>0，cos θ<0.∴sin θ－cos θ>0. ∴sin θ－cos θ＝(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－2×⎝⎛⎭⎫－60169＝ 289169＝1713.层级一 学业水平达标1．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512D ．－512解析：选D 因为sin α＝－513，且α为第四象限角， 所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选B ∵α为第三象限角， ∴原式＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.3．下列四个结论中可能成立的是( )A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α是第二象限角时，tan α＝－sin αcos α解析：选B 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B 成立，而A 、C 、D 都不成立．4．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－35B ．－15 C.15 D.35解析：选A sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35. 5．若α是三角形的最大内角，且sin α－cos α＝35，则三角形是( ) A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：选B 将sin α－cos α＝35两边平方，得1－2sin αcos α＝925，即2sin αcos α＝1625.又α是三角形的内角，∴sin α>0，cos α>0，∴α为锐角．6．若sin θ＝－22，tan θ>0，则cos θ＝________. 解析：由已知得θ是第三象限角，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－222＝－22. 答案：－22 7．化简：1－2sin 40°cos 40°＝________.解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40° ＝ (sin 40°－cos 40°)2＝|cos 40°－sin 40°|＝cos 40°－sin 40°.答案：cos 40°－sin 40°8．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝________. 解析：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝12－32＝－13. 答案：－139．化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°； (2)sin θ－cos θtan θ－1. 解：(1)原式＝cos 36°－sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin 36°cos 36° ＝cos 36°－sin 36°(cos 36°－sin 36°)2＝cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°|＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°＝1. (2)原式＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝cos θ(sin θ－cos θ)sin θ－cos θ＝cos θ. 10．已知sin α＋cos α＝33，求tan α＋1tan α及sin α－cos α的值． 解：将sin α＋cos α＝33两边平方，得sin αcos α＝－13. ∴tan α＋1tan α＝1sin αcos α＝－3， (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋23＝53， ∴sin α－cos α＝±153. 层级二 应试能力达标1．已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin α的值是( ) A ．－55 B.55C.255 D ．－255 解析：选A ∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴sin α<0. 由tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1， 得sin α＝－55. 2．化简⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：选A ⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝⎛⎭⎫1sin α＋cos αsin α·(1－cos α)＝(1＋cos α)sin α·(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin 2αsin α＝sin α. 3．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( ) A.23 B ．－23C.13 D ．－13解析：选A 由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得 (sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59. ∴sin 2θcos 2θ＝29.∵θ是第三象限角， ∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝23. 4．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( ) A.34B ．±310 C.310 D ．－310解析：选C 由条件得sin θ＋cos θ＝2sin θ－2cos θ，即3cos θ＝sin θ，tan θ＝3，∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝31＋32＝310. 5．已知sin αcos α＝18，且π<α<5π4，则cos α－sin α＝________. 解析：因为π<α<5π4，所以cos α<0，sin α<0.利用三角函数线，知cos α<sin α，所以cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－2×18＝－32. 答案：－32 6．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α(n ∈Z)的值为________．解析：∵sin α＋cos α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0，当sin α＝0时，cos α＝1，此时有sin n α＋cos n α＝1；当cos α＝0时，sin α＝1，也有sin n α＋cos n α＝1，∴sin n α＋cos n α＝1.答案：17．已知tan 2α1＋2tan α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π. (1)求tan α的值；(2)求sin α＋2cos α5cos α－sin α的值． 解：(1)由tan 2α1＋2tan α＝13， 得3tan 2α－2tan α－1＝0，即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0，解得tan α＝－13或tan α＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以tan α<0，所以tan α＝－13. (2)由(1)，得tan α＝－13，所以sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝⎛⎭⎫－13＝516.8．证明：(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．证明：(1)左边＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1 ＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2αcos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2α(sin α＋cos α)sin 2α－cos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α＝sin 2α－cos 2αsin α－cos α ＝sin α＋cos α＝右边，∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan 2α－2cos 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α， 右边＝(1＋2tan 2α)(1＋cos 2α)＝1＋2tan 2α＋cos 2α＋2sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α， ∴左边＝右边，∴原式成立．。
人教版高中数学版必修四教案 1.2.3 同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系教学目标：1．进一步提高学生对三角函数定义的认识，通过本节课的学习，学生能够利用定义探究同角三角函数的基本关系式．2．鼓励学生发展实验观察、分析联想等技能，深化数形结合、分类讨论和等价转化的思想，提高学生从特殊到一般的意识，完成此课后学生能够初步应用同角三角函数基本关系式处理求值、证明和化简这三类问题．3．培养学生对数学学科的兴趣，体验成果发现的愉悦，完成此课后学生能够对具体问题开展合作交流、探究学习．教学重点：利用定义、数形结合思想探究发现同角三角函数基本关系式，应用公式解决问题． 教学难点：求值过程中角度范围问题、恒等式证明的不同角度、化简最终结果，以及在恒等变形过程中公式的灵活应用．教学方法：探究式、讲解法教学用具：常规授课类型：新知课授课时数：1教学过程：一、复习引入：1．在角α的终边上任取一点(,)P x y ，它与原点的距离为1，请分别写出角α的正弦、余弦和正切值．2．若角α在第二象限，请分别画出它的正弦线、余弦线和正切线．3．请分别计算下列各式：（1）22(cos30)(sin 30)_______.︒+︒=（2）22(sin 30)(cos60)______.︒+︒=（3）tan 60_______.︒=（4）sin 60______.cos 60︒=︒二、探究新知：探究1、三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的.你能从圆的几何性质出发，讨论一下同一个角的三角函数之间的关系？问题1．观察第3题的结论，你有何发现？问题2．以上结论对任一个角α都成立吗？你能够说明吗？（1）22(sin )(cos )1αα+=对任一个角α都成立； sin tan cos ααα=对任何一个不等于()2k k Z ππ+∈的角α都成立． （2）说明方法1：用三角函数的定义说明（利用定义）说明方法2：用三角函数线说明（数形结合）（3）体会从特殊到一般的认知规律，了解同角三角函数关系的几何意义. 结论：同角三角函数的基本关系：文字语言：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切． 符号语言：平方关系——22sin cos 1αα+=（注意2sin α与2sin α的区别） 商数关系——sin tan (,)cos 2k k Z απααπα=≠+∈ 说明：“同角”有两层含义：一、“角相同”（22sin 2cos 21αα+=也成立），二、对“任意角”（在使得函数有意义的前提下）关系式都成立．三、新知应用：例1．已知3sin ,5α=-若α是第三象限角，求cos ,tan αα的值．解：变化1、已知3sin ,5α=-求cos ,tan αα的值．变化2、tan ϕ=sin ,cos ϕϕ的值.变化3、已知tan 3α=，求2cos 3sin 3cos 4sin αααα-+的值．例2．求证：cos 1sin 1sin cos αααα+=- 证法1、由cos 0,sin 1,1sin 0x x x ≠≠-+≠知所以22cos (1sin )cos (1sin )cos (1sin )(1sin )(1sin )(1sin )1sin cos s x x x x x x x x x x x co x++++=====-+-左右 所以原等式成立.证法2、22(1sin )(1sin )1sin cos cos cos x x x x x x -+=-==1sin 0cos 0cos 1sin 1sin cos x x x x x x-≠≠+∴=-且，点评：证明恒等式常用方法：例3．化简下列各式：（1）cos tan θθ （2）2(1tan )cos αα+ （3） 100sin 12-点评：（1）公式的“变用”与“逆用”（2）化简实际上是一种不指定答案的恒等变形，化简题一定要尽量化成最简形式，本题不是特殊角，一般无须求出其余弦值，结果应最简（最好是常数）． 变化1、已知1sin cos 2αα-=，试求下列各式的值： （1）sin cos αα⋅ （2）44sin cos αα+四、课堂总结：同角三角函数基本关系五、课后作业：六、板书设计：课题----同角三角函数的基本关系 例1 例2 例3七、课后反思：。
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学生学习活动评价表
项目
评分细则
小组评分
教师评分
课堂
表现
40分
认真听课，积极进行课堂学习活动。并有自已独立的见解。
40分
基本上能认真听课，积极进行课堂学习活动。
30分
能认真听课，并进行课堂学习活动。但有分神的现象。要教师约束。20分
在教师的约束学习活动不佳。
15分或以下
作业
完成
20分
按时保质保量独立完成，并有独特见解。
学生可能因忽视条件“α是第二象限角”等，而不理解符号的确定。
借助学生对于刚学习的知识所拥有的探求心理，让他们学习使用两个公式来求三角函数值。
通过例题与变式使学生掌握基本关系式的应用：已知一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值，并在求三角函数值的过程中注意由函数值正、负号的选取而导致的角的范围的讨论，培养学生分类讨论思想。突破重难点。
20分
按时保质保量独立完成。
15分
基本能按时完成。
10分
有不交作业或抄袭等的现象。
5分或以下
小组
活动
40分
积极参加小组活动，有独立见解，动手、动口、动脑能力强，与同学合作愉快。40分
积极参加小组活动，爱动手、动口、动脑能力强，与同学合作愉快。
35分
能参加小组活动，与同学合作愉快。30分
达不到以上要求。
20分或以下
总评
80分以上评优，70-80评良，50-60评合格，50分以下评不合格。
总分：等级：
跟踪练习：1、已知 ，求角 的正弦值和正切值。2、已知
，且 是第一象限的角，求角 的正弦值和余弦值。方法总结：
一：若已知sinα或cosα，先通过平方关系得出另外一个三角函数值，再用商数关系求得tanα。
二：若已知tanα，先通过商数关系确定sinα与cosα的联系，再代入平方关系求得sinα与cosα。
在探究过程后会出现许多预设或生成的问题，教师及时引导。
学生踊跃发言
培养学生自主、合作、探究的精神和自学能力。
检查学生自主学习效果
深
化
公
式
提问：1、本节内容的关键词是什么？
2、你能将两个公式变形么？
3、sin²α是（sinα）²并不是sinα²。
提示学生注意“同角”二字；对于公式变式的认识，强调灵活运用公式的几大要点。
通过问题辨析与讨论，加深公式的理解，对公式的变形有初步认识，为公式的应用打下基础。
知
识
应
用
已知 ，并且 是第二象限角，求 、 的值。思考1：条件“α是第二象限的角”有什么作用？思考2：如何建立cosα与sinα的联系？如何建立他们与tanα的联系？变式训练：将例1中的条件“并且 是第二象限角”去掉，其余条件不变，求 、 的值。思考：本题与例题1的主要区别在哪儿？如何解决这个问题？
《同角三角函数的基本关系式》教学设计
教学
环节
教师活动
预设学生行为
设计意图
复
习
引
入
提问：1、三角函数的定义，要求学生回答
2、 ， ， 的符号确定。（提示引导）
对问题1，学生可能较快解决；对问题2，可能会有较多学生模糊不清。
让学生复习旧知，目的为学生自主学习同角三角函数的基本关系式作准备。
合
作
探
究
教师提示、启发，引导学生共同完成两个公式的推导。然后学生自主学习这两个公式的推导过程并记忆公式。教师巡视指导。
学生对平方公式的应用是个难点，往往只取一个根。
通过练习，使学生对于公式的应用更加熟练。
利用之前四道题，共同总结两类问题的解决方法，培养学生归纳分析能力。
例2、已知 ， ，求 的值引导学生用两种方法解决本题，并归纳总结。
学生对解二元二次方程组还有一定的困难，而且对第二种方法中用到的 、 和 三者之间的关系比较陌生
巩固学生所学知识
布
置
作
业
布置课外作业：
课本第25页练习A第1题，练习B第1题。探究题：已知 ，求(1) ；（2） 三、研究性学习：利用周末时间，查找课外资料了解同角三角函数的其他几个基本关系。
学生课后自行处理习题，遇到不会的题目可以与同学交流合作完成。
课后复习本节内容的知识点，形成强化。
另附：1、板书设计
强调本节内容难点。对例题适当归纳，从直观认识提升到理论的水平。
课Hale Waihona Puke 堂小结1、主要的知识点2、数学思想和方法3、你的困惑和收获
让学生自己总结本节课的重点、难点和学习内容，教师再补充．
通过小结使本节课的知识系统化，使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和应用，培养学生认真总结的学习习惯。
当
堂
检
测
见课件
学生快速地完成这三道题目，并展示正确结果