大学物理质点动力学
大学物理第一章-质点运动学和第二章-质点动力学基础
i
k
j
这样：A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i B y j Bz k )
矢量的数积（数乘）： mA mAx i mAy j mAz k
z
Δr r ( A)
o
A
B
r ( B) y
x rA x Ai y A j rB xB i yB j 位移 r rB rA ( x x )i ( y y ) j B A B A 三维空间
r ( xB x A )i ( yB y A ) j ( zB z A )k 2 2 2 r x y z 位移的大小为
瞬时加速度 与瞬时速度的定义相类似，瞬时加速速度是一个 极限值 2 v
a lim
t 0
d r d v dt dt2 t
瞬时加速度简称加速度，它是矢量，在直角坐 标系中用分量表示:
2 d vx d x ax 2 dt dt d vy d2 y ay dt dt2 d vz d 2 z az dt dt2
§1-1
参考系与坐标系
时间
要定量描述物体的位臵与运动情况，就要运用 数学手段，采用固定在参考系上的坐标系。
常用的坐标系有直角坐标系 (x,y,z) ，极坐标系 (,)，球坐标系(R,, )，柱坐标系(R, ,z )。 z z
z y x o x
o
R y R
参考方向
2. 空间和时间
切向单位矢量
法向单位矢量 n
et
显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。
大学物理课件 第2章,质点动力学
本章题头§2-1 牛顿运动定律英国物理学家, 经典物理学的奠基人.创立了经典力学的 基本体系光学，牛顿致力于光的颜色和光 的本性数学，建立了二项式定理，创立 了微积分牛顿 Issac Newton （1643－1727）天文学，发现了万有引力定律， 创制反射望远镜，初步观察到了 行星运动的规律。
一、牛顿第一定律 (Newton first law)惯性定律 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态， 直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。
意义惯性以及力的概念 1、定义了物体（质点）的惯性；2、说明了力是物体运动状态改变的原因定义了惯性参考系二、牛顿第二定律 (Newton second law)质点加速度的大小与所受合力的大小成正比 , 与质点自身的质量成反比; 加速度方向与合力方向相同。
牛顿第二定律的数学形式为 Fma 原始形式：F dPd mv dmvm dvdtdtdtdt当 v c 时，m 为常量 Fm dvmadt宏观低速运动时1、瞬时性： 之间一一对应（同生、同向、同变、同灭） n 2、力的叠加性：F F1 F2 Fi Fii =13、矢量性：具体运算时应写成分量式直角坐标系中： Fma maximay jmaz k Fxmaxmdv x dt Fyma ymdv y dt Fzmazmdvz dt 自然坐标系中： Fmam at anF mdv dtFnmv24、说明了质量是物体惯性的量度5、在一般情况下力， F是一个变力常见的几中变力形式：F F x kx常见的几中变力形式：F F t F F v kv弹性力 打击力 阻尼力6、适用对象:质点 7、成立的参考系：惯性系 8、成立的条件：宏观低速10＇T 三、牛顿第三定律(Newton third law)物体A 以力F AB 作用于物体B 时, 物体B 也必定同时以力F BA 作用于物体A , F AB 与F BA 大小相等, 方向相反, 并处于同一条直线上,（物体间相互作用规律）mmT P ＇P 地球F AB = F BA作用力与反作用力：1、它们总是成对出现。
大学物理第2章质点动力学
第2章质点动力学2.1 牛顿运动定律一、牛顿第一定律任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改 变这种状态为止。
二、牛顿第二定律物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比, 方向与合外力的方向相同。
表示为f ma说明:⑵在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式f x ma *， f y ma y ， f z ma z 。
⑶ 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式f t ma t f n ma n⑷ 动量：物体质量m 与运动速度v 的乘积，用p 表示。
p mv动量是矢量，方向与速度方向相同。
由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成dv m 一 dt 当 f 0时，r 0，dp 常量，即物体的动量大小和方向均不改变。
此结 论成为质点动量守恒定律三、 牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同 一直线上。
物体同时受几个力f i ,f 2f n 的作用时，合力f 等于这些力的矢量和f n力的叠加原理d pdtf ma说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。
四、国际单位制量纲基本量与基本单位导出量与导出单位五、常见的力力是物体之间的相互作用。
力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。
按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。
六、牛顿运动定律的应用用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：隔离物体，受力分析。
建立坐标，列方程。
求解方程。
当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。
例题例2-1如下图所示，在倾角为30°的光滑斜面（固定于水平面）上有两物体通过滑轮相连，已知叶3kg, m2 2kg，且滑轮和绳子的质量可忽略，试求每一物体的加速度a及绳子的张力F T（重力加速度g取9.80m • s 2）。
解分别取叶和m2为研究对象，受力分析如上图。
利用牛顿第二定律列方程:「m2g F TYL F T m1gsi n30o m1a绳子张力F T F T代入数据解方程组得加速度a 0.98m • s 2，张力F T 17.64N。
大学物理——第2章-质点和质点系动力学
a1 = cot α 方 向: tanθ = ax g
由式④得:
ay
θ 为 a 与 x 正向夹角
FN = m(g + a1) cosα
10
例2-2 阿特伍德机 (1)如图所示滑轮和绳子的质量均不计,滑 轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力 均不计.且 m > m2 . 求重物释放后,物体 1 的加速度和绳的张力. 解: 以地面为参考系 画受力图,选取坐标如图
ar
ar
m1 m2
a
m g FT = m a1 1 1 m2g + FT = m2a2
a1 = ar a
FT 0
a2 = ar + a
m1 m2 ar = m + m (g + a) 1 2 a1 FT = 2m1m2 (g + a) P 1 m1 + m2
a2
y FT
y
P0 2
12
8
桥梁是加速度 a
例2-1 升降机以加速度a1上升,其中光滑斜面上有一物体m沿 斜面下滑. 求:物体对地的加速度 a ? y 斜面所受正压力的大小? 解: 由于升降机对地有加速度,为一非惯性 系,故选地面为参考系,设坐标如图.
FN
a1
a2
a = a2 + a1
在 x , y 方向上有:
G
α
x
ax = a2 a1 sin α a = a cosα 1 y
m1 m2
FT 0
m g FT = m a 1 1 m2 g + FT = m2a
m1 m2 a= g m1 + m2
2m m2 1 FT = g m + m2 1
《大学物理》第2章 质点动力学
TM
Tm
2Mm M m
g
a
ar
M M
m m
g
a
FM
TM
ar
F m
Tm m
a
M PM
ar
Pm
注：牛顿第二 定律中的加速 度是相对于惯 性系而言的 。
例2 在倾角 θ 30 的固定光滑斜面上放一质量为
M的楔形滑块，其上表面与水平面平行，在其上 放一质量为m的小球， M 和m间无摩擦，
且 M 2m 。
解：以弹簧原长处为坐标原点 。
Fx kx
F Bm A
元功：
O xB x
xA x
dW Fx dx kxdx
dx
弹力做功：W
xB xA
kxdx
1 2
kxA2
1 2
kxB2
2.3.4 势能 Ep
W保 Ep Ep0 Ep
Ep重 mgh
牛顿 Issac Newton（1643－1727） 杰出的英国物理学家,经 典物理学的奠基人.他的 不朽巨著《自然哲学的数 学原理》总结了前人和自 己关于力学以及微积分学 方面的研究成果. 他在光 学、热学和天文学等学科 都有重大发现.
第2章 质点动力学
2.1 牛顿运动定律 2.1.1 牛顿运动定律
1 牛顿第一定律（惯性定律） • 内容：一切物体总保持静止状态或匀速直线运动 状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。 • 内涵： 任何物体都有保持静止或匀速直线运动状态的趋势。 给出了力的定义 。 定义了一种参照系------惯性参照系。
非惯性参照系：相对于已知的惯性系作变速运动 的参照系。
惯性定律在非惯性系 中不成立。
2．2 动量定理 动量守恒定律
1.2大学物理(上)——质点动力学
t2
t1
n n t 2 n n 1 n Fi外 dt f ij dt mi vi 2 mi vi1 t1 i 1 i 1 i 1 i 1 j 1
因为内力总成对出现即：
i 1 j 1
x n
2mv cos fn fx 20 N t
[例2.6]: 如图（见书），一辆装矿砂的车厢以v=4ms-1的 速率从漏斗下通过，每秒落入车厢的砂为k=200kg/s， 如欲使车厢的速率下变，须施与车厢多大的牵引力（忽 略车厢与地面的摩擦）。
[分析]：系统的质量m在变化。设t时该已落入车厢 的砂为m，经dt后又有dm=kdt的砂落入车厢。以m 和dm为研究对象。在水平方向的动量定理为：
ra
可见万有引力是保守力。
③ 、弹力的功
F kx
1 1 2 2 AS kxdx ( kxb kxa ) xa 2 2 1 1 2 2 kxa kxb 2 2
xb
初态量
末态量
弹簧振子
可见，弹性力是保守力。
[例2.8]:在离水平面高为H岸上，有人用大小不变的 力F拉绳使船靠岸，求船从离岸x1处移到x2处的过 程中，力F对船所作的功。
经典力学中不区分引力质量和惯性质量
三、第三定律（Newton third law）
两个物体之间对各自对方的相互作用总是相等
的，而且指向相反的方向。
F1 F2
作用力与反作用力：
1、它们总是成对出现，它们之间一一对应。
2、它们分别作用在两个物体上，绝不是平衡力。 3、它们一定是属于同一性质的力。
2、功率 指力在单位时间内所作的功
W 平均功率： P t
10--第二章 《质点动力学》总结
∫
Fc • dr ≡ 0
非保守力Fnc的特点：做功与路径有关。 的特点：做功与路径有关。 非保守力 的特点
∫
l
Fnc • dr ≡ 0不成立
2.势能 势能 重力势能 重力势能
E p = m gh
重力功 重力功
3. 质点系的功能原理
ex in nc
m' m 引力势能 引力势能 Ep = −G r 1 2 弹性势能 弹性势能 E p = kx 2
W + W = E − E0
引力功 引力功 m'm m'm W = − (−G ) − (−G ) rb ra 弹力功 弹力功
W = −(mghb − mgha )
4. 机械能守恒定律 ex in 当 W + W nc = 0 时，有 E = E 0 作用于质点系的外力和非保守内力不做功. 即：作用于质点系的外力和非保守内力不做功.
dp d(m ) dm v dv F= v +m = = dt dt dt dt dm dv 宏观低速 = 0, F = m = ma dt dt
二、力学中常见的几种力
1. 弹力 f = −kx 2. 静摩擦力（静摩擦力、滑动摩擦力） 静摩擦力（静摩擦力、滑动摩擦力） fsmax=µsN ( µs为最大静摩擦系数) 为最大静摩擦系数
F =0 ⇒ p=C
ex
五、动能、质点系的动能定理 动能、 所有外力和内力对质点系做功的代数和， 所有外力和内力对质点系做功的代数和，等于质 点系总动能的增量。 点系总动能的增量。
1 E k = mυ 2 ⇒ W ex + W in = Ek − Ek 0 2
六、势能、机械能守恒定律 势能、
大学物理质点动力学教案
课时安排：2课时教学目标：1. 理解质点动力学的基本概念，包括质点、力、加速度等；2. 掌握牛顿运动定律的应用，包括牛顿第一定律、第二定律和第三定律；3. 学会分析质点的受力情况，并能运用牛顿运动定律进行求解；4. 理解动量、冲量、角动量等概念，并能运用相关定律进行计算；5. 掌握功、功率、动能、势能等能量概念，并能运用能量守恒定律进行求解。
教学重点：1. 牛顿运动定律的应用；2. 动量定理和动量守恒定律；3. 角动量定理和角动量守恒定律；4. 功和能量守恒定律。
教学难点：1. 复杂受力情况下的牛顿运动定律应用；2. 动量定理和动量守恒定律的灵活运用；3. 角动量定理和角动量守恒定律的运用；4. 能量守恒定律在复杂情况下的应用。
教学准备：1. 多媒体课件；2. 质点动力学实验器材；3. 相关教材和参考书籍。
教学过程：第一课时一、导入1. 回顾质点运动学的基本概念，如位置、位移、速度、加速度等；2. 引入质点动力学，强调质点动力学在物理学中的重要性。
二、讲授新课1. 质点动力学的基本概念：- 质点：质量集中在一个点上的物体；- 力：使物体发生运动状态改变的原因；- 加速度：物体速度变化率。
2. 牛顿运动定律：- 牛顿第一定律：物体在没有外力作用下，将保持静止状态或匀速直线运动状态；- 牛顿第二定律：物体所受外力与加速度成正比，与质量成反比；- 牛顿第三定律：作用力与反作用力大小相等、方向相反。
3. 动量定理和动量守恒定律：- 动量定理：物体所受冲量等于物体动量的变化；- 动量守恒定律：在没有外力作用下，系统的总动量保持不变。
三、课堂练习1. 分析质点受力情况，运用牛顿运动定律求解；2. 计算动量变化和冲量。
第二课时一、复习1. 复习上一节课所学内容，强调重点和难点；2. 对课堂练习进行讲解和答疑。
二、讲授新课1. 角动量定理和角动量守恒定律：- 角动量定理：物体所受合外力矩等于物体角动量的变化率；- 角动量守恒定律：在没有外力矩作用下，系统的总角动量保持不变。
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( m1 m2 ) g m1a0 m2 ao a 2 m1 m2
m2 g
( 2 g a0 )m1 m2 T m1 m2
27
例题1.5 木箱与地面：µ =0.6，h=1.5m, 若人匀速前进，绳长L为多长时最省力? 解 水平方向：Fcos-fs=ma=0 （匀速） 竖直方向：Fsin+N-mg=0 , fs= µ N
(2)m下边缘滑到水平面时，M移动的距离；
ab 1 2 at d cos 2
M移动的距离:
2(a b) t a cos
2
a
24
1 2 s aM t 2 m(a b) Mm
b m aM M
y
o
a
d
x
(3)要m相对M静止，F=? x:Nsinθ=ma 对m: y:Ncos θ =mg 解得 a=g.tg θ (M+m):
12
3）物理学的规律，例如牛顿第二定律，都有 一定的适用限度。在限度之外，牛顿第二 定律不再成立。在不适用的范围，用它来 预言实验就不再正确，因而这时用它来作 为定义也就没有意义了。或者说，当式（1） 作为定律不再适用时，用它作为力及质量 的定义就也不适用了。上述力及质量的定 义也是有其适用限度的。
a
mg N
F f
N
3 3( N )
G
20
例题1.3 M、m，各处光滑。求: (1) M、 m的加速度及对地的压力；
y
x: N1sin =max 解: m: y: N1cos -mg=may
N1
m
x
x: -N1sin = -MaM M: y: N2-Mg-N1cos =0
b y
17
四. 牛顿定律的应用方法
基本方法： 隔离体法 +正交分解
将每个物体从系统中分离出来 , 分别加以研 究隔离体法。
而物体间的联系用力来表示。
沿相互垂直的方向(坐标轴方向)应用牛顿第 二定律, 联立求解。
18
例题1.1 要物体m不下滑， 至少a=?(斜面与 物体m间的摩擦系数为)。
Fs m m
9
我们可以取物体A的质量作为质量单位的标准，故可 以任意定其数值为mA，利用（）式作为力的定义，再 1 由实验（a）测得的a A，即可算出弹簧对A的牵动力 F mA a A 在实验(b)中，设弹簧对B的牵动力与牵动A时一样，仍 为F，则利用（）式作为质量的定义，可算出 1 B的质量 mB＝F / aB 在实验（c）中，如果假设A与B在一起的质量mAB是分别 质量之和（即质量是可加的）：mAB＝mA＋mB 再假定牵引力仍然是F，就可以用(1)式作为定律，来预 言此时的加速度a AB为： a AB＝F / mAB F / mA＋mB a A aB / (a A aB ) (2)
质点动力学
Dynamics of a particle
第 2章
亚里仕多德
伽利略
牛顿
洛仑兹
爱因斯坦
1
§2.1 力的瞬时效应牛顿定律
一. 牛顿三大定律
•
前面讲的都是质点运动学的内容，而没有涉及 到运动的原因，没有研究不同样式的运动之间的 内在联系。动力学则是在运动学的基础上，进一 步研究引起质点运动状态发生变化的原因。 牛顿运动定律时经典力学的基础。宏观低速物 体的机械运动，都可根据牛顿定律进行解算，所 以牛顿运动定律在经典力学中占有非常重要的地 位。
mg F cos sin
F有极值的必要条件是： dF tg 0 d fk L=h/sin=2.92m时,最省力。
N m mg
L F
h
28
例题1.6 钢球m由静止从A点沿光滑半圆 形槽下滑。求滑到图示位置时钢球对槽的压 力以及钢球的an、a。 解
2 法向：N-mgcos =ma =m
14
这样，我们就说明了牛顿第二定律既是 动力学基本规律，同时又可作为质量及力 的定义的全部意义。当然，这并不排斥我 们去寻求不依赖于牛顿第二定律的关于质 量及力的定义。但是，即使我们找到了更 深入的定义，那么在牛顿第二定律适用的 范围内，新的定义也必定等价于上述定义。 因此，在牛顿第二定律适用的范围中，采 用上述定义不仅是正确的，而且是“够用” 的了。
n
A N
o
d 切向：mgsin=ma=m dt
得： a=gsin
R
(1)
(2)
R
mg
d d d mgsin m m dt d dt
29
d d d d d m m m mgsin m d R d d dt dt
A N o
N m F mg M
F=(M+m)a =(M+m)g.tg θ
y x
25
例题1.4 轻滑轮，柱m2相对绳以恒定的 加速度ao下滑，求m1 、m2相对地面的加速 度及柱与绳间的摩擦力。 解 m1: m1g -T=m1a1 m2：T- m2g =m2 a2 T即为摩擦力
T T m2 ao m2g
26
8
在一个光滑的固定桌面上，我们做三个实验。 其一，物体A与一弹簧相连，把弹簧拉长到L，然后 释放物体A，在弹簧的牵动下，A作加速运动，测量 出开始时刻的加速度a A；其二，用上述弹簧与物体B 相连，仍拉长到L，测出释放时刻的加速度aB；其三， 仍是上述弹簧，拉长到L，和捆在一起的A、B相连， 测出释放时刻的加速度a AB。 上述三个实验，只用了运动学的概念，测得了一组 数据，如果没有其他知识，我们不能得到更多的东西。 现在我们看如何用动力学来得到所测量量a A，aB，a AB 之间的联系。
0
md
2
mgRsind
1 m 2 mgRcos 2 2 由 N-mgcos =m R
简言之，牛顿第一定律断定了惯性系一 定存在。
4
2) 牛顿第二定律
F ma...(1)
即，物体所获得的加速度的大小与作用 在物体上的合外力成正比，与物体的质量成 反比，加速度的方向与和外 力的方向相同。
5
• 什么是质量？
这个问题并未解决，也曾有过各种有关 质量的定义，例如：质量是物体所含“物 质的量”。然而，这种定义没有物理的价 值。因为什么叫“物质的量”？仍然是不 确定的。物理学中，一个物理量的定义， 必须提供根据其他能够度量的量来计算它 的一套规则。
a柱对地=a柱对绳+a绳对地
即：a2= -a0 + a1
m1
a1 m 1 m2 a2 m1g
m1: m1g -T=m1a1 m2：T- m2g =m2 a2 a柱对地=a柱对绳+a绳对地 即：a2=-a0 + a1 解得
T
m1 a1 m 1 m2 a2 m1g T
( m1 m2 ) g m2 a0 a1 , m1 m2
13
4）只依靠牛顿第二定律来分析运动性质， 还是不够的，必须扩充其他假定，才可能 预测运动。在上述例子中，不仅用了式 （1），而且用了两个假定：弹簧被拉长到 同样的长度时产生同样的牵动力；质量具 有可加性。这个特点与数学不相同。数学 上的已知到求证之间，只能使用定理、定 义进行逻辑推理，不外加其他东西。但物 理上没有一个是如此。必定要补充一些外 加的假设，才能从已知测量中作出预言。 外加的假设，反映了我们对客观世界的看 法，或者说用什么模型去看客观世界，这 是物理的难点，而也正是物理学工作的精 髓。
a 水平: 竖直: 解得 N=ma N=mg a=g/
N
mg
问题：若a,N ,使 N>mg, m是否会上升呢?
19
例题1.2 m=2kg以a=3m/s2下滑, 斜面不动。 求斜面与水平面间的静摩擦力(=30)。 解
N m f
m: 平行斜面：mgsin-f=ma
垂直斜面：N=mgcos 斜面: 水平方向： fcos +F= Nsin 解得 F= macos
10
我们注意到，（2）式中只含有实验直 接可测的量（与我们任意取定的 mA 值无 关），亦即牛顿第二定律给出了从一组实 验(a),(b)的数据计算另一实验(c)的规则。 如果这样计算出来的结果与观测值符合， 就为牛顿第二定律的正确性提供了一个实 验验证。
11
• 上述理论与实验直接的全面关系告诉我们： • 1）在整个分析过程中，我们的确有时将式 （1）作为定义使用，有时又作为定律，但在每个 具体环节上都是明确的，并没有同时既作定义， 又作定律的情况，因而是不“混乱”的。理论与 实验之间由一些测量联系着，由此不难理解式（1） 既是定义又是定律，“身兼两职”的实质。 • 2）式（2）中都是实验可以直接测定的量， 也就是说，由式（1）所给出的预言是明确的，具 有可验证性或可否证性。
2
•
1) 牛顿第一定律 一自由粒子永远保持静止或匀速直线运动 的状态。 （自由粒子是指不受任何相互作用的粒子）
注意：速度和加速度都是具有相对性的，对参考 系Ｓ为 匀速运动的物体,在其他参考系中可能成为 非匀速 的。那么在某参考系看来，一个不 受力的物体也会做非匀速运动。
3
然而，牛顿第一定律的意义在于断言： 对于一个不受力的物体，一定可以选择一 个参考系，相对于该参考系，该物体做匀 速运动或静止，而且，其他所有自由运动 的物体，对于该参考系来说，也都做匀速 运动或静止。即，一定存在着这样的参考 系，相对于它，所有不受外力作用的物体 都保持自己的速度。这类特殊的参考系， 称为惯性参考系，或惯性系。
( M m ) g sin a M m sin2
( M m ) g sin ay M m sin2
2
b
y
m
N1
o
x
aM