2函数表达式
二次函数的根的表达式
二次函数的根的表达式
二次函数的根的表达式是一种在数学领域中通常出现的表达式，它可
以帮助我们更好地求解二次方程的根。
其实，求解二次函数的根表达
式就等价于求解二次方程的根，并且它也可以有助于我们更好地理解
二次函数的特点。
一般来说，二次函数的根表达式可以用ax^2 + bx + c = 0来表示，
其中a，b，c分别为方程的系数。
为了求解上述方程的根，我们可以
使用“二次函数的根的表达式”，它的形式可以写作 x = -b ±
√(b2 - 4ac) /2a。
该表达式首先将一个二次方程变换为b2-4ac的形式，然后计算出平方根，最后再用平方根的值除以2a，从而得到有关
求解根的结果。
如果a不等于零，那么上述二次函数的根的表达式总是有效的；但是，如果a等于0，那么这个方程就是一个一次方程，而不是二次方程，因此无法求解二次函数的根。
另外，当b2 - 4ac小于零时，表达式不能
直接求解，也就是说，不存在实数解。
这是因为根的表达式中的平方
根的值是负值。
通过上面的推导，我们知道，二次函数的根的表达式对于求解二次方
程非常重要，它可以帮助我们更好地进行二次函数的求解，从而更好
地理解二次函数的特点。
二次函数的图像及其三种表达式
二次函数的图像及其三种表达式学生：时间：学习目标1熟悉常见的二次函数的图像；2、理解二次函数的三种表达式知识点分析1、•二次函数的三种表达式一般式：y=ax A2+bx+c (a, b, c 为常数，a老)顶点式：y=a(x-h)A2+k [ 抛物线的顶点P (h, k)]交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[ 仅限于与x轴有交点A (x1 , 0)和B (x2 , 0)的抛物线]2、一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=axA2+bx+c (a, b, c为常数，a M),且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，lal还可以决定开口大小，lal越大开口就越小，lal越小开口就越大.) 则称y 为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
例题精讲2例题1已知函数y=x + bx +1的图象经过点(3, 2).(1)求这个函数的表达式；(2)画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；(3)当x > 0时，求使y》2的x的取值范围.例题2、一次函数y=2x + 3，与二次函数y=ax2+ bx + c的图象交于A ( m 5)和B (3, n)两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9.(1)求二次函数的表达式；(2)在同一坐标系中画出两个函数的图象；(3)从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大. (4)当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？随堂练习1.已知函数y=ax2+ bx+ c(a M0)的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是(b b b b——=12a 21 2A. y= (x—1) +22 B.y=1 (x—1) 2+2 21 2 1 2C.y =丄(x — 1)2-3D.y =l (x +2)2- 12 23. 抛物线y =- 2x 2-x +1的顶点在第 ______ 象限A. 一B. 二C.三D.四4. 不论m 取任何实数，抛物线 y =a (x +m )2+m (a * 0)的顶点都A.在y =x 直线上B.在直线y =-x 上C.在x 轴上D.在y 轴上25. 任给一些不同的实数 n ,得到不同的抛物线 y =2x +n ，如当n =0,± 2时，关于这些抛物线 有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判 断正确的个数是A.1个B.2 个C.3 个D.4 个6. 二次函数y =x 2+p x +q 中，若p+q=O ,则它的图象必经过下列四点中,-1)C.(-1,- 1) D.(1 , 1)7. 下列说法错误的是A. 二次函数y =— 2x 2中，当x =0时，y 有最大值是0B. 二次函数y =4x 2中，当x >0时，y 随x 的增大而增大2 2 2 2 . . 2 . .C. 在三条抛物线 y =2x , y =- 0.5 x , y =-x 中，y =2x 的图象开口最大，y =- x 的图象开 口最小D. 不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2( a 工0)的顶点一定是坐标原点8. 已知二次函数 y =x 2+(2k +1)x +k 2— 1的最小值是0,贝U k 的值是219. 小颖在二次函数 y =2x +4x +5的图象上，依横坐标找到三点(—1, y"，( — , y 2),(-213丄，y 3)，则你认为y 1, y 2,小的大小关系应为2A. y 1 >y 2>y 3B.y 2>y 3>y 1 C. y 3>y 1>y 2 D. y 3>y 2>y 11 210. 抛物线y =-(x +3)的顶点坐标是 __________ .211. _____________________________________________________________ 将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是 ______________________________ .4 212. 函数y =-x - 2- 3x 有最 ________ 值为 ____ .313. 已知抛物线 y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(—2, 3)，且过(—1, 5)，则抛物线的表达式为 14. ________________________________________________________________ 二次函数y =m )2+2x +m- 4n i 的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是 ______________________15. 抛物线y=ax 2 + bx + c (c 丰0)如图②所示，回答：(1) _______________________________________ 这个二次函数的表达式是 ; (2) 当 x= _____ 时，y=3;16. 抛物线y=ax 2 + bx + c (c 丰0)如图②所示，回答：(1) _______________________________________ 这个二次函数的表达式是 ; (2) 当 x= _____ 时，y=3;A.( - 1, 1)B.(1 B.C.D.(3)根据图象回答：当x __________________ 时，y>0.17. ____________________________ 已知抛物线y= - x2+( 6- 2k) x+ 2k- 1与y轴的交点位于(0, 5) 上方，则k的取值范围是__ .18. —根长为100 m 的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大，边长分别为19. ________________________________________________________________________ 若两个数的差为 3,若其中较大的数为 x ，则它们的积y 与x 的函数表达式为 __________________ _，它有最 _________ 值，即当 x= _________ 时，y= _________ . 20. 边长为12cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长为 x 的小正方形铁片，剩下的四方框铁 片的面积y (cm )与x (cm )之间的函数表达式为 ______________________ . 21. 等边三角形的边长 2x 与面积y 之间的函数表达式为 .22. ____________________________________________________________________ 抛物线y=x 2 + kx — 2k 通过一个定点，这个定点的坐标为 __________________________________ . 23. 已知抛物线 y=x 2 + x + b 2经过点(a , — 1 )和(一a , yj ,则y 1的值是 ________________ .424. 如图，图①是棱长为 a 的小正方体，②、③是由这样的小正方体摆放而成，按照这样的 方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层……第n 层，第n 层的小正方体的个数记 为S,解答下列问题：(1)按照要求填表:n1234s1 3 6(2) 写出当n=10时，S= __________ .(3) 根据上表中的数据，把 S 作为纵坐标，n 作为横坐标，在平面直角坐标系中描出 相应的点.(4) 请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该 函数的表达式.25. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过 程.图中二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润 S (万元)与销售时间a由(D ②(月)之间的关系(即前t个月的利润总和根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润式；(2)求截止到几月末公司累积利润可达到S与t之间的关系).S (万元)与时间t (月)之间的函数表达30万元;(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?精品文档欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
二次函数解析式和表达式的区别
二次函数解析式和表达式的区别摘要：1.二次函数解析式的定义和表达式的定义2.二次函数解析式和表达式之间的区别3.二次函数解析式和表达式在实际问题中的应用4.如何从实际问题中得出二次函数的解析式和表达式正文：在数学中，二次函数解析式和表达式是常用的表示二次函数的方式，但它们之间存在着明显的区别。
首先，我们来了解一下二次函数解析式和表达式的定义。
二次函数解析式是指用字母表示二次函数的关系式，通常形式为y=ax+bx+c（a、b、c为常数），它直接揭示了自变量x与因变量y之间的关系。
而二次函数表达式则是指用数值表示二次函数的方式，它通常是通过将二次函数解析式中的字母换成数值来实现的。
其次，二次函数解析式和表达式之间的区别在于，解析式强调的是函数的关系，而表达式强调的是函数的值。
例如，对于二次函数y=ax+bx+c，当我们知道a、b、c的值后，就可以通过解析式计算出y与x的关系。
而表达式则直接给出了函数在不同x值下的y值，便于我们进行数值计算和图形绘制。
在实际问题中，二次函数解析式和表达式都有广泛的应用。
例如，在物理中，二次函数解析式可以用来表示物体的运动轨迹，而表达式则可以用来计算物体的位置、速度和加速度等物理量。
在工程中，二次函数解析式和表达式常用于建模和优化问题，如曲线拟合、参数估计等。
那么，如何从实际问题中得出二次函数的解析式和表达式呢？一般来说，我们可以通过以下步骤：1.分析实际问题，找出其中的数学关系。
例如，在物体运动问题中，我们可以通过测量物体的位移、时间等数据，找出位移与时间的关系。
2.建立二次函数模型。
根据实际问题中的数学关系，我们可以建立二次函数模型，如y=ax+bx+c。
3.利用已知数据求解二次函数参数。
将实际问题中的数据代入二次函数模型，通过最小二乘法等方法求解出a、b、c等参数。
4.得出二次函数的解析式和表达式。
在求解出二次函数参数后，我们就可以得到二次函数的解析式和表达式。
总之，二次函数解析式和表达式是表示二次函数两种常见的方式，它们在实际问题中有着广泛的应用。
二次函数顶点在原点的表达式
二次函数顶点在原点的表达式
一次函数和二次函数都是多项式函数，即表示为常系数矩阵中的形式。
常见的一次函数形式可以表示为：y=ax+b，二次函数的表达式有许多，其中一种最常见的体现是二次函数顶点在原点的表达式——二次型函数，可表示为：
$$y = ax^2 + bx + c (a\neq 0)$$
其中a、b、c代表的是三个不同的常数。
同样的，此函数的图形也是
具备一定规则的曲线，也就是被称作“二次函数”的曲线。
1. 二次型函数的形式
二次型函数的表达式可表示为：$$y = ax^2 + bx + c (a\neq 0)$$ 其中a、b、c三个常数分别代表二次项、一次项和常数项，a代表抛物线的凹凸性，区分凹抛物线和凸抛物线。
2. 二次函数图像
二次函数的图像总是具有一定的规律，其图像在x轴对称，由于二次
项的系数a可以大于、等于、小于0，所以可以分别得出以下三种图形：
(1) a>0：形成的抛物线是凸的，以原点为顶点，开口朝上。
(2) a=0：形成的图形是一条直线，以原点为中点，做出两段平行线。
(3) a<0：形成的抛物线是凹的，以原点为顶点，开口朝下。
3. 二次函数顶点在原点的表达式
二次函数顶点要求是在原点的表达式，若顶点坐标为(0,0)，便是要求形式为 $$y = ax^2 + bx + c (a\neq 0)$$中的常数c=0，从而简化为一下表达式：
$$y = ax^2 + bx (a\neq 0)$$
特别地，当b=0时，此二次函数顶点在原点的表达式进一步简化为： $$y = ax^2 (a \neq 0) $$。
二次函数的表达式常见的三种形式
二次函数的表达式常见的三种形式：
1、一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且，
当已知抛物线上任意三点坐标时，通常设其函数表达式为一般式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解；
2、顶点式：)0,,(2≠++=a k h a k h x a y 为常数，且）（，当已知抛物线的顶点坐标和抛
物线上另一点的坐标时，通常先设函数的表达式为顶点式，然后将另一点的坐标带入，解关于a 的一元一次方程；
3、交点式（拓展）：)0,,)()((2121≠--=a x x a x x x x a y 为常数，且，其中21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.当已知抛物线与x 轴的交点及抛物线上另一点坐标时，通常先设其函数表达式为))((21x x x x a y --=，然后将另一点的坐标带入求出待定系数a .。
二次函数的表达式常见的三种形式
二次函数的表达式常见的三种
形式(总1页)
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2 二次函数的表达式常见的三种形式：
1、一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且，当已知抛物线上任意三点坐标时，通常设其函数表达式为一般式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解；
2、顶点式：)0,,(2≠++=a k h a k h x a y 为常数，且）
（，当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点的坐标时，通常先设函数的表达式为顶点式，然后将另一点的坐标带入，解关于a 的一元一次方程；
3、交点式（拓展）：)0,,)()((2121≠--=a x x a x x x x a y 为常数，且，其中21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.当已知抛物线与x 轴的交点及抛物线上另一点坐标时，通常先设其函数表达式为))((21x x x x a y --=，然后将另一点的坐标带入求出待定系数a .。
如何求二次函数表达式
如何求二次函数表达式求二次函数表达式的问题是历年来的中考热点之一，为帮助同学们切实掌握求二次函数表达式的方法，这里笔者结合教学实例进行说明，与同仁们共同探讨，供同学们借鉴。
二次函数表达式主要有三种常见形式：一般式、顶点式、对称点式。
1．一般式y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0 )当已知抛物线上三个点的坐标时，通常设抛物线的表达式为一般式，再把已知三点坐标代入所设的一般式，建立关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，后代回所设表达式即可。
例1.抛物线过三点（0，1），（-1，-5），（3，-5），求抛物线的表达式分析：因已知抛物线上三个点的坐标，所以可设函数表达式为一般式解：设函数表达式为：y= ax2+bx+c,把三个点的坐标代入得c=1，a-b+c=-5,9a+3b+c=-5解之得a=-2，b=4，c=1所以该抛物线的表达式为：y=-2x2+4x+1跟踪练习：抛物线过三点（0，1）（1，3）（-1，1）答案：y=x2+x+12. 顶点式y=a（x-h)2+k（a、h、k为常数且a≠0），（h，k）为抛物线的顶点坐标。
当已知抛物线的顶点坐标或对称轴时，可以设表达式为顶点式，将题中剩余条件代入求出待定系数，再代回表达式，化为一般式即可。
例2．已知抛物线的顶点坐标是（1，-4），且过点（3，0）求其函数表达式。
分析：因题中给定的是抛物线的顶点坐标，所以可设顶点式来解。
解：设y=a(x-1)2-4，将点（3，0）代入得：4a-4=0所以a=1因此y=(x-1)2-4=x2-2x-3例3．已知抛物线的对称轴为直线x=1，且过点（0，-1），（3，2），求其函数表达式。
分析：因给定的是抛物线的对称轴，也就知道了顶点的横坐标，所以也可以把表达式设为顶点式。
解：设y=a（x-1)2+b，把（0，-1），（3，2）坐标代入得：a+b=-1，4a+b=2解之得a=1，b=-2所以函数表达式为：y=(x-1)2-2=x2-2x-1跟踪练习：1.抛物线的对称轴是直线x=1，函数有最大值4，且过点（0，3），求抛物线解析式2．抛物线的对称轴是直线x=-2,且过点（-1，3）（-4，0）答案：1.y=-x2+2x+3 2.y=-x2-4x3. 对称点式y=a（x-x1)（x-x2)+h（a、x1、x2、h为常数，且a≠0）（x1，h），（x2，h）是抛物线上的一对对称点。
交点式二次函数表达式
交点式二次函数表达式
二次函数交点式公式：y=a(X-x1)(X-x2)。
二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。
二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。
函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。
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A．8 C．11
【练3】 (2013 年高考安徽卷)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋1)＝2f(x)．若当 0≤x≤1 时，
f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0 时，f(x)＝________.
【练4】 已知 f
2 x＋1＝lg x，求 f(x)；
(2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求 f(x)； (3)定义在(－1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数 f(x)的解析式．
a≤0 时，由 f(a)＋f(1)＝0 得 a＋1＋2＝0，解得 a＝－3，满足条件，故选 A. 答案：A
1 12 【练2】 解析：∵fx－x＝x－x ＋2，∴f(3)＝9＋2＝11.
答案：C 【练3】 解析：设－1≤x≤0，∴0≤x＋1≤1， 1 1 ∴f(x)＝ f(x＋1)＝ (x＋1)[1－(x＋1)] 2 2 1 ＝－ x(x＋1)． 2 1 答案：－ x(x＋1) 2 2 2 【练4】 解析：(1)令 t＝x＋1，则 x＝t－1， ∴f(t)＝lg 2 2 ，即 f(x)＝lg . t－1 x－1
两式相加，得 f(10)＝1.
答案
【练10】
1
解析 由 f(1＋x)＝f(1－x)， 可知函数关于 x＝1 对称当 x<1 时， 2－x>1，∴f(x)＝f(2－x)＝ln[(2－x)＋1]＝ln(3－x)． ln(3－x) (1)由已知 f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x.
答案
【练11】
解
【练5】 解析：f(5)＝f3＝f(1)＝－5，f(－5)＝f－3＝f(－1)＝f1＝－5.
1
1
1
1
答案：D
【练6】 解析：由 2⊕x＝ 4－x2，x⊗2＝ x－22＝|x－2|.
所以 f(x)＝
4－x2 ， |x－2|－2
－2≤x≤2， 由 解得－2≤x＜0 或 0＜x≤2，由此可得 x－2≤0，则 f(x)＝ |x－2|≠2，
高考数学研究
函数的表达式
3/5
4－x2 ，x∈[－2,0)∪(0,2]． －x 4－x2 答案：f(x)＝ ，x∈[－2,0)∪(0,2] －x
1 1 【练7】 解析 令 1－2x＝2，∴x＝4， 12 1 － 1 4 f2＝ 1 ＝15. 2 4 答案 C
2015 一轮复习经典——（2） 高端视野:函数表达式
2 ，x>0， 【练1】 已知函数 f(x)＝ x＋1，x≤0. 若 f(a)＋f(1)＝0，则实数 a 的值为(
x
)
A．－3 C．1
2 【练2】 已知函数 fx－x＝x ＋x2，则 f(3)＝(
B．9 D．10
【练5】
1 (2014· 邯郸模拟)函数 f(x)对于任意实数 x 满足 f(x＋2)＝fx， 若 f(1)＝－5， 则 f(f(5))等于( ) B．5 1 D．－5
A．2 C．－5
【练6】
(2014· a⊕b＝ a2－b2， a⊗b＝ a－b2， 沈阳二模)定义两种运算： 其中 a， 2⊕x b∈R，则函数 f(x)＝x⊗2－2的解析式为________．
(2)设 f(x)＝ax＋b，则 3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b＝2x＋17，则有 a＝2，b＋ 5a＝17， ∴a＝2，b＝7，故 f(x)＝2x＋7. (3)x∈(－1,1)时，有 2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．① 令 x＝－x 得，2f( －x)－f(x)＝lg(－x＋1)．② 由①②消去 f(－x)，得 2 1 f(x)＝ lg(x＋1)＋ lg(1－x)，x∈(－1,1)． 3 3
【练7】
1－x2 1 若 g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝ x2 (x≠0)，则 f 2等于( B．3 D．30
函数的表达式
)
A．1 C．15
高考数学研究
1/5
【练8】
已知 f(2x＋1)＝3x－2，且 f(a)＝4，则 a 的值是________．
1 设函数 f(x)＝f x lgx＋1，则 f(10)的值为__________．
有问题反馈到北京高考数学研究微信
高考数学研究
函数的表达式
5/5
x－1，x＞0， 【练12】 已知 f(x)＝x －1，g(x)＝ 2－x，x＜0.
2
(1)求 f[g(2)]和 g[f(2)]的值； (2)求 f[g(x)]和 g[f(x)]的表达式．
高考数学研究
函数的表达式
2/5
a 【练1】 解析：当 a>0 时，由 f(a)＋f(1)＝0 得 2 ＋2＝0，故此时不存在实数 a 满足条件；当
【练8】
t－1 3t－3 3 解析 令 2x＋1＝t，则 x＝ 2 ，∴f(t)＝ 2 －2，即 f(x)＝2x 7 3 7 －2，又2a－2＝4，∴a＝5. 5 1 分别令 x＝10，10，
答案 解析
【练9】
1 ＋1， f 10 ＝ f 10 得 1 ＝－f10＋1， f 10
令 x＝1，y＝0，得 f(1)－f(0)＝2. 又∵f(1)＝0，∴f(0)＝－2. (2)令 y＝0，得 f(x)－f(0)＝(x＋1)x.
高考数学研究 函数的表达式 4/5
∴f(x)＝x2＋x－2.
【练12】
解
(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3，
∴f[g(2)]＝f(1)＝0，g[f(2)]＝g(3)＝2. (2)当 x＞0 时，g(x)＝x－1， 故 f[g(x)]＝(x－1)2－1＝x2－2x； 当 x＜0 时，g(x)＝2－x， 故 f[g(x)]＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3；
【练9】
【练10】 (2014· 天津一中模拟)已知∀x∈R，f(1＋x)＝f(1－x)，当
x≥1
时，f(x)＝ln(x＋1)，则当 x<1 时，f(x)＝________.
【练11】 函数
f(x)对一切实数 x， y 均有 f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x 成立，
且 f(1)＝0. (1)求 f(0)的值； (2)求 f(x)的解析式．
2 x＞0， x －2x， ∴f[g(x)]＝ 2 x －4x＋3， x＜0.
当 x＞1 或 x＜－1 时，f(x)＞0， 故 g[f(x)]＝f(x)－1＝x2－2； 当－1＜x＜1 时，f(x)＜0， 故 g[f(x)]＝2－f(x)＝3－x2.
2 x －2，x＞1或x＜－1， ∴g[f(x)]＝ 2 3－x ，－1＜x＜1.