高中数学必修二知识点+例题+知识点

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(人教版)高中数学必修二-知识点、考点及典型例题解析(全)

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必修(bìxiū)二第一章空间(kōngjiān)几何体知识点:1、空间(kōngjiān)几何体的结构⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥(yuánzhuī)、圆台、球。

⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些(zhèxiē)面所围成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。

2、长方体的对角线长;正方体的对角线长3、球的体积公式:,球的表面积公式:4、柱体,锥体,锥体截面积比:5、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积;⑵圆锥(yuánzhuī)侧面积:典型(diǎnxíng)例题:★例1:下列命题(mìng tí)正确的是( )A.棱柱(léngzhù)的底面一定是平行四边形B.棱锥(léngzhuī)的底面一定是三角形C.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱D.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥★★例2:若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,其直观图面积是原三角形面积的()A 倍B 倍C 2倍D 倍★例3:已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体,其三视图如下图所示,则这个组合体的上、下两部分分别是()A.上部是一个圆锥,下部是一个圆柱B.上部是一个圆锥,下部是一个四棱柱C.上部是一个三棱锥,下部是一个四棱柱D.上部是一个三棱锥,下部是一个圆柱正视侧视俯视★★例4:一个(yīɡè)体积为的正方体的顶点(dǐngdiǎn)都在球面上,则球的表面积是A.B. C. D.二、填空题★例1:若圆锥(yuánzhuī)的表面积为平方米,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个(zhè ge)圆锥的底面的直径为_______________.★例2:球的半径(bànjìng)扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.第二章点、直线、平面之间的位置关系知识点:1、公理1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。

高中数学必修2知识点加例题加课后习题

高中数学必修2知识点加例题加课后习题

高中数学必修二第一章 空间几何体1.1空间几何体的结构 1、棱柱定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。

分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

2、棱锥定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示:用各顶点字母,如五棱锥'''''E D C B A P -几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

3、棱台定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示:用各顶点字母,如四棱台ABCD—A'B'C'D'几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点4、圆柱定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

5、圆锥定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

6、圆台定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

数学必修二知识点归纳

数学必修二知识点归纳

数学必修二知识点归纳数学必修二知识点归纳(6篇)数学必修二知识点归纳11.数列的有关概念:(1)数列:按照一定次序排列的一列数。

数列是有序的。

数列是定义在自然数N_它的有限子集{1,2,3,,n}上的函数。

(2)通项公式:数列的第n项an与n之间的函数关系用一个公式来表示,这个公式即是该数列的通项公式。

如:。

(3)递推公式:已知数列{an}的第1项(或前几项),且任一项an与他的前一项an-1(或前几项)可以用一个公式来表示,这个公式即是该数列的递推公式。

如:2.数列的表示方法:(1)列举法:如1,3,5,7,9,(2)图象法:用(n,an)孤立点表示。

(3)解析法:用通项公式表示。

(4)递推法:用递推公式表示。

3.数列的分类:4.数列{an}及前n项和之间的关系:5.等差数列与等比数列对比小结:等差数列等比数列一、定义二、公式1.2.1.2.三、性质1.,称为与的等差中项2.若(、、、),则3.,,成等差数列1.,称为与的等比中项2.若(、、、),则3.,,成等比数列(三)不等式1、;;.2、不等式的性质:①;②;③;④,;⑤;⑥;⑦;⑧.小结:代数式的大小比较或证明通常用作差比较法:作差、化积(商)、判断、结论。

在字母比较的选择或填空题中,常采用特值法验证。

3、一元二次不等式解法:(1)化成标准式:;(2)求出对应的一元二次方程的根;(3)画出对应的二次函数的图象;(4)根据不等号方向取出相应的解集。

数学必修二知识点归纳2解三角形1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°-(A+B);2、三角形三边关系:a+b>c; a-b3、三角形中的基本关系:sin(A?B)?sinC,cos(A?B)cosC,tan(A?B)tanC,A?BCA?BCA?BC?cos,cos?sin,tan?cot 2222224、正弦定理:在C中,a、b、c分别为角?、?、C的对边,R为C的外abc2R.接圆的半径,则有sin?sin?sinCsin5、正弦定理的变形公式:①化角为边:a?2Rsin?,b?2Rsin?,c?2RsinC; abc,sin,sinC?; 2R2R2Ra?b?cabc③a:b:c?sin?:sin?:sinC;④. sinsinsinCsin?sin?sinC②化边为角:sin6、两类正弦定理解三角形的问题:①已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角,求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况(一解、两解、三解))7、余弦定理:在C中,有a?b?c?2bccos?,b?a?c?2accos?,222222c2?a2?b2?2abcosC.b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c28、余弦定理的推论:cos,cos,cosC?. 2bc2ac2ab(余弦定理主要解决的问题:1.已知两边和夹角,求其余的量。

(完整版)新人教版高中数学必修2知识点总结

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高中数学必修 2 知识点总结 (2)画三视图的原则:长对齐、高对齐、宽相等( 1)棱柱:定义 :有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面所围成的几何体。

分类 :以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示:用各顶点字母,如五棱柱 ABCDE A 'B 'C 'D 'E ' 或用对角线的端点字母,如五棱柱 AD 几何特征 :两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于 底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥定义 :有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类 :以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示 :用各顶点字母,如五棱锥 P A 'B 'C 'D 'E '几何特征 :侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。

( 3)棱台:定义 :用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类 :以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示 :用各顶点字母,如五棱台 P A 'B 'C 'D 'E '几何特征 :①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 ( 4)圆柱:定义 :以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征 :①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

( 5)圆锥:定义 :以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征 :①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

( 6)圆台:定义: 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征: ①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

必修二数学必背公式知识点_高中数学知识点

必修二数学必背公式知识点_高中数学知识点

必修二数学必背公式知识点_高中数学知识点必修二数学必背公式知识点空间几何一、立体几何常用公式S(圆柱全面积)=2πr(r+L);V(圆柱体积)=Sh;S(圆锥全面积)=πr(r+L);V(圆锥体积)=1/3Sh;S(圆台全面积)=π(r^2+R^2+rL+RL);V(圆台体积)=1/3[s+S+√(s+S)]h;S(球面积)=4πR^2;V(球体积)=4/3πR^3。

二、立体几何常用定理(1)用一个平面去截一个球,截面是圆面。

(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面。

(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面半径r有下面关系:r=√(R^2—d^2)。

(4)球面被经过球心的平面载得的圆叫做大圆,被不经过球心的载面截得的圆叫做小圆。

(5)在球面上两点之间连线的最短长度,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,这个弧长叫做两点间的球面距离。

高二必修二数学复习知识点1.函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x);(2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0(可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2.复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法:若已知的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;3.函数图像(或方程曲线的对称性)(1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像C1与C2的对称性,即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上,反之亦然;(3)曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函数y=f(x)对x∈R时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)图像关于直线x=a对称,高中数学;(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;高二数学必修二重要知识归纳空间中的平行问题(1)直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

高中数学必修2知识点总结:第三章_直线与方程2

高中数学必修2知识点总结:第三章_直线与方程2

高中数学必修2知识点总结:第三章_直线与方程2直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1 倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、倾斜角α的取值范围:0°≤α<180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示, k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. .....4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率:斜率公式: k = y2-y1/x2-x1 3.1.2 两条直线的平行与垂直1、两条直线的平行① 若两条直线的斜率都存在,则:k1 = k2 = L1∥L2或者..L1与L2重合② 两条不重合直线平行的判定条件:⑴ 两条直线的斜率都不存在;⑵ 两条直线的斜率存在,且k1 = k2...(若已知两条直线的斜率存在且平行,则应k1 = k2 且纵截距不相等;若已知两条直线的斜率不存在且平行,则应横截距不相等)2、两条直线垂直①若两条直线的斜率都存在,则:k1 k2 = - 1 = L1 ⊥ L2 .....②两条直线垂直的判定条件:⑴ 两条直线:一条斜率不存在,另外一条k =0 ;⑵ 两条直线的斜率存在:k1 k2 = - 1 3、利用系数来判断平行与垂直★ 已知L1: A1x+B1y+C1=0 , L2 : A2x+B2y+C2=0 那么:① A1B2-A2B1=0两条直线平行或重合....两条直线相交③ A1A2 + B1B2 = 0..② A1B2-A2B1 ≠0两条直线垂直..★ 如果已知两条直线的一般式方程,则可以通过系数关系求解相应的参数的值。

【新教材】高中数学必修第二册知识点

【新教材】高中数学必修第二册知识点

【新教材】高中数学必修第二册三部分知识点课本目录知识点目录章节思维导图新人教版高中数学必修(第二册)课本目录第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念6.2平面向量的运算6.3平面向量基本定理及坐标表示6.4平面向量的应用第七章复数7.1复数的概念7.2复数的四则运算7.3复数的三角表示第八章立体几何初步8.1基本立体图形8.2立体图形的直观图8.3简单几何体的表面积与体积8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.5空间直线、平面的平行8.6空间直线、平面的垂直第九章统计9.1随机抽样9.2用样本估计总体9.3统计分析案例第十章概率10.1随机事件与概率10.2事件的相互独立性10.3频率与概率新人教版高中数学必修(第二册)知识点目录§6.1平面向量的概念 (5)§6.2平面向量的运算 (6)6.2.1向量的加法运算 (6)6.2.2向量的减法运算 (7)6.2.3向量的数乘运算 (8)6.2.4向量的数量积(一) (9)6.2.4向量的数量积(二) (10)§6.3平面向量基本定理及坐标表示 (11)6.3.1平面向量基本定理 (11)6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 (11)6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 (11)6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 (12)6.3.5平面向量数量积的坐标表示 (12)§6.4平面向量的应用 (12)6.4.1平面几何中的向量方法 (12)6.4.2向量在物理中的应用举例 (12)6.4.3余弦定理、正弦定理 (13)第1课时余弦定理 (13)第2课时正弦定理(一) (13)第3课时正弦定理(二) (13)第4课时余弦定理、正弦定理应用举例 (14)第5课时余弦定理、正弦定理的应用 (14)§7.1复数的概念 (15)7.1.1数系的扩充和复数的概念 (15)7.1.2复数的几何意义 (15)§7.2复数的四则运算 (16)7.2.1复数的加、减运算及其几何意义 (16)7.2.2复数的乘、除运算 (17)§8.1基本立体图形 (18)第1课时棱柱、棱锥、棱台 (18)第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 (20)§8.2立体图形的直观图 (21)§8.3简单几何体的表面积与体积 (22)8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 (22)8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 (22)§8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 (23)8.4.1平面 (23)8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系 (25)§8.5空间直线、平面的平行 (26)8.5.1直线与直线平行 (26)8.5.2直线与平面平行 (26)8.5.3平面与平面平行 (27)§8.6空间直线、平面的垂直 (28)8.6.1直线与直线垂直 (28)8.6.2直线与平面垂直 (29)8.6.3平面与平面垂直 (31)§9.1随机抽样 (32)9.1.1简单随机抽样 (32)9.1.2分层随机抽样 (33)9.1.3获取数据的途径 (33)§9.2用样本估计总体 (34)9.2.1总体取值规律的估计 (34)9.2.2总体百分位数的估计 (35)9.2.3总体集中趋势的估计 (36)9.2.4总体离散程度的估计 (37)§10.1随机事件与概率 (38)10.1.1有限样本空间与随机事件 (38)10.1.2事件的关系和运算 (39)10.1.3古典概型 (40)10.1.4概率的基本性质 (40)§10.2事件的相互独立性 (40)§10.3频率与概率 (40)知识点一向量的概念及表示1.向量的概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.(2)数量:只有大小没有方向的量称为数量.2.向量的表示(1)有向线段具有方向的线段叫做有向线段,它包含三个要素:起点、方向、长度.以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →,线段AB 的长度叫做有向线段AB →的长度,记作|AB →|.(2)向量的表示①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向,向量AB →的大小称为向量AB →的长度(或称模),记作|AB →|.②字母表示:向量可以用字母a ,b ,c ,…表示(印刷用黑体a ,b ,c ,书写时用a →,b →,c →).思考“向量就是有向线段,有向线段就是向量”的说法对吗?答案错误.理由是:①向量只有长度和方向两个要素,与起点无关,只要长度和方向相同,则这两个向量就是相同的向量;②有向线段有起点、长度和方向三个要素,起点不同,尽管长度和方向相同,也是不同的有向线段.知识点二向量的相关概念向量名称定义零向量长度为0的向量,记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量;向量a ,b 平行,记作a ∥b ,规定:零向量与任意向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量;向量a ,b 相等,记作a =b思考(1)平行向量是否一定方向相同?(2)不相等的向量是否一定不平行?(3)与任意向量都平行的向量是什么向量?(4)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?答案(1)不一定;(2)不一定;(3)零向量;(4)平行(共线)向量.6.2.1向量的加法运算知识点一向量加法的定义及其运算法则1.向量加法的定义求两个向量和的运算,叫做向量的加法.2.向量求和的法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量a ,b ,在平面内取任意一点A ,作AB →=a ,BC →=b ,则向量AC →叫做a 与b 的和,记作a +b ,即a +b =AB →+BC →=AC →.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a ,规定a +0=0+a =a平行四边形法则以同一点O 为起点的两个已知向量a ,b ,以OA ,OB 为邻边作▱OACB ,则以O 为起点的向量OC →(OC 是▱OACB 的对角线)就是向量a 与b 的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型,力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型.思考|a +b |与|a |,|b |有什么关系?答案(1)当向量a 与b 不共线时,a +b 的方向与a ,b 不同,且|a +b |<|a |+|b |.(2)当a 与b 同向时,a +b ,a ,b 同向,且|a +b |=|a |+|b |.(3)当a 与b 反向时,若|a |>|b |,则a +b 的方向与a 相同,且|a +b |=|a |-|b |;若|a |<|b |,则a +b 的方向与b 相同,且|a +b |=|b |-|a |.知识点二向量加法的运算律向量加法的运算律交换律a +b =b +a 结合律(a +b )+c =a +(b +c )知识点一相反向量1.定义:与向量a 长度相等,方向相反的向量,叫做a 的相反向量,记作-a .2.性质(1)零向量的相反向量仍是零向量.(2)对于相反向量有:a +(-a )=(-a )+a =0.(3)若a ,b 互为相反向量,则a =-b ,b =-a ,a +b =0.知识点二向量的减法1.定义:向量a 加上b 的相反向量,叫做a 与b 的差,即a -b =a +(-b ),因此减去一个向量,相当于加上这个向量的相反向量,求两个向量差的运算,叫做向量的减法.2.减法法则:已知向量a ,b ,在平面内任取一点O ,作OA →=a ,OB →=b ,则向量a -b =BA →,如图所示.3.几何意义:如果把两个向量的起点放在一起,那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量.思考若a ,b 是不共线向量,则|a +b |与|a -b |的几何意义分别是什么?答案如图所示,设OA →=a ,OB →=b .根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义,有OC →=a +b ,BA →=a -b .因为四边形OACB 是平行四边形,所以|a +b |=|OC →|,|a -b |=|BA →|,即分别是以OA ,OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长.知识点一向量数乘的定义一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,其长度与方向规定如下:(1)|λa|=|λ||a|.(2)λa(a≠0)当λ>0时,与a的方向相同;当λ<0时,与a的方向相反.特别地,当λ=0时,λa=0.当λ=-1时,(-1)a=-a.知识点二向量数乘的运算律1.设λ,μ为实数,那么(1)λ(μa)=(λμ)a.(2)(λ+μ)a=λa+μa.(3)λ(a+b)=λa+λb.特别地,(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.2.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.知识点三向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.思考向量共线定理中为什么规定a≠0?答案若将条件a≠0去掉,即当a=0时,显然a与b共线.(1)若b≠0,则不存在实数λ,使b=λa.(2)若b=0,则对任意实数λ,都有b=λa.知识点一两向量的夹角与垂直1.夹角:已知两个非零向量a ,b ,O 是平面上的任意一点,作OA →=a ,OB →=b ,则∠AOB =θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角(如图所示).当θ=0时,a 与b 同向;当θ=π时,a 与b 反向.2.垂直:如果a 与b 的夹角是π2,则称a 与b 垂直,记作a ⊥b .知识点二向量数量积的定义已知两个非零向量a ,b ,它们的夹角为θ,我们把数量|a |·|b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cos θ.规定:零向量与任一向量的数量积为0.思考若a ≠0,且a ·b =0,是否能推出b =0?答案在实数中,若a ≠0,且a ·b =0,则b =0;但是在数量积中,若a ≠0,且a ·b =0,不能推出b =0.因为其中a 有可能垂直于b .知识点三投影向量1.如图,设a ,b 是两个非零向量,AB →=a ,CD →=b ,我们考虑如下的变换:过AB →的起点A 和终点B ,分别作CD →所在直线的垂线,垂足分别为A 1,B 1,得到A 1B 1——→,我们称上述变换为向量a 向向量b 的投影,A 1B 1——→叫做向量a 在向量b 上的投影向量.2.如图,在平面内任取一点O ,作OM →=a ,ON →=b ,过点M 作直线ON 的垂线,垂足为M 1,则OM 1→就是向量a 在向量b 上的投影向量.设与b 方向相同的单位向量为e ,a 与b 的夹角为θ,则OM 1→与e ,a ,θ之间的关系为OM 1→=|a |cos θe .知识点四平面向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量,它们的夹角为θ,e是与b方向相同的单位向量.则(1)a·e=e·a=|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b=0.(3)当a∥b时,a·b ||b|,a与b同向,|a||b|,a与b反向.特别地,a·a=|a|2或|a|=a·a.(4)|a·b|≤|a||b|.6.2.4向量的数量积(二)知识点一平面向量数量积的运算律对于向量a,b,c和实数λ,有(1)a·b=b·a(交换律).(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律).(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).思考若a·b=b·c,是否可以得出结论a=c?答案不可以.已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc⇒a=c,但是a·b=b·c推不出a=c.理由如下:如图,a·b=|a||b|cosβ=|b||OA|,b·c=|b||c|cosα=|b||OA|.所以a·b=b·c,但是a≠c.知识点二平面向量数量积的运算性质类比多项式的乘法公式,写出下表中的平面向量数量积的运算性质.多项式乘法向量数量积(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)2=a2+2a·b+b2(a-b)2=a2-2ab+b2(a-b)2=a2-2a·b+b2(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)·(a-b)=a2-b2 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a§6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理知识点平面向量基本定理1.平面向量基本定理:如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.2.基底:若e 1,e 2不共线,我们把{e 1,e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示知识点一平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.知识点二平面向量的坐标表示1.基底:在平面直角坐标系中,设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ,j ,取{i ,j }作为基底.2.坐标:对于平面内的任意一个向量a ,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x ,y ,使得a =x i +y j ,则有序数对(x ,y )叫做向量a 的坐标.3.坐标表示:a =(x ,y ).4.特殊向量的坐标:i =(1,0),j =(0,1),0=(0,0).思考点的坐标与向量的坐标有什么区别和联系?答案区别表示形式不同向量a =(x ,y )中间用等号连接,而点A (x ,y )中间没有等号意义不同点A (x ,y )的坐标(x ,y )表示点A 在平面直角坐标系中的位置,a =(x ,y )的坐标(x ,y )既表示向量的大小,也表示向量的方向.另外(x ,y )既可以表示点,也可以表示向量,叙述时应指明点(x ,y )或向量(x ,y )联系当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同知识点三平面向量加、减运算的坐标表示设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),数学公式文字语言表述向量加法a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2)两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),那么向量AB →=(x 2-x 1,y 2-y 1),即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示知识点一平面向量数乘运算的坐标表示已知a=(x,y),则λa=(λx,λy),即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.知识点二平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.则a,b共线的充要条件是存在实数λ,使a=λb.如果用坐标表示,可写为(x1,y1)=λ(x2,y2),当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a,b(b≠0)共线.6.3.5平面向量数量积的坐标表示知识点平面向量数量积的坐标表示设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.则a·b=x1x2+y1y2.(1)若a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|=x2+y2.若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则a=(x2-x1,y2-y1),|a|=(x2-x1)2+(y2-y1)2.(2)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.(3)cosθ=a·b|a||b|=x1x2+y1y2x21+y21x22+y22.思考若两个非零向量的夹角满足cosθ<0,则两向量的夹角θ一定是钝角吗?答案不一定,当cosθ<0时,两向量的夹角θ可能是钝角,也可能是180°.§6.4平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例知识点一向量方法解决平面几何问题的步骤用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.(3)把运算结果“翻译”成几何关系.知识点二向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等.(2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解.(3)动量m v是向量的数乘运算.(4)功是力F与所产生的位移s的数量积.6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理知识点一余弦定理在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,则有余弦定理语言叙述三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍公式表达a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos C 推论cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac ,cos C =a 2+b 2-c 22ab思考在a 2=b 2+c 2-2bc cos A 中,若A =90°,公式会变成什么?答案a 2=b 2+c 2,即勾股定理.知识点二解三角形一般地,三角形的三个角A ,B ,C 和它们的对边a ,b ,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.第2课时正弦定理(一)知识点正弦定理条件在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c结论a sin A =b sin B =csin C文字叙述在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等第3课时正弦定理(二)知识点三角形中边与角之间的关系1.利用余弦定理和正弦定理进行边角转化(1)cos A =b 2+c 2-a 22bc ;cos B =a 2+c 2-b 22ac ;cos C =a 2+b 2-c 22ab.(2)2R sin A =a ,2R sin B =b ,2R sin C =c ,(其中R 为△ABC 外接圆的半径)2.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .(1)若a 2>b 2+c 2,则cos A =b 2+c 2-a 22bc <0,△ABC 为钝角三角形;(2)若a 2=b 2+c 2,则cos A =b 2+c 2-a 22bc=0,△ABC 为直角三角形;(3)若a 2<b 2+c 2且b 2<a 2+c 2且c 2<a 2+b 2,则cos A =b 2+c 2-a 22bc >0,cos B =c 2+a 2-b 22ca >0,cos C =a 2+b 2-c 22ab>0,△ABC 为锐角三角形.第4课时余弦定理、正弦定理应用举例知识点一基线的概念与选择原则1.定义在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.2.性质在测量过程中,应根据实际需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.知识点二测量中的有关角的概念1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角,目标视线在水平线上方时叫仰角,目标视线在水平线下方时叫俯角.(如图所示)2.方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角.如南偏西60°,即以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°.(如图所示)思考李尧出校向南前进了200米,再向东走了200米,回到自己家中,你认为李尧的家在学校的哪个方向?答案东南方向.第5课时余弦定理、正弦定理的应用知识点三角形的面积公式1.已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边的长分别为a ,b ,c ,则△ABC 的面积公式为(1)S =12ab sin C =12bc sin A =12ca sin B ;(2)S =12a ·h a =12b ·h b =12c ·h c (h a ,h b ,h c 表示a ,b ,c 边上的高).2.△ABC 中的常用结论(1)A +B +C =180°,sin(A +B )=sin C ,cos(A +B )=-cos C ;(2)大边对大角,即a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ;(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.§7.1复数的概念7.1.1数系的扩充和复数的概念知识点一复数的有关概念1.复数(1)定义:我们把形如a+b i(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足i2=-1.(2)表示方法:复数通常用字母z表示,即z=a+b i(a,b∈R),其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部.2.复数集(1)定义:全体复数所构成的集合叫做复数集.(2)表示:通常用大写字母C表示.知识点二复数的分类1.复数z=a+b i(a,b∈R)b=0,b≠0当a=0时为纯虚数2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系知识点三复数相等的充要条件设a,b,c,d都是实数,则a+b i=c+d i⇔a=c且b=d,a+b i=0⇔a=b=0.7.1.2复数的几何意义知识点一复平面思考实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示虚数,这句话对吗?答案不正确.实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数.知识点二复数的几何意义1.复数z=a+b i(a,b∈R)复平面内的点Z(a,b).2.复数z=a+b i(a,b∈R)平面向量OZ→.知识点三复数的模1.定义:向量OZ →的模叫做复数z =a +b i(a ,b ∈R )的模或绝对值.2.记法:复数z =a +b i 的模记作|z |或|a +b i|.3.公式:|z |=|a +b i|=a 2+b 2.知识点四共轭复数1.定义:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.2.表示:复数z 的共轭复数用z 表示,即如果z =a +b i(a ,b ∈R ),那么z =a -b i.§7.2复数的四则运算7.2.1复数的加、减运算及其几何意义知识点一复数加法与减法的运算法则1.设z 1=a +b i ,z 2=c +d i(a ,b ,c ,d ∈R )是任意两个复数,则(1)z 1+z 2=(a +c )+(b +d )i ;(2)z 1-z 2=(a -c )+(b -d )i.2.对任意z 1,z 2,z 3∈C ,有(1)z 1+z 2=z 2+z 1;(2)(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3).知识点二复数加、减法的几何意义如图,设复数z 1,z 2对应的向量分别为OZ 1→,OZ 2→,四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形,则向量OZ →与复数z 1+z 2对应,向量Z 2Z 1——→与复数z 1-z 2对应.思考类比绝对值|x -x 0|的几何意义,|z -z 0|(z ,z 0∈C )的几何意义是什么?答案|z -z 0|(z ,z 0∈C )的几何意义是复平面内点Z 到点Z 0的距离.7.2.2复数的乘、除运算知识点一复数乘法的运算法则和运算律1.复数的乘法法则设z 1=a +b i ,z 2=c +d i(a ,b ,c ,d ∈R )是任意两个复数,则z 1·z 2=(a +b i)(c +d i)=(ac -bd )+(ad +bc )i.2.复数乘法的运算律对任意复数z 1,z 2,z 3∈C ,有交换律z 1z 2=z 2z 1结合律(z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3思考|z |2=z 2,正确吗?答案不正确.例如,|i|2=1,而i 2=-1.知识点二复数的除法法则设z 1=a +b i ,z 2=c +d i(a ,b ,c ,d ∈R ,且c +d i≠0)是任意两个复数,则z 1z 2=a +b i c +d i =(a +b i )(c -d i )(c +d i )(c -d i )=ac +bd c 2+d 2+bc -adc 2+d 2i.复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a +b i 型,则分子、分母同乘a -b i ;若分母为a -b i 型,则分子、分母同乘a +b i ,即分子分母同乘以分母的共轭复数.§8.1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台知识点一空间几何体、多面体、旋转体的定义1.空间几何体:如果我们只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.2.多面体、旋转体类别多面体旋转体定义由若干个平面多边形围成的几何体一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体图形相关概念面:围成多面体的各个多边形;棱:相邻两个面的公共边顶点:棱与棱的公共点轴:形成旋转体所绕的定直线思考构成空间几何体的基本元素是什么?常见的几何体可以分成哪几类?答案构成空间几何体的基本元素是:点、线、面.常见几何体可以分为多面体和旋转体.知识点二棱柱的结构特征1.棱柱的结构特征棱柱图形及表示定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱如图可记作:棱柱ABCDEF —A ′B ′C ′D ′E ′F ′相关概念:底面(底):两个互相平行的面;侧面:其余各面;侧棱:相邻侧面的公共边;顶点:侧面与底面的公共顶点分类:按底面多边形的边数分:三棱柱、四棱柱、五棱柱……2.几个特殊的棱柱(1)直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱(如图①③);(2)斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱(如图②④);(3)正棱柱:底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱(如图③);(4)平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体(如图④).思考棱柱的侧面一定是平行四边形吗?答案棱柱的侧面一定是平行四边形.知识点三棱锥的结构特征棱锥图形及表示定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作:棱锥S —ABCD相关概念:底面(底):多边形面;侧面:有公共顶点的各个三角形面;侧棱:相邻侧面的公共边;顶点:各侧面的公共顶点分类:(1)按底面多边形的边数分:三棱锥、四棱锥……,其中三棱锥又叫四面体;(2)底面是正多边形,并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥知识点四棱台的结构特征棱台图形及表示定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台如图可记作:棱台ABCD —A ′B ′C ′D ′相关概念:上底面:平行于棱锥底面的截面;下底面:原棱锥的底面;侧面:其余各面;侧棱:相邻侧面的公共边;顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点分类:由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……思考棱台的各侧棱延长线一定相交于一点吗?答案一定相交于一点.第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体知识点一圆柱的结构特征圆柱图形及表示定义:以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱图中圆柱表示为圆柱O ′O相关概念:圆柱的轴:旋转轴圆柱的底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面圆柱的侧面:平行于轴的边旋转而成的曲面圆柱侧面的母线:无论旋转到什么位置,平行于轴的边思考圆柱的轴截面有________个,它们________(填“全等”或“相似”),圆柱的母线有________条,它们与圆柱的高________.答案无穷多全等无穷多相等知识点二圆锥的结构特征圆锥图形及表示定义:以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体图中圆锥表示为圆锥SO相关概念:圆锥的轴:旋转轴圆锥的底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面:直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边思考圆锥的轴截面有多少个?母线有多少条?圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线吗?答案圆锥的轴截面有无穷多个,母线有无穷多条,圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线.知识点三圆台的结构特征圆台图形及表示定义:用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台图中圆台表示为圆台O ′O相关概念:圆台的轴:旋转轴圆台的底面:垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面圆台的侧面:不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边知识点四球的结构特征球图形及表示定义:半圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫做球面,球面所围成的旋转体叫做球体,简称球图中的球表示为球O相关概念:球心:半圆的圆心半径:连接球心和球面上任意一点的线段直径:连接球面上两点并经过球心的线段知识点五简单组合体的结构特征1.概念:由简单几何体组合而成的,这些几何体叫做简单组合体.2.基本形式:一种是由简单几何体拼接而成,另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.§8.2立体图形的直观图知识点一水平放置的平面图形的直观图的画法用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤知识点二空间几何体直观图的画法立体图形直观图的画法步骤(1)画轴:与平面图形的直观图画法相比多了一个z 轴,直观图中与之对应的是z ′轴.(2)画底面:平面x ′O ′y ′表示水平平面,平面y ′O ′z ′和x ′O ′z ′表示竖直平面,按照平面图形的画法,画底面的直观图.(3)画侧棱:已知图形中平行于z 轴(或在z 轴上)的线段,在其直观图中平行性和长度都不变.(4)成图:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线.§8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积图形表面积多面体多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和,也就是展开图的面积思考将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开,展开图是什么形状?怎样求棱柱、棱锥、棱台的表面积?答案将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开,其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形,侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.知识点二棱柱、棱锥、棱台的体积几何体体积说明棱柱V 棱柱=Sh S为棱柱的底面积,h 为棱柱的高棱锥V 棱锥=13ShS 为棱锥的底面积,h 为棱锥的高棱台V 棱台=13(S ′+S ′S +S )hS ′,S 分别为棱台的上、下底面面积,h为棱台的高8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积知识点一圆柱、圆锥、圆台的表面积图形表面积公式旋转体圆柱底面积:S 底=2πr 2侧面积:S 侧=2πrl 表面积:S =2πr (r +l )圆锥底面积:S 底=πr 2侧面积:S 侧=πrl 表面积:S =πr (r +l )圆台上底面面积:S 上底=πr ′2下底面面积:S 下底=πr 2侧面积:S 侧=π(r ′l +rl )表面积:S =π(r ′2+r 2+r ′l +rl )。

高中数学必修二知识点总结

高中数学必修二知识点总结

高中数学必修二 第一章 空间几何体 1.1空间几何体的结构 1、棱柱定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。

分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

2、棱锥定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示:用各顶点字母,如五棱锥'''''E D C B A P -几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

3、棱台定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示:用各顶点字母,如四棱台ABCD—A'B'C'D'几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点4、圆柱定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

5、圆锥定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

6、圆台定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

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立体几何知识点一、空间几何体1.多面体:由若干个多边形围成的几何体,叫做多面体。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.2.棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

两个互相平行的面叫做底面,其余各面叫做侧面.3.棱锥:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

底面是正多边形,且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质:各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形;顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心。

4.棱台:用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫做棱台。

由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。

正棱台的性质:各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形;正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似的正多边形5.旋转体:由一个平面图形绕一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体,这条定直线叫做旋转体的轴,6.圆柱、圆锥、圆台:分别以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。

圆柱、圆锥、圆台的性质:平行于底面的截面都是圆;过轴的截面(轴截面)分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。

注:在处理圆锥、圆台的侧面展开图问题时,经常用到弧长公式R=lα7.球:以半圆的直径为旋转轴,旋转一周所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体(简称球)8.简单空间图形的三视图:一个投影面水平放置,叫做水平投影面,投影到这个平面内的图形叫做俯视图。

一个投影面放置在正前方,这个投影面叫做直立投影面,投影到这个平面内的图形叫做主视图(正视图)。

和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面,通常把这个平面放在直立投影面的右面,投影到这个平面内的图形叫做左视图(侧视图)。

三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形。

(1).三视图画法规则:高平齐:主视图与左视图的高要保持平齐 长对正:主视图与俯视图的长应对正 宽相等:俯视图与左视图的宽度应相等(2).空间几何体三视图:正视图(从前向后的正投影);侧视图(从左向右的正投影); 俯视图(从上向下正投影).例题1.某四棱锥底面为直角梯形,一条侧棱与底面垂直,四棱锥的三视图如右图所示, 则其体积为 .例题2.右图是底面为正方形的四棱锥,其中棱PA 垂直于底面,它的三视图正确的是( )(3).空间几何体的直观图——斜二测画法特点:①斜二测坐标系的y 轴与x 轴正方向成 45角;②原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行,长度不变;③原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行,长度为原来的一半. 常用结论:平面图形面积与其斜二侧直观图面积之比为22:1.例.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( ).正视侧视俯视111 2 正前方PDAA .2+2B .221+ C .22+2 D .2+19.特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高,'h 为斜高,l 为母线):()22R Rl rl r S +++=π圆台表 S 球面=24R π10.柱体、锥体、台体和球的体积公式:''1()3V S S S S h =++台 ''2211()()33V S S S S h r rR R h π=++=++圆台V 球=343Rπ 例题3:已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.例4.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是( )A .16πB .20πC .24πD .32π例5.半径为R 的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为_____. 练习:1 .已知一个几何体的三视图及其大小如图1,这个几何体的体积=V ( )A .π12B .π16C .π18D .π642 .右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 ( )A .π32B .π16C .π12D .π83 .某几何体的三视图如图所示,其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形,则此几何体的体积是 ( ) A .20π3B .6π C .10π3D .16π34 .一个几何体的三视图是三个边长为1的正方形和对角线, 如图所示,则此几何体的体积为( )侧(左)视图42 1俯视图2正(主)视图(第3题图)24侧(左)视图正(主)视图俯视图4A .16B .13C .56 D .15.一个空间几何体的三视图如图所示,根据图标出的尺寸,可得这个几何体的体积为( ) A .4B .8C .12D .246.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为 ( ) A .3B .6 C .3D .3二、 立体几何点 线 面的位置关系例1. 如图,在正四棱柱 1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别是11AB C 、B 的 中点,则以下结论中不成立的是( )A .1EF BB 与垂直 B . EF BD 与垂直 C. EF 与CD 异面 D . EF 11与AC 异面例2.已知,m n 是两条不同直线,,,αβγ是三个不同平面,下列命题中正确的是( )A .,,m n m n αα若则‖‖‖B .,,αγβγαβ⊥⊥若则‖平行关系平面几何知线线平行线面平行面面平行垂直关系平面几何知线线垂直线面垂直面面垂直判定 性质判定推论 性质判定判定性质 判定面面垂直定义1.,//a b a b αα⊥⊥⇒2.,//a a b b αα⊥⇒⊥3.,//a a αβαβ⊥⊥⇒4.//,a a αβαβ⊥⇒⊥平行与垂直关系可互相转化C .,,m m αβαβ若则‖‖‖D .,,m n m n αα⊥⊥若则‖ 练习:1.设直线m 与平面α相交但不.垂直,则下列说法中正确的是( ) A .在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直 B .过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直C .与直线m 垂直的直线不.可能与平面α平行D .与直线m 平行的平面不.可能与平面α垂直2.设a b ,为两条直线,αβ,为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是( ) A .若a b ,与α所成的角相等,则a b ∥ B .若a α∥,b β∥,αβ∥,则a b ∥ C .若a α⊂,b β⊂,a b ∥,则αβ∥ D .若a α⊥,b β⊥,αβ⊥,则a b ⊥3.给出下列四个命题:①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行.④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假.命题的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)44.设γβα、、为平面,l n m 、、为直线,则β⊥m 的一个充分条件是( )(A) l m l ⊥=⋂⊥,,βαβα (B) γβγαγα⊥⊥=⋂,,m (C) αγβγα⊥⊥⊥m ,,(D) αβα⊥⊥⊥m n n ,,5.设m 、n 是不同的直线,α、β、γ是不同的平面,有以下四个命题:① 若//,//,αβαγ 则//βγ ②若αβ⊥,//m α,则m β⊥③ 若,//m m αβ⊥,则αβ⊥ ④若//,m n n α⊂,则//m α 其中真命题的序号是( )A .①④B .②③C .②④D .①③三、线线平行的判断:(1)三角形中位线定理;(2)构造平行四边形,其对边平行; (3)对应线段成比例,两直线平行;(4)平行于同一直线的两直线平行;(平行的传递性)(5)如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;(线面平行的性质)(6)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,所得交线平行;(面面平行的性质)(7)垂直于同一平面的两直线平行;(线面垂直的性质) 线面平行的判断:(1)如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。

(2)两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

例1、(三角形中位线定理)如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是1AA 的中点,求证:1//A C 平面BDE 。

证明:连接AC 交BD 于O ,连接EO , ∵E 为1AA 的中点,O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内,1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。

例2、(证明是平行四边形)已知正方体1111ABCD A B C D -,O 是底ABCD 对角线的交点.求证: C 1O ∥面11AB D ; 证明:(1)连结11A C ,设11111A CB D O ⋂=,连结1AO∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形AED 1CB 1D CBAD 1ODBAC 1B 1A 1C∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点,∴O 1C 1∥AO 且11O C AO =11AOC O ∴是平行四边形111,C O AO AO ∴⊂∥面11AB D ,1C O ⊄面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D3、面面平行的判断:(1)一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,这两个平面平行。

(2)垂直于同一条直线的两个平面平行。

例4、如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证:平面1D EF ∥平面BDG .证明:∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点,∴EF ∥BD 又EF ⊄平面BDG ,BD ⊂平面BDG ∴EF ∥平面BDG ∵1D GEB ∴四边形1D GBE 为平行四边形,1D E ∥GB又1D E ⊄平面BDG ,GB ⊂平面BDG ∴1D E ∥平面BDG 1EF D E E⋂=,∴平面1D EF ∥平面BDG 练习:1、(利用三角形中位线)如图,已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形,PA ⊥平面ABCD , 点F 为PC 的中点.求证://PA 平面BDF ;2、(构造平行四边形)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,每个侧面均为正方形,D 为底边AB 的中点,E 为侧棱1CC 的中点,求证:CD ∥平面1A EB ;3、(线面平行的性质)如图,四面体A —BCD 被一平面所截,截面EFGH 是一个矩形.求证:CD ∥平面EFGH .(1)证明:∵截面EFGH 是一个矩形, ∴EF ∥GH , 又GH ?平面BCD .DB C EB 1C 1A A 1AFPDCBCABE HFGDABCDA` B` C` D`E F ∴EF ∥面BCD ,而EF ?面ACD , 面ACD ∩面BCD =CD .∴EF ∥CD ,∴CD ∥平面EFGH .4.(对应线段成比例,两直线平行,面面平行得到线面平行)如下图,设P 为长方形ABCD 所在平面外一点,M 、N 分别为AB 、PD 上的点,且MB AM =NPDN,求证:直线MN ∥平面PBC 。

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