高中数学必修二知识点+例题+知识点

立体几何知识点一、空间几何体1.多面体：由若干个多边形围成的几何体，叫做多面体。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.2.棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

两个互相平行的面叫做底面,其余各面叫做侧面.3.棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心。

4.棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。

由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。

正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似的正多边形5.旋转体：由一个平面图形绕一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴，6.圆柱、圆锥、圆台：分别以矩形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。

圆柱、圆锥、圆台的性质：平行于底面的截面都是圆；过轴的截面(轴截面)分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。

注：在处理圆锥、圆台的侧面展开图问题时，经常用到弧长公式R=lα7.球:以半圆的直径为旋转轴，旋转一周所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体(简称球)8.简单空间图形的三视图：一个投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到这个平面内的图形叫做俯视图。

一个投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影面，投影到这个平面内的图形叫做主视图(正视图)。

和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，投影到这个平面内的图形叫做左视图(侧视图)。

三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形。

（1）.三视图画法规则：高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐 长对正：主视图与俯视图的长应对正 宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等（2）.空间几何体三视图：正视图（从前向后的正投影）；侧视图（从左向右的正投影）； 俯视图（从上向下正投影）．例题1.某四棱锥底面为直角梯形，一条侧棱与底面垂直，四棱锥的三视图如右图所示， 则其体积为 ．例题2.右图是底面为正方形的四棱锥，其中棱PA 垂直于底面，它的三视图正确的是（ ）（3）.空间几何体的直观图——斜二测画法特点：①斜二测坐标系的y 轴与x 轴正方向成 45角；②原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行,长度不变；③原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半． 常用结论：平面图形面积与其斜二侧直观图面积之比为22：1．例．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )．正视侧视俯视111 2 正前方PDAA ．2＋2B ．221＋ C ．22＋2 D ．2＋19.特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）：()22R Rl rl r S +++=π圆台表 S 球面=24R π10.柱体、锥体、台体和球的体积公式：''1()3V S S S S h =++台 ''2211()()33V S S S S h r rR R h π=++=++圆台V 球=343Rπ 例题3:已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．例4.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π例5．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为_____. 练习：1 ．已知一个几何体的三视图及其大小如图1,这个几何体的体积=V ( )A ．π12B ．π16C ．π18D ．π642 ．右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 （ ）A .π32B .π16C .π12D .π83 ．某几何体的三视图如图所示,其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形,则此几何体的体积是 （ ） A ．20π3B ．6π C ．10π3D ．16π34 ．一个几何体的三视图是三个边长为1的正方形和对角线, 如图所示,则此几何体的体积为( )侧（左）视图42 1俯视图2正（主）视图（第3题图）24侧（左）视图正（主）视图俯视图4A ．16B ．13C ．56 D ．15．一个空间几何体的三视图如图所示,根据图标出的尺寸,可得这个几何体的体积为( ) A ．4B ．8C ．12D ．246．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为 （ ） A ．3B ．6 C ．3D ．3二、 立体几何点 线 面的位置关系例1． 如图，在正四棱柱 1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是11AB C 、B 的 中点，则以下结论中不成立的是( )A ．1EF BB 与垂直 B . EF BD 与垂直 C. EF 与CD 异面 D . EF 11与AC 异面例2.已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖平行关系平面几何知线线平行线面平行面面平行垂直关系平面几何知线线垂直线面垂直面面垂直判定 性质判定推论 性质判定判定性质 判定面面垂直定义1.,//a b a b αα⊥⊥⇒2.,//a a b b αα⊥⇒⊥3.,//a a αβαβ⊥⊥⇒4.//,a a αβαβ⊥⇒⊥平行与垂直关系可互相转化C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖ 练习：1.设直线m 与平面α相交但不．垂直，则下列说法中正确的是（ ） A ．在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直 B ．过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直C ．与直线m 垂直的直线不．可能与平面α平行D ．与直线m 平行的平面不．可能与平面α垂直2.设a b ，为两条直线,αβ，为两个平面,下列四个命题中，正确的命题是( ) A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥ C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥ D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥3.给出下列四个命题:①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等,则12,l l 互相平行.④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假．命题的个数是（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)44.设γβα、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是( )(A) l m l ⊥=⋂⊥,,βαβα (B) γβγαγα⊥⊥=⋂,,m (C) αγβγα⊥⊥⊥m ,,(D) αβα⊥⊥⊥m n n ,,5．设m 、n 是不同的直线,α、β、γ是不同的平面,有以下四个命题:① 若//,//,αβαγ 则//βγ ②若αβ⊥,//m α,则m β⊥③ 若,//m m αβ⊥,则αβ⊥ ④若//,m n n α⊂,则//m α 其中真命题的序号是（ ）A ．①④B ．②③C ．②④D ．①③三、线线平行的判断：（1）三角形中位线定理；（2）构造平行四边形，其对边平行； （3）对应线段成比例，两直线平行；（4）平行于同一直线的两直线平行；（平行的传递性）（5）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；（线面平行的性质）（6）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，所得交线平行；（面面平行的性质）（7）垂直于同一平面的两直线平行；（线面垂直的性质） 线面平行的判断：（1）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

例1、（三角形中位线定理）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，求证：1//A C 平面BDE 。

证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。

例2、（证明是平行四边形）已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证： C 1O ∥面11AB D ； 证明：（1）连结11A C ，设11111A CB D O ⋂=，连结1AO∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形AED 1CB 1D CBAD 1ODBAC 1B 1A 1C∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO =11AOC O ∴是平行四边形111,C O AO AO ∴⊂∥面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D3、面面平行的判断：（1）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。

（2）垂直于同一条直线的两个平面平行。

例4、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .证明：∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD 又EF ⊄平面BDG ，BD ⊂平面BDG ∴EF ∥平面BDG ∵1D GEB ∴四边形1D GBE 为平行四边形，1D E ∥GB又1D E ⊄平面BDG ，GB ⊂平面BDG ∴1D E ∥平面BDG 1EF D E E⋂=，∴平面1D EF ∥平面BDG 练习：1、（利用三角形中位线）如图,已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形,PA ⊥平面ABCD , 点F 为PC 的中点.求证://PA 平面BDF ;2、（构造平行四边形）如图,在三棱柱111ABC A B C -中,每个侧面均为正方形,D 为底边AB 的中点,E 为侧棱1CC 的中点，求证:CD ∥平面1A EB ;3、（线面平行的性质）如图，四面体A —BCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形.求证：CD ∥平面EFGH .（1）证明：∵截面EFGH 是一个矩形， ∴EF ∥GH ， 又GH ?平面BCD .DB C EB 1C 1A A 1AFPDCBCABE HFGDABCDA` B` C` D`E F ∴EF ∥面BCD ，而EF ?面ACD ， 面ACD ∩面BCD =CD .∴EF ∥CD ，∴CD ∥平面EFGH .4．（对应线段成比例，两直线平行，面面平行得到线面平行）如下图，设P 为长方形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PD 上的点，且MB AM =NPDN，求证：直线MN ∥平面PBC 。