时间序列分析方法之卡尔曼滤波
时间序列分析方法之卡尔曼滤波
第十三章 卡尔曼滤波在本章中，我们介绍一种被称为卡尔曼滤波的十分有用的工具。
卡尔曼滤波的根本思想是将动态系统表示成为一种称为状态空间表示的特殊情形。
卡尔曼滤波是对系统线性投影进行序列更新的算法。
除了一般的优点以外，这种算法对计算确切的有限样本预测、计算Gauss ARMA 模型确实切似然函数、估计具有时变参数的自回归模型等，都提供了重要方法。
§13.1 动态系统的状态空间表示我们已经介绍过一些随机过程的动态表示方法，下面我们在以前的假设根底上，继续分析动态系统的表示方法。
13 继续使用的假设假设表示时刻观测到的n 维随机向量，一类非常丰富的描述动态性的模型可以利用一些可能无法观测的被称为状态向量(state vector)的r 维向量表示，因此表示动态性的状态空间表示(state-space representation)由以下方程系统给出：状态方程(state model) (13.1) 量测方程(observation model) (13.2)这里，和分别是阶数为，和的参数矩阵，是的外生或者前定变量。
方程(13.1)被称为状态方程(state model)，方程(13.2)被称为量测方程(observation model)，维向量和维向量都是向量白噪声，满足：(13.3) (13.4)这里和是和阶矩阵。
假设扰动项和对于所有阶滞后都是不相关的，即对所有和，有： (13.5)t x 是外生或者前定变量的假定意味着，在除了包含在121,,,y y y --t t 内的信息以外，tx 没有为s t +ξ和s t +w ( ,2,1,0=s )提供任何新的信息。
例如，t x 可以包括t y 的滞后值，也可以包括与τξ和τw (任意τ)不相关的变量。
方程系统中方程(13.1)至方程(13.5)可以表示有限观测值的序列},,,{21T y y y ，这时需要状态向量初始值1ξ。
假设1ξ与t v 和t w 的任何实现都不相关：0ξv =')(1t E ，对任意T t ,,2,1 = (13.6) 0ξw =')(1t E ，对任意T t ,,2,1 = (13.7) 状态方程(13.1)说明，t ξ可以表示成为},,,,{321t v v v ξ 的线性函数：1122221ξF v F v F v F v ξ----+++++=t t t t t t ，T t ,,3,2 = (13.8)因此，方程(13.6)和方程(13.3)意味着t v 与所有ξ的滞后值都是不相关的：0ξv =')(τt E ，1,,2,1 --=t t τ (13.9) 类似地，可以得到：0ξw =')(τt E ，T ,,2,1 =τ (13.10) 0w ξH x A w y w t ='+'+'='])([)(t t t t E E τ，1,,2,1 --=t t τ (13.11)0y v =')(τt E ，1,,2,1 --=t t τ (13.12)上述系统是相当灵活的，它的一些结论也可以推广到t v 与t w 相关的系统中，而且系数矩阵),,,,(R H A Q F 也可以是时间的函数。
卡尔曼滤波算法应用领域
卡尔曼滤波算法应用领域
卡尔曼滤波算法是一种用于估计系统状态的优化算法，广泛应用于许多领域，包括但不限于以下几个方面：
1. 空间导航与定位：卡尔曼滤波算法在全球定位系统（GPS）中的应用非常广泛，用于提高定位精度与稳定性。
2. 机器人技术：卡尔曼滤波算法可以用于机器人的定位、导航与路径规划，实现准确的自主导航。
3. 信号处理与通信：卡尔曼滤波算法可用于信号的低通滤波、高通滤波、带通滤波等处理，以提取有用的信息。
4. 图像处理与计算机视觉：卡尔曼滤波算法可以用于图像的去噪、运动估计与跟踪，提高图像处理与计算机视觉的效果。
5. 金融与经济学：卡尔曼滤波算法被广泛应用于金融与经济学中的时间序列分析、股票预测与风险管理等领域。
6. 物联网与传感器网络：卡尔曼滤波算法可以用于传感器数据的融合与估计，提高传感器网络的数据质量与可靠性。
7. 飞行器与导弹控制：卡尔曼滤波算法可以用于飞行器与导弹的姿态控制与导航，提高飞行器的稳定性与精确性。
总的来说，卡尔曼滤波算法在许多需要进行系统状态估计的领
域都有应用，它通过对系统模型与测量数据的优化，能够准确地估计系统的状态，提高系统的性能与鲁棒性。
卡尔曼(kalman)滤波算法特点及其应用
Kalman滤波算法的特点：（1）由于Kalman滤波算法将被估计的信号看作在白噪声作用下一个随机线性系统的输出，并且其输入/输出关系是由状态方程和输出方程在时间域内给出的，因此这种滤波方法不仅适用于平稳随机过程的滤波，而且特别适用于非平稳或平稳马尔可夫序列或高斯-马尔可夫序列的滤波，所以其应用范围是十分广泛的。
（2）Kalman滤波算法是一种时间域滤波方法，采用状态空间描述系统。
系统的过程噪声和量测噪声并不是需要滤除的对象，它们的统计特征正是估计过程中需要利用的信息，而被估计量和观测量在不同时刻的一、二阶矩却是不必要知道的。
（3）由于Kalman滤波的基本方程是时间域内的递推形式，其计算过程是一个不断地“预测-修正”的过程，在求解时不要求存储大量数据，并且一旦观测到了新的数据，随即可以算的新的滤波值，因此这种滤波方法非常适合于实时处理、计算机实现。
（4）由于滤波器的增益矩阵与观测无关，因此它可预先离线算出，从而可以减少实时在线计算量。
在求滤波器增益矩阵时，要求一个矩阵的逆，它的阶数只取决于观测方程的维数，而该维数通常很小，这样，求逆运算是比较方便的。
另外，在求解滤波器增益的过程中，随时可以算出滤波器的精度指标P，其对角线上的元素就是滤波误差向量各分量的方差。
Kalman滤波的应用领域一般地，只要跟时间序列和高斯白噪声有关或者能建立类似的模型的系统，都可以利用Kalman滤波来处理噪声问题，都可以用其来预测、滤波。
Kalman滤波主要应用领域有以下几个方面。
（1）导航制导、目标定位和跟踪领域。
（2）通信与信号处理、数字图像处理、语音信号处理。
（3）天气预报、地震预报。
（4）地质勘探、矿物开采。
（5）故障诊断、检测。
（6）证券股票市场预测。
具体事例：（1）Kalman滤波在温度测量中的应用；（2）Kalman滤波在自由落体运动目标跟踪中的应用；（3）Kalman滤波在船舶GPS导航定位系统中的应用；（4）Kalman滤波在石油地震勘探中的应用；（5）Kalman滤波在视频图像目标跟踪中的应用；。
卡尔曼滤波的原理与应用pdf
卡尔曼滤波的原理与应用一、什么是卡尔曼滤波卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的算法，其基本原理是将过去的观测结果与当前的测量值相结合，通过加权求和的方式进行状态估计，从而提高对系统状态的准确性和稳定性。
二、卡尔曼滤波的原理卡尔曼滤波的原理可以简单概括为以下几个步骤：1.初始化：初始状态估计值和协方差矩阵。
2.预测：使用系统模型进行状态的预测，同时更新预测的状态协方差矩阵。
3.更新：根据测量值，计算卡尔曼增益，更新状态估计值和协方差矩阵。
三、卡尔曼滤波的应用卡尔曼滤波在很多领域都有广泛的应用，下面列举了几个常见的应用场景：•导航系统：卡尔曼滤波可以用于航空器、汽车等导航系统中，实时估计和优化位置和速度等状态参数，提高导航的准确性。
•目标追踪：如在无人机、机器人等应用中，利用卡尔曼滤波可以对目标进行状态估计和跟踪，提高目标追踪的鲁棒性和准确性。
•信号处理：在雷达信号处理、语音识别等领域，可以利用卡尔曼滤波对信号进行滤波和估计，去除噪声和提取有效信息。
•金融预测：卡尔曼滤波可以应用于金融市场上的时间序列数据分析和预测，用于股价预测、交易策略优化等方面。
四、卡尔曼滤波的优点•适用于线性和高斯性：卡尔曼滤波适用于满足线性和高斯假设的系统，对于线性和高斯噪声的系统，卡尔曼滤波表现出色。
•递归性：卡尔曼滤波具有递归性质，即当前状态的估计值只依赖于上一时刻的状态估计值和当前的测量值，不需要保存全部历史数据，节省存储空间和计算时间。
•最优性：卡尔曼滤波可以依据系统模型和观测误差的统计特性，以最小均方差为目标，进行最优状态估计。
五、卡尔曼滤波的局限性•对线性和高斯假设敏感：对于非线性和非高斯的系统，卡尔曼滤波的性能会受到限制，可能会产生不理想的估计结果。
•模型误差敏感：卡尔曼滤波依赖于精确的系统模型和观测误差统计特性，如果模型不准确或者观测误差偏差较大，会导致估计结果的不准确性。
•计算要求较高：卡尔曼滤波中需要对矩阵进行运算，计算量较大，对于实时性要求较高的应用可能不适合。
卡尔曼滤波 金融时间序列-概述说明以及解释
卡尔曼滤波金融时间序列-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在金融领域，时间序列分析是一种重要的方法，用于预测未来的价格走势、分析市场趋势以及评估风险。
然而，由于金融时间序列数据的特点，如噪声、非线性、非正态性等，传统的时间序列分析方法在处理金融数据时存在一定的局限性。
为了克服这些问题，卡尔曼滤波成为了一种常用的金融时间序列分析方法。
卡尔曼滤波是一种基于概率推断的方法，能够通过对先验知识和观测数据的不断更新，实现对金融时间序列进行准确估计和预测。
本文将介绍卡尔曼滤波的原理及其在金融时间序列中的应用。
首先，我们将讨论金融时间序列的特点，包括随机性、非线性和异方差性等。
接下来，我们将详细介绍卡尔曼滤波的原理，包括状态空间模型和观测方程。
然后，我们将探讨卡尔曼滤波在金融时间序列中的应用，包括金融市场的预测和风险评估。
最后，我们将总结卡尔曼滤波的优势和局限性，并提出未来研究的方向。
通过本文的阅读，读者将能够了解卡尔曼滤波在金融时间序列分析中的重要性和应用价值，以及如何利用卡尔曼滤波来提高金融预测的准确性和风险评估的可靠性。
同时，读者也将对卡尔曼滤波的优势和局限性有一个清晰的认识，为进一步研究和应用提供指导。
1.2 文章结构文章结构部分是对整篇文章的基本框架进行介绍，以帮助读者了解文章的主要内容和组织结构。
在本文中，文章结构主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分是对文章的背景和目的进行概述，旨在引起读者的兴趣并明确文章的研究方向。
本文的引言部分将通过介绍金融时间序列的重要性和复杂性，引出使用卡尔曼滤波进行金融时间序列分析的需求，并说明本文将重点探讨卡尔曼滤波在金融时间序列中的应用。
正文部分将详细介绍金融时间序列的特点以及卡尔曼滤波的原理。
首先，我们将分析金融时间序列的特点，包括非线性、非平稳、噪声干扰等，说明这些特点对金融数据分析和预测的挑战。
然后，我们将详细介绍卡尔曼滤波的原理，包括状态空间模型、观测方程和滤波算法等，以及卡尔曼滤波如何通过递推更新和利用观测数据对系统状态进行估计和预测。
卡尔曼滤波原理
卡尔曼滤波原理卡尔曼滤波是一种用于状态估计的数学方法，它能够通过对系统的动态模型和测量数据进行融合，来估计系统的状态。
卡尔曼滤波广泛应用于导航、控制、信号处理等领域，其优势在于能够有效地处理不确定性，并且具有较高的估计精度。
卡尔曼滤波的核心思想是利用系统的动态模型和测量数据来逐步更新对系统状态的估计。
在每个时间步，卡尔曼滤波都会进行两个主要的步骤，预测和更新。
预测步骤利用系统的动态模型和上一时刻的状态估计，来预测当前时刻的状态。
更新步骤则利用测量数据来修正预测的状态估计，从而得到更准确的状态估计值。
通过不断地迭代预测和更新步骤，卡尔曼滤波能够逐步收敛到系统的真实状态。
卡尔曼滤波的有效性来自于对系统动态模型和测量数据的合理建模。
在实际应用中，需要对系统的动态特性进行深入分析，以建立准确的状态转移模型。
同时，还需要对测量数据的特性进行充分了解，以建立准确的观测模型。
只有在系统动态模型和观测模型都能够准确地描述系统的行为时，卡尔曼滤波才能够发挥其最大的作用。
除了基本的线性卡尔曼滤波之外，还有一些扩展的卡尔曼滤波方法，用于处理非线性系统或者非高斯噪声。
其中，扩展卡尔曼滤波（EKF）和无迹卡尔曼滤波（UKF）是两种常用的方法。
EKF通过在状态转移模型和观测模型的非线性部分进行泰勒展开，来近似非线性系统的动态特性，从而实现状态估计。
而UKF则通过选取一组特定的采样点，来近似非高斯噪声的影响，以实现更准确的状态估计。
总的来说，卡尔曼滤波是一种非常强大的状态估计方法，它能够有效地处理系统的不确定性，并且具有较高的估计精度。
在实际应用中，需要充分了解系统的动态特性和测量数据的特性，以建立准确的模型，从而实现对系统状态的准确估计。
同时，还可以根据实际情况选择合适的卡尔曼滤波方法，以满足不同应用场景的需求。
通过合理的建模和选择合适的方法，卡尔曼滤波能够为各种领域的应用提供有效的支持。
卡尔曼滤波及其扩展
卡尔曼滤波是一种利用时间序列数据进行状态估计和预测的算法，它可以通过对系统状态和观测值的预测误差进行修正，不断优化估计结果，从而提高估计精度。
卡尔曼滤波的基本思想是将系统状态和观测值分别作为状态向量和观测向量，建立数学模型，通过递归计算估计状态向量的值。
卡尔曼滤波的基本流程包括预测和更新两个步骤，其中预测步骤根据上一时刻的状态向量和系统噪声进行状态预测，更新步骤则根据当前时刻的观测向量和观测噪声对预测状态进行修正，得到更精确的状态向量估计值。
卡尔曼滤波的公式比较复杂，但是它可以被应用于很多领域，如导航、机器人、信号处理等。
卡尔曼滤波的扩展包括扩展卡尔曼滤波、无迹卡尔曼滤波、粒子滤波等。
扩展卡尔曼滤波是在卡尔曼滤波基础上引入了更高阶的状态变量，可以处理非线性系统；无迹卡尔曼滤波则是通过将非线性系统线性化，近似为线性系统进行滤波；粒子滤波则是一种基于蒙特卡罗方法的滤波算法，可以处理非线性、非高斯系统。
这些扩展算法在不同的应用场景中都具有一定的优势和适用性。
卡尔曼滤波 例子
卡尔曼滤波例子
卡尔曼滤波是一种数学优化算法，用于估计一个系统的状态。
它通过递归地更新估计状态的值来工作，考虑了测量误差和估计误差。
下面是一个简单的例子来说明卡尔曼滤波的工作原理：
假设我们有一个系统，其状态由一个标量变量表示，例如飞机的位置。
我们有一些测量数据，这些数据是实际位置的观测值，但可能包含噪声。
我们的目标是使用卡尔曼滤波来估计飞机的实际位置。
1. 初始化：设置初始状态估计值（例如，飞机的初始位置）和初始误差协方差矩阵。
2. 预测：基于上一步的估计值和系统模型（例如，飞机的运动方程），预测下一步的状态。
这包括状态变量的预测值和误差协方差矩阵。
3. 更新：比较预测值和实际测量值。
根据这些差异，更新状态估计值和误差协方差矩阵。
4. 重复：重复步骤2和3，直到达到终止条件（例如，达到足够精确的估计或达到特定的迭代次数）。
这个过程可以用图形表示为一个流程图，其中每个步骤都有相应的数学公式来描述。
卡尔曼滤波的一个关键优势是它只需要当前和上一个测量值的噪声协方差矩阵，而不是整
个测量数据集。
这使得卡尔曼滤波在实时应用中非常有用，因为它可以快速地处理新的测量数据，而不需要大量的计算或存储资源。
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第十三章 卡尔曼滤波在本章中，我们介绍一种被称为卡尔曼滤波的十分有用的工具。
卡尔曼滤波的基本思想是将动态系统表示成为一种称为状态空间表示的特殊情形。
卡尔曼滤波是对系统线性投影进行序列更新的算法。
除了一般的优点以外，这种算法对计算确切的有限样本预测、计算Gauss ARMA 模型的确切似然函数、估计具有时变参数的自回归模型等，都提供了重要方法。
§13.1 动态系统的状态空间表示我们已经介绍过一些随机过程的动态表示方法，下面我们在以前的假设基础上，继续分析动态系统的表示方法。
13.1.1 继续使用的假设假设表示时刻观测到的n 维随机向量，一类非常丰富的描述动态性的模型可以利用一些可能无法观测的被称为状态向量(state vector)的r 维向量表示，因此表示动态性的状态空间表示(state-space representation)由下列方程系统给出：状态方程(state model) (13.1) 量测方程(observation model) (13.2)这里，和分别是阶数为，和的参数矩阵，是的外生或者前定变量。
方程(13.1)被称为状态方程(state model)，方程(13.2)被称为量测方程(observation model)，维向量和维向量都是向量白噪声，满足：(13.3) (13.4)这里和是和阶矩阵。
假设扰动项和对于所有阶滞后都是不相关的，即对所有和，有：(13.5)t x 是外生或者前定变量的假定意味着，在除了包含在121,,,y y y t t 内的信息以外，t x 没有为st ξ和s t w ( ,2,1,0 s )提供任何新的信息。
例如，t x 可以包括t y 的滞后值，也可以包括与 ξ和 w (任意)不相关的变量。
方程系统中方程(13.1)至方程(13.5)可以表示有限观测值的序列},,,{21T y y y ，这时需要状态向量初始值1ξ。
假设1ξ与t v 和t w 的任何实现都不相关：0ξv )(1t E ，对任意T t ,,2,1 (13.6) 0ξw )(1t E ，对任意T t ,,2,1 (13.7)状态方程(13.1)表明，t ξ可以表示成为},,,,{321t v v v ξ 的线性函数：1122221ξF v F v F v F v ξ t t t t t t ，T t ,,3,2 (13.8) 因此，方程(13.6)和方程(13.3)意味着t v 与所有ξ的滞后值都是不相关的：0ξv )(t E ，1,,2,1 t t (13.9) 类似地，可以得到：0ξw )(t E ，T ,,2,1 (13.10)w ξH x A w y w t ])([)(t t t t E E，1,,2,1 t t (13.11)0y v )(t E ，1,,2,1 t t (13.12)上述系统是相当灵活的，它的一些结论也可以推广到t v 与t w 相关的系统中，而且系数矩阵),,,,(R H A Q F 也可以是时间的函数。
如果我们仅仅关注到上述系统的基本形式，则下面的论述将是十分清晰的。
13.1.2 状态空间表示的例子考虑一元)(p AR 过程：111211)()()( t p t p t t t y y y yt t E t ,0,)(2这个)(p AR 过程可以表示成为下面的状态空间模型形式：状态方程(p r )00010010000111112121t p t t t p p p t t t y y y y y y(13.13)量测方程：11]001[p t t t t y y y y(13.14)对应地，我们指定：11p t t t t y y y ξ，0100100001121p p F ，00 t t v ，000000002Q这里变量和参数矩阵对应为：t t y y ， A ，1 t x ， 001H ，0 t w ，0 R注意到这里的状态方程只是一个一阶向量自回归方程，量测方程只是一个简单的等式。
因此，我们已经看到，状态空间表示只是总结)(p AR 过程的另外一种方式。
将)(p AR 过程表示成为这种方式的原因在于，这样可以获得归纳)(p AR 过程动态性的合适方式，这是我们对任何系统状态空间表示感兴趣的基本原因。
另外一个例子是，我们考虑一元)1(MA 过程：1 t t t y对应地，它可以表示成为状态空间模型形式为： 状态方程(2 r )：00100111t t t t t量测方程(1 n )：t t t y 11 这里：1t t t ξ，0100F ，01t t v ， 0002 Q t t y y ， A ，1 tx ， 1 H ，0 t w ，0 R将给定系统表示成为状态方程的方式有多种。
例如，可以将)1(MA 过程表示成为下面类型的状态空间模型：状态方程(2 r )：111110010t t t t t t t t量测方程(1 n )：t t t t y 101显然上面的)1(MA 过程、两种状态空间模型表示都是具有相同特征的过程表示，这三种表示都具有相同的预测和相同的似然函数值，也就无须讨论哪一种方式更为合适。
更一般地，一元),(q p ARMA 模型可以通过定义}1,max { q p r 进行状态空间模型表示：1122112211)()()( r t r t t t r t r t t t y y y y (13.15)这里的参数约束是：当p j 时，0 j ；当q j 时，0j 。
考虑下列状态空间模型表示为： 状态方程(}1,max { q p r )：00010010000111211t t r r t ξξ (13.16)量测方程(1 n )：t r t y ξ1211(13.15)为了验证方程(13.16)和方程(13.17)表示了系统与方程(13.15)一致，假设tj 表示向量t ξ的第j 个元素，因此状态方程的第2行表示：tt 112第3行表明： 11213 t t t更一般地，第j 行表示：1111 t j t j L因此状态方程的第1行意味着：1,1123211,1)( t t r r t L L L或者：11,1221)1( t t r r L L L (13.18)量测方程表明：tr r t L L L y ,111221)1(ξ (13.19)在方程(13.19)两端乘以算子多项式)1(221rr L L L ，并利用方程(13.18)，可以得到： t r r t r r L L L y L L L )1()()1(11221221这就是原来的),(q p ARMA 模型，即方程(13.15)。
状态空间形式是描述随机过程的和，或者测量误差结果的模型的非常合适的方式。
例如，Fama 和Gibbons (1982)开始着手研究事前实际利率(ex ante real interest rate )行为 (事前实际利率是名义利率t i 减去预期通货膨胀率et )。
由于经济计量学家通过证券市场推断的预期通货膨胀率的数据，因此这个变量不是可以观测的。
因此在这种应用中状态变量是一个标量，即： et t t i ，这里 表示平均事前实际利率。
Fama 和Gibbons (1982)假设事前实际利率服从)1(AR 过程：11 t t t v (13.20)经济计量学家可以观测到事后实际利率(名义利率t i 减去真实通货膨胀率t )，这可以表示为： t t t t e t e t t t t w i i )()( (13.21)这里)(t et t w 是人们预测通货膨胀率时的误差。
如果人们以最优的方式形成通货膨胀率预测，则t w 与自身的滞后值和事前实际利率是无关的。
因此方程(13.20)和方程(13.21)是状态空间模型，这里1 n r ， F ，t t t i y ， t x A ，1 H ，t et t w 。
状态空间模型框架的另外一个有趣例子是Stock 和Waston (1991)的研究，他们假设存在表示经济周期状态的不可观测变量t C 。
假设),,,(21nt t t y y y 是n 个可以观测的宏观经济变量，每个都受到经济周期的影响，并且具有与i j y jt ,中移动不相关的奇异成分(表示为t i)。
如果经济周期和每个奇异成分可以利用一元)1(AR 过程描述，则]1)1[( n 维状态向量是：t n t t t t C 21ξ (13.22)该状态变量具有的状态方程为：112111,21112111000000000000t n t t t C t n t t t C C C C t n t t t v v v v C C(13.23) 量测方程为：t n t t t nn t n t t t C y y y y21321321321100000010001 (13.24)因此，参数i 描述第i 个序列对经济周期反应的敏感性。
为了出现和描述p 阶动态性，Stock 和Waston(1991)将方程(13.22)中的t C 和t i 替换为)1( p 阶向量),,,(11 p t t t C C C 和),,,(11p t i t i t i ，这时t ξ是]1)1[( p n 维向量。
这时方程(13.23)中的标量i 需要利用)(p p 阶矩i F 阵替换，该矩阵结构与方程(13.13)类似。
还需要在量测方程(13.24)中H 的列中加入阶数为)]1(([ p n 的零子块。
§13.2 卡尔曼滤波的推导卡尔曼滤波是估计状态空间模型的重要方法，也是应用广泛的参数估计方法。
下面我们介绍卡尔曼滤波的有关公式。
13.2.1 卡尔曼滤波的回顾 Overview of the Kalman Filter考虑上述讨论的状态空间模型的一般形式，为了方便，我们将使用的一些关键方程在这里重复表示如下：)1()1()()1(11r r r r r t tt v ξFξ(1)()(1)()(1)(1)t t tn n k k n r r n t y A x H ξwt t E r r t ,,)(0v v Q ，t t E n n t ,,)(0w w R假设我们已经得到了观测值T y y y ,,,21 ，T x x x ,,,21 ；一个最终目标是基于这些观测值估计系统的所有未知参数。
但是，目前我们暂时假设参数矩阵),,,,(R H A Q F 的特定数值都是确定性已知的。
如何估计这些参数在后面的内容中讨论。
卡尔曼滤波具有多种应用。
它的基本动因是作为一种计算状态向量基于时刻t 观测到的数据进行最小二乘预测的算法。
)|(ˆˆ1|1t t t t E Υξξ (13.25)这里：1111{,,,,,,,}t t t t t y y y x x x L L这里)|(ˆ1t t E Υξ 表示1 t ξ基于t Υ和常数的线性投影。