第五章连续体力学

dL t2 M外 = 即， L = ∫t1 M外dt ∆ dt
五. 刚体的角动量守恒定律
同样适用于刚体
若 M 外 = 0 ，则 L = Jω = 常矢量
注意: 定轴转动时， 常量， 注意 (1)定轴转动时，M外=0时，J=常量，即刚体保持静止或匀 定轴转动时 时 常量 角速转动。 角速转动。 (2) ∑ Fi = 0 不等价 ∑ M i = 0
3. 转动─----─刚体上的各点绕同一直线做圆周运动。 转动─----─刚体上的各点绕同一直线做圆周运动。 4. 定轴转动──转轴相对参考系固定不动的转动。 定轴转动──转轴相对参考系固定不动的转动 ──转轴相对参考系固定不动的转动。 复杂运动可视为刚体平动和刚体转动的叠加 二、刚体定轴转动的角量描述 定轴转动只有两个转动方向。规定： 定轴转动只有两个转动方向。规定： 位矢从ox 轴逆时针方向转动时角 位矢从ox 为正, 反之为负. 位置θ 为正, 反之为负. 角位置：θ 角位置： 平均角速度 角速度 角加速度 角位移: 角位移
tg 45 = at / an = 1
此时砂轮转过的角度
14 . 4 t 4 = 2 . 4 t
舍去t t = 0 . 55 s ( 舍去 = 0 和 t = －0.55 ) 2+4X（ θ = (2+4t3)= 2+4X（0.55)3 =2.67(rad)
[例2]一细棒绕O点自由转动，并知 β = 2]一细棒绕O点自由转动， 一细棒绕
dm
L C dm L/2
B x B x
JA =
JC =
∫
∫
L
0
x 2 λ dx = mL 2 / 3
x 2 dm =
∫
L 2 L − 2
mL 2 x 2 λ dx = 12
L 2 J A = J C + m( ) 2
J = Σ∆ m i ri2
可见，与转动惯量有关的因素： 可见，与转动惯量有关的因素： 转轴的位置 刚体的质量 刚体的形状(质量分布) 刚体的形状(质量分布)
点的元角动量: 质元 ∆mi 对O点的元角动量 点的元角动量 均匀细棒对O点的角动量 均匀细棒对 点的角动量
L
z ∆L i
o′ ri
O
θ
θ
∆Liz
∆Lio = ∆mi vi Ri
Lo =
Ri
Lo =
∑ ( ∆ m i Ri × vi )
∑ ∆m R v
i
i i
均匀细棒对O点的角动量在 轴上的分量 均匀细棒对 点的角动量在Z轴上的分量 点的角动量在
Lz =
∑ ∆m v R
i i
Байду номын сангаас
i
cos θ =
∑ ∆m v r
i i i
= ∑ ∆mi ri2ω = (∑ ∆mi ri2 )ω
J = ∑∆mi ri2 定义： 定义：刚体转动惯量
Lz = Jω
2、转动惯量的计算 、 若质量离散分布： 若质量离散分布： 质点，质点系） （质点，质点系）
J＝ ∆mi ri2
i
2
∑
J = lim∑ri ∆mi = ∫ r2dm 若质量连续分布： 若质量连续分布：
∆mi →0 i
J 的单位：kgm2 的单位： dm为质量元，简称质元。取法如下： 为质量元，简称质元。取法如下： 为质量元 ◆质量为线分布 dm = λ dl ◆质量为面分布 dm = σ ds ◆质量为体分布 dm = ρ dV 其中λ、σ、ρ分别 为质量的线密度、 为质量的线密度、 面密度和体密度。 面密度和体密度。
各点的角位移、角速度、角加速度相同。 1） 各点的角位移、角速度、角加速度相同。 定轴转动的特征： 定轴转动的特征： 2） 各点的线位移、线速度、线加速度不同。 各点的线位移、线速度、线加速度不同。
一半径为R=0.1m的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t R=0.1m的砂轮作定轴转动 例1 一半径为R=0.1m的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t的变 化关系为θ=(2+4t )rad,式中 式中t 试求： 化关系为θ=(2+4t3)rad,式中t以s计。试求： （1）在t=2s时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速 t=2s时 度的大小。 度的大小。 当角θ为多大时,该质点的加速度与半径成45 （2）当角θ为多大时,该质点的加速度与半径成45o角。 解: (1)
y
∆θ
ω
r
P′
∆θ
∆θ ω＝ ∆t
dθ ω＝ dt
P
A
O
θ S
A'
x
dω d 2θ β = = dt dt 2
由于在定轴转动中轴的方位不变， 由于在定轴转动中轴的方位不变，故 ω , β 只有沿 轴的正负两个方向，可以用标量代替。 轴的正负两个方向，可以用标量代替。 y
刚体作匀变速转动时，相应公式如下： 刚体作匀变速转动时，相应公式如下： 1 θ = θ 0 + ω 0t + βt2
L 3 2L
2L
gL vA = ωL = 3 3
2
L vB = ω = 2
3 3 gL
8
§5 - 2
刚体的角动量和角动量原理
一、刚体的角动量及转动惯量
1、刚体的角动量 、 考察一个以角速度ω绕 轴转动的均匀细棒 考察一个以角速度 绕OZ轴转动的均匀细棒
∆ L io = ∆ m i R i × v i
O
r
dr
dm = σ ⋅ ds = σ ⋅ 2πrdr
J =
∫r
2
dm =
∫
R
0
（适用圆柱对轴线的转动惯量。） 适用圆柱对轴线的转动惯量。）
1 1 4 r ⋅ σ ⋅ 2 π r dr = π R σ = mR 2 2 2
2 2
[例3] 求长为 、质量为 的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。 例 求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量 的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。 解：取如图坐标，dm=λdx 取如图坐标， A A L/2
3g 为棒长. cos ,L为棒长. θ ,L为棒长 2L (1)棒自水平静止开始运动 棒自水平静止开始运动, 求: (1)棒自水平静止开始运动, θ = π / 3 时, ω = ?
(2)此时端点A 和中点B 的线速度为多大? 的线速度为多大? 解:(1)棒做变加速运动 :(1)棒做变加速运动
O • dω 3g dω ∵β = = cos , 又 β = ω θ θ dt 2L dθ 3g • B ∴ ω dω = cos θ d θ 2L π 3g ω ωdω = ∫ 3 cos θ d θ ∫0 0 2L A 3 3g 3g π 3 3 2 由： = ω r 得 g ω= ω = sin = v
线分布
面分布
体分布
求质量为m 半径为R的均匀圆环的转动惯量。 [例1] 求质量为m，半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环 平面垂直并通过圆心。 平面垂直并通过圆心。 设线密度为λ 解: 设线密度为
dm = λdl
2πR
O
R dm
J = R 2dm =
∫
∫
0
R 2λdl = R 2 λ ⋅ 2πR = mR 2
第五章 连续体力学
连续体包括弹性固体、流体（液体和气体） 连续体包括弹性固体、流体（液体和气体） 理想模型：刚体、弹性体、 理想模型：刚体、弹性体、理想流体 本章重点介绍刚体和理想流体的力学规律。 本章重点介绍刚体和理想流体的力学规律。
§5-1 刚体运动学
一、刚体的平动与转动 1. 刚体── 无论受多大的力，都不发生形变的物体称为刚体。 刚体── 无论受多大的力，都不发生形变的物体称为刚体。 刚体是一种理想模型， 刚体是一种理想模型，刚体上的任两点间的距离不 会改变。 会改变。 2. 平动── 运动刚体上任意两点连线在运动中保持平行，这 平动── 运动刚体上任意两点连线在运动中保持平行 刚体上任意两点连线在运动中保持平行， 样的运动称为刚体的平动。 样的运动称为刚体的平动。 特征： 各个质点的位移、速度、加速度相等。 特征： 各个质点的位移、速度、加速度相等。可以用一 点代表刚体的运动。 点代表刚体的运动。由质点的力学规律解决刚体 的平动问题。 黑板擦、电梯、 的平动问题。 例：黑板擦、电梯、活塞的运动 注意： 刚体平动时，质点的轨迹不一定是直线。 注意： 刚体平动时，质点的轨迹不一定是直线。
1. 作用于刚体的力对空间某点 的力矩 作用于刚体的力对空间某点A的力矩
M A = rA × F
2. 作用于刚体的力对转轴的力矩 (1)力在转动平面内。 力在转动平面内。 力在转动平面内
A
z
Fz
F
Ft
rA
o
MZ = r × F
大小： Z = rF sinθ M
M z 有两个方向，Mz有正负 有两个方向，
J 是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。 是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。
[例2] 求质量为 、半径为 的均匀薄圆盘的转动惯量。轴与盘 例 求质量为m、半径为R的均匀薄圆盘的转动惯量。 的均匀薄圆盘的转动惯量 平面垂直并通过盘心。 平面垂直并通过盘心。 解：设面密度为σ 设面密度为 取半径为r 宽为dr 的薄圆环, 取半径为 宽为 的薄圆环 R
(2)力不在转动平面内。 力不在转动平面内。 力不在转动平面内
r
Fn
F 面
M Z = r × F面
Fz 平行于转轴，对转轴产生的的力矩为零。 平行于转轴，对转轴产生的的力矩为零。
3. 当有 个力作用于刚体，则 当有n 个力作用于刚体，
M z = M1z + M 2 z + ⋯+ M nz
即定轴转动的刚体所受到的对转轴的合力矩应等于各 定轴转动的刚体所受到的对转轴的合力矩应等于各 力对转轴的力矩的代数和。 力对转轴的力矩的代数和。 z 4. 刚体中内力对给定转轴的力矩的 矢量和等于零， 矢量和等于零，只需考虑外力矩 的作用。 的作用。 d O 1