2015年7月泰州市高二数学期末联考试题
江苏省泰州市海陵区2015-2016学年高二上学期期末考试数学理试卷 含答案
2015~2016学年度第一学期期末考试高二数学试题（理科）一．填空1。
命题“2,240x R xx ∀∈-+≥”的否定为 .2。
若复数15z i =-+，则z = .3。
顶点在原点，焦点为(1,0)F 的抛物线方程为 。
4。
命题“若2x <，则2x <”的否命题为 。
5. 已知函数()sin f x x x =，则'()2f π= .6. 若双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线方程为2y x=，则a =。
7。
“2x <"是“1x <”的 条件。
(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分又不必要"中，选出适当的一种填空） 8. 椭圆2212x y +=上一点P 到右焦点的距离为22，则点P 到左准线的距离为 . 9。
已知数列113⨯，135⨯，157⨯，，1(21)(21)n n -+，的前n 项和为nS ,计算得113S=,225S =，337S =，照此规律,n S = .10.已知函数32()231f x xx =-+，对于区间1[,2]2上的任意1x ,2x ，12()()f x f x -的最大值是 。
11.已知动抛物线的准线方程为1y =-，且经过点(0,0)，则动抛物线焦点的轨迹方程是 .12。
已知函数()f x 的导函数'()(1)()f x a x x a =--，若()f x 在x a =处取得极大值,则实数a 的取值范围是 .13.如图，已知椭圆C :221(04)4x y m m+=<<的左顶点为A ，点N的坐标为(1,0).若椭圆C 上存在点M （点M 异于点A )，使得点A 关于点M 对称的点P满足PO =，则实数m 的最大值为 .14.若函数xy e =与函数2112y xmx =++的图像有三个不同交点，则实数m 的取值范围为 。
二．解答题 15。
2014-2015年江苏省泰州市高二上学期期末数学试卷(文科)与解析
2014-2015学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣x+2＞0”的否定：．2．（5分）双曲线=1的两条渐近线方程为．3．（5分）曲线y=x3+1在x=1的切线方程为．4．（5分）已知圆锥曲线的母线长为5，底面圆半径为3，那么它的体积为．5．（5分）已知函数f（x）=x+在[1，+∞）上单调递增，则实数的取值范围为．6．（5分）若动圆M经过点（1，0），且与直线x=﹣1相切，则圆心的轨迹方程为．7．（5分）下列4个命题①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“若x2≥4，则x≥2”的逆否命题③若f（x）存在导函数，则“f′（x0）=0”是“x0为f（x）的极值点”的充要条件④直线l1不再平面α内，直线l2在平面α内，则l1∥α是l1∥l2的必要不充分条件．其中正确命题的个数是．8．（5分）若两圆（x﹣m）2+y2=4，（x+1）2+（y﹣2m）2=9相内切，则实数m=．9．（5分）椭圆+=1的右焦点为F，右准线为l，椭圆右顶点B到l的距离为d，则的值为．10．（5分）若直线y=kx与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于2x+y+b=0对称，则2k+b的值为．11．（5分）已知直线m、l，平面α、β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α∥β；④若m∥l，则α⊥β其中正确命题的个数是．12．（5分）C是椭圆+=1（a＞b＞0）上位于第一象限内的点，A，B分别是椭圆的左顶点和上顶点，F是椭圆的右焦点，且OC=OF，AB∥OC，则椭圆的离心率为．13．（5分）若曲线y=与直线y=a恰有一个公共点，则实数a的取值范围为．14．（5分）椭圆E：+=1的右焦点F，直线l与曲线x2+y2=4（x＞0）相切，且交椭圆E于A，B两点，记△FAB的周长为m，则实数m的所有可能取值所成的集合为．二、解答题（本题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知椭圆C过两点A（0，4），B（4，6），且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上（1）求圆C的标准方程；（2）求直线l：15x+8y=0被圆C截得的弦长．16．（14分）已知命题p：方程x2+y2﹣2mx+2m2+2m﹣3=0表示圆；命题q：函数方程f（x）=x3﹣mx2+x﹣1在R上单调递增（1）若命题p为真命题，求实数的m取值范围（2）若命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数的m取值范围．17．（15分）如图，所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC=，AB=2BC=2，AC⊥FB（1）求证：AC⊥平面FBC（2）若M为线段AC的中点，求证：EA∥平面FDM．18．（15分）如图，已知海岛A与海岸公路BC的距离为50km，B、C间的距离为100km，从A到C，必须先坐船到BC上某一点D，船速为25km/h，再乘汽车，车速为50km/h．设∠BAD=θ．记∠BAD=α（α为确定的锐角，满足tanα=（1）试将由A到C所用时间t表示为θ的函数t（θ），并指出函数的定义域；（2）问θ为多少时，使从A到C所用时间最少？并求出所用的最少时间．19．（16分）设函数f（x）=（1）求函数g（x）=f（x）﹣f′（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式|lnx|≤f（x）+c有解，求实数c的最小值．20．（16分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆过（2，）且离心率为，（1）求椭圆的标准方程；（2）A为椭圆上异于椭圆左右顶点的任意一点，B与A关于原点O对称，直线AF交椭圆于另外一点C，直线BF交椭圆于另外一点D，①求直线DA与直线DB的斜率之积②判断直线AD与直线BC的交点M是否在一条直线上？说明理由．2014-2015学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣x+2＞0”的否定：∀x∈R，x2﹣x+2≤0．【分析】将量词与结论同时否定，即可得结论．【解答】解：将量词与结论同时否定，可得：∀x∈R，x2﹣x+2≤0故答案为：∀x∈R，x2﹣x+2≤02．（5分）双曲线=1的两条渐近线方程为y=±x．【分析】由双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=x，即可得到所求方程．【解答】解：由于双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=x，则双曲线=1的两条渐近线方程为y=±x．故答案为：y=±x．3．（5分）曲线y=x3+1在x=1的切线方程为3x﹣y﹣1=0．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，再由点斜式方程即可得到切线方程．【解答】解：y=x3+1的导数为y′=3x2，即有曲线y=x3+1在x=1的切线斜率为k=3，切点为（1，2），则曲线y=x3+1在x=1的切线方程为y﹣2=3（x﹣1），即为3x﹣y﹣1=0．故答案为：3x﹣y﹣1=0．4．（5分）已知圆锥曲线的母线长为5，底面圆半径为3，那么它的体积为12π．【分析】根据圆锥的定义与性质，算出圆锥的高h=4，再由圆锥的体积公式即可算出此圆锥的体积．【解答】解：∵圆锥的母线长l=5，底面圆的半径r=3，∴圆锥的高h=4因此，圆锥的体积为π×32×4=12π．故答案为：12π．5．（5分）已知函数f（x）=x+在[1，+∞）上单调递增，则实数的取值范围为（﹣∞，1] ．【分析】通过求导得到a≤x2在[1，+∞）恒成立，求出g（x）=x2的最小值，从而求出a的范围．【解答】解：∵f′（x）=1﹣=≥0在[1，+∞）恒成立，∴x2﹣a≥0在[1，+∞）恒成立，∴a≤x2在[1，+∞）恒成立，令g（x）=x2，x∈[1，+∞），∴g（x）=1，最小值∴a≤1，故答案为：（﹣∞，1]．6．（5分）若动圆M经过点（1，0），且与直线x=﹣1相切，则圆心的轨迹方程为y2=4x．【分析】由题意圆心为M的动圆M过点（1，0），且与直线x=﹣1相切，利用抛物线的定义，可得圆心M的轨迹是以（1，0）为焦点的抛物线，从而得到所求轨迹方程．【解答】解：由题意圆心为M的动圆M过点（1，0），且与直线x=﹣1相切，所以圆心M的轨迹是以（1，0）为焦点的抛物线，∴圆心M的轨迹方程为y2=4x．故答案为：y2=4x．7．（5分）下列4个命题①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“若x2≥4，则x≥2”的逆否命题③若f（x）存在导函数，则“f′（x0）=0”是“x0为f（x）的极值点”的充要条件④直线l1不再平面α内，直线l2在平面α内，则l1∥α是l1∥l2的必要不充分条件．其中正确命题的个数是2．【分析】分别判断已知中四个命题的真假，最后综合正确命题的个数，可得答案．【解答】解：对于①，“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x+y=0”为真命题；对于②，“若x2≥4，则x≥2，或x≤﹣2”，故“若x2≥4，则x≥2”为假命题，其逆否命题也为假命题；对于③，若f（x）存在导函数，则“f′（x0）=0”时“x0不一定是f（x）的极值点”，故“f′（x0）=0”是“x0为f（x）的极值点”的必要不充分条件，故错误；对于④，直线l1不再平面α内，直线l2在平面α内，则l1∥α时，l1∥l2不一定成立，而l1∥l2时，必有l1∥α，故l1∥α是l1∥l2的必要不充分条件，故正确；故正确的命题有①④，共2个，故答案为：28．（5分）若两圆（x﹣m）2+y2=4，（x+1）2+（y﹣2m）2=9相内切，则实数m= 0或．【分析】根据两个圆相内切可得，它们的圆心距等于半径之差，由此求得r的值．【解答】解：根据圆（x﹣m）2+y2=4，圆心（m，0），半径为2，（x+1）2+（y﹣2m）2=9圆心（﹣1，2m），半径为：3．圆（x﹣m）2+y2=4与圆（x+1）2+（y﹣2m）2=9相内切，可得它们的圆心距等于半径之差，即=3﹣2=1，解得：m=0或．故答案为：0或．9．（5分）椭圆+=1的右焦点为F，右准线为l，椭圆右顶点B到l的距离为d，则的值为．【分析】确定椭圆右顶点B（3，0），右焦点为F（2，0），右准线为l：x=，即可求出的值．【解答】解：椭圆右顶点B（3，0），右焦点为F（2，0），右准线为l：x=，∴BF=1，d=，∴=．故答案为：．10．（5分）若直线y=kx与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于2x+y+b=0对称，则2k+b的值为﹣3．【分析】利用对称知识，求出直线y=kx的斜率，通过对称轴经过圆的圆心即可求出b，得到结果．【解答】解：由圆的标准方程可得圆心坐标为（2，0），直线y=kx与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，则圆心在2x+y+b=0上，即4+b=0，解得b=﹣4，∵直线2x+y+b=0的斜率为﹣2，∴k=．则2k+b=1﹣4=﹣3．故答案为：﹣3．11．（5分）已知直线m、l，平面α、β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α∥β；④若m∥l，则α⊥β其中正确命题的个数是2个．【分析】对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定，将由条件可能推出的其它的结论也列举出来．①中，利用面面平行的性质可判断；②中，若α⊥β，且m⊥α⇒m∥β，又l⊂β，则m与l可能平行，可能异面；③中，若m⊥l，且m⊥α，l⊂β⇒α与β可能平行，可能相交；④中，若m∥l，且m⊥α⇒l⊥α又l⊂β⇒α⊥β，故可得答案．【解答】解：①中，若α∥β，且m⊥α⇒m⊥β，又l⊂β⇒m⊥l，所以①正确．②中，若α⊥β，且m⊥α⇒m∥β，又l⊂β，则m与l可能平行，可能异面，所以②不正确．③中，若m⊥l，且m⊥α，l⊂β⇒α与β可能平行，可能相交．所以③不正确．④中，若m∥l，且m⊥α⇒l⊥α又l⊂β⇒α⊥β，∴④正确．故答案为：2．12．（5分）C是椭圆+=1（a＞b＞0）上位于第一象限内的点，A，B分别是椭圆的左顶点和上顶点，F是椭圆的右焦点，且OC=OF，AB∥OC，则椭圆的离心率为．【分析】求出A，B的坐标，求得AB的斜率，再由两直线平行的条件可得直线OC的方程，联立椭圆方程解得交点C，再由OC=c，结合离心率公式，即可得到．【解答】解：A，B分别是椭圆的左顶点和上顶点，即为A（﹣a，0），B（0，b），则直线AB的斜率为，由于AB∥OC，则k OC=，设直线OC：y=x，则联立椭圆方程+=1，解得交点C（a，b），由|OC|=|OF|，可得，（a2+b2）=c2，即有a2+a2﹣c2=2c2，即2a2=3c2，则e==．故答案为：．13．（5分）若曲线y=与直线y=a恰有一个公共点，则实数a的取值范围为a=﹣e或a＞0．【分析】根据导数判断单调性：f（x）在（0，）的单调递增，在（1，），（1，+∞）的单调递减，画出图象判断即可．【解答】解：∵y=，定义域为：（0，1）∪（1，+∞）∴y′=，①当＞0时，即0，②当＜0时，即＜x＜1，x＞1，③当=0时，即x=，∴f（x）在（0，）的单调递增，在（1，），（1，+∞）的单调递减，f（）=﹣e，∵曲线y=与直线y=a恰有一个公共点，∴a=﹣e或a＞0，14．（5分）椭圆E：+=1的右焦点F，直线l与曲线x2+y2=4（x＞0）相切，且交椭圆E于A，B两点，记△FAB的周长为m，则实数m的所有可能取值所成的集合为{2} ．【分析】确定AQ，BQ，利用椭圆第二定义，即可求出实数m的所有可能取值所成的集合【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），切点为Q，则同理可求得：由椭圆第二定义：故答案为：{2}．二、解答题（本题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知椭圆C过两点A（0，4），B（4，6），且圆心在直线x﹣2y﹣2=0上（1）求圆C的标准方程；（2）求直线l：15x+8y=0被圆C截得的弦长．【分析】（1）由圆心在直线x﹣2y﹣2=0上，可设圆心坐标为（2b+2，b），再根据圆心到两点A（0，4）、B（4，6）的距离相等，求出b的值，可得圆心坐标和半径，从而求得圆的标准方程；（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求直线l：15x+8y=0被圆C 截得的弦长．【解答】解：（1）由于圆心在直线x﹣2y﹣2=0上，可设圆心坐标为（2b+2，b），再根据圆过两点A（0，4），B（4，6），可得[（2b+2）﹣0]2+（b﹣4）2=[（2b+2）﹣4]2+（b﹣6）2，解得b=1，可得圆心为（4，1），半径为5，故所求的圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2=25，（2）圆心到直线的距离d==4，∴直线l：15x+8y=0被圆C截得的弦长为2=6．16．（14分）已知命题p：方程x2+y2﹣2mx+2m2+2m﹣3=0表示圆；命题q：函数方程f（x）=x3﹣mx2+x﹣1在R上单调递增（1）若命题p为真命题，求实数的m取值范围（2）若命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数的m取值范围．【分析】（1）由命题p为真命题，得到D2+E2﹣4F＞0，由此求得m的范围（﹣3，1）；（2）当命题q为真命题时有f'（x）=x2﹣mx+1≥0恒成立，然后结合二次不等式的判别式恒小于等于0求得m的范围，再把命题p是真命题，命题q是假命题；与命题p是假命题，命题q是真命题转化为不等式组解得m的范围．【解答】解：（1）∵命题p为真命题，∴D2+E2﹣4F＞0，即（﹣2m）2﹣4（2m2+2m﹣3）＞0，整理得m2+2m﹣3＜0，解得﹣3＜m＜1，∴实数m的取值范围为（﹣3，1）；（2）当命题q为真命题时有f'（x）=x2﹣mx+1≥0恒成立，∴△=m2﹣4≤0，解得﹣2≤m≤2，若命题p是真命题，命题q是假命题，则有，解得﹣3＜m＜﹣2；若命题p是假命题，命题q是真命题，则有，解得1≤m≤2．故所求实数m的取值范围为（﹣3，﹣2）∪[1，2]．17．（15分）如图，所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC=，AB=2BC=2，AC⊥FB（1）求证：AC⊥平面FBC（2）若M为线段AC的中点，求证：EA∥平面FDM．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明AC⊥平面FBC（2）根据线面平行的判定定理即可证明．【解答】（1）证明：在△ABC中，因为，AB=2，BC=1，所以AC⊥BC．…（3分）又因为AC⊥FB，BC∩FB=B所以AC⊥平面FBC．…（7分）（2）连结CE，与DF交于点N，连接MN．因为CDEF为正方形，所以N为CE中点．在△ACE中，EA∥MN．…（11分）因为MN⊂平面FDM，EA⊄平面FDM，所以EA∥平面FDM．…（15分）18．（15分）如图，已知海岛A与海岸公路BC的距离为50km，B、C间的距离为100km，从A到C，必须先坐船到BC上某一点D，船速为25km/h，再乘汽车，车速为50km/h．设∠BAD=θ．记∠BAD=α（α为确定的锐角，满足tanα=（1）试将由A到C所用时间t表示为θ的函数t（θ），并指出函数的定义域；（2）问θ为多少时，使从A到C所用时间最少？并求出所用的最少时间．【分析】（1）用θ表示出AD与BD，从而可以表示出DC，由路程除以速度得时间，建立起时间关于θ函数即可；（2）对函数进行求导研究函数的单调性，借助三角函数的性质可得出当当θ=时，用时最少，代入函数关系式求出最值即可．（1）AD=，所以A到D所用时间t1=，BD=50tanθ=，【解答】解：∴DC=100﹣BD=100﹣50tanθ=100﹣，所以D到C所用时间t2=2﹣，所以t（θ）=t1+t2=2+，定义域为[0，α]，α∈[0，）．（2）t′（θ）==令t'（θ）＞0，则sinθ＞，即有＜，由于∠BAD=α，则＜θ＜α，t（θ）单调增；令t'（θ）＜0，则sinθ＜，即有0＜θ＜，t（θ）单调减；因此，θ=，t（θ）取到最小值．答：当θ=时，由A到C的时间t最少，最少时间为小时．19．（16分）设函数f（x）=（1）求函数g（x）=f（x）﹣f′（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式|lnx|≤f（x）+c有解，求实数c的最小值．【分析】（1）求导f′（x）=﹣，从而得g（x）=f（x）﹣f′（x）=2﹣；再求导，由导数确定函数的单调区间；（2）不等式|lnx|≤f（x）+c可化为c≥|lnx|﹣；从而化为函数y=|lnx|﹣的最值问题．【解答】解：（1）f′（x）=﹣，故g（x）=f（x）﹣f′（x）=2﹣；g′（x）=；故当x＜时，g′（x）＞0；当x＞时，g′（x）＜0；故函数g（x）=f（x）﹣f′（x）的单调增区间为（﹣∞，）；单调减区间为（，+∞）；（2）不等式|lnx|≤f（x）+c可化为c≥|lnx|﹣；结合（1）及函数的四则运算知y=|lnx|﹣在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，故lnx|﹣≥0﹣；故c≥﹣；故实数c的最小值为﹣．20．（16分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆过（2，）且离心率为，（1）求椭圆的标准方程；（2）A为椭圆上异于椭圆左右顶点的任意一点，B与A关于原点O对称，直线AF交椭圆于另外一点C，直线BF交椭圆于另外一点D，①求直线DA与直线DB的斜率之积②判断直线AD与直线BC的交点M是否在一条直线上？说明理由．【分析】（1）根据椭圆的离心率以及椭圆过点，建立方程关系求出a，b即可求椭圆的标准方程；（2）利用设而不求的思想设出A，B的坐标没求出直线DA，DB的斜率即可得到结论．【解答】解：（1）∵离心率为，∴∴a2=2b2…（2分）将代入椭圆方程得解得a2=8，b2=4故所求椭圆的标准方程为…（5分）（2）①设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），∵A，D都在椭圆上，∴，∴∴．…（10分）②M在定直线x=4上．…（11分）∵，∴∴直线AD的方程为①同理，直线BC的方程为②由②﹣①得整理得③∵∴x=4所以直线AD与BC的交点M在定直线x=4上．…（16分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作yxomax ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
江苏省泰州市2015届高三上学期期末考试(期末考试)_数学试题_含答案
江苏省泰州市2015届高三第一次模拟考试数 学 试 题(考试时间：120分钟 总分：160分) （参考公式：2222121[()()()]n S x x x x x x n =-+-++-，121()n x x x x n=+++）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1.已知{}1,3,4A =，{}3,4,5B =，则A B = ▲ ．2.函数()sin(3)6f x x π=+的最小正周期为 ▲ ．3.复数z 满足i z 34i =+（i 是虚数单位），则z = ▲ ．4.函数()f x =的定义域为 ▲ ．5.执行如右图所示的流程图，则输出的n 为 ▲ ．6.若数据2,,2,2x 的方差为0，则x = ▲ ．7.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为 ▲ ．8.等比数列{}n a 中，16320a a +=，3451a a a =，则数列的前6项和为 ▲ ．9.已知函数22sin ,0()cos(),0x x x f x x x x α⎧+≥=⎨-++<⎩是奇函数，则sin α= ▲ ．10.双曲线12222=-by a x 的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ ．11.若αβ、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为 ▲ ．（写出所有真命题的序号）①若直线m α⊥，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线． ②若直线m α⊥，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直．③若直线m α⊂，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线． ④若直线m α⊂，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线． 12.已知实数,,a b c 满足222a b c +=，0c ≠，则2ba c-的取值范围为 ▲ ． 13.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若B C ∠=∠且2227a b c ++=则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．14.在梯形ABCD 中，2AB DC =，6BC =，P 为梯形ABCD 所在平面上一点，且满足DP BP AP 4++=0，DA CB DA DP ⋅=⋅，Q 为边AD 上的一个动点，则PQ 的最小值为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点(3,4)P ． （１）求sin()4πα+的值；（２）若P 关于x 轴的对称点为Q ，求OP OQ ⋅的值．16.（本题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，,AC BD 相交于点O ，//EF AB ，2AB EF =，平面BCF ⊥平面ABCD ，BF CF =，点G 为BC 的中点． （1）求证：直线//OG 平面EFCD ；（2）求证：直线AC ⊥平面ODE ．17.（本题满分14分）如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km 的半圆和一个以PQ 为斜边的等腰直角三角形PRQ 构成，其中O 为PQ 的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD ，按实际需要，四边形ABCD 的两个顶点C D 、分别在线段QR PR 、上，另外两个顶点A B 、在半圆上， ////AB CD PQ ，且AB CD 、间的距离为1km ．设四边形ABCD 的周长为c km ．（1）若C D 、分别为QR PR 、的中点，求AB 长； （2）求周长c 的最大值．18.（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为2时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．数列}{n a ，}{n b ，}{n c 满足：12n n n b a a +=-，1222n n n c a a ++=+-，*n N ∈． （1）若数列}{n a 是等差数列，求证：数列}{n b 是等差数列；（2）若数列}{n b ，}{n c 都是等差数列，求证：数列}{n a 从第二项起为等差数列； （3）若数列}{n b 是等差数列，试判断当130b a +=时，数列}{n a 是否成等差数列？证明你的结论．已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+． (1)若函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； (2) 若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图象的切线，求a b +的最小值； (3)当0b =时，若()f x 与()g x 的图象有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，求证：12x x 22e >．（取e 为2.8，取ln 2为0.7 1.4）江苏省泰州市2015届高三第一次模拟考试数 学 试 题(附加题)B ．（本小题满分10分，矩阵与变换）已知矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1201B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵1AB -对应的变换把直线l 变为直线:20l x y '+-=，求直线l 的方程．C ．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）己知在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为(sin cos )1ρθθ-=，直线l 与圆M 相交于,A B 两点，求弦AB 的长． ．［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（(本小题满分10分)如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，2DA DC ==，1DD '=，A C ''与B D ''相交于点O '，点P 在线段BD 上（点P 与点B 不重合）．(1)若异面直线O P '与BC '所成角的余弦值为55，求DP 的长度;(2)若2DP =，求平面PA C ''与平面DC B '所成角的正弦值．23.（(本小题满分10分)记r i C 为从i 个不同的元素中取出r 个元素的所有组合的个数．随机变量ξ表示满足212r i C i ≤的二元数组(,)r i 中的r ，其中}{2,3,4,5,6,7,8,9,10i ∈，每一个r i C （=r 0,1,2,…,i ）都等可能出现．求E ξ．泰州市2015届高三第一次模拟考试数学参考答案一、填空题1．{}3,4； 2．23π； 3．43i -； 4．[2,)+∞； 5．4； 6．2； 7．13； 8．214-； 9．1-； 10．53；11．②④； 12．[ ； 13； 14二、解答题15. 解：（１）∵角α的终边经过点(3,4)P ，∴43sin ,cos 55αα==，……………4分∴43sin()sin coscos sin44455πππααα+=+==……………7分 （２）∵(3,4)P 关于x 轴的对称点为Q ，∴(3,4)Q -．………………………………9分 ∴(3,4),(3,4)OP OQ ==-，∴334(4)7OP OQ ⋅=⨯+⨯-=-． ……………１４分 16. 证明（1）∵四边形ABCD 是菱形，ACBD O =，∴点O 是BD 的中点，∵点G 为BC 的中点 ∴//OG CD ， ………………3分 又∵OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ，∴直线//OG 平面EFCD ．………７分（２）∵ BF CF =，点G 为BC 的中点, ∴FG BC ⊥, ∵平面BCF ⊥平面ABCD ，平面BCF 平面ABCD BC =， FG ⊂平面BCF ，FG BC ⊥ ∴FG ⊥平面ABCD ， ………………9分∵AC ⊂平面ABCD ∴FG AC ⊥, ∵1//,2OG AB OG AB =，1//,2EF AB EF AB =，∴//,OG EF OG EF =， ∴四边形EFGO 为平行四边形, ∴//FG EO ， ………………11分 ∵FG AC ⊥，//FG EO ，∴AC EO ⊥， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC DO ⊥， ∵AC EO ⊥，AC DO ⊥，EODO O =，EO DO 、在平面ODE 内，∴AC ⊥平面ODE ． ………………1４分 17. （１）解：连结RO 并延长分别交AB CD 、于M N 、，连结OB ， ∵C D 、分别为QR PR 、的中点，2PQ =，∴112CD PQ ==， PRQ ∆为等腰直角三角形，PQ 为斜边，112RO PQ ∴==，1122NO RO ==．∵1MN =，∴12MO =．………………3分在Rt BMO ∆中，1BO =，∴2BM ==∴2AB BM == ……………6分 （２） 解法１ 设BOM θ∠=，02πθ<<．在Rt BMO ∆中，1BO =，∴sin BM θ=，cos OM θ=． ∵1MN =，∴1cos CN RN ON OM θ==-==，∴BC AD ==……………………………………………………8分∴2(sin cos c AB CD BC AD θθ=+++=++………………10分≤=（当12πθ=或512π时取等号）∴当12πθ=或512πθ=时，周长c的最大值为km ． …………………14分 解法２ 以O 为原点，PQ 为y 轴建立平面直角坐标系． 设(,)B m n ，,0m n >，221m n +=，(1,)C m m -，∴2AB n =，2CD m =，BC AD ==．……………………………8分∴2(c AB CD BC AD m n =+++=++ ………………………10分≤=（当m =，n =或m =，n =时取等号）∴当m =，n =或m =，n =时，周长c 的最大值为km ． ……………１４分18. 解：（1）设00()2P x x ， ∵直线PQPQ =2200)3x x +=，∴202x =…………３分∴22211a b +=，∵c e a ===，∴224,2a b ==． ∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………６分 （２）以MN为直径的圆过定点(F ．设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++ ，∴002(0,)2y M x + ，直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+- ，∴002(0,)2y N x -， ………………９分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+- 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ………………12分∵220042x y -=-，∴22220x x y y y ++-=， 令0y =，2220x y +-=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． ………………16分19．证明：（１）设数列}{n a 的公差为d ， ∵12n n n b a a +=-，∴1121121(2)(2)()2()2n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a d d d +++++++-=---=---=-=-， ∴数列}{n b 是公差为d -的等差数列． ………………４分 （２）当2n ≥时，1122n n n c a a -+=+-，∵12n n n b a a +=-，∴112n n n b c a -+=+，∴1112n n n b ca +++=+， ∴111112222n n n n n n n n n n b c b c b b c c a a +-+-+++---=-=+， ∵数列}{n b ，}{n c 都是等差数列，∴1122n n n n b b c c +---+为常数， ∴数列}{n a 从第二项起为等差数列． ………………１０分 （３）数列}{n a 成等差数列．解法１ 设数列}{n b 的公差为d '， ∵12n n n b a a +=-，∴11222n n n n n n b a a ++=-，∴1111222n n n n n n b a a ----=-，…，2112222b a a =-， ∴11111122222n n n n n n b b b a a -+-++++=-， 设211212222n n n n n T b b b b --=+++，∴21112222n n n n n T b b b +-=+++，两式相减得：21112(222)2n n n n n T b d b -+'-=++++-，即11124(21)2n n n n T b d b -+'=---+，∴11111124(21)222n n n n n b d b a a -+++'---+=-， ∴1111111112224(21)22242()n n n n n n n a a b d b a b d b d +-+++'''=++--=+---，∴1111224()2n n n a b d a b d ++'+-'=--， ………………１２分令2n =，得111132133224224()22a b d a b d a b d b ''+-+-'=--=-，∵130b a +=，∴1113322402a b d b a '+-=+=，∴112240a b d '+-=，∴1()n n a b d +'=--，∴211()()n n n n a a b d b d d +++'''-=--+-=-，∴数列}{n a （2n ≥）是公差为d '-的等差数列， ………………１４分 ∵12n n n b a a +=-，令1n =，1232a a a -=-，即12320a a a -+=，∴数列}{n a 是公差为d '-的等差数列． ………………１６分 解法2 ∵12n n n b a a +=-，130b a +=，令1n =，1232a a a -=-，即12320a a a -+=， ………………１２分 ∴1122n n n b a a +++=-，2232n n n b a a +++=-，∴12122132(2)2(2)n n n n n n n n n b b b a a a a a a +++++++--=-----，∵数列}{n b 是等差数列，∴1220n n n b b b ++--=，∴1221322(2)n n n n n n a a a a a a +++++--=--， ………………１４分 ∵12320a a a -+=，∴1220n n n a a a ++--=，∴数列}{n a 是等差数列． ………………１６分20. 解：（1）()()()h x f x g x =-1ln x ax b x =---,则211()h x a x x'=+-， ∵()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增，∴对0x ∀>，都有211()0h x a x x'=+-≥，即对0x ∀>，都有211a x x ≤+，∵2110x x+>，∴0a ≤，故实数a 的取值范围是(,0]-∞． ………………4分 (2) 设切点0001(,ln )x x x -，则切线方程为002000111(ln )()()y x x x x x x --=+-，即00220000011111()()(ln )y x x x x x x x x =+-++-，亦即02000112()(ln 1)y x x x x x =++--， 令10t x =>，由题意得202000112,ln 1ln 21a t t b x t t x x x =+=+=--=---，……７分令2()ln 1a b t t t t ϕ+==-+--，则1(21)(1)()21t t t t ttϕ+-'=-+-=，当(0,1)t ∈时 ，()0t ϕ'<，()t ϕ在(0,1)上单调递减；当(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'>，()t ϕ在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)1a b t ϕϕ+=≥=-，故a b +的最小值为1-． ………………１０分 （3）由题意知1111ln x ax x -=，2221ln x ax x -=， 两式相加得12121212ln ()x x x x a x x x x +-=+，两式相减得21221112ln ()x x xa x x x x x --=-，即212112ln1x x a x x x x +=-，∴21211212122112ln 1ln ()()x x x x x x x x x x x x x x +-=++-， 即1212212122112()ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-， …………１２分不妨令120x x <<，记211xt x =>，令2(1)()l n (1)1t F t t t t -=->+，则2(1)()0(1)t F t t t -'=>+，∴2(1)()ln 1t F t t t -=-+在(1,)+∞上单调递增，则2(1)()ln (1)01t F t t F t -=->=+， ∴2(1)ln 1t t t ->+，则2211122()ln x x x x x x ->+，∴1212212122112()ln ln 2x x x x x x x x x x x x ++-=>-，又1212121212122()ln ln ln 2ln x x x x x x x x x x +-<=-=∴2>，即1>， 令2()ln G x x x =-，则0x >时，212()0G x x x'=+>，∴()G x 在(0,)+∞上单调递增，又1ln 210.8512e =+-≈<，∴1G =>>>，即2122x x e >． ………………１６分附加题参考答案21.A ．证明：∵EA 与O 相切于点A ．由切割线定理：2DA DB DC =⋅．∵D 是EA 的中点，∴DA DE =．∴2DE DB DC =⋅ ． ………………５分∴DE DBDC DE=．∵EDB CDE ∠=∠ ∴EDB CDE ∆∆∴DEB DCE ∠=∠……１０分21.B .解：∵1201B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴11201B --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， ∴1101212020102AB ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, ………………５分设直线l 上任意一点(,)x y 在矩阵1AB -对应的变换下为点(,)x y ''1202x x y y '-⎤⎤⎡⎤⎡⎡=⎥⎥⎢⎥⎢⎢'⎣⎦⎣⎣⎦⎦，∴22x x yy y '=-⎧⎨'=⎩． 代入l '，:(2)(2)20l x y y '-+-=，化简后得：:2l x =． ………………１０分 21.C .解：圆O ：224x y +=，直线l ：10x y -+=， ………………5分圆心O 到直线l的距离d ==AB ==………１０分 21.D . 证明：∵正实数,,a b c 满足3a b c ++=，∴3a b c =++≥1abc ≤， ………………5分∴2223b c a a b c ++≥=≥． ………………１０分22. 解：（1）以,,DA DC DD '为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 由题意，知(0,0,0)D ,(2,0,1)A '，(2,2,0)B ，(0,2,1)C '，(1,1,1)O '.设(,,0)P t t ，∴(1,1,1)O P t t '=---，(2,0,1)BC '=-. 设异面直线O P '与BC '所成角为θ，则cos 2(O P BC O P BC θ''⋅===''⋅， 化简得：2212040t t -+=,解得：23t =或27t =，DP =或DP = ………………5分 （2）∵2DP =，∴33(,,0)22P ，(0,2,1)DC '=,(2,2,0)DB =，13(,,1)22PA '=-,31(,,1)22PC '=-，设平面DC B '的一个法向量为1111(,,)n x y z =，∴110n DC n DB ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴111120220y z x y +=⎧⎨+=⎩，即11112z y x y =-⎧⎨=-⎩，取11y =-，1(1,1,2)n =-，设平面PA C ''的一个法向量为2222(,,)n x y z =，∴2200n PA n PC ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，∴2222221302231022x y z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，即2222z y x y =⎧⎨=⎩，取21y =，2(1,1,1)n =，设平面PA C ''与平面DC B '所成角为ϕ，∴1212cos 36n n n n ϕ⋅===⋅， ∴sin 3ϕ=． ………………１０分 23.解：∵ 212ri C i ≤， 当2i ≥时，2112i iiC C i ==≤，11212i i i C C i i -==≤，222(1)122i i i i i C C i --==≤，23552C ≤，∴当25,*i i N ≤≤∈时，212ri C i ≤的解为0,1,,r i =． ………………3分当610,*i i N ≤≤∈， 112r ri i i C C r +-≥⇔≤，由32(1)(2)162i i i i C i --=≤3,4,5i ⇔=可知：当0,1,2,2,1,r i i i =--时，212ri C i ≤成立， 当3,,3r i =-时，321r i i C C i ≥≥（等号不同时成立），即21ri C i >．……………6分…………………………………………8分∴311177(012)(345678)9101616244824E ξ=++⨯++++++⨯+⨯+⨯=． ………………………………………10分。
泰州市2015年期末高二理科数学试卷
泰州市2014～2015学年度第二学期期末考试高二数学试题（理科）(考试时间：120分钟 总分：160分)命题人：朱占奎 张圣官 展国培 张敏审题人：丁凤桂 石志群注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 参考公式：数学期望：1()ni ii E x x p ==∑，方差：22211()[()][()]nnii i i i i V x x E x p x p E x ===-=-∑∑一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．复平面内，复数i z =-1所对应的点在第 ▲ 象限． 2．命题“x ∃∈R ，使得sin x >21成立”的否定是 ▲ ．3．已知()x a a x a x a x +=++++102100121012，则a a a a a -+-++=012310 ▲ ．4．写出命题“若abc =0，则b =0”的逆否命题： ▲ ．5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则甲、乙相邻的不同排法种数是 ▲ ．（用数字作答）6．若复数z 满足i z --=11，则复数z 的模的最大值是 ▲ ．7．命题：若x y +<22111，则过点(),x y 11的直线与圆x y +=221有两个公共点．将此命题类比到椭圆x y +=2221中，得到一个正确命题是 ▲ ．8．某人每次射击命中目标的概率为.08，现连续射击10次，设击中目标的次数为X ， 则()E X = ▲ ．9．已知：;;;;;=-=--+=-+-=--+-+=11121123212342123453，按此规律请写出第100个等式： ▲ ．10．已知复数()()i i z =+-1121和复数i iz m ⨯=+-2015221，当m 为 ▲ 时，z z =12．11．已知131716417x C C -=，则x = ▲ ． 12．在用数学归纳法证明“对一切大于2的正整数n ，n n ++++++>111111246824”的过程中，从n k =到n k =+1时，左边增加的项数为 ▲ ．13．学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有 ▲ 种．（用数字作答）14．已知()nn n n n n x a m x m x m x m x m --++=+++++121231，其中*N ,n a ∈为常数．则下列所有正确命题的序号是 ▲ ． ⑴“,,,,n m m m m +1231中存在负数”的一个充分条件是“a <-1”； ⑵若n =5，则“a ≤≤12”是“m 4为,,,,m m m m 1236中最大的一个”的必要不充分条件；⑶若n =5，则“不等式,,,,m m m m m m m m m m <<<<<1223344556中恰有3个成立”的充要条件是“a <≤12”；⑷若a <0，则“n 是4的倍数”是“n m m m m +⋅⋅>12310”的充分不必要条件．二、解答题：（本大题共6小题,共90分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分） 已知圆C ：x y +=221在矩阵M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2001所对应的变换作用下变为曲线C 1． ⑴求曲线C 1的方程；⑵求逆矩阵M -1；⑶求矩阵M 的特征值和特征向量． 16．（本题满分14分） 已知直线l 过点(),P 40，且倾斜角为π34． ⑴求直线l 的极坐标方程；⑵求直线l 被曲线:x t C y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩21812（t 为参数）截得的弦长．一个盒子内装有形状和大小完全相同的3个红球和n 个白球，事件“从中取出两个球，恰好有一个红球”发生的概率为p ． ⑴若p =47， ①求从盒子内取出3个球中至少有一个红球的概率；②设X 为取出的4个球中红球的个数，求X 的数学期望()E X 和方差()V X ． ⑵求证：p ≤35； 18．（本题满分16分）已知函数()a f x x x=+和()g x x ax =-+222． ⑴命题:p [),x ∀∈+∞2，()f x ≥2恒成立；命题:q 函数()g x 在[),+∞2上单调递增．若p 和q 都是真命题，求实数a 的取值范围；⑵设()()(),,f x x F x g x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩22，若对[),x ∀∈+∞12，总存在(),x ∈-∞22，使得()()F x F x =12成立，求实数a 的取值范围．设集合123,,,,,n A A A A 中元素的个数分别为1,2,3,,,n ．现从集合123,,,n n n n A A A A +++中各取一个元素，记不同取法种数为()f n ． ⑴求(1)f ；⑵是否存在常数,a b ，使得53(1)(2)()(2)(2)(2)f f f n a n n b n +++=+-+++对任意*N n ∈总成立？若存在，请求出,a b 的值，并用数学归纳法证明；若不存在，请说明理由． 20．（本题满分16分）已知等差数列{}n a 的公差为d ，35a =，且51()a x d +的展开式中2x 与3x 的系数之比为2． ⑴求612()a x a -的展开式中二项式系数最大的项； ⑵设22213130122[()](2)(2)(2)n n n a x a a x a b b x b x b x --+=+-+-++-，*N n ∈，求112222n n a b a b a b +++；⑶当2n ≥时，求证：141()11168n a n n a n ++>⨯+．2014～2015学年度第二学期期末联考高二数学试题（理科）参考答案1．四 2．R x ∈∀，1sin 2≤x 总成立 3．1 4．若b ≠0，则abc ≠05．12 6．17．若x y +<221121，则过点(),x y 11的直线与椭圆x y +=2221有两个公共点 8．8 9．-+-++-=-1234991005010．-4 11．5或14 12．k -12 13．930 14．⑴⑶⑷15．解：⑴设),(00y x P 为圆C 上的任意一点，在伸压变换下变为另一点),(00y x P '''，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''00001002y x y x ，即⎩⎨⎧='='00002y y x x ，所以，⎪⎩⎪⎨⎧'='=00002y y x x又因为点P 在曲线x y +=221上，所以12020=+y x ，故有142020='+'y x ． 即圆C ：x y +=221在矩阵M 对应的伸压变换下变为椭圆：x y +=2214．…………4分 ⑵设矩阵M 的逆矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡w z y x ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡10011002w z y x ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100122w z y x ，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====10021w z y x 从而所求的逆矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-100211M ． …………8分 ⑶矩阵M 的特征多项式为)1)(2(1002)(--=--=λλλλλf ，令0)(=λf ，解得矩阵M 的特征值21=λ，12=λ． …………10分将21=λ代入二元一次方程组⎩⎨⎧=-+⋅=⋅+-0)1(000)2(y x y x λλ解得0=y ，x 可以为任何非零实数，不妨记R k k x ∈=,，且0≠k ．于是，矩阵M 的属于特征值2的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡01． …………12分将12=λ代入二元一次方程组⎩⎨⎧=-+⋅=⋅+-0)1(000)2(y x y x λλ解得0=x ，y 可以为任何非零实数，不妨记R m m y ∈=,，且0≠m ．于是，矩阵M 的属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡10．因此，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1002M 的特征值为21=λ，12=λ，分别对应的一个特征向量是⎥⎦⎤⎢⎣⎡01，⎥⎦⎤⎢⎣⎡10． …………14分 16．解：⑴设直线l 上任意一点为),(θρQ ， 如图，在POQ ∆中，由正弦定理得OQPOPOPQ OQ ∠=∠sin sin于是)43sin(44sin θππρ-=，即22)43sin(=-θπρ． 所以，直线的极坐标方程是22)43sin(=-θπρ． …………7分 ⑵应用代入消元法，得2)2(81y x =，因此所求的普通方程是x y 22=，它表示的曲线是抛物线． 直线l 的普通标方程是4=+y x设直线l 与曲线的交点记作),(),,(2211y x B y x A ，联立成方程组，得⎩⎨⎧=+=422y x x y ，⎩⎨⎧==2211y x 或⎩⎨⎧-==4822y x ，26)24()28(22=--+-=AB所以，直线l 被曲线截得的弦长为26． …………14分17．解⑴记“从中取出两个球，恰好有一个红球”为事件A()n n C C n P A C n n +===++11322364567，0)32)(4(=--n n ，解得4=n 或23=n （舍）故4=n ． …………2分①事件“从盒子中取出3个球中至少有一个红球”是事件“从盒子中取出3个球都是白球”的对立事件，记“从盒子中取出3个球中至少有一个红球”为事件B ，则记“从盒子中取出3个球都是白球”为B ．()C P B C ==3437435，根据对立事件的概率公式()()P B P B =-1，得()P B =3135． 答：从盒子中取出3个球中至少有一个红球的概率为3531． …………6分②用随机变量X 为取出的4个球中红球的个数，则X 服从超几何分布)7,3,4(H ． 随机变量X 的可能值有4种，它的取值集合是{}3,2,1,0．351)0(4744===C C X P 3512)1(473413===C C C X P 3518)2(472423===C C C X P354)3(471433===C C C X P 随机变量X从而7353533523513510)(==⨯+⨯+⨯+⨯=X E ． ))((,)(212X E p x X V i ni i =-=∑=μμ22222)712(354335182351213510-⨯+⨯+⨯+⨯=49144724-=4924=． 答：随机变量X 的数学期望为712，方差为4924…………10分⑵证法一：()()n n C C n n P n n C n n n n+====++++++⨯11322336632656521 记*∈+=N n n n n f ,6)(当n =2或3时取最小值为5，P ≤35． …………14分证法二：反证法．假设P >35，即n n n >++263565，即n n -+<2560，解得23n << 因为*n N ∈，所以不存在正整数n ，满足P >35．因此，P ≤35． …………14分18．⑴命题:p 不等式2≥+xax 在[),+∞2上恒成立， 即x x a 22+-≥在[),+∞2上恒成立， 即1)1(2+--≥x a 在[),+∞2上恒成立，即0≥a ． …………2分 命题:q 函数()g x x ax =-+222在[),+∞2上单调递增即2≤a ． 若p 和q 都是真命题，则20≤≤a ．所以，实数a 的取值范围是[]2,0． …………4分⑵xax x f +=)(在[)+∞∈,2x 上的值域记作集合M ， ()g x x ax =-+222在()2,∞-∈x 上的值域记作集合N ， 由题意可得，N M ⊆．（ⅰ）当0=a 时，满足N M ⊆， …………5分 （ⅱ）当0<a 或20<<a 时，[)+∞∈,2x 0)(>'x f ，则x ax x f +=)(在[)+∞∈,2x 上单调递增， 集合⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+=,22a M ，()g x x ax =-+222在(]a ,∞-上单调递减，在[)2,a 上单调递增，集合[)+∞+-=,22a N ，因为N M ⊆，所以2222+≤+-a a ，即0≥a 或21-≤a 又0<a 或20<<a ，所以21-≤a 或20<<a ． …………8分（ⅲ）当42≤≤a 时，[)+∞∈,2x 时0)(≥'x f ，则x a x x f +=)(在[)+∞∈,2x 上单调递增，集合⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+=,22a M ，()g x x ax =-+222在()2,∞-∈x 上单调递减，集合()+∞-=,46a N ，因为N M ⊆，所以⎪⎩⎪⎨⎧+<-≤≤224642a a a 即42≤≤a ． …………12分（ⅳ）当4>a时，x ⎡∈⎣时0)(<'x f，)x ∈+∞时0)(>'x f则)(x f的单调减区间是⎡⎣，单调增区间是)+∞，集合)M ⎡=+∞⎣，()g x x ax =-+222在()2,∞-∈x 上单调递减，集合()+∞-=,46a N ，因为N M ⊆，所以⎩⎨⎧<->aa a 2464即4>a ．综上，21-≤a 或0≥a ． …………16分19．解：⑴从1A 中取一个元素，有1种取法；从2A 中取一个元素，有2种取法，依次类推，不同取法种数为4!24= …………4分 ⑵()(1)(2)(3)f n n n n n =+++由5353(1)333(1)(2)444f a b f f a b ⎧=⨯-+⎪⎨+=⨯-+⎪⎩解得1545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…………8分 用数学归纳法证明如下：①当1n =时，左边(1)24f ==，右边53143332455=⨯-+⨯=左边=右边，所以当1n =时命题成立； …………9分 ②假设当n k =时命题成立，即5314(1)(2)()(2)(2)(2)55f f f k k k k +++=+-+++，则当1n k =+时，(1)(2)()(1)f f f k f k +++++ 5314(2)(2)(2)(1)(2)(3)(4)55k k k k k k k =+-++++++++ 421(2)[(2)5(2)45(1)(3)(4)]5k k k k k k =++-++++++ 441(2){[(2)1][(2)4]5(1)(3)(4)}5k k k k k k =++-+-++++ 1(1)(2)(3)(4)(5)5k k k k k =+++++ 5342141(3)(3)(3)(3)[(3)5(3)4]555k k k k k k +-+++=++-++1(1)(2)(3)(4)(5)5k k k k k =+++++ 所以(1)(2)()(1)f f f k f k +++++1(1)(2)(3)(4)(5)5k k k k k =+++++从而当1n k =+时，命题也成立． 综上可知，原命题成立． …………16分20．解：51()a x d +的展开式中含2x 的项为323223251110C a d x a d x =，含3x 的项为232332351110C a d x a d x =，所以231321110210a d da d a ==，得12d a =，又125a d +=， 解得11,2a d ==，所以*21()n a n n N =-∈ …………4分 ⑴121,3a a ==，6612()(3)a x a x -=-，则6(3)x -的展开式中二项式系数最大的项为333346(3)540T C x x =-=-；…………6分 ⑵131,5a a ==，则2221313[()](45)[(2)1]n n n a x a a x a x x x --+=-+=-+020*******[(2)][(2)][(2)][(2)]n n nn n n n n C x C x C x C x --=-+-++-+- 00121222(2)(2)(2)(2)n n nn n n n n C x C x C x C x --=-+-++-+-220122(2)(2)(2)n n b b x b x b x =+-+-++-∴135210n b b b b -=====，01022,,,nn n n nb C b C b C === …………8分 ∴112222224422n n n n a b a b a b a b a b a b +++=+++1233711(41)n n n n nC C C n C =++++- 令1233711(41)nn n n nS C C C n C =++++- 则0123[(1)3711(41)]1n n n n n n S C C C C n C =-+++++-+1[(41)(45)(1)]1n n n n n S n C n C C -=-+-++-+ ∴0122(42)()2n n n n n S n C C C C =-+++++∴(21)21n S n =-⨯+ …………11分 ⑶1211()(21)n a n n a n +++=+2112221212221212121(2)(2)(2)(2)(2)1n n n n nn n n n n C n C n C n C n +--++++=++++++∵2n ≥ ∴24n ≥ ∴()12121122212215521()21444(2)n n a n n n n n a n C C C n +++-++=+>+⨯+⨯+ 445416516168111682nnn n n n >⨯+⨯+⨯+>⨯+ …………16分。
【精品】2015-2016年江苏省泰州市泰兴中学高二上学期数学期末试卷(理科)与答案
2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）已知复数z=3﹣2i，则复数z的虚部为．2．（5分）命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是．3．（5分）已知函数f（x）=25x3+13x2+2016x﹣5，则f'（0）=．4．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是．5．（5分）按如图所示的流程图，输出的结果为．6．（5分）若集合A，B满足A∩B=B且A≠B，则命题“p：x∈A”是命题“q：x∈B”的条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”）7．（5分）用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k （k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是．8．（5分）下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a，b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；③“x＞2”是“＜”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中不正确的命题是．（写出所有不正确命题的序号）9．（5分）在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=a，BC=b，则△ABC的外接圆半径r=；类比到空间，若三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S﹣ABC的外接球的半径R=．10．（5分）设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）=f′（）sin x+cos x，则f′（）=．11．（5分）过点M（1，2）作直线l交椭圆+=1于A，B两点，若点M恰为线段AB的中点，则直线l的方程为．12．（5分）若当x∈[0，π]时，不等式sinx≤kx恒成立，则实数k的取值范围是．13．（5分）设A，B为抛物线x2=4y上的两动点，且线段AB的长为6，M为线段AB的中点，则点M到x轴的最短距离为．14．（5分）过椭圆+=1的左顶点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于点C，交y轴于点D，P为AC中点，定点Q满足：对于任意的k（k≠0）都有OP⊥DQ，则Q点的坐标为．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知p：|3x﹣4|＞2，＞0，r：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，（1）¬p是¬q的什么条件？（2）若¬r是¬p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围．16．（14分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．17．（14分）根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p与日产量x（件）之间近似地满足关系式p=（日产品废品率=×100%）．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润y=日正品赢利额﹣日废品亏损额）（1）将该车间日利润y（千元）表示为日产量x（件）的函数；（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？18．（16分）设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0，2π）．（1）用数学归纳法证明：（cosθ+isinθ）n=cosnθ+isinnθ；（2）已知z=+i，试利用（1）的结论计算z10；（3）设复数z=a+bi（a，b∈R，a2+b2≠0），求证：|z n|=|z|n（n∈N*）．19．（16分）阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象，现象（1）：光线经平面镜反射满足入射角i与反射角r相等（如图1）；现象（2）：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图2）．试结合上述事实现象完成下列问题：（1）有一椭圆型台球桌，长轴长为2a，短轴长为2b．将一放置于焦点处的桌球击出，经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2））后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为S，求S的值（用a，b表示）；（2）结论：椭圆+=1上任一点P（x0，y0）处的切线l的方程为+=1．记椭圆C的方程为C：+y2=1．①过椭圆C的右准线上任一点M向椭圆C引切线，切点分别为A，B，求证：直线l AB恒过一定点；②设点P（x0，y0）为椭圆C上位于第一象限内的动点，F1，F2为椭圆C的左右焦点，点I为△PF1F2的内心，直线PI与x轴相交于点N，求点N横坐标的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=e2ax（a∈R）的图象C在点P（1，f（1））处切线的斜率为e，记奇函数g（x）=kx+b（k，b∈R，k≠0）的图象为l．（1）求实数a，b的值；（2）当x∈（﹣1，2）时，图象C恒在l的上方，求实数k的取值范围；（3）若图象C与l有两个不同的交点A，B，其横坐标分别是x1，x2，设x1＜x2，求证：x1•x2＜1．2015-2016学年江苏省泰州市泰兴中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）已知复数z=3﹣2i，则复数z的虚部为﹣2．【分析】直接利用复数的概念，写出结果即可．【解答】解：复数z=3﹣2i，则复数z的虚部为﹣2；故答案为：﹣2．2．（5分）命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0；故答案为：∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．3．（5分）已知函数f（x）=25x3+13x2+2016x﹣5，则f'（0）=2016．【分析】先求导，再代值计算即可．【解答】解：f′（x）=75x2+26x+2016，∴f′（0）=2016，故答案为：2016．4．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是y=±x．【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程，化简即可得到所求．【解答】解：∵双曲线方程为﹣=1的，则渐近线方程为线﹣=0，即y=±，故答案为y=±．5．（5分）按如图所示的流程图，输出的结果为11．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a的值，当a=11时，不满足条件a＜10，退出循环，输出a的值为11．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1满足条件a＜10，执行循环体，a=3满足条件a＜10，执行循环体，a=11不满足条件a＜10，退出循环，输出a的值为11．故答案为：11．6．（5分）若集合A，B满足A∩B=B且A≠B，则命题“p：x∈A”是命题“q：x∈B”的必要不充分条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”）【分析】集合A，B满足A∩B=B且A≠B，可得：B⊊A，可得x∈B⇒x∈A，反之不一定成立．即可判断出结论．【解答】解：集合A，B满足A∩B=B且A≠B，∴B⊊A，∴x∈B⇒x∈A，反之不一定成立．则命题“p：x∈A”是命题“q：x∈B”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．7．（5分）用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k （k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是2k．【分析】观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为，∴应增加的项数为2k．故答案为2k．8．（5分）下列四个命题：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a，b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；③“x＞2”是“＜”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中不正确的命题是①②．（写出所有不正确命题的序号）【分析】由互为逆否命题的两个命题共真假判断①②④；由充分必要条件的判定方法结合举例判断③．【解答】解：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真，故①错误；②命题“设a，b∈R，若a+b≠6，则a≠3或b≠3”的逆否命题为：“若a=3且b=3，则a+b=6”，是真命题，故②错误；③由x＞2，得＜，反之，由＜，不一定有x＞2，x可能为负值，∴“x＞2”是“＜”的充分不必要条件，故③正确；④一个命题的否命题与逆命题互为逆否命题，∴一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真，故④正确．故答案为：①②．9．（5分）在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=a，BC=b，则△ABC的外接圆半径r=；类比到空间，若三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S﹣ABC的外接球的半径R=．【分析】直角三角形外接圆半径为斜边长的一半，由类比推理可知若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，将三棱锥补成一个长方体，其外接球的半径R为长方体对角线长的一半．【解答】解：若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a，b，c，可补成一个长方体，体对角线长为，∵体对角线就是外接球的直径，∴棱锥的外接球半径R=．故答案为：．10．（5分）设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）=f′（）sin x+cos x，则f′（）=．【分析】对两边求导，令x=可得f′（），再令x=即可求得f′（）．【解答】解：由，得f′（x）=f′（）cosx﹣sinx，则f′（）=f′（）•cos﹣sin，解得f′（）=﹣1，∴=﹣cosx﹣sinx=﹣cos﹣sin=﹣=，故答案为：﹣．11．（5分）过点M（1，2）作直线l交椭圆+=1于A，B两点，若点M恰为线段AB的中点，则直线l的方程为8x+25y﹣58=0．【分析】利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则16x12+25y12=400，16x22+25y22=400，∴16（x1+x2）（x1﹣x2）+25（y1+y2）（y1﹣y2）=0．∵M（1，2）恰为线段AB的中点，∴32（x1﹣x2）+100（y1﹣y2）=0，∴直线AB的斜率为﹣，∴直线AB的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即8x+25y﹣58=0．故答案为8x+25y﹣58=0．12．（5分）若当x∈[0，π]时，不等式sinx≤kx恒成立，则实数k的取值范围是k≥1．【分析】求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调性，从而求出满足条件的k的范围即可．【解答】解：令f（x）=sinx﹣kx，x∈[0，π]，f′（x）=cosx﹣k，k≥1时，f′（x）≤0，f（x）在[0，π]递减，f（x）的最大值是f（0）=0，符合题意，结合y=sinx和y=kx的图象，如图示：，k＜0时，不合题意，故答案为：k≥1．13．（5分）设A，B为抛物线x2=4y上的两动点，且线段AB的长为6，M为线段AB的中点，则点M到x轴的最短距离为2．【分析】设A（x1，y1）B（x2，y2），根据抛物线方程可求得准线方程，所求的距离为d==﹣1，根据抛物线的定义可知d=﹣1，根据两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号求得d的最小值．【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2），F为焦点，抛物线准线方程y=﹣1，根据梯形的中位线定理，得所求的距离为：d==﹣1由抛物线定义d=﹣1≥﹣1=2（两边之和大于第三边且A，B，F 三点共线时取等号）故答案为：2．14．（5分）过椭圆+=1的左顶点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于点C，交y轴于点D，P为AC中点，定点Q满足：对于任意的k（k≠0）都有OP⊥DQ，则Q点的坐标为（﹣3，0）．【分析】直线的方程为y=k（x+4），与椭圆联立，得（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12]=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质，结合已知条件能求出定点Q的坐标．【解答】解：直线的方程为y=k（x+4），由，化简得（x+4）[（4k2+3）x+16k2﹣12]=0，∴x1=4，x2=，…（6分）∴C（，），又∵点P为AC的中点，∴P（，），则k OP=﹣（k≠0），直线l的方程为y=k（x+4），令x=0，得D（0，4k），假设存在定点Q（m，n）（m≠0）使得OP⊥DQ，则k OP•k DQ=﹣1，即﹣•=﹣1，∴（4m+12）k﹣3n=0恒成立∴，即，因此定点Q的坐标为（﹣3，0），故答案为：（﹣3，0）．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知p：|3x﹣4|＞2，＞0，r：（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，（1）¬p是¬q的什么条件？（2）若¬r是¬p的必要非充分条件，试求实数a的取值范围．【分析】（1）求出命题p，q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．（2）根据￢r是￢p的必要非充分条件，进行转化，建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：（1）由|3x﹣4|＞2得3x﹣4＞2或3x﹣4＜﹣2，即x＞2或x＜，即p：x＞2或x＜，￢p：≤x≤2由＞0得x2﹣x﹣2＞0得x＞2或x＜﹣1，即：￢q：﹣1≤x≤2，则￢p是￢q的充分不必要条件．（2）由（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0得a＜x＜a+1，即r：a＜x＜a+1，若￢r是￢p的必要非充分条件，则p是r的必要非充分条件，即a≥2或a+1≤，即a≥2或a≤﹣，即实数a的取值范围是a≥2或a≤﹣．16．（14分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．17．（14分）根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p与日产量x（件）之间近似地满足关系式p=（日产品废品率=×100%）．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润y=日正品赢利额﹣日废品亏损额）（1）将该车间日利润y（千元）表示为日产量x（件）的函数；（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？【分析】（1）由题意可知y=2x（1﹣p）﹣px，然后把p代入即可．（2）由于所得函数是分段函数，需要分段讨论，利用导数来求最值，最后确定最大日利润．【解答】解：（1）由题意可知，…（4分）（2）考虑函数当1≤x≤9时，，令f'（x）=0，得．…（6分）当时，2B，函数f（x）在上单调增；当时，f'（x）＜0，函数f（x）在上单调减．所以当时，a取得极大值，也是最大值，又x是整数，，f（9）=9，所以当x=8时，f（x）有最大值．…（10分）当10≤x≤20时，，所以函数f（x）在[10，20]上单调减，所以当x=10时，f（x）取得极大值，也是最大值．由于，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大．…（12分）答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是千元．…（14分）18．（16分）设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0，2π）．（1）用数学归纳法证明：（cosθ+isinθ）n=cosnθ+isinnθ；（2）已知z=+i，试利用（1）的结论计算z10；（3）设复数z=a+bi（a，b∈R，a2+b2≠0），求证：|z n|=|z|n（n∈N*）．【分析】（1）利用数学归纳法即可证明，注意和差公式的应用．（2）利用（1）的结论即可得出．（3）由于，可，利用（1）的结论．【解答】（1）证明：1°当n=1时，左边=右边=cosθ+isinθ，所以命题成立；2°假设当n=k时，命题成立，即（cosθ+isinθ）k=coskθ+isinkθ，则当n=k+1时，（cosx+isinθ）k+1=（cosθ+isinθ）k•（cosθ+isinθ）∴当n=k+1时，命题成立；综上，由1°和2°可得，（cosθ+isinθ）n=cosnθ+isinnθ．]（2）解：∵，∴，（3）解：，∵，∴，记，∴z n=r n（cosnθ+isinnθ），∴|z n|=r n=|z|n．19．（16分）阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象，现象（1）：光线经平面镜反射满足入射角i与反射角r相等（如图1）；现象（2）：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图2）．试结合上述事实现象完成下列问题：（1）有一椭圆型台球桌，长轴长为2a，短轴长为2b．将一放置于焦点处的桌球击出，经过球桌边缘的反射（假设球的反射完全符合现象（2））后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为S，求S的值（用a，b表示）；（2）结论：椭圆+=1上任一点P（x0，y0）处的切线l的方程为+=1．记椭圆C的方程为C：+y2=1．①过椭圆C的右准线上任一点M向椭圆C引切线，切点分别为A，B，求证：直线l AB恒过一定点；②设点P（x0，y0）为椭圆C上位于第一象限内的动点，F1，F2为椭圆C的左右焦点，点I为△PF1F2的内心，直线PI与x轴相交于点N，求点N横坐标的取值范围．【分析】（1）桌球第一次与球桌边缘的接触点可能椭圆长轴的两个端点及这两个端点外的任一点三种情况，即可得出结论；（2）①求出点A，B的坐标均满足方程，即可证明直线l AB恒过一定点；②由（2）的结论知：椭圆C在P（x0，y0）处的切线l的方程为，由事实现象（2）知：直线PI⊥l，即可得出结论．【解答】解：（1）记，因为桌球第一次与球桌边缘的接触点可能椭圆长轴的两个端点及这两个端点外的任一点三种情况，所以S=2（a﹣c）或S=2（a+c）或S=4a；[（4分）]（2）①设，则…[（5分）]，…[（6分）]代入，得，…[（7分）]则点A，B的坐标均满足方程，…[（9分）]所以，直线AB恒过定点；…[（10分）]②由（2）的结论知：椭圆C在P（x0，y0）处的切线l的方程为，…[（11分）]由事实现象（2）知：直线PI⊥l，∴…[（13分）]令y=0，得点N的横坐标为，…[（5分）]∵x0∈（0，2），∴．…[（16分）]20．（16分）已知函数f（x）=e2ax（a∈R）的图象C在点P（1，f（1））处切线的斜率为e，记奇函数g（x）=kx+b（k，b∈R，k≠0）的图象为l．（1）求实数a，b的值；（2）当x∈（﹣1，2）时，图象C恒在l的上方，求实数k的取值范围；（3）若图象C与l有两个不同的交点A，B，其横坐标分别是x1，x2，设x1＜x2，求证：x1•x2＜1．【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的奇偶性求出b的值即可；（2）根据∀x∈（﹣1，2），e x＞kx恒成立，得到关于k的不等式，记，根据函数的单调性求出k的范围即可；（3）要证x1x2＜1，即证，令，即证2μlnμ＜μ2﹣1⇒2μlnμ﹣μ2+1＜0，令φ（μ）=2μlnμ﹣μ2+1（μ＞1），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）∵f'（x）=2ae2ax，∴，…[（2分）]∵g（x）=kx+b为奇函数，∴b=0；…[（4分）]（2）由（1）知f（x）=e x，g（x）=kx，…[（5分）]因为当x∈（﹣1，2）时，图象C恒在l的上方，所以∀x∈（﹣1，2），e x＞kx恒成立，…[（6分）]∵x=0时，k∈R，∴，…[（7分）]记，则，由h'（x）＞0⇒x∈（1，2），∴h（x）在（﹣1，0）单调减，在（0，1]单调减，在[1，2）单调增，…[（8分）]∴，∵，∴，…[（9分）]综上，所求实数k的取值范围是；…[（10分）]（3）由（2）知0＜x1＜1＜x2，设x2=tx1（t＞1），…[（11分）]∵，∴，…[（12分）]，∴，…[（13分）]要证x1x2＜1，即证，令，即证2μlnμ＜μ2﹣1⇒2μlnμ﹣μ2+1＜0，令φ（μ）=2μlnμ﹣μ2+1（μ＞1），即证φ（μ）＜0，，∵μ＞1，∴φ''（μ）＜0，∴φ'（μ）在（1，+∞）上单调减，∴φ'（μ）＜φ'（1）=0，∴φ（μ）在（1，+∞）上单调减，∴φ（μ）＜φ（1）=0，所以，x1•x2＜1…[（16分）]。
2015-2016学年江苏省泰州市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年江苏省泰州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共60分）．1．（5分）一组数据8，12，10，11，9的均值为．2．（5分）已知＝10×9×8，那么m＝．3．（5分）某校高二年级1000名学生中，血型为O型的有400人，A型的有250人，B型的有250人，AB型的有100人，为了研究血型与色弱之间的关系，要从中抽取1个容量为100的样本，则应从O型血的学生中抽取人．4．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的S为．5．（5分）若圆的极坐标方程为ρ＝2，则该圆的面积为．6．（5分）在（1+x）n的展开式中，若第三项和第七项的系数相等，则n＝．7．（5分）一根绳子长为5米，若将其剪为两段，则其中一段大于3米的概率为．8．（5分）为了了解某校学生一学期内的课外阅读情况，现随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得样本数据都在[50，150]内（单位：小时），其频率分布直方图如图所示，若该样本在[125，150]内的频数为100，则n的值为．9．（5分）设随机变量X的概率分布如表所示，且随机变量X的均值E（X）为2.5，则随机变量X的方差V（X）为．10．（5分）已知向量，，满足2+＝（0，﹣5，10），＝（1，﹣2，﹣2），且•＝﹣18，则•＝．11．（5分）若（x﹣）9展开式中的各项系数之和为﹣1，则该展开式中的常数项为．12．（5分）从甲乙丙等10名学生中选派4人参加某项活动，若甲入选则乙一定入选，若甲不入选则丙一定入选，则共有种选派方案．13．（5分）已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，且∠A1AB＝∠A1AD ＝60°，则当＝时，AC1⊥A1B．14．（5分）现将6人A，B，C，D，E，F随机排成一排，则事件“A与B相邻，且A与C 不相邻”的概率为．二、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．（14分）在区间[1，5]上任取一个数记为m，在区间[1，4]上任取一个数记为n．（1）若m，n∈N*，求方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率；（2）若m，n∈R，求方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率．16．（14分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点P的极坐标为（2，），曲线C的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ＝1，曲线D的参数方程为（α为参数）．曲线C和曲线D相交于A，B两点．（1）求点P的直角坐标；（2）求曲线C的直角坐标方程和曲线D的普通方程；（3）求△P AB的面积S．17．（15分）某校举行校园达人秀初赛，共有3名评委老师参加评审，某一节目至少有2名评委老师同意通过，则该节目晋级．假如该校高二（1）班共有2名选手参加比赛，其中甲选手获得每位评委老师同意通过的概率均为，乙选手获得每位评委老师同意通过的概率均为，各评委老师评审的结果相互独立．（1）分别求甲、乙两名选手晋级的概率；（2）设高二（1）班甲、乙两选手的晋级的人数为X，试求随机变量X的概率分布列．18．（15分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝6，AB＝2，M，N分别是棱B1B，BC的中点．（1）用向量方法证明：A1M∥平面D1AN；（2）求A1D1与平面D1AN所成角的正弦值；（3）在平面AA1B1B内是否存在一点P，使得PD⊥平面D1AN？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．19．（16分）有N个人随机等可能地抢n（1≤n≤N）个红包，红包金额互不相同，且全部被抢光．（1）若每人最多可以抢一个红包，则有多少种结果？若每人可以抢多个红包，则有多少种结果？（2）记“某指定的人恰好抢到k（k≤n）个红包”为事件A k，求事件A k的概率P（A k）；（3）求某指定的人抢到的红包个数X的数学期望E（X），请写出推理过程．20．（16分）设（3+2）n＝a n+b n（n∈N*，a n∈Z，b n∈Z）．（1）求a3，b3的值；（2）证明：对于任意的n∈N*，a n为奇数；（3）对于任意的n∈N*，a n2﹣2b n2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由．2015-2016学年江苏省泰州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共60分）．1．【解答】解：一组数据8，12，10，11，9的均值为：＝（8+12+10+11+9）＝10．故答案为：10．2．【解答】解：∵＝10×9×8＝，∴m＝3．故答案为：3．3．【解答】解：某校高二年级1000名学生中，血型为O型的有400人，A型的有250人，B型的有250人，AB型的有100人，为了研究血型与色弱之间的关系，要从中抽取1个容量为100的样本，则应从O型血的学生中抽取：＝40人．故答案为：40．4．【解答】解：经过第一次循环得到的结果为s＝1，n＝2，经过第二次循环得到的结果为s＝3，n＝3，经过第三次循环得到的结果为s＝6，n＝4，经过第四次循环得到的结果为s＝10，n＝5，此时满足判断框中的条件输出10，故答案为：10．5．【解答】解：圆的半径为2，∴圆的面积为S＝π×22＝4π．故答案为：4π．6．【解答】解：如果（1+x）n展开式中，第三项和第七项的系数相等，则有∁n2＝∁n6，∴2+6＝n，解得n＝8，故答案为：8．7．【解答】解：从第0﹣2米范围剪开，第二段的长度大于3米，其概率是，从第3﹣5米范围剪开，第一段的长度大于3米，其概率是，故满足条件的概率是：+＝，故答案为：．8．【解答】解：该样本在[125，150]内的频数为100，由频率分布直方图得该样本在[125，150）内的频率为0.008×25＝0.2，∴n＝＝500．故答案为：500．9．【解答】解：∵随机变量X的均值E（X）为2.5，∴由随机变量X的概率分布列，得：，解得a＝，，∴V（X）＝（1﹣2.5）2×+（2﹣2.5）2×+（3﹣2.5）2×+（4﹣2.5）2×＝．故答案为：．10．【解答】解：∵向量，，满足2+＝（0，﹣5，10），＝（1，﹣2，﹣2），且•＝﹣18，∴[（0，﹣5，10）﹣2]•＝（0，﹣5，10）•（1，﹣2，﹣2）﹣2＝﹣18，可得：•＝4．故答案为：4．11．【解答】解：（x﹣）9展开式中的各项系数之和为﹣1，令x＝1时，（1﹣a）9＝﹣1，解得a＝2，则（x﹣）9展开式中的通项公式为C9r（﹣2）r x9﹣3r，令9﹣3r＝0，解得r＝3，故该展开式中的常数项为C93（﹣2）3＝﹣672，故答案为：﹣67212．【解答】解：第一类，甲入选，有C82＝28种，第二类，甲不入选，有C83＝56种，根据分类计数原理可得28+56＝84种，故选：8413．【解答】解：设A1在底面ABCD内的射影为P，过P作PM⊥AB，PN⊥AD，连结A1P，A1M，A1N，则A1M⊥AB，A1N⊥AD，∵∠A1AB＝∠A1AD＝60°，∴A1M＝A1N，∴PM＝PN，∴P在∠DAB的角平分线上，∴∠MAP＝45°，设AM＝a，则AP＝，AA1＝2a，∴∠A1AP＝45°，设AC，BD交点为O，以O为原点，以AC，BD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：设AB＝1，AA1＝m，则A（﹣，0，0），A1（﹣+m，0，），B（0，，0），C1（+，0，），∴＝（+，0，），＝（﹣，，﹣），若AC1⊥A1B，则•＝0，即（+）•（﹣）﹣＝0，解得m＝．∴＝．故答案为：．14．【解答】解：现将6人A，B，C，D，E，F随机排成一排，基本事件总数n＝，事件“A与B相邻，且A与C不相邻”的基本事件个数m＝，事件“A与B相邻，且A与C不相邻”的概率为p＝＝＝．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．【解答】解：（1）∵在区间[1，5]上任取一个数记为m，在区间[1，4]上任取一个数记为n，m，n∈N*，∴m＝1，2，3，4，5，n＝1，2，3，4，∴基本事件总数N＝5×4＝20，∵方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴m＞n，满足条件的基本事件（m，n）有10个，分别是：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），∴方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率p1＝＝．（2）∵在区间[1，5]上任取一个数记为m，在区间[1，4]上任取一个数记为n，m，n∈R，∴D：，∵方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴（m，n）满足d：，∴方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率：p2＝＝＝．16．【解答】解：（1）P点的直角坐标为（0，2）；（2）曲线C的直角方程为：x﹣y﹣1＝0；曲线D的直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2＝1．（3）曲线D的圆心（1，0）到直线C的距离＝0，∴曲线C经过圆D的圆心，∴|AB|＝2，又P（0，2）到直线AB的距离d＝＝，∴S△P AB＝＝＝．17．【解答】解：（1）设甲、乙两名选手晋级的概率分别为P1，P2，则P1＝＝，P2＝＝＝．（2）由题意X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，∴X的分布列为：18．【解答】证明：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），A1（0，0，6），D1（0，2，6），M（2，0，3），N（2，1，0），＝（2，0，﹣3），＝（2，1，0），＝（0，2，6），设平面D1AN的一个法向量为＝（x，y，z），则，取z＝2，得＝（3，﹣6，2），∵＝0，A1M⊄平面D1AN，∴A1M∥平面D1AN．解：（2）＝（0，2，0），设A1D1与平面D1AN所成角为θ，则sinθ＝＝＝，∴A1D1与平面D1AN所成角的正弦值为．（3）设P（x，0，z），∵D（0，2，0），则＝（x，﹣2，z），∵PD⊥平面D1AN，∴，解得x＝1，z＝﹣，∴P（1，0，﹣），∴在平面AA1B1B内存在一点P，使得PD⊥平面D1AN，点P为矩形AA1B1B内距离AA1有1个单位长度，距离AB有个单位长度的点．19．【解答】解：（1）若每人最多可以抢一个红包，则有种结果，若每人可以抢多个红包，则有N n种结果．（2）记“某指定的人恰好抢到k（k≤n）个红包”为事件A k，则事件A k的概率P（A k）＝．（3）当n≥2时，kP（A k）＝＝＝＝，又E（X）＝0×P（A0）+1×P（A1）+2×P（A2）+…+k×P（A k）+…+n×P（A n）＝[++…+]＝＝．当n＝1时，E（X）＝，综上，E（X）＝．20．【解答】（1）解：∵（3+2）3＝＝27++72+＝．∴a3＝99，b3＝70；（2）证明：∵（3+2）n＝＝，∴＝2[]+1为奇数；（3）解：对于任意的n∈N*，a n2﹣2b n2是否为定值1．事实上：∵＝，＝．∴由（3+2）n＝a n+b n（n∈N*，a n∈Z，b n∈Z），得（3﹣2）n＝a n﹣b n（n∈N*，a n∈Z，b n∈Z）．又∵（3+2）n•（3﹣2）n＝1，∴（a n+b n）•（a n+b n）＝a n2﹣2b n2＝1．。
2015年7月泰州市高二数学期末联考试题
泰州市2014～2015学年度第二学期期末考试高二数学试题(考试时间：120分钟 总分：160分)命题人：朱占奎 张圣官 展国培 张敏审题人：丁凤桂 杨鹤云注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．若集合{2,3},{2,4,6}A B ==，则AB = ▲ ． 2．复数2(12i)+的共轭复数为 ▲ ．3．设函数()f x =A ，则集合A Z 中元素的个数为▲ ．4．曲线()y f x =在x=2处的切线方程为6y x =-+，则(2)(2)f f '+= ▲ ．5．已知复数z 满足条件|7||34i |z -=+，则||z 最小为 ▲ ．6．设113312111(),(),log 233a b c ===，则,,a b c 由小到大依次为 ▲ ．（用“<”连接） 7．记等差数列{}n a 前n 项和为n S ，利用相应的方法可得1()2n n n a a S +=；类似地，记正项等比数列{}n b 前n 项积为n T ，也可将n T 表示成首项1b 、末项n b 及项数n 的一个关系式，结论为n T = ▲ ．8．设全集U R =，集合{|(1)(4)0},{|2}S x x x T x m x m =--≤=≤≤+，若()U S T =∅，则实数m 的取值范围是 ▲ ．9．已知函数100,0()lg ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则1(())2f f = ▲ ． 10．当函数21()log (),[,)f x x x a x =-∈+∞的值域为[0,)+∞时，实数a 的值为 ▲ ．11．请观察下列几个不等式：1111212⋅≥⋅，11111(1)()33224⋅+≥⋅+， 1111111(1)()4353246⋅++≥⋅++，……，由此猜测第()n n N *∈个不等式为 ▲ ． 12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 的图象关于直线1x =对称，若当02x ≤≤时，2()f x x bx =+，则(2015)f = ▲ ．13．已知函数2log 1()3(1)1xx f x f x m x ≥⎧=⎨++<⎩是(,)-∞+∞上的增函数，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．已知函数()x e f x x =， 1()g x x x=+，()[()][()]h x f x a g x a =-+，下列四个命题： ①(0,),()()x f x g x ∀∈+∞>恒成立；②(,0)x ∃∈-∞，使得()()f x g x <成立；③当20a -<<或2a =时，()h x 有且只有一个零点；④若()h x 有且只有三个零点，则2a <-或a e =其中真命题有 ▲ ．（填上所有真命题的序号）二、解答题：（本大题共6小题,共90分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15．（本题满分14分）⑴求304831()1)log 9log 1681-++⨯的值； ⑵已知16a a -+=，求22a a -+和1122a a -+的值．16．（本题满分14分）设复数122i,43i z a z =+=-．⑴当a =1时，求12z z ； ⑵若12z z 为纯虚数，求实数a 的值．17．（本题满分14分）销售甲、乙两种商品所得利润分别是P （单位：万元）和Q （单位：万元），它们与投入资金t （单位：万元）的关系有经验公式15P t =，Q =10万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对乙种商品投资x （单位：万元），[0,10]x ∈．⑴试建立总利润y （单位：万元）关于x 的函数关系式()y f x =；⑵试问怎样投资，才能使得总利润最大？并求出该最大值．18．（本题满分16分）已知二次函数2()1f x x bx =++．⑴若函数()f x 在[1,)+∞单调递增，求实数b 的取值范围；⑵是否存在实数b ，使得函数()f x 在区间[0,1]上有两个不同的零点？若存在，求实数b 的取值范围，若不存在，说明理由； ⑶若1()()2f x f ≥-对x R ∈恒成立，求证：当0x >时，2()2x f x x e<+．19．（本题满分16分） 已知函数2()1f x x a x =--．⑴若()y f x =是偶函数，求a 的值；⑵当0a <时，直接写出函数()y f x =的单调区间(不需给出演算步骤)；⑶当0a >时，求函数()y f x =，[0,4]x ∈的最小值()g a 和最大值()h a ．20．（本题满分16分）已知函数()ln (0)f x x x =>．⑴设()()g x xf x =，求函数()yg x =的极值； ⑵判断函数2()()h x x f x x =+的单调性，并证明；⑵若对任意两个互不相等的正数12,x x，都有1212()()f x f x kf x x -<-恒成立，求实数k 的最小值． 2014～2015学年度第二学期期末联考高二数学试题参考答案1．{2} 2．33i -- ．5 4．3 5．26．b a c << 78．[1,2] 9．14 1011．1111111(1)()1321242n n n n++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅++- 12．1- 13．3m ≤- 14．①③④15．解：⑴∵333434441()81(3)32781-==== …………………2分01)1= …………………4分83lg9lg162lg34lg 28log 9log 16lg8lg33lg 2lg33⨯=⨯=⨯= …………………6分 ∴3483192()log 9log 16813-+⨯= …………………7分 ⑵∵16a a -+=∴12()36a a -+=，展开得22236a a -++=∴2234a a -+= …………………10分∵21112228a a a a --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，且0a >∴1122a a -+= …………………14分（注：若先解出3a =±）16．解：⑴∵12(12i)(43i)105i z z =+-=+ …………………3分∴12z z == …………………6分 ⑵122i (2i)(43i)4638i 43i (43i)(43i)2525z a a a a z +++-+===+--+ ………………10分 ∵12z z 为纯虚数∴4602538025a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩ …………………13分 解得32a =…………………14分17．解：⑴∵总投入为10万元，且对乙种商品投资x 万元∴对甲种商品的投资为10x -万元 ∴1(10)5P x =-，Q = …………………3分∴1(10)5y x =-∴1()25f x x =-，[0,10]x ∈ …………………6分 ⑵2314'()55f x x -=-+ …………………8分 由'()0f x =得8x = …………………9分x 0 (0,8) 8 (8,10)10 '()f x +0 - ()f x 2265从上表中可知，当8x =时，总利润取得最大值265…………………13分 答：对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资8万元时，总利润取得最大值265万元． ………………14分18．解：⑴由题意得，对称轴12b x =-≤ 解得2b ≥- …………………3分⑵不存在实数b ，使得函数()f x 在区间[0,1]上有两个零点． ………4分证明如下：假设存在实数b ，使得函数()f x 在区间[0,1]上有两个零点 则(0)0(1)00012f f b ≥⎧⎪≥⎪⎪⎨∆>⎪⎪<-<⎪⎩，即2102040012b b b ≥⎧⎪+≥⎪⎪⎨->⎪⎪<-<⎪⎩，此不等式组无解故不存在实数b ，使得函数()f x 在区间[0,1]上有两个不同的零点． …………………9分 ⑶∵1()()2f x f ≥-对x R ∈恒成立 ∴1b = …………………10分 设2()1()(0)x x f x x xg x x e e ++==>，则2'()xx x g x e -+= ∴函数()g x 在区间(0,1]上单调递增，在区间[1,)+∞单调递减 ∴3()(1)g x g e≤= …………………14分 又∵222x +>∴当0x >时，2()2x f x x e<+． …………………16分19．解：⑴∵()y f x =是偶函数∴x R ∀∈，都有()()f x f x -= 即22()11x a x x a x ----=-- 整理得(11)0a x x +--=，x R ∀∈都成立∴0a = …………………3分（注：也可由(1)(1)f f -=得0a =再检验，同样给分；若不检验扣1分．）⑵①当2a ≤-时，增区间为(1,)+∞，减区间为(,1)-∞…………………6分 ②当20a -<<时，增区间为(,)2a -+∞，减区间为(,)2a -∞- ……9分 ⑶①当02a <≤时，()f x 在区间[0,4]单调递增，此时min max (0),(4)163y f a y f a ==-==- …………………11分 ②当28a <<时，2min min{(0),()}min{,}24a a y f f a a a ==--=- max 158max{(1),(4)}max{1,163}16325a y f f a a a ≤<⎧==-=⎨-<<⎩…………………13分③当8a ≥时，min min{(0),(4)}min{,163}163y f f a a a ==--=-max (1)1y f == …………………15分综上可知08()1638aa g a a a -<<⎧=⎨-≥⎩，16305()15a a h a a -<<⎧=⎨≥⎩． …………………16分20．解：⑴()ln g x x x =，'()ln 1g x x =+由'()0g x =得1x e=- x1(0,)e 1e 1(,)e +∞ '()f x- 0 + ()f x1e-从上表中可知，()y g x =的极小值为11()g e e=-，无极大值．………4分 ⑵函数()h x 在(0,)+∞的单调递增．2()ln h x x x x =+，'()2ln 1h x x x x =++ 由⑴可知，1()ln g x x x e=≥-，且0x > ∴'()2ln 10h x x x x =++>∴函数2()()h x x f x x =+在(0,)+∞的单调递增 …………………8分⑶不妨设12x x <，1'()f x x=12211221()()ln ln f x f x x x kf x x x x --<⇔<--21lnxk kx⇔<=（*）t=，则（*）12ln()t k tt⇔<-，(1)t>设1()()2lnx k t ttϕ=--，则原命题等价于1()()2ln0t k t ttϕ=-->在(1,)+∞上恒成立…………………10分222'()kt t kttϕ-+=①当0k≤时，'()0tϕ≤，()tϕ在(1,)+∞上单调递减，()(1)0tϕϕ<=，故0k≤不符合题意；…………………11分②当0k>时，(i)当2440k∆=-≤，即1k≥时，'()0tϕ≥，()tϕ在(1,)+∞上单调递增，()(1)0tϕϕ>=，故1k≥符合题意；…………………12分(ii)当01k<<时，2440k∆=->，设方程220kt t k-+=的两根分别为12,t t且12t t<，则1201t t<<<，且当2(1,]x t∈时，'()0tϕ≤，当2[,)t+∞时，'()0tϕ≥所以()tϕ在2(1,]t上单调递减，在2[,)t+∞上单调递增故2()(1)0tϕϕ<=，与()0tϕ>在(1,)+∞上恒成立矛盾，故01k<<不符合题意…………………15分综上可知实数k的最小值为1．…………………16分。
江苏省泰州市2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题
2014～2015学年度第一学期期末考试高二数学试题（理科）(考试时间：120分钟 总分：160分)命题人：张圣官 展国培 肖杉 张敏审题人：杨鹤云 石志群注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 参考公式：圆锥的侧面积公式S rl π=；棱锥的体积公式13V Sh =． 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．一质点运动的位移()s m 与时间()t s 的关系式是102+=t s ，则当3t s =时的瞬时速度 是 ▲ /m s ．2．双曲线22144x y -=的两条渐近线方程是 ▲ ． 3．已知圆锥的母线长为5，底面圆半径为3，那么它的侧面积为 ▲ ． 4．函数xy e =在点()0,1处的切线方程是 ▲ ．5．若方程22222230x y mx m m +-++-=表示圆，则实数m 的范围是 ▲ ． 6．函数33y x x =-的极小值是 ▲ ．7．若两圆22()4x m y -+=与22(1)(2)9x y m ++-=相内切．．．，则实数m 的值为 ▲ ． 8．关于直线,,a b l 以及平面,M N ，下面命题中真命题的序号是 ▲ ． ⑴若//,//a M b M ，则//a b ； ⑵若,//a M a N ⊥，则M N ⊥； ⑶若,a M b M ⊂⊂，且,l a l b ⊥⊥，则l M ⊥； ⑷若//,a b b M ⊂，则//a M ．9．椭圆192522=+y x 上一点到左焦点的距离是4， 则它到椭圆的右准线的距离是 ▲ ．10．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -所有棱长均为a ，D 为1BB 上一点，则三棱锥1C ACD -的体积为 ▲ ．11．1122(,),(,)A x y B x y 是抛物线22y x =上相异的两点，且在x 轴同侧，点(1,0)C ．若直线,AC BC 的斜率互为相反数，则12y y = ▲ ．12．已知圆4:22=+y x O 和圆O 外一点()00,y x P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为B A ,，且1A AB（第10题图）0120=∠AOB ．若点()06，C 和点P 满足PO PC λ=，则λ的范围是 ▲ ． 13．C 是椭圆()012222>>=+b a by a x 上位于第一象限内的点，A 是椭圆的右顶点，F 是椭圆的右焦点，且OF OC =．当OC AC ⊥时，椭圆的离心率为 ▲ ． 14．已知关于x 的不等式21ln 22x x x cx ≤-+-有解，则正整数c 的最小值为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题,共90分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是,AB BC 的中点． 求证：⑴//EF 平面1AB C ； ⑵平面1AB C ⊥平面11BDD B ． 16．（本题满分14分）已知圆C 过两点()()04,46A B ，，，且圆心在直线220x y --=上． ⑴求圆C 的方程；⑵若直线l 过原点且被圆C 截得的弦长为6，求直线l 的方程．1如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，3PA =，2AD =，23AB =，6BC =． (1)求异面直线BD 与PC 所成角的大小； (2)求二面角P DC B --的余弦值．18．（本题满分15分）如图，已知海岛A 到海岸公路BC 的距离AB 为50km ，B ，C 间的距离为100km ，从A 到C ，必须先坐船到BC 上的某一点D ，船速为25/km h ，再乘汽车到C ，车速为50/km h ，设∠=BDA θ．记BCA α∠=（α为确定的锐角，满足1tan 2α=） ⑴试将由A 到C 所用的时间t 表示为θ的函数()t θ，并指出函数的定义域； ⑵问θ为多少时，由A 到C 所用的时间t 最少？请求出最少的时间．θDCBA如图所示，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点和上顶点分别为,A B ，2D 为椭圆上一点，且//OD AB ．⑴求椭圆的标准方程；⑵'D 与D 关于x 轴对称，P 为线段'OD 延长线上一点，直线PA 交椭圆于另外一点E ，直线PB 交椭圆于另外一点F ，①求直线PA 与PB 的斜率之积；②直线AB 与EF 是否平行？说明理由．20．（本题满分16分） 已知函数()ln ln (0)f x x x a x =-->，其中0a > ⑴求函数21()()(1)ln 2h x f x x ax a x =+-+-的单调递增区间； ⑵若函数()f x 有两个零点12,x x ，且12x x <，求实数a 的取值范围，并证明21x x 随a 的增大而减小．2014～2015学年度第一学期期末联考 高二数学试题（理科）参考答案1．6 2．y x =± 3．15π 4． 1y x =+ 5．(3,1)-6．2- 7．0或25-8．⑵ 9．15210．312a11．2 12．2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦1314．315．（本小题满分14分）证明：⑴∵,E F 分别是,AB BC 的中点∴//EF AC …………………2分 又∵EF ⊄平面1AB C ，AC ⊂平面1AB C∴//EF 平面1AB C ． …………………7分⑵正方形ABCD 中，ACBD ⊥正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面ABCD∴1BB AC ⊥ …………………10分 ∴AC ⊥平面11BDD B ∵AC ⊂平面1AB C∴平面1AB C ⊥平面11BDD B ． …………………14分16．（本小题满分14分） 解：⑴线段AB 的垂直平分线为290x y +-=圆心(4,1)C ， …………………3分半径5r =故所求圆C 的标准方程为22(4)(1)25x y -+-= …………………7分 ⑵当直线l 的斜率不存在时，0x =显然满足题意； …………………9分 当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y kx = ∵弦长为6，∴圆心C 到直线l 的距离4d = …………………11分4=，解得158k =-，此时直线l ：1580x y +=…………………13分故所求直线l 的方程为0x =或1580x y +=．…………………14分 注：少写0x =扣2分．17．（本小题满分15分）解：以直线,,AB AD AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，(0,0,0),(23,0,0,),(23,6,0),(0,2,0),(0,0,3)A B C D P⑴(23,2,0),(23,6,3)BD PC =-=- ∵0BD PC ⋅=异面直线BD 与PC 所成的角为2π．…………………7分 ⑵平面BCD 的法向量为1(0,0,1)n =…………………9分设平面PCD 的法向量为2(,,)n x y z =(23,4,0),(0,2,3)DC PD ==- 222340230n DC y n PD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 解得平面PCD 的一个法向量为2(23,3,2)n =--…………………13分法向量1n ，2n 夹角的余弦值为25，即二面角P －DC －B 的余弦值为25．…………15分注：答案是25-扣2分．18．（本小题满分15分）解：⑴50sin =AD θ，所以A 到D 所用时间12sin =t θ， 5050cos tan sin ==BD θθθ，50cos 100100sin =-=-CD BD θθ，所以D 到C 所用时间2cos 2sin =-t θθ， 所以122cos ()2sin -=+=+t t t θθθ ，定义域为(,)2πα． ………5分⑵222sin (2cos )cos 12cos ()sin sin ---'==t θθθθθθθ ………8分 令()0'>t θ1cos 2⇒<θ32⇒<<ππθ；所以(,)32∈ππθ，()t θ单调增；………10分因为BCA α∠=，则3παθ<<时，()0'<t θ，所以(,)3πθα∈，()t θ单调减；………12分因此，3=πθ，()t θ取到最小值2．………14分答：当3=πθ时，由A 到C 的时间t 最少，最少时间为2小时．………15分注：若定义域写成闭区间[,]2πα不扣分；若写成(0,)2π扣2分．19．（本小题满分16分）解：⑴(,0),(0,)A a B b - ∵//OD AB ，2D ∴12b a =且222112a b += 解得224,1a b ==∴椭圆的标准方程为2214x y +=． ………4分⑵①(2,0),(0,1),2A B D --，直线'OD ：12y x =- 设00(,)P x y ，则00001,2PA PB y y k k x x -==+，且0012y x =- ∴000000001(2)(1)14(2)(2)4PA PB x x y y k k x x x x +-⋅===++． ………8分 ②直线//AB EF ． ………9分设1122(,),(,)E x y F x y ，直线PA ：1(2)y k x =+，代入椭圆方程2244x y +=得 22214(2)4x k x ++=，整理得2211(2)[(41)82]0x k x k +++-=解得211212841k x k -=+，从而2112211284(,)4141k k E k k -++ ………11分设直线PB ：21y k x =+，代入椭圆方程2244x y +=得2224(1)4x k x ++=，整理得222[(41)8]0x k x k ++=解得2222841k x k =-+，从而2222222814(,)4141k k F k k --++ ………13分由⑵可知1214k k =，所以2112211841(,)4141k k F k k --++∴直线EF 的斜率为211222111122111122114144141441182888224141k k k k k k k k k k k k --++--==-----++ ………15分 又∵直线AB 的斜率为1010(2)2-=-- 所以直线//AB EF ．………16分20．（本小题满分16分）解：（1） 21()ln (1)ln 2h x a x x a x a =+-+-，定义域为(0,)+∞且0a >， 因为2(1)()(1)'()(1)a x a x a x a x h x x a x x x-++--=+-+==， ………2分①当1a =时，()0h x '≥恒成立，所以()h x 的单调递增区间为(0,)+∞； ………3分 ②当1a >时，所以()h x 的单调递增区间为(0,1)或(,)a +∞； ………5分 ③当01a <<时，所以()h x 的单调递增区间为(0,)a 或(1,)+∞． ………7分（2）由11()10x f x-'=-==，得1x =．当x 变化时，()f x '、()f x 的变化如下表：………10分这时，()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞．当x 大于0且无限趋近于0时，()f x 的值无限趋近于-∞；当x 无限趋近于+∞时，()f x 的值无限趋近于-∞．所以()f x 要有两个零点，须满足(1)f >0，即ln 1a <-，所以a 的取值范围是1(0,)e -． ………12分 因为12,x x 是函数()f x 的两个零点，即11ln ln 0x x a --=，22ln ln 0x x a --=，则11x x a e =，22x x a e=．因为(1)ln 1f a =--且1(0,)a e -∈，则得12(0,1),(1,)x x ∈∈+∞． 设()x x F x e =，则1()x xF x e-'=，所以()F x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减．对于任意的112,(0,)a a e -∈，且12a a >，设121()()F F a ξξ==，其中1201ξξ<<<；122()()F F a ηη==，其中1201ηη<<<； 因为()F x 在(0,1)上单调递增，故由12a a >，即11()()F F ξη>，可得11ξη>； 类似可得22ξη< ．由110ξη>>，则1111ξη<，所以2211ξηξη< ． 所以，21x x 随a 的增大而减小． ………16分。
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泰州市2014～2015学年度第二学期期末考试高二数学试题(考试时间：120分钟 总分：160分)命题人：朱占奎 张圣官 展国培 张敏审题人：丁凤桂 杨鹤云注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．若集合{2,3},{2,4,6}A B ==，则A B = ▲ ．2．复数2(12i)+的共轭复数为 ▲ ．3．设函数()f x 的定义域为集合A ，则集合A Z 中元素的个数为▲ ．4．曲线()y f x =在x=2处的切线方程为6y x =-+，则(2)(2)f f '+= ▲ ． 5．已知复数z 满足条件|7||34i |z -=+，则||z 最小为 ▲ ．6．设113312111(),(),log 233a b c ===，则,,a b c 由小到大依次为 ▲ ．（用“<”连接）7．记等差数列{}n a 前n 项和为n S ，利用相应的方法可得1()2n n n a a S +=；类似地，记正项等比数列{}n b 前n 项积为n T ，也可将n T 表示成首项1b 、末项n b 及项数n 的一个关系式，结论为n T = ▲ ．8．设全集U R =，集合{|(1)(4)0},{|S x x x T x m x m =--≤=≤≤+，若()U S T =∅ð，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 9．已知函数100,0()lg ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则1(())2f f = ▲ ．10．当函数21()log (),[,)f x x x a x=-∈+∞的值域为[0,)+∞时，实数a 的值为 ▲ ．11．请观察下列几个不等式：1111212⋅≥⋅，11111(1)()33224⋅+≥⋅+， 1111111(1)()4353246⋅++≥⋅++，……，由此猜测第()n n N *∈个不等式为 ▲ ． 12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 的图象关于直线1x =对称，若当02x ≤≤时，2()f x x bx =+，则(2015)f = ▲ ．13．已知函数2log 1()3(1)1xx f x f x mx ≥⎧=⎨++<⎩是(,)-∞+∞上的增函数，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．已知函数()xe f x x=， 1()g x x x =+，()[()][()]h x f x a g x a =-+，下列四个命题：①(0,),()()x f x g x ∀∈+∞>恒成立； ②(,0)x ∃∈-∞，使得()()f x g x <成立；③当20a -<<或2a =时，()h x 有且只有一个零点； ④若()h x 有且只有三个零点，则2a <-或a e =其中真命题有 ▲ ．（填上所有真命题的序号）二、解答题：（本大题共6小题,共90分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）⑴求304831()1)log 9log 1681-++⨯的值；⑵已知16a a-+=，求22a a -+和1122a a -+的值．16．（本题满分14分） 设复数122i,43i z a z =+=-． ⑴当a =1时，求12z z ；⑵若12z z 为纯虚数，求实数a 的值． 17．（本题满分14分）销售甲、乙两种商品所得利润分别是P （单位：万元）和Q （单位：万元），它们与投入资金t （单位：万元）的关系有经验公式15P t =，Q =10万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对乙种商品投资x （单位：万元），[0,10]x ∈． ⑴试建立总利润y （单位：万元）关于x 的函数关系式()y f x =； ⑵试问怎样投资，才能使得总利润最大？并求出该最大值．18．（本题满分16分） 已知二次函数2()1f x x bx =++．⑴若函数()f x 在[1,)+∞单调递增，求实数b 的取值范围；⑵是否存在实数b ，使得函数()f x 在区间[0,1]上有两个不同的零点？若存在，求实数b 的取值范围，若不存在，说明理由；⑶若1()()2f x f ≥-对x R ∈恒成立，求证：当0x >时，2()2x f x x e<+．19．（本题满分16分） 已知函数2()1f x x a x =--．⑴若()y f x =是偶函数，求a 的值；⑵当0a <时，直接写出函数()y f x =的单调区间(不需给出演算步骤)；⑶当0a >时，求函数()y f x =，[0,4]x ∈的最小值()g a 和最大值()h a ．20．（本题满分16分） 已知函数()ln (0)f x x x =>． ⑴设()()g x xf x =，求函数()yg x =的极值；⑵判断函数2()()h x x f x x =+的单调性，并证明；⑵若对任意两个互不相等的正数12,x x ，都有1212()()f x f x kf x x -<-恒成立，求实数k 的最小值．2014～2015学年度第二学期期末联考高二数学试题参考答案1．{2} 2．33i -- ．5 4．3 5．2 6．b a c << 78．[1,2] 9．14 10．1211．1111111(1)()1321242n n n n ++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅++- 12．1- 13．3m ≤- 14．①③④15．解：⑴∵333434441()(3)32781-==== …………………2分01)1= …………………4分83lg9lg162lg34lg 28log 9log 16lg8lg33lg 2lg33⨯=⨯=⨯= …………………6分 ∴3483192()log 9log 16813-+⨯= …………………7分⑵∵16a a -+=∴12()36a a -+=，展开得22236a a -++=∴2234a a -+= …………………10分∵21112228a a a a --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，且0a >∴1122a a-+= …………………14分（注：若先解出3a =±）16．解：⑴∵12(12i)(43i)105i z z =+-=+ …………………3分∴12z z == …………………6分 ⑵122i (2i)(43i)4638i 43i (43i)(43i)2525z a a a a z +++-+===+--+ ………………10分 ∵12z z 为纯虚数 ∴4602538025a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩ …………………13分解得32a = …………………14分17．解：⑴∵总投入为10万元，且对乙种商品投资x 万元 ∴对甲种商品的投资为10x -万元∴1(10)5P x =-，Q = …………………3分∴1(10)5y x =-+∴1()25f x x =-+，[0,10]x ∈ …………………6分 ⑵2314'()55f x x -=-+ …………………8分由'()0f x =得8x = …………………9分x 0(0,8) 8 (8,10) 10'()f x+0 -()f x 2265从上表中可知，当8x =时，总利润取得最大值265…………………13分 答：对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资8万元时，总利润取得最大值265万元． ………………14分 18．解：⑴由题意得，对称轴12b x =-≤ 解得2b ≥- …………………3分 ⑵不存在实数b ，使得函数()f x 在区间[0,1]上有两个零点． ………4分 证明如下：假设存在实数b ，使得函数()f x 在区间[0,1]上有两个零点则(0)0(1)00012f f b ≥⎧⎪≥⎪⎪⎨∆>⎪⎪<-<⎪⎩，即2102040012b b b ≥⎧⎪+≥⎪⎪⎨->⎪⎪<-<⎪⎩，此不等式组无解 故不存在实数b ，使得函数()f x 在区间[0,1上有两个不同的零点． …………………9分⑶∵1()()2f x f ≥-对x R ∈恒成立 ∴1b = …………………10分设2()1()(0)x x f x x x g x x e e ++==>，则2'()xx xg x e-+= ∴函数()g x 在区间(0,1]上单调递增，在区间[1,)+∞单调递减∴3()(1)g x g e≤= …………………14分 又∵222x +>∴当0x >时，2()2x f x x e<+． …………………16分 19．解：⑴∵()y f x =是偶函数 ∴x R ∀∈，都有()()f x f x -=即22()11x a x x a x ----=--整理得(11)0a x x +--=，x R ∀∈都成立∴0a = …………………3分 （注：也可由(1)(1)f f -=得0a =再检验，同样给分；若不检验扣1分．） ⑵①当2a ≤-时，增区间为(1,)+∞，减区间为(,1)-∞…………………6分②当20a -<<时，增区间为(,)2a -+∞，减区间为(,)2a-∞- ……9分 ⑶①当02a <≤时，()f x 在区间[0,4]单调递增，此时min max (0),(4)163y f a y f a ==-==- …………………11分②当28a <<时，2min min{(0),()}min{,}24a a y f f a a a ==--=-max 158max{(1),(4)}max{1,163}16325a y f f a aa ≤<⎧==-=⎨-<<⎩ …………………13分③当8a ≥时，min min{(0),(4)}min{,163}163y f f a a a ==--=-max (1)1y f == …………………15分综上可知08()1638a a g a a a -<<⎧=⎨-≥⎩，16305()15a a h a a -<<⎧=⎨≥⎩．…………………16分20．解：⑴()ln g x x x =，'()ln 1g x x =+ 由'()0g x =得1x e=-x1(0,)e 1e1(,)e+∞ '()f x -+()f x1e-从上表中可知，()y g x =的极小值为11()g e e=-，无极大值．………4分⑵函数()h x 在(0,)+∞的单调递增．2()ln h x x x x =+，'()2ln 1h x x x x =++由⑴可知，1()ln g x x x e=≥-，且0x >∴'()2ln 10h x x x x =++>∴函数2()()h x x f x x =+在(0,)+∞的单调递增 …………………8分⑶不妨设12x x <，1'()f x x=12211221()()ln ln f x f x x x kf x x x x --<⇔<--21lnx k k x ⇔<=（*）t =，则（*）12ln ()t k t t ⇔<-，(1)t >设1()()2ln x k t t t ϕ=--，则原命题等价于1()()2ln 0t k t t tϕ=-->在(1,)+∞上恒成立 …………………10分222'()kt t kt t ϕ-+=①当0k ≤时，'()0t ϕ≤，()t ϕ在(1,)+∞上单调递减，()(1)0t ϕϕ<=，故0k ≤不符合题意； …………………11分 ②当0k >时，(i)当2440k ∆=-≤，即1k ≥时，'()0t ϕ≥，()t ϕ在(1,)+∞上单调递增，()(1)0t ϕϕ>=，故1k ≥符合题意； …………………12分(ii)当01k <<时，2440k ∆=->，设方程220kt t k -+=的两根分别为12,t t 且12t t <，则1201t t <<<，且当2(1,]x t ∈时，'()0t ϕ≤，当2[,)t +∞时，'()0t ϕ≥ 所以()t ϕ在2(1,]t 上单调递减，在2[,)t +∞上单调递增 故2()(1)0t ϕϕ<=，与()0t ϕ>在(1,)+∞上恒成立矛盾，故01k <<不符合题意 …………………15分 综上可知实数k 的最小值为1． …………………16分。