高二上数学期末6
2021年高二数学上学期期末复习模拟六(选择性必修一、选择性必修第二册数列)
高二期末模拟试题六高二数学期末模拟六范围(选择性必修一+数列)一、单选题1．已知直线l ：(3)(2)20m x m y m ++---=，点()21A --，，(22)B -，，若直线l 与线段AB 相交，则m 的取值范围为（）A ．(4][4)-∞-⋃+∞，，B ．(22)-，C ．3[8]2-，D ．(4)+∞，2．已知等差数列{}n a 的公差为正数，且3712a a ⋅=-，464a a +=-，则20S 为（）A ．90-B ．180-C ．90D ．1803．设O ABC -是正三棱锥，1G 是ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则x y z ++=（）．A ．14B ．12C ．34D ．14．已知(123)A -，，、(211)B -，，两点，则直线AB 与空间直角坐标系中的yOz 平面的交点坐标为（）A ．(000)，，B ．(057)-，，C ．51(0)33，D ．71(0)44，5．已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为（）A ．22(1)(1)2x y ++-=B ．22(1)(1)2x y -++=C ．22(1)(1)2x y -+-=D ．22(1)(1)2x y +++=6．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为030的直线与圆222x y b +=，则椭圆的离心率为（）A ．12B．2C ．34D ．327．已知数列{}n a 的前n 项和为11,2,4n n n n S a S a S +==+，则n a =（）A ．432n -B ．212n -C ．212n +D ．42n8．已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（）A．83+B．)41-C．83+D．)22-二、多选题9．（多选题）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知1匹4=丈，1丈=10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，2n an b =，对于数列{}n a 、{}n b ，下列选项中正确的为（）A ．1058b b =B ．{}n b 是等比数列C ．130105a b =D ．357246209193a a a a a a ++=++10．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若存在实数H ，使得对任意的n ∈N +，都有n S <H ，则称数列{a n }为“和有界数列”.下列说法正确的是（）A ．若{a n }是等差数列，且公差d =0，则{a n }是“和有界数列”B ．若{a n }是等差数列，且{a n }是“和有界数列”，则公差d =0C ．若{a n }是等比数列，且公比q <l ，则{a n }是“和有界数列”D ．若{a n }是等比数列，且{a n }是“和有界数列”，则{a n }的公比q <l11．定义空间两个向量的一种运算sin ,a b a b a b ⊗=⋅，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A ．()()a b a bλλ⊗=⊗B ．a b b a⊗=⊗ C ．()()()a b c a c b c+⊗=⊗+⊗D ．若()11,a x y =，()22,b x y = ，则122a b x y x y⊗=-12．已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，Q 是圆D ：221(1)5x y ++=上的动点，则（）A ．CB ．C 的离心率为6C ．圆D 在C 的内部D ．||PQ 的最小值为第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．已知过点()4,1P 的直线l 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积最小时，直线l 的方程为______．14．一条光线从点()2,1-射出，经x 轴反射后与圆()()22341x y -+-=相切，则反射光线所在直线的斜率为________.15．如图所示，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，1AB BC ==，动点P 、Q 分别在线段1C D 、AC 上，则线段PQ 长度的最小值是______．16．已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，22n n n S a a =+，n *∈N ，()()112122n n n n n n b a a +++=++，对任意的n *∈N ，n k T >恒成立，则k 的取值范围是______.四、解答题17．已知直线:3260l x y --=.（1）若直线1l 过点()1,2M -，且1l l ⊥，求直线1l 的方程；（2）若直线，且直线2l 与直线l2l 的方程.18．已知圆221:2610C x y x y +---=和222:1012450.C x y x y +--+=(1)求证：圆1C 和圆2C 相交；(2)求圆1C 和圆2C 的公共弦所在直线的方程和公共弦长．19．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知95S a =-．（1）若34a =，求{}n a 的通项公式；（2）若10a >，求使得n n S a ≥的n 的取值范围．20．设等比数列{}n a 的公比为q ，n S 是{}n a 的前n 项和，已知12a +，22a ，31a +成等差数列，且3241S a =-，1q >．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若4(2)n n T n S -=+成立，求n ．21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在线段AB上．（1）求异面直线1D E 与1A D 所成的角；（2）若二面角1D EC D --的大小为45 ，求点B 到平面1D EC 的距离．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，且椭圆C的右顶点到直线0x y -=的距离为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(2,0)P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求OAB 面积的最大值(O 为坐标原点）．参考答案1．C 【详解】直线l 方程变形得：(1)(322)0x y m x y +-+--=.由103220x y x y +-=⎧⎨--=⎩得4515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线l 恒过点4155C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，11354725ACk +==+，121154625BC k +==--，由图可知直线l 的斜率k 的取值范围为：116k ≤-或37k ≥，又32m k m +=--，∴11263m m ≤--+-或3273m m -≥+-，即28m <≤或322m -≤<，又2m =时直线的方程为45x =，仍与线段AB 相交，∴m 的取值范围为382⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.故选：C.2．D解：由等差数列{}n a 的公差为正数可得等差数列{}n a 为递增数列，464a a +=- ，374a a ∴=-+，与3712a a ⋅=-联立，由于公差为正数，∴解方程组可得376,2a a =-=，73273a a d -∴==-，13262210a a d =-=--⨯=-，()20120192019202010218022S a d ⨯⨯∴=+=⨯-+⨯=.故选：D.【点睛】本题考查等差数列性质的应用，考查等差数列基本量的计算及前n 项和的计算，是基础题.3．C 【详解】如下图所示，连接1AG 并延长交BC 于点D ，则点D 为BC 的中点，1G 为ABC 的重心，可得123AG AD =，而()()111222OD OB BD OB BC OB OC OB OB OC =+=+=+-=+，()1122123333OG OA AG OA AD OA OD OA OA OD=+=+=+-=+()()12113323OA OB OC OA OB OC =+⋅+=++，所以，13311111144333444OG OG OA OB OC OA OB OC ⎛⎫==++=++ ⎪⎝⎭，所以，14x y z ===，因此，34x y z ++=.故选：C.4．B解：设直线AB 与平面yOz 的交点为11(0)P y z ，，，（方法一）∵A 、B 、1P 三点共线，则1//APAB，∵(123)A -，，、(211)B -，，，∴111(1,2),3AP y z +-=- ，(1,3,4)AB =- ，则11231134y z +--==-，解得1157y z =-⎧⎨=⎩，则(057)P -，，，（方法二）∵A 、B 、1P 三点共线，则1(1)OPOA OB λλ=⋅+-⋅ ，则11(0,)(1,2,3)(1)(2,1,1),y z λλ=⋅-+-⋅-，则11022221133141y z λλλλλλλλλ=+-=-⎧⎪=-+-=-⎨⎪=-+=-⎩，解得11257y z λ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，则(057)P -，，，故选：B ．5．B 【详解】圆心在0x y +＝上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C 、D ；验证：A 中圆心(11)-，到两直线0x y -=的距离是=；圆心(11)-，到直线40x y --==≠A 错误．故选：B ．6．B 【解析】过点1F 倾斜角为030的直线方程为：)3y x c =+，即0x c +=，则圆心()0,0到直线的距离：2c d ==，由弦长公式可得：=，整理可得：2222222,,2b c a c c a c =∴-==则：212,22e e ==.本题选择B 选项.7．B【详解】因为14n n n S a S +=+，所以14n n n S S a +-=，即14n n a a +=，且12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，4为公比的等比数列，所以121242n n n a --=⨯=，故选：B.8．A【详解】双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+，由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+，据此可得：2||4BF =，又，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11||||BF AF =所以8)m =+，解得：83123m -=，所以1ABF ∆的周长为：11||||||AF BF AB ++=83121632(4)8162833m -++=+⨯=+故选：A 9．BD【详解】由题意可知，数列{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的公差为d ，15a =，由题意可得130********d a ⨯+=，解得1629d =，116129(1)29n n a a n d +∴=+-=，2n a n b =Q ，1112222n n n n a a a d n a n b b ++-+∴===（非零常数），则数列{}n b 是等比数列，B 选项正确；16805532929d =⨯=≠ ，()553105222d d b b ==≠，1058b b ∴≠，A 选项错误；3012951621a a d =+=+=，2113052105a b ∴=⨯>，C 选项错误；41161933532929a a d =+=+⨯=，51162094542929a a d =+=+⨯=，所以，357552464432093193a a a a a a a a a a ++===++，D 选项正确.故选：BD 10．BC【详解】{}n a 是等差数列，公差为d ，则1(1)2n n n S na d -=+，A ．0d =，则1n S na =，若10a ≠，则n →+∞时，n S →+∞，{a n }不是“和有界数列”，A 错；B ．若{a n }是“和有界数列”，则由21(22n d d S n a n H =+-<知10,022d da =-=，即10a d ==，B 正确；C ．{a n }是等比数列，公比是q ，则1(1)1-=-nn a q S q，若1q <，则n →+∞时，11n a S q →-，根据极限的定义，一定存在0H >，使得n S H <，对于任意*n N ∈成立，C 正确；D．若1q =-，10a ≠，则1,21,(*)0,2n a n k S k N n k=-⎧=∈⎨=⎩，∴12n S a <，{a n }是“和有界数列”，D 错．故选：BC．11．BD解：对于A ：()()sin ,a b a b a bλλ⊗=⋅，()sin ,a b a b a b λλλ⊗=⋅，故()()a b a b λλ⊗=⊗不会恒成立；对于B ，sin ,a b a b a b ⊗=⋅ ，=sin ,b a b a b a ⊗⋅ ，故a b b a ⊗=⊗ 恒成立；对于C ，若λa b = ，且0λ>，()()1sin ,a b c b c b c λ+⊗=+⋅，()()()sin ,sin ,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅，显然()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗不会恒成立；对于D ，1212cos ,x x y y a b a b +=⋅，sin ,a b =即有a b a b a ⊗=⋅⋅==1221x y x y =-.则1221a b x y x y ⊗=-恒成立.故选：BD.12．BC 【详解】由2216x y +=可知，2226,1,5a bc ===，则焦距2c =，离心率6c e a ===；设(),P x y ，圆心()1,0D -，半径为55r =，则PD ===>，故圆D 在C的内部；当PD时，||PQ的最小值为5-=，综上所述，选项BC 正确，故选：BC 13．480x y +-=【详解】由题意可知，直线l 的斜率存在且不为零，可设直线l 的方程为()14y k x -=-，即14y kx k =+-.在直线l 的方程中，令0x =，可得14y k =-；令0y =，可得41k x k-=.即点41,0k A k -⎛⎫⎪⎝⎭、()0,14B k -，由题意可得410140k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩，解得0k <，AOB 的面积为()1411111481688222AOBk S k k k k⎛-⎛⎫=⨯⨯-=--≥+= ⎪ ⎝⎭⎝△，当且仅当()1160k k k-=-<时，即当14k =-时，等号成立，所以，直线l 的方程为()1144y x -=--，即480x y +-=.故答案为：480x y +-=.14．43或34【详解】点()2,1-关于x 轴的对称点为()2,1--，则反射光线过点()2,1--，设反射光线所在直线为()12y k x +=+，即210kx y k -+-=，∴圆心到直线距离1d ==，解得：43k =或34k =，∴反射光线所在直线的斜率为43或34.故答案为：43或34.15．13【详解】由题意可知，线段PQ 长度的最小值为异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度.如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则点()1,0,0A 、()0,1,0C 、()10,1,2C 、()0,0,0D ，所以，()1,1,0AC =- ，()10,1,2= DC ，()1,0,0DA =，设向量(),,n x y z = 满足n AC ⊥ ，1⊥ n DC ，由题意可得1020n AC x y n DC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，解得2x y y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩，取2y =，则2x =，1z =-，可得()2,2,1n =-，因此，min23DA n PQn⋅== .故答案为：23.16．13k ≥【详解】因为22n n n S a a =+，所以当2,n n N *≥∈时，21112n n n S a a ---=+，两式相减得:22112n n n n n a a a a a --=+--，整理得，()()1101n n n n a a a a --+--=，由0n a >知，10n n a a -+≠，从而110n n a a ---=，即当2,n n N *≥∈时，11n n a a --=，当1n =时，21112a a a =+，解得11a =或0（舍），则{}n a 首项为1，公差为1的等差数列，则()111n a n n =+-⨯=.所以112111(2)(21)221n n n n n n b n n n n +++==-++++++，则121111111 (36611221)n n n n T b b b n n +=+++=-+-++-+++11311213n n +=<++-所以13k ≥.故答案为：13k ≥.17．【详解】（1）因为直线l 的方程为3260x y --=，所以直线l 的斜率为32.因为1l l ⊥，所以直线1l 的斜率为23-.因为直线1l 过点()1,2M -，所以直线1l 的方程为()2213y x +=--，即2340x y ++=.（2）因为直线2l 与直线l，所以可设直线2l 的方程为320x y m -+=，=7m =或19m =-.故直线2l 的方程为3270x y -+=或32190x y --=.18．【详解】(1)圆1C 的圆心()113C ，，半径1r =，圆2C 的圆心()256C ，，半径24r =，两圆圆心距121212d 544C C r r r r ==+=-=-，，所以1212d r r r r -<<+，圆1C 和2C 相交；(2)圆1C 和圆2C 的方程相减，得43230x y +-=，所以两圆的公共弦所在直线的方程为43230x y +-=，圆心()256C ，到直线43230x y +-=的距离为：d 3==，故公共弦长为=19．【详解】（1）设{}n a 的公差为d ．由()19955992a a S a a +===-得：50a =，5324d a a ∴=-=-，解得：2d =-，()()33423210n a a n d n n ∴=+-=--=-+；（2）由（1）知：50a =，即140a d +=，14a d ∴=-，又10a >，0d ∴<，()()()11415n a a n d d n d n d ∴=+-=-+-=-，()()1922n n n a a n n S d +-∴==，由n n S a ≥得：()()952n n d n d -≥-，由0d <得：211100n n -+≤，解得：110n ≤≤，又n *∈N ，n ∴的取值范围为{}110,n n n N *≤≤∈.20．【详解】因为12a +，22a ，31a +成等差数列，所以213134213a a a a a =+++=++，即211143a q a a q =++，①由3241S a =-可得2111141a a q a q a q ++=-，即2111310a a q a q -++=，②联立①②及1q >解得11a =，2q =，所以12n n a -=．(2)由(1)知12n n n n a -=，所以01211232222n n n T -=++++ ，121112122222n n n n n T --=++++ ，两式相减得012111111222222n n n n T -=++++- 所以111222122212n n n n n n T -+=-=--，所以1242n n n T -+=-．又因为122112nn n S -==--，所以4(2)n n T n S -=+可化为11212nn -=-，即()12211n n -⋅-=，可变形为()22220nn --=，整理得()()22210n n-+=，解得1n =．21．【详解】分别以DA 、DB 、1DD 为x 轴、y 轴、z轴，建立空间直角坐标系，（1）由()11,0,1A ，得()11,0,1DA =，设()1,,0E a ，又()10,0,1D ，则()11,,1D E a =-，111010DA D E ⋅=+-= ，11DA D E ∴⊥，则异面直线1D E 与1A D 所成的角为90 ；（2）平面DEC 的一个法向量为()0,0,1m = ，设平面1CED 的一个法向量为(),,n x y z = ，设点()1,,0E a ，其中02a ≤≤，则()0,2,0C ，()10,2,1CD =- ，()1,2,0CE a =- ，由()12020n CD y z n CE x a y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1y =，则2x a =-，2z =，()2,1,2n a ∴=- ，cos ,2m n m n m n ⋅<>===⋅ ，02a≤≤ ，解得2a =-，所以，平面1D EC 的一个法向量为)2n = ，又()1,0,0CB = ，所以，点B 到平面1D EC的距离64CB n d n⋅=== ．22．【详解】（1）由椭圆的方程可得右顶点(,0)a ，所以右顶点到直线0x y -=的距离为3d ==，0a >可得：a=由离心率2c e a ===，可得c =，所以222862b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为：22182x y +=；（2）由题意显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为：2x my =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线l 与椭圆的方程可得：222{182x my x y =++=，整理可得：22(4)440m y my ++-=，12244m y y m -+=+，12244y y m -=+所以122114··2·224OAB S OP y y m =-=+，设2t =，取等号时，0m =，即斜率不存在，这时24AOB S == ，当0m ≠，2t >，则2222t m =-，所以2442422AOB t S t t t ==++- 令2()f t t t =+，2t >，则22222()10t f t t t-=-+=>'恒成立，所以()f t 在2t >单调递增，无最小值，也无最大值，所以2442422AOB t S t t t ==++- 无最大值，综上所述当且仅当2t =，即0m =时，所以OAB 面积的最大值为2．。
2023-2024学年广东省深圳高二上学期期末数学试题(含解析)
2023-2024学年广东省深圳高二上册期末数学试题一、单选题1．已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a n +=+，则3a =（）A ．3B ．7C ．8D ．9【正确答案】C【分析】直接把1n =和2n =代入递推关系式求解即可．【详解】解： 数列{}n a 满足11a =，12n n a a n +=+，21213a a ∴=+=，32228a a =+=，故选：C ．2．设R a ∈，直线1:210l ax y +-=，直线22:(1)0l x a y a ++-=，若12l l ⊥，则=a （）A ．1B ．2-C ．23-D ．1或2-【正确答案】C【分析】由题意，根据两直线垂直的性质列方程即可求得a 的值．【详解】R a ∈ ，直线1:210l ax y +-=，直线22:(1)0l x a y a ++-=，12l l ⊥，()1210a a ∴⨯+⨯+=，求得23a =-，故选：C ．3．已知数列{}n a 满足13a =，11n n n a a a +=-，则2023a =（）A ．12-B ．23C ．32D ．3【正确答案】D【分析】根据已知的递推关系式求出数列的前4项，即可发现循环，求出数列的周期，进而求得结果即可．【详解】解：因为数列{}n a 满足13a =，11n n n a a a +=-，所以2111a a a =-，解得223a =，由2321a a a =-，解得312a =-，由3431a a a =-，解得413a a ==，L ，故可得数列{}n a 是周期为3的数列，且前三项为：3，23，12-，因为202367431=⨯+，所以202313a a ==.故选：D4．如图，在四面体PABC 中，E 是AC 的中点，F 是PB 上靠近P 点的四等分点，则FE =（）A ．111232PA PB PC-+B ．111242PA PB PC-+C ．111343PA PB PC ++D ．212343PA PB PC -+ 【正确答案】B【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解．【详解】解：E 是AC 的中点，F 是PB 上靠近P 点的四等分点，则()1111142242FE FP PE PB PA PC PA PB PC =+=-++=-+．故选：B ．5．已知直线*:34560(N )n l x y n n -+-=∈与圆222:(2)(0)n n n C x y a a -+=>，给出下面三个结论：①直线n l 与直线1n l +平行且两直线距离为1；②若直线n l 与圆n C 相切，则22n a n =；③若直线n l 与圆n C 相切，圆1n C +与圆n C 构成的圆环面积最小值为3π．其中正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【正确答案】D【分析】由直线*:34560(N )n l x y n n -+-=∈，可得直线1n l +的方程，进而判断两直线的关系，判n a =，进而求得22n a n =，判断②；利用同心圆可求圆环的面积，进而可求圆环面积最小值判断③．【详解】由直线*:34560(N )n l x y n n -+-=∈，可得直线1:345(1)60n l x y n +-++-=，即34510x y n -+-=，∴直线n l 与直线1n l +平行，直线n l 与直线1n l +1=，故①正确；由圆222:(2)(0)n n n C x y a a -+=>，得圆心(2,0)n C ，半径为n a ，若直线n l 与圆n C 相切，n a =，22n a n ∴=，故②正确；圆1n C +与圆n C 是同心圆，且*N n ∈，故圆1n C +与圆n C 构成的圆环面积为221π()π()π(21)3πn n a a n +-=+≥，当且仅当1n =时取等号，故圆1n C +与圆n C 构成的圆环面积最小值为3π，故③正确．故选：D ．6．设椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过原点O 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若||2MN c =，22:1:MF NF =C 的离心率为（）A ．4B ．37C ．12D ．37【正确答案】B【分析】由已知易得四边形12MF NF 是矩形，设2||MF m =，1MF =，进而可得123F F m =，利用212+=MF MF a ，求解即可．【详解】 过原点O 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，MN ∴被O 平分，又12F F 被O 平分，∴四边形12MF NF 是平行四边形，又122MN c F F ==，∴四边形12MF NF 是矩形，22:1:MF NF = ，由对称性可得12MF NF =，∴设2||MF m =，1MF =，123F F m ∴=，23c m ∴=，21223c MF MF a ∴+==，∴c a =．故选：B ．7．关于x4kx =+有唯一解，则实数k 的取值范围是（）A ．2k ≤-或2k ≥B ．2k ≤-或2k ≥或k =C ．2k <-或2k >或k =D ．2k <-或2k >【正确答案】C【分析】将问题转化为曲线y =与4y kx =+有唯一交点，采用数形结合的方式可确定临界状态，结合圆的切线方程的求解方法可求得临界值，结合图形可得结果.4kx =+有唯一解等价于曲线y =4y kx =+有唯一交点，由y =得：()2204y x y +=≥，则其图形为以()0,0为圆心，2为半径的圆的上半部分；4y kx =+为恒过定点()0,4的直线；作出y =与4y kx =+图象如下图所示，由图象可知：当3k k =或4k k =或1k k >或2k k <时，曲线y =与4y kx =+有唯一交点；当直线4y kx =+与圆()2204y x y +=≥2，解得：k =即3k =，4k =又140202k -==+，240202k -==--，∴4kx =+有唯一解时，实数k 的取值范围为2k <-或2k >或k =.故选：C.8．已知曲线22:1C x y x y +=-）ABC ．1D ．1+【正确答案】A【分析】利用222222x y x y x y ++-≤≤【详解】 曲线22:1C x y x y +=-，221()x y x y ∴=-+，又222222x y x y x y ++-≤≤，当且仅当x y =时取等号，2222221()22x y x y x y ++∴-≤-+≤，∴221132x y +≤≤，∴22232x y ≤+≤，∴3≤≤，．故选：A ．二、多选题9．设{},,a b c是空间一个基底，则下列选项中正确的是（）A ．若a b ⊥ ，b c ⊥，则a c⊥ B ．a c + ，b c + ，c a +一定能构成空间的一个基底C ．对空间中的任一向量p ，总存在有序实数组(,,)x y z ，使p xa yb zc=++ D ．存在有序实数对，使得c xa yb=+【正确答案】BC【分析】根据空间向量的基本定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【详解】对于A ，a b ⊥ ，b c ⊥，不能得出a c ⊥ ，也可能是a 、c 相交不一定垂直，选项A 错误；对于B ，假设向量a b +，b c + ，c a + 共面，则()()a b x b c y c a +=+++ ，x 、R y ∈，化简得()(1)(1)x y c x b y a +=-+-r r r，所以a 、b 、c 共面，这与已知矛盾，所以选项B 正确；对于C ，根据空间向量基本定理知，对空间任一向量p，总存在有序实数组(x ,y ,)z ，使p xa yb zc =++，选项C 正确；对于D ，因为{},,a b c 是空间一个基底，所以a 与b 、c不共面，选项D 错误．故选：BC ．10．已知直线:50l x y -+=，过直线上任意一点M 作圆22:(3)4C x y -+=的两条切线，切点分别为,A B ，则有（）A ．MA 长度的最小值为2B ．不存在点M 使得AMB ∠为60C ．当MC AB ⋅最小时，直线AB 的方程为210x y --=D ．若圆C 与x 轴交点为,P Q ，则MP MQ ⋅的最小值为28【正确答案】BD【分析】由题知圆C 的圆心为()3,0，半径为2r =，进而根据圆的切线问题依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：由题知圆C 的圆心为()3,0，半径为2r =，对于A ，因为圆心()3,0到直线:50l x y -+=的距离为d ==min MC =min MA =A 错误；对于B ，假设存在点M 使得AMB ∠为60 ，如图，则30∠= AMC ，故在Rt AMC △中，24MC r ==，由A 选项知min 4MC =>，故矛盾，即不存在点M 使得AMB ∠为60 ，故B 正确；对于C ，由于MC AB ⊥,故四边形MACB 的面积为1222MACB MAC S MC AB S MA r MA =⋅==⋅=△，所以，4MC AB MA ⋅=，故当MC AB ⋅最小时，MA 最小，由A 选项知min MA =此时MC l ⊥，//l AB ，即直线AB 的斜率为1，由于直线210x y --=的斜率为12，故C 错误；对于D ，由题知()()1,0,5,0P Q ，设(),5M x x +，则()()()()()221,55,55152430MP MQ x x x x x x x x x ⋅=---⋅---=--++=++ ()2212828x =++≥，当且仅当=1x -时等号成立，故MP MQ ⋅的最小值为28，故D 正确；故选：BD11．已知双曲线()222:10x C y a a-=>，若圆22(2)1x y +-=与双曲线C 的渐近线相切，则（）A ．双曲线CB ．双曲线C 的离心率2e =C ．点P 为双曲线C 上任意一点，点P 到C 的两条渐近线的距离分别为1d ，2d ，则2134d d =D ．直线1y k x m =+与C 交于,A B 两点，点D 为弦AB 的中点，若OD （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则123k k =【正确答案】ABD【分析】先根据直线与圆的位置关系求得双曲线C 的标准方程，由双曲线的性质判断AB ，利用点到直线的距离公式化简整理判断C ，将直线与双曲线联立，利用韦达定理求得D 点坐标进而求得2k 判断D.【详解】双曲线()222:10x C y a a-=>的渐近线方程为1y x a =±即0ay x ±=，因为圆22(2)1x y +-=与双曲线C 的渐近线相切，1=，解得a =C 的方程为2231x y -=，选项A ：双曲线C的实轴长23a =，正确；选项B：c ==2c e a ==，正确；选项C ：设P 点为00(,)x y ，则220031x y -=，点P0y x ±=，则2222000012211(3)1334413x y x y d d --==+⎝⎭，错误；选项D ：直线1y k x m =+与双曲线C 联立可得22211(3)210k x k mx m ----=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由韦达定理得1122123k m x x k +=-，所以12112216()23my y k x x m k +=++=-，因为点D 为弦AB 的中点，所以D 点坐标为122113,33k m m k k ⎛⎫⎪--⎝⎭，所以2121121303303ODmk k k k mk k --===--，所以123k k =，正确；故选：ABD12．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列{}n a 满足10a =，11,,n n na n n a a n n +++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则（）A ．46a =B ．()221n n a a n +=++C ．221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数D ．数列{}(1)nn a -的前2n 项和为()1n n +【正确答案】BCD【分析】直接由递推公式求出4a 即可判断A 选项；分n 为奇数或偶数即可判断B 选项；分n 为奇数或偶数结合累加法即可判断C 选项；由分组求和法即可判断D 选项.【详解】对于A ，213243112,24,318a a a a a a =++==+==++=，A 错误；对于B ，当n 为奇数时，1n +为偶数，则211n n a a n ++=++，11n n a a n +=++，可得()221n n a a n +=++；当n 为偶数时，1n +为奇数，则2111n n a a n ++=+++，1n n a a n +=+，可得()221n n a a n +=++，B 正确；对于C ，当n 为奇数且2n ≥时21324312111,2,31,,21,1n n n n a a a a a a aan a an ---=++=+=++=+-+=+- ，累加可得111231211n a a n n =+++++++-++- ()()113121241n n =+++++-+++++- 2211211122222n n n n n +--+---=⋅+⋅=，1n =时也符合；当n 为偶数且2n ≥时21324312111,2,31,,2,11n n n n a a a a a a a an a an ---=++=+=++=+-=+-+ ，累加可得111231211n a a n n =+++++++-+-+ ()()113111242n n =+++++-+++++- 221122222222n n n n n +-++--=⋅+⋅=；则221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，C 正确；对于D ，设数列{}(1)nn a -的前2n 项和为2n S ，则21234212n n n S a a a a a a -=-+-+--+ ，又()()222212211222n n n n a a n ----=-=，()22224212n nS n n n n +=+++=⋅=+ ，D 正确.故选：BCD.本题的关键点在于利用题目中的递推关系式，分n 为奇数或偶数两种情况来考虑，同时借助累加法即可求出通项，再结合分组求和法以及等差数列求和公式即可求得前2n 项和，使问题得以解决.三、填空题13．抛物线22y x =的焦点坐标是______.【正确答案】10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.【详解】因为抛物线方程212x y =，焦点坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，且14p =，所以焦点坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为.10,8⎛⎫⎪⎝⎭14．设点(3,5)A ，点B 和C 分别为直线:220l x y -+=和y 轴上的两动点，则ABC 的周长的最小值为__．【正确答案】【分析】由题可求点A 关于y 轴的对称点M ，A 关于:220l x y -+=的对称点D ，然后利用数形结合即得.【详解】因为点(3,5)A ，则A 关于y 轴的对称点M 为(3,5)-，设A 关于:220l x y -+=的对称点为(),D a b ，则511323522022b a a b -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪-⨯+=⎪⎩，解得5,1a b ==，即()5,1D，所以MC CA =，AB BD =，所以ABC 的周长为MC CB BD ++，则当,,,M C B D 共线时，ABC 的周长的值最小，此时三角形周长为DM ==故15．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，124AA AB ==，E 是1BB 的中点，F 是11A C 的中点，若过A ，E ，F 三点的平面与11B C 交于点G ，则1AG =__________．【正确答案】3【分析】以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -，可设()0,,4G a ，求出平面AEF 的法向量，再根据0AG m ⋅= 求出a ，即可得出答案．【详解】如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -，则)A，)1A ，()0,2,2E，1,42F ⎫⎪⎪⎝⎭，由题可设()0,,4G a ，则()2AE =，1,42AF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,4AG a =- ，设平面AEF 的法向量(),,m x y z =，则201402y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，令x =93,55y z ==，故93,55m ⎫=⎪⎭ ，由()91231055AG m a ⋅=-+-+= ，得43a =，则11,03G A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，13A G ==．16．在数列{}n a 中，如果对任意*n ∈N ，都有211n n n na a a a λ+++-=（λ为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，λ称为比公差，现给出以下命题：①若数列{}n c 满足()*12121,1,3,n n n c c c c c n n N --===+≥∈，则该数列不是比等差数列；②若数列满足132n n a -=⋅，则该数列是比等差数列，且比公差0λ=；③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列．其中所有正确的序号是_________；【正确答案】①②【分析】①数列{}n c 为斐波那契数列,根据数列的性质代入211n n n na a a a +++-化简即可判断;②数列为等比数列,所以代入公式211n n n n a a a a +++-化简即可判断;③利用具体数列,代入即可判断;④列举一个等差数列与一个等比数列,代入即可判断.【详解】对于①,数列{}n c 为斐波那契数列,所以21111111n n n n n n n n n n n n n nc c c c c c c c c c c c c c +++--+++++-=-=-≠常数不满足比等差数列的定义,所以①正确;对于②,数列132n n a -=⋅,则1211132322203232n nn n n n n n a a a a +++-+⋅⋅-=-=-=⋅⋅满足比等差数列的定义,所以②正确;对于③,设等比数列11n n a a q -=,则1211111110n n n n n n n n a a a q a q q q a a a q a q +++-+⋅⋅-=-=-=⋅⋅,所以等比数列一定是比等差数列;当等差数列为常数数列时,2111111110n n n n a a a a a a a a +++-=-=-=也是比等差数列,所以③错误;对于④,{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列,所以设,2n n na b n ==则2n n n a b n =⋅所以()()()2121112212122n n n n n n n n n n a a a a n n +++++++⋅+⋅-=-+⋅⋅()()()2221211n n n n n n ++=-=-≠++常数不满足比等差数列的定义,所以④错误.综上可知,①②正确故答案为:①②本题考查了数列的新定义应用,注意理解所给条件,结合等差与等比数列的通项公式及性质判断,可利用特殊数列进行判定错误选项,属于难题.四、解答题17．已知圆C 的圆心在直线1:1y x l =--上，且经过(0,1)A -，(2,1)B -两点．(1)求圆C 的方程；(2)已知过点(0,2)P 的直线2l 与圆C 相交，被圆C 截得的弦长为2，求直线2l 的方程．【正确答案】(1)22(1)(2)2x y -++=(2)0x =或158160x y +-=．【分析】（1）求得线段AB 的中点坐标和斜率，可得AB 的垂直平分线的方程，与直线=1y x --联立，可得圆C 的圆心，求得||AC ，可得圆的半径，进而得到圆的方程；（2）讨论直线2l 的斜率不存在和存在的两种情况，结合弦长公式和点到直线的距离公式，可得所求直线2l 的方程．【详解】（1）线段AB 的中点为(1,1)-，直线AB 的斜率为11020AB k -+==-，所以线段AB 的垂直平分线为1x =，由11y x x =--⎧⎨=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以圆心为(1,2)C -，半径为AC ==所以圆C 的方程为22(1)(2)2x y -++=；（2）当直线2l 的斜率不存在时，则方程为0x =，由220(1)(2)2x x y =⎧⎨-++=⎩，得1y =-，或=3y -，即直线0x =与圆C 相交所得弦长为1(3)2---=，符合题意，当直线2l 的斜率存在时，设直线2l 的方程为2y kx =+，即20kx y -+=，由于圆C 到2l 1=1=，解得158k =-，所以1528y x =-+，即158160x y +-=，综上所述，直线2l 的方程为0x =或158160x y +-=．18．已知函数21()2cos 2f x x =-．(1)求函数()f x 的单调增区间与值域；(2)在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知()0f A =，1b =，ABC 求tan B 的值．【正确答案】(1)单调增区间为ππ,π,Z 2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，值域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)tan 3B =或tan B 【分析】（1）利用二倍角公式化简，再根据余弦函数的性质即可求；（2）先根据()0f A =求出A ，再由面积可得c 边长度，再利用余弦定理可得a 边长度，再利用正弦定理即可得sin B ，从而可得tan B 的值．【详解】（1）211()2cos cos 222f x x x =-=+，令2ππ22πk x k -≤≤，Z k ∈，则πππ2k x k -≤≤，Z k ∈，则()f x 的单调增区间为ππ,π,Z 2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当22πx k =，即πx k =，Z k ∈时，max 13()122f x =+=，当22ππx k =+，即ππ2x k =+，Z k ∈时，min 11()122f x =-+=-，则()f x 的值域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）由()0f A =，1cos 202A ∴+=，1cos 22A ∴=-，0πA << ，022πA ∴<<，2π23A ∴=或4π3，π3A ∴=或2π3，则sin A =，又ABC的面积为2，∴1sin 22bc A =，1b =Q ，2c ∴=，当π3A =时，2222cos 142a b c bc A =+-=+-，a ∴=则ABC为直角三角形，则tan 3B =，当2π3A =时，2222cos 142a b c bc A =+-=++，a ∴=在ABC中，1sin sin 3B =sin B ∴=π02B <<，cos B =则tan 5B =，综上tan B =tan B 19．设首项为112a =的数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足()111n n n n a a n a na ++=+-(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列n n T ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：1211134n S S S +++< ．参考公式：()()222211231216n n n n ++++=++ ．【正确答案】(1)1n n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）由已知可得111n n n n a a ++-=，即数列{}n n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，然后求解即可；（2）由参考公式可得()()123n n n n S ++=，则()()()13112112n S n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦，然后累加求和即可．【详解】（1）数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足()111n n n n a a n a na ++=+-.则111n n n n a a ++-=,又112a =，112a =，则数列{}n n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，则()211n n n n a =+-=+1n n a n ⇒=+；（2）由（1）可得1212311n n T n n =⨯⨯⨯=++ ，则2n n n n T =+则()()()()()22221112312312162n n n S n n n n n +=+++++++++=+++ ()()123n n n ++=.则()()()()()133********n S n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦则()()()121113111121223233411112n S S S n n n n +++=-+-++⨯⨯⨯⨯⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭ ()()311322412n n ⎡⎤=-<⎢⎥++⎢⎥⎣⎦.20．已知双曲线22 1.416x y -=(1)过点(1,4)N 的直线与双曲线交于,S T 两点，若点N 是线段ST 的中点，求直线ST 的方程；(2)直线l ：(2)y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于0(,0)A x ，0(0,)B y 两点．当点M 运动时，求点00(,)P x y 的轨迹方程.【正确答案】(1)30.x y -+=(2)221(0)10025x y y -=≠.【分析】（1）设11(,)S x y ，22(),T x y ，采用“点差法”可求得直线ST 的斜率，即可求得答案；（2）根据直线l ：(2)y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ，联立方程可得到224(4)m k =-，从而求得点M 坐标，由此表示出过M 且与l 垂直的直线方程，求得00,x y ，化简可得其关系，即可得答案.【详解】（1）设11(,)S x y ，22(),T x y ，则2211222214161416x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得22221212416x x y y --=，即121212124y y x x x x y y -+=⨯-+，因为点(1,4)N 是线段ST 的中点，所以1212214124y y x x -⨯=⨯=-⨯，即直线ST 的斜率为1，所以直线ST 的方程为41y x -=-，即3y x =+,联立方程组2231416y x x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,得236250x x --=，满足0∆>，故直线ST 的方程为30.x y -+=（2）联立方程组22416x y y kx m⎧-=⎨=+⎩,得222(4)2(16)0k x kmx m ---+=，因为直线l ：(2)y kx m k =+≠±与双曲线有唯一的公共点M ，根据双曲线的对称性可知,k m 都不等于0，()()22222Δ444160k k m k m '≠±⎧⎪∴⎨=+-+=⎪⎩，得224(4)m k =-，则244M km k x k m ==--,则4(16M k m y k mm =⨯+=--,所以M 的坐标为416(,k m m--，其中0km ≠，因为过点M 且与l 垂直的直线方程为1614()k y x m k m +=-+，令0y =，得020k x m =-，令0x =，020y m =-，所以2222002224004001600(4)10010044k m x y m m m==+=+=+，故点00(,)P x y 的轨迹方程为.221(0)10025x y y -=≠方法点睛：（1）涉及到弦的中点问题时，一般采用“点差法”解答，较为简便；（2）求动点的轨迹方程时，要能根据题意选择恰当的方法，想法得到动点的坐标之间的变化关系，化简可解.21．已知：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥平面ABCD ，点M 为PD 中点，1PA AD ==．(1)求证：平面MAC ⊥平面PCD ；(2)求点P 到平面MAC 的距离．【正确答案】(1)证明见解析(2)3.【分析】（1）以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，以AP 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出相关向量的坐标，利用向量数量积证明线面垂直，继而可证明结论.（2）利用向量法求得平面MAC 的法向量，根据距离的向量求法求点P 到平面MAC 的距离．【详解】（1）证明：PA ⊥ 平面ABCD ，ABCD 为正方形，以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，以AP 所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系．由已知可得()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()0,0,1P M 为PD 的中点，110,,22M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，所以110,,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()1,0,0CD =- ，()1,1,0AC = ，所以·0AM CD = ，所以AM CD ⊥，又点M 为PD 中点，1PA AD ==，所以AM PD ⊥，PD CD D = ，,PD CD ⊂平面PCD ，AM ∴⊥平面PCD ，又因为AM ⊂平面MAC ,故平面MAC ⊥平面PCD ．（2）设平面MAC 的法向量为(),,n x y z = ，则1100,22·00n AM y z n AC x y ⎧⎧⋅=+=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪⎩+=⎩ ，令1x =，则1,1y z =-=，()1,1,1n ∴=- ，()0,0,1PA =- ，设点P 到平面MAC 的距离为d，3PA n d n ⋅∴== ,∴点P 到平面MAC的距离为3．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点A．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 与椭圆C 交于不同的M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列．椭圆C 上是否存在一点P ，使得四边形OMPN 为平行四边形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)2212x y +=(2)存在，10x ±-=或10x =．【分析】（1）由离心率的值，可得a ，b 的关系，设椭圆的方程，将A 点的坐标代入椭圆的方程，可得b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由四边形OMPN 为平行四边形可得P 的坐标，将P 的坐标代入椭圆的方程，可得参数的关系，求出直线OM ，ON 的斜率之积，由直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列可得参数的关系，进而求出参数的值，即求出直线l 的方程．【详解】（1）由离心率2c e a =，可得222a b =，所以椭圆的方程为：222212x y b b +=，将点A代入椭圆的方程可得：2213144b b+=，解得21b =，所以椭圆的方程为2212x y +=；（2）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：x my t =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立2222x my t x y =+⎧⎨+=⎩，整理可得：222()2220m y mty t +++-=，222244(2)(2)0m t m t ∆=-+->，即222t m <+，且12222mt y y m -+=+，212222t y y m -=+，()12122422t x x m y y t m +=++=+，因为四边形OMPN 为平行四边，OP 与MN 互相平分，所以2242,22t mt P m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，因为P 在椭圆上，则2222422122t mt m m ⎛⎫ ⎪-+⎛⎫⎝⎭+= ⎪+⎝⎭，整理可得：2242t m =+，①又因为直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，即122121y y m x x =⋅，即21212x x m y y =，而()()()222221222122221212222222t m my t my t x x mt t m t m mt m y y y y t t t +++--==+⋅+=+---，可得2222t m t =，②由①②可得：22m =，21t =，符合△0>，可得m =，1t =±，所以直线l的方程为：10x -=或10x +=．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，等比数列的性质的应用，属于中档题,本题的关键是韦达定理求得根与系数的关系，求得点P 的坐标，以及表示写了的关系.。
辽宁省辽南协作校2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题及答案
2022—2023学年度上学期期末考试高二试题数学命题人：沈阳市第三十一中孔庆彬审题人：丹东二中张超考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在(x2−3x)n的展开式中,二项式系数的和是16,则展开式中各项系数的和为( )A. 16B. 32C. 1D. −322.设随机变量X服从正态分布N(1,2),若P(x<a)=P(x>b),则实数a+b=( )A. 3B. 4C. 1D. 23.随机变量X的分布列如下表所示,则P(X⩽2)=( )A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.44.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一,最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现,欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律,比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中(如下图),记第2行的第3个数字为a1､第3行的第3个数字为a2,……,第n(n⩾2)行的第3个数字为a n−1,则( )A. 220B. 186C. 120D. 965.已知过点P(2,2)的直线与圆(x−1)2+y2=5相切,且与直线ax−y+1=0平行,则a=( )A. 2B. 1C. −12D. 126.某班准备从甲、乙等5人中选派3人发言,要求甲乙两人至少有一人参加,那么不同的发言顺序有( )A. 18种B. 36种C. 54种D. 60种7. 设A,B为两个事件,已知P(B)=0.4,P(A)=0.5,P(B|A)=0.3,则P(A|B)=( )A. 0.24B. 0.375C. 0.4D. 0.58.某企业为了研究某种产品销售价格x(元)与销售量y(千件)之间的关系,通过大量市场调研收集得到以下数据:其中某一项数据丢失,只记得这组数据拟合出的线性回归方程为:y=−3.1x+71,则缺失的数据a是( )A. 33B. 35C. 34D. 34.8二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年四川省成都市高二(上)期末数学试卷(文科)_20220122190805
2021-2022学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“∀x∈N，e x＞sin x”的否定是（）A．∀x∈N，e x≤sin x B．∀x∈N，e x＜sin xC．∃x0∈N，＞sin x0D．∃x0∈N，≤sin x02．（5分）抛物线y2＝4x的准线方程是（）A．B．C．x＝﹣1D．x＝13．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，﹣1，1）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（1，1，1）B．（1，1，﹣1）C．（﹣1，﹣1，﹣1）D．（1，﹣1，﹣1）4．（5分）设直线l1：ax+（a﹣2）y+1＝0，l2：x+ay﹣3＝0．若l1⊥l2，则a的值为（）A．0或1B．0或﹣1C．1D．﹣15．（5分）下列有关命题的表述中，正确的是（）A．命题“若a+b是偶数，则a，b都是偶数”的否命题是假命题B．命题“若a为正无理数，则也是无理数”的逆命题是真命题C．命题“若x＝2，则x2+x﹣6＝0”的逆否命题为“若x2+x﹣6≠0，则x≠2”D．若命题“p∧q”，“p∨（￢q）”均为假命题，则p，q均为假命题6．（5分）执行如图所示的算法框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．7．（5分）方程表示椭圆的充分不必要条件可以是（）A．m∈（﹣3，1）B．m∈（﹣3，﹣1）∪（﹣1，1）C．m∈（﹣3，0）D．m∈（﹣3，﹣1）8．（5分）如图，是对某位同学一学期8次体育测试成绩（单位，分）进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是（）A．该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差超过15分B．该同学8次测试成绩的众数是48分C．该同学8次测试成绩的中位数是49分D．该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关9．（5分）若椭圆的弦AB恰好被点M（1，1）平分，则AB所在的直线方程为（）A．3x﹣4y+1＝0B．3x+4y﹣7＝0C．4x﹣3y﹣1＝0D．4x+3y﹣7＝0 10．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔社”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2．若双曲线右支上存在点P，使得PF1与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点Q，且PF2⊥PQ，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．D．12．（5分）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2＝|x|+|y|流是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C围成的图形的面积是2+π；②曲线C上的任意两点间的臥离不超过2；③若P（m，n）是曲线C上任意一点，则|3m+4n﹣12|的最小值是．其中正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分，把答案13．（5分）椭圆x2+2y2＝4的长轴长为．14．（5分）某班有40位同学，将他们从01至40编号，现用系统抽样的方法从中选取5人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是05，那么第四位的编号是．15．（5分）根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持续繁荣，2017年至2020年每年进口总额x（单位：千亿元）和出口总额y （单位：千亿元）之间的一组数据如下：2017年2018年2019年2020年x 1.8 2.2 2.6 3.0y 2.0 2.8 3.2 4.0若每年的进出口总额x，y满足线性相关关系，则＝；若计划2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为千亿元．16．（5分）已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1和F2，设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，P为两曲线的一个公共点，且（O为坐标原点）．若，则e2的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3）．（Ⅰ）求AC边所在的直线方程；（Ⅱ）求经过AB边的中点，且与AC边平行的直线l的方程．18．（12分）某班主任对全班50名学生进行了作业量多少与手机网游的调查，数据如下表：认为作业多认为作业不多总数喜欢手机网游201030不喜欢手机网游51520列总数252550（Ⅰ）若随机抽问这个班的一名学生，分别求事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率；（Ⅱ）若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生．现要从这5名学生中任取2名学生了解情况，求其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率．19．（12分）已知圆C的圆心为C（1，2），且圆C经过点P（5，5）．（Ⅰ）求圆C的一般方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2＝m2（m＞0）与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围．20．（12分）为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了50名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这50名学生的得分进行分组，第一组[60，70），第二组[70，80），第三组[80，90），第四组[90，100]（单位：分），得到如下的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中m的值，估计此次活动学生得分的中位数；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计此竞赛活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖．21．（12分）已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，直线y＝3与抛物线E在第一象限的交点为A，且|AF|＝4．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）经过焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线E相交于P，Q两点，l2与抛物线E相交于M，N两点．若C，D分别是线段PQ，MN的中点，求|FC|•|FD|的最小值．22．（12分）已知点P是圆上任意一点，是圆C内一点，线段AP的垂直平分线与半径CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程；（Ⅱ）设不经过坐标原点O，且斜率为的直线l与曲线E相交于M，N两点，记OM，ON的斜率分别是k1，k2，当k1，k2都存在且不为0时，试探究k1k2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．2021-2022学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“∀x∈N，e x＞sin x”的否定是（）A．∀x∈N，e x≤sin x B．∀x∈N，e x＜sin xC．∃x0∈N，＞sin x0D．∃x0∈N，≤sin x0【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x0∈N，≤sin x0，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（5分）抛物线y2＝4x的准线方程是（）A．B．C．x＝﹣1D．x＝1【分析】由已知抛物线方程以及求出p的值，进而可以求解．【解答】解：由已知抛物线方程可得：2p＝4，所以p＝2，所以准线方程为x＝−＝−1，即x＝﹣1，故选：C．【点评】本题考查了抛物线的性质以及准线方程，属于基础题．3．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，﹣1，1）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（1，1，1）B．（1，1，﹣1）C．（﹣1，﹣1，﹣1）D．（1，﹣1，﹣1）【分析】根据所给的点的坐标，知一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，写出点的坐标．【解答】解：∵点A（1，﹣1，1），一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，∴点A（1，﹣1，1）关于x轴对称的点的坐标为（1，1，﹣1）故选：B．【点评】本题考查空间中点的对称，是一个基础题，注意点在空间中关于坐标轴和坐标平面对称的点的坐标，这种题目通常单独作为一个知识点出现．4．（5分）设直线l1：ax+（a﹣2）y+1＝0，l2：x+ay﹣3＝0．若l1⊥l2，则a的值为（）A．0或1B．0或﹣1C．1D．﹣1【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．【解答】解：∵直线l1：ax+（a﹣2）y+1＝0，l2：x+ay﹣3＝0，l1⊥l2，∴a×1+（a﹣2）×a＝0，解得a＝0或a＝1．故选：A．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（5分）下列有关命题的表述中，正确的是（）A．命题“若a+b是偶数，则a，b都是偶数”的否命题是假命题B．命题“若a为正无理数，则也是无理数”的逆命题是真命题C．命题“若x＝2，则x2+x﹣6＝0”的逆否命题为“若x2+x﹣6≠0，则x≠2”D．若命题“p∧q”，“p∨（￢q）”均为假命题，则p，q均为假命题【分析】直接利用四种命题的转换和命题真假的判定的应用求出结果．【解答】解：对于A：命题“若a+b是偶数，则a，b都是偶数”的逆命题是：“若a，b 都是偶数，则a+b是偶数”，该命题为真命题，由于逆命题和否命题等价，故否命题为真命题，故A错误；对于B：命题“若a为正无理数，则也是无理数”的逆命题是：若是无理数，则a 也为无理数”是假命题，故B错误；对于C：命题“若x＝2，则x2+x﹣6＝0”的逆否命题为“若x2+x﹣6≠0，则x≠2”，故C正确；对于D：若命题“p∧q”，“p∨（￢q）”均为假命题，则p为假命题，q为真命题，故D 错误．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：命题真假的判定，四种命题的转换，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．6．（5分）执行如图所示的算法框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．【分析】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝++...+的值，进而根据裂项法即可求解．【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝++...+的值，S＝++...+＝（1﹣）+（）+...+（﹣）＝1﹣＝．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．（5分）方程表示椭圆的充分不必要条件可以是（）A．m∈（﹣3，1）B．m∈（﹣3，﹣1）∪（﹣1，1）C．m∈（﹣3，0）D．m∈（﹣3，﹣1）【分析】求得方程表示椭圆的条件，根据利用充分条件和必要条件的定义判断．【解答】解：若方程表示椭圆，则，解得：﹣3＜m＜1且m≠﹣1，则方程表示椭圆的充要条件是{m|：﹣3＜m＜1且m≠﹣1}，则：方程表示椭圆的充分不必要条件所对应的集合必须是{m|：﹣3＜m＜1且m≠﹣1}的真子集，选项D，m∈（﹣3，﹣1）符合条件．故选：D．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及椭圆的方程，属于基础题．8．（5分）如图，是对某位同学一学期8次体育测试成绩（单位，分）进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是（）A．该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差超过15分B．该同学8次测试成绩的众数是48分C．该同学8次测试成绩的中位数是49分D．该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关【分析】利用散点图、极差、众数、中位数、相关性直接求解．【解答】解：由散点图得：对于A，该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差为：56﹣38＝18，超过15分，故A正确；对于B，该同学8次测试成绩的众数是48分，故B正确；对于C，该同学8次测试成绩的中位数是：＝48分，故C错误；对于D，该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关，故D正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查散点图、极差、众数、中位数、相关性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（5分）若椭圆的弦AB恰好被点M（1，1）平分，则AB所在的直线方程为（）A．3x﹣4y+1＝0B．3x+4y﹣7＝0C．4x﹣3y﹣1＝0D．4x+3y﹣7＝0【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），利用平方差法求出直线的斜率，然后求解直线方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，两式相减得：+＝0，因为弦AB恰好被点M（1，1）平分，所以有x1+x2＝2，y1+y2＝2．所以直线AB的斜率k＝＝﹣•＝﹣，因此直线AB的方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），即4x+3y﹣1＝0，故选：D．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，平方差法的应用，考查计算能力，属于中档题．10．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔社”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】设大正方形的边长为2，求出白色部分的面积，利用几何概型能求出在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率．【解答】解：如图，设大正方形的边长为2，则最大的三角形是腰长为的等腰直角三角形，角上的三角形是腰长为1的等腰直角三角形，最小的三角形是腰长为的等腰直角三角形，∴白色部分的面积为：S白＝22﹣×﹣××﹣×1×1＝，∴在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率为：P＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查概率的运算，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2．若双曲线右支上存在点P，使得PF1与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点Q，且PF2⊥PQ，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．D．【分析】利用已知条件求出P的坐标，代入双曲线方程，推出a，b的关系，即可得到渐近线方程．【解答】解：PF1的方程：y＝，PF2的方程为：y＝﹣（x﹣c），联立，解得P（，），点P在双曲线上，可得，可得：b4﹣3a2b2﹣4a4＝0，可得：b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12．（5分）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2＝|x|+|y|流是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C围成的图形的面积是2+π；②曲线C上的任意两点间的臥离不超过2；③若P（m，n）是曲线C上任意一点，则|3m+4n﹣12|的最小值是．其中正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】由曲线方程知曲线关于原点，x，y轴对称，当x≥0，y≥0时，可得x2+y2﹣x﹣y＝0，可得（x﹣）2+（y﹣）2＝，所以可得是以C（，）为圆心，r＝为半径的半圆，由此可作出曲线C的图象，从而通过运算可判断命题①②③的真假．【解答】解：曲线C：x2+y2＝|x|+|y|可知曲线关于原点，x，y轴对称，当x≥0，y≥0时，可得x2+y2﹣x﹣y＝0，可得（x﹣）2+（y﹣）2＝，所以可得是以C（，）为圆心，r＝为半径的半圆，由此可作出曲线C的图象，如图所示，所以曲线C围成的图形的面积是×+2×π×（）2＝2+π，故命题①正确；曲线上任意两点间距离的最大值为4×＝2，故命题②错误；设圆心C到直线3x+4y﹣12＝0的距离为d＝＝，故曲线上任意一点P（m，n）到直线l的距离的最小值为最小值为﹣，故|3m+4n﹣12|的最小值是，故命题③正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，以及考查由曲线方程研究曲线的相关性质，属中档题．二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分，把答案13．（5分）椭圆x2+2y2＝4的长轴长为4．【分析】化简椭圆方程为标准方程，然后求解长轴长即可．【解答】解：椭圆x2+2y2＝4，可得，可得a＝2，所以椭圆长轴长为：4．故答案为：4．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．14．（5分）某班有40位同学，将他们从01至40编号，现用系统抽样的方法从中选取5人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是05，那么第四位的编号是29．【分析】求出系统抽样间隔，根据抽取的第一位编号即可写出第四位的编号．【解答】解：系统抽样间隔为40÷5＝8，且抽取的第一位编号是05，所以第四位的编号是5+8×3＝29．故答案为：29．【点评】本题考查了系统抽样应用问题，是基础题．15．（5分）根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持续繁荣，2017年至2020年每年进口总额x（单位：千亿元）和出口总额y （单位：千亿元）之间的一组数据如下：2017年2018年2019年2020年x 1.8 2.2 2.6 3.0y 2.0 2.8 3.2 4.0若每年的进出口总额x，y满足线性相关关系，则＝ 1.6；若计划2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为 3.65千亿元．【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求解，然后代入计划2022年出口总额达到5千亿元，求解即可．【解答】解：由题意可得：＝2.4．＝＝3．因为样本中心满足回归直线方程，可得3＝2.4﹣0.84，解得＝1.6．，2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为x，则5＝1.6x﹣0.84，解得x＝3.65．故答案为：1.6；3.65．【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．16．（5分）已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1和F2，设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，P为两曲线的一个公共点，且（O为坐标原点）．若，则e2的取值范围是[，+∞）．【分析】设椭圆C1：+＝1（a1＞b1＞0），双曲线C2：﹣＝1（a2＞0，b2＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0）为C1与C2的共同焦点，则c2＝a12﹣b12，c2＝a22+b22，由|﹣|＝2||，得|PO|＝c，则∠F1PF2＝90°（P为C1与C2的一个公共点），设|PF1|＝m，|PF2＝n，可得m2+n2＝4c2①，m+n＝2a1②，|m﹣n|＝2a2③，进一步求出e2的取值范围．【解答】解：设椭圆C1：+＝1（a1＞b1＞0），双曲线C2：﹣＝1（a2＞0，b2＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0）为C1与C2的共同焦点，则c2＝a12﹣b12，c2＝a22+b22，由|﹣|＝2||，得||＝2||，所以2c＝2|PO|，所以|PO|＝c，所以|OF1|＝|OP|＝|OF2|＝c，所以∠F1PF2＝90°（P为C1与C2的一个公共点），设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m2+n2＝4c2，①m+n＝2a1，②，|m﹣n|＝2a2，③②2+③2，得2m2+2n2＝4（a12+a22），代入①，得2×4c2＝4（a12+a22），所以2c2＝a12+a22，所以+＝2，④又e1＝，e2＝，所以＝，＝，所以④化为+＝2，即＝2﹣，因为e1∈（，]，所以＜e12≤，所以≤＜2，所以﹣2＜﹣≤﹣，所以0＜2﹣≤2﹣＝，即0＜≤，则e22≥，又e2＞1，所以e2≥，所以e2的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查椭圆与双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3）．（Ⅰ）求AC边所在的直线方程；（Ⅱ）求经过AB边的中点，且与AC边平行的直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由A、C两点坐标可以写出直线AC斜率，再代入A、C中的一个点就可以求出AC方程．（Ⅱ）求出AB中点，l与AC平行，从而斜率相等，即可设出l，代入A、C中点求得l．【解答】解：（Ⅰ）由题意知AC斜率为k＝＝﹣，所以AC边所在直线方程为y﹣0＝﹣（x﹣4），即3x+4y﹣12＝0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知l可设为3x+4y+m＝0，又AB边中点为（5，），将点（5，）代入直线l的方程得3×5+4×+m＝0，解得m＝﹣29，所以l方程为3x+4y﹣29＝0．【点评】本题考查了直线方程的求解和两直线平行的关系，属于简单题．18．（12分）某班主任对全班50名学生进行了作业量多少与手机网游的调查，数据如下表：认为作业多认为作业不多总数喜欢手机网游201030不喜欢手机网游51520列总数252550（Ⅰ）若随机抽问这个班的一名学生，分别求事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率；（Ⅱ）若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生．现要从这5名学生中任取2名学生了解情况，求其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率．【分析】（Ⅰ）利用古典概型直接求解．（Ⅱ）采用分层抽样方法抽取5人，其中“不喜欢手机网游”的有1人，“喜欢手机网游”有4 人，记“不喜欢手机网游”的1名学生为B，“喜欢手机网游”的4名学生分别为B1，B2，B3，B4，从5名学生中抽取2名学生的所有可能情况有n＝＝10，利用列举法求出恰有1名“不喜欢手机网游”学生的情况有4种，由此能求出其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率．【解答】解：：（Ⅰ）用A表示“认为作业不多”，用B表示“喜欢手机网游且认为作业多”，则P（A）＝＝，P（B）＝＝．（Ⅱ）若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生，“不喜欢手机网游”与“喜欢手机网游”的人数的比值为＝，∴采用分层抽样方法抽取5人，其中“不喜欢手机网游”的有1人，“喜欢手机网游”有4 人，记“不喜欢手机网游”的1名学生为B，“喜欢手机网游”的4名学生分别为B1，B2，B3，B4，从5名学生中抽取2名学生的所有可能情况有n＝＝10，恰有1名“不喜欢手机网游”学生的情况有：{B，B1}，{B，B2}，{B，B3}，{B，B4}，共4种，∴其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率P＝．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）已知圆C的圆心为C（1，2），且圆C经过点P（5，5）．（Ⅰ）求圆C的一般方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2＝m2（m＞0）与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围．【分析】（I）设圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r为圆C的半径），再将点P （5，5）代入圆C方程，即可求解．（II）将已知条件转化为两圆相交，再结合圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解．【解答】解：（I）设圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r为圆C的半径），∵圆C经过点P（5，5），∴（5﹣1）2+（5﹣2）2＝r2，即r2＝25，∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25．（II）由（I）知圆C的圆心为C（1，2），半径为5，∵圆O：x2+y2＝m2（m＞0）与圆C恰有两条公切线，∴圆O与圆C相交，∴|5﹣m|＜|OC|＜5+m，∵，∴，故m的取值范围是．【点评】本题主要考查两圆之间的位置关系，属于基础题．20．（12分）为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了50名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这50名学生的得分进行分组，第一组[60，70），第二组[70，80），第三组[80，90），第四组[90，100]（单位：分），得到如下的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中m的值，估计此次活动学生得分的中位数；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计此竞赛活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖．【分析】（Ⅰ）所有组频率之和为1，每个小长方形面积为该组对应的频率，这样让1减去其它组频率即为所求组频率，所求组频率即为对应长方形面积，面积除以宽得到高就是m值．频率分布直方图中的中位数是频率0.5位置为应的x的值．（Ⅱ）平均值是各组中点值乘以对应的频率之和，不低于平均值的学生人数为总数500乘以不低于平均值的频率．【解答】（Ⅰ）由图知第三组频率为1﹣（0.01+0.04+0.02）×10＝0.30，所以第三组矩形的高为m＝＝0.03．因为前两组的频率为（0.01+0.03）×10＝0.4＜0.5，前三组的频率为（0.01+0.03+0.04）×10＝0.8＞0.5，所以得分的中位数在第三组内，设中位数为x，（0.01+0.03）×10+（x﹣80）×0.04＝0.5，解得x＝82.5，所以估计此次得分的中位数是82.5分．（Ⅱ）由频率分布直方图知，学生得分的平均值为＝65×10×0.01+75×10×0.03+85×10×0.04+95×10×0.02＝82．参赛的500名学生中得分不低于82分的人数为500×[0.02×10+（90﹣82）×0.04]＝260，所以估计此次参加比赛活动学生得分的平均值为82分，参赛的500名学生中有260名学生获奖．【点评】本题考查了频率直方图中的频率、中位数、平均数，频数的求解，考查较基础难度不大．21．（12分）已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，直线y＝3与抛物线E在第一象限的交点为A，且|AF|＝4．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）经过焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线E相交于P，Q两点，l2与抛物线E相交于M，N两点．若C，D分别是线段PQ，MN的中点，求|FC|•|FD|的最小值．【分析】（Ⅰ）由题意可得|AF|＝3+＝4，求得p，则抛物线E的方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）知焦点为F（0，1）．由已知可得两直线PQ、MN的斜率都存在且均不为0．设直线PQ的斜率为k，则直线MN的斜率为﹣，可得直线PQ与MN的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得C与D的坐标，再求出|FC|与|FD|的值，作积后整理，再由基本不等式求最值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，|AF|＝3+＝4，得p＝2．∴抛物线E的方程为x2＝4y；（Ⅱ）由（Ⅰ）知焦点为F（0，1）．由已知可得两直线PQ、MN的斜率都存在且均不为0．设直线PQ的斜率为k，则直线MN的斜率为﹣，故直线PQ的方程为y＝kx+1，联立方程组，消去y，整理得x2﹣4kx﹣4＝0，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝4k，∵C（x C，y C）为弦PQ的中点，∴x C＝（x1+x2）＝2k．由y C＝kx C+1＝2k2+1，故点C（2k，2k2+1），同理，可得D（﹣，），故|FC|＝＝2，|FD|＝＝2．∴|FC|•|FD|＝4＝．当且仅当，即k＝±1时，等号成立．∴|CF|•|FD|的最小值为8．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系的应用，考查化简运算能力和推理能力，训练了利用基本不等式求最值，属于中档题．22．（12分）已知点P是圆上任意一点，是圆C内一点，线段AP的垂直平分线与半径CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程；（Ⅱ）设不经过坐标原点O，且斜率为的直线l与曲线E相交于M，N两点，记OM，ON的斜率分别是k1，k2，当k1，k2都存在且不为0时，试探究k1k2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意知|PQ|＝|AQ|，又|CP|＝|CQ|+|PQ|＝4，|CQ|+|AQ|＝4＞|AC|＝2，由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆，进而可得答案．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+b，M（x1，y1），N（x2，y2），联立椭圆的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，再计算k1k2＝•，即可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意知|PQ|＝|AQ|，又因为|CP|＝|CQ|+|PQ|＝4，所以|CQ|+|AQ|＝4＞|AC|＝2，由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆，所以2a＝4，即a＝2，2c＝2，即c＝，所以b2＝a2﹣c2＝1，所以点Q的轨迹方程为+y2＝1．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+b，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得2x2+4bx+4b2﹣4＝0，所以x1+x2＝﹣2b，x1x2＝2b2﹣2，所以k1k2＝•＝＝＝＝＝，所以k1k2为定值．【点评】本题考查椭圆的方程，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．。
山东省高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．在空间直角坐标系中，已知点，则点P 关于x 轴的对称点的坐标是（ ） (1,3,5)P A ． B ． (1,3,5)--(1,3,5)--C ． D ．()1,3,5--()1,3,5---【答案】C【分析】直接根据空间点关于轴对称的结论即可得到答案.x 【详解】根据空间点关于轴对称，则轴上坐标不变，轴上坐标取相反数， x x ,y z 故点P 关于x 轴的对称点的坐标是. ()1,3,5--故选：C.2．已知直线，且，则实数a 的值为（ ） ()1: 4 10 l x a y +-+=2: 5 50l a x y ++=12//l l A ．5 B ．1 C ．5或 D ．1-1-【答案】D【分析】根据给定条件，列出方程求解，再验证判断作答.【详解】直线，，由解得或， ()1: 4 10 l x a y +-+=2: 5 50l a x y ++=(4)50a a --=5a =1a =-当时，直线与重合，不符合题意， 5a =1: 10 l x y ++=2: 5 5 50l x y ++=当时，直线与平行， 1a =-1: 5 10 l x y -+=2: 5 50l x y --=所以实数a 的值为. 1-故选：D3．电子设备中电平信号用电压的高与低来表示，高电压信号记为数字1，低电压信号记为数字0，一串由0和1组成的不同排列代表不同的电平信号，所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息．某电平信号由6个数字构成，已知其中至少有四个0，则满足条件的电平信号种数为（ ） A ．42 B ．22 C ．20 D ．15【答案】B【分析】根据给定的信息，利用组合知识分类列式求解作答.【详解】依题意，求电平信号种数可以有3类办法，电平信号的6个数字中有4个0，有种， 46C 电平信号的6个数字中有5个0，有种，电平信号的6个数字中有6个0，有种，56C 66C 由分类加法计数原理得满足条件的电平信号种数为.456666C C C 156122++=++=故选：B4．已知P （B ）=0.3，，，则=（ ） ()0.9P BA =∣(0.2PB A =∣()P A A ．B ．C ．D ．671713110【答案】A【分析】根据已知利用全概率公式得，即可求解. ()()()()()||P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅()P A 【详解】由全概率公式可得： ()()()()()||P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅可得，解得：. ()()()0.30.910.2P A P A =⨯+-⨯()17P A =则. 6()7P A =故选：A.5．已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有10门大炮同时对某一目标各射击一次．记恰好击中目标3次的概率为A ；若击中目标记2分，记10门大炮总得分的期望值为B ，则A ，B 的值分别为（ ） A ．，5 B ．，10 C ．，5 D ．，10 15128151281525615256【答案】B【分析】根据题意得其机种次数和期望符合二项分布，利用其期望公式即可得到值，再利用其概B 率公式计算值即可.A 【详解】设10门大炮击中目标的次数为,则根据题意可得,X ()1~10,2X B 门大炮总得分的期望值为，10∴1102102B =⨯⨯=， 373101115(3)C 122128A P X ⎛⎫⎛⎫∴===⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.6．羽毛球单打实行“三局两胜”制（无平局）．甲乙两人争夺比赛的冠军．甲在每局比赛中获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为34（ ） A ．B ．C ．D ．13252345【答案】A【分析】求出甲获胜的概率、甲获得冠军且比赛进行了三局的概率，利用条件概率公式求概率即可.【详解】由甲获胜的概率为，33133313274444444432⨯+⨯⨯+⨯⨯=而甲获得冠军且比赛进行了三局，对应概率为，133313944444432⨯⨯+⨯⨯=所以在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为. 927132323÷=故选：A7．3D 打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D 打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm ，下底直径为8cm ，高为8cm （数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为（ ）A B C D 【答案】C【分析】画出笔筒的轴截面，建立平面直角坐标系，设出双曲线的方程，根据题意写出点的坐标，把点的坐标代入双曲线方程即可求解.【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以为笔筒对应双曲线的实轴端点， C 以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴， OC x O OC y 建立平面直角坐标系，设与分别为上，下底面对应点. A B 由题意可知，设，则，3,4,8A B A B x x y y ==-=()3,A m ()4,8B m -设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为22221(0,0)x y a b a b -=>>3=所以，所以方程可化简为，b =()22288*x y a -=将和的坐标代入式可得，解得， A B ()*()222272812888m a m a ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩12m a ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩则笔筒最细处的直径为. 2a =故选：C.8．已知，，满足，则的最小值为（ ） ()0,0O ()3,0A (),P a b2PO PA =214a b +-A B ．C ．D ．4210-【答案】D【分析】由可整理得到点轨迹方程，设，，可将所求式子化2PO PA =P 42cos a θ=+2sin b θ=，由此可得最小值.()10θϕ+-【详解】由得：，整理可得：， 2PO PA =()222243a b a b ⎡⎤+=-+⎣⎦()2244a b -+=则可令，，，42cos a θ=+2sin b θ=[)0,2πθ∈（其中）， ()21442cos 4sin10a b θθθϕ∴+-=+++-1tan 2ϕ=则当时，()sin 1θϕ+=min 21410a b +-=-故选：D.二、多选题9．已知方程，其中，则（ ） 221mx ny +=220m n +≠A ．时，方程表示椭圆 0mn >B ．时，方程表示双曲线 0mn <C ．时，方程表示抛物线0n =D ．时，方程表示焦点在轴上的椭圆 0n m >>x 【答案】BD【解析】当时，表示双曲线，时表示焦点在x 轴上的双曲线，0mn <22+111x y m n =0,0m n ><表示焦点在y 轴上的双曲线；当时表示焦点在y 轴上的椭圆，当时表0,0m n <>0m n >>0n m >>示焦点在x 轴上的椭圆.【详解】若，则不表示椭圆，故A 错误；0,0m n <<221mx ny +=若，则表示焦点在x 轴上的双曲线，若，则表示焦0,0m n ><22111x y m n -=-0,0m n <>22111y x n m -=-点在y 轴上的双曲线，故B 正确；当时，若，则方程表示两条垂直于x 轴的直线，若则不表示任何图形，故C 错0n =0m ≠0m =误；时，，表示焦点在x 轴上的椭圆，D 正确. 0n m >>110n m<<22111x y m n +=故选：BD【点睛】本题考查圆锥曲线的标准方程，由标准方程判断焦点的位置，属于基础题. 10．下列四个关系式中，一定成立的是（ ）A ．3477C C =B ．222334100101C C C C ++⋅⋅⋅+=C ．()111A A m m n n n +++=D ．若m ，，且，则 *n ∈N 2023m n <≤20232023C C m n<【答案】AC【分析】根据组合数性质与排列数性质判断.【详解】由组合数性质知一定成立，A 正确；3477C C =，B 错；222222223341003341033041001401+111C C C C C C C C C C C ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅=-=-=+=- ，C 正确；()()()()()()()()111A 11111111A m m n n n n n n n m n n n n m ++⎡⎤+=+--+=+-+-++=⎣⎦ 由组合数性质知且，当时，递增，当时，递*n ∈N 2023n ≤11012n ≤≤2023C n 10122023n ≤≤2023C n减，因此D 错． 故选：AC ．11．若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与X ()103P X ==()E X ()D X X 方差，则下列结论正确的是（ ） A ． B ． ()()1P X E X ==()324E X +=C ． D ． ()324D X +=()49D X =【答案】AB【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，由此X 2(1)3P X ==()E X ()D X 分别计算四个选项得出结果．【详解】随机变量服从两点分布，其中，，X 1(0)3P X ==2(1)3P X ∴==，122()01333E X =⨯+⨯=，2221222()(0)(1)33339D X =-⨯+-⨯=在A 中，，故A 正确；(1)()P X E X ==在B 中，，故B 正确； 2(32)3()23243E X E X +=+=⨯+=在C 中，，故C 错误； 2(32)9()929D X D X +==⨯=在D 中，，故D 错误． 2()9D X =故选：AB ．12．已知正方体中，AB =2，P 为正方体表面及内部一点，且，1111ABCD A B C D -1AP AB AD λμ=+其中，，则（ ）[0,1]λ∈[0,1]μ∈A ．当时，PD 1λμ+=B ．当时，存在点P ，使得 21λμ+=AP BD ⊥C ．当时，直线AP 与平面ABCD 所成角正切值的取值范围是 12μ=1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．当时，三棱锥的体积为定值 12λ=1P BC D -【答案】ABD【分析】当时,点P 在上，求出的最小值判断A ，取的中点，连接1λμ+=1BD PD AB K ，是上的动点，平面，可判断B ，取的中点分别为111,,KD AC AC P 1KD BD ⊥11ACC A11,AD BC ,N M ，当时，点P 的轨迹是NM 上的动点，可求直线AP 与平面ABCD 所成角正切值的取值范围12μ=判断C ，取AB ，的中点G ，H ，当时，点P 的轨迹是GH 上的动点，可证平面11D C 12λ=//GH ，判断D.1BC D 【详解】当时,点P 在上，如图，1λμ+=1BD在中，1BD DA 111sin DD D BD BD ∠===时，取得最小值为A 正确；1PD BD ∴⊥PD 1sin BD D BD ⨯∠==取的中点，连接，，AB K 111,,KD AC AC 2AB AK ∴=112AP AB AD AK AD λμλμ∴=+=+ 当时，是上的动点，在正方体中平面，故存在点为 21λμ+=P1KD BD ⊥11ACC A P 平面与的交点时，使，故B 正确； 11ACC A 1KD AP BD ⊥如图，取的中点分别为，当时，点P 的轨迹是NM 上的动点，易得平面11,AD BC ,N M 12μ=//MN ABCD ，故P 到平面的距离为定值1，设直线AP 与平面ABCD 所成角为，当P 点在N 时AP 的α投影最小，最大，此时，当点P 在N时AP 的投影最大，最小，此时αtan 1NFAFα==αAP 与平面ABCD 所成角正切值的取值范围是，故C tan ME AE α===⎤⎥⎦错误；取AB ，的中点G ，H ，当时，点P 的轨迹是GH 上的动点，易得平面11D C 12λ=1//,GH BC GH ⊄，平面，平面，故点P 到平面的距离为定值，三棱锥1BC D 1BC ⊂1BC D //GH ∴1BC D 1BC D ∴的体积为定值，故D 正确.1P BC D -故选：ABD三、填空题13．已知随机变量X 服从正态分布，且，，则()2,N μσ()200.5P X >=()300.24P X >=______．(1030)P X ≤≤=【答案】0.52##1325【分析】先根据对称性得到，结合求出答案.20μ=()300.24P X >=【详解】由对称性可知，，故. 20μ=(1030)12(30)120.240.52P X P X ≤≤=->=-⨯=故答案为：0.5214．如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．【答案】4.5##92【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出抛物线的方程，再代点的坐标即得2x my =解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为， 2x my =将代入，得，所以． ()2,2A -2x my =2m =-22x y =-设，代入，得． ()03,B y 092y =-0 4.5y =-所以拱桥到水面的距离为． 4.5m 故答案为：4.5.15．在正六棱柱中，若底面边长为1，高为3，则BC 到平面的距离111111ABCDEF A B C D E F -11ADC B 为______．【分析】取的中点，证明平面，平面平面，再11,,AD BC B C ,,O M N //BC 11ADC B OMN ⊥11ADC B 求出斜边上的高作答.Rt OMN △【详解】在正六棱柱中，取的中点，连接111111ABCDEF A B C D E F -11,,AD BC B C ,,O M N ，如图，,,MN OM ON，平面，平面，则平面， 11////B C BC AD BC ⊄11ADC B AD ⊂11ADC B //BC 11ADC B 平面，则平面，平面， 11//,MN BB BB ⊥ABCDEF MN ⊥ABCDEF AD ⊂ABCDEF 即，而，即有，，平面， MN AD ⊥OM BC ⊥OM AD ⊥OM MN M = ,OM MN ⊂OMN 则平面，又平面，因此平面平面， AD ⊥OMN AD ⊂11ADC B OMN ⊥11ADC B 在平面内过作于，而平面平面， OMN M MH ON ⊥H OMN 11ADC B ON =于是平面，线段长即为BC 到平面的距离，MH ⊥11ADC B MH 11ADC B，中，，1cos30OM =⨯=3MN =Rt OMN △ON ==所以BC 到平面的距离11ADC BOM MN MH ON ⋅===四、双空题16．如图，我们把由半椭圆和半椭圆合成的曲线称作“果圆”．()2210169y x x +=≤()22102516x y x +=>，，是相应半椭圆的焦点，则的周长为______，直线与“果圆”交于，两1F 2F 3F 123F F F A yt =A B 点，且中点为，点的轨迹方程为______．AB M M【答案】8+()221016y x x +=>【分析】根据各半椭圆方程可得，，的坐标，再根据两点间距离公式求得距离及周长；分1F 2F 3F 别表示点，的坐标，利用中点公式表示，消参即可得到点，得轨迹方程.A B M M 【详解】由，，是相应半椭圆的焦点， 1F2F 3F 可得，，， (1F (20,F ()33,0F 所以，，，12F F =134F F==234F F ==故所求周长为；448++=+设，(),Mx y 联立直线与，得，y t =()2210169y x x +=≤x =即点，A t ⎛⎫ ⎪⎝⎭联立直线与，得 y t =()22102516x y x +=>x 即点，且不重合，即，B t ⎫⎪⎭,A B 4t ≠又为中点，M AB 所以2x t ty t ⎧⎪==⎪⎨⎪+==⎪⎩即，整理可得，，x =0x >22116y x +=0x >故答案为：，.8+()221016y x x +=>五、解答题17．已知的展开式中，所有项的系数之和是512．3nx ⎛ ⎝(1)求展开式中含项的系数；3x (2)求的展开式中的常数项.11(21)nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭【答案】(1)27 (2) 17【分析】（1）利用赋值法得所有项的系数和，求解n ，然后利用二项式展开式通项公式求解即可；（2）把式子化简为，然后分别利用二项式展开式通项公式求解常数项即可.()()992121x x x--+【详解】（1）因为的展开式中，所有项的系数之和是512．3nx ⎛ ⎝所以令，得，所以， 1x =2512n =9n =所以的展开式通项公式为， 3nx ⎛ ⎝()()13991922199C 3C 31rr rr rr r r T x x x ----+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令，解得，所以展开式中含项为， 3932r -=8r =3x ()8813399C 3127T x x =-=所以展开式中含项的系数为27.3x （2）由（1）知，，从而， 9n =()()()9921112121n x x x x x -⎛⎫+-=-+⎪⎝⎭因为的展开式的通项为，()921x -()()919C 21rrrr T x -+=-所以的常数项为，()921x -()()099109C 211T x =-=-又的常数项为，()921x x-()()98889C 2118x x--=所以的展开式中的常数项为.()91121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭11817-+=18．已知抛物线经过点，为抛物线的焦点，且． 2:2(0)C y px p =>(),P a a ()0a >F 5PF =(1)求抛物线的标准方程；C (2)过点的直线与抛物线相交于，两点，求面积的最小值（为坐标原点） ()4,0M l C A B ABO A O 【答案】(1) 24y x =(2)16【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，将点坐标代入抛物线方程求出，P 2a p =再根据焦半径公式计算可得；（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程AB AB AB 为，，，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，根据()()40y k x k =-≠()11,A x y ()22,B x y 面积公式计算可得.【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，()2:20C y px p =>,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭2p x =-由抛物线经过点，，()2:20C y px p =>(),P a a ()0a >可得，即， 22a pa =2a p =又，可得， 5PF =52pa +=解得，，2p =4a =故抛物线的标准方程为.C 24y x =（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为，AB 4x =由，解得，此时，所以的面积．244y x x ⎧=⎨=⎩4y =±8AB =ABO A 184162S =⨯⨯=当直线的斜率存在时，设直线的方程为．AB AB ()()40y k x k =-≠由得，． ()244y k x y x ⎧=-⎨=⎩24160ky y k --=216640k ∆=+>设，，由根与系数的关系得，， ()11,A x y ()22,B x y 124y y k+=1216y y =-所以 1212ABO AOM BOM S S S OM y y =+=⋅-△△△12OM =， 16=>综上所述，面积的最小值为．ABO A 1619．年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织2022了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概2312率是.每个人回答是否正确互不影响． 14(1)若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率； 1(2)若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为2515，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率． 25【答案】(1) 1718(2) 1930【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式可求得乙、丙回答正确的概率，结合对立事件概率公式可求得结果；（2）根据全概率公式直接计算即可.【详解】（1）记甲回答正确为事件，乙回答正确为事件，丙回答正确为事件，则事件A B C 相互独立； ,,A B C 由题意知：，，，()23P A =()12P AC =()14P BC =，， ()()()132243P AC P C P A === ()()()114334P BC P B P C ∴===则甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率.1()213171111133418p P ABC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）记该问题回答正确为事件，甲、乙、丙抢到答题机会分别为事件， D 123,,A A A 则，，，，，， ()125P A =()215P A =()325P A =()123P A A =()213P B A =()334P C A =.()()()()()()()112233P D P A A P A P B A P A P C A P A ∴=++2211321935354530=⨯+⨯+⨯=20．如图，已知直角梯形，，，，，四边形ABCD //AB CD AD DC ==2AB DC =90ADC ∠=︒为正方形，且平面⊥平面．AFCE ACFE ABCD(1)求证：⊥平面；BC ACFE (2)点M 为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值． EF BF MAB 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由余弦定理得到，再由勾股定理逆定理得到，结合面面垂直得到24BC =BC AC ⊥线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值.【详解】（1）已知直角梯形ABCD ，，，//AB CD AD DC =，所以为等腰直角三角形，90ADC ∠=︒ADC △可得，，，2AC ==45CAB ∠=︒AB =所以在中，由余弦定理得， CAB △28422cos 454BC =+-⨯⋅︒=所以，得．222AB AC BC =+BC AC ⊥因为平面平面ABCD ，平面平面，平面， ACFE ⊥ACFE ⋂ABCD AC =BC ⊂ABCD 所以⊥平面．BC ACFE （2）根据（1）中所证可得：两两垂直，,,CA CB CF 故以C 为坐标原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系： ,,CA CB CF ,,x y z 则，，，．()2,0,0A ()0,2,0B ()1,0,2M ()0,0,2F ，，，(2,2,0)AB =- (1,2,2)BM =-(0,2,2)BF =-设为平面MAB 的一个法向量，(),,m x y z =由，取，则， ()()()(),,2,2,0220,,1,2,2220m AB x y z x y m BM x y z x y z ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩ 2x =2,1==y z 故，(2,2,1)m =设直线与平面所成角为，BF MAB θ则．||sin cos ,||||m BF m BF m BF θ⋅=〈〉==⋅即直线与平面 BF MAB 21．新冠疫情不断反弹，各大商超多措并举确保市民生活货品不断档，超市员工加班加点工作.某大型超市为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，拟在年会后，通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有5种面值奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．(1)若箱子中所装的5种面值的奖券中有2张面值为100元，其余3张均为50元，试比较员工获得100元奖励额与获得150元奖励额的概率的大小；(2)公司对奖励总额的预算是7万元，预定箱子中所装的5种面值的奖券有两种方案：第一方案是3张面值30元和2张面值130元；第二方案是3张面值50元和2张面值100元.为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．【答案】(1)员工获得100元奖励额的概率小于获得150元奖励额的概率 (2)应选择第二种方案，理由见解析【分析】（1）根据超几何分布求出员工获得100元奖励额与获得150元奖励额的概率，比较大小即可得出答案；（2）分别求出选择方案一和方案二的分布列，进而求出对应的数学期望和方差，比较方差和期望的大小即可得出答案.【详解】（1）用表示员工所获得的奖励额．X 因为，， ()2325C 3100C 10P X ===()112325C C 63150C 105P X ====所以，()()100150P X P X =<=故员工获得100元奖励额的概率小于获得150元奖励额的概率． （2）第一种方案：设员工所获得的奖励额为，则的分布列为1X 1X 1X 60 160 260P 310 35110所以的数学期望为， 1X ()13316016026014010510E X =⨯+⨯+⨯=的方差为； 1X ()2221331(60140)(160140)(260140)360010510D X =-⨯+-⨯+-⨯=第二种方案：设员工所获得的奖励额为，则的分布列为2X 2X 2X 100 150 200P 310 35110所以的数学期望为， 2X ()233110015020014010510E X =⨯+⨯+⨯=的方差为， 2X ()2222331(100140)(150140)(200140)90010510D X =-⨯+-⨯+-⨯=又因为（元），()()1250050070000E X E X ==所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小， 故应选择第二种方案．22．已知椭圆的短轴长为，且过点．()2222:10y x C a b a b+=>>4()1,3A (1)求椭圆的标准方程；C (2)直线与椭圆相交于、两点，以为直径的圆过点，求点到直线距离的最大值．C P Q PQ A A l【答案】(1)221124y x +=【分析】（1）根据椭圆过点，结合短轴长列方程，解方程即可；A （2）法一：当直线斜率不存在时，设点与的坐标，根据，解方程可得直线方程，当P Q AP AQ ⊥斜率存在时，设直线方程为，联立直线与椭圆，结合韦达定理及，可得y kx m =+AP AQ ⊥，即可得直线过定点，进而确定距离的最值.法二：将椭圆方程转化为322k m =+，设直线方程为，与椭圆联立构造齐()()()()2236331610y y x x -+-+-+-=()()131m x n y -+-=次式得，所以则，是方()()233616663011y y n m m m x x --⎛⎫+++++= ⎪--⎝⎭11131AP y k k x -==-22231AQ y k k x -==-程的两个根，则，即，代入直线方程，可得直线过定点，进而确定1263161m k k n +⋅==-+332m n =--距离的最值.【详解】（1）椭圆的短轴长为，所以，， C 424b =2b =代入点，得，所以 ()1,3A 29114a +=212a =椭圆的方程为；C 221124y x +=（2）法一：当直线斜率不存在时，则有、，直线的方程为：， l ()11,P x y ()11,Q x y -l 1x x =因为以直径的圆过点，所以，PQ A AP AQ ⊥， ()()()()()221111111133190AP AQ x x y y x y ⋅=-⋅-+---=-+-= 又，可得，解得或（舍去），22111124y x +=211210x x --=112x =-11x =当直线斜率存在时，设直线的方程为：，l l y kx m =+设点，()11,P x y ()22,Q x y 联立，得，221124y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()22232120k x kmx m +++-=由韦达定理得，，12223km x x k -+=+2122123m x x k -=+()()()()12121133AP AQ x x y y ⋅=-⋅-+--()()()()12121133x x kx m kx m =-⋅-++-+-()()()()22121213113k x x m k x x m =++--+++-⎡⎤⎣⎦()()()222221221311333m km k m k m k k --=++--++-⎡⎤⎣⎦++， ()()()222222992233033k mk m m k m k m k k ---+---++-===++点点不在直线上，所以，则有，经检验，此时，满足题意， ()1,3A l 30k m +-≠230k m -+=0∆>所以直线的方程为，直线过定点l 13132222y kx m kx k k x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭l 13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭综上，直线恒过定点，记作l 13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭13,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭则当时，点到直线距离最大，最大值为AM l ⊥A l AM ==法二：齐次化构造椭圆的标准方程为，即221124y x +=22312y x +=变形为， ()()223331112y x ⎡⎤⎡⎤-++-+=⎣⎦⎣⎦即， ()()()()2236331610y y x x -+-+-+-=设直线的方程为 l ()()131m x n y -+-=与椭圆方程联立构造齐次式为()()()()()()()()2236313316113y y m x n y x x m x n y ⎡⎤⎡⎤-+--+-+-+--+-⎣⎦⎣⎦ ()()()()()()()2261366136310n y m n x y m x =+-++--++-=即： ()()233616663011y y n m n m x x --⎛⎫+++++= ⎪--⎝⎭设点，()11,P x y ()22,Q x y则，是方程的两个根， 11131AP y k k x -==-22231AQ y k k x -==-又因为， AP AQ ⊥所以，即 1263161m k k n +⋅==-+332m n =--代入直线方程得：，()()336210n x y x -+--+=故直线过定点，记作记作l 13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭13,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭则当时，点到直线距离最大，最大值为AM l ⊥A l AM ==【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。
云南省高二上学期期末教育学业质量监测数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，则（ ） {}2210,{02}A xx x B x x =--≤=<<∣∣A B = A ． B ．C ．D ．(]0,1[]1,2-1,12⎛⎤⎥⎝⎦1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】由题知，再根据集合交集运算求解即可. 112A xx ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭∣【详解】解：解不等式得，2210x x --≤112x -≤≤所以， {}2121012A xx x x x ⎧⎫=--=-⎨⎬⎩⎭∣∣………所以. {01}A B xx ⋂=<∣…故选：A2．设，则（ ） 232i z z +=-1z +=A ．BC ．D 【答案】C【分析】设，，则由已知条件可求出复数，从而可求出 i z a b =+,a b ∈R z 1z +【详解】设，，则，则，， i z a b =+,a b ∈R 23i 32i +=-=-z z a b 1a =2b =所以 112i 122i +=++=+z=故选：C3．已知数列，则这个数列的第8项为（ ）3151,1,,,,4216-- A ．B ．C ．D ． 18-116-964-1132-【答案】B【分析】依据前五项的规律写出数列的通项公式，由通项公式求出数列的第8项即可. 【详解】由已知条件得 ∵数列，，，， 0112=1212-=-23342=31422-=-455,162= ∴， 11(1)2n n n n a +-=-则 98781(1).216a =-=-故选：.B4．双曲线的实轴长为（ ） 22432-=x y A ．1 BC ．2D ．【答案】B【分析】由双曲线的标准方程可求出，即可求双曲线的实轴长.a 【详解】由可得：， 22432-=x y 2211223x y -=，即212a ∴=a =实轴长∴2a =故选：B5．已知椭圆的两个焦点分别为，，是椭圆上一点，2222:1(0)x y C a b a b +=>>1F 2F P ，且的短半轴长等于焦距，则椭圆的标准方程为（ ）12||||10PF PF +=C C A ．B ．2212510x y +=2212520x y +=C ．D ．2213020+=x y 2214530+=x y 【答案】B【分析】由题可得，，即求. 5a =2222,==+b c a b c 【详解】因为， 12210PF PF a +==所以.5a =因为， 2222,==+b c ab c 所以c b ==故椭圆的标准方程为.C 2212520x y +=故选：B.6．已知等比数列的前n 项和为，公比为q ，若，，则（ ） {}n a n S 639S S =445S =1qa =A ．3 B ．6C ．9D ．12【答案】B【分析】根据等比数列前n 项和公式进行求解即可.【详解】设的公比为q ，因为，所以，则有，{}n a 639S S =1q ≠6311(1)(1)911a q a q q q --=⋅--即，解得.又，所以，.319q +=2q =()41124512a -=-13a =16qa =故选：B7．“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（ ）0mn <221x y m n+=A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当，则且或且，此时方程表示的曲线一定为双曲0mn <0m >0n <0m <0n >221x y m n+=线；则充分性成立；若方程表示的曲线为双曲线，则，则必要性成立，221x y m n+=0mn <故选：.C 8．已知数列满足，其前n 项和为，则（ ） {}n a sin 26n n a p p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n S 2021S =A ．B ．C ．D 12-12【答案】D【分析】利用代入法可以判断出该数列的周期，利用周期性进行求解即可.【详解】因为，，，1a 212a =-3a =412a =5a =所以是周期为4的周期数列，，所以. {}n a 40S =20211S a ==故选：D9．椭圆，则（ ） 22182x y m +=-m =A ．6 B ．10C ．6或18D ．10或18【答案】C【分析】对椭圆的焦点位置分两种情况讨论，解方程即得解.【详解】解：当椭圆的焦点在轴上时，.22182x y m +=-x 820,210m m >->∴<<则，得； ()2828m --=6m =当椭圆的焦点在轴上时，.22182x y m +=-y 28,10m m ->∴>则，得. ()2282m m --=-18m =故选：C10．已知经过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，为坐标22(0)y px p =>F ()11,A x y ()22,B x y O 原点，直线交抛物线的准线于点，则下列说法不正确的是（ ）OA l D A ．B ． 212y y p =-12AB x x p =++C ．D ．直线平行于轴2122p x x =DB x 【答案】C【分析】根据焦点弦的性质判断B ，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消AB 2px my =+元、列出韦达定理，即可判断A 、C ，求出点的纵坐标，即可判断D.D 【详解】解：由题知，焦点的坐标为，准线的方程为，所以点的横坐标为F ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭l 2p x =-D 2p -.由抛物线的定义知，，所以，故B 正确. 12pAF x =+22p BF x =+12AB x x p =++设直线的方程为，联立方程组得，AB 2p x my =+222y px p x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩2220y pmy p --=则，所以，故A 正确，C 错误. 212y y p =-2221212244y y p x x p ==因为直线的方程为，所以点的纵坐标为，因为，所以直线平行于OA 12p y x y =D 21p y -221p y y =-DB 轴，故D 正确.x 故选：C11．若数列满足，，则满足不等式的最大正整数n 为{}n a ()()()1112n n n a n a n --=+≥12a =870n a <（ ） A ．28 B ．29C ．30D ．31【答案】A【分析】依题意可得，再利用累乘法求出通项公式，再解一元二次不等式即可； 111n n a n a n -+=-【详解】解：由，得， ()()()1112n n n a n a n --=+≥111n n a n a n -+=-所以 23211213412121n n n a a a n a a n n a a a n -+=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=+- 因为，所以，解得，所以满足条件的最大正整数n 为28. 870n a <28700n n +-<3029n -<<故选：A12．3D 打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm ，下底直径为6cm ，高为9cm ，则喉部（最细处）的直径为（ ）A B cm C D 【答案】D【分析】作该塔筒的轴截面图像并建立坐标系，根据双曲线的性质求出其实轴长度即可. 【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以C 为喉部对应点，设A 与B 分别为上、下底面对应点，以双曲线的对称中心为原点，焦点所在轴为x 轴建立如图所示的坐标系.由题意可知，，， 2A x =3B x =9A B y y -=设，则．()2,A m ()3,9B m -设双曲线的方程为，()222210,0x y a b a b-=>>∵∴．=3b a =方程可化简为(*)，22299x y a -=将A 和B 的坐标代入(*)式可得解得 ()2222369,8199,m a m a ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩a =则喉部的直径cm ． 2a =故选：D二、双空题13．某地区在2020年底全面建成小康社会，随着乡村振兴战略规划的实施，该地区农村居民的收入逐渐增加，可支配消费支出也逐年增加.现统计了该地区2016年到2020年农村居民人均消费支出情况，对有关数据进行处理后，制成如图所示的折线图，其中变量（万元）表示该地区农村居y 民人均年消费支出，则这五年该地区农村居民人均年消费支出的平均数为___________，方差为___________.（本题第一空2分，第二空3分）【答案】 1.3 0.04【分析】根据题意得该地区农村居民人均年消费支出数据为，进而根据公式求解即1,1.2,1.3,1.4,1.6可.【详解】解：该地区农村居民人均年消费支出数据为， 1,1.2,1.3,1.4,1.6所以这五年该地区农村居民人均年消费支出的平均数，1 1.2 1.3 1.4 1.61.35x ++++==方差.222222(1.31)(1.3 1.2)(1.3 1.3)(1.3 1.4)(1.3 1.6)0.045s -+-+-+-+-==故答案为：；1.30.04三、填空题14．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.现有一道和书中内容类似的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且较多的三份面包个数之和的是较少的两份13面包个数之和，则最少的一份面包个数为_____________.【答案】10【分析】设每人所得的面包个数从小到大依次为，，，，， 2a d -a d -a a d +2a d +由题意列方程组求出a ，d ，即可得到结论.【详解】设每人所得的面包个数从小到大依次为，，，，， 2a d -a d -a a d +2a d +则， 225100a d a d a a d a d a -+-+++++==所以. 20a =因为，所以，所以，()1223a d a d a a d a d -+-=++++()14036033d d -=+5d =所以最少的一份面包个数为. 210a d -=故答案为：1015．抛物线上有一动点，其焦点为，则的最小值为___________. 224y x =-P (),9,5F A -PF PA +【答案】15【分析】根据抛物线的定义得到，进而结合几何图形可确定最小值.PF PA PC PA +=+【详解】由题可知，抛物线焦点为，准线为， (6,0)F -:6l x =过作准线的垂线为交准线为点， P PC C 根据抛物线的定义可知， PF PC =所以，PF PA PC PA +=+因为为抛物线上的动点，所以当为点时，P P P '取到最小值为,PF PA PC PA +=+6(9)15AB =--=故答案为: .1516．动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点的轨迹方程是P ()2,0F 8x =1:2P ___________.【答案】2211612x y +=【分析】设动点，用坐标表示已知条件并化简即可．(,)P x y 【详解】设，化简得：，(,)P x y 12=2211612x y +=故答案为：．2211612x y +=【点睛】本题考查动点轨迹方程，解题方法是直接法，即设动点坐标为，用坐标表示出题中动(,)x y 点满足的几何条件，然后化简即可．四、解答题17．已知等差数列的前项和为，公差是的等比中项，. {}n a n n S 20,d a ≠15,a a 575S =(1)求的通项公式；{}n a (2)求数列的前项和.11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】(1) 63n a n =-(2)189n n +【分析】（1）根据等差数列的公式列方程求解得，进而得通项公式；16,3,d a =⎧⎨=⎩（2）结合（1）得，再根据裂项求和法求解即可. 1111166363n n a a n n +⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭【详解】（1）解：由题意知 ()()2111514,51075,a a d a d S a d ⎧+=+⎪⎨=+=⎪⎩因为，所以 0d ≠16,3,d a =⎧⎨=⎩所以.63n a n =-（2）解：因为()()111111636366363n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以 111111111163991563636363189n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ .18．已知的内角所对的边分别为，且.ABC A ,,A B C ,,a b c 3cos 5sin 3cos b C a A c B =-(1)求；sin A (2)若，求的面积.3,5a b ==ABC A 【答案】(1)35(2)6【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式计算可得；（2）首先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用余弦定理求出，最后根据面积公式计cos A c 算可得；【详解】（1）解：因为， 3cos 5sin 3cos b C a A c B =-所以，3sin cos 5sin sin 3sin cos B C A A C B =-所以， 23sin cos 3sin cos 3sin()5sin B C C B B C A +=+=即， 23sin 5sin A A =因为，所以. sin 0A ≠3sin 5A =（2）解:因为，所以，所以. a b <A B <4cos 5A ==因为，2222cos ,3,5a b c bc A a b =+-==所以，所以，24925255c c =+-⨯⨯28160c c -+=解得，4c =故的面积为.ABC A 113sin 546225bc A =⨯⨯⨯=19．如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、上的动点，且a 1111OABC O A B C -E F AB BC .AE BF =(1)求证：；11A F C E ⊥(2)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角余弦值.1B BEF -1B EF BEF【答案】(1)证明见解析 (2) 13【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，表示出、的坐标，根据空间向量法得到AE BF x ==E F ，即可得证；110A C E F ⋅=（2）利用基本不等式求出三棱锥的体积的最大值，从而求出，过作于，1B BEF -x B BD EF ⊥D 即可得到，则是二面角的平面角，再根据锐角三角函数计算可得. 1B D EF ⊥1B DF ∠1B EF B --【详解】（1）证明：如图建立坐标系设，则，，，AE BF x ==()1,0,A a a ()1,,0F a x a -()1,,C x a a --所以，， ()1,,A F x a a =-- ()1,,C E a x a a =--所以， ()2110A F C E xa a x a a ⋅=-+-+= 所以；11A F C E ⊥（2）解：由（1）可知，，BE a x =-BF x =所以三棱锥的体积， 1B BEF -()()221166224x a x a V x a x a a ⎡⎤+-=-≤⋅=⎢⎥⎣⎦当且仅当，即时取得最大值， x a x =-2ax =过作于，又平面，平面， B BD EF ⊥D 1BB ⊥ABCD EF ⊂ABCD 所以，又，平面， 1BB EF ⊥1BB BD B ⋂=1,BB BD ⊂1BB D 所以平面，平面，EF ⊥1BB D 1B D ⊂1BB D所以，1B D EF ⊥所以是二面角的平面角，1B DF ∠1B EF B --在直角三角形中，，， BEF 2a BE BF ==12BD EF ===所以且， 11tan B B B DB BD ∠==111sin tan cos B DB B DB B DB ∠∠=∠2211sin cos 1B DB B DB ∠+∠=解得或（舍去）， 11cos 3B DB ∠=11cos 3B DB ∠=-因此平面与平面的夹角余弦值为. 1B EF BEF 1320．甲､乙两名同学玩摸球游戏，在一个不透明的纸箱中装有大小相同的6个球，其中编号为1的球有3个，编号为2的球有2个，编号为3的球有1个，规定每人一次性取其中的3个，取出编号为1的球记1分，取出编号为2的球记2分，取出编号为3的球记3分.首先由甲取出3个球，并不再将所取球放回原纸箱中，然后由乙取出剩余的3个球.规定取出球的总积分多者获.(1)求甲不输的概率；(2)从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性.【答案】(1) 1320(2)先后取球的顺序不影响比赛的公平性【分析】（1）根据题意，记编号为1的球为，编号为2的球为，编号为3的球为，进,,a b c ,d e f 而列举基本事件，结合古典概型概率公式和对立事件公式求解即可；（2）结合（1），分别求甲、乙获胜的概率即可判断.【详解】（1）解：记编号为1的球为，编号为2的球为，编号为3的球为， ,,a b c ,d e f 则甲取球的所有情况有,,,,,,,,,,,,,,,,,abc abd abe abf acd ace acf ade adf aef bcd bce bcf bde bdf bef cde cdf ，，共20种.,cef def 因为6个小球的总分为分，31221310⨯+⨯+⨯=所以若要甲不输，则甲要至少得5分.设事件表示“甲不输”，则包含，共7个基本事件， A A ,,,,,,abc abd abe acd ace bcd bce 所以， ()720P A =故甲不输的概率. ()71312020P A =-=（2）解：由甲先取球时，若甲获胜，得分只能是7分或6分，即取出的3个小球中有1个编号为3的球和2个编号为2的球，或有1个编号为3的球和1个编号为2的球和1个编号为1的球，有，，共7种情况，,,,,adf aef bdf bef cdf ,cef def 即甲获胜的概率. 1720P =若甲､乙平局，则各得5分，包含，共6个基本事件，,,,,,abf acf bcf ade bde cde 所以甲､乙平局的概率， 2632010P ==所以甲输，即乙获胜的概率， 33771102020P =--=因此甲､乙获胜的概率相同.同理，由乙先取球时，甲､乙获胜的概率也相同.故先后取球的顺序不影响比赛的公平性.21．已知函数．()()e 1e x x f x a -=++(1)若是偶函数，求a 的值；()f x (2)若对任意，不等式恒成立，求a 的取值范围．()0,x ∈+∞()1f x a +…【答案】(1)0(2)(],3-∞【分析】（1）由偶函数的定义得出a 的值；（2）由分离参数得，利用换元法得出的最小值，即可得出a ()1f x a +…2e e 1e 1x x x a -+≤-2e e 1e 1x x x -+-的取值范围．【详解】（1）因为是偶函数，所以，()f x ()()f x f x -=即，故．()()e 1e e 1e x x x x a a --++=++0a =（2）由题意知在上恒成立，()e 1e 1x x a a -++≥+()0,∞+则，又因为，所以，()2e 1e e 1x x x a --+…()0,x ∈+∞e 1x >则．令，则， 2e e 1e 1x x x a -+≤-()e 10x t t -=>e 1x t =+可得， ()()22111111t t t t a t t t t+-++++≤==++又因为，当且仅当时，等号成立，所以，即a 的取值范围是． 113t t ++≥1t =3a ≤(],3-∞22．已知双曲线. 221416x y -=(1)过点的直线与双曲线交于，两点，点能否是线段的中点，为什么？()1,1N S T N ST(2)直线与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、():2l y kx m k =+≠±M M l x y 轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线.(),0A x ()0,B y M (),P x y 【答案】(1)不能，理由见解析(2)的轨迹方程为，其中，的轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10P 22100125x y -=0y ≠P x 的双曲线（去掉两个顶点）.【分析】（1）设，，线段的中点为，设直线的方程为()11,S x y ()22,T x y ST ()00,Q x y ST ，联立直线与双曲线方程，即可求出，再令求出，再代入检验即可；()11y n x -=-0x 01x =n （2）联立直线与双曲线方程，消元，根据，得到，即可得到的坐标，即可Δ0=()2244m k =-M 求出过点且与直线垂直的直线方程，从而得到、的关系，即可得解.M l x y 【详解】（1）解：点不能是线段的中点，理由如下：N ST 设，，线段的中点为，()11,S x y ()22,T x y ST ()00,Q x y 显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，即.ST ST ()11y n x -=-1y nx n =-+因为双曲线的渐近线的斜率为，所以.2±2n ≠±联立方程组得①， 2211416y nx n x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22242(1)(1)160n x n n x n -+----=所以，则，令，解得. 1222(1)4n n x x n -+=-02(1)4n n x n -=-2(1)14n n n -=-4n =当时，方程①变为，因为，4n =21224250x x -+=Δ0<所以方程①没有实数根，所以不能作一条直线与双曲线交于，两点，使点是线段 的中点.S T N ST （2）解：联立方程组得，221416x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩()()22242160k x kmx m ---+=因为，且是双曲线与直线唯一的公共点，2k ≠±M l 所以，得，()()222Δ(2)44160km k m =-+-+=()2244m k =-所以点的坐标为，其中. M 416,k mm ⎛⎫-- ⎪⎝⎭0km ≠因为过点且与直线垂直的直线为， M l 1614k y x m k m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭令，得，令，得， 0y =20k x m =-0x =20y m =-所以， 22222224004001600410010044k m x y m m m ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭即的轨迹方程为，其中， P 22100125x y -=0y ≠的轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点）.P x。
高二上学期期末考试数学(文)试题及答案 (6)
高二年级期末统考数学（文科）试卷命题学校： 命题人：参考资料：一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．下列变量是线性相关的是( )A ．人的身高与视力B ．角的大小与弧长C ．收入水平与消费水平D ．人的年龄与身高 2．给出以下问题：①求面积为1的正三角形的周长； ②求所输入的三个数的算术平均数； ③求所输入的两个数的最小数； ④求函数=)(x f3x x 3x x 22<≥,,，当自变量取0x 时的函数值.其中不需要用条件语句来描述算法的问题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( )A ．①—综合法，②—分析法B ．①—分析法，②—综合法C ．①—综合法，②—反证法D ．①—分析法，②—反证法4．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做100次和150次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为1t 和2t ，已知两人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均值都是s ，对变量y 的观测数据的平均值都是t ，那么下列说法正确的是（ ）A ．t 1和t 2有交点(s,t)B ．t 1与t 2相交，但交点不一定是),(t s)d b )(c a )(d c )(b a ()bc ad (n K ++++-=22C ．t 1与t 2必定平行D ．t 1与t 2必定重合5．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是红球”6.设i 为虚数单位,a,b ∈R,下列命题中：①(a+1)i 是纯虚数；②若a>b,则a+i>b+i;③若(a 2-1)+(a 2+3a+2)i 是纯虚数，则实数a=±1；④2i 2>3i 2.其中，真命题的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．如右图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为( )A ．26B ． 24C ．20D ．199.在等腰三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内作一条射线CD 与线段AB 交于点D ，则AD<AC 的概率是( ).A.22 B.41 C.222 D.43 10.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的k 的值是6，则满足条件的整数S 0的个数是( ) A.31 B.32 C.63 D.6411．定义A*B 、B*C 、C*D 、D*B 分别对应下列图形，那么下面的图形中，可以表示A*D ，A*C 的分别是( )开始 输出k 结束k=0，S=S 0k=k+1S>0?是否S=S-2k 4 63 7 561212 86 BAA ．(1)、(2)B ．(2)、(3)C ．(2)、(4)D ．(1)、(4)12．设a ，b ，c 大于0，a ＋b ＋c ＝3，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 的值( )A ．都大于2B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于2二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.)13．下面是关于复数z ＝i12+-的四个命题：P 1：|z|＝2；P 2：z 2＝2i ；P 3：z 的共轭复数为1＋i ；P 4：z 的虚部为-1.其中的真命题个数为 .14．若一组观测值(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )之间满足y i ＝a ＋bx i ＋e i (i ＝1,2，…，n)，若e i 恒为0，则R 2等于________．15．把十进制108转换为k 进制数为213，则k=_______. 16．正偶数列有一个有趣的现象：2+4=6；8+10+12=14+16；18+20+22+24=26+28+30，…按照这样的规律，则2016在第 等式中.三、解答题( 本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17． (Ⅰ)计算（本小题满分6分）：))(()(i 1i 45i 54i 222--++）（；(Ⅱ)（本小题满分6分）在复平面上，平行四边形ABCD 的三个顶点A,B,C 对应的复数分别为i,1,4+2i.求第四个顶点D 的坐标及此平行四边形对角线的长. 18．（本小题满分12分）.按右图所示的程序框图操作：(Ⅰ)写出输出的数所组成的数集． (Ⅱ)如何变更A 框内的赋值语句，使得根据这个程序框图所输出的数恰好是数列{}n 2的前7项？(Ⅲ)如何变更B 框内的赋值语句，使得根据这个程序框图所输出的数恰好是数列{}2n 3-的前7项？19．（本小题满分12分）.设f(x)331x +=，先分别计算f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)的值，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.20．（本小题满分12分）田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A 、B 、C ，田忌的三匹马分别为a 、b 、c 。
浙江省杭州2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案
杭州2023学年第一学期高二年级期末数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线24x y =的准线方程为()A. 1x =-B. 1x = C. 1y =- D. 1y =【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线标准方程即可求解.【详解】由题知，抛物线方程为24x y =，则其准线方程为1y =-.故选：C2.圆2240x y x +-=上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为（）A.1 B.2C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离以及半径关系，求解即可.【详解】由2240x y x +-=，得22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)，半径2r =，圆心到直线3490x y -+=的距离3d ==，故圆上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为1d r -=.故选：A3.设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足()2PD xPA x =+- 3PB xPC +，则x 的值为（）A.0B.19-C.13-D.23-【答案】C【解析】【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】 空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，231x x x ∴+-+=，解得：13x=-.故选：C4.已知ABC 的三个顶点分别为()1,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,2C ，则BC 边上的中线长为（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用中点坐标公式与空间两点的距离公式即可得解.【详解】因为()0,2,0B ，()2,0,2C ，所以BC 的中点为()1,1,1，又()1,0,0A ，则BC =.故选：B.5.设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项和，且10a <，48S S =，则（）A.0d <B.70a = C.120S = D.7n S S ≥【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项求和公式，结合选项计算依次判断即可.【详解】A ：由48S S =，得1143874822a d a d ⨯⨯+=+，则1112a d =-，又10a <，所以11102a d =-<，得0d >，故A 错误；B ：7111166022a a d d d d =+=-+=>，故B 错误；C ：121121111121266022S a d d d ⨯=+=-⨯+=，故C 正确；D ：7177711135()()22222S a a d d d -=+=-+=，21(1)1222n n n n nS na d d --=+=，由21235n n -≥-，得15n ≤≤或7n ≥，即当15n ≤≤或7n ≥时，有7n S S ≥，故D 错误.故选：C6.用数学归纳法证明：()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（）A.1项B.21k -项C.12k +项D.2k 项【答案】D 【解析】【分析】分别计算出()1f k +和()f k 的项数，进而作差即得结论．【详解】因为()1111232n f n =++++ ，所以()1111232k f k =++++ ，共2k 项，则()11111112321221k k k f k +++++++++=+ 共12k +项，所以()1f k +比()f k 共增加了1222k k k +-=项，故选：D7.若数列{}n a 满足递推关系式122nn n a a a +=+，且12a =，则2024a =（）A.11012B.22023C.11011D.22021【答案】A 【解析】【分析】利用取倒数法可得11112n n a a +-=，结合等差数列的定义和通项公式即可求解.【详解】因为122n n n a a a +=+，所以1211122n n n n a a a a ++==+，所以11112n n a a +-=，又12a =，所以1112=a ，故数列1{}na 是以12为首项，以12为公差的等差数列，则1111(1)222n n n a =+-=，得2n a n=，所以20242120241012a ==.故选：A8.设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB OF =，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得OA OF =，且3OAB OBA ∠≥∠，则Γ的离心率的取值范围是（）A.22,77⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.21,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦C.31,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦D.33,77⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点，根据条件结合双曲线的定义得27480e e --≤求解即可.【详解】不妨设A 在第一象限．因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点．设Γ的左焦点为X ，则4XOA OAB OBA OBA ∠=∠+∠≥∠，122AFO XOA OBA ∠=∠≥∠，即A FAB FB ≥∠∠，FA BF ≤在圆O 上上取一点C ，使FC B F =，则FC FA ≥由双曲线的定义知2CX FC a -≤（a 是实半轴长），即()222224FC aC c C X F +≥=-（c 是半焦距），由2FB OF = ，得212c FB FO ==，得22222242c c c Xa C ⎛⎫+≥=⎭⎛⎫⎪⎝ ⎪⎭-⎝2274202a ac c +-≥，又离心率ce a =，所以27480e e --≤，又1e >，所以21,7e ⎛⎤⎝∈⎥⎦，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知()f x ，()g x 在R 上连续且可导，且()00'≠f x ，下列关于导数与极限的说法中正确的是（）A.()()()000Δ0ΔlimΔx f x x f x f x x→--'= B.()()()Δ0ΔΔlim2Δh f t h f t h f t h→+--'=C.()()()000Δ03Δlim3Δx f x x f x f x x→+-'= D.()()()()()()000Δ0000Δlim Δx g x x g x g x f x x f x f x →'+-='+-【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数的定义逐个求解.【详解】()()()()()000000limlimx x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+⎡⎤-∆--∆-'=-=-∆-∆⎣⎦，故A 错；()()()()()02limlim22h h f t h f t h f t h f t f t hh∆→∆→+∆--∆+∆-'==∆∆，故B 对；()()()00003lim3x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，由导数的定义知C 对；()()()()()()()()()()0000000000000limlimlim x x x g x x g x g x x g x g x x f x x f x f x x f x f x x ∆→∆→∆→+∆-'+∆-∆==+∆-'+∆-∆，故D 对；故选：BCD10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，正项等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则（）A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B.数列{}3na 是等比数列C.数列{}ln n T 是等差数列D.数列2n n T T +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的定义及等差数列前n 项和公式为计算即可.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则2112222n n S d d d d S n a n n a n ⎛⎫⎛⎫=+-⇒=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1212n n S S d n n n --=≥-是常数，故A 正确；易知()1133323nn n n a a a d a n ---==≥是常数，故B 正确；由()1ln ln ln 2n n n T T b n --=≥不是常数，故C 错误；()221212n n n n n nT T b q n T T b +++-÷==≥是常数，故D 正确.故选：ABD11.已知O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，直线l 交抛物线于,M N 两点，过点,M N 分别向准线2px =-作垂线，垂足分别为,P Q ，则下列说法正确的是（）A.若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与y 轴相切B.若直线l 过焦点F ，则PF QF⊥C.若,M N 两点的纵坐标之积为28p -，则直线l 过定点()4,0pD.若OM ON ⊥，则直线l 恒过点()2,0p 【答案】BCD 【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式结合条件判断AB ，设直线l 方程为x my b =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件判断CD.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，选项A ：MN 中点H 即以MN 为直径的圆的圆心横坐标为122x x +，则由抛物线的定义可知12MN MP NQ x x p =+=++，所以梯形PMNQ 的中位线122x x pGH ++=，所以点H 到y 轴的距离为1222x x p GH +-=不等于半径1222x x pMN ++=，A 说法错误；选项B ：由抛物线的定义可知MP MF =，NF NQ =，又根据平行线的性质可得1MPF PFO MFP ∠=∠=∠=∠，2NQF QFO NFQ ∠=∠=∠=∠，因为()212π∠+∠=，所以π122∠+∠=，即PF QF ⊥，B 说法正确；选项C ：由题意可知直线l 斜率不为0，设直线l 方程为x my b =+，联立22x my b y px=+⎧⎨=⎩得2220y pmy pb --=，22480p m pb ∆=+>，所以122y y pb =-，由21228y y pb p =-=-解得4b p =，满足0∆>，所以直线:4l x my p =+过定点()4,0p ，C 说法正确；选项D ：因为OM ON ⊥，所以由0OM ON ⋅= 可得12110x x y y +=，所以221212022y y y y p p⋅+=①，将122y y pb =-，代入①得2b p =，满足0∆>，所以直线:2l x my p =+过定点()2,0p ，D 说法正确；故选：BCD12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.122QC AD AB AA =+- B.若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM BD ⋅的最小值为1C.点F 到直线CQ 的距离是3D.异面直线CQ 与1AD 【答案】ABD 【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则判断A ，以1A 为坐标原点，1A F 所在直线为x 轴，11A B 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算B 、C 、D .【详解】因为()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+，所以()112222QC CQ AB AD AA AD AB AA =-=---+=+-，故A 正确；如图以1A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()0,1,1B -，()11,0,0D -，()1,0,1D --，()0,1,1Q -，()1,1,1C --，()0,0,1A -，()1,0,0F ，()1,1,0BD =-- ，()1,2,2CQ =- ，()11,0,1AD =- ，()2,1,1CF =-，对于B ：因为M 为线段CQ 上的一个动点，设CM CQ λ=，[]0,1λ∈，则()()()1,0,01,2,21,2,2BM BC CM λλλλ=+=-+-=--，所以()121BM BD λλλ⋅=--+=+，所以当0λ=时()min1BM BD ⋅= ，故B 正确；对于C ：CF ==63CF CQ CQ ⨯+-⨯-+⨯⋅==，所以点F到直线CQ的距离d ==，故C 错误；对于D：因为111cos ,6CQ AD CQ AD CQ AD ⋅===⋅ ，所以1sin ,6CQ AD ==，所以1tan ,CQ AD =，即异面直线CQ 与1AD ，故D 正确；故选：ABD .第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知()sin exf x =，则()f x '=_____________．【答案】sin e cos x x ⋅【解析】【分析】利用复合函数求导函数方法求解即可.【详解】由()()()sin sin sin c e e e sin os x x x x x x f '=⋅=⋅''=，故答案为：sin e cos x x⋅14.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足2PA PB=，则△PAB 面积的最大值为_____________．【答案】3【解析】【分析】首先求点P 的轨迹方程，再利用数形结合求PAB 面积的最大值.【详解】以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设33(,),(,0),(,0)22P x y A B -，因为2PA PB=，即2PA PB =，=，整理为：22542x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹是以点5,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为2的圆，所以点P 到AB 距离的最大值是2，所以PAB 面积的最大值是13232⨯⨯=.故答案为：315.已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PFPA的最小值为________.【答案】2【解析】【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PM PAM PA =∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。
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高二（上）期末数学试卷6一、选择题1．已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|x＞2} B．{x|x＞1} C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}2．下列结论正确的是（）A．x＞1⇒＜1 B．x+≥2 C．x＞y⇒=＜D．x＞y⇒x2＞y23．命题“∃x∈R+，lnx＞0”的否定是（）A．∃x∈R+，lnx＞0 B．∀x∈R+，lnx≤0 C．∀x∈R+，lnx＞0 D．∃x∈R+，lnx≥04．有20位同学，编号从1至20，现从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样法所抽的编号为（）A．5、10、15、20 B．2、6、10、14 C．2、4、6、8 D．5、8、11、145．执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（A．4 B．5 C．6 D．76．椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点F1，F2，点M在椭圆上，且MF1⊥F1F2，|MF1|=，|MF2|=，则离心率e等于（）A．B．C．D．7．如图，在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为（）A．B．C．D．8．已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm），则该四棱锥的体积是（）A．27cm3B．9cm3C．cm3D．3cm310．实数x，y满足，则z=y﹣x的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．411．函数，给出下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期为B．f（x）的一条对称轴为C．f（x）的一个对称中心为D．是奇函数12．设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[﹣2，1）时，f（x）=，则f（）=（）A．0 B．1 C．D．﹣1二、填空13．若角45°的终边上有一点（4，a），则a的值是．14．不等式x2﹣3x﹣18≤0的解集为．15．若与为非零向量，，则与的夹角为．16．直线l过点A（3，2）与圆x2+y2﹣4x+3=0相切，则直线l的方程为．三、解答题17．求椭圆+=1的长轴和短轴的长、顶点和焦点的坐标．18．焦点坐标（﹣5，0），实轴长为6，求双曲线标准方程并求此双曲线渐近线方程及离心率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．（1）求证：PD∥面AEC；（2）求证：平面AEC⊥平面PDB．20．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，已知第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明．21．已知等差数列{a n}，S n为其前n项和，a5=10，S7=56．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n+（），求数列{b n}的前n项和T n．22．已知函数（x∈R）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，B为锐角，且f（B）=，AC=4，D是BC边上一点，AB=AD，试求△ADC周长的最大值．高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|x＞2} B．{x|x＞1} C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3} 【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】直接利用交集运算求得答案．【解答】解：∵A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，∴A∩B={x|x＞2}∩{x|1＜x＜3}={x|2＜x＜3}．故选：C．【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题．2．下列结论正确的是（）A．x＞1⇒＜1 B．x+≥2 C．x＞y⇒=＜D．x＞y⇒x2＞y2【考点】不等式的基本性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】A．x＞1⇒＜1；B．x＜时不成立；C．取x＞0，y＜0，不成立；D．取x=﹣1，y=﹣2，不成立．【解答】解：对于A．x＞1⇒＜1，正确；对于B．x＜时不成立；对于C．取x＞0，y＜0，则不成立；对于D．取x=﹣1，y=﹣2，不成立．只有A正确．故选；A．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．3．命题“∃x∈R+，lnx＞0”的否定是（）A．∃x∈R+，lnx＞0 B．∀x∈R+，lnx≤0 C．∀x∈R+，lnx＞0 D．∃x∈R+，lnx≥0【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：特称命题的否定是全称命题，则命题“∃x∈R+，lnx＞0”的否定是：∀x∈R+，lnx≤0，故选：B【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．有20位同学，编号从1至20，现从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样法所抽的编号为（）A．5、10、15、20 B．2、6、10、14 C．2、4、6、8 D．5、8、11、14【考点】系统抽样方法．【专题】常规题型．【分析】系统抽样，要求编号后，平均分租，每一组只抽一个样本，两个相邻的样本的编号间距相等【解答】解：从20人中用系统抽样抽4个人，须把20人平均分成4组，每一组只抽1人，且所抽取的号码成等差数列只有A选项满足故选A【点评】本题考查系统抽样，要求掌握系统抽样的特点：平均分租，每一组只抽一个样本，号码成等差数列．属简单题5．执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．6．椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点F1，F2，点M在椭圆上，且MF1⊥F1F2，|MF1|=，|MF2|=，则离心率e等于（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意，|F1F2|==2=2c，2a=+=6，即可求出椭圆的离心率．【解答】解：由题意，|F1F2|==2=2c，2a=+=6，∴e==．故选：C．【点评】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．7．如图，在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为（）A．B．C．D．【考点】概率的应用．【专题】计算题．【分析】先求出正方形的面积为22，设阴影部分的面积为x，由概率的几何概型知，由此能求出该阴影部分的面积．【解答】解：设阴影部分的面积为x，则，解得x=．故选B．【点评】本题考查概率的性质和应用，每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型．解题时要认真审题，合理地运用几何概型解决实际问题．8．已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据题意，分两步来判断：①分析当α∥β时，a⊥b是否成立，有线面垂直的性质，可得其是真命题，②分析当a⊥b时，α∥β是否成立，举出反例可得其是假命题，综合①②可得答案．【解答】解：根据题意，分两步来判断：①当α∥β时，∵a⊥α，且α∥β，∴a⊥β，又∵b⊂β，∴a⊥b，则a⊥b是α∥β的必要条件，②若a⊥b，不一定α∥β，当α∩β=a时，又由a⊥α，则a⊥b，但此时α∥β不成立，即a⊥b不是α∥β的充分条件，则a⊥b是α∥β的必要不充分条件，故选B．【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及线面垂直的性质的运用，解题的关键要掌握线面垂直的性质．9．某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm），则该四棱锥的体积是（）A．27cm3B．9cm3C．cm3D．3cm3【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】几何体是四棱锥，由侧视图知四棱锥的高为1，根据三视图的数据判断底面是边长为1+2=3的正方形，代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的高为1，底面是边长为1+2=3的正方形，∴几何体的体积V=×32×1=3（cm3）．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．10．实数x，y满足，则z=y﹣x的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件画出平面区域，如图所示．A（0，1），化目标函数z=y﹣x为y=x+z，由图可知，当直线y=x+z过点A时，目标函数取得最大值．∴z max=1﹣0=1．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．函数，给出下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期为B．f（x）的一条对称轴为C．f（x）的一个对称中心为D．是奇函数【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期T，判断出A错误；把x=代入2x+中计算，根据正弦函数图象的对称性，判断出B、C错误；化简f（x﹣），得出f（x﹣）是定义域R上的奇函数，判断出D正确．【解答】解：函数=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π，A错误；又当x=时，2x+=≠kπ+，k∈Z，∴x=不是f（x）的对称轴，B错误；同理x=时，2x+=≠kπ，k∈Z，∴（，0）不是f（x）的对称中心，C错误；又f（x﹣）=sin[2（x﹣）+]=sin2x，∴f（x﹣）是定义域R上的奇函数，D正确．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换问题，是基础题目．12．设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[﹣2，1）时，f（x）=，则f（）=（）A．0 B．1 C．D．﹣1【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】既然3是周期，那么﹣3也是周期，所以f（）=f（﹣），代入函数解析式即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为3的函数，∴f（）=f（﹣3）=f（﹣）=4（﹣）2﹣2=﹣1故选：D【点评】本题考查函数的周期性以及分段函数的表示，属于基础题．二、填空13．若角45°的终边上有一点（4，a），则a的值是4．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；函数思想；定义法；三角函数的求值．【分析】直接利用三角函数的定义，即可求出m的值．【解答】解：因为45°角的终边上有一点为（4，a），所以tan45°==1，所以a=4．故答案为：4．【点评】本题考查三角函数的定义，考查计算能力，正确运用利用三角函数是关键．14．不等式x2﹣3x﹣18≤0的解集为[﹣3，6]．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】不等式可化为（x+3）（x﹣6）≤0．解得x≤﹣3≤x≤6，由此得到不等式的解集．【解答】解：不等式x2﹣3x﹣18≤0，即（x+3）（x﹣6）≤0．解得x≤﹣3≤x≤6，故不等式解集为[﹣3，6]，故答案为：[﹣3，6]．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．15．若与为非零向量，，则与的夹角为．【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】利用模的计算公式和数量积即可得出．【解答】解：∵，∴，∴=，∴．∵与为非零向量，∴．∴与的夹角为．故答案为．【点评】熟练掌握模的计算公式和数量积是解题的关键．16．直线l过点A（3，2）与圆x2+y2﹣4x+3=0相切，则直线l的方程为x=3或3x﹣4y﹣1=0．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】根据直线和圆相切的条件进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=1，则圆心坐标为（2，0），半径R=1若直线斜率k不存在，则直线方程为x=3，圆心到直线的距离d=3﹣2=1，满足条件．若直线斜率k存在，则直线方程为y﹣2=k（x﹣3），即kx﹣y+2﹣3k=0，圆心到直线的距离d==1，平方得k=，此时切线方程为3x﹣4y﹣1=0，综上切线方程为x=3或3x﹣4y﹣1=0，故答案为：x=3或3x﹣4y﹣1=0．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．三、解答题17．求椭圆+=1的长轴和短轴的长、顶点和焦点的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆性质求解．【解答】解：椭圆+=1中，∵a=4，b=2，c==2，∴椭圆+=1的长轴2a=8，短轴2b=4，顶点（﹣4，0），（4，0），（0，﹣2），（0，2），焦点（﹣2，0），（2，0）．【点评】本题考查椭圆的长轴和短轴的长、顶点和焦点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．18．焦点坐标（﹣5，0），实轴长为6，求双曲线标准方程并求此双曲线渐近线方程及离心率．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可知，双曲线为实轴在x轴上的双曲线，并求得c与a的值，代入隐含条件求得b，则双曲线标准方程、渐近线方程及离心率可求．【解答】解：∵双曲线焦点坐标（﹣5，0），∴双曲线为实轴在x轴上的双曲线，且c=5，又实轴长为6，即2a=6，得a=3，∴b2=c2﹣a2=25﹣9=16，则b=4，∴双曲线标准方程为，渐近线方程为y=±，即4x±3y=0，双曲线的离心率为e=．【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查了双曲线的简单性质，是基础题．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．（1）求证：PD∥面AEC；（2）求证：平面AEC⊥平面PDB．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题．【分析】（1）设AC∩BD=O，连接EO，证明PD∥EO，利用直线与平面平行的判定定理证明PD∥面AEC．（2）连接PO，证明AC⊥PO，AC⊥BD，通过PO∩BD=O，证明AC⊥面PBD，然后证明面AEC⊥面PBD【解答】解：（1）证明：设AC∩BD=O，连接EO，因为O，E分别是BD，PB的中点，所以PD∥EO…（4分）而PD⊄面AEC，EO⊂面AEC，所以PD∥面AEC…（7分）（2）连接PO，因为PA=PC，所以AC⊥PO，又四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD…（10分）而PO⊂面PBD，BD⊂面PBD，PO∩BD=O，所以AC⊥面PBD…（13分）又AC⊂面AEC，所以面AEC⊥面PBD…（14分）【点评】本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力．20．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，已知第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明．【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；图表型．【分析】（1）根据各个小矩形的面积之比，做出第二组的频率，再根据所给的频数，做出样本容量．（2）从频率分步直方图中看出次数子啊110以上的频数，用频数除以样本容量得到达标率，进而估计高一全体学生的达标率．（3）这组数据的中位数落在的位置是刚好把频率分步直方图分成两个相等的部分的位置，测试中各个小组的频数分别是6，12，51，45，27，9前3组频数之和是69，后3组频数之和是81，得到中位数落在第四小组．【解答】解：（1）∵各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3∴第二小组的频率是=0.08∵第二小组频数为12，∴样本容量是=150（2）∵次数在110以上（含110次）为达标，∴高一学生的达标率是=88%即高一有88%的学生达标．（3）∵这组数据的中位数落在的位置是刚好把频率分步直方图分成两个相等的部分的位置，∵测试中各个小组的频数分别是6，12，51，45，27，9前3组频数之和是69，后3组频数之和是81，∴中位数落在第四小组，即跳绳次数的中位数落在第四小组中．【点评】本题考查频率分步直方图，考查用样本的频率分布估计总体的频率分布，本题解题的关键是读懂直方图，本题是一个基础题．21．已知等差数列{a n}，S n为其前n项和，a5=10，S7=56．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n+（），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）根据题意和等差数列的前n项和公式、通项公式，求出公差和首项，再求出数列{a n}的通项公式；（2）由（1）求出b n，由分组求和法和等差、等比数列的前n项和公式求出T n．【解答】解：（1）由S7=56得=56，则7a4=56，解得a4=8，因为a5=10，所以公差d=a5﹣a4=10﹣8=2，则a4=a1+3d，解得a1=8﹣6=2，所以a n=2+2（n﹣1）=2n；（2）由（1）得，b n=a n+（）=2n+3n，所以T n=（2+3）+（4+32）+（6+33）+…+（2n+3n）=（2+4+6+…+2n）+（3+32+33+…+3n）=+=，所以T n=．【点评】本题考查等差数列的通项公式，等差、等比数列的前n项和公式，及数列的求和方法：分组求和法，属于中档题．22．已知函数（x∈R）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，B为锐角，且f（B）=，AC=4，D是BC边上一点，AB=AD，试求△ADC周长的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【专题】计算题；三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=．由，可得单调递增区间．（2）由得．又，则可求得，由AB=AD可求得：AD+DC=BD+DC=BC，又由正弦定理可得BC=8sin∠BAC．由，可得．故可得周长最大值．【解答】解：（1）===．由，得（k∈Z）．∴单调递增区间为，k∈Z（2）由得．又，则，从而，∴．由AB=AD知△ABD是正三角形，AB=AD=BD，∴AD+DC=BD+DC=BC，在△ABC中，由正弦定理，得，即BC=8sin∠BAC．∵D是BC边上一点，∴，∴，知．当时，AD+CD取得最大值8，周长最大值为．【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，综合性较强，属于中档题．。