2016-2017学年高中数学 2.2.2对数函数及其性质(2)教案 新人教版必修1(精品)
数学：2.2.2《对数函数及其性质(2)》教案(新人教A必修1)
2.2.2对数函数及其性质（2）教学目的：使学生进一步掌握对数函数的图象和性质，利用性质解决一些实际问题； 理解反函数的概念，了解互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称。
教学重点：对数函数图象和性质的应用。
教学难点：反函数概念的理解。
教学过程一、复习提问1、评讲作业：P86 6、2、函数y=x a log （a ＞0，且a ≠1）有哪些性质？3、利用换底公式求值：275431252log log log ∙二、新课例9、溶液酸碱度的测量。
溶液酸碱度是通过PH 画的。
PH 的计算公式为PH ＝－lg ［H ＋］，其中［H ＋］表 示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。
（1）根据对数函数性质及上述PH 的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子 的浓度之间的变化关系；（2）已知纯净水中氢离子的浓度为［H ＋］＝10－7摩尔/升，计算纯净水的PH 。
解：（1）根据对数的运算性质，有PH ＝－lg ［H ＋］＝lg ［H ＋］－1＝＝][1lg +H 在（0，∞）上，随着［H ＋］的增大，][1+H 减小，相应地，][1lg +H 也减小即PH 减小。
所以随着［H ＋］的增大，PH 值减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸度 就越小。
（2）当［H ＋］＝10－7时，PH ＝－lg10－7＝7，所以纯净水的PH 是7。
纯净水的PH 应该在5.0――7.0之间。
y ＝2x 中，x 是自变量，y 是因变量。
若y 是自变量，x 是因变量,x 是y 的函数吗？ 把y ＝2x 由指数式写成对数式：x ＝y 2log y ∈（0，＋∞）时，通过式子 x ＝y 2log 可知，x 在R 中有唯一确定的值和它对应，因此，可以说若y 是自变量，x 是因变量,x 是y 的函数，这时我们说x ＝y2log （y ∈（0，＋∞））是函数y ＝2x （x ∈R ）的反函数（inverse function ）. x ＝y 2log 习惯写成y ＝x2log对数函数y ＝x 2log （x ∈（0，＋∞））是指数函数y ＝2x （x ∈R ）的反函数。
高中数学2.2.2对数函数及其性质教案2新人教A版必修1
对数函数的复习课教学目标：（1）知识与技能：理解对数函数的概念，掌握对数函数的图像与性质，并能应用对数函数的图像与性质解决实际的问题；（2）过程与方法：通过对数函数概念及对数函数图像与性质的梳理，深化对对数函数的认识，感受数学结合，分类讨论的数学思想。
（3）情感态度与价值观：让学生在探索中体会数学的简洁美，对称美，激发学习的热情和学习的兴趣，培养探索精神。
教学重点：对数函数的概念，对数函数的图像与性质教学难点：对数函数的图像与性质的应用教学过程：（一）以案导学，先学检查预习是一种良好的学习习惯，能培养学生的自学习惯和自学能力，有效的提高学生课堂的独立思考问题能力。
1.函数2()log (2)f x x =-的定义域是_____________；2. 函数()log (2)1,0,1a f x x a a =-+>≠的图像恒过一定点是___________；3. 函数2()ln(43)f x x x =+-的单调减区间是_____________；4. 函数()l o g ,0,x a f x a x a a =+>≠在区间[1,2]上的最大值为l o g 26a +，则a =_____;（二）自主深化，问题探究以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性，注重学生对基础知识的整合，使学生在自主探究中构建知识，发展自主学习的能力。
学生活动（1）：自主梳理知识点，具体要求：（1）独立的在导学案上梳理出本节课的知识网络；（2）小组讨论：提出自己的疑惑,可以是具体的知识点，亦可是具体的例题、习题；（3）小组代表发言：讲解自己对知识点的梳理结果，在形成知识脉络的前提下，进一步的通过直观感知体验对数函数图像与性质的应用，同时从局部归纳①与③图像间的联系，以及①②③④图像反映出的底数变化规律。
学生活动（2）在同一个坐标系中画出下列函数的图像：①2log y x = ②3log y x = ③12log y x = ④15log y x =（三）交流展示，点拨精讲请学生独立完成以下问题，其目的是：让学生在展示中暴露出思维，规范性，在交流中发生思维的碰撞，在自主的讲解中深化认识，互学中共同提高；例1.比较下列各组数的大小（1）已知0.3log 2a =，0.3log 5b =，则,a b 的大小关系__________；（2）已知0.12a =，5ln2b =，39log 10c =，则,,a b c 的大小关系__________；例2.设函数()log ,0,1,0a x b f x a a b x b+=>≠>- （1）求函数()f x 的定义域；（2）讨论函数()f x 的奇偶性；例3.已知函数2()log (1),0,1a f x ax x a a =-+>≠（1）若12a =，求函数()f x 的值域； （2）当()f x 在区间13[,]42上为增函数时，求a 的取值范围；例题解决后的反思：_____________________________________________________________________________________________________________________________________________（四）即练即将，当堂检测为了及时了解学生在一节课中的收获及学习效率，查漏补缺，特设计当堂检测环节。
高中数学2.2.2对数函数及其性质(二)教案
难点
1．不同底数的对数比较大小；
２．对数形式的复合函数的单调性的讨论．
教
学
流
程
教学内容
师生活动及时间分配
一、复习引入：
1．对数函数的定义：
函数 叫做对数函数，对数函数 的定义域为 ，值域为
2、对数函数的性质：（PPT表格，学生填表）
二、新授内容：
例1．比较下列各组中两个值的大小：
这3个题可根据课堂需要调整，可当堂训练也可为作业。四、1.比较对数大小的方法；
2．对数复合函数单调性的判断；
3．对数复合函数定义域、值域的求法．
仅此学习交流之用
谢谢
高中数学2.2.2对数函数及其性质（二）教案新人教版必修1
课题：2.2.2对数函数及其性质（二）
教学目的
1．对数函数的单调性；2．同底数对数比较大小；３．不同底数对数比较大小；
４．对数形式的复合函数的定义域、值域； ５．对数形式的复合函数的单调性
重点
1．利用对数函数单调性比较同底数对数的大小；
2．求对数形式的复合函数的定义域、值域的方法；
五、课后作业
1．《习案》P193与P195面。
分层习题
2．讨论函数 在 上的单调性．（减函数）
3.已知函数y= (2- )在［0，1］上是减函数，求a的取值范围．
1、提问
2、全体学生在本上完成，收下课批改
小结1：引入中间变量比较大小:例1仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小．
（1）
⑵ ．
（3）
练习：1．比较大小（备用题）
1 ；
《2.2.2对数函数及其性质》教案
对数函数及其性质一、教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修1》（人教A版）《2.2.2对数函数及其性质》共3课时，本节课是第1课时。
本节课主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。
对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。
与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。
学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。
二、学生学习情况分析1．有利条件本节课是在学生学完了对数及其运算、并初步接触了一些对数应用问题的基础上进行的，同时前面指数函数的研究也为本课学习提供了范例，这些都是学生学习本节课的有利条件。
2．不利条件学生初中也已经学习过整数指数幂及其运算，因些学生对指数函数的学习有一定的基础可寻。
但对数和对数函数，对学生来说都是新知识，对学生来说更抽象和陌生，同时前面3节课的大量的对数运算公式的学习，也可能使学生对本节课的学习产生一些为难情绪。
克服不利因素的关键是紧紧抓住指数与对数的联系，利用它们在形式上的相互转化，并结合函数的概念进行教学。
三、教学目标分析课标要求：初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
1．知识与技能目标⑴理解指数函数与对数函数的内在关系；⑵掌握对数函数的概念、图象和性质；2．过程与方法目标⑴能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质.⑵通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，体会对数函数是一类重要的函数模型.3．情感、念度与价值观目标在指数函数与对数函数相互类比与转化的学习中，体会转化的转想和对立统一的辩证关系。
四、教学重点、难点分析重点：对数函数的定义、图象和性质难点：对数函数概念的理解，底数a的范围对对数函数图象、性质的影响.突破难点的关键：从指数函数与对数函数联系的角度来引出和分析对数函数的概念，发挥数形结合的直观特点，进行操作、猜想的验证，在学生原有的知识基础上来进行本节课的教学。
高中数学优质教案 对数函数及其性质(二)
2.2.2 对数函数及其性质第2课时 对数函数及其性质的应用●三维目标 1．知识与技能(1)掌握对数函数的单调性；(2)会进行同底数对数和不同底数对数的大小比较； (3)了解反函数的概念，加深对函数思想的理解． 2．过程与方法(1)通过师生互动使学生掌握比较同底数对数大小的方法； (2)培养学生的数学应用意识；(3)渗透运用定义、数形结合、分类讨论等数学思想． 3．情感、态度与价值观(1)用联系的观点分析、解决问题； (2)认识事物之间的相互转化；(3)加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解，培养学生数学交流能力．●重点难点重点：对数式的大小比较及对数函数性质的应用．难点：不同底数的对数式比较大小及指数函数与对数函数间的关系．重难点的突破：以对数函数的图象为切入点，在引导学生回忆对数函数图象的同时，运用数形结合的思想完成同底数的对数式的大小比较，体会对数函数单调性的应用，通过类比幂的大小比较，启发引导学生完成不同底数的对数式大小比较问题．对于指数函数与对数函数间的关系，可引导学生分组协作，借助于计算器在同一直角坐标系中画出y ＝2x 与y ＝log 2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝log 12x 两组函数的图象，观察各组函数的图象，探求他们之间的关系．然后引导类比、联想，并探究当a >0，a ≠1时，函数y ＝a x 与y ＝log a x 的图象之间的关系．【问题导思】函数y＝log2x与y＝2x的定义域和值域之间有什么关系？其图象之间是什么关系？【提示】函数y＝log2x与y＝2x的定义域和值域之间是互换的，两者的图象关于直线y＝x对称．对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)和指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)互为反函数.例1(1)ln0.3，ln2；(2)log a3.1，log a5.2(a>0，且a≠1)；(3)log30.2，log40.2；(4)log3π，logπ3.【思路探究】(1)构造对数函数y＝ln x，利用函数的单调性判断；(2)需对底数a分类讨论；(3)由于两个对数的底数不同，故不能直接比较大小，可对这两个对数分别取倒数，再根据对数函数的单调性比较大小；(4)构造对数函数，并借助中间量判断．【自主解答】(1)因为函数y＝ln x是增函数，且0.3<2，所以ln0.3<ln2.(2)当a>1时，函数y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，又3.1<5.2，所以log a3.1<log a5.2；当0<a<1时，函数y＝log a x在(0，＋∞)上是减函数，又3.1<5.2，所以log a3.1>log a5.2.(3)法一因为0>log0.23>log0.24，所以1log0.23<1log0.24，即log30.2<log40.2.法二如图所示,由图可知log40.2>log30.2.(4)因为函数y＝log3x是增函数，且π>3，所以log3π>log33＝1.同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3.规律方法比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性．1．若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．2．若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．3．若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大的规律画出函数的图象，再进行比较．4．若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．变式训练若a ＝log 0.20.3，b ＝log 26，c ＝log 0.24，则a ，b ，c 的大小关系为________． 【解析】 因为f (x )＝log 0.2x 为减函数，且0.2<0.3<1<4， 则log 0.20.2>log 0.20.3>log 0.21>log 0.24，即1>a >0>c . 同理log 26>log 22＝1，可知结果． 【答案】 b >a >c例2.（122(2)若log a 23＜1，求实数a 的取值范围．【思路探究】 (1)利用y ＝log 2x 为增函数求x 的范围；(2)按a ＞1及0＜a ＜1分类讨论，解不等式．【自主解答】 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞01－x ＞0x ＋1＞1－x ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1x ＜1x ＞0，⇒0＜x ＜1，所以log 2(x ＋1)＞log 2(1－x )的解集为{x |0＜x ＜1}． (2)不等式log a 23＜1可化为log a 23＜log a a .①当a ＞1时，y ＝log a x 单调递增，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＞123＜a ，解得a ＞1；②当0＜a ＜1时，y ＝log a x 单调递减，故⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜123＞a ，解得0＜a ＜23.综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23∪(1，＋∞)． 规律方法1．当底数取值范围不确定时，通常需要对底数按a ＞1及0＜a ＜1进行分类讨论． 2．与对数有关的不等式的两种类型及转化方法 (1)当a >1时，①log a f (x )>b ＝log a a b ⇒f (x )>a b ；②log a f (x )>log a g (x )⇒⎩⎨⎧f xg xg x(2)当0<a <1时，①log a f (x )>b ＝log a a b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧f x a b f x；②log a f (x )>log a g (x )⇒⎩⎨⎧f x <g xf x >0.变式训练 函数y ＝log 0.5x －的定义域为________．【解析】 要使函数式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0log 0.5x －，即⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>04x －3≤1，解得34<x ≤1.【答案】 ⎝⎛⎦⎤34，1例3. 已知函数f (x )＝log a 1－mx x －1(a >0，a ≠1，m ≠1)是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)探究函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性． 【思路探究】f x 是奇函数――→定义f －x ＝－f x→求m 的值→用定义证明f x 的单调性【自主解答】 (1)由已知条件得f (－x )＋f (x )＝0对定义域中的x 均成立． ∴log a mx ＋1－x －1＋log a 1－mx x －1＝0，即mx ＋1－x －1·1－mx x －1＝1，∴m 2x 2－1＝x 2－1对定义域中的x 均成立． ∴m 2＝1，即m ＝1(舍去)或m ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝log a 1＋x x －1.设t ＝x ＋1x －1＝x －1＋2x －1＝1＋2x －1，∴当x 1>x 2>1时，t 1－t 2＝2x 1－1－2x 2－1＝2x 2－x 1x 1－1x 2－1<0，∴t 1<t 2.当a >1时，log a t 1<log a t 2，即f (x 1)<f (x 2)， ∴当a >1时，f (x )在(1，＋∞)上是减函数． 同理当0<a <1时，f (x )在(1，＋∞)上是增函数． 规律方法1．本题第(1)问也可以用f (0)＝0求得m 的值．2．判断形如y ＝log a f (x )的单调性时，常先分析f (x )的单调性，然后分a >1和0<a <1两类分别指出函数y ＝log a f (x )的单调性．变式训练已知函数f (x )＝lg|x |. (1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)画出函数f (x )的草图；(3)求函数f (x )的单调递减区间(不必证明)及值域．【解】 (1)要使函数有意义，x 的取值需满足|x |＞0，解得x ≠0， 即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )， ∴f (－x )＝f (x )．∴函数f (x )是偶函数．(2)由于函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，草图如图所示：(3)由图得函数f (x )的单调递减区间是(－∞，0)，值域为R.因忽略底数对对数函数的单调性影响致误典例 函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，求a 的值．【错解】 因为函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值是log a 4，最小值是log a 2，所以log a 4－log a 2＝1，即log a 42＝1，所以a ＝2.【错因分析】 错解中误以为函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在[2,4]上是增函数． 【防范措施】 1.在解决底数中包含字母的对数函数问题时，要注意对底数进行分类讨论，一般考虑a >1与0<a <1两种情况．2．忽略底数a 对函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)单调性的影响就会出现漏解或错解． 【正解】 (1)当a >1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是增函数， 所以log a 4－log a 2＝1，即log a 42＝1，所以a ＝2.(2)当0<a <1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是减函数， 所以log a 2－log a 4＝1，即log a 24＝1所以a ＝12.由(1)(2)知a ＝2或a ＝12.课堂训练1．比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性．若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a >1和0<a <1两类分别求解．2．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.当堂检测1．函数y ＝log 2x 在[1,2]上的值域是( ) A ．R B ．[0，＋∞) C ．(－∞，1]D ．[0,1]【解析】 ∵函数y ＝log 2x 在[1,2]上是单调递增函数， ∴log 21≤log 2x ≤log 22，即0≤log 2x ≤1. 【答案】 D2．若a ＝log 0.43.2，b ＝log 0.43.6则a ________b ．(填“>”或“<”)． 【解析】 函数y ＝log 0.4x 在定义域内单调递减，又3.2<3.6∴a >b . 【答案】 >3．若f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，且满足f (2)＜f (3)，则a ________1(填“＞”或“＜”)． 【解析】 ∵f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，∴f (x )为对数函数且是单调函数， 又f (2)＜f (3)，且2＜3，∴f (x )为增函数，∴a ＞1. 【答案】 ＞4．(1)已知log a 12>1，求a 的取值范围．(2)已知log 0.72x <log 0.7(x －1)，求x 的取值范围． 【解】 (1)由log a 12>1得log a 12>log a a .①当a >1时，有a <12，此时无解．②当0<a <1时，有12<a ，从而12<a <1.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1.(2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log 0.72x <log 0.7(x －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2x >0x －1>02x >x －1，解得x >1.即x 的取值范围是(1，＋∞).课后检测一、选择题1．函数y ＝ln x 的单调递增区间是( ) A ．[e ，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，＋∞)D ．[1，＋∞)【解析】 函数y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，其在(0，＋∞)上是增函数，故该函数的单调递增区间为(0，＋∞)．【答案】 B2．已知函数f (x )与函数g (x )＝e x 互为反函数，则( ) A ．f (x )＝lg x (x ∈R)B ．f (x )＝lg x (x ＞0)C ．f (x )＝ln x (x ∈R)D ．f (x )＝ln x (x ＞0)【解析】 ∵g (x )＝e x 的反函数为y ＝ln x (x ＞0)，只有D 正确． 【答案】 D3．若log 2a <0，⎝⎛⎭⎫12b>1，则( ) A ．0<a <1，b <0 B ．a >1，b <0 C ．0<a <1，b >0D ．a >1，b >0 【解析】 由log 2a <0＝log 21, 所以0<a <1；由⎝⎛⎭⎫12b>1＝⎝⎛⎭⎫120所以b <0. 【答案】 A4．已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >cD ．c >a >b【解析】 因为a ＝log 23.6>1,0<c ＝log 43.6<1,1>c ＝log 43.6>b ＝log 43.2，所以选B. 【答案】 B5．已知集合A ＝{x |0＜log 4x ＜1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2] C ．(1,2)D ．(1,2]【解析】 因为A ＝{x |0<log 4x <1}＝{x |1<x <4}，B ＝{x |x ≤2}， 所以A ∩B ＝{x |1<x <4}∩{x |x ≤2}＝{x |1<x ≤2}． 【答案】 D 二、填空题6．比较大小log 0.2π________l og 0.23.14(填“＜”、“＞”或“＝”)．【解析】 ∵y ＝log 0.2x 在定义域上为减函数，且π＞3.14.∴log 0.2π＜log 0.23.14. 【答案】 ＜7．函数y ＝lg(3x ＋1)的值域为________．【解析】 ∵3x ＋1>1，又y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴lg(3x ＋1)>lg1＝0，∴函数y ＝lg(3x ＋1)的值域为(0，＋∞)． 【答案】 (0，＋∞)8．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝____.【解析】 ∵a >1，∴f (x )＝log a x 在[a,2a ]上递增，∴log a (2a )－log a a ＝12，即log a 2＝12，∴a 12＝2，a ＝4.【答案】 4三、解答题9．画出函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，并写出函数的值域及单调区间． 【解】 函数图象如图所示．由图象知，其值域为[0，＋∞)，单调减区间是(－1,0]，单调增区间是(0，＋∞)． 10．解不等式2log a (x －4)>log a (x －2)．【解】 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧log ax －2>log a x －x －x －2>0.(1)当a >1时，原不等式又等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －2>x －2x －4>0x －2>0.解得x >6.(2)当0<a <1时，原不等式又等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －2<x －2x －4>0x －2>0.解得4<x <6.综上可得，当a >1时，原不等式的解集为{x |x >6}．当0<a <1时，原不等式的解集为{x |4<x <6}． 11．已知f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2－x .(1)求函数f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的奇偶性； (3)求f ⎝⎛⎭⎫22的值． 【解】 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >01－x >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >－11>x ，得－1<x <1.所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2)函数f (x )的定义域为(－1,1)，当x ∈(－1,1)时，－x ∈(－1,1)，因为f (－x )＝log 2(1＋(－x ))＋log 2(1－(－x ))＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝f (x )， 所以函数f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(1－x )是偶函数． (3)因为f ⎝⎛⎭⎫22＝log 2⎝⎛⎭⎫1＋22＋log 2⎝⎛⎭⎫1－22＝log 2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋22⎝⎛⎭⎫1－22＝log 2⎝⎛⎭⎫1－12＝log 212＝－1.。
数学：2.2.2《对数函数及其性质》教案(新人教版A必修1)
2.2.2对数函数及其性质一、教学内容分析《普通高中课程标准数学教科书·必修（1）》（人民教育出版社）高中一年级第二单元2.2.2《对数函数的图象和性质》第一课时。
函数是高中数学的主体内容——变量数学的主要研究对象之一，是中学数学的重点知识，研究函数的一般理论和基本方法，用函数的思想方法解决实际问题，是函数教学的主要目标。
必修(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质，按课标要求教学时间为3个学时，本节课为第1课时，本节课教学是学生在学过正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数和指数函数的基础上进一步学习的一种新函数，对对数函数概念的理解，图象和性质的掌握和应用有利于学生对初等函数认识的系统性，有利于进一步加深对函数思想方法的理解。
为后面进一步探究对数函数的应用及指数函数、对数函数的综合应用起到承上启下的作用。
二、学情与教材分析对数函数是高中引进的第二个初等函数，是本章的重点内容。
学生在前面的函数性质、指数函数学习的基础上，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对函数的思想方法的理解，在教学过程中，虽然学生的认知水平有限，但只要让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受y=log a x(a>0且a≠1)中，a取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，进而探究学习对数函数的性质。
最后将对数函数、指数函数的图象和性质进行比较，以便加深对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也为后面教学作准备。
三、设计思想在本节课的教学过程中，通过古遗址上死亡生物体内碳14含量与生物死亡年代关系的探索，引出对数函数的概念。
通过对底数a的分类讨论，探究总结出对数函数的图象与性质，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生、形成过程，通过例题的分析与练习，进一步培养学生自主探索，合作交流的学习方式，通过学生经历直观感知，观察、发现、归纳类比，抽象概括等思维过程，落实培养学生积极探索学习习惯，提高学生的数学思维能力的新课程理念。
第二章 2.2.2 第2课时 对数函数及其性质(二)
第2课时 对数函数及其性质(二)学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.会解简单的对数不等式.3.了解反函数的概念及它们的图象特点.知识点一 不同底的对数函数图象的相对位置一般地，对于底数a >1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x 轴；对于底数0<a <1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越小越靠近x 轴. 知识点二 反函数的概念一般地，像y ＝a x 与y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)这样的两个函数互为反函数.(1)y ＝a x 的定义域R 就是y ＝log a x 的值域；而y ＝a x 的值域(0，＋∞)就是y ＝log a x 的定义域. (2)互为反函数的两个函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象关于直线y ＝x 对称.(3)互为反函数的两个函数的单调性相同.但单调区间不一定相同.1.y ＝log 2x 2在(0，＋∞)上为增函数.( √ )2.212log y x 在(0，＋∞)上为增函数.( × )3.ln x <1的解集为(－∞，e).( × )4.y ＝a x 与x ＝log a y 的图象相同.( √ )题型一 比较大小例1 (1)若a ＝log 0.23，b ＝log 0.22.5，c ＝log 0.20.3，则( ) A.a >b >c B.c >b >a C.a >c >b D.c >a >b答案 B解析 因为0.3<2.5<3，且y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上是减函数，所以c >b >a . (2)比较下列各组数的大小：①log 534与log 543；②1135log 2log 2与；③log 23与log 54.解 ①方法一 对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.方法二 因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.②由于1321log 21log 3=，1521log 21log 5=，又对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且0<15<13<1，所以0>log 213>log 215，所以1log 213<1log 215，所以3151l 2log 2og <.③取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54，所以log 23>log 54. 反思感悟 比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同，找中间量.(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.跟踪训练1 (1)设a ＝log 2π，12log πb =，c ＝π－2，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >b >a 答案 C解析 a ＝log 2π>1，12log π0b <=，c ＝π－2∈(0,1)，所以a >c >b .(2)比较下列各组值的大小： ①2233log 0.5,log 0.6；②log 1.51.6，log 1.51.4；③log 0.57，log 0.67；④log 3π，log 20.8.解 ①因为函数23log y x =是减函数，且0.5<0.6，所以2233log 0.5log 0.6>.②因为函数y ＝log 1.5x 是增函数，且1.6>1.4， 所以log 1.51.6>log 1.51.4.③因为0>log 70.6>log 70.5，所以1log 70.6<1log 70.5，即log 0.67<log 0.57. ④因为log 3π>log 31＝0，log 20.8<log 21＝0，所以log 3π>log 20.8. 题型二 对数不等式的解法 例2 (1)7171lo lo g (g 4)x x >- ；(2)log a (2x －5)>log a (x －1). 解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4－x >0，x <4－x ，解得0<x <2.所以原不等式的解集为{x |0<x <2}.(2)当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5>x －1.解得x >4.当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －5>0，x －1>0，2x －5<x －1，解得52<x <4.综上所述，当a >1时，原不等式的解集为{x |x >4}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52<x <4. 反思感悟 对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况进行讨论.(2)形如log a x >b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式(b ＝log a a b )，再借助y ＝log a x 的单调性求解.(3)形如log f (x )a >log g (x )a (f (x )，g (x )>0且不等于1，a >0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.跟踪训练2 (1)求满足不等式log 3x <1的x 的取值集合； (2)若log a 25<1(a >0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围.解 (1)因为log 3x <1＝log 33，所以x 满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 3x <log 33，即0<x <3.所以x 的取值集合为{x |0<x <3}. (2)log a 25<1，即log a 25<log a a .当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内是增函数， 所以log a 25<log a a 总成立；当0<a <1时，函数y ＝log a x 在定义域内是减函数， 由log a 25<log a a ，得a <25，即0<a <25.所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，25∪(1，＋∞).题型三 对数型复合函数的单调性命题角度1 求单调区间例3 求函数212log (1)y x =-的单调区间.解 要使212log (1)y x =-有意义，则1－x 2>0，所以x 2<1，所以－1<x <1， 因此函数的定义域为(－1,1). 令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1).当x ∈(－1,0]时，x 增大，t 增大，y ＝12log t 减小.所以当x ∈(－1,0]时，212log (1)y x =-是减函数；同理可知，当x ∈[0,1)时，212log (1)y x =-是增函数.即函数212log (1)y x =-的单调递减区间是(－1,0]，单调递增区间为[0,1).反思感悟 求形如y ＝log a f (x )的函数的单调区间的步骤 (1)求出函数的定义域.(2)研究函数t ＝f (x )和函数y ＝log a t 在定义域上的单调性. (3)判断出函数的增减性求出单调区间.跟踪训练3 求函数f (x )＝log 2(1－2x )的单调区间.解 因为1－2x >0，所以x <12.又设u ＝1－2x ，则y ＝log 2u 是(0，＋∞)上的增函数. 又u ＝1－2x ，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，12时，u (x )是减函数， 所以函数f (x )＝log 2(1－2x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 命题角度2 已知复合函数单调性求参数范围例4 已知函数212log ()y x ax a =-+在区间(－∞，2)上是增函数，求实数a 的取值范围.考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围解 令g (x )＝x 2－ax ＋a ，g (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上是减函数，∵0<12<1，∴12log ()y g x =是减函数，而已知复合函数212log ()y x ax a =-+在区间(－∞，2)上是增函数，∴只要g (x )在(－∞，2)上单调递减，且g (x )>0在x ∈(－∞，2)上恒成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧2≤a 2，g (2)＝(2)2－2a ＋a ≥0，∴22≤a ≤2(2＋1)，故所求a 的取值范围是[22，22＋2].反思感悟 若a >1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相同，若0<a <1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相反.另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域. 跟踪训练4 若函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,3) C.(1,3] D.[3，＋∞) 考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围 答案 B解析 函数由y ＝log a u ，u ＝6－ax 复合而成，因为a >0，所以u ＝6－ax 是减函数，那么函数y ＝log a u 就是增函数，所以a >1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x ＝2时，u ＝6－ax 取得最小值，所以6－2a >0，解得a <3，所以1<a <3.故选B.1.不等式log 2(x －1)>－1的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >23 B.{x |x >2}C.{x |x >1}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32 答案 D解析 ∵log 2(x －1)>－1＝log 212，∴x －1>12，即x >32.2.函数f (x )＝－2x ＋5＋lg(2－x －1)的定义域为( )A.(－5，＋∞)B.[－5，＋∞)C.(－5,0)D.(－2,0) 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5>0，2－x －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x >－5，2－x >20，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >－5，x <0，∴－5<x <0，故选C.3.如果2121l log og 0x y <<，那么( )A.y <x <1B.x <y <1C.1<x <yD.1<y <x 考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 D4.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝________. 考点 函数的反函数 题点 求函数的反函数 答案 log 2x5.函数f (x )＝ln x 2的单调减区间为____________. 考点 对数函数的单调性 题点 对数型复合函数的单调区间 答案 (－∞，0)1.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响.2.y ＝a x 与x ＝log a y 的图象是相同的，只是为了适应习惯用x 表示自变量，y 表示因变量，把x ＝log a y 换成y ＝log a x ，y ＝log a x 才与y ＝a x 关于直线y ＝x 对称，因为点(a ，b )与点(b ，a )关于直线y ＝x 对称.一、选择题1.函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为( ) A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，1考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 A解析 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 3(2x －1)≥0，2x －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥1，2x －1>0，∴x ≥1， ∴函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为[1，＋∞). 2.若log a 2<log b 2<0，则下列结论正确的是( ) A.0<a <b <1 B.0<b <a <1 C.a >b >1 D.b >a >1答案 B解析 因为log a 2<0，log b 2<0， 所以0<a <1,0<b <1， 又log a 2<log b 2， 所以a >b ， 故0<b <a <1.3.函数f (x )＝12log x 的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.(0,1] C.(0，＋∞) D.[1，＋∞)答案 D解析 f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞).4.函数y ＝15log (1－3x )的值域为( )A.RB.(－∞，0)C.(0，＋∞)D.(1，＋∞) 答案 C解析 因为3x >0，所以－3x <0， 所以1－3x <1.又y ＝15log t (t ＝1－3x )是关于t 的减函数，所以y ＝15log t >15log 1＝0.5.已知log a 12<2，那么a 的取值范围是( )A.0<a <22B.a >22C.22<a <1 D.0<a <22或a >1 考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 D解析 当a >1时，由log a 12<log a a 2得a 2>12，故a >1；当0<a <1时，由log a 12<log a a 2得0<a 2<12，故0<a <22. 综上可知，a 的取值范围是0<a <22或a >1. 6.函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间是( )A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(1,2)D.(2,3) 答案 D解析 由－3＋4x －x 2>0，得x 2－4x ＋3<0，得1<x <3. 设t ＝－3＋4x －x 2，其图象的对称轴为x ＝2. ∵函数y ＝13log t 为减函数，∴要求函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间，即求函数t ＝－3＋4x －x 2,1<x <3的单调递减区间， ∵函数t ＝－3＋4x －x 2,1<x <3的单调递减区间是(2,3)，∴函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间为(2,3)，故选D.7.已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围为( ) A.(－∞，4] B.[4，＋∞ ) C.[－4,4] D.(－4,4] 答案 D解析 令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，∵f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减， ∴函数g (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，且恒大于0， ∴12a ≤2且g (2)>0， ∴a ≤4且4＋a >0，∴－4<a ≤4， 故选D.8.已知指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫1a x，当x ∈(0，＋∞)时，有y >1，则关于x 的不等式log a (x －1)≤log a (6－x )的解集为( ) A.⎣⎡⎭⎫72，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，72 C.⎝⎛⎦⎤1，72 D.⎣⎡⎭⎫72，6答案 D解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫1a x 在x ∈(0，＋∞)时，有y >1， ∴1a>1，∴0<a <1. 于是由log a (x －1)≤log a (6－x )， 得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥6－x ，x －1>0，6－x >0，解得72≤x <6，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪72≤x <6.故选D. 二、填空题9.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点⎝⎛⎭⎫32，23，则a ＝________. 考点 函数的反函数 题点 反函数的图象与性质 答案2解析 因为点⎝⎛⎭⎫32，23在y ＝f (x )的图象上，所以点⎝⎛⎭⎫23，32在y ＝a x 的图象上，则有32＝23a ， 即a 2＝2，又因为a >0，所以a ＝ 2. 10.函数y ＝log 2(x 2－1)的增区间为________. 考点 对数函数的单调性 题点 对数型复合函数的单调区间 答案 (1，＋∞)解析 由x 2－1>0得函数的定义域为{x |x <－1或x >1}，又y ＝log 2x 在定义域上单调递增，y ＝x 2－1在(1，＋∞)上单调递增，∴函数的增区间为(1，＋∞).11.若函数f (x )＝log a x (其中a 为常数，且a >0，a ≠1)满足f (2)>f (3)，则f (2x －1)<f (2－x )的解集是________. 答案 {x |1<x <2} 解析 ∵f (2)>f (3)， ∴f (x )＝log a x 是减函数，由f (2x －1)<f (2－x )，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，2－x >0，2x －1>2－x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >12，x <2，x >1，∴1<x <2. 三、解答题12.已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－2. (1)若f (x )>0，求x 的取值范围； (2)若x ∈(－1,3]，求f (x )的值域. 解 (1)函数f (x )＝log 2(x ＋1)－2， ∵f (x )>0，即log 2(x ＋1)－2>0， ∴log 2(x ＋1)>2，∴x ＋1>4，∴x >3. 故x 的取值范围是x >3. (2)∵x ∈(－1,3]， ∴x ＋1∈(0,4]，∴log 2(x ＋1)∈(－∞，2]， ∴log 2(x ＋1)－2∈(－∞，0]， 故f (x )的值域为(－∞，0]. 13.已知f (x )＝12log (x 2－ax －a ).(1)当a ＝－1时，求f (x )的单调区间及值域；(2)若f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为增函数，求实数a 的取值范围. 考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝12log (x 2＋x ＋1)，∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34， ∴12log (x 2＋x ＋1)≤123log 4＝2－log 23， ∴f (x )的值域为(－∞，2－log 23].∵y ＝x 2＋x ＋1在⎝⎛⎦⎤－∞，－12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增，y ＝12log x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12， 单调减区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. (2)令u (x )＝x 2－ax －a ＝⎝⎛⎭⎫x －a 22－a 24－a ， ∵f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调增函数， 又∵y ＝12log u (x )为单调减函数，∴u (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调减函数，且u (x )＞0在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上恒成立. ⎝⎛⎭⎫提示：⎝⎛⎭⎫－∞，－12⊆⎝⎛⎭⎫－∞，a 2 因此⎩⎨⎧ a 2≥－12，u ⎝⎛⎭⎫－12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，14＋a 2－a ≥0， 解得－1≤a ≤12. 故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12.14.若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为________.考点 对数函数的综合问题题点 与单调性有关的对数函数综合问题答案 12解析 当a >1时，y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上是增函数， ∴f (x )max ＝a ＋log a 2，f (x )min ＝a 0＋log a 1＝1，∴a ＋log a 2＋1＝a ，∴log a 2＝－1，a ＝12(舍去)； 当0<a <1时，y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上是减函数，∴f (x )max ＝a 0＋log a (0＋1)＝1，f (x )min ＝a ＋log a 2，∴a ＋log a 2＋1＝a ，∴a ＝12. 综上所述，a ＝12. 15.已知函数f (x )＝lg(1＋x )－lg(1－x ).(1)求函数f (x )的定义域，并证明f (x )是定义域上的奇函数；(2)用定义证明f (x )在定义域上是增函数；(3)求不等式f (2x －5)＋f (2－x )<0的解集.(1)解 由对数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x >0，1＋x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x >－1， 即－1<x <1，∴函数f (x )的定义域为(－1,1).∵f (－x )＝lg(1－x )－lg(1＋x )＝－f (x )，∴f (x )是定义域上的奇函数.(2)证明 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝lg(1＋x 1)－lg(1－x 1)－lg(1＋x 2)＋lg(1－x 2)＝lg (1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴0<1＋x 1<1＋x 2，0<1－x 2<1－x 1，于是0<1＋x 11＋x 2<1,0<1－x 21－x 1<1， 则0<(1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1)<1，∴lg (1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1)<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，即函数f (x )是(－1,1)上的增函数.(3)解 ∵f (x )在(－1,1)上是增函数且为奇函数，∴不等式f (2x －5)＋f (2－x )<0可转化为f (2x －5)<－f (2－x )＝f (x －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<2x －5<1，－1<x －2<1，2x －5<x －2，解得2<x <3.∴不等式的解集为{x |2<x <3}.。
高中数学 2.2.2对数函数及其性质(二)全册精品教案 新人教A版必修1
2.2.2 对数函数及其性质（二）（一）教学目标1．知识技能（1）掌握对数函数的单调性.（2）会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较.2．过程与方法（1）通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法.（2）培养学生的数学应用的意识.3．情感、态度与价值观（1）用联系的观点分析、解决问题.（2）认识事物之间的相互转化.（二）教学重点、难点1、重点：利用对数函数单调性比较同底对数大小.2、难点：不同底数的对数比较大小.（三）教学方法启发式教学a>和利用对数函数单调性比较同底对数的大小，而对数函数的单调性对底数分1<<两种情况，学生应能根据题目的具体形式确定所要考查的对数函数；如果题目中a01含有字母，即对数底数不确定，则应该分两种情形讨论.对于不同底数的对数大小的比较，应插入中间数，转化为两组同底数的对数大小的比较，从而使问题得以解决.（四）教学过程；；堂评价，师生共同讨论完成第四题）判断函数）上是减函数还是增函数？≠1.）是奇函数；.备选例题例1 比较下列各组数的大小：（1）log0.7 1.3和log0.71.8；（2）log35和log64.（3）(lg n)1.7和(lg n)2 (n＞1)；【解析】（1）对数函数y= log0.7x在(0, +∞)内是减函数. 因为1.3＜1.8，所以log0.71.3＞log0.71.8.（2）log35和log64的底数和真数都不相同，需找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解.因为log35＞log33 = 1 = log66＞log64，所以log35＞log64.（3）把lg n看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lg n讨论.若1＞ln n＞0，即1＜n＜10时，y = (lg n)x在R上是减函数，所以(lg n)1.7＞(lg n)2；若lg n＞1，即n＞10时，y = (lg n)2在R上是增函数，所以(lg n)1.7＜(lg n)2.若ln n = 1，即n = 10时，(ln n)1.7 = (ln n)2.【小结】两个值比较大小，如果是同一函数的函数值，则可以利用函数的单调性来比较.在比较时，一定要注意底数所在范围对单调性的影响，即a ＞1时是增函数，0＜a ＜1时是减函数，如果不是同一个函数的函数值，就可以对所涉及的值进行变换，尽量化为可比较的形式，必要时还可以“搭桥”——找一个与二者有关联的第三量，以二者与第三量（一般是–1、0、1）的关系，来判断二者的关系，另外，还可利用函数图象直观判断，比较大小方法灵活多样，是对数学能力的极好训练.例2 求证：函数f (x ) =xx-1log 2在(0, 1)上是增函数. 【分析】根据函数单调性定义来证明. 【解析】设0＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 2) – f (x 1) = 212221log log 11x xx x --- 21221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 21122x x x x --⋅ ∵0＜x 1＜x 2＜1， ∴12x x ＞1，2111x x --＞1.则2112211log x x x x --⋅＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数.。
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图 象
定义域 值域ห้องสมุดไป่ตู้性 质 二、师生互动，新课讲解： 例1：在同一坐标系作出函数 y log 2 x, y log 5 x, y lg x 的图象如图所示，回答下列问题．
1 ○
（1）说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什 么？ （2）函数 y log a x 与 y log 1 x (a 0, 且 a 0) 有什么关系？图象之间
变式训练2：已知函数 y log 1 x ，则当 0 x 1 时， y
3
y
；当 0 x 2 时， y
；当 y 2 时， x
1 log ， log e ( a 0, 且 a 0) ；○ 2 log 例3：比较大小：○ 2 a a
1 ， log 2 (a 2 a 1) (a R) ． 2
y loga 1x y loga 2x y loga 3x y loga 4x
例2：根据 对数函数的图象和性质填空． 已知函数 y log 2 x ，则当 x 0 时， y ；当 x 4 时， y ． ；当 x 1 时， y ． ；当 x 5 时， ；当 x 1 时， y ；当 0 x 1 时， y
2、(tb0218417)若logn2>logm2>0时，则m与n的关系是（A）。 （ A）m>n>1 (B) n>m>1 (C)1>m>n>0 (D) 1>n>m>0
1、 进一步理解与掌握对数函数的图象与性 质 2、 复合函数的单调性，“同增异减”。 、、 布置作业： A组： 1、求函数 f ( x) ln( x 2 4 x 5) 的定义域及单调区间．
2、求函数 y log 1 (3 2 x x 2 ) 的定义域及单调区间．
2
3．求下列函数的定义域： （1） f ( x)
变式训练3：函数 y log a x 在[2，4]上的最大值比最小值 大1，求 a 的值； 例4．求函数 f ( x) lg( x 2 8 x 7) 的定义域，单调区间及值域。 变式训练4：求函数 y log 1 ( x 2 2 x 3) 的定义域及单调区间．
2
、、 课堂小结，巩固反思：
2.2.2(2)对数函数及其性质（教学设计） （ 内容： 图象与性质应用）
教学目的：（1）进一步理解对数函数的图象和性质； （2）熟练应用对数函数的图象和性质，解决一些综合问题； （3）通过例题和练习的讲解与演练，培养学生分析问题和解决问题的能力． 教学重点：对数函数的图象和性质． 教学难点：对对数函数的性质 的综合运用． 教学过程： 、、 复习回顾，新课引入： 1、 完成下表（对数函数 y log a x (a 0, 且 a 0) 的图象和性质）
1 log( x 1) 3
（2） f ( x) log 2 x1
3 x 2
4、求下列函数的值域 （1） f ( x) log 2 x
x [1,2] ；（2） f ( x) log a x
x [1,2] (提示分别对0<a<1与a>1讨论)
B组： 1、(tb0116803)若m>n>1，0<x<1，则下列各式中正确的是（C）。 、A、 mx<nx (B) xm>xn (C) logxm<logxn (D) logmx<lognx
a
2 ○ 3 ○
又有什么特殊的关系？
（3）以 y log 2 x, y log 5 x, y lg x 的图象为基础，在同一坐标系中画出 y log 2 x ， y log 1 x ，
2
y log 3 x ， y log 1 x ， y log 5 x 的图象．
3
思考底数 a 是如何影响 函数 y log a x 的．（学生独立思考，师生共同总结） 小结：当a>1时，函数单调递增，a越大，图象越靠近x 轴；当0<a<1时，函数 单调递减，a越小，图象越靠近x轴。 变式训练1：已知函数 y log a1 x, y log a2 x, y log a3 x, y log a4 x 的图象，则底数之间的关系： ．