第二章_勾股定理与平方根复习课件
平方根ppt课件
平方根的历史背景
平方根的早期发展
在古代文明中，人们已经意识到某些数的平方的值。例如，古埃及人和古巴比 伦人已经知道π和√2的近似值。随着数学的发展，人们对平方根的认识逐渐深 入。
电容
在计算电容时，需要使用平方根来 计算电容器容纳电荷的能力。
在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑测量中，需要使用平方根 来计算建筑物的面积和体积。
土地测量
在土地测量中，需要使用平方根 来计算土地的面积和周长。
商业交易
在商业交易中，需要使用平方根 来计算商品的价格和利润。
05
平方根的注意事项
Chapter
平方根函数的奇偶性
平方根函数的值域
函数$y = sqrt{x}$的值域为所有非负 实数。
函数$y = sqrt{x}$是非奇非偶函数， 因为对于所有的x值，都有$sqrt{-x} neq sqrt{x}$。
平方根的几何性质
平方根与数轴的关系
在数轴上，一个数的平方根表示该数距离原点的距离。例如，4位 于2的右边，因为2是4的平方根。
平方根的除法性质
如果a和b都是正数，那么 $frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$。
平方根的加法性质
如果a和b都是正数，那么 $sqrt{a} + sqrt{b}$不一 定等于$sqrt{a + b}$。
平方根的函数性质
平方根函数的单调性
对于函数$y = sqrt{x}$，当x的值从 负无穷增加到正无穷时，y的值也从负 无穷增加到正无穷，因此该函数是单 调递增的。
勾股定理与平方根复习
第 1 页 共 3 页第二章勾股定理与平方根 ( 教案)班级 姓名 学号学习目标：1回顾勾股定理及其逆定理，利用勾股定理解决生活中的实际问题2平方根及立方根，能说出一个近似数的精确度或有几个有效数字，能按照要求用四舍五入的方法取一个数的近似数，会进行实数的有关计算 学习难点：勾股定理及其应用，平方根及立方根教学过程：一、知识要点1、勾股定理：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的应用：在一个直角三角形中，知道其中的任意两边都可以求第三边。
①c2＝a2＋b2；②a2＝c2－b2；③b2＝c2－a2。
3、直角三角形的识别（勾股定理的逆定理）：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a2＋b2 ＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
（这是判定一个三角形是直角三角形的又一种方法）4、平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。
也称二次方根，也就是说，如果x2＝a ，那么x 就叫做a 的平方根。
5、平方根的性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0，记作0 ；③负数没有平方根。
6、开平方的定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
7、算术平方根的定义：正数a 有2个平方根，其中正数a 的正的平方根，也叫做a 的算术平方根。
公式：( a )2＝a (a ≥0)，a2 ＝a (a ≥0) ， a2 ＝－a(a ≤0)。
8、立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根，也称为三次方根；也就是说，如果x3＝a ，那么x 叫做a 的立方根，数a 的立方根记作3a 读作“三次根号a ”。
9、开立方的定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方和立方互为逆算。
10、立方根的性质：正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根0。
二、课堂小练习 1、16 的平方根________，64 的立方根_______。
勾股定理、方根专题知识点整理
勾股定理、平方根专题知识点整理第一节勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段二、平方根：（11——19的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。
勾股定理与平方根的数学知识点
勾股定理与平方根的数学知识点一、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
我国古代把直角三角形中，较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
结论为：勾三股四弦五a2+b2=c21、如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。
2、满足a+b=c的3个正整数a、b、c称为勾股数。
(例如，3、4、5是一组勾股数)。
利用勾股数可以构造直角三角形。
二、平方根1、定义一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也称为二次方根。
也就是说，如果x2=a，那么x就叫做a的平方根。
2、一个正数有2个平方根，它们互为相反数;0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根。
3、求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
4、正数a有两个平方根，其中正的平方根，也叫做a的算术平方根。
例如：4的平方根是2，其中2叫做4的算术平方根，记作=2;2的平方根是其中2的算术平方根。
0只有一个平方根，0的平方根也叫做0的算术平方根，即三、立方根1、定义一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也称为三次方根。
也就是说，如果x=a，那么x就叫做a的立方根，数a的立方根记作，读作三次根号a。
2、求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。
3、正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
四、实数1、无限不循环小数称为无理数。
2、有理数和无理数统称为实数。
3、每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点是一一对应的。
五、近似数与有效数字1、例如，本册数学课本约有100千字，这里100是一个近似似数。
2、对一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。
初二数学勾股定理知识点勾股定理在任何一个直角三角形(Rt△)中(等腰直角三角形也算在内)，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方，这就叫做勾股定理。
人教版八年级下册数学《勾股定理》说课教学复习课件(第2课时)
A.2和3之间
B.3和4之间
C.4和5之间
D.5和6之间
课堂练习
3.如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，
8 13
则AB边上的高为_______.
13
4.长为 26的线段是直角边长为正整数 5 ， 1
边.
的直角三角形的斜
课堂练习
∵AB= A′B′ , BC= B′C′ ,
∴AC²= A′C′ ²,
∴AC= A′C′ .
在△ABC和△ A′B′C′中,
∵∠C=∠C′ , AC= A′C′ , BC= B′C′,
∴△ABC≌△ A′B′C′.
B′
探究
数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示
的点吗？
分析引导：（1）你能画出长为 2的线段吗？怎么画？说说你的画法.
比较，只要_______________,
01
情景引入
一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板
能否从门框内通过？为什么？
解：连接DB,
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AC2=AB2+BC2=12+22=5．
AC= 5≈2.24＞2.2．
所以木板能从门框内通过．
01
情景引入
杯高AB=12cm，杯底直径BC=5cm；
Rt△ABC中，AB=12cm，BC=5cm；
由勾股定理得：AC=
2 + 2 =13cm
故吸管的长度最少要：13+4.6=17.6cm．
02
练一练
2．如图，一架梯子AB长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．
2024年新人教版九年级数学上册全册精彩课件.
2024年新人教版九年级数学上册全册精彩课件.一、教学内容1. 第一章：二次函数1.1 二次函数的概念与性质1.2 二次函数的图像与方程1.3 二次函数的应用2. 第二章：勾股定理与平方根2.1 勾股定理2.2 平方根2.3 勾股定理与平方根的应用3. 第三章：概率初步3.1 随机事件与概率3.2 概率的计算3.3 概率的应用二、教学目标1. 掌握二次函数、勾股定理、平方根和概率的基本概念与性质。
2. 学会运用二次函数、勾股定理、平方根和概率解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：二次函数的性质、勾股定理的证明、概率的计算。
2. 教学重点：二次函数的应用、平方根的计算、概率的实际应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、草稿纸、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中的实例，引出二次函数、勾股定理、平方根和概率的概念。
2. 例题讲解：详细讲解教材中的例题，引导学生理解和掌握知识点。
3. 随堂练习：针对每个知识点，设计相应的练习题，让学生及时巩固所学内容。
六、板书设计1. 用大号字体书写课题名称，如“二次函数的应用”。
2. 内容：列出本节课的主要知识点，用不同颜色粉笔标出重点和难点。
七、作业设计1. 作业题目：第一章：求给定二次函数的最大值、最小值，并画出图像。
第二章：证明给定三角形的勾股定理，并计算其面积。
第三章：计算给定概率问题，如掷骰子、抽签等。
答案：见附件。
八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：布置一些拓展性的练习题，如研究二次函数的性质、探索勾股定理的推广等，激发学生的兴趣和求知欲。
通过本课件的教学，希望学生能掌握九年级数学上册的核心知识点，提高数学素养和应用能力，为今后的学习打下坚实基础。
重点和难点解析1. 教学内容的详细性与针对性2. 教学目标的具体性与实用性3. 教学难点与重点的识别与处理4. 教学过程中的实践情景引入与随堂练习设计5. 板书设计的清晰性与结构性6. 作业设计的层次性与拓展性7. 课后反思与拓展延伸的实际操作一、教学内容的详细性与针对性教学内容的选择应紧密结合教材章节，确保覆盖所有核心知识点。
(完整版)勾股定理知识点+对应类型
第二章勾股定理、平方根专题第一节勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段二、平方根：（11——19的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。
勾股定理复习课件
h
1.如图，已知长方体的长、宽、高分 别为4cm、3cm、12cm，求BD’的长。
解:连结BD，在直角三角形 ABD中，根据勾股定理 A’
BD AB AD 4 3 5
2 2 2 2 2 2
D’ B’
C’
BD 5
在直角三角形D’ BD 中，根 据勾股定理
BD'2 DD '2 BD 2 12 2 52 13 2 BD' 13(cm）。
4.若一个三角形某两边的平方和不等于第三边的平 方,则这个三角形一定不是直角三角形( ).
选择: 直角三角形的两条直角边长为a,b, 斜边上的高为h,则下列各式中总能成立 的是 ( D )
A. ab=h
2
B. a +b =2h
2
2
2
1 1 1 C. + = a b h
1 1 1 D. 2 + 2 = 2 a b h
4.互逆命题与互逆定理的概念
无理数在数轴上的表示
在数轴上表示 13 , 17 , 5，20
4.勾股定理及其逆定理的应用
①勾股定理可以解决直角三角形当中一些
与边有关的问题（直角边、斜边、斜边上
的高、面积等）
②勾股定理的逆定理可以判断一个三角形
是否是直角三角形(此时先找到最长边,再
看看两较短边的平方和是否等于长边的平
本章知识框图:
实际问题
(直角三角形边长计算)
互逆 定理
由形到数
勾股定理
实际问题 (判定直角三角形)
由数到形
勾股定理 的逆定理
题设
勾股定理 在Rt△ABC 中,∠C=900
勾股定理的逆定理 在△ABC 中, 三边 a,b,c满足a2+b2=c2
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三、典型错误
初 中 数 学
八 上
1.
4 的算术平方根是
2
。
2．一个直角三角形，一条边长为3，另一
条边长为4，则第三边的长为 5 或 3．在
，
7。
中无理数有
2 1 22 3 3 、 、 73、 1. 、-0. 16、 3、 、 0.8 2 4 27 7 2 3
2
4
0.8 。
万 4. 1.78 106 精确到______位. 5. 若 x 2 4 ,则 x =_______. 2
初 中 数 学
八 上
初中数学八年级
上册
第二章复习
一、本章知识结构
初 中 数 学
八 上
勾股定理
勾股定理 与平方根
勾股定理
平方根
逆定理
应用
平方根
立方根
实数
近似数与 有效数字
二、重要概念剖析
初 中 数 学
八 上
概 念 相同点
平方根
算术平方根 都是开方运算
立方根
不同点
负数不能 负数没有算术 任何数都能 开平方 平方根 开立方 正数的平方根 非负数的算 任何数的立 有两个它们 术平方根只 方根都只有 互为相反数 有一个 一个 平方根等于 算术平方根 立方根等于 本身的数只 等于本身的 本身的数有 有一个，为 数有两个， 三个， 0 0、1 0、1、－1
练习1：如图，点阵中以相邻4个点为顶 点的小正方形面积为1，计算
初 中 数 学
八 上
(1)△ABC的面积;
(2) △ABC的周长.
初 中 数 学
八 上
如图,折叠长方形的一边，使点D落在BC 边上的点F处，若AB=8，AD=10. （1）你能说出图中哪些线段的长? （2）能求出EC的长吗?
提示:
在Rt△EFC中，
∠C=90°
A
10
D 8-x
∵EC2+FC2=EF2
∴X2+42=(8-X)2
8
10 8-x 6
E x C
∴x=3 即 EC=3
B
F
4
初 中 数 学
八 上
◆如图,在⊿ABC中,AB=15,AC=17,AD是边 BC上的中线,AD=4.求⊿ABC的面积.
A
C
D E
B
◆如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边 长都为1.请在所给网格中按下列要求画出图形．
初 中 数 学
八 上
如图，由5个小正方形组成的十字形 纸板，现在要把它剪开，使剪成的若 干块能够拼成一个大正方形． (1)如果剪4刀，应如何剪拼？
(2) 少剪几刀，也能拼成一个大正方形吗？
初 中 数 学
八 上
② ③
① ①
② ③
初 中 数 学
八 上
例3.如图，以△ABC的三边为直径向 外作半圆，且S1+S3=S2，试判断△ABC 的形状？
初 中 数 学
八 上
⑴从点A出发的一条线段AB，使它的另一 个端点落在格点（即小正方形的顶点）上， 且长度为 ；8
A
.
◆如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边 长都为1.请在所给网格中按下列要求画出图形．
初 中 数 学
八 上
⑵以⑴中的AB为边的一个等腰△ABC，使点 C在格点上，且另两边的长都是无理数．
6. 比较大小： 3 3 ＜ 2
四、例题讲解
D
八 上
提示：先证△ABC为直角三角形,利用△ABC 面积的两种算法来解决
1 1 S ABC AC BC AB CD 2 2
∟
初 中 数 学
例1、△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，求 AB边上的高CD。 C A B
初 中 数 学
A
. .B
■在数轴上找出表示
3的点.
初 中 数 学
八 上
2 -2 3 -1
· · · ·· ··
┒ 0 1 2 3
初 中 数 学
八 上
你还有什么疑问吗？ 请提出来相方形。
A · ·C·C1 3
B·
·C2
·C4
·C5
初 中 数 学
八 上
变式：你能将五个连续的小正方形分 割后拼接成一个大正方形吗？
初 中 数 学
八 上
小贴士：
1.网格型问题一般先采用勾股定理 进行相关计算，再画出相应的图形
2.图形拼接问题的原则是拼接前后 的两个图形总面积不变。
S1
S3 S2
例4. 如图，有一圆柱形食品盒，它的高为
初 中 数 学
八 上
16cm，底面直径为
24
的一只蚂蚁想吃到盒内对面上底面B处的食物，
它至少需要爬行多少路程?
cm，在盒内下底面A处
B ·
D
16
12
B
· A
C
A
小贴士：
初 中 数 学
八 上
1.解决实际问题，应该读懂题意，画 出相关示意图，建立数学模型，将实 际问题转化为数学问题来解决。 2.几何的应用题，也要根据题意，写 清楚相关的理由和过程，原则是先几 何，后代数，先写出表达式，再带入 数字。
八 上
变式、△ABC中， BC=4，AC=3，AB=6， 求△ABC的面积。
C
B
D
∟
A
初 中 数 学
八 上
小贴士：
1.△ABC不是直角三角形时，需添加 辅助线（一般为作高）构造直角三角 形。
2.设未知数，利用勾股定理列方程来 解决问题，是本章的一个重要的解题 方法。
初 中 数 学
八 上
例2.如图，正方形网格中的每个小正方形边 长都是1，点A是其中的一个点。 （1）请在网格中最左边的边线上找一点B， 使线段 AB = 5 （2）在网格点上标出所有以AB为一边的等腰 三角形ABC的第三个顶点C。