山东省济宁市2014届高考第二次模拟考试理科数学试题及答案

2014年高考模拟考试 数学(理工类)试题
本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共5页．满分150分.考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：
1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡规定的位置上．
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答案不能答在试题卷上.
3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效．
参考公式：如果事件A 、B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，则()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 锥体的体积公式：1
3
V Sh =
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 第I 卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数z 为纯虚数，若()2i z a i -=+（i 为虚数单位），则实数a 的值为 A.1
2
-
B.2
C.2-
D.
12
2.已知集合{}
{}
2
12,4=A x R x B x R x A B =∈-≤=∈≤⋂，则 A.()12-，
B.[]12-，
C.(]02，
D.[]23-，
3.已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下：
且回归方程是 3.6y bx =+，则当6x =时，y 的预测值为 A.8.46
B.6.8
C.6.3
D.5.76
4.设变量,x y 满足约束条件：3132318,00
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩则目标函数53z x y =+的最大值为
A.18
B.17
C.27
D.
65
3
5.已知函数()()cos 2f x x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移12
π
个单位后，得到函数()g x 的图象，则“6
π
ϕ=-
”是“()g x 为偶函数”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
6.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A.16 B.32 C.48 D.144
7.函数()11f x x gx =-+的图象大致是
8.向量()()1,2,1,a b λ==-，在区间[]5,5-上随机取一个数λ，使向量2a b a b +-与的夹角为锐角的概率为 A.
1
2
B.
27
C.
34
D.
35
9.已知双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的右焦点与抛物线2
12y x =的焦点重合，且双曲
线的一条渐近线被圆()2
2
38x y -+=截得的弦长为4，则此双曲线的渐近线方程为
A.2y x =±
B.5
y x =±
C.3
y x =±
D.y =±
10.已知函数()y f x =的定义域为(),ππ-，且函数()1y f x =-的图象关于直线1
x
=
对称，当()()0,sin ln 2x f x f x x πππ⎛⎫
'∈=--
⎪⎝⎭
时，（其中()f x '是()f x 的导函数）.若(
)()0.2
13,log 3,log 9a f b f c f π
π
⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
，则a ，b ，c 的大小关系是 A.b a c >> B.a b c >>
C.c b a >>
D.b c a >>
第II 卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.设随机变量X 服从正态分布()
()()2
1,120N P X p P X σ<<=<，若，则= ▲ .
12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s= ▲
13.若函数x y e -=在点（0，1）处的切线为l ，则由曲线
x y e -=，直线1x =，切线l 所围成封闭图形的面积为 ▲
14.设,,1,13,x y x y R a b a b a b ∈>>==+=，若11
x y
+的最大值为 ▲ 15.对于三次函数()()3
2
0f x ax bx cx d a =+++≠，定义
()()f x y f x ''=是的导函数()y f x '=的导函数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称
点()()
00,x f x '为函数()y f x =的“拐点”，可以证明，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一结论判断下列命题： ①存在有两个及两个以上对称中心的三次函数；
②函数()3
2
335f x x x x =--+的对称中心也是函数tan
2
y x π
=的一个对称中心；
③存在三次函数()h x ，方程()0h x '=有实数解0x ，且点()()
00,x h x 为函数()y h x =的对称中心； ④若函数()321152320133212201420142014g x x x g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=
--++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，则
1006.5-
其中正确命题的序号为 ▲ （把所有正确命题的序号都填上）.
三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）
已知向量()
1,2cos ,cos 22,cos 2m x n x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭
，记函数()f x m n =⋅. （I ）求()f x 的最小正周期及单调减区间；
（II ）记ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a b c 、、，若1,3,22B f b c ⎛⎫
===
⎪⎝⎭
，求sin A 的值.
17.（本小题满分12分）
袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球，今从袋子里随机取球.
（I ）若有放回地取3次，每次取一个球，求取出1个红球2个黑球的概率； （II ）若无放回地取3次，每次取一个球，若取出每只红球得2分，取出每只黑球得1分，求得分ξ的分布列和数学期望. 18.（本小题满分12分）
如图1，在3090R t A B C A C B A B C ∆
∠=∠=中，，，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E ，延长AE 交于BC 于F ，将ABD ∆沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示. （I ）求证：AE ⊥平面BCD ；
（II ）求二面角A DC B --的余弦值；
（III ）已知点M 在线段AF 上，且EM//平面ADC ，求AM
AF
的值.
19.（本小题满分12分） 已知数列{}13
2
n n n n b S b ++=
满足，其中n S 为数列{}n b 的前n 项和. （I ）求证：数列12n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；
（II ）如果对任意*
n N ∈，不等式1227122n
k
n n S ≥-+-恒成立，求实数k 的取值范围.
20.（本小题满分13分） 已知函数()()ln a
f x x a R x
=
+∈. （I ）求()f x 的最小值；
（II ）当2a =时，求证：()()()*
1
ln 12ln 21n
i i
n n e n N i =++>∈+∑.
21.（本小题满分14分）
如图所示的曲线C 由曲线()22
122:10,0x y C a b y a b
+=>>≥和曲线
()222
2:0C x y a y +=<组成，已知曲线1C
过点12⎫⎪⎭
A 、
B 分别为曲线
C 与x y 轴、轴的一个交点. （I ）求曲线12C C 和的方程；
（II ）若点Q 是曲线2C 上的任意一点，求QAB ∆面积的最大值及点Q 的坐标；
（III ）若点F 为曲线1C 的右焦点，直线
l ：y kx m =+与曲线1C 相切于点M
，且与直线
x =
N ，过点F 作MN 的垂线，垂足为H ，求证：2
.FH MH HN =⋅
11。