初二年级数学勾股定理及平方根知识点汇总及典型例题分类

初二数学勾股定理及平方根专题使用日期2013.7.11【知识点扫描】一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n的线段二、平方根：（11——19的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。

（也称为二次方根），也就是说如果x2=a，那么x就叫做a的平方根。

2、平方根的性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；勾股定理和平方根勾股定理平方根立方根实数近似数、有效数字判定直角三角形勾股定理的验证定义、性质开平方运算开立方运算定义、性质一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“—a ”，这两个平方根合起来记作“±a ”。

（ a 叫被开方数， “”是二次根号，这里“”，亦可写成“2”）②0只有一个平方根，就是0本身。

算术平方根是0。

③负数没有平方根。

3、 开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运算。

4、（1） 平方根是它本身的数是零。

（2）算术平方根是它本身的数是0和1。

（3）()()()().0,0,0222<-=≥=≥=a a a a a a a a a（4）一个数的两个平方根之和为0三、立方根：（1——9的立方）1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根。

（也称为二次方根），也就是说如果x 3=a ，那么x 就叫做a 的立方根。

记作“3a ”。

2、立方根的性质：①任何数都有立方根，并且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. ②互为相反数的数的立方根也互为相反数，即3a -=3a - ③a a a ==3333)(3、开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方运算为互逆运算，开立方的运算结果是立方根。

4、立方根是它本身的数是1，0，-1。

5、平方根和立方根的区别： （1）被开方数的取值范围不同：在±a 中，a ≥0，在a 3中，a 可以为任意数值。

（2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个；负数没有平方根，而它有一个立方根。

6、立方根和平方根： 不同点：（1）任何数都有立方根，正数和0有平方根，负数没有平方根；即被开方数的取值范围不同：±a 中的被开方数a 是非负数；3a 中的被开方数可以是任何数.（2）正数有两个平方根，任何数都有惟一的立方根；（3）立方根等于本身的数有0、1、—1，平方根等于本身的数只有0． 共同点：0的立方根和平方根都是0．四、实数：1、定义：有理数和无理数统称为实数无理数：无限不循环小数称（包括所有开方开不尽的数，∏）。

有理数：有限小数或无限循环小数注意：分数都是有理数，因为任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式2、实数的分类：实数有理数正有理数零负有理数有限小数或无限循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪实数的性质：①实数的相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内的意义是一样的。

②实数同有理数一样，可用数轴上的点表示，且实数和数轴上的点一一对应。

③两个实数可以按有理数比较大小的法则比较大小。

④实数可以按有理数的运算法则和运算律进行运算。

3、近似数：由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不可能得到精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数。

取近似值的方法——四舍五入法4、有效数字：对一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数都称为这个近似数的有效数字5、科学记数法：把一个数记为做科学记数法。

是整数）的形式，就叫其中n ,10a 1(10a n<≤⨯ 6、实数和数轴：C A BD 每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上每一个点都表示一个实数。

实数与数轴上的点是一一对应的。

【好题精练】类型一：等面积法求高【例题】如图，△ABC 中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，C D ⊥AB 于D 。

（1）求AB 的长； （2）求CD 的长。

类型二：面积问题【例题】如下左图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。

【练习1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形， （1）求图中格点四边形ABCD 的面积和周长。

（2）求∠ADC 的度数。

【练习2】如图，四边形ABCD 是正方形，AE ⊥BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______.【练习3】如图字母B 所代表的正方形的面积是( )A. 12B. 13C. 144D. 194类型三：距离最短问题【例题】 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？【练习1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．【练习2】如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？A BC D7cm mmm A BD CE B25ABCDL小河A B 东北牧童 小屋类型四：判断三角形的形状【例题】如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

【练习1】已知△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.【练习2】若△ABC的三边a、b、c满足条件a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试判断△ABC的形状.【练习3】.已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）三角形A.直角B.等腰C.等腰直角D.等腰或直角【练习4】三角形的三边长为abcba2)(22+=+,则这个三角形是( ) 三角形A.等边B.钝角C.直角D.锐角类型五：直接考查勾股定理【例题】在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.。

【练习】如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?类型六：构造应用勾股定理【例题】如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.【练习】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

类型七：利用勾股定理作长为n 的线段例1在数轴上表示的点。

作法：如图所示在数轴上找到A 点，使OA=3，作AC ⊥OA 且截取AC=1，以OC 为半径，以O 为圆心做弧，弧与数轴的交点B 即为。

【练习】在数轴上表示13的点。

类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法【例题】若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

【练习1】等边三角形的边长为2，求它的面积。

【练习2】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A 、8，15，17B 、4，5，6C 、5，8，10D 、8，39，40 类型九：生活问题【例题】如下左图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需____ ____米．【练习1】种盛饮料的圆柱形杯（如上右图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 ㎝。

【练习2】如下左图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。

他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m ），却踩伤了花草。

【练习3】如下图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.类型十：翻折问题【例题】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？【练习1】如图所示，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，求EF 的长。

【练习2】如图，△ABC 中，∠C=90°，AB 垂直平分线交BC 于D 若BC=8，AD=5，求AC 的长。

C BADE。