因式分解法解方程
因式分解法解一元二次方程
∴ x 1= A解 , x 2= A解
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1.方程右边化为 零 。 2.将方程左边分解成两个 一次因式 的 乘积。 3.至少 有一个 因式为零，得到两个一 元一次方程。 4.两个 一元一次方程的解 就是原方程 的解。
课堂练习
用因式分解法解下列方程： (1) 2x2-8x=0 (2) (x+1)2-9=0 (3) (2x-1)2=x2 (4) (2x-5)2-2x+5=0
课堂
总结
回味无穷
• 本节课你学习了什么知识？
1.用因式分解法解一元二次方程的前题是什 么？关键是什么？ 2.因式分解法解一元二次方程的步骤是什么？ 3.因式分解的方法,突出了转化的思想方法— —“降次”,鲜明地显示了“二次”转化为 “一次”的过程.
发现解一元二次方而另一边 易于分解成两个一次因式的乘积时,我 们就可以用因式分解的方法求解.这种 用因式分解来解一元二次方程的方法 称为因式分解法.
提示：解题框架图
解：原方程可变形为： =0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式B =0 得 一次因式A =0或或
因式分解法 解一元二次方程
学习目标
• 了解用因式分解法解一元二次方程 的概念 • 并会用因式分解法解一些特殊的方 程
复习： （1）什么叫因式分解? 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式 叫做因式分解. （2）因式分解有哪几种方法？ ①提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c) ②公式法: 逆用平方差公式： a2-b2= (a+b)(a-b) 逆用完全平方公式：a2+2ab+b2= (a+b)2 a2-2ab+b2= (a-b)2
《用因式分解法解一元二次方程》
与其他解法对比分析
01
02
03
直接开平方法
相较于直接开平方法，因 式分解法适用范围更广， 可以解决更多类型的一元 二次方程。
公式法
虽然公式法具有通用性， 但在某些情况下，使用因 式分解法可以更加简便快 捷地解决问题。
配方法
配方法与因式分解法具有 相似之处，但在处理复杂 问题时，因式分解法更具 优势。
用因式分解法解一元二次方
03
程步骤
将方程化为标准形式
移项
将方程中的所有项移到等号同一边，使另一边为0 。
化简
合并同类项，将方程化为ax²+bx+c=0的标准形 式。
进行因式分解
找公因式
观察方程中各项系数和字母部分 ，找出公因式。
提取公因式
将公因式提取出来，使方程变为两 个一次多项式的乘积等于0的形式 。
数学基础
一元二次方程是初中数学的重要内容之一，也是高中数学 和大学数学的基础。因此，掌握一元二次方程的求解方法 对于打好数学基础具有重要意义。
思维训练
通过学习和掌握一元二次方程的求解方法，可以培养学生 的逻辑思维能力、推理能力和解决问题的能力，对于学生 的全面发展具有重要意义。
02
因式分解法原理
多项式乘法逆过程
因式分解方法选择不当
针对不同的一元二次方程，要选择合 适的因式分解方法（如提公因式法、 公式法等），以提高解题效率。
忘记验根步骤
未将解代入原方程验根
在解得一元二次方程的解后，应将解代入原方程进行验根，以确保解的正确性 。
忽视解的取值范围
对于实际问题中的一元二次方程，要注意解的取值范围是否符合题意，避免得 出无意义的解。
因式分解法解一元二次方程例题
(3)3x²-6x=-3；
因式分解，得
(4)4x²-121=0；
( x-4-5 + 2x )( x-4 + 5-2x ) = 0.
(5)3x(2x+1)=4x+2；
则有 3x-9 = 0 或 1-x = 0 ，
(6)(x-4)²=(5-2x)².
x1 = 3， x2 = 1.
练习
2.把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场
例 解下列方程：
(1)x(x-2)+x-2=0；
(2)5x²-2x- =x²-2x+ .
解：(1)因式分解，得
(2)移项、合并同类项，得
(x-2)(x+1)=0.
于是得
x-2＝0或x+1=0，
4x²-1=0
因式分解，得 (2x＋1)(2x-1)=0.
即
2x＋1=0或2x-1=0，
解得
解得
x1=2，x2=-1.
则有 2x + 11 = 0 或 2x -11= 0，
x1=- ，x2= .
练习
1.解下列方程：
(5)3x(2x+1)=4x+2
(1)x²+x=0；
解：化为一般式为
(2)x²-2 x=0；
6x2 - x -2 = 0.
(3)3x²-6x=-3；
因式分解，得
(4)4x²-121=0；
( 3x-2 )(2x + 1) = 0.
作业
解下列方程：
(1)x²=3x
(1)x1 = 0， x2 = 3.
(2)5(x²-x)=3(x²+x)
解一元二次方程--因式分解法
10．已知（x2+y2﹣3）（x2+y2+1）=12，求x2+y2的值．
3．灵活选用方法解一元二次方程
【例3】选择适当方法解下列方程：
（1）x2﹣5x+1=0；
（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；
（3）2x2﹣2 x﹣5=0；
（4）（y+2）2=（3y﹣1）2．
总结：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，根据一元二次方程的特征，灵活选用解方程的方法，可以起到事半功倍的作用.（1）一般地，当一元二次方程一次项系数为0时，即形如ax2+c=0形式的一元二次方程，应选用直接开平方法.
解一元二次方程---因式分解法
一、学习目标
1．会用因式分解法解一元二次方程；
2．会用换元法解一元二次方程；
3．灵活选用简便的方法解一元二次方程.
二、知识回顾
1．分解因式的常用方法有哪些？
（1）提取公因式法：
am+bm+cm=m(a+b+c)
（2）公式法：
Байду номын сангаас， ，
（3）十字相乘法：
三、新知讲解
1．因式分解法
③令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
3．因式分解法的条件、理论依据
因式分解法解一元二次方程的条件是：方程右边等于0，而左边易于分解；
理论依据是：如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.
四、典例探究
1．用因式分解法解一元二次方程
【例1】用因式分解法解方程：
一元二次方程因式分解法的四种方法
一元二次方程因式分解法的四种方法【实用版3篇】目录（篇1）一、引言二、一元二次方程的概述三、因式分解法概述四、四种因式分解方法1.提取公因式法2.完全平方公式法3.平方差公式法4.完全平方公式与平方差公式的结合法五、每种方法的例题解析六、总结正文（篇1）一、引言在解决一元二次方程时，因式分解法是一种常用的方法，它可以帮助我们快速找到方程的解。
本文将为大家介绍四种因式分解的方法，以帮助大家更好地理解和运用这一方法。
二、一元二次方程的概述一元二次方程是指形如 ax+bx+c=0 的方程，其中 a、b、c 为常数，且 a≠0。
在这个方程中，a、b、c 分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。
三、因式分解法概述因式分解法是将一元二次方程的左边化为两个一次因式的积的形式，从而得到方程的解。
通过因式分解，我们可以将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，从而简化了解题过程。
四、四种因式分解方法1.提取公因式法提取公因式法是指在方程的两边同时提取公因式，以达到简化方程的目的。
这种方法适用于当方程的一次项系数 b 为零的情况。
2.完全平方公式法完全平方公式法是指利用完全平方公式 (a+b)=a+2ab+b将方程进行因式分解。
这种方法适用于当方程的二次项系数 a 为 1 的情况。
3.平方差公式法平方差公式法是指利用平方差公式 (a+b)(a-b)=a-b将方程进行因式分解。
这种方法适用于当方程的一次项系数 b 不等于零且二次项系数 a 不等于 1 的情况。
4.完全平方公式与平方差公式的结合法当方程的二次项系数 a 不为 1，一次项系数 b 不为 0 时，我们可以将完全平方公式和平方差公式结合使用，以达到因式分解的目的。
五、每种方法的例题解析这里我们分别对四种因式分解方法进行例题解析，以便大家更好地理解和掌握这些方法。
六、总结因式分解法是一种解决一元二次方程的有效方法，掌握四种因式分解方法有助于我们在解题过程中更加灵活地选择合适的方法。
因式分解法解方程
在数学中，因式分解法是解方程的常用方法之一。本章将介绍方程的基本概 念，然后重点讲解一次和二次因式分解法，以及解方程的步骤和示例。
方程的定义和基本概念
了解方程的定义和基本概念是解方程过程中的第一步。方程是等式，其中包 含未知数的表达式和已知数的常量，通过求解方程，我们可以找到未知数的 值。
因式分解法的介绍
因式分解法是一种将多项式分解成更简单的因式的方法。通过因式分解，我 们可以更容易地解决复杂的方程。
一次因式分解法
一次因式分解法适用于一次方程，即未知数的最高次数为1的方程。通过因式分解，我们可以将方 程转化为一个或多个一次因式相乘的形式，从而求解方程。
二次因式分解法
二次因式分解法适用于二次方程，即未知数的最高次数为2的方程。通过因式分解，我们可以将方 程转化为一个或多个二次因式相和示例
解方程的一般步骤包括观察方程、因式分解、列方程、求解方程和检验解。通过一些示例，我们 可以更好地理解和掌握解方程的方法。
通过因式分解法解方程的练习题
通过一些练习题，我们可以巩固和应用因式分解法解方程的知识。挑战自己，提升解题能力。
总结和要点
通过本章的学习，我们了解了方程的基本概念和因式分解法的重要性。掌握解方程的方法可以帮 助我们解决实际问题和提升数学能力。
方程--因式分解法
一元二次方程的解法---因式分解法【知识要点】1． 对于在一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法来解这个方程。
2． 理论依据：两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零。
例如：如果0)5)(1(=+-x x ，那么x －1=0或x ＋5=0。
因式分解法简便易行，是解一元二次方程的最常用的方法。
3． 因式分解法解一元二次方程的一般步骤（1）将方程的右边化为零；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积；（3）令每个因式分别为零，得两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
4．形如()002≠=+a bx ax 的方程，可用提公因式法求方程的根：()0021≠-==a a b x x ，。
5．形如()()022=+-+n bx m ax )(22b a ≠的方程，可用平方差公式把左边分解。
【典型例题】例1． 用因式分解法解下列方程：（1）0322=+x x （2）01072=+-x x（3）()()623=+-x x （4）()()03342=-+-x x x（5）()02152=--x类题练习：用因式分解法解下列一元二次方程：（1）0432=-y y （2）03072=--x x（3）()()412=-+y y（4）()()1314-=-x x x（5）()025122=-+x例2．用适当方法，解下列关于x 的一元二次方程：（1）22244a b ax x -=-（2）()b a x a b x +-=-2322类题练习：解下列关于x 的一元二次方程：（1）022=-+-a a x x（2）()()n m n x n m mx ≠=---02例3．阅读材料：为解方程()()04151222=+---x x ，我们可以将12-x 视为一个整体，然后设y x =-12，则222)1(y x =-，原方程化为045-y 2=+y ．① 解得.4,12==y y11121=-=，xy 时当 ∴22=x ，∴2±=x ∴ 4142=-=，x y 时当 ∴52=x ，∴5±=x ∴原方程的解为5,53,2,2421-==-==x x x x ．解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想（2）解方程0624=--x x【经典练习】1．方程()()1512-=-x x x 的根是（ ）A ．25=xB ．1=xC ．12521==x x ，D ．15221==x x ， 2．解方程()()5352+=+x x ，较简便的方法是（ ） A ．直接开平方法 B ．配方法 C ．求根公式法 D ．因式分解法3．用因式分解法把方程()()615=+-x x 分解成两个一次方程，正确的是（ ）A ．8125=+=-x x ，B ．4145=+=-x x ，C ．0307=+=-x x ，D ．0307=-=+x x ，4．方程t t =2的根为（ ）A ．0=tB ．1021==t t ，C ．021==t tD ．1=t5．当代数式562++x x 与x －1的值相等，x 的值为（ ）A ．1=xB ．5121-=-=x x ，C ．3221==x x ，D ．3221-=-=x x ，6．在下列各题的空格中填写适当的方法（1）解方程031032=++x x ，用 较宜。
《用因式分解法解一元二次方程》
不是所有的一元二次方程都可以进行因式分解，需要判断是否可以 提取公因式或使用十字相乘法。
注意符号问题
在因式分解过程中，需要注意符号问题，确保结果的正确性。
限制条件
仅适用于一元二次方程
对符号敏感
因式分解法仅适用于一元二次方程， 不适用于其他类型的一元方程或多元 方程。
因式分解法对符号非常敏感，稍不注 意就会导致结果错误，因此需要特别 注意运算过程中的符号问题。
与开平方法比较
适用范围
开平方法和因式分解法都适用于 能够通过因式分解的一元二次方 程，但开平方法适用于开口向上
的二次方程。
简便性
对于能够通过因式分解的开口向 上的二次方程，开平方法相对简 单，因为不需要进行复杂的计算。
求解过程
开平方法需要找到方程的两个根， 然后进行开平方运算，而因式分 解法可以直接进行因式分解求解。
求解过程
因式分解法的求解过程相 对直观，而公式法需要使 用公式进行计算。
与配方法பைடு நூலகம்较
适用范围
配方法和因式分解法都适用于能 够通过因式分解的一元二次方程，
但配方法还可以用于其他形式的 一元二次方程。
简便性
配方法需要先进行配方，过程相对 复杂，而因式分解法相对简单。
求解过程
配方法需要先配方，然后使用公式 求解，而因式分解法可以直接进行 因式分解求解。
公式
ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，其中 x1、x2是一元二次方程的两个解。
因式分解法的应用范围
适用条件
适用于所有形式的一元二次方程，特 别是当方程可以轻易地分解为两个一 次因式时。
限制
对于某些特殊形式的一元二次方程， 如完全平方或平方差公式，因式分解 法可能不是最简便的方法。
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当堂检测
3x(x 2) 5(x 2) 2(x 3)2 x2 9
xx 3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
小亮做得对吗?
小亮是这样解的 : 解 :由方程x2 3x, 得
x2 3x 0.
xx 3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
①直接开平方法: x2=p ,（mx+n)2 =p(p≥0)
②配方法: (x+m)2=n (n≥0)
③公式法 x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
2、什么叫因式分解?
把一个多项式分解成几个整式乘积的形 式叫做分解因式.
x1
0;
x2
4 5
.
x1 2; x2 1.
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个一次因式 的 乘积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个 一元一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
学习是件很愉快的事
• 你能用分解因式法解下列方程吗？
1 .x2-4=0; 解：1.(x+2)(x-2)=0,
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0,或x-2=0.
∴x+6=0,或x-4=0.
∴x1=-2, x2=2.
∴x1=-6, x2=4.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
3 一个数平方的两倍等于这个数的7倍，求这个数。
尝试练习
课本70页：
习题8.9
12
配练80页： 1 2
请选择适当的方法解一元二次方程 （1）x2-2x=8 （2）x2-3x+1=0
（3）(x-2)(x+3)=(x+3) （4）(2y-3)2=5
在①直接开平方法、②配方法、③公式法、 ④因式分解法.这四种解一元二次方程方法中， 那些方法适合于所有的一元二次方程，那些方 法适合于形式特殊的一元二次方程.
分解因式法
用分解因式法解方程:
(1)5x2=4x;
(2)x-2=x(x-2).
解 : 1.5x2 4x 0, 2.x 2 xx 2 0, 4 0. x 2 0,或1 x 0
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x2 3x.
小亮是这样想的:
如果a b 0,
那么a 0或b 0
即, 如果两个因式的 积等于0, 那么这两 个数至少有一个为0.
小亮是这样解的:
解 :由方程x2 3x,得 x2 3x 0.
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1)x(x 2) 0 x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x
1)
0
x1
2 3
,
x2
1 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
例题欣赏 ☞
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x2 3x.
小颖是这样解的: 解: x2 3x 0.
x 3 9. 2
这个数是0或3.
小明是这样解的:
解 : 方程x2 3x两 边都同时约去x, 得.
x 3. 这个数是3.
小颖做得对吗?
小明做得对吗?
你能解决这个问题吗
小亮解方程的过程中对 方程作了怎样的 变换？
我思 我进步
因式分解法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于 分解成两个一次因式的乘积时,我们就可
以用因式分解的方法求解.这种用因式分
解解一元二次方程的方法称为因式分解法.
提示: 1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解, 而右边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那 么至少有一个因式等于零.”
3、因式分解的方法有那些?
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a2 2ab+b2=(a b)2.
（3）十字相乘法: x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？